Cours 1

CENTRE NATIONAL
DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
Master 2e année - Acoustique
Physique des sons et vibrations
Philippe Herzog
Mail : [email protected] - Tel : 04 91 16 40 89
Adnane Boukamel
Mail : [email protected] - Tel : 04 91 05 43 90
Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique - U.P.R. 7051 C.N.R.S.
31 chemin Joseph Aiguier - 13402 Marseille cedex 09
Physique des sons et vibrations 2009 - 1
Domaines d’application
Bruits :
– transports
– bâtiment
– déficiences auditives
Ondes :
– imagerie médicale
– sismique
– contrôle non destructif
– sonars
Sons :
– communications
– musique
– reproduction sonore
Physique des sons et vibrations 2009 - 2
Caractéristiques générales
– confinement
– trajectoires
Géométrie
– obstacles
– source
– récepteur
Flux
– dissipation
– fluides
– solides
Milieu
– composites
– distance
– taille
– durée
Echelles
– fréquence
Physique des sons et vibrations 2009 - 3
Objectif du cours
Analyse des problèmes de propagation :
– principaux phénomènes physiques
– propagations acoustique et vibratoire
– formulation analytique
– équations locales
⇒ Hypothèses et équations pour chaque cas d’étude
Physique des sons et vibrations 2009 - 4
Contenu
Physique des sons et vibrations
C1 : Propagation : principe et applications
C2 : Ondes sonores en fluide non dissipatif
C3 : Ondes élastiques dans les solides
C4 : Dissipation dans les solides
C5 : Sources et dissipation acoustiques
C6 : Interface solide/fluide, couche limite
Examen : "pot-pourri" avec documents
Physique des sons et vibrations 2009 - 5
Exemple : compression 1D
X
P1
x1
x2
P2
X
Dynamique dans un milieu élastique
Forces "externes" : P1 ∆S
Forces "internes" : P1 ∆S
− P2 ∆S = M ∂t x
+ P2 ∆S = K (x2 − x1 )
Physique des sons et vibrations 2009 - 6
Limite (1D) pour un volume infinitésimal
Propriétés "locales" du volume de matière :

 ρ = lim
0
(∆S,∆x→0) m/V
 χs = lim(∆S,∆x→0) −1 (∂P V )s
V
[kg.m−3 ]
[m2 .N−1 ]
Expression locale : système de deux EDL1 en (p, v)



 χs ∂t p + ∂x v = 0



ρ0 ∂t v + ∂x p = 0
[s−1 ]
[kg.m−2 .s−2 ]
Physique des sons et vibrations 2009 - 7
Formulation "équation d’onde" (1D)
Système de 2 équations : EDL2 en p + EDL1 en (p, v)

 (c−2 ∂ 2 − ∂ 2 )p = 0 [kg.m−3 .s−2 ]
tt
xx
0
 χs ∂t p + ∂x v = 0 [s−1 ]
Propagation :
EDL2 = Décalage d’un "signal" simultanément en espace et en temps
Célérité :
√
c0 = 1/ ρ0 χs
[m/s]
Comportement du milieu :
EDL1 = Un des deux phénomènes physiques associés à ce "signal"
Compressibilité : G.P. (χs
≈ 1/γp0 ) - solide (χs ≈ 3/E si ν ≈ 0)
Autres phénomènes : cohésion, dissipation, hétérogénéités, etc
Physique des sons et vibrations 2009 - 8
Acoustique / vibration = écarts
Variations temporelles
Signaux à moyenne nulle
Plus rapides que "quasi-statique"
Grand nombre de "cycles"
Amplitudes
Ecarts par rapport à "quasi-statique"
Faibles variations relatives (D.L., linéarisation)
Pas de changement d’état du milieu
Limite floue : fatigue mécanique, vibrations NL, etc
Physique des sons et vibrations 2009 - 9
Grandeurs énergétiques
Deux formes d’énergie :

 e =
c
 ep =
1
2
1
2
−
ρ0 |→
v |2
χs p2
[J.m−3 ]
Impédance caractéristique :
