Texte intégral - IREM de Grenoble

APPRENTISSAGE DE LA SYMÉTRIE ORTHOGONALE
EN FIN DE CYCLE 3
À L'AIDE D'UN LOGICIEL DE GÉOMÉTRIE DYNAMIQUE
Yasmina Chaachoua1
Professeur des Écoles, Circonscription d’Échirolles (Isère)
La symétrie orthogonale dans l'enseignement primaire
Étude des programmes
D'après les programmes nationaux de 2002 de l'école primaire, l’élève doit être capable, à
la fin du cycle 2, de percevoir un axe de symétrie d’une figure, de vérifier par pliage si une
figure a un axe de symétrie et de produire le symétrique d’une figure par rapport à une
ligne droite par pliage. Même si certaines activités proposées au cycle 2 visent la
construction par pliage du symétrique d’une figure, la notion d’axe de symétrie reste
prépondérante.
Au cycle 3, un des objectifs est de passer progressivement d’une géométrie où les objets et
leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par la
connaissance des propriétés et le recours à des instruments. Les activités proposées doivent
être l’occasion pour l’élève d’élaborer et d’utiliser certains concepts géométriques en leur
donnant du sens (perpendicularité, longueurs…) et de développer des compétences
techniques liées au maniement d’instruments (l’équerre pour tracer les perpendiculaires, le
compas pour reporter des longueurs, le calque…). Il est aussi noté dans le document
d’application que les activités du domaine géométrique ne visent pas des connaissances
formelles, mais des connaissances fonctionnelles qui prennent naissance dans la résolution
de problèmes et qui donneront par la suite du sens au savoir. Les problèmes proposés
portent sur des figures sur papier, sans abuser des supports quadrillés, ou sur écran
d’ordinateur. Les logiciels de géométrie dynamique pourront faire l’objet d’une première
utilisation en liaison et sans se substituer pour autant à la feuille de papier.
1
Cet article présente une recherche réalisée dans le cadre du mémoire professionnel de PE2 par Chaachoua
Y. et Derbre A. (IUFM de Grenoble, 2004).
Grand N n° 79, pp. 61 à 83, 2007
61
Tandis que l’étude systématique de la symétrie axiale relève de la sixième, le cycle 3 est
l’occasion d’élargir le champ des expériences sur cette transformation et de mobiliser
quelques unes de ses propriétés. Les activités portent sur l’analyse ou la réalisation des
figures en utilisant différentes techniques : pliage, calque, miroir…. Dans ce cadre,
l’utilisation de logiciels permet d’enrichir les champs d’expériences des élèves.
Résultats des évaluations nationales
Avant 2002, la plupart des activités proposées dans les évaluations par le Ministère de
l’Éducation Nationale en CE2 et en sixième consistait à compléter par pliage sur un axe
horizontal ou vertical, une figure sur un quadrillage.
Les résultats varient en fonction de l’éloignement de la figure et de l’axe de symétrie. De
plus, la comparaison des résultats obtenus en 2000 et en 2001 montre que la position
verticale ou horizontale de l’axe dans le cas d’une figure moins usuelle induit davantage
l’idée de translation.
Ainsi, pour mieux faire comprendre la symétrie axiale, il est estimé nécessaire et
indispensable de poursuivre les activités de pliage et de piquage, d’utiliser le papier calque
ou le miroir tant que l’image mentale de la symétrie n’est pas stabilisée.
Les évaluations en fin de sixième s’intéressent plutôt aux constructions. Les élèves doivent
construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’un cercle par rapport à un axe
quelconque. La prégnance de la verticale et de l’horizontale reste importante. Les résultats
montrent une persistance de la fragilité au niveau des compétences visées en symétrie.
Ainsi, le pourcentage de réussite est en moyenne de 59%. De plus, 19% des élèves
appliquent une symétrie centrale au lieu d’une symétrie axiale lors de la construction du
symétrique dans le cas d’un segment. Les difficultés rencontrées dans l’utilisation des
instruments sont une explication avancée dans les évaluations.
D’autres pré-requis à la symétrie - reconnaître la position relative des droites, tracer une
droite perpendiculaire, placer le milieu d’un segment - sont nécessaires et leur absence
explique certaines difficultés.
Les évaluations de 2002 se caractérisent par un changement au niveau du support utilisé,
un réseau pointé, et par l’orientation de l’axe, qui est oblique. Les résultats obtenus
reflètent des difficultés liées à ces choix. En remédiation à ces difficultés, le dossier2 qui
étudie ces évaluations préconise d’utiliser aussi des logiciels de géométrie, afin d’anticiper
les résultats pour percevoir les éléments invariants de la transformation.
Analyse des difficultés des élèves pour l'apprentissage de la
symétrie orthogonale
Étudier les difficultés des élèves, c'est d'abord s'intéresser au statut de l'erreur dans
l'apprentissage des mathématiques. Nous considérons l’erreur comme l'expression d'une
connaissance et non comme un manque ou une anomalie ou un accident qui pourrait être
évité si l'élève écoutait mieux, s'il s'entraînait, si l'enseignant améliorait sa progression, ses
explications... (Brousseau, 1986). À leur origine peuvent parfois exister des connaissances
stables et ayant montré leurs intérêts et efficacités dans plusieurs situations. Ces
connaissances peuvent être décrites par la notion de conception qui permet de rendre
compte du comportement cognitif de l'apprenant.
2
Dossier n°141, Évaluations CE2- Sixième – Cinquième. Repères nationaux, Septembre 2002, DEPP
Ministère de l’Éducation Nationale de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche.
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Nous considérons une conception comme un ensemble de connaissances (correctes ou non)
qui sont attribuées à l’élève et qui permettent d’expliquer le fonctionnement réel de l’élève,
ses conduites, ses procédures, ses réponses par rapport à une tâche donnée. Artigue (1991)
caractérise une conception par « un triplet :
- la classe des situations-problèmes qui donnent un sens au concept pour l'élève ;
- - l'ensemble des signifiants associés (images mentales, représentations, expressions
symboliques, …) ;
- les outils (règles d'action), théorème (en actes), algorithmes dont il dispose pour
manipuler le concept. »
Ces éléments peuvent être regroupés et exprimés en terme d'invariants opératoires
(Vergnaud, 1991).
À chaque conception est associé un domaine d'application, c'est-à-dire un ensemble de
problèmes où elle peut s'appliquer, et un domaine de validité, c'est-à-dire un ensemble de
problèmes où elle produit une réponse correcte. L'erreur provient de l'application d'une
règle, associée à une conception, hors de son domaine de validité.
