MODELISATION DE L`EFFET DE LA FRANGE CAPILLAIRE SUR L

12ème Congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 - Casablanca (Maroc)
MODELISATION DE L’EFFET DE
LA FRANGE CAPILLAIRE SUR
L’ECOULEMENT DANS UN MILIEU
POREUX NON SATURE-SATURE
de largeur 2L.
22On considère un problème de
symétrie par rapport à oz.
Z
Bande d ’i nfiltratio n
Fl ux nul
X
L0
KARRA R., MASLOUHI A.
Laboratoire Interdsciplinaire en Ressources Naturelles et en
Environnement (LIRNE)
Université IBN TOFAIL, Faculté des Sciences de Kenitra,
BP n° 133, Maroc
q0
Fl u x n u l
e0
Fl u x n u l
Niveau initial de la nappe
e
* Correspondance,
Réservoir
H0
E-mail:[email protected]
Flu x n u l
1- Introduction
Dans cette étude, on propose un modèle numérique pour
simuler l’écoulement de l’eau dans un milieu poreux non
saturé-saturé. Le développement d’un modèle physique
pour la description de l’effet de la frange capillaire sur
l’écoulement, à travers une continuité physique entre la
zone saturée et la zone non saturée vise à mieux
comprendre le comportement hydrique de la frange
capillaire.Pour ce faire, on utilise la transformée de
Kirchhoff de l’équation de Richard pour résoudre ce
problème en régime stationnaire. Ceci consiste à présenter
dans un même continuum la zone saturée et la zone non
saturée sous jacente avec intégration au niveau de
l’interface des deux zones de la frange capillaire.
La modélisation numérique est basée sur l’utilisation de la
du code de calcul d’éléments finis (Freefem++)). Pour les
besoins de la présente étude, le code d’élément finis a été
adapté aux équations utilisées. L’avantage de l’utilisation
de ce code, est qu’il permet de générer des maillages autoadaptatifs, cette démarche est intéressante pour l’étude des
transferts au niveau des zones singulières, notamment au
niveau de la frange capillaire et de la bande d’infiltration.
Le modèle numérique a été validé à partir des données
expérimentales effectuées au niveau du modèle réduit.
2. Position du problème
Le problème de couplage entre la zone non saturée, la zone
saturée et la frange capillaire permet de mieux identifier la
limite séparant les domaines, et la dynamique régissant le
flux hydrique.
La figure 1 définie la géométrie du système étudié. Les
limites du domaine d’écoulement sont :
a Une surface horizontale supérieure (surface du sol)
sur une partie à laquelle est appliquée un flux constant q0,
provoquant l’infiltration. La bande d’infiltration pourra
simuler soit un canal d’irrigation, soit un bassin
d’alimentation artificielle.
b- Des tranchées équidistantes de l’axe de la bande
d’infiltration où l’on pourra imposer un plan d’eau limitant
l’épaisseur de la nappe. Chaque tranchée peut simuler un
fossé de drainage.
Le problème étudié est donc un problème plan. On
considère le système d’axe xoz, l’axe ox étant confondu
avec la surface du sol, l’axe oz étant orienté positivement
vers le haut et le point o étant au centre de la tranche de sol
L
Figure 1 : Représentation schématique du problème de la
recharge de la nappe.
3. Modèle mathématique
Définition de la frange capillaire
On considère que les deux zones non saturée-saturée
forment un milieu qui peut être considéré comme un seul
continuum séparée par une couche à capillarité variable.
Au-dessus du niveau de la nappe, s’applique une faible
tension capillaire qui laisse les pores du sol quasi rempli
d’eau avec une faible quantité d’air. Il s'agit de la zone de
la frange capillaire, qui est située entre la zone saturée et la
zone non saturée (Silliman and al, 2001).Elle dispose d’une
étendue verticale, ce qui affecte le profil des eaux de
recouvrement du sol et le ruissellement de surface. Ceci
détermine la quantité d’eau qui va s'infiltrer dans les eaux
souterraines et la quantité qui va ruisseler au niveau de la
surface. Elle dispose également d'un débit d'écoulement
capillaire, ce qui permet au sol de fournir de l'eau pour la
zone racinaire. L'épaisseur de la frange capillaire est égale à
la valeur de la pression d'entrée d'air, ou à la succion
nécessaire pour l'air de pénétrer dans les pores.
Dans la frange capillaire l’espace entre les pores est
complètement saturée, et la seule distinction entre cette
couche et la zone saturée est la pression entre les pores qui
est inférieure à la pression atmosphérique.
