Contribution `a l`étude des inférences

Transcription

Contribution à l’étude des inférences
argumentatives :
spécialisations et généralisations du
cadre de Dung
THÈSE
présentée et soutenue publiquement le vendredi 1er décembre 2006
en vue de l’obtention du
Doctorat de l’Université d’Artois
(Spécialité Informatique)
par
Caroline D EVRED
Composition du jury
Rapporteurs :
Philippe B ESNARD, Directeur de Recherche CNRS, IRIT
Marie-Laure M UGNIER, Maı̂tre de Conférences (HdR), LIRMM, Université de Montpellier 2
Examinateurs :
Claudette C AYROL, Professeur, IRIT, Université Paul Sabatier
Sylvie C OSTE -M ARQUIS, Maı̂tre de Conférences, CRIL, Université d’Artois (co-directrice de thèse)
Eric G RÉGOIRE, Professeur, CRIL, Université d’Artois
Sébastien KONIECZNY, Chargé de Recherche CNRS, CRIL
Marie-Christine L AGASQUIE -S CHIEX, Maı̂tre de Conférences, IRIT, Université Paul Sabatier
Pierre M ARQUIS, Professeur, CRIL, Université d’Artois (co-directeur de thèse)
U NIVERSIT É D ’A RTOIS – C ENTRE DE R ECHERCHE EN I NFORMATIQUE DE L ENS – CNRS FRE2499
rue de l’Université, SP 16 – F-62307 L ENS C EDEX
À Martine F RÉMONT et Chantal L.
i
ii
Remerciements
En premier lieu, je tiens à remercier Philippe B ESNARD et Marie-Laure M UGNIER qui ont eu la gentillesse d’accepter d’être les rapporteurs de mon travail. Merci du temps que vous avez consacré à la lecture
de ce manuscrit.
Ensuite, mes remerciements vont à Sylvie C OSTE -M ARQUIS et Pierre M ARQUIS, mes encadrants de
thèse, qui m’ont permis de découvrir le monde de la recherche et qui ont eu la patience de relire mes
multiples rapports préliminaires accompagnant chaque nouveau travail.
Je remercie aussi Eric G RÉGOIRE et Sébastien KONIECZNY pour leur participation au jury.
Je ne saurais oublier de remercier Claudette C AYROL et Marie-Christine L AGASQUIE -S HIEX qui
m’ont chaleureusement accueillie lors de mes séjours à l’IRIT. Ce fut très enrichissant de travailler avec
vous. Et encore merci à Marie-Christine pour son soutien indéfectible.
Je remercie de tout mon cœur chaque membre du CRIL, ce fut un réel plaisir de passer ces dernières
années parmi vous. Un merci spécial pour Bertrand, Nadine et Nathalie.
Comme tout n’est qu’une histoire de «jedis», je remercie aussi : Agnès, Caps, Carl-et-Delphine, Christophe, Crumble-et-les-autres, Fabien, Florence, Rodrigue-pour-Clémentine, Xav, Yannick, Zip, ainsi que
mon père et ma grand-mère Stéphanie toujours si fière de moi. Et les meilleurs : Pat et Rénat’, à moins que
ce ne soit Rénat’ et Pat :o) .
Encore merci à celles à qui cette thèse est dédiée. Je la leur dois.
iii
iv
Table des matières
Introduction
1
1
Contexte et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3
Plan du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Partie I État de l’art
7
Chapitre 1 Préliminaires formels
9
1.1
Logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1
Classes P, NP et coNP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.2
Réduction fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.3
Hiérarchie polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3
Quelques définitions de la théorie des graphes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4
Quelques définitions liées aux relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Chapitre 2 L’argumentation selon Dung
15
2.1
Système d’argumentation de Dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Complexité des relations d’inférence selon Dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3
Exprimer les systèmes d’argumentation à l’aide de formules propositionnelles . . . .
24
v
Table des matières
Chapitre 3 Autour du cadre de Dung
3.1
3.2
Partie II
Décomposition des systèmes d’argumentation en composantes strictement connexes .
27
3.1.1
Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.1.2
Quatre nouvelles sémantiques SCC-récursives . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.1.2.1
Au delà des extensions préférées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.1.2.2
Au delà de l’admissibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.1.3
Formulation des extensions de Dung en extensions SCC-récursives . . . . . .
35
3.1.4
Propriétés générales des sémantiques SCC-récursives . . . . . . . . . . . . .
37
Systèmes d’argumentation bipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2.1
Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2.2
Différentes sémantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Contributions
47
Chapitre 4 Inférences dans le cadre de Dung
49
4.1
Systèmes d’argumentations symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.2
Complexité des dérivabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Chapitre 5 Spécialisations du cadre de Dung
55
5.1
c-extensions et p-extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.2
Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.3
Comparaisons des capacités inférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.3.1
Capacité inférentielle des relations de c-inférence . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.3.2
Capacité inférentielle des relations de p-inférence . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.3.3
Comparaison des relations de c-inférence et de p-inférence avec l’inférence
classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.1
5.3.3.2
67
Comparaison des relations de p-inférence avec les relations d’inférence classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Comparaison des relations de p-inférence avec les relations de c-inférence . .
73
Complexité des relations de p-inférence et des relations de c-inférence . . . . . . . . .
75
5.3.4
5.4
67
Comparaison des relations de c-inférence avec les relations d’inférence classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
27
Chapitre 6 Généralisations du cadre de Dung
6.1
77
Traitement des arguments controversés dans les systèmes d’argumentation bipolaires .
77
6.1.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
6.1.2
Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6.1.3
Comparaisons des capacités inférentielles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.1.3.1
Capacité inférentielle des relations de bp-inférence . . . . . . . . .
87
6.1.3.2
Capacité inférentielle des relations de p-inférence . . . . . . . . . .
88
6.1.3.3
Comparaison des relations de bp-inférence avec les relations d’inférence classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3.4
Comparaison des relations de bp-inférence avec les relations de pinférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Récapitulatif des liens entre les différentes relations d’inférence . .
93
Complexité des relations de bp-inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Systèmes d’argumentation à contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
6.2.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
6.2.2
Propriétés et capacités inférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.2.3
Généralité de l’approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.4
Aspects calculatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.3.5
6.1.4
6.2
88
Chapitre 7 Fusion de systèmes d’argumentation
107
7.1
Systèmes d’argumentation partiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2
Opérateurs de fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3
Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.4
7.3.1
Propriétés des systèmes d’argumentation partiels et de l’expansion consensuelle120
7.3.2
Quelques propriétés de la fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Dérivabilité pour le résultat de la fusion de systèmes d’argumentation . . . . . . . . . 125
Conclusion et perspectives
131
Annexes
135
Annexe A Preuves du chapitre 4 : «Inférences dans le cadre de Dung»
137
vii
Table des matières
Annexe B Preuves du chapitre 5 : «Spécialisations du cadre de cadre de Dung»
141
Annexe C Exemples pour les sémantiques sans conflit indirect et sans controverse
171
Annexe D Preuves du chapitre 6 : «Généralisations du cadre de Dung»
177
D.1 Manipulation des arguments controversés dans les systèmes d’argumentation bipolaires 177
D.2 Systèmes d’argumentation à contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Annexe E Exemples pour les systèmes d’argumentation bipolaires
213
Annexe F Exemples pour les systèmes d’argumentation à contrainte
219
Annexe G Preuves du chapitre 7 : «Fusion de systèmes d’argumentation»
223
Bibliographie
233
Index
239
viii
Introduction
1
Contexte et motivations
L’intelligence artificielle est un domaine de recherche assez récent (cinquantenaire en 2006) qui a pour
objet l’étude des comportements dits «intelligents», dans la perspective d’une simulation informatique. Au
delà des tâches de perception, de tels comportements requièrent typiquement des tâches de raisonnement
et/ou de prises de décision. Grossièrement, un agent «intelligent» est censé «faire au mieux», en fonction
de ses intérêts compte tenu des informations dont il dispose ; celles-ci peuvent revêtir des formes diverses
et sont le plus souvent imparfaites (i.e. incomplètes, incertaines, voire contradictoires).
Nombreux sont les cadres formels développés pour modéliser des processus d’inférence ou de prise de
décisions. Ces cadres s’appuient typiquement sur des informations de natures variées (croyances, désirs,
actions, etc.) et ayant des degrés de sophistication plus ou moins grands (par exemple, les croyances d’un
agent peuvent être graduelles ou pas et porter uniquement sur le monde dans lequel l’agent agit, ou inclure
des croyances sur les croyances des autres agents).
Parmi eux figurent des cadres formels basés sur l’argumentation (voir entres autres (Dun95; Pol92;
SL92; EGFK93a; EGFK93b; EGH95; Vre97; BH01; AC02a; AC02b; Cay95; DNT02)). Souvent, un argument est considéré comme un couple (prémisses, conclusion) pouvant relier des informations diverses,
et être par exemple interprété comme une règle d’inférence ou une règle de décision. Ainsi, l’argument
(oiseau(T iti), vole(T iti)) peut vouloir signifier que l’agent qui fournit cet argument croit que la proposition «Titi est un oiseau» est vraie, et que, de ce fait, il a une raison de croire aussi que la proposition
«Titi vole» est vraie. Un argument comme (¬pluie, arroser) peut être vu comme une règle de décision
qui indique que l’agent qui le fournit croit qu’il ne pleut pas et que, de ce fait, l’action «arroser» doit être
réalisée.