Grenier (1988) et Tahri (1993) ont analysé les connaissances des élèves sur la symétrie
orthogonale en termes de conceptions. Les travaux de Grenier (1988) dans une classe de
sixième ont permis de confirmer les conceptions mentionnées par d'autres recherches et de
les rattacher à des caractéristiques de quelques situations. Nous en présentons ci-dessous
les principaux résultats.
Dans les tâches de construction d’un symétrique, l'auteur a distingué trois types de
procédures de construction de l'image d'un point : rappel orthogonal, rappel par
prolongement, rappel horizontal ou vertical. « Cette typologie met en jeu essentiellement la
propriété d'orthogonalité de la transformation, sa présence ou son absence. La propriété
d'égale distance ne permet pas en effet, de discriminer les réponses des élèves, parce
qu'elle est toujours prise en compte, sous la forme de « distance » le long de directions
privilégiées. » (Grenier, 1988, p. 46).
Ces trois types de procédure sont illustrés ci-dessous par la construction du symétrique
d’un segment [AB] ). Dans ces exemples, la distance du point à l’axe est respectée pour les
deux extrémités du segment.
Rappel orthogonal
La détermination d’un point de la figure
image se fait le long d’une direction
orthogonale à l’axe de symétrie.
Figure 1
Rappel par prolongement
Cette procédure donne pour image un
point situé dans le prolongement d’une
direction matérialisée par la figure-objet.
Dans la figure 2, les points B' et B sont
symétriques par rapport au point
d'intersection de l'axe avec la droite (AB).
Figure 2
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Rappel horizontal ou rappel vertical
Cette procédure donne pour point image
un point sur une même droite horizontale
ou une même droite verticale que le point
objet.
Dans la figure 3, les points A' et A sont
symétriques par rapport au point
d'intersection de l'axe avec la droite
horizontale passant par A.
Figure 3
La propriété d’isométrie de la transformation est disponible chez les élèves avant la
classe de sixième. Elle peut s'exprimer sous la forme : « le symétrique d'une figure est une
figure « égale » située de l'autre côté de l'axe, à une même « distance » de l'axe que la
figure objet. Il y a conservation de la nature de la figure, des dimensions et de la forme. »
(ibid. p.398).
Cette conception est à l'origine de certaines erreurs liées aux différentes significations que
les élèves ont de « la même distance ». Dans les activités de construction, les élèves
considèrent la figure dans sa globalité. Ainsi, pour reporter la même distance, les élèves se
limitent à un seul point de la figure, en particulier le point le plus proche de l’axe. De plus,
la « même distance » est conservée le long d'une direction qui n'est pas forcément
perpendiculaire à l'axe. L'auteur conclut que ces deux règles permettent d'expliquer la
majorité des erreurs des élèves.
Cela met en évidence l'importance de l'interaction entre les deux aspects, global et
analytique, d'une figure dans une symétrie. Cette interaction a été prise en compte dans nos
activités, ceci sera signalé dans le paragraphe sur le choix des situations.
Le parallélisme de l’objet et de son symétrique est aussi une conception forte chez les
élèves et a été plusieurs fois source de conflit de procédures entre les élèves. Parfois la
translation est une manifestation de cette conception.
La droite de symétrie matérialise sur la feuille deux demi-plans et la symétrie est
perçue comme une transformation d’un demi-plan dans l’autre demi-plan. Cette
conception est à l'origine des difficultés qu'ont les élèves à tracer le symétrique d'un
segment qui coupe l'axe (Grenier, 1985, p. 68). De plus, elle est à relier à la notion de
symétrie-pliage ou symétrie-miroir (ibid).
Ces résultats mettent en évidence des conceptions erronées sur la symétrie orthogonale des
élèves de la classe de sixième qui s'avèrent résistantes chez certains tout au long du
collège. De plus, ces travaux ont montré que les caractéristiques des situations
d'enseignement dans lesquelles on rencontre la symétrie orthogonale peuvent être à
l'origine de ces conceptions ou peuvent les renforcer. Par exemple, le recours au pliage
peut renforcer la dernière conception décrite ci-dessus, ou encore l'utilisation systématique
du papier quadrillé peut renforcer le rappel vertical ou horizontal.
Objet d'étude
Nous proposons la mise en place d'une séquence d'enseignement dont l'objectif est
l'apprentissage de la symétrie orthogonale en classe de CM2. Pour la conception des
situations d'apprentissage, nous nous référons à la théorie des situations didactiques
développée par Brousseau (1986). Dans cette perspective, l'apprentissage est considéré
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comme adaptation à un certain milieu organisé par l'enseignant : « L'élève apprend en
s'adaptant à un milieu qui est facteur de contradictions, de difficultés, de déséquilibres, un
peu comme le fait la société humaine. Ce savoir, fruit de l'adaptation de l'élève, se
manifeste par des réponses nouvelles qui sont la preuve d'apprentissage. »
(Brousseau, 1986).
Dans notre étude, nous développons une séquence d'apprentissage pour déstabiliser les
conceptions erronées en déstabilisant certains invariants opératoires et pour en favoriser
d'autres.
Invariants opératoires
Nous proposons de favoriser la mise en place des invariants suivants :
- invariant « retournement » : concerne l'orientation de la figure par rapport à l'axe et
exprime que la figure et son symétrique n'ont pas la même orientation par rapport à
l'axe ;
- invariant « non parallélisme » : exprime que deux segments symétriques ne sont pas
forcément parallèles sauf lorsqu'ils sont parallèles à l'axe de symétrie ;
- invariant « isométrie » : exprime la propriété d'isométrie de la transformation
« symétrie orthogonale » ;
- invariant « distance » : concerne la propriété « deux points symétriques sont à la même
distance de l'axe selon une direction perpendiculaire à l'axe » ;
- invariant « orthogonalité » : exprime la propriété « le segment joignant un point et son
symétrique est perpendiculaire à l'axe de symétrie ».
Et nous proposons de déstabiliser les invariants suivants :
- invariant « parallélisme » : exprime que deux segments symétriques sont forcément
parallèles ;
- invariant « équidistance » : exprime que deux points symétriques sont à la même
distance de l'axe selon une direction qui n’est pas perpendiculaire à l’axe ;
- invariant « équidistance globale » : exprime qu’une figure F et son image F' doivent
être à la même distance de l'axe, la distance d'une figure à l'axe étant déterminée par la
distance d'un point de cette figure à l'axe, en particulier le point le plus proche de l’axe.
