Devoir n°4 - 2016 corrigé

Corrigé du devoir n°4 du 22 novembre 2016
 Exercice 1 :
1. 41  4 (11)
on multiplie chaque congruence par 4 successivement
4  16  5 (11)
car 16  11  5
4  20  9 (11)
car 20  11  9
4  36  3 (11)
car 36  311  3
4  12  1 (11)
car 12  11  1
2
3
4
5
le plus petit entier naturel non nul k tel que 4k  1 (modulo 11) est k  5
k
2. Par conséquent, pour tout k, 45  1k (11) c’est-à-dire 45k  1 (11) d’où
45k  1 (11)
4
5k+1
on multiplie chaque congruence par 4 successivement
 4 (11)

45k+2  5 (11)
45k+3  9 (11)
45k+4  3 (11)
ne pas oublier que n est l’exposant
si n 
le reste de 4n dans la
division par 11 est
5k
5k1
5k2
5k3
5k4
1
4
5
9
3
2
3. un  42n  24n  4n  24n  4n (4n  2)
si n 
le reste de 4n dans la
division par 11 est
le reste de 4n  2 dans
la division par 11 est
un est congru à
modulo 11
5k
5k1
5k2
5k3
5k4
1
4
5
9
3
3
6
7
0
5
3
2
2
0
4
D’après le tableau,
un  42n  24n est divisible par 11 si et seulement si n  5p  3 avec p .
 Exercice 2 :
1. Méthode générale (on ne donne pas de valeur à N).
a. N  106  A  B avec 0  B  106 B est le reste dans la division par 106 de N
Comme 106  1030997  27 donc 106  27 (modulo 97) (on réduit)
Par suite
N  27A  B (modulo 97)
(compatibilité avec la somme et le produit)
b. r le reste de la division euclidienne de N par 97
donc N  97q  r
donc N  r (modulo 97)
(juste pour rappeler le cours)
donc r  27A  b (modulo 97)
d’après la question précédente
Comme K  97  r
alors K   r (modulo 97)
conclusion
K   27A  B (modulo 97)
2. Calcul sur un exemple
N  2840492019081 donc A 2 840 492 et B 019 081
 27A  B  76 674 203 ce nombre ne dépasse pas la capacité de la machine.
Comme 76 712 365  790 85097  85
alors K  85 (modulo 97)
et comme 0 85  97, 85 est le reste dans la division euclidienne par 97 de 27A  B
Devoir de spécialité 4 – page 1
la clé de contrôle est K  85
 Exercice 3 :
1. 51  5 (7)
on multiplie chaque congruence par 5 successivement
52  25  4 (7)
car 25  37  4
5  20  6 (7)
car 20  27  6
5  30  2 (7)
car 30  47  2
5  10  3 (7)
car 10  7  3
5  15  1 (7)
car 15 7  1
3
4
5
5
le plus petit entier naturel non nul k tel que 5k  1 (modulo 7) est k  6
2. Comme 20 172 017  28817167  5 alors 20 172 017  5 (modulo 7)
Donc 20 172 017
2 017
 52017 (modulo 7)
Comme 2017  3366  1 alors 52017  533661 5336651  56
donc 5
2017
1
336
5
5 (modulo 7)
336
le reste de 20 172 017
2 017
dans la division par 7 est 5
 Exercice 4 :
un  33n+2  46n+1
un  33n32  46n41
n
n
n
n
un  33 9  46 4
un  33 9  46 4
n
n
un  27 9  4 096 4
Par division euclidienne,
27  213  1 donc 27  1 (modulo 13)
4 096  31513  1 donc 4 096  1 (modulo 13)
donc un  1n9  1n4 (modulo 13)
donc un  13 (modulo 13)
donc un  0 (modulo 13)
pour tout n, 33n+2  46n+1 est divisible par 13 .



Devoir de spécialité 4 – page 2
 Exercice 5 :
1. 170  1 (49)
on multiplie chaque congruence par 17 successivement p  1
17  17 (49)
p  17
172  289  44 (49)
p  p17  289 puis r  44 puis p  44
173  748  13 (49)
p  p17  748 puis r  13 puis p  13
17  221  25 (49)
p  p17  221 puis r  25 puis p  25
17  425  33 (49)
p  p17  425 puis r  33 puis p  33
17  561  22 (49)
p  p17  561 puis r  22 puis p  22
1
4
5
6
On ne divise pas 17n car il devient rapidement trop grand pour la machine.
A « la main », on ne le fait pas non plus.
n
p
q
r
2. a.
0
1

0
1
17
0
17
2
44
5
44
3
13
15
13
4
25
4
25
5
33
8
33
6
22
11
22
à la ligne 6 q est le quotient dans division euclidienne de p  17r par 49
b. à la ligne 7 r est le reste dans division euclidienne de p  17r par 49
3.
On trouve n  42
4. Dans l’algorithme au lieu d’utiliser 17n1  17n17 on utilise le fait qu’à la ligne précédente,
on a trouvé 17n  k (modulo 49) avec 0  k  49.
Au lieu d’effectuer la division de 17n1 par 49 où 17n1 serait rapidement trop grand,
On effectue la division de 17k par 49 où 0  17k  833.
On ne dépassera donc jamais la capacité de la machine.
Devoir de spécialité 4 – page 3