Sur la base de tels arguments, l’agent doit être capable de dériver des conclusions, qui peuvent donc
être tout autant des croyances à admettre que des actions à accomplir. Pour ce faire, il va analyser les
interactions existant entre les arguments qu’il appréhende et considérer comme dérivables les conclusions associées aux arguments qui le sont. Les interactions à prendre en compte peuvent, elles aussi,
revêtir différentes formes. Parmi elles figurent les interactions de type «attaque» et les interactions de
type «support». Ainsi, un argument comme (autruche(T iti), ¬vole(T iti)), qui pose que l’agent croit que
«Titi est une autruche» et, de ce fait, que «Titi ne vole pas», attaque l’argument (oiseau(T iti), vole(T iti)).
Un argument comme «le tuyau d’arrosage est percé, donc il est impossible d’arroser» attaque l’argument
(¬pluie, arroser). Les relations de dérivation d’arguments sont donc typiquement non monotones puisque
l’ajout d’un argument attaquant un argument retenu jusque là peut suffire à l’éliminer. En règle générale,
aucune hypothèse sur la complétude de l’ensemble des arguments considérés n’est faite ; en particulier,
l’absence d’arguments qui pourraient être fondés est souvent due à la rationalité limitée de l’agent qui
les construit (par exemple, au fait que ses ressources calculatoires soient restreintes ou au fait que les
informations sur lesquelles il s’appuie sont imparfaites).
Par ailleurs, selon les cadres considérés, les arguments pris en compte par l’agent sont dérivés à partir d’informations plus basiques (croyances, buts, etc.) ou pas. Lorsque les arguments considérés sont des
1
Introduction
données primitives (émanant par exemple d’échanges d’information avec d’autres agents), la nature exacte
des liens entre prémisses et conclusions peut aussi être inconnue de l’agent qui doit les exploiter. Ainsi, si
un argument comme (oiseau(T iti), vole(T iti)) est fourni directement à un agent donné, ce dernier peut
seulement conclure que, pour la source d’informations ayant fourni l’argument, la proposition «Titi est un
oiseau» est vraie et la proposition «Titi vole» est une conséquence plausible de la proposition «Titi est
un oiseau» (sans que les contours exacts de la relation de conséquence plausible utilisée soient connus).
De façon similaire, quand l’argument (¬pluie, arroser) est pris en compte, il est légitime de conclure
que pour la source d’informations ayant fourni l’argument, la proposition «il ne pleut pas» est vraie et la
décision «arroser» est rationnelle dans le contexte où cette proposition est vraie (sans pour autant connaître
les buts de cette source — par exemple, maintenir le degré d’hygrométrie du jardin à un niveau suffisamment élevé – ni le modèle présidant à la rationalité de sa décision). Dans ce genre de scénario, la nature
exacte des relations d’interaction entre arguments (en particulier des relations d’attaque) peut également
être ignorée. Ainsi, des arguments comme «il pleut, donc il ne faut pas arroser», «le tuyau d’arrosage est
percé, donc il est impossible d’arroser», «on est en période de sécheresse, donc il faut éviter de consommer
de l’eau inutilement» peuvent être considérés comme attaquant l’argument (¬pluie, arroser), mais pour
des raisons différentes (conflit avec le contexte ayant conduit à la décision, indisponibilité de la décision,
présence de règles de décision antagonistes liées par exemple à une évaluation multi-critère des buts, qui
sont inconnus).
Les cadres formels existant pour l’argumentation sont à des degrés d’abstraction divers.
Plus un modèle est abstrait, plus il permet d’englober de modèles existants. Nous avons donc décidé
de nous intéresser à deux cadres parmi les plus abstraits, celui de Dung (Dun95) et sa généralisation au
cadre bipolaire (CLS05a; CLS05b). Notre choix s’explique entre autres par la simplicité du cadre proposé
et par le fait qu’il permet d’englober d’autres modèles (ayant trait à la programmation logique ou au
raisonnement non monotone). Il s’explique aussi par l’inadéquation des modèles moins abstraits lorsque la
nature des arguments disponibles (i.e. les liens liant prémisses et conclusions) et de leurs interactions sont
imparfaitement connus.
Le cadre de Dung a été raffiné et étendu par de nombreux auteurs, en particulier (BGG00; BG03;
BG04b; CDLSM02; CLS02; VP00; BMCd04). Chez Dung, il n’est fait aucune hypothèse sur la nature des
arguments, ni sur celle de leur interaction, modélisée par une relation d’attaque (vue uniquement comme
une relation binaire sur l’ensemble des arguments). Ainsi, un système d’argumentation est simplement un
graphe étiqueté où les sommets sont les arguments et où les arcs représentent la relation d’attaque. On
appelle ce graphe le graphe d’attaque du système d’argumentation. C’est uniquement l’interaction entre
les différents arguments du système qui permet de sélectionner parmi eux les plus plausibles. En ce qui
concerne les cadres bipolaires, au modèle de Dung est ajoutée une relation entre arguments, la relation
d’appui. Cette relation permet à un argument d’en appuyer un autre de façon indépendante de la relation
d’attaque.
En argumentation, on peut définir deux sortes d’acceptabilité (voir entre autres : (Amg99; BG04b;
BDKT97; Dun95; EGFK93b)) :
1. l’acceptabilité individuelle, qui ne prend en compte que la présence d’attaquants directs ;
2. l’acceptabilité collective, qui repose sur la notion de défense d’un argument par d’autres.
Dans la théorie de Dung, la notion utilisée est l’acceptabilité collective. Plusieurs sémantiques fondées
sur ce principe ont été définies. Une sémantique permet d’identifier des ensembles d’arguments acceptables particuliers appelés extensions. Un argument est dit dérivable s’il appartient à une (ou toutes les)
extension(s) sous une sémantique donnée.
Illustrons le cadre de Dung à l’aide du scénario suivant. «La nuit dernière une libraire de L.A. a été
2
1. Contexte et motivations
cambriolée, on soupçonne Ally d’être le cambrioleur. Elle possède néanmoins un alibi, elle dit avoir passé
sa nuit à travailler à son bureau situé à San Francisco. Cet alibi est corroboré par Charles qui dit avoir
travaillé avec Ally jusque tard dans la nuit. Cet alibi est mis à mal par Béa qui indique qu’elle a vu Ally à
L.A. la nuit du vol. De plus, il est possible que Charles mente, c’est le petit ami d’Ally. Peut-être souhaitet-il la protéger. Il est aussi possible que Béa mente, Charles était son petit ami avant d’être celui d’Ally,
elle peut vouloir se venger.» Les arguments sont définis de la façon suivante :
Arg. a : Ally ne peut pas être le voleur, car elle est resté travailler au bureau, à San Francisco.
Arg. b : Béa indique qu’elle a vu Ally à L.A. la nuit du vol (peut-être qu’Ally a pris un avion pour L.A.).
Arg. c : Charles dit avoir travaillé avec Ally jusque tard dans la nuit.
Arg. d : Charles ment, parce qu’il est le petit ami d’Ally ; peut-être est-il le complice d’Ally.
Arg. e : Béa ment : Charles était son petit ami ; il l’a quitté pour Ally, depuis Béa déteste Ally.
L’argument b attaque l’argument a en affirmant qu’Ally était à L.A. et non à San Francisco. L’argument c attaque l’argument b : Ally était bien à San Francisco, Charles en témoigne. L’argument d attaque
l’argument c en mettant en doute l’impartialité de Charles. L’argument e attaque l’argument b en mettant
en doute la véracité du témoignage de Béa (elle pourrait avoir témoigné pour nuire à Ally).
Ce qui nous fournit le graphe d’attaque suivant :
a
b
c
e
d
F IG . 1 – Vol dans une librairie de L.A.
Ici l’argument a est attaqué par l’argument b. Intuitivement, pour croire en a, nous avons besoin que a
soit défendu. L’argument e attaque l’argument b, c’est donc un défenseur de a contre b. Il semble naturel de
dériver e, car il ne subit aucune attaque. Nous pouvons donc dériver a. Formellement, l’ensemble {a, d, e}
est l’unique extension préférée (extension proposée par Dung) de ce système, nous pouvons donc en dériver
tous ses arguments.
Imaginons maintenant que nous prenions connaissance d’une nouvelle information. Lorsque Béa était
interrogée, elle était reliée à un détecteur de mensonges. Celui-ci est formel, Béa a dit la vérité. Nous avons
donc un nouvel argument.
Arg. i : Béa dit la vérité, le détecteur de mensonges est formel.
Cet argument attaque l’argument e.
Ainsi, c et e, les deux défenseurs potentiels de a, échouent dans leur défense, car ils sont attaqués
respectivement par d et i contre lesquels ils ne sont pas défendus. Formellement, l’extension préférée a
changé, c’est à présent l’ensemble {d, i, b}. Ce sont donc ses éléments que nous pouvons dériver. a ne fait
plus partie de l’extension préférée, a n’est plus dérivable. L’ajout de nouveaux arguments et/ou de nouvelles
attaques peut nous faire réviser l’ensemble des conclusions que nous considérions comme plausibles. C’est
en cela que les relations d’inférence liées à l’argumentation sont non monotones.
Si le cadre de Dung a souvent servi de référence, il possède néanmoins des limitations. Celles-ci sont
de natures variées et appelent donc des solutions de natures différentes pour les pallier. Ainsi, Dung ne
définit la dérivabilité que pour un argument «à la fois» et non pour un ensemble d’arguments. Or, plusieurs
extensions peuvent exister sous une sémantique donnée. Ainsi, si l’on peut dériver crédulement sous une
3
Introduction
sémantique quelconque deux arguments a et b, rien ne garantit que l’on puisse croire conjointement en a
et en b. En effet, ils peuvent faire partie de deux extensions différentes et l’un des deux peut alors attaquer
l’autre.