Par exemple, dans la figure 4, l'élève construit le segment [A'B'] parallèle au segment [AB]
(invariant « parallélisme») et ensuite le segment est placé de sorte que la distance de A' à
l'axe soit la même que la distance de B à l'axe (invariant « équidistance globale »). L'élève
a choisi deux points A' et B, qui sont les plus proches de l'axe. De plus, cette distance peut
être mesurée selon une direction orthogonale (Figure 4) ou non (Figure 5).
Le point de la figure F et le point de la figure symétrique F', utilisés pour déterminer la
distance entre les figures et l'axe, ne sont pas nécessairement homologues.
A
A
A'
B'
B
A'
Figure 4
B
B'
Figure 5
Les travaux examinés ne nous permettent pas de savoir si l'invariant « retournement » est
disponible ou non chez les élèves. Nous pensons que sa disponibilité nous permettra de
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faciliter la déstabilisation de l'invariant « parallélisme », mais aussi des conceptions basées
sur la translation.
Hypothèses de recherche
Pour notre recherche, nous avons adopté quatre hypothèses de recherche.
Hypothèse de recherche 1
L’apprentissage de l’invariant « retournement » peut faciliter la déstabilisation de
l’invariant « parallélisme ».
Hypothèse de recherche 2
Les invariants « isométrie » et « équidistance » sont disponibles chez les élèves.
D'après les différents travaux, les invariants « isométrie » et « équidistance » sont
disponibles chez la majorité des élèves. Pour cette raison, nous n’avons pas conçu une
situation spécifique pour ces invariants.
Hypothèse de recherche 3
La disponibilité des invariants « équidistance » et « orthogonalité » est suffisante
pour induire chez l’élève la démarche de construction par symétrie axiale du
symétrique d’un point.
L'invariant « distance » n'est pas disponible chez les élèves alors que l’équidistance est
acquise. En effet, les élèves considèrent « être à la même distance » selon une direction qui
n'est pas forcément orthogonale à l'axe. Nous pensons que cet invariant doit être travaillé
en interaction avec l'invariant « orthogonalité » et que la disponibilité des deux invariants
peut être un préalable pour la construction du symétrique d'un point par symétrie axiale.
Hypothèse de recherche 4
Les spécificités d'un logiciel de géométrie dynamique - déplacement, manipulation
directe et conservation des propriétés géométriques - permettent de constituer un
milieu favorable pour l'étude des invariants géométriques conduisant à
l'apprentissage de la symétrie axiale et à la déstabilisation des conceptions
erronées.
Dans l'environnement papier-crayon, la validation se fait soit par pliage, soit en ayant
recours aux propriétés géométriques. Or, on ne peut pas s'appuyer sur ces dernières comme
moyen de validation puisqu'elles ne sont pas encore disponibles et qu’elles seront
l'aboutissement d'un long apprentissage.
Nous n'avons pas retenu le premier moyen de validation, par pliage, car il peut induire, ou
renforcer la conception erronée décrite ci-dessus (Grenier, 1985, p. 68). Cela ne veut pas
dire qu'il faut supprimer les activités de pliage de l'enseignement de la symétrie
orthogonale. Mais elles ne doivent pas être utilisées de façon systématique, surtout lors des
phases d'apprentissage.
Nous avons donc choisi d'utiliser un environnement informatique de géométrie dynamique
pouvant se constituer comme un milieu de validation par le type d'activités qu’il permet de
mettre en place mais surtout par les rétroactions qu'il offre. Pour notre étude, nous avons
choisi le logiciel Cabri-géomètre que nous présentons ci-dessous en indiquant les
spécificités que nous avons retenues pour la conception des séquences.
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Présentation du logiciel Cabri-géomètre
Cabri-géomètre est un logiciel de géométrie dynamique qui permet la construction des
objets géométriques de base comme : point, droite, triangle… mais aussi la construction
des objets en relation avec d'autres comme une droite perpendiculaire à une droite donnée
passant par un point donné. Ces constructions utilisent des commandes appelées primitives
géométriques, comme « droite perpendiculaire », « droite parallèle »… Le logiciel permet
aussi de :
- modifier le menu : il s'agit de rendre inaccessible aux élèves certaines commandes ;
- cacher des objets : rendre invisible des éléments qui ont servi à la construction sans les
supprimer ;
- punaiser des points : on fixe des points pour les rendre inaccessibles au déplacement.
Ces possibilités permettent au professeur de réaliser de nouveaux types d'activités (cf.
exemple de la situation cab1).
Une des caractéristiques de cet environnement est la manipulation directe qui permet de
déplacer, en temps réel, l'un des éléments de base du dessin à l'aide de la souris. Le dessin
peut se déformer, ou d'autres éléments peuvent se déplacer en respectant les propriétés
géométriques qui ont servi à sa construction et celles qui en découlent.
Dans notre cas, on utilisera la manipulation directe pour rendre compte de la façon dont se
comporte le symétrique d'une figure lorsqu'on déplace la figure de départ. Plus
précisément, pour favoriser l'observation et l'exploration des invariants géométriques de la
symétrie orthogonale : isométrie, orthogonalité, distance, non parallélisme et retournement.
Le déplacement permet aussi de disqualifier des conceptions erronées chez les élèves.
Enfin, l'environnement Cabri peut constituer un moyen de validation pour l'élève en
utilisant le déplacement ou le recours à certaines primitives géométriques.
Objectifs
Nous nous intéressons à l'intégration d'un environnement de géométrie dynamique dans
l'enseignement de la symétrie axiale en cycle 3, et plus précisément :
- Quels usages didactiques et pédagogiques doit-on faire de cet environnement ?
- Quel est l'impact de cet outil dans l'apprentissage de la symétrie axiale ?
Notre objectif est de mettre en place une séquence visant à rendre disponible chez les
élèves les invariants opératoires adaptés pour la symétrie axiale : « retournement », « nonparallélisme », « orthogonalité » et « distance » et de déstabiliser les invariants :
« équidistance » et « parallélisme ».
Mise en œuvre
L'expérimentation se déroule en trois phases : diagnostic, apprentissage et évaluation. Le
plan de la séquence est donné en annexe 1.
Phase 1 : Diagnostic
Le diagnostic est fait autour d'un ensemble de situations papier-crayon (PCn) (annexe 2)
dont la tâche est la reconnaissance de figures symétriques. Les figures sont proposées sur
l'écran d’ordinateur avec le logiciel PowerPoint au lieu d’une feuille papier afin d’éviter
d’une part la validation par pliage et d’autre part que les élèves reviennent sur les figures
précédentes pour modifier leurs réponses. Seule la figure PC13 est proposée en papiercrayon afin de repérer les élèves qui réussissent uniquement lorsqu’ils ont recours au
pliage. Dans cette situation PC13, l’élève doit choisir, sur une feuille de papier, parmi
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quatre points différents celui qui lui permet, en le reliant à un point donné A’, symétrique
de A, de construire un segment symétrique du segment de départ [AB].