ec = ep ⇒ p/v = ρ0 c0 = Zc
[kg.m−2 .s−1 ]
Etat "d’équilibre" entre les deux phénomènes fondamentaux
Solution particulière : "l’onde plane" (cf "impédance itérative")
Intensité acoustique :
−
→
→
I = p−
v
[W/m2 ]
Densité de puissance transportée par l’onde acoustique
Physique des sons et vibrations 2009 - 10
Onde Plane sinusoïdale
Solution particulière - principe général
Pression
1
0
Phases schématiques :
−1
1 : compression ⇒
Vitesse
1
0
−1
Intensité
1
0
−1
1
2
3
4
1
∆ ep car I > 0
2 : mouvement / aval ⇒ ep → ec
3 : détente ⇒ ∆ ep car I > 0
4 : mouvement / amont ⇒ ep → ec
phase
Transfert d’énergie sans déplacement moyen du milieu
Importance de la phase relative entre p et v
Physique des sons et vibrations 2009 - 11
Vitesse
Pression
Puissance acoustique
1
0
−1
Déphasage ⇒
I < 0 par instants
Vitesse sans compression : ec augmente
Compression sans vitesse : ep augmente
Deux échelles de temps : (t, T )
1
0
Intensité
−1
1
0
−1
phase
R −
→ −→
Puissance P = S I · dS
Puissance moyenne Pa
= hP (t)iT : puissance "active"
Puissance fluctuante hPr (t)iT = 0 : puissance "réactive"
Onde générale : concentrations locales ec ou ep
Physique des sons et vibrations 2009 - 12
Domaine fréquentiel
Transformation de Fourier (projection / base)
Ax cos(ωt + φ) = ℜ Xe
avec X = Ax ejφ
x(t) ⇀
↽ X(ω) : superposition de composantes
∂t x(t) ⇀
↽ jωX : simplicité dérivée/intégrale
jωt
Propagation
(∆ + k 2 )p = 0 : équation de Helmholtz
k = ω/c : nombre d’onde
Echelle implicite : λ = c/f ⇔ kD = 2πD/λ
Etalon géométrique : la longueur d’onde λ
Physique des sons et vibrations 2009 - 13
Ordres de grandeur : O.P audible
Pression
Vitesse
Déplacement
à 20 Hz
à 1 kHz
à 20 kHz
20 Pa
50 mm/s
0,4 mm
8 µm
0,4µm
20 mPa
50 µm/s
0,4 µm
8 nm
0,4nm
20 µPa
50 nm/s
0,4 nm
[8 pm]
[0,4pm]
Grande dynamique
Gamme de pressions >
106
Echelle logarithmique (dB)
Très faibles perturbations
P0 = 105 P a
Vitesses << 6km/h ↔ 1.6m/s
Déplacements ≈ échelle atomique (HF)
Pressions <<
Physique des sons et vibrations 2009 - 14
Ordres de grandeur (2)
Milieu
Air
Eau
Acier
Aluminium
[kg/m3 ]
1.2
1000
7700
2700
cl
[m/s]
340
1490
5900
6300
ct
[m/s]
-
-
3230
3080
ρ0
Source φ80mm, à 1m, à 100Hz :
Déplacement (mm)
Milieu
Pression (Pa)
Puissance (W)
1
eau
160
0.21
1
air
0.19
0.001
14.4
air
39.4
0.21
Très grandes différences de comportement du milieu
Physique des sons et vibrations 2009 - 15
OdG (3) : quelques cas usuels
Source
Niveau
Pression
Puissance
Parole
60 dB / 1 m
0.02 P a
12 µW
Automobile
94 dB / 1 m
1.0 P a
30 mW
Concert Rock
105 dB / 30 m
3.5 P a
50 W
Sonar
166 dB / 1 m
300 P a
0.75 W
Très faible / mécanique
cycliste ≈
500 W
automobile ≈ 50 kW
Conversion mécanique -> acoustique :
Rayonnement "parasite" ≈
Sonorisation ≈
10−2
10−6 à ≈ 10−4
Physique des sons et vibrations 2009 - 16
Physique des matériaux
Physique théorique : interactions via 4 forces ("unification")
Gravitation
Electromagnétisme
I.N. faible
I.N. forte
Intensité relative
∼ 10−38
∼ 10−2
∼ 10−14
1
Rayon d’action (m)
∞
∞
≤ 10−17
≤ 10−15
Domaine
astronomie
chimie
radioactivité
nucléaire
(Peu de phénomènes mais beaucoup d’objets + stats complexes ... )
Inutile d’écrire les "équations du monde entier" !