En outre, rien n’interdit qu’une extension sous une des sémantiques de Dung comporte des arguments
qui s’attaquent indirectement ou ait un comportement hasardeux vis-à-vis des arguments du système en
attaquant indirectement et en défendant indirectement un même argument. Or, ceci n’est pas toujours
acceptable. Considérons l’exemple d’Ally sans l’argument i. L’ensemble {a, d, e} et ses sous-ensembles
sont les ensembles dérivables quelle que soit la sémantique de Dung et le mode de raisonnement. Nous
pouvons donc dériver conjointement a et d. a est un argument en faveur d’Ally alors que d est un argument
en sa défaveur. De plus, d attaque c un argument défendant l’argument a. Est-il donc prudent de croire
conjointement a et d? Quelqu’un cherchant à défendre Ally (en utilisant l’argument a) éviterait d’affirmer
qu’un des témoins est partial. Intéressons-nous maintenant à la paire {d, e}. e défend a, il est donc en
faveur d’Ally. Comme nous venons de le voir, d est en défaveur d’Ally. Est-il judicieux de croire d et
e ensemble ? Si l’on cherche à défendre Ally, accompagner l’argument e de l’argument d affaiblit notre
position et la rend ambiguë. Ce problème se pose de façon analogue si l’on cherche au contraire à nuire à
Ally. N’importe quel spécialiste de la communication déconseillerait d’utiliser un raisonnement qui peut
être retourné contre soi. Dériver conjointement d et e revient à accepter que notre propos soit équivoque.
Un type d’argument particulier cristallise ces deux limites : les arguments controversés. Un argument a est
dit controversé par rapport à un argument b si et seulement si a attaque indirectement b (i.e. il existe dans
le graphe d’attaque du système d’argumentation un chemin de longueur impaire allant de a vers b) et a
défend indirectement b (le chemin est de longueur paire). Il est possible qu’un argument a appartienne à
une extension alors que sa seule défense contre un de ses attaquants soit un argument b controversé par
rapport à a. Sommes-nous prêts à prendre de tels risques si le système encodé est un système concernant
la sécurité nationale ? Cette limite peut également conduire à des comportement hasardeux : une même
extension peut contenir à la fois a et b même si a est controversé par rapport à b. La singularité de tels
arguments n’est pas prise en compte dans le cadre de Dung. Pourtant est-il prudent de traiter un argument
controversé de façon analogue à un argument quelconque ? Peut-on s’appuyer sans précaution sur un tel
argument ? Nous sommes d’accord que de tels arguments doivent garder un pouvoir de nuisance (leurs
attaques ne doivent pas être négligées). Toutefois, les considérer systématiquement comme des défenseurs
potentiels nous semble hasardeux.
Ces deux limites sont aussi partagées par les cadres bipolaires existants. De plus, la présence de supports peut accentuer les conflits. En effet, imaginons, toujours dans le système d’argumentation concernant
le vol dont est accusé Ally, que nous ajoutions l’argument suivant :
Arg. j : Charles a une passion pour les livres d’art.
L’argument j n’attaque aucun des arguments du système. Néanmoins, il appuie l’argument d. Charles est le
complice d’Ally : c’est pour lui qu’Ally a cambriolé une librairie. Même si c’est de manière plus détournée
l’argument j n’est pas en faveur d’Ally. Il faut donc aussi pouvoir gérer le cas d’argument appuyant un
argument pouvant être litigieux en compagnie d’autres.
Une autre limitation du cadre de Dung réside dans le caractère uniforme (quoiqu’abstrait) de l’information traitée : toute l’information à prendre en compte doit être exprimée dans le système d’argumentation,
par des arguments ou des attaques. En particulier, il n’est pas possible de tenir compte primitivement d’informations disponibles au méta-niveau, i.e. portant sur la dérivabilité des arguments. Pour autant, ce type
d’information peut être présent et lorsque c’est le cas, il est important de la prendre en considération. Ainsi,
dans l’exemple concernant «l’arrosage», une contrainte possible sur les décisions peut être que si l’agent
décide d’arroser, alors il doit aussi désherber, mais il ne doit pas tondre.
Enfin, le problème de l’inférence à partir de plusieurs systèmes d’argumentation, provenant par exemple de plusieurs agents n’est pas considéré par Dung et n’a jamais été considéré par ailleurs dans un but
4
2. Contributions
autre que le dialogue. Imaginons le cas d’un système de surveillance d’une centrale nucléaire. Un tel système peut être formé de différents agents, chaque agent étant en charge d’une partie de la centrale (e.g.
un agent pour le système de refroidissement, un pour le réacteur central, un pour l’évacuation des déchets,
un pour le pointage des employés etc.). Chaque agent exprime ses connaissances à l’aide de son propre
système d’argumentation. Ici, le dialogue ne se montre pas forcément approprié. En effet, pour l’agent responsable du pointage des employés, devoir dialoguer avec l’agent de surveillance de refroidissement pour
décider s’il sanctionne l’employé Durand pour son troisième retard de la semaine est complètement absurde. Néanmoins, il est souhaitable que les connaissances de chaque agent puissent être traitées conjointement. Cela permettrait, par exemple, de comprendre que la surchauffe du réacteur central est indirectement
due à l’absence de l’employé Durand à son poste dans le secteur du système de refroidissement. Il semble
donc important de pouvoir connaître l’avis du groupe d’agents. Celui-ci peut être vu comme l’avis d’un
«super-agent» en charge de toute la centrale nucléaire.
2
Contributions
Dans cette thèse, nous avons proposé des réponses à ces problèmes. Notre contribution se décline en
plusieurs axes.
Dans un premier temps, nous avons étudié les systèmes d’argumentation de Dung dont la relation
d’attaque est symétrique. Puis, nous avons étendu la notion de dérivabilité d’un argument à celle de dérivabilité d’un ensemble d’arguments. Cette nouvelle notion nous permet de caractériser les arguments que
nous pouvons dériver conjointement. Nous avons montré que cette généralisation se fait sans hausse de
complexité calculatoire, comparée à l’inférence d’un argument unique.
Nous proposons une nouvelle approche pour la prise en compte des arguments controversés. Pour
cela, nous proposons d’exclure des extensions les arguments qui s’attaquent indirectement (i.e. les conflits
indirects). Pour éviter les comportements hasardeux d’une extension par rapport aux arguments extérieurs,
nous proposons également une extension des sémantiques de Dung dans lesquelles nous interdisons - en
plus des arguments s’attaquant indirectement - qu’un même argument soit à la fois attaqué indirectement
et défendu indirectement par l’extension. Cela interdit de fait la présence d’arguments controversés dans
une extension.
Dans un troisième temps, nous proposons une spécialisation du cadre des systèmes d’argumentation
bipolaires en considérant de nouvelles sémantiques qui excluent les conflits indirects des extensions.
Ensuite, nous montrons comment généraliser le cadre de Dung de façon à prendre en compte une
contrainte portant sur la relation de dérivabilité. Nous introduisons de nouvelles sémantiques incluant celles
de Dung comme cas particulier.
Pour terminer, nous montrons comment, en se fondant sur le principe de fusion de bases de connaissance, nous pouvons, à partir d’un ensemble de systèmes d’argumentation différents et ne portant pas
obligatoirement sur les mêmes arguments, obtenir un ensemble de systèmes d’argumentation représentant
un consensus des systèmes de départ.
Dans l’exemple utilisé dans cette introduction, l’extension préférée est unique. Néanmoins, il existe
de nombreux cas où les extensions sous une sémantique donnée sont multiples. Deux principes d’inférence peuvent être considérés : le sceptique (appartenir à toutes les extensions sous une sémantique) et le
crédule (appartenir à une extensions sous une sémantique). Le principe sceptique conduit à des relations
d’inférence plus prudentes (quand elles ne trivialisent pas). De même, les sémantiques définies sont plus
ou moins prudentes. C’est pourquoi, dans notre travail, nous nous sommes attachés à comparer, en terme
de pouvoir inférentiel, les relations d’inférence que nous introduisons, afin de pouvoir donner une «échelle
de prudence».
Les relations d’inférence proposées par Dung ne possèdent pas toutes la même complexité calculatoire.
5
Introduction
Certaines sont plus coûteuses que d’autres. Dans le cadre d’une machine aux ressources limitées (ce qui
est, pour le moment, toujours le cas), la complexité d’une relation d’inférence peut être un critère de choix.
C’est pourquoi nous avons aussi étudié la complexité des relations d’inférence que nous définissons.
3
Plan du mémoire
Ce document est organisé en plusieurs parties. La première contient l’état de l’art, la seconde nos
contributions. Puis nous terminons par une conclusion et des perspectives. Les preuves se trouvent en
annexe.
L’argumentation est un domaine très large, nous avons décidé de circonscrire notre état de l’art aux
cadres dont nous avons directement besoin pour notre étude. La première partie se divise en quatre chapitres. Le chapitre 1 fournit les pré-requis formels. Le chapitre 2 présente l’argumentation selon Dung. Le
chapitre 3 présente des généralisations du cadre de Dung, celle proposé par Baroni et al. et celle concernant
les systèmes bipolaires de Cayrol et al.
La seconde partie contient 4 chapitres. Dans le chapitre 4, nous nous intéressons à l’étude des systèmes
d’argumentation dont la relation d’attaque est symétrique et à la généralisation de la notion de dérivabilité
d’un argument à celle de dérivabilité d’un ensemble d’arguments. Dans le chapitre 5, nous étudions deux
spécialisations du cadre de Dung : une visant à exclure les conflits indirects des extensions et l’autre ne
permettant pas qu’une extension attaque indirectement et défende indirectement un même argument. Le
chapitre 6 décrit les généralisations de cadre de Dung que nous proposons. La première a pour objet
la prise en compte des conflits indirects dans les cadres bipolaires. La deuxième s’appuie sur la prise en
compte d’une contrainte sur les extensions. Le chapitre 7 propose une méthode pour fusionner des systèmes
d’argumentation à la Dung.