L’analyse des résultats de cette phase nous a permis de repérer les invariants opératoires
disponibles chez les élèves et de faire des choix pour la mise en place de la phase 2.
Phase 2 : Séquence d'apprentissage
Cette phase se déroule en plusieurs séances dont chacune porte sur un ou plusieurs
invariants opératoires de la symétrie orthogonale. Nous travaillons sur certaines situations
de la phase 1 dans l'environnement Cabri (Cab n) (annexe 3).
Il s’agit d’utiliser Cabri comme environnement de validation : valider ou invalider les
réponses aux situations de la phase 1 (phase de validation).
À partir de déplacements (phase d’action) répondant à des consignes précises, les élèves
formulent oralement leurs observations (phase de formulation), l’objectif est de mettre en
évidence les invariants opératoires de la symétrie. Nous nous appuyons sur ces
formulations pour les valider ou les invalider lors de la mise en commun (phase de
validation).
À la fin de chaque séance, nous faisons une synthèse (phase d'institutionnalisation). Cette
étape permet aussi de faire une transition entre l’environnement Cabri et le papier crayon.
En particulier au niveau de l’utilisation des instruments géométriques.
Phase 3 : Évaluation
Dans l’environnement papier-crayon, nous proposons des situations permettant d'évaluer
les apprentissages sur les invariants opératoires étudiés lors de la phase 2. L’analyse des
résultats de cette phase nous permettra de mesurer l’évolution par rapport à la phase 1.
La conception de chaque phase est faite en s’appuyant sur l’analyse des résultats des
phases précédentes.
Analyse des situations proposées et résultats
Les situations que nous proposons sont construites en tenant compte des variables
didactiques suivantes :
- Symétrie : nous proposons des figures symétriques (PC4, PC8, PC11) et non
symétriques afin d’éviter que les élèves répondent systématiquement par « non », sous
l’effet du contrat didactique.
- L’orientation de l’axe : l’axe peut être horizontal, vertical ou oblique (proche de la
première bissectrice, de la verticale ou de l’horizontal). Nous avons fait le choix de
l’orientation oblique de l’axe pour rendre compte des invariants opératoires disponibles
chez les élèves. En effet, quand l’axe est vertical ou horizontal on se trouve souvent
dans le domaine de validité de certaines conceptions erronées. Par exemple,
l’invariant « équidistance selon la direction horizontale » donne une réponse correcte
quand l’axe est vertical.
- Choix des figures : nous avons choisi les figures par rapport aux invariants
opératoires. Nous explicitons ces choix dans chaque phase.
Phase 1 : Évaluation diagnostique dans un environnement statique
C’est une phase de diagnostic autour des invariants que nous désirons travailler lors de la
phase 2 d’apprentissage. Ainsi, lors de cette phase, des situations sont proposées mettant
en avant le retournement, le non-parallélisme, l’orthogonalité et la distance. L’analyse des
résultats permettra de vérifier si l’environnement Cabri favorise l’apprentissage de la
symétrie orthogonale et la déstabilisation des conceptions erronées.
68
Les situations
Même si les situations (annexe 2) sont conçues dans le but de diagnostiquer un invariant
particulier, elles peuvent aussi être l’occasion de repérer les autres invariants.
Retournement
Pour vérifier la disponibilité ou non de cet invariant, nous proposons quatre situations
(PC1, PC5, PC9 et PC10) où les figures sont toutes orientées et dont le retournement n’est
pas respecté. Même si les figures ne sont pas symétriques, nous essayons de respecter au
maximum les autres invariants afin de dégager l’invariant « retournement ».
Par exemple, dans la situation PC1, l’invariant « retournement » n’est pas respecté alors
que les invariants « équidistance globale » et « orthogonalité » sont respectés.
Non parallélisme
Pour vérifier la disponibilité ou non de cet invariant, nous proposons trois situations (PC3,
PC7, PC13) où l’invariant « non parallélisme » n’est pas respecté alors que l’équidistance
globale l’est. Les figures des situations PC3 et PC7 sont des segments ou des formes
simples, non orientées, composées de segments. Les segments sont parallèles entre eux et
non parallèles à l’axe. De plus, les segments sont verticaux. Cette configuration est en
contradiction avec la configuration prototypique selon laquelle l’axe serait vertical.
La situation PC13 met en avant plusieurs invariants en fonction des points proposés (B1,
B2, B3 et B4). Le point B1 respecte l’orthogonalité, mais ne respecte pas l’équidistance
alors que le point B4 respecte l’équidistance mais ne respecte pas l’orthogonalité. Le choix
de ces deux points donne des segments parallèles au segment [AB], il nous permet ainsi
d’identifier la prégnance de cet invariant par rapport aux autres.
Orthogonalité
Pour vérifier la disponibilité ou non de cet invariant, nous proposons quatre situations
(PC2, PC6, PC12 et PC13) où l’invariant « orthogonalité » n’est pas été respecté alors que
l’équidistance globale et le retournement le sont. Pour les situations PC6 et PC12, les
figures se réduisent à un point et un cercle. Nous faisons ce choix pour mieux mettre en
évidence le non-respect de l’orthogonalité et privilégier l’aspect analytique qui est souvent
négligé par rapport à l’aspect global.
Concernant la situation PC 13, seuls les points B1 et B2 respectent l’orthogonalité. Le
point B2 permet de construire le vrai symétrique de [AB]. La disponibilité des invariants
« équidistance », « non parallélisme » ou « retournement » permet de choisir entre les deux
points.
Résultats et analyse
Pour l'analyse, nous nous sommes appuyées sur les réponses aux questions et aussi sur les
justifications avancées par les élèves y compris dans les situations où les figures sont
symétriques. Le tableau ci-dessous illustre la disponibilité ou non des trois invariants dans
une classe de 22 élèves.
3
Invariants
Retournement
Non Parallélisme
Distance
Disponible
Non disponible
Autres3
7
14
1
5
14
3
5
7
10
Nous avons classé dans "autres" les cas où nus ne pouvons pas décider si l'invariant est disponible ou non.
69
L'analyse de toutes les justifications données par les élèves nous a permis de les regrouper
en trois catégories :
- Isométrie : pour les justifications qui expriment que les figures sont de même forme,
égalité de longueurs…
-
Actions matérielles : pour les justifications qui évoquent le pliage ou le miroir.
