Préparation au DNB : Fiche n°1
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Préparation au DNB : Fiche n°1
Préparation au DNB : Fiche n°1 Exercice 1 : 4 pts 15 min Trouver le nombre auquel je pense. Je pense à un nombre. Je lui soustrais 10. J’élève le tout au carré. Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j’ai pensé. J’obtiens alors : -340 Exercice 1 : Soit x un nombre entier. Je lui soustrais 10. J’obtiens l’expression : x – 10 J’élève le tout au carré. J’obtiens l’expression : (x – 10)2 Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j’ai pensé. J’obtiens l’expression : (x – 10)2 - x2 J’obtiens alors -340. J’obtiens alors l’équation : (x – 10)2 - x2 = -340 Etape 1 : je développe et réduis l’expression : (x – 10)2 - x2 (x – 10)2 - x2 = (x – 10) × (x – 10) - x2 = x × x + x × (-10) + (-10) × x + (-10) × (-10) - x2 (x – 10)2 - x2 = x2 – 10x – 10x + 100 - x2 = – 20x + 100 Etape 2 : je résous l’équation : (x – 10)2 - x2 = -340 – 20x + 100 = -340 – 20x + 100 – 100 = -340 – 100 – 20 × x = -440 – 20 × x – 440 = – 20 – 20 x = 22 Etape 3 : je conclus : J’ai pensé au nombre 22. Vérification : Je pense à un nombre : 22 Je lui soustrais 10 : 22 – 10 = 12 J’élève le tout au carré : 122 = 144 Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j’ai pensé : 144 - 222 = 144 – 484 = -340 J’obtiens alors : -340 Exercice 2 : 4 pts 15 min Pour filmer les étapes d’une course cycliste, les réalisateurs de télévision utilisent des caméras installées sur deux motos et d’autres dans deux hélicoptères. Un avion relais, plus haut dans le ciel, recueille les images et joue le rôle d’une antenne relais. On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale. Le schéma ci-contre illustre cette situation. L’avion relais (point A), le premier hélicoptère (point L) et la première moto (point N) sont alignés. De la même manière, l’avion relais (point A), le deuxième hélicoptère (point H) et la deuxième moto (point M) sont également alignés. On sait que : AM = AN = 1 km ; HL = 270 m et AH = AL = 720 m. 1) Relever la phrase de l’énoncé qui permet d’affirmer que les droites (LH) et (MN) sont parallèles. 1 pt 2) Calculer la distance MN entre les deux motos. 3 pts Exercice 2 : Schéma de la situation : AM = AN = 1 km = 1 000 m. 1) La phrase de l’énoncé qui permet d’affirmer que les droites (LH) et (MN) sont parallèles est : « On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale. » 2) Je sais que les droites (LH) et (MN) sont parallèles et je reconnais que les triangles AHL et AMN sont en configuration de Thalès. AH AL HL D’après le théorème de Thalès, on a : = = AM AN MN 720 720 270 Donc = = 1 000 1 000 MN D’après l’égalité des produits en croix : MN × 720 = 1 000 × 270 270 000 MN = = 375 720 La distance entre les deux motos est de 375 mètres. Exercice 3 : 4 pts 15 min Un chocolatier vient de fabriquer 2 622 œufs de Pâques et 2 530 poissons en chocolat. Il souhaite vendre des assortiments d’œufs et de poissons de façon que : Tous les paquets aient la même composition ; Après mise en paquets, il ne reste ni œufs, ni poissons. 1) Le chocolatier peut-il faire 19 paquets ? Justifier. 1,5 pts 2) Quel est le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser ? Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque paquet ? 2,5 pts Exercice 3 : 1) 2 622 = 138 × 19. Si le chocolatier réalise 19 paquets, chacun d’entre eux contiendra 138 œufs de Pâques. Il n’en restera pas. 2 530 = 133 × 19 + 3. Si le chocolatier réalise 19 paquets, chacun d’entre eux contiendra 133 poissons au chocolat et il en restera 3. Or le chocolatier veut qu’il ne lui reste ni œufs, ni poissons. Il ne peut donc pas faire 19 paquets. 2) Le chocolatier veut faire des paquets en utilisant l’intégralité des 2 622 œufs de Pâques et en les répartissant équitablement. Je cherche donc un diviseur de 2 622. De même, je cherche un diviseur de 2 530. Le chocolatier veut faire un nombre maximal de paquets, je cherche donc le plus grand diviseur commun à 2 622 et à 2 530. Méthode 1 Les diviseurs de 2 622 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 19 ; 23 ; 38 ; 46 ; 57 ; 69 ; 114 ; 138 ; 437 ; 874 ; 1 311 ; 2 622. Les diviseurs de 2 530 sont : 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 11 ; 22 ; 23 ; 46 ; 55 ; 110 ; 115 ; 230 ; 253 ; 506 ; 1 265 ; 2 530. Les diviseurs communs de 2 622 et de 2 530 sont : 1 ; 2 ; 23 ; 46. Méthode 2 2 622 – 2 530 = 92 2 530 – 92 = 2 438 2 438 – 92 = 2 346 2 346 – 92 = 2 254 2 254 – 92 = 2 162 2 162 – 92 = 2 070 2 070 – 92 = 1978 1 978 – 92 = 1 886 1 886 – 92 = 1 794 1 794 – 92 = 1 702 1 702 – 92 = 1 610 1 610 – 92 = 1 518 1 518 – 92 = 1 426 1 426 – 92 = 1 334 1 334 – 92 = 1 242 Méthode 3 1 242 – 92 = 1 150 2 622 = 1 × 2 530 + 92 1 150 – 92 = 1 058 2 530 = 27 × 92 + 46 1 058 – 92 = 966 92 = 2 × 46 + 0 966 – 92 = 874 874 – 92 = 782 782 – 92 = 690 690 – 92 = 598 598 – 92 = 506 506 – 92 = 414 414 – 92 = 322 322 – 92 = 230 230 – 92 = 138 138 – 92 = 46 92 – 46 = 46 46 – 46 = 0 PGCD(2 622 ;2 530) = 46. Le chocolatier peut faire au maximum 46 paquets. 2 622 ÷ 46 = 57. Il y aura dans chaque paquet 57 œufs de Pâques. 2 530 ÷ 46 = 55. Il y aura dans chaque paquet 55 poissons au chocolat.