6
Première partie
État de l’art
7
1
Préliminaires formels
Sommaire
1.1
1.2
1.3
1.4
Logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . .
Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Classes P, NP et coNP . . . . . . . . . .
1.2.2 Réduction fonctionnelle . . . . . . . . . .
1.2.3 Hiérarchie polynomiale . . . . . . . . . .
Quelques définitions de la théorie des graphes .
Quelques définitions liées aux relations d’ordre
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10
11
11
11
12
12
1.1 Logique propositionnelle
Nous définissons la logique propositionnelle de manière standard.
Définition 1.1 Soit P S un ensemble fini de symboles propositionnels, les constantes booléennes ⊤, ⊥, les
connecteurs ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ et deux symboles auxiliaires ( et ). Soit P ROPP S le langage propositionnel
construit sur cette morphologie. Toute formule propositionnelle F de P ROPP S se construit récursivement en appliquant un nombre fini de fois les règles suivantes :
– un symbole propositionnel, ⊤, ⊥ sont des formules ;
– si F est une formule, alors (¬F ) est une formule ;
– si F et Q sont des formules, alors (F ∧ Q) est une formule ;
– si F et Q sont des formules, alors (F ∨ Q) est une formule ;
– si F et Q sont des formules, alors (F ⇒ Q) est une formule ;
– si F et Q sont des formules, alors (F ⇔ Q) est une formule.
La terminologie suivante est utilisée :
Définition 1.2
– Pour un symbole x de P S, il existe deux littéraux, un littéral positif (x) et un littéral négatif (¬x).
– Une clause est une disjonction finie de littéraux ou la constante ⊥.
– Une formule F ∈ P ROPP S est sous forme normale conjonctive (CNF) si et seulement si F est
une conjonction de clauses.
9
Chapitre 1. Préliminaires formels
– Une formule F ∈ P ROPP S est une CNF positive si et seulement si c’est une CNF ne contenant
pas la clause vide et formée uniquement de littéraux positifs.
– Une formule F ∈ P ROPP S est une CNF négative si et seulement si c’est une CNF ne contenant
pas la clause vide et formée uniquement de littéraux négatifs.
– Une formule F ∈ P ROPP S est une formule Horn CNF si et seulement si c’est une CNF dont
chaque clause contient au plus un littéral positif.
Il ne reste plus qu’à préciser comment on donne une valeur de vérité aux formules.
Définition 1.3 Une interprétation ω d’un langage propositionnel P ROPP S est une application de P S
dans {0, 1}. Soit F, P, Q ∈ P ROPP S . La sémantique [[F ]](ω) d’une formule F de P ROPP S dans l’interprétation ω est un élément de {0, 1} défini inductivement par :
– [[⊤]](ω) = 1 et [[⊥]](ω) = 0 ;
– si F ∈ P S, alors [[F ]](ω) = ω(F ) ;
– si F = (¬P ), alors [[F ]](ω) = ¬s ([[P ]](ω)).
– si F = (P ∧ Q), alors [[F ]](ω) = ∧s ([[P ]](ω), [[Q]](ω)) ;
– si F = (P ∨ Q), alors [[F ]](ω) = ∨s ([[P ]](ω), [[Q]](ω)) ;
– si F = (P ⇒ Q), alors [[F ]](ω) =⇒s ([[¬P ]](ω), [[Q]](ω)) ;
– si F = (P ⇔ Q), alors [[F ]](ω) =⇔s ([[P ]](ω), [[Q]](ω)) ;
où les sémantiques des connecteurs sont définies comme suit (quel que soit ω) :
– ¬s (x) = 1 − x ;
– ∧s (x, y) = min({x, y}) ;
– ∨s (x, y) = max({x, y}) ;
– ⇒s (x, y) = max({1 − x, y}) ;
– ⇔s (x, y) = 1 − |x − y|.
Une interprétation qui donne la valeur 1 à une formule F est un modèle de cette formule, on le note
ω |= F . Si une formule possède un modèle, elle est satisfaisable (ou cohérente) .
Définition 1.4 Soit F ∈ P ROPP S , et ω un modèle de F . ω peut être vu comme l’ensemble des symboles
propositionnels x de PS tel que ω(x) = 1. ω est un modèle minimal (resp. un modèle maximal) de F si
et seulement s’il n’existe pas ω ′ modèle de F tel que ω ′ ⊂ ω (resp. ω ⊂ ω ′ ).
La déduction logique se définit comme suit :
Définition 1.5 Soit F, P ∈ P ROPP S . P est une conséquence logique de F , noté F |= P si et seulement
si tous les modèles de F sont des modèles de P .
1.2 Complexité
Nous présentons quelques définitions de base de la théorie de la complexité (cf. entre autres (Pap94)
pour plus de détails).
10
1.2. Complexité
1.2.1 Classes P, NP et coNP
Un problème de décision (i.e. un langage formel, celui de ses instances positives) est dans P s’il peut
être décidé par un algorithme déterministe en un temps polynomial par rapport à la taille de l’instance.
Un problème de décision est dans NP s’il peut être décidé par un algorithme non déterministe en un
temps polynomial par rapport à la taille de l’instance. Le problème de décider si une formule propositionnelle est satisfaisable est dans NP.
Un problème de décision est dans coNP si son complémentaire peut être décidé par un algorithme non
déterministe en un temps polynomial par rapport à la taille de l’instance. Le problème de décider si une
formule propositionnelle est la conséquence logique d’une autre est dans coNP.
1.2.2 Réduction fonctionnelle
Nous donnons ici la définition de la réduction de Karp (Kar72).
Définition 1.6 On dit qu’un langage L1 se réduit fonctionnellement en temps polynomial à un langage
L2 , noté L1 ≤pf L2 si et seulement si il existe un algorithme déterministe f en temps polynomial tel que
pour tout mot d’entrée x de L1 , on a x ∈ L1 si et seulement si f (x) ∈ L2 .
Soit C une classe de langages. Pour une notion de réduction donnée (ici, la réduction fonctionnelle
polynomiale), on définit les notions suivantes :
– L est C-difficile si et seulement si tout langage de C se réduit à L;
– L est C-complet si et seulement si L ∈ C et L est C-difficile.
Les langages C-complets sont les plus difficiles des langages de C.
Le problème de décider si une formule est satisfaisable est NP-complet.
Le problème de décider si une formule est la conséquence logique d’une autre est coNP-complet.
1.2.3 Hiérarchie polynomiale
Nous rappelons la définition de la hiérarchie polynomiale, comme définie dans (Sto77).
Soit C, C ′ des classes de complexité en temps et L un langage. On note C L la classe des langages
décidés par des machines de Turing à oracle L qui sont du même type que les machines utilisées
S Ldans la
′
C .
définition de C et sont soumis à la même contrainte sur le temps de calcul. On note C C =
L∈C ′
Définition 1.7 Pour tout i ≥ 0, on définit les classes de complexité (i.e. les classes de langages) suivantes :
– Σp0 = Πp0 = ∆p0 = P ;
p
– Σpi+1 = NPΣi ;
– Πpi = coΣpi ;
p
– ∆pi+1 = PΣi ;
– Θpi = ∆pi [O(log n)].
∆p2 est la classe des problèmes que l’on peut résoudre en temps polynomial déterministe en utilisant
un oracle NP. Θp2 est la classe des
S problèmes décidables en temps polynomial déterministe avec O(log n)
requêtes a un oracle NP. PH = i Σpi est la hiérarchie polynomiale.
Remarques:
– ∆p1 = P, Σp1 = NP et Πp1 = coNP ;
– ∀i ≥ 0, si L1 ≤pf L2 et L2 ∈ ∆pi alors L1 ∈ ∆pi ;
– ∀i ≥ 0, si L1 ≤pf L2 et L2 ∈ Σpi alors L1 ∈ Σpi ;
11
– ∀i ≥ 0, si L1 ≤pf L2 et L2 ∈ Πpi alors L1 ∈ Πpi .
1.3 Quelques définitions de la théorie des graphes
Nous rappelons quelques définitions de la théorie des graphes.
Dans la théorie des graphes, un graphe orienté est un ensemble de points, les sommets, qui peuvent
être reliés les uns aux autres par des arcs.
Définition 1.8 Un graphe orienté G est un couple (V, E) où:
– V est un ensemble d’objets, les sommets,
– E ⊆ V × V est un ensemble fini de couples de sommets, les arcs.
Définition 1.9 Soit G = (V, E) un graphe orienté.
– Un chemin est une suite de l + 1 sommets (s0 , s1 , . . . , sl ) telle que ∀i 0 ≤ i ≤ l − 1 on a (si , si+1 ) ∈
E.
– La longueur d’un chemin est le nombre d’arcs formant le chemin: (s0 , . . . , sl ) est un chemin de
longueur l.
– Un circuit est un chemin (s0 , s1 , . . . , sl ) tel que s0 = sl .
– G est sans circuit si et seulement s’il ne contient pas de circuit.
– G est fortement connexe si et seulement s’il existe un chemin entre chaque couple de sommets de
S.
– G′ = (V ′ , E ′ ) est un sous graphe-induit de G si et seulement si V ′ ⊆ V et E ′ = {(u, v) ∈ E | u ∈
V ′ et v ∈ V ′ }.
– S ⊆ V est un noyau de G si et seulement si pour chaque u ∈ (V \ S) il existe v ∈ S tel que
(v, u) ∈ E et il n’existe pas s, s′ ∈ S tel que (s, s′ ) ∈ E.
– G est un graphe parfait si et seulement si chaque sous-graphe induit de G possède un noyau.