-
Positions des figures : pour les justifications qui expriment l'orientation de la figure, la
distance par rapport à l'axe…
Les résultats montrent que 50% des justifications sont dans la catégorie « isométrie ». Cela
confirme notre hypothèse qui exprime que la propriété d'isométrie de la transformation
« symétrie orthogonale » est disponible chez les élèves. 30% des justifications sont dans la
catégorie « positions des figures » et 20% des justifications sont dans la catégorie
« Actions matérielles ». Bien que l’environnement statique « écran d’ordinateur » ne
permette pas d'actions matérielles, certains élèves évoquent l'action de pliage. Les résultats
montrent que la référence à l'action de pliage a été souvent un obstacle chez les élèves.
Les résultats de la phase 1 montrent que les invariants « retournement », « non
parallélisme » et « orthogonalité » ne sont pas disponibles alors que l’invariant
« isométrie », comme nous l’avons supposé dans la problématique, est acquis chez la
majorité des élèves.
Ainsi, nous proposons dans la phase 2 une séquence d'apprentissage pour rendre disponible
ces trois invariants opératoires de la symétrie orthogonale.
Les résultats de cette phase montrent aussi que :
- parmi tous les élèves qui ont le « non parallélisme », un seul d’entre eux n’a pas encore
acquis le retournement ;
- parmi les sept élèves qui ont acquis l’invariant « retournement », cinq élèves ont
dépassé l’invariant « parallélisme ».
70
Ces deux dernières observations vont dans le sens de notre hypothèse 1 selon laquelle la
disponibilité de l’invariant « retournement » facilite la déstabilisation de l’invariant
« parallélisme ». Ainsi, ces observations auront un impact sur la programmation de la
séquence d’apprentissage sur Cabri que nous explicitons dans le paragraphe suivant.
Phase 2 : Apprentissage dans l’Environnement Cabri
Les situations
Comme nous l'avons dit dans la problématique, il existe des interrelations entre les
invariants opératoires. L’apprentissage des uns a des conséquences sur l’apprentissage des
autres. En nous appuyant sur l’hypothèse 1, nous mettons en place une programmation de
l'apprentissage comme suit : Retournement / Non parallélisme / Orthogonalité / Distance.
Chaque situation met l'accent sur un invariant, qui constitue l'objectif principal, mais elle
peut être aussi l'occasion de travailler d'autres invariants.
Pour la conception des situations, nous avons fait l'hypothèse que les élèves savent qu’un
objet ne peut posséder qu’une seule image par rapport à un axe de symétrie donné.
Après l’apprentissage autour des deux premiers invariants, nous proposons une situation
intermédiaire de réinvestissement, le jeu du miroir.
Retournement
L’objectif est de travailler autour de l’invariant « retournement ». Nous reprenons deux
situations PC1 et PC5 de la phase 1 à partir desquelles nous construisons les situations
Cab1 et Cab5, dans l’environnement cabri selon le principe ci-dessous.
Principe de conception de la situation Cab1
Les objets de la figure de la situation PC1 sont
représentés dans cabri dans la même disposition.
Ces objets, F, F1 et l’axe, sont punaisés et en pointillés.
Ils représentent la trace de la position initiale des
objets.
F
F1
D
Une figure isométrique à F, et une droite D sont
données.
Elles peuvent être déplacées par l’élève. La figure F se
déplace sans se déformer. L’élève peut déplacer la
figure par translation à partir du point A et par rotation
autour du point A à partir du point B.
La droite D peut être déplacée à partir de deux points
de base.
A
F
F1
B
D
A
À l’ouverture du fichier l’élève se trouve devant l’écran
ci-contre.
Le statut de ces figures est expliqué aux élèves au début
de la séance.
F
F1
B
D
71
Mise en place de la situation Cab1
Les élèves ont travaillé en suivant les étapes de la consigne suivante :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Déplace F à partir des points A et B. Déplace la droite D à partir de ses points de base.
En pointillés sont représentées les positions de l'axe de symétrie et des figures F et F1 de
l'exercice 1.
Construis à l'aide de Cabri le symétrique de la figure F par rapport à la droite D. On
l'appelle F'. (Attention à ne pas utiliser la droite en pointillés)
Remets la droite D sur sa position initiale. Remettre F sur sa position initiale.
Compare avec ta réponse de l'exercice1. Collectif 1
En déplaçant la figure F, peut-on superposer F' avec F1 ? Collectif 2
Reprends la question de l’exercice. Maintiens- tu ta réponse ? Collectif 3
Pourquoi F1 n'est pas le symétrique de F par rapport à D ?
Les deux premières étapes ont pour objectif la construction à l’aide de Cabri du symétrique
de la figure F. Les élèves ont été familiarisés avec la construction du symétrique d'une
figure dans Cabri par l'utilisation de la primitive « symétrie axiale ». La première étape a
pour rôle d’éviter l’ambiguïté entre deux figures lorsqu’elles sont superposées.
L’étape 3 a pour objectif de revenir sur les positions de la situation PC1 (cf. Figure 6).
Ensuite, à l’étape 4, les élèves valident leur réponse de la phase 1.
À l’étape 5, les élèves cherchent s’il existe une position de F telle que son image F’ soit
superposée avec F1 (cf. Figure 7). Le déplacement dans l’environnement Cabri permet de
voir expérimentalement qu’il est impossible de superposer F’ et F1.
B
A
F
F1
B
F
F1
A
Figure 6
Figure 7
L’étape 7 est une phase de formulation, elle nous permet d’effectuer une synthèse sur le
retournement.
Parallélisme
L’objectif est de rendre disponible l’invariant « non parallélisme » et de déstabiliser
l’invariant « parallélisme ».
Nous reprenons les situations PC3 et PC13 de la phase 1 à partir desquelles nous
construisons les situations Cab3 et Cab13 dans l’environnement cabri selon un principe
analogue à la conception Cab1.
Dans la situation Cab13, le déplacement dans l’environnement Cabri permet d’explorer les
différentes positions du segment pour qu’il soit parallèle à son symétrique. La verbalisation
des résultats permet de formuler l’invariant « non-parallélisme » selon lequel deux
segments symétriques ne sont pas forcément parallèles sauf lorsqu’ils le sont à l’axe de
symétrie.
Réinvestissement : le jeu du miroir.
Cette situation intermédiaire (annexe 3) permet, avant de continuer l’apprentissage des
autres invariants, de s’arrêter sur les deux invariants « retournement » et « non
parallélisme » afin de mieux les intérioriser. L’anticipation, la démarche par essais-erreurs
et l’observation, font de cette situation une étape favorable pour ces deux invariants.