Modèle de Gardner :
Plusieurs modèles empiriques sont utilisés pour décrire les
propriétés hydrodynamiques du sol. Le modèle de Gardner
fut l’un des premiers à être largement adopter, il permet
d’exprimer les propriétés du sol sous une forme
exponentielle (Gardner, 1958), et fut modifiée par (Philip,
1969).
La teneur en eau θ (h ) est exprimé par :
θ (h) θ (h) − θ r
S e (h) = e
=
= exp(β (h − he )) pour h ≤ he
θ es
θs − θr
(1)
θ (h) − θ r
S e (h) =
=1
pour h > he
θs − θr
Et la fonction de conductivité hydraulique K ( h ) par:
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K ( h ) = K s exp( α G ( h − he )) pour h ≤ he
K (h) = K s
pour h > he
(2)
h e : la pression d’entrée d’air est défini comme la
pressionde succion à laquelle l’air commence à déplacer
l’eau des pores (apparition des premiers bulles).
α G : est une propriété du sol, elle dépend principalement
de la taille et distribution des pores. α G mesure en fait,
l’importance relative entre la gravité et la capillarité de
l’eau en mouvement dans un milieu poreux.
Equation de l’écoulement de la zone non saturée
problème est posé en termes de potentiel de décharge
(Wong S et Craig JR, 2010) :
φ2 = K s (h + z) (9)
La loi de Darcy exprime la proportionnalité entre le
gradient hydraulique et la vitesse de décharge :
∂H ∂(K s H )
q = Ks
=
∂z
∂z
En combinaison avec la loi de conservation de la masse :
r
r
r
div(q) = 0 et V = grad (φ2 )
D’où :
∂ 2φ 2
L’équation du mouvement pour la zone non saturée est
basée sur l’équation de Richard exprimée en 2D :
∂ 
∂h 
∂ 
∂h 
∂
K (h ) = 0
 K (h )
 +
 K (h)
 +
∂x 
∂x 
∂z 
∂z 
∂z
(3)
L’approche utilisée, consiste à utiliser la transformation
intégrale de Kirchhoff pour transformer l’équation (3),
définie par :
∫
h
φ (h) = φref (h) + K ( s) ds
h ≤ he
ref
Avec φ (h ) le potentiel de Kirchhoff, φref
potentiel de
∫
φ1 (h) = K ( s) ds
d’où :
−∞
h ≤ he (5)
On utilise la forme intégrale de Leibniz à une seule
variable :
∂
∂h
φ1 (h) = K (h)
∂x
∂x
et
∂
∂h
φ1 (h) = K (h)
(6)
∂z
∂z
∫
∫
h
φ1 (h) = K (s) ds = K s exp(α G (h − he ))dh
−∞
=
−∞
(7)
K (h)
αG
En combinant les relations (3), (6) et (7), on obtient
l’équation quasi-linéaire de Richard caractérisant
l’écoulement permanent de l’eau dans le milieu non saturé:
∂ φ1
∂ φ1
∂ φ1
+
+αG
=0
2
2
∂z
∂x
∂z
2
∂z 2
=0
(10)
Sur les deux cotés du domaine nous avons un flux
horizontal nul. La formule équivalente est :
∂φ
= 0
∂x
pour
∂φ
=0
∂x
x = 0, ∀ z
pour x = L , z = e0
Au fond du bassin le flux vertical est nul, donc :
∂φ 2
= 0
∂z
∀ x, z = (e0 + H 0 )
A x=0 et en dehors de la bande d’infiltration, le flux est nul.
Pour la zone non saturée, le flux horizontal est nul.