1.4 Quelques définitions liées aux relations d’ordre
Définition 1.10 Une relation binaire R sur E est définie par une partie de E × E. On dit que R est:
– irréflexive: ∀a ∈ E (a, a) 6∈ R ;
– réflexive: ∀a ∈ E (a, a) ∈ R ;
– transitive: ∀a, b, c ∈ E si (a, b) ∈ R et (b, c) ∈ R alors (a, c) ∈ R ;
– antisymétrique: ∀a, b ∈ E si (a, b) ∈ R et (b, a) ∈ R alors a = b ;
– symétrique: ∀a, b ∈ E si (a, b) ∈ R alors (b, a) ∈ R ;
– totale si et seulement si ∀a, b ∈ E, (a, b) ∈ R ou (b, a) ∈ R ;
– une relation d’ordre si et seulement si R est réflexive, transitive et antisymétrique ;
– une relation d’ordre total si et seulement si R est une relation d’ordre et est totale ;
– un pré-ordre total si et seulement si R est réflexive, transitive et totale.
Quand une relation d’ordre n’est pas totale, elle est dite partielle.
Si ≤ est une relation d’ordre sur E, alors < est sa partie assymétrique, définie par ∀a, b ∈ E a < b si
et seulement si a ≤ b et b a.
Un ensemble E muni d’une relation d’ordre ≤ est dit ordonné, nous le notons (E, ≤) .
12
1.4. Quelques définitions liées aux relations d’ordre
Nous avons besoin de quelques définitions supplémentaires.
Définition 1.11 Soit E un ensemble muni d’un ordre partiel ≤ et a ∈ E.
– a est un élément maximal de E si et seulement s’il n’existe aucun élément b ∈ E tel que a < b.
– a est un élément minimal de E si et seulement s’il n’existe aucun élément b ∈ E tel que b < a.
– a est le plus grand élément (s’il existe) de E si et seulement ∀b ∈ E, b ≤ a.
– a est le plus petit élément (s’il existe) de E si et seulement ∀b ∈ E, a ≤ b.
– a est un majorant de F ⊆ E si et seulement si ∀b ∈ F b ≤ a.
– a est un minorant de F ⊆ E si et seulement si ∀b ∈ F a ≤ b.
– a est la borne supérieure de F ⊆ E si et seulement si a est le plus petit élément de l’ensemble des
majorants de F . Elle est notée sup(F )
– a est la borne inférieure de F ⊆ E si et seulement si a est le plus grand élément de l’ensemble des
minorants de F . Elle est notée inf(F ).
Définition 1.12 Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel chaque paire d’éléments admet une borne
supérieure et une borne inférieure. Un ensemble ordonné dans lequel chaque paire d’éléments possède une
borne supérieure (ou une borne inférieure) est un demi-treillis.
Définition 1.13 Soit E un ensemble muni d’un ordre partiel ≤. Une chaîne F de E est un sous-ensemble
de E totalement ordonné par ≤.
Nous pouvons maintenant définir un ordre partiel complet.
Définition 1.14 Un ordre partiel complet (CPO) (E, ≤) est un ensemble E partiellement ordonné par
≤ qui a un plus petit élément et dont toutes les chaînes ont une borne supérieure.
Définition 1.15 Soit E un ensemble muni d’un ordre partiel ≤, F une fonction de E dans E. Si lorsque
a, b ∈ E tel que a ≤ b, on a F(a) ≤ F(b), on dit que F est monotone sur E.
Définition 1.16 Soit F une fonction de E dans E. a ∈ E est un point fixe de F si et seulement si
F(a) = a.
Les ordres partiels complets vont nous permettre d’appliquer le théorème de Knaster-Tarski.
Théorème 1.1 (de Knaster-Tarski) Soit (E, ≤) un ordre partiel complet (CPO) F et une fonction monotone sur E. Alors F possède un plus petit point fixe.
Lorsque F est continue au sens de Scott, nous pouvons construire ce point fixe de manière itérative.
Définition 1.17 Soit (E, ≤) un ordre partiel complet et F une fonction de E dans E. F est continue au
sens de Scott si et seulement si pour toute chaîne F de E, on a sup(F(F )) = F(sup(F )).
Théorème 1.2 (de Scott) Soit (E, ≤) un ordre partiel complet et F une fonction de E dans E. Si F est
continue au sens de Scott, alors son plus petit point fixe est défini par F i (↓) où i est le plus petit entier j
tel que F j (↓) = F j+1 (↓) et ↓ est le plus petit élément de E.
Nous pouvons représenter les ensembles ordonnés à l’aide d’un diagramme de Hasse. Ainsi pour représenter (E, ≤):
– chaque élément de E est représenté par un point ;
13
– pour a, b ∈ E si a ≤ b, alors a est relié à b par une flèche partant de a et terminant en b ;
– on ne représente pas toute la relation d’ordre ≤, mais seulement sa réduction réflexive transitive, i.e.
la plus petite relation pour ⊆ dont la fermeture reflexive transitive est ≤.
Nous utiliserons aussi la notation suivante :
Notation 1.1 Soit S un ensemble. #(S) représente le cardinal de S (i.e. son nombre d’éléments quand
l’ensemble est fini).
14
2
L’argumentation selon Dung
Sommaire
2.1
2.2
2.3
Système d’argumentation de Dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complexité des relations d’inférence selon Dung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exprimer les systèmes d’argumentation à l’aide de formules propositionnelles .
15
23
24
Dans ce chapitre, nous présentons le cadre argumentatif proposé par Dung dans (Dun95).
Dans (DT96), Dimopoulos et Torres ont proposé une représentation à l’aide de graphe de sémantiques
pour la programmation logique et la logique des défauts, elles-mêmes exprimables grâce à des systèmes
d’argumentation. Pour ce faire, ils ont introduit des notions similaires à celles introduites dans (Dun95).
2.1 Système d’argumentation de Dung
Pour Dung un système d’argumentation est une paire hA, Ri, où A représente l’ensemble des arguments et R la relation d’attaque entre les arguments. Dans (Dun95), il n’est fait aucune restriction sur
l’ensemble A des arguments. Dans notre travail, nous faisons l’hypothèse que cet ensemble contient un
nombre fini 1 d’arguments.
Définition 2.1 (Dun95) Un système d’argumentation fini est une paire AF = hA, Ri où :
– A est un ensemble fini d’objets, les arguments,
– R ⊆ A × A est une relation binaire sur A, la relation d’attaque.
Les systèmes d’argumentation de ce cadre sont aussi parfois appelés systèmes d’argumentation unipolaires (CLS04; CLS05a; CLS05b; MCLS05).
La structure interne d’un argument n’est pas précisée pour le cadre (abstrait) de Dung.
Pour deux arguments b et c, b attaque c suivant la relation R s’écrit bRc ou encore (b, c) ∈ R. On dit
qu’un ensemble S d’arguments attaque un argument a suivant la relation R, s’il existe un élément de S qui
attaque a suivant la relation R. Un argument a est dit attaqué s’il existe un argument qui l’attaque suivant
la relation R. Un ensemble d’arguments est attaqué s’il existe un argument de cet ensemble qui est attaqué.
Un système d’argumentation AF = hA, Ri peut se représenter sous la forme d’un graphe orienté.
Les sommets représentent les arguments et les arcs figurent les attaques. (a, b) est un arc si et seulement si
1. Ce qui sous-entend que notre système d’argumentation est toujours «finitaire» suivant la définition de «finitary argumentation framework» de Dung dans laquelle seule R est finie.
15
Chapitre 2. L’argumentation selon Dung
(a, b) ∈ R. Le graphe orienté obtenu est appelé le graphe d’attaque de AF ou représentation graphique
de AF .
Exemple 2.1 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (a, b), (c, b), (b, e), (e, e), (d, c)}.
Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 2.1.
e
a
b
c
d
F IG . 2.1 – Représentation graphique de AF .
Ainsi, dans AF , d attaque c (i.e. (d, c) ∈ R).
Dung s’intéresse à l’acceptabilité collective des arguments, acceptabilité qui repose sur la notion de
défense d’un argument par d’autres. Nous pouvons «dériver» 2 un argument lorsqu’il appartient à un ensemble particulier d’arguments (une extension sous une sémantique particulière).
Dans une extension donnée deux éléments ne s’attaquent jamais. Cette absence de conflit exprime une
cohérence interne.
Définition 2.2 (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. S ⊆ A est un ensemble sans
conflit si et seulement s’il n’existe pas a ∈ S et b ∈ S tels que (a, b) ∈ R.
Un ensemble sans conflit est un ensemble indépendant en théorie des graphes (DT96).
Suite de l’exemple 2.1 Dans AF (figure 2.1), S = {d, b} est un ensemble sans conflit, alors que S ′ =
{a, b} n’en est pas un.
Il existe une forme intuitive d’extension utilisant les ensembles sans conflit : les extensions naïves.
Définition 2.3 (BDKT97) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et S ⊆ A un ensemble sansconflit. S est une extension naïve de AF si et seulement si ∄S ′ ⊆ A tel que S ⊂ S ′ et S ′ est sans
conflit.
Suite de l’exemple 2.1 Dans AF (figure 2.1), S = {a, c} est une extension naïve.
Nous notons MCFAF l’ensemble de toutes les extensions naïves de AF .
Dung introduit aussi une notion de défense d’un argument par un ensemble et une notion d’ensemble
se défendant tout seul.
Définition 2.4 (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation,
1. a ∈ A est acceptable par rapport à S ⊆ A si et seulement si ∀b ∈ A : si (b, a) ∈ R alors il existe
c ∈ S tel que (c, b) ∈ R ;
2. S ⊆ A est admissible si et seulement si S est sans conflit et ∀a ∈ S, a est acceptable par rapport à
S.
2. ou encore inférer.
16
2.1. Système d’argumentation de Dung
Un ensemble admissible est appelé semi-noyau en théorie des graphes (cf. (DT96)).
Nous notons AS(AF ) l’ensemble de tous les ensembles admissibles de AF .