- Expliquer ce qui est observable (macroscopiquement)
- Lisser les phénomènes à trop petite échelle (statistiques)
- Séparer les phénomènes à trop grande échelle (paramètres)
⇒ Déterminer une échelle "utile"
Physique des sons et vibrations 2009 - 17
grandeur (ex : m/V)
Echelle "locale"
?
?
atome,
molécule,
maille
domaine
local
global
log(V)
Dimensions d’un "petit volume" local :
- Peu de variations de l’ensemble des variables d’état
- Finesse de description suffisante (cf problème global)
- Nombre "minimal" de variables d’état (cf hétérogénéités)
⇒ Volume "représentatif" (homogénéisation)
Physique des sons et vibrations 2009 - 18
Description des propriétés locales
Interactions particulaires "purement" électromagnétiques :
- Echelle > échelle moléculaire (ni nucléaire, ni chimique)
- Gravitation négligeable en interne, paramètre si externe
- Résultante = Ep "de Lennard-Jones" (Pauli + Van der Waals)
Phénomènes microscopiques :
- Agitation thermique (Brown)
- Collisions des particules (fortes distances)
- Attraction intermoléculaire (faibles distances)
- Répulsion interatomique (très faibles distances)
⇒ propriétés résultant de leurs importances relatives
Physique des sons et vibrations 2009 - 19
Gaz "idéal" (G.P. de Laplace)
Théorie cinétique :
Agitation thermique dominante
Collisions sans interaction
statistiques ⇒
P V = nRT
C
ν d.d.l. par molécule ⇒ γ = Cvp = 2+ν
ν
PV
ν
énergie interne U = 2 nRT = γ−1
Mélange de G.P. = G.P.
Modèle très simplifié :
- Energie interne U
= EcT + EiM et P V proportionnels à T
- Pression = résultante des collisions / interface
- Deux variables d’état indépendantes
Permet d’établir analytiquement des propriétés remarquables
Physique des sons et vibrations 2009 - 20
Gaz "plus réaliste"
Termes correctifs (empiriques) :
Agitation thermique dominante
Interactions occasionnelles
Gas de Van der Waals : p
Equation du Viriel : p
=
=
RT
(Vm −b)
−
B(T )
RT
[1
+
Vm
Vm
a
2
Vm
+
C(T )
2
Vm
+ ...]
Compromis entre complexité et réalisme :
- S’écarte du gaz idéal à pression croissante
- Approximation locale proche du G.P.
- Toujours deux variables d’état indépendantes
Assimilable à un GP pour de faibles variations (coefficients tabulés)
Physique des sons et vibrations 2009 - 21
Elasticité isentropique d’un gaz
- Peu dense
- Pas de cohésion
- Faible conduction thermique
- Faible viscosité
Gaz "quasi-idéal" isentropique (γ empirique)
U = ν2 nRT , pV = nRT et γ = 2+ν
ν
pV
Soit U = γ−1 , or dU = T dS − pdV = −pdV
Donc V dP + γpdV = 0, soit pV γ = C te
Compression isentropique ⇒ échauffement local : T liée à p
Physique des sons et vibrations 2009 - 22
Agitation thermique
T =0
T >0
T >> 0
Energie interne associée à l’agitation thermique
- Mouvements aléatoires croissant avec T
- Peu dense ⇒ collisions seules
- Dense ⇒ collisions + interactions
Physique des sons et vibrations 2009 - 23
Entropie
Agitation thermique : fluctuations "invisibles"
- Nombre considérable d’états microscopiques
- Détail des mouvements inobservable
- Associé à une énergie interne significative
Entropie = quantification de "l’indétermination"
- Nombre d’états "équivalents" =
Ω
- Théorie de Boltzman : S = kB Log(Ω)
- Energie interne : dU = T dS , où T est la température
⇒ Prise en compte des phénomènes "occultés"
Physique des sons et vibrations 2009 - 24
Conduction thermique
choc élastique
1 collision
résultante
Agitation thermique répercutée → zone froide
- Perturbation aléatoire des collisions
- Homogénéisation de proche en proche : diffusion
- Coefficient dépendant de la structure du milieu
Physique des sons et vibrations 2009 - 25
Viscosité
choc élastique
1 collision
résultante
Mouvement répercuté → zone inerte
- Perturbation systématique des collisions