Le flux vertical impose sur la bande d’infiltration :
∂ φ1
= q0
∂z
La pression effective :
Par ailleurs, on combine le modèle de Gardner avec la
formule du potentiel de Kirchhoff :
h
∂ 2φ 2
Conditions aux limites :
(4)
référence souvent pris nul pour des commodités de calcul
h
∂x 2
+
2
(8)
Equation de l’écoulement de la zone saturée et la frange
capillaire
Nous allons déterminer l’équation régissant l’écoulement
en fonction du potentiel de décharge dans la zone saturée et
la frange capillaire. En fait, la même équation régie la zone
saturée et la frange capillaire, ce choix est justifié par la
nature saturée des pores de la frange capillaire. Donc, le
Après la résolution du problème posé en termes de
potentiel, nous allons, déterminer, la pression effective et
hydrostatique en fonction du potentiel. La combinaison du
potentiel de Kirchhoff (5) avec l’expression la fonction de
la conductivité hydraulique (2), donne :
φ1 =
Ke
αG
exp( α G h )
D’où :
α φ
1
h=
ln( G 1 )
αG
Ke
Avec: K e = K s exp( − α G h e )
À saturation, la pression hydrostatique est :
φ2
h=
Ks
−z
(11)
(12)
(13)
Le flux de Darcy exprimé en fonction du potentiel donne :
∂φ
∂φ
qx = −
et q z = −
− α Gφ
(14)
∂x
∂z
La limite entre la zone non saturée et la frange capillaire :
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D’après le modèle de Gardner :
α φ
1
ln( G 1 ) < 0 et
(θ s −θ r ) exp(β (h − he )) +θ r < θ s
Ke
αG
D’où :
K
K
φ1 < e et
φ1 < e exp(αG he )
αG
αG
Et puisque αG he < 0 , on déduit la condition à la limite
entre la zone non saturée et la frange capillaire en fonction
du potentiel de Kirchhoff:
Ks
φ1 <
(15)
αG
La limite entre la frange capillaire et la zone saturée ne pose
pas de difficulté, puisque la nappe phréatique caractérise
cette limite.
2 00
simulé
me suré
1 50
Z(cm)
Nous nous basons sur les définitions de la zone saturée et
non saturée, pour déterminer la limite séparant les deux
zones.
Pour décrire la zone non saturée nous allons utiliser des
conditions sur la pression effective et la teneur en eau, à
savoir :
h<0
et
θ <θs
1 00
50
0
0
50
10 0
150
2 00
2 50
30 0
X(cm )
Figure 2: Le niveau de la nappe phréatique mesuré et
simulé.
La figure 3 montre clairement l’effet de la frange capillaire
séparant les deux zones sur l’écoulement La plupart des
études se basent sur l’expérience et l’observation pour
déterminer la frange capillaire (Silliman and al, 2001).
Dans ce modèle, nous avons pu identifier clairement les
contours de la frange capillaire, surtout la limite supérieure
entre la frange capillaire et la zone non saturée qui est
difficile à déterminer.
3. Traitement numérique
Pour résoudre les différentes équations de notre système,
nous avons utilisé un schéma à éléments finis. Pour ce faire,
nous avons utilisé le code Freefem++. Pour les besoins de
notre étude, la source du code a été modifiée et adaptée aux
problèmes d’écoulement de l’eau dans les milieux poreux
non saturé-saturé avec frange capillaire. Nous allons
utiliser, la capacité de Freefem++ pour générer
automatiquement, des maillages triangulaires autoadaptatifs
à partir des frontières du domaine du calcul. Dans tous les
essais numériques, nous avons utilisé des éléments finis de
degré zéro et un.
4. Résultats et Discussion
Pour valider le modèle utilisé, nous avons comparé les
résultats relatifs à la remontée du niveau piézométrique
de la nappe aux mesures expérimentales obtenues pour le
régime permanent (lemacha, 2006). La figure 2 représente
les profils de la surface libre mesurés et simulés par le
modèle numérique, relatifs au régime permanent atteint au
bout de 8 h. On remarque que les deux courbes convergent,
avec un taux d’erreur inférieure à 5%.
Figure 3: Représentation de la charge hydraulique et des
contours de la frange capillaire.
4- Conclusion
Pour modéliser les transferts hydriques dans la zone non
saturée, la frange capillaire et la zone saturée des aquifères
à nappe libre, nous avons utilisé une formulation
mathématique qui intègre les zones dans un seul continuum,
la résolution numérique est basée sur la méthode des
éléments finis. La percée principale du document est la
détermination des contours de la frange capillaire et son
intégration dans le continuum non saturée-saturée. Les
simulations numériques ont été validées par les résultats
expérimentaux. Le code Freefem++ basé sur la méthode
des éléments finis présente un avantage au niveau de la
qualité des résultats et ceci grâce à la possibilité de raffiner
le maillage automatiquement.
Références
Gardner W., (1958) ‘’Some steady state solutions of unsaturated
moisture flow equation with application to evaporation from a
water table. Soil Sci., 85: 228-232.
H. Lemacha, A.Maslouhi, M.Razack (2009)’’Modelling of water
flow and solute transport in saturated–unsaturated media using a
self adapting mesh’’IAHS Publ. 331, pages.480-487
E. Silliman, B. Berkowitz, J. Simunek. (2001), Fluid flow and
solute migration within the capillary fringe. (Vol 40 groundwater,
pages 76-84).
Wong S, Craig JR (2010) Series solutions for flow in stratified
aquifers
with
natural
geometry