La première sémantique proposée par Dung pour les systèmes d’argumentation se fonde sur les extensions préférées.
Définition 2.5 (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et S ⊆ A un ensemble admissible. S est une extension préférée de AF si et seulement si ∄S ′ ⊆ A tel que S ⊂ S ′ et S ′ est admissible.
Une extension préférée est appelée un semi-noyau maximal en théorie des graphes (cf. (DT96)).
Suite de l’exemple 2.1 AF (figure 2.1 page précédente) possède deux extensions préférées : E1 = {a, d}
et E2 = {b, d}.
Nous notons PE(AF ) l’ensemble de toutes les extensions préférées de AF .
Le lemme suivant est la base de nombreuses propriétés des systèmes d’argumentation.
Lemme 2.1 (Lemme Fondamental) (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation, S ⊆ A
un ensemble admissible d’arguments, et a, b ∈ A deux arguments acceptables par rapport à S. On a :
1. S ′ = S ∪ {a} est admissible,
2. b est acceptable par rapport à S ′ .
Théorème 2.1 (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation.
1. L’ensemble de tous les ensembles admissibles de AF forme un ordre partiel complet pour l’inclusion
ensembliste.
2. Pour chaque S ⊆ A admissible, il existe une extension préférée E de AF telle que S ⊆ E.
Comme l’ensemble vide est toujours un ensemble admissible et que, pour chaque ensemble admissible,
il existe une extension préférée le contenant, un système d’argumentation possède toujours une extension
préférée.
Corollaire 2.1 (Dun95) Chaque système d’argumentation possède une extension préférée.
Il est néanmoins possible que la seule extension préférée d’un système d’argumentation soit l’ensemble
vide.
Définition 2.6 (DBC02a) Un système d’argumentation hA, Ri est dit trivial si sa seule extension préférée
est l’ensemble vide.
Pour autant, seuls les systèmes d’argumentation dont le graphe d’attaque possède un circuit de longueur
impaire peuvent avoir l’ensemble vide comme extension préférée.
Corollaire 2.2 (Dou02) Seuls les systèmes d’argumentation dont le graphe d’attaque a un circuit de
longueur impaire peuvent être triviaux.
Une extension plus «agressive» (car elle attaque tous les arguments qui lui sont extérieurs) que l’extension préférée est définie par Dung : l’extension stable.
Définition 2.7 (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. Un ensemble sans conflit S ⊆ A
est une extension stable si et seulement si S attaque chaque argument qui n’appartient pas à S.
17
Un ensemble qui attaque tout ce qui lui est extérieur est un ensemble dominant en théorie des graphes
(DT96). Une extension stable correspond à un noyau en théorie des graphes (DT96).
Nous notons SE(AF ) l’ensemble de toutes les extensions stables de AF .
Suite de l’exemple 2.1 E2 = {b, d} est l’unique extension stable de AF (figure 2.1 page 16).
Nous remarquons que si A 6= ∅ les extensions stables de AF = hA, Ri ne sont pas vides. Mais il
n’existe pas toujours d’extension stable.
Exemple 2.2 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c} et R = {(a, b), (b, c), (c, a)}. Le graphe d’attaque de
AF est représenté figure 2.2.
a
b
c
F IG . 2.2 – Représentation graphique de AF
AF ne possède pas d’extension stable.
En revanche, chaque extension stable est une extension préférée.
Lemme 2.2 (Dun95) Chaque extension stable est une extension préférée, mais la réciproque n’est pas
vérifiée.
Suite de l’exemple 2.1 Dans AF (figure 2.1 page 16), E1 = {a, d} est une extension préférée, mais n’est
pas une extension stable. En revanche, E2 = {b, d} est une extension préférée et une extension stable.
Les extensions complètes représentent des extensions capables de se défendre seules et contenant tous
les arguments qu’elles défendent.
Définition 2.8 (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. Un ensemble admissible S ⊆ A
est une extension complète de AF si et seulement si chaque argument de A acceptable par rapport à S
appartient à S.
Suite de l’exemple 2.1 E1 = {a, d}, E2 = {b, d} et E3 = {d} sont les extensions complètes de AF
(figure 2.1 page 16).
Nous notons CE(AF ) l’ensemble de toutes les extensions complètes de AF .
Dung montre que certaines sémantiques pour l’argumentation peuvent être caractérisées par une notion
de point fixe. Pour ce faire il introduit la fonction caractéristique d’un système d’argumentation.
Définition 2.9 (Dun95)
définit comme suit :
La fonction caractéristique d’un système d’argumentation AF = hA, Ri se
FAF : 2A −→ 2A
FAF (S) = {a | a est acceptable par rapport à S}.
Lemme 2.3 (Dun95) Soit S un ensemble sans conflit. S ⊆ A est admissible si et seulement si
S ⊆ FAF (S).
Formellement, les extensions complètes de AF sont des points fixes de FAF .
Lemme 2.4 (Dun95) Soit S un ensemble sans conflit. S est une extension complète de AF si et seulement
si S = FAF (S).
18
La plus petite des extensions complètes suivant l’inclusion ensembliste est nommée extension de base :
Définition 2.10 (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. L’extension de base de AF
est le plus petit point fixe de FAF . Ce plus petit point fixe coïncide avec l’intersection des extensions
complètes.
L’extension de base de AF est la partie initiale acyclique du graphe d’attaque de AF en théorie des
graphes (DT96).
Nous notons GE(AF ) l’extension de base de AF .
Suite de l’exemple 2.1 E3 = {d} est l’extension de base de AF (figure 2.1 page 16).
La définition 2.10 est bien fondée car le lemme suivant et le fait que FAF est continue au sens de Scott
permettent d’appliquer les théorèmes de Knaster-Tarski et de Scott sur l’ordre partiel complet (2A , ⊆).
Lemme 2.5 (Dun95) FAF est monotone par rapport à l’inclusion ensembliste, i.e. si S ⊆ S ′ ⊆ A alors
FAF (S) ⊆ FAF (S ′ ).
Ainsi, AF possède toujours une extension de base (même si elle peut être l’ensemble vide) et cette
dernière est unique.
Théorème 2.2 (Dun95)
1. Chaque extension préférée est une extension complète, mais la réciproque n’est pas vérifiée.
2. L’extension de base de AF est la plus petite extension complète de AF pour l’inclusion ensembliste.
3. L’ensemble des extensions complètes de AF forme un demi-treillis de (2A , ⊆).
Les extensions complètes constituent un lien entre les extensions préférées et l’extension de base. En
effet, l’extension de base est incluse dans chaque extension complète et chacune de ces dernières est, par
définition, incluse dans une extension préférée. Ainsi, tous les arguments appartenant à chaque extension
complète appartiennent à l’extension de base et tous les arguments appartenant à une extension complète
appartiennent à une extension préférée.
Proposition 2.1 (Dun95; BDKT97) Toute extension préférée (respectivement stable, complète) de AF
contient l’extension de base de AF .
Chaque système d’argumentation a au moins une extension préférée, une unique extension de base, et
zéro, une ou plusieurs extensions stables.
Une conséquence immédiate de la Proposition 2.1 est que l’extension de base de AF est une extension
préférée de AF si et seulement si AF possède une unique extension préférée.
Dung caractérise certains systèmes d’argumentation possédant une unique extension préférée, les systèmes d’argumentation bien fondés.
Définition 2.11 (Dun95) Un système d’argumentation AF = hA, Ri est dit bien fondé si et seulement
s’il n’existe pas de suite infinie d’arguments a0 , a1 , . . . , an , . . . telle que ∀i ∈ N, (ai+1 , ai ) ∈ R.
Dans notre cadre (A est fini), un système d’argumentation est bien fondé si et seulement s’il ne contient
pas de circuit.
Suite de l’exemple 2.1 AF (figure 2.1 page 16) n’est pas un système d’argumentation bien fondé.
Théorème 2.3 (Dun95) Chaque système d’argumentation bien fondé a exactement une extension complète. Cette dernière est à la fois une extension stable, une extension préférée et l’extension de base.
19
Ce résultat impose qu’un système d’argumentation bien fondé possède une unique extension stable,
une unique extension préférée et que ces deux dernières sont confondues avec l’extension de base.
Exemple 2.3 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (e, b), (c, b), (d, c)}. Le graphe
d’attaque de AF est représenté figure 2.3.
a
b
c
e
d
AF est bien fondé. E = {a, d, e} est son unique extension complète, son unique extension préférée,
son unique extension stable et son extension de base.
D’autres systèmes d’argumentation possèdent une unique extension préférée. Dunne et Bench-Capon
(DBC02a) ont montré que les systèmes d’argumentation ne possédant pas de circuit de longueur paire
possèdent également une unique extension préférée.
Proposition 2.2 (DBC02a) Un système d’argumentation possède une unique extension préférée si son
graphe d’attaque ne contient pas de circuit de longueur paire, mais la réciproque n’est pas vérifiée.
Exemple 2.4 Soit AF = hA, R, i avec A = {a, b, c} et R = {(a, b), (b, a), (c, b)}. Le graphe d’attaque
de AF est représenté figure 2.4.
a
b
c
F IG . 2.4 – Représentation graphique de AF
AF ne possède qu’une seule extension préférée E = {a, c}. Néanmoins AF contient un circuit de
longueur paire.
Dung identifie d’autres systèmes d’argumentation spécifiques :
Définition 2.12 (Dun95)
1. Un système d’argumentation AF = hA, Ri est dit cohérent si chaque extension préférée de AF est
une extension stable de AF .
2. Un système d’argumentation AF = hA, Ri est dit relativement de base si l’intersection de toutes
les extensions préférées de AF coïncide avec l’extension de base de AF .
Suite de l’exemple 2.1 AF (figure 2.1 page 16) est relativement de base, mais n’est pas cohérent.