72
En effet, le but de ce jeu par binôme est de retrouver le symétrique de la figure. La figure
choisie est complexe, composée de sous-figures simples (segments, triangles, cercle et arc
de cercle), représentant un bonhomme. Les segments peuvent être parallèles,
perpendiculaires ou quelconques par rapport à l’axe de symétrie. L’orientation de la figure
est accentuée afin de mobiliser l’invariant « retournement ». Avant chaque validation par
Cabri, un des deux joueurs, à tour de rôle, anticipe la position et l’orientation du
symétrique d’une sous-figure composant le bonhomme. Pour cela, il doit repérer à l’aide
des primitives « point », « segment » ou « cercle » selon le besoin, les sous figures ou les
points caractéristiques des sous-figures.
Orthogonalité
L’objectif est de favoriser l’invariant « orthogonalité ». Plus précisément, nous proposons
de déstabiliser le report horizontal et mettre en évidence l'orthogonalité entre l'axe de
symétrie et le segment joignant un point et son image.
Principe de conception de la situation Cab2
Nous reprenons la situation PC2 de la phase 1 à partir de laquelle nous construisons la
situation Cab2 dans l’environnement cabri selon le même principe que nous avons décrit
pour la situation PC1. La figure image est obtenue par le rappel horizontal de la figure
objet. Nous choisissons une figure qui évoque une voiture pour réinvestir l'invariant
« retournement » et souligner son insuffisance dans certains cas.
Mise en place de la situation Cab2
Les premières étapes sont conçues de la même manière que les situations Cab1 et Cab3.
Nous explicitons ci-dessous uniquement les étapes différentes et qui visent un objectif
particulier.
10. Construis le segment [AA'] (A' est le
symétrique de A par rapport à D).
11. Remets la figure V dans sa position initiale.
Collectif 4.
12. Déplace V et D. Place un point sur le polygone
V.
13. Construis le symétrique de ce point par
rapport à D.
14. Construis un segment qui relie les deux points.
15. Choisis l’option animation de l’avant dernière
icône.
16. Anime le point (Attention, sans trop de force.)
17. Que remarques-tu ? Collectif 5
18. Valide avec Cabri.
19. Déplace l’axe. Les segments sont-ils toujours
perpendiculaires à l’axe de symétrie?
Les étapes 10 et 14 permettent de dégager l’invariant « orthogonalité ». L’option animation
proposée dans l’étape 16 insiste sur la persistance de cette propriété quel que soit le point
de la figure. Il s’agit ici d’aborder de manière implicite l’aspect analytique de la symétrie
73
orthogonale. Le déplacement effectué dans l’étape 19 montre aussi la conservation de cette
propriété indépendamment de l’orientation de l’axe de symétrie.
Distance
L’objectif est de rendre disponible l’invariant « distance » et de déstabiliser l’invariant
« équidistance ». Nous travaillons l’invariant « distance » après celui de l’orthogonalité car
ce dernier lui est nécessaire.
Nous reprenons la situation PC12 de la phase 1 à partir de laquelle nous construisons la
situation Cab12 dans l’environnement Cabri. Le principe de la conception de la situation
Cabri est le même que celui de la situation PC1.
La consigne de cette situation est différente des précédentes. En effet, la validation des
réponses ne se fait pas par Cabri, mais c’est l’élève, par la mobilisation de l’invariant
« orthogonalité » étudié lors da la séance précédente, qui doit valider sa réponse. Ainsi,
nous réalisons un nouveau menu où l’option « symétrie axiale » est cachée sous un autre
nom, sous forme d’une macro. Dans cette situation, nous demandons pour la première fois
aux élèves de réaliser la construction du symétrique d’un objet. Nous voulons en effet
vérifier l’hypothèse 4, dans l’environnement Cabri, selon laquelle la disponibilité des
invariants « orthogonalité » et « équidistance » est suffisante pour induire chez l’élève la
démarche de construction à l’aide des primitives géométriques de Cabri dans le menu. La
validation se fait à l’aide de la macro en expliquant aux élèves son statut.
À la fin de cette phase, trois points forts ont été dégagés et ont donné lieu à une leçon sous
forme d’une fiche de critères pour la reconnaissance d’une symétrie axiale.
Pour que deux figures soient symétriques :
1° Les figures doivent être retournées
c'est-à-dire qu’elles ne doivent pas
être dans le même sens.
2° Un segment et son symétrique ne
sont pas forcément parallèles sauf
lorsqu’ils sont parallèles à l’axe de
symétrie.
A
3° Un segment qui relie deux points
symétriques est perpendiculaire à
l’axe de symétrie.
(D)
(D)
(D)
A
A'
A et A' sont
symétriques
A'
A et A' ne sont
pas symétriques
(D)
Résultats et analyse
Nous avons constaté que les élèves utilisent le déplacement dans Cabri comme moyen
d'exploration et de conjecture. En effet, en observant le déplacement de la figure
symétrique, les élèves font passer la figure objet de l’autre côté de l’axe, coupent l’axe de
symétrie, tournent la figure autour d’un point et exploitent toutes les orientations possibles
de l’axe.
74
De plus l’exécution des différentes étapes des consignes données, a permis aux élèves de
percevoir certaines propriétés de la transformation.
De plus, les élèves utilisent les invariants étudiés dans les séances précédentes comme
éléments de contrôle lors de l'apprentissage d'autres invariants ou de la reconnaissance
d'une situation de symétrie. Nous avons ainsi constaté que l’apprentissage de l’invariant
« retournement » peut faciliter la déstabilisation de l’invariant « parallélisme ». De plus,
nous observons que la disponibilité des invariants « orthogonalité » et « équidistance » est
suffisante pour induire chez l’élève la démarche de construction à l’aide des primitives
géométriques de Cabri dans le menu (Hypothèse 4).
Le réinvestissement des différents invariants acquis, montre que le recours à un
environnement de géométrie dynamique est efficace pour l’apprentissage de la symétrie
orthogonale. En effet, la manipulation directe par les élèves des figures dans
l’environnement Cabri a favorisé l’observation et l’exploration des invariants géométriques
visés par notre enseignement et la déstabilisation des conceptions erronées.
Phase 3 : Évaluation dans l'environnement papier crayon
Les situations
C’est une phase d’évaluation finale autour des invariants travaillés lors de la phase 2
d’apprentissage. Ainsi, lors de cette phase, des situations sont proposées mettant en avant
le retournement, le non parallélisme, l’orthogonalité et la distance. L’analyse des résultats
permettra de mesurer l’évolution par rapport à la phase initiale.
Toutes les situations proposées dans cette phase sont jointes en annexe 4.