- Homogénéisation de proche en proche : diffusion
- Coefficient dépendant de la structure du milieu
Physique des sons et vibrations 2009 - 26
Relaxation moléculaire
mono-atomique
di-atomique
dissipation
Excitation de d.d.l. internes
- Conversion de l’énergie des collisions
- Résultante = absorption d’énergie
- Fréquences propres des molécules
- Restitution retardée et imparfaite
Physique des sons et vibrations 2009 - 27
Température et état
peu dense
dense
très dense
agitation
répulsion
cohésion
attraction
attraction
agitation
-
agitation
-
T >> Tc
T ≈ Tc
T << Tc
Température ou densité = réglage de l’équilibre agitation/cohésion
Physique des sons et vibrations 2009 - 28
Etat liquide
– Cohésion : agitation ≈ attraction
– Glissement possible (pas de forme propre)
– Bonne conduction thermique
– Viscosité importante
Fluide (lourd), transformation quasi-isotherme (γ
≈ 1)
Physique des sons et vibrations 2009 - 29
Solide amorphe
– Cohésion : agitation < attraction
– Glissement infinitésimal (forme "figée")
– Bonne conduction thermique
– Viscosité quasi-infinie
– Contraintes de cisaillement
Fluide hyper-visqueux ≈ solide isotrope
Physique des sons et vibrations 2009 - 30
Cohésion cristalline
– Cohésion : agitation ≪ attraction
– Déformation très limitée (rupture)
– Très bonne conduction thermique
– Viscosité infinitésimale
– Contraintes de cisaillement
– Axes particuliers (mailles)
Solide cristallin : anisotrope, très peu compressible
Physique des sons et vibrations 2009 - 31
Etats d’un milieu
gaz
liquide
amorphe
cristal
fluide
fluide
solide
solide
isotrope
isotrope
isotrope
anisotrope
très compressible
peu compressible
très peu compressible
≈ incompressible
pas de forme
pas de forme
forme figée
forme imposée
Physique des sons et vibrations 2009 - 32
Equations de la mécanique
Quel élément de volume ?
- Choix des coordonnées
- Forme locale : (n, V )
→ ρ à n constant
- Conservation de la quantité de matière
Inertie de cet élément
- Bilan des forces (écart externe - interne)
- Forme locale : contrainte, déformation/déplacement
- Conservation de la quantité de mouvement
Comportement de cet élément
- Etat du milieu (nature et dépendance / T )
- Phénomènes de transport éventuels
- Conservation de l’énergie (y.c. chaleur)
Physique des sons et vibrations 2009 - 33
Elément de volume
Echelle "locale"
- Intermédiaire entre microscopique et "système"
- Hypothèse de "milieu continu"
- Définition de grandeurs locales
Coordonnées de Lagrange
- Groupe déterminé de molécules
- Trajectoires depuis une référence
- Description "mobile dans l’espace"
Coordonnées d’Euler
- Elément de volume fixe dans l’espace
- Observation des molécules qui y "passent"
- Bilan des échanges : "champs" de vecteurs
Physique des sons et vibrations 2009 - 34
Conservation de la masse
d
dt
Z
→
−
ρd R = 0
dV
Volume infinitésimal dV
- Variations de ρ (effet des contraintes)
- Flux échangés (dérivées spatiales de la vitesse)
- Vrai pour tout dV
∂ρ −
→
→
+ ∇ · (ρ−
v) = 0
∂t
Physique des sons et vibrations 2009 - 35
Conservation de l’impulsion
Bilan des forces
- Inertie de l’élément de volume
- Action/réaction sur les frontières
- Résultante des contraintes internes
- Forces volumiques (transport)
∂ −
−
→
→
−
(ρ→
v ) + ∇ · (ρv ⊗ v) = F + ∇ · σ
∂t
Physique des sons et vibrations 2009 - 36
Comportement du milieu
Ensemble de phénomènes "internes"
- Equation d’état : relie σ (ou p) à ρ et s
- Equations de transport : une pour chaque "autre" phénomène
→
- Conservation de l’énergie : relie (par exemple) −
v à ρ, s, q, r (thermique)
→
⇒ Relation entre σ (ou p) et −
v
Physique des sons et vibrations 2009 - 37
A suivre ...
Questions ?
Physique des sons et vibrations 2009 - 38