Suite de l’exemple 2.3 AF (figure 2.3) est cohérent.
20
Il peut arriver qu’un argument attaque indirectement et défende indirectement un même argument,
c’est-à-dire qu’il existe un chemin de longueur impaire et un chemin de longueur paire conduisant du
premier argument au second dans le graphe d’attaque. Dung appelle de tels arguments des arguments
controversés.
Définition 2.13 (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation, a, b ∈ A.
– a attaque indirectement b si et seulement s’il existe un chemin de longueur impaire de a vers b dans
le graphe d’attaque de AF .
– a défend indirectement b si et seulement s’il existe un chemin de longueur paire non nulle de a vers
b dans le graphe d’attaque de AF .
– a est dit controversé par rapport à b si a est un défenseur indirect et un attaquant indirect de b.
– Un argument est controversé s’il est controversé par rapport à un argument de A.
Exemple 2.5 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, e, n, i} et R = {(b, a), (c, a), (n, c), (i, b), (e, c),
(i, e)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 2.5.
a
c
b
e
n
i
i est controversé par rapport à a.
Il peut exister des systèmes d’argumentation sans aucun argument controversé.
Définition 2.14 (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation,
1. AF est non controversé s’il n’existe pas a ∈ A tel que a est controversé.
2. AF est controversé de manière limitée s’il n’existe pas de suite infinie d’arguments
a0 , . . . , an , . . . telle que ai+1 est controversé par rapport à ai .
Un système non controversé est un système controversé de manière limitée particulier.
Suite de l’exemple 2.3 AF (figure 2.3 page précédente) est non controversé.
Suite de l’exemple 2.5 AF (figure 2.5) est controversé de manière limité.
Théorème 2.4 (Dun95)
1. Chaque système d’argumentation controversé de manière limitée est cohérent.
2. Chaque système d’argumentation non controversé est cohérent et relativement de base.
L’absence de circuit de longueur impaire constitue une condition nécessaire mais pas suffisante pour
obtenir un système controversé de manière limitée.
Théorème 2.5 (Dou02) Un système d’argumentation controversé de manière limitée ne possède pas de
circuit de longueur impaire.
21
Ce théorème se déduit du lemme suivant :
Lemme 2.6 (Dou02) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. Si le graphe d’attaque de AF
possède un circuit élémentaire de longueur impaire, alors tout argument de ce circuit est controversé visà-vis d’un autre argument de ce circuit.
Une interprétation de ce lemme est qu’un argument appartenant à un circuit de longueur impaire n’est
pas un argument sur lequel on peut compter.
Exemple 2.6 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c} et R = {(a, b), (b, c), (c, a)}. Le graphe d’attaque de
b
c
a
a attaque b et a défend indirectement b contre a (on part de a et on arrive en a en passant par b, puis
par c, puis par a, puis de nouveau par b et une dernière fois par c). Donc a est controversé par rapport à b.
b attaque c et b défend indirectement c contre b. Donc b est controversé par rapport à c.
c attaque a et c défend indirectement a contre c. Donc c est controversé par rapport à a.
Lemme 2.7 (Dun95) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation controversée de manière limitée. Il
existe au moins une extension complète de AF non vide.
Exemple 2.7 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, n, i} et R = {(b, a), (c, a), (n, c), (d, b), (i, b),
(e, c), (i, e)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 2.7.
a
c
b
e
d
n
i
i est controversé par rapport à a. C’est le seul argument controversé de AF . AF est controversé de
manière limitée. E = {a, d, i, n} est une extension complète non vide de AF .
Les systèmes d’argumentation controversés de manière limitée possèdent toujours une extension stable :
Corollaire 2.3 (Dun95) Chaque système d’argumentation controversé de manière limitée possède au
moins une extension stable.
22
2.2. Complexité des relations d’inférence selon Dung
Suite de l’exemple 2.7 Nous avons vu précédement que AF (fig. 2.7 page précédente) est controversé de
manière limité. E = {a, d, i, n} est son extension stable.
De façon analogue à (Dou02), nous synthétisons les propriétés intéressantes dans le tableau 2.1. Le
symbole ◦ indique que la propriété est toujours vérifiée et ⊳ qu’elle peut l’être.
◦
◦
⊳
Existence ext.
préférée non vide
◦
◦
⊳
Unicité ext.
préférée
◦
⊳
◦
Existence ext.
stable
◦
◦
⊳
Unicité ext.
stable
◦
⊳
⊳
Ext. de base
non vide
◦
⊳
⊳
◦
◦
⊳
◦
⊳
⊳
⊳
⊳
⊳
⊳
⊳
⊳
Caractéristique
Cohérence
sans circuit
sans circuit impair
sans circuit pair
controversé de
manière limitée
quelconque
TAB . 2.1 – Propriétés intéressantes du cadre de Dung.
Un argument a est dérivable d’un système d’argumentation AF donné s’il appartient à une (raisonnement crédule) ou à toutes les (raisonnement sceptique) extension(s) sous une sémantique donnée. Formellement :
Notation 2.1 |∼q,s dénote la relation d’inférence obtenue en considérant la sémantique s (s = P pour la
sémantique préférée, s = S pour la sémantique stable et s = G pour la sémantique de base) et le principe
d’inférence q, soit inférence crédule (q = ∃), soit inférence sceptique (q = ∀).
Comme il n’existe qu’une extension de base, le raisonnement sceptique et le raisonnement crédule
suivant la sémantique de base coïncident. Nous notons donc q = . dans ce cas particulier.
Suite de l’exemple 2.1 De AF (figure 2.1 page 16), nous pouvons déduire :
AF |∼∃,P a ; AF |∼∀,P d ; AF |∼∃,S b ; AF |∼∀,S b ; AF |∼.,G d;
AF |∼∃,P b ;
AF |∼∃,S d ; AF |∼∀,S d ;
∃,P
AF |∼ d.
Les définitions de raisonnement crédule et de raisonnement sceptique renforcent le fait que les extensions complètes n’expriment pas une nouvelle sémantique. Comme chaque extension complète de AF est
incluse dans une extension préférée de AF et que ces dernières sont des extensions complètes de AF maximales (pour l’inclusion ensembliste), le raisonnement crédule pour la sémantique complète est confondu
avec le raisonnement crédule pour la sémantique préférée. De plus, comme l’extension de base de AF est
incluse dans chaque extension complète de AF , le raisonnement sceptique suivant la sémantique complète
correspond au raisonnement suivant la sémantique de base.
Étant donné que l’extension de base de AF est incluse dans chaque extension préférée de AF (et donc
dans chaque extension stable), la notion de dérivabilité par rapport à l’extension de base est au moins aussi
prudente que les formes de dérivabilité crédule ou sceptique par rapport aux extensions préférées ou stables
(excepté pour la dérivabilité crédule par rapport aux extensions stables lorsqu’il n’y a pas d’extension
stable, ce qui est un cas trivial).
2.2 Complexité des relations d’inférence selon Dung
Dunne et Bench-Capon donnent dans (DBC02b) des résultats de complexité en temps dans le pire des
cas pour les relations d’inférence dans le cadre de Dung. Les résultats sont rappelés dans le tableau 2.2.
Ces résultats ont été prouvés (directement ou indirectement dans : (DNT99; DT96; DBC02a; DBC02b)).
23
La colonne «Problème» identifie le problème de décision considéré par un nom. Lorsque ce dernier est
suivi de paramètres entre parenthèses ceux-ci indiquent les données du problème :
– AF = hA, Ri représentant un système d’argumentation.
– S ⊆ A un ensemble d’arguments,
– et a ∈ A un argument.
La colonne «Question» explicite le problème en une courte phrase, alors que la colonne «Complexité»
donne la complexité du problème.
Problème
ADM (AF, S)
ST AB − EXT (AF, S)
P REF − EXT (AF, S)
HAS − ST AB(AF )
CA(AF, a)
IN − ST AB(AF, a)
ALL − ST AB(AF, a)
SA(AF, a)
COHEREN T (AF )
Question
S est-il admissible?
S est-il une extension stable?
S est-il une extension préférée?
AF a-t-il une extension stable?
AF est-il trivial?
a appartient-il à une extension préférée?
a appartient-il à une extension stable?
a appartient-il à toutes les extensions stables?
a appartient-il à toutes les extensions préférées?
lorsque AF est cohérent
lorsque AF possède une unique extension préférée
AF est-il cohérent?
Complexité
P
P
coNP-complet
NP-complet
coNP-complet
NP-complet
NP-complet
coNP-complet
ΠP2 -complet
coNP-complet
NP-complet
ΠP2 -complet
TAB . 2.2 – Résultats de complexité dans le cadre de Dung.
Le calcul de l’extension de base s’effectue, quant à lui, en temps polynomial.
2.3 Exprimer les systèmes d’argumentation à l’aide de formules propositionnelles
Seuls les problèmes de décision suivants sont faciles (i.e. ils sont dans P) pour le cadre de Dung :
–
–
–
–
décider si un ensemble S
est un ensemble sans conflit ;
est une extension naïve ;
est un ensemble admissible ;
est une extension stable.
Il peut être intéressant de traduire le problème de décider si un ensemble S est une extension préférée (ou
stable) en un autre problème de décision pour lequel il existe déjà des résultats et des algorithmes dans le
domaine du raisonnement automatique. Nous avons choisi de présenter la traduction de Creignou (Cre95)
et de Besnard et Doutre (BD03; DB04), parce qu’elle utilise la logique propositionnelle, logique que nous
utilisons pour définir nos systèmes d’argumentation à contrainte (cf. chapitre 6, paragraphe 6.2). Nous
pouvons ainsi lier cette étude avec la nôtre. Notons que d’autres caractérisations existent (BD03; DB04).