Situations de reconnaissance
Les situations PC17, PC20 et PC22 sont des fausses symétries alors que les situations
PC18, PC19 et PC21 sont des vraies symétries. Ces dernières obligent les élèves à vérifier
tous les invariants pour valider la réponse.
Ainsi, six situations de reconnaissance d’une symétrie sont construites selon le même
principe que la phase 1 de diagnostic. Elles mettent en avant le retournement (PC17), le
parallélisme (PC22) et l’orthogonalité (PC20). Même si les situations sont conçues dans le
but d’évaluer un invariant particulier, les élèves peuvent privilégier un autre invariant dans
leur argumentation.
Situations de construction
Les situations PC23 et PC24 sont des situations de construction extraites des évaluations
de 6ème. Nous choisissons ces situations pour vérifier si les connaissances acquises par
l’élève lors de l’apprentissage avec Cabri sont transférables sur un autre support.
La situation PC25 est une situation de construction du symétrique d’un point par rapport à
un axe oblique. Elle nous permettra de vérifier l’hypothèse 3, dans l’environnement papier
crayon, selon laquelle la disponibilité des invariants « orthogonalité » et « équidistance »
est suffisante pour induire chez l’élève la démarche de construction à l’aide des
instruments géométriques.
75
Résultats et analyse
Situations de reconnaissance.
Le tableau ci-dessous illustre la disponibilité ou non des trois invariants dans une classe de
22 élèves.
Invariants
Retournement
Non Parallélisme
Distance
Disponible
Non disponible
Autres
20
1
1
10
6
6
16
6
0
Situations de construction.
Situation
Réussie
Non réussie
PC 23
17
(11 utilisent les instruments)
5
(4 utilisent le réseau)
PC 24
11
(7 utilisent les instruments)
11
(10 utilisent le quadrillage)
PC 25
15
7
Les élèves réussissent mieux dans la situation PC23 que dans la situation PC24. Nous
pensons que cette différence est probablement due à la complexité de la figure de la
situation 24 mais peut être aussi au support utilisé.
Nous remarquons chez certains élèves, dans les situations PC23 et PC24, une procédure de
construction par translation selon une direction perpendiculaire à l'axe comme cela a pu
être observé dans les résultats des évaluations nationales. Ces élèves sont revenus sur leur
réponse pour la modifier suite à un contrôle de l'invariant « retournement » (cf. annexe 5).
En effet, nous avons observé des traces de figures qui ont été effacées par les élèves avant
de recommencer. Un autre élève a procédé de la même façon en utilisant le contrôle par
l'invariant « isométrie ».
Nous constatons d'après les résultats de l'évaluation que presque tous les élèves y compris
ceux qui n'ont pas réussi la construction sont capables de contrôler leur réponse afin de la
valider. Ceci nous permet de dire que les connaissances acquises par les élèves lors de
l'apprentissage par Cabri ont bien été transférées sur un autre type de support et avec des
situations nouvelles pour les élèves.
De plus, nous remarquons une bonne réussite des élèves dans la situation PC25 concernant
la construction du symétrique d'un point. Nous rappelons qu'aucun apprentissage de
construction n'a été mis en place. Cependant, la disponibilité des invariants
« orthogonalité » et « équidistance » est suffisante pour induire chez les élèves la démarche
de construction du symétrique d'un point dans l'environnement papier crayon.
Synthèse et conclusion
Acquisition des invariants
La comparaison entre les résultats obtenus lors des phases 1 et 3 témoigne d’une évolution
dans l'apprentissage des trois invariants opératoires de la symétrie axiale (cf. graphique cidessous).
Le faible taux au niveau de l'invariant « non parallélisme » ne correspond pas à une
absence d'apprentissage mais uniquement à la difficulté de le repérer dans les arguments
76
des élèves. Cependant, nous constatons une réelle déstabilisation de l'invariant
« parallélisme ».
20
18
Nombre d'élèves
16
14
12
Phase 1
Phase 3
10
8
6
4
2
0
Retournement
Non
parallélisme
Distance
Évolution entre les phases 1 et 3
De plus, nous observons une forte évolution dans l'acquisition de l'invariant
« retournement ». Ceci a probablement pu engendrer la déstabilisation de l'invariant
« parallélisme » comme nous l'avons supposé dans notre hypothèse 1.
Nous remarquons une nette amélioration concernant l'invariant « distance ».
L'apprentissage a visé principalement l'invariant « orthogonalité » étant donné que
l'invariant « équidistance » était disponible chez les élèves comme nous l'avons supposé
dans notre problématique. Comme cela a été dit dans l'hypothèse 4, l'accumulation de ces
deux derniers invariants a bien induit chez les élèves la démarche de construction par
symétrie axiale du symétrique d'un point dans les environnements papier crayon et Cabri.
Décontextualisation des connaissances
Lors de l'évaluation finale, les élèves ont travaillé sur des situations nouvelles par le type
de tâche - nous sommes passés de situations de reconnaissance à des situations de
construction et de support - quadrillage ou un réseau pointé -.
La plupart des élèves ont réussi à construire le symétrique d'un point. La disponibilité des
invariants « orthogonalité » et « équidistance » était suffisante pour induire chez les élèves
la démarche de construction du symétrique d'un point dans l'environnement papier crayon.
Ainsi, on peut dire que l'apprentissage a eu lieu du moment que les élèves ont fait appel
aux connaissances apprises dans des situations différentes par la tâche et par le support.
Mobilisation des connaissances comme moyen de contrôle
Nous constatons, d'après les résultats, que presque tous les élèves y compris ceux qui n'ont
pas réussi la construction sont capables de contrôler leur réponse afin de la valider. Ceci
nous permet de dire que les connaissances acquises par les élèves lors de l'apprentissage
dans l’environnement Cabri ont bien été mobilisées comme moyen de contrôle et de
validation sur un type de support et de situations différents.
Cette mobilisation des connaissances dans d'autres situations démontre un réel
apprentissage. En effet, l'environnement Cabri, a permis, comme nous l'avons supposé
dans l'hypothèse 4, de constituer un milieu favorable pour l'étude des invariants
géométriques nécessaires à l'apprentissage de la symétrie axiale et la déstabilisation des
conceptions erronées.
77
Références bibliographiques
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Mathématiques Vol.10 n°2/3 pp. 241-285. La pensée sauvage, Grenoble.
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Grand N n°53, pp. 39-56.
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Grand N n°65, pp. 37-59.
BROUSSEAU, G. (1986) Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
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communication : quelles nouvelles compétences pour les enseignants ? Rapport de
recherche INRP. http://www.inrp.fr/Tecne/Rencontre/Chaach.pdf.
