Permutations et cycles

Université Lyon 1
Capes Externe Math. 2010–2011
Permutations et cycles
Définition 1 E représente un ensemble fini non vide. On appelle groupe des permutations de E, le groupe des bijections de E sur E, et IdE l’application identique de E.
Définition 2 Soit
On appelle orbite de x sous l’action
σ une permutation
de
E, et x ∈ E. deσ, l’ensemble x, σ(x), σ 2 (x), . . . = σ k (x) ; k ∈ N , que l’on note parfois Oσ (x).
Proposition 1 Soit E un ensemble fini de cardinal n, σ une permutation de E, et x ∈ E.
Il existe un plus petit entier k, 1 ≤ k ≤ n, tel que σ k (x) = x. L’orbite de x est l’ensemble
de cardinal k
n
o
Oσ (x) = x, σ(x), σ 2 (x), . . . σ k−1 (x) .
C’est aussi le plus petit sous–ensemble de E contenant x et stable par σ (c’est à dire le
plus petit sous–ensemble F de E qui contient x et tel que σ(F ) ⊂ F ).
Définition 3 Soit E un ensemble fini de cardinal n, et σ une permutation de E. On dit
que σ est une permuation circulaire de E s’il existe un élément x ∈ E dont l’orbite est E
tout entier. Dans ce cas, pour tout y ∈ E on a Oσ(y) = E.
Définition 4 Soit E un ensemble fini de cardinal n, k un entier, 1 ≤ k ≤ n, et F un
sous–ensemble de E de cardinal k et et x1 , x2 , . . . xk une énumération des éléments de
F , c’est à dire une bijection i 7→ xi de {1, 2, . . . , k} sur F . On note (x1 , x2 , . . . , xk ) la
permutation c de E définie par


si x 6∈ F
x
c(x) = xi+1 si x = xi (i ≤ k − 1)


x1
si x = xk
Cette permutaion est appelée le le cycle (x1 , x2 , . . . , xk ). On appelle longueur de ce cycle
l’entier k. La restriction de c à {x1 , x2 , . . . , xk } est une permutation circulaire de cet
ensemble. Mais (x1 , x2 , . . . , xk ) n’est une permutation circulaire de E que si k = n.
Définition 5 On dira que les cycles a = (x1 , x2 , . . . , xp ) et b = (y1 , y2 , . . . , yq ) sont disjoints, si les ensembles {x2 , x2 , . . . , xp } et {y1 , y2 , . . . , yq } sont disjoints.
Remarques :
1. Si k = 1 le cycle (x) n’est pas autre chose que l’application IdE .
2. Si k = 2 le cycle (x1 , x2 ) est la transposition qui échange x1 et x2 et préserve tous
les autres éléments de E.
3. Soit c le cycle (x1 , x2 , . . . , xk ). Pour 1 ≤ i ≤ k, on a Oc (xi ) = {x1 , x2 , . . . , xk }. Si
x 6∈ {x1 , x2 , . . . , xk } on a c(x) = x et donc Oc (x) = {x}.
4. Attention : Les k écritures (x1 , x2 , . . . , xk ), (x2 , x3 , . . . , xk , x1 ), . . . , (xk , x1 , . . . , xk−1 )
représentent toutes le même cycle.
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M. Deléglise
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5. Soit σ une application d’un ensemble quelconque E dans lui même. On appelle
support de σ l’ensemble supp(σ) = {x ∈ E ; σ(x) 6= x}. Si k ≥ 2, le support du
cycle c = (x1 , x2 , . . . , xk ) est donc {x1 , x2 , . . . , xk }, tandis que, pour k = 1, on a
c = IdE et supp(c) = ∅. Dans tous les cas, les supports de deux cycles disjoints sont
donc disjoints.
Théorème 1 Soit E fini de cardinal n ≥ 1 et σ une permutation de E. Les orbites des
éléments de E forment une partition F1 , F2 , . . . , Fk de E, c’est à dire que les Fi sont non
vides, Fi ∩ Fj = ∅ for i 6= j et F1 ∪ F2 ∪ . . . Fk = E.
La restriction de σ à chacune de ces orbites est une permutation circulaire de cette orbite.
Pour 1 ≤ i ≤ k, notons ci l’application définie par
(
σ(x) si x ∈ Fi
ci (x) =
x
sinon.
Chaque ci est un cycle de E, les ci commutent deux à deux, et σ = c1 c2 . . . ck .
De plus, à condition de ne pas tenir compte de l’ordre des facteurs, ni des cycles de longueur
1 qui sont tous égaux à IdE , cette décomposition est l’unique façon de décomposer σ en
un produit de cycles 2 à 2 disjoints.
Exemple : Soit σ la permutation de {1, 2, . . . , 10} donnée par le tableau de ses valeurs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
·
3 10 2 4 7 9 8 5 6 1
Les égalités σ(1) = 3, σ(3) = 2, σ(2) = 10 et σ(10) = 2 donnent Oσ (1) = {1, 3, 2, 10}.
L’égalité σ(4) = 4 prouve que l’orbite Oσ (4) est {4}. Les égalités σ(5) = 7, σ(7) = 8,
σ(8) = 5 donnent une nouvelle orbite Oσ (5) = {5, 7, 8} et le cycle (5, 7, 8). Enfin σ(9) = 6
et σ(6) = 9, donnent la dernière orbite Oσ (6) = (6, 9), et enfin la décomposition
σ = (1, 3, 2, 10) (4) (5, 7, 8) (6, 9).
Attention : Si on n’exige pas que les cycles de la décomposition soient 2 à 2 disjoints,
il n’y a pas d’unicité de la décomposition en produit de cycles, et, de plus les facteurs ne
commutent plus 2 à 2. Par exemple
(1, 2, 3) = (1, 2)(1, 3) 6= (1, 3)(1, 2) = (1, 3, 2).
Définition 6 L’ ordre d’une permutation σ de E est le plus petit entier r ≥ 1 tel que
σ r = IE .
Proposition 2 L’ordre d’un cycle de longueur k est k.
Proposition 3 Soit σ une permutation de E σ = c1 c2 . . . cm sa factorisation en produit
de cycles de supports disjoints. L’ordre de σ est le plus petit commun multiple des ordres
des ci , pour 1 ≤ e ≤ q.
Exemple : La décomposition en cycle de la permuation σ de l’exemple ci dessus est
σ = (1, 3, 2, 10) (4) (5, 7, 8) (6, 9).
Les cycles sont d’ordres (4, 1, 3, 2). L’ordre de σ est donc ppcm(4, 1, 3, 2) = 12.
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