CHAACHOUA Y., DERBRE A., (2004) L'intégration du logiciel Cabri dans
l'enseignement de la géométrie à l'école primaire : Cas de la symétrie axiale. Mémoire
professionnel. IUFM de Grenoble.
GRENIER D. (1985) Quelques aspects de la symétrie orthogonale pour des élèves de
classes de 4ème et 3ème, Petit x n°7, IREM de Grenoble, pp. 57 – 69.
GRENIER D. (1988) Construction et étude du fonctionnement d’un processus
d’enseignement de la symétrie orthogonale en 6ème. Thèse. Université Joseph Fourier,
Grenoble.
TAHRI S. (1993) Modélisation de l'interaction didactique : un tuteur hybride sur CabriGéomètre pour analyse de décisions didactiques. Thèse. Université Joseph Fourier,
Grenoble.
VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels, Recherches en Didactique des
Mathématiques, vol.10 n°2-3, pp.133-170. La Pensée Sauvage, Grenoble.
78
Annexe 1 : Plan de séquence
Discipline : Mathématiques (Géométrie)
Classe : CM2
La symétrie axiale
Contenus de référence : Les invariants de la symétrie axiale.
Compétences visées :
-
Anticiper la place et l’orientation du symétrique d’un objet par rapport à un axe de
symétrie ;
Percevoir et mobiliser les propriétés de la symétrie axiale ;
Choisir et mobiliser un invariant plutôt qu’un autre.
Phase 1 (diagnostic) : séance 1 / Phase 2 (apprentissage) : séances 2 à 7 / Phase 3 (évaluation) : séance 8
Séances
Contenu/Démarche
(durée : 45 minutes)
1
Évaluation
diagnostique
2
Apprentissage
3
Apprentissage
4
Apprentissage
5
Apprentissage
6
Apprentissage
7
Entraînement
Des figures symétriques et non symétriques sont projetées sur des écrans
d’ordinateur et les élèves doivent dire si les figures sont symétriques ou non
en justifiant leur réponse sur une feuille de papier. Avant le passage à un
autre exercice, l’élève doit rendre la réponse de l’exercice précédent en
échange de la feuille prévue pour l’exercice suivant.
Travail en binômes autour de l’invariant « retournement » à partir de
situations proposées sur Cabri. Les élèves manipulent en suivant les
différentes étapes de la consigne.
Ces situations d’apprentissage sont tirées de l’évaluation diagnostique
réalisée précédemment.
Une synthèse collective est organisée en fin de séance.
Travail en binômes autour de l’invariant « non parallélisme » suivant la
même démarche que précédemment.
Travail en binômes autour de l’invariant « non parallélisme » et jeu du miroir
afin de mieux intérioriser les 2 invariants étudiés jusque-là.
Travail en binômes autour de l’invariant « orthogonalité » suivant la
démarche décrite précédemment.
Travail en binômes autour de l’invariant « distance » suivant la démarche
décrite précédemment.
Passage de l’environnement informatique à l’environnement papier crayon.
Travail à partir de situations de reconnaissance de symétrie sur papier crayon.
Correction collective effectuée avec Cabri à l’aide d’un vidéo-projecteur.
Évaluation à partir de situations de reconnaissance de symétrie sur papier
crayon, de constructions du symétrique d’une figure sur quadrillage et sur
Évaluation finale réseau pointé, du symétrique d’un point.
8
79
Annexe 2 : Les différentes situations de la phase 1
D
V
F
D
F1
V
V1
S1
S
D
Les deux figures F et F1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Les deux figures V et V1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Les deux figures S et S1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Situation PC1
Situation PC2
Situation PC3
C
N
T
D
D
T1
D
N1
C1
Les deux figures T et T1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Les deux figures N et N1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Les deux figures C et C1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Situation PC4
Situation PC5
Situation PC6
R
E
E1
R1
P1
P
D
D
D
Les deux figures R et R1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Les deux figures E et E1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Les deux figures P et P1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Situation PC7
Situation PC8
Situation PC9
D
D
F
D
F
F1
F1
Les deux figures F et F1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Les deux figures F et F1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Situation PC10
Situation PC11
80
P1
P
Les deux points P et P1 sont-ils
symétriques par rapport à D ?
Situation PC12
Annexe 3 : Les différentes situations de la phase 2
Retournement
Non parallélisme
Les deux figures F et F1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Les deux figures N et N1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Situation PC1
Situation PC5
Les deux figures N et N1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Situation PC3
Situation PC13
Le jeu du miroir
Distance
D
V
V
V1
D
F
Les deux figures V et V1 sont-elles
symétriques par rapport à D ?
Situation PC2
D
P1
P
Les deux points P et P1 sont-ils symétriques
par rapport à D ?
Situation PC11
Situation PC12
81
Annexe 4 : Les différentes situations de la phase 3
S
C
A
B
D
B
A
B
A
E
F
F
D
C
H
G
G
H
F
G
I
J
E
I
D
C
J
E
C
F
A
H
H
Ces deux figures sont-elles
Ces deux figures sont-elles
Ces deux figuresDsont-elles E
symétriques ?
symétriques ?
symétriques ?
Pourquoi ?
Pourquoi ?
Pourquoi ?
Situation PC17
Situation PC18
Situation PC19
C
B
G
A
F
B
H
A
A
G
C
H
D
C
E
D
I
J
E
F
B
G
B
K
D
L
Ces deux figures sont-elles
Ces deux figures sont-elles
Ces deux figures sont-elles
symétriques ?
symétriques ?
symétriques ?
Pourquoi ?
Pourquoi ??
Pourquoi ?
Situation PC20
Situation PC21
Situation PC22
D
A
Construis le symétrique du point A par
rapport à la droite D
Situation PC23
82
Situation PC24
Situation PC25
Annexe 5 : Jeu du miroir
Construction du symétrique du bonhomme
D
F
Règle du jeu
1. Avant chaque construction, devine l’endroit où va apparaître le symétrique de
chaque partie, en repérant à l’aide des « points », « segments » ou « cercle » selon
le besoin, les parties du corps du bonhomme.
2. À l’aide de Cabri, construis le symétrique, par rapport à l’axe de symétrie D, de
chaque partie du bonhomme dans l’ordre du tableau.
3. L'autre joueur valide ta réponse et note ton score sur le tableau :
- 0 point pour une réponse fausse
- 1 point pour une réponse juste.
Nom prénom
Joueur 1
Joueur 2
Joueur qui joue
Partie du corps
L'autre joueur note le score
Score1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Score2
Corps
Tête
Jambe1
Jambe 2
Pied1
Pied2
Bras1
Bras2
Oeil1
Oeil2
Bouche
Nez
Total
83