À chaque système d’argumentation AF = hA, Ri est associé le langage propositionnel P ROPA . Pour
chaque sémantique de AF est construite une formule de P ROPA dont les modèles (standard, minimaux
ou maximaux suivant les cas) correspondent aux ensembles dérivables (voire aux extensions) pour la sémantique. Un ensemble de littéraux représente un modèle. Par exemple, si la formule de P ROPA est a ∨ b,
{a, ¬b} est un modèle de a ∨ b et {a} est une extension.
24
2.3. Exprimer les systèmes d’argumentation à l’aide de formules propositionnelles
La sémantique stable est la première sémantique caractérisée suivant cette méthode. Creignou a ainsi
caractérisé les noyaux (i.e. les extensions stables) en termes de modèles de formule propositionnelle :
Proposition 2.3 (Cre95; BD03; DB04) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. Un ensemble
S ⊆ A est une extension stable de AF si et seulement si S est un modèle de la formule
^
(a ⇔
a∈A
^
¬b).
b | (b,a)∈R
Nous pouvons caractériser les ensembles sans conflit de trois façons différentes :
1. S ⊆ A est sans conflit si lorsqu’il contient a ∈ A, alors il ne contient pas les attaquants de a ;
2. S ⊆ A est sans conflit si lorsqu’il contient a ∈ A, alors il ne contient pas les arguments attaqués par
a;
3. S ⊆ A est sans conflit si pour chaque couple (a, b) ∈ R au moins un des deux arguments a, b
n’appartient pas à S.
Chaque caractérisation conduit à une formule permettant de caractériser les ensembles sans conflit. Ainsi
d’après (BD03; DB04) S ⊆ A est un ensemble sans conflit si et seulement s’il est modèle des formules
suivantes :
V
V
¬b) ;
(a ⇒
1.
a∈A
2.
V
b | (b,a)∈R
(a ⇒
a∈A
3.
V
V
¬b) ;
b | (a,b)∈R
(¬a ∨ ¬b).
(a,b)∈R
De même, Besnard et Doutre (BD03; DB04) caractérisent les ensembles qui défendent tous leurs éléments comme les modèles de la formule
^
_
^
(a ⇒
(
c)).
a∈A
b | (b,a)∈R
c | (c,b)∈R
Ainsi, comme un ensemble admissible est un ensemble sans conflit, la combinaison des deux résultats
précédents permet la caractérisation suivante des ensembles admissibles.
Proposition 2.4 (BD03; DB04) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. Un ensemble S ⊆ A est
un ensemble admissible de AF si et seulement si S est un modèle de la formule
(
^
(a ⇒
a∈A
^
b | (b,a)∈R
¬b)) ∧ (
^
(a ⇒
a∈A
^
(
b | (b,a)∈R
_
c))).
c | (c,b)∈R
Un ensemble admissible maximal pour l’inclusion ensembliste est une extension préférée. Donc un
modèle maximal de la formule précédente est associé à une extension préférée.
une extension préférée de AF si et seulement si S est un modèle maximal de la formule
(
^
a∈A
(a ⇒
^
b | (b,a)∈R
¬b)) ∧ (
^
a∈A
(a ⇒
^
b | (b,a)∈R
(
_
c))).
c | (c,b)∈R
25
Pour les extensions complètes, il ne suffit plus de s’intéresser aux ensembles qui se défendent seuls,
il faut s’intéresser aux ensembles qui contiennent tous les arguments qu’ils défendent. Ce que Besnard et
Doutre (BD03; DB04) caractérisent par les modèles de la formule
^
^
_
((
(
c)) ⇔ a)).
a∈A
b | (b,a)∈R
c | (c,b)∈R
Les extensions complètes sont des ensembles sans conflit qui contiennent tous les arguments qu’ils
défendent. Leur caractérisation est donc la suivante :
une extension complète de AF si et seulement si S est un modèle de la formule
^
^
^
^
_
(
(a ⇒
¬b)) ∧ (
((
(
c)) ⇔ a))).
a∈A
b | (b,a)∈R
a∈A
b | (b,a)∈R
c | (c,b)∈R
L’extension de base, la plus petite des extensions complètes, est donc un modèle minimal de la formule
précédente :
Proposition 2.7 (BD03; DB04) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. L’ensemble S ⊆ A est
l’extension de base de AF si et seulement si S est le modèle minimal de la formule
^
_
^
^
^
((
(
c)) ⇒ a))).
(a ⇒
¬b)) ∧ (
(
a∈A
b | (b,a)∈R
a∈A
b | (b,a)∈R
c | (c,b)∈R
On observera que cette formule équivaut à une formule Horn CNF ne contenant aucune clause positive
(i.e. formée uniquement de littéraux positifs) et qu’à ce titre, elle possède bien un modèle minimal unique.
26
3
Autour du cadre de Dung
Sommaire
3.1
3.2
Décomposition des systèmes d’argumentation en composantes strictement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Quatre nouvelles sémantiques SCC-récursives . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Formulation des extensions de Dung en extensions SCC-récursives . . . . .
3.1.4 Propriétés générales des sémantiques SCC-récursives . . . . . . . . . . . .
Systèmes d’argumentation bipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Différentes sémantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
32
35
37
39
40
43
3.1 Décomposition des systèmes d’argumentation en composantes strictement connexes
3.1.1 Définitions de base
Nous présentons dans ce paragraphe les travaux effectués par P. Baroni, M. Giacomin et G. Guida.
Leurs travaux sont motivés par le constat que les extensions préférées ne se comportent pas de la même
manière avec les arguments suivant qu’ils appartiennent à un circuit de longueur paire ou à un circuit de
longueur impaire. L’exemple suivant permet d’illustrer cette différence de comportement.
Exemple 3.1 (BG03) Soit AF1 = hA1 , R1 i avec A1 = {a, b, c, d} et R1 = {(a, b), (b, c), (c, a), (c, d),
(d, c)} ; et AF2 = hA2 , R2 i avec A2 = {a, c, d} et R2 = {(a, c), (c, a), (c, d), (d, c)}. Les graphes d’attaque de AF1 et de AF2 sont représentés figure 3.1.
a
AF1
a
b
c
AF2
d
c
d
F IG . 3.1 – Représentation graphique de AF1 et de AF2 .
27
Chapitre 3. Autour du cadre de Dung
AF2 est le système d’argumentation AF1 dans lequel on a remplacé le circuit de longueur impaire
formé par a, b et c par un circuit de longueur paire formé par a et c.
AF1 admet une seule extension préférée : {a, d}. Donc a et d sont dérivés (selon la sémantique préférée) quel que soit le principe d’inférence. En revanche, AF2 possède deux extensions préférées : {a, d}
et {c}, aucun argument n’est dérivé sceptiquement. En fait, l’impossibilité de construire une extension
ne contenant que des arguments figurant dans un circuit de longueur impaire empêche l’existence d’une
extension de AF1 contenant c et rejetant d, ainsi d est contenu dans toutes les extensions de AF1 et par
cela a aussi. L’existence de deux extensions dans un circuit de longueur paire (celui contenant a et c) permet d’obtenir deux extensions de AF2 : une contenant c et une contenant a. Ces différences de résultats
semblent inacceptables à P. Baroni, M. Giacomin et G. Guida. Leur justification est que, pour des raisons
de symétrie, les circuits de longueur paire et et les circuits de longueur impaire doivent être traités de façon
identique, i.e. si l’on remplace un circuit de longueur paire par un circuit de longueur impaire (et inversement) on doit obtenir le même résultat. Pollock dans (Pol94; Pol01) estime lui aussi que les circuits de
longueur paire et ceux de longueur impaire doivent conduire aux mêmes résultats. De plus, la raison de la
dissymétrie des traitements (liée au fait que l’ensemble vide est la seule extension préférée d’un circuit de
longueur impaire) leur semble peu naturelle.
Nous ne sommes pas d’accord avec ce point de vue. Comme (PV02), nous considérons que les circuits
de longueur paire sont d’une sorte différente de ceux de longueur impaire. Dans un circuit de longueur
paire, chaque argument se défend indirectement (voire directement dans le cas d’un circuit de longueur
deux), alors que dans un circuit de longueur impaire chaque argument s’attaque indirectement. De plus,
comme nous l’avons vu dans le lemme 2.6 page 22, chaque élément d’un circuit de longueur impaire est
controversé. Les arguments d’un circuit de longueur impaire nous semblent donc moins sûrs que ceux d’un
circuit de longueur paire, et ainsi le fait que l’ensemble vide soit l’unique extension d’un circuit de longueur
impaire nous semble normal. Néanmoins, nous rejoignons le point de vue de P. Baroni, M. Giacomin et G.
Guida quant au fait qu’il est excessif de dériver sceptiquement a de AF1 . En effet, a s’attaque indirectement
et attaque indirectement son défenseur. Nous proposons au chapitre 5 page 55 deux solutions pour résoudre
ce problème. Nos solutions préservent la dissymétrie de traitement des circuits de longueur paire et ceux
de longueur impaire, car elle nous semble primordiale.
Pour atteindre leur objectif, P. Baroni, M. Giacomin et G. Guida ont été conduits à définir une nouvelle sémantique, récursive suivant les composantes fortement connexes (sémantique dite SCC-récursive),
présentée dans (BG03). Ils ont ensuite proposé dans (BG04b) un schéma général pour créer d’autres sémantiques SCC-récursives. Ils ont par ailleurs montré dans (BG04a; BG04b) que les sémantiques de (Dun95)
sont aussi exprimables comme des sémantiques SCC-récursives. Tous ces travaux ont été repris et approfondis dans (BGG05). C’est sur cet article que nous nous appuyons pour présenter leurs travaux.
Le premier constat est que le statut d’un argument ne dépend que de celui de ses attaquants (et non
de ceux qu’il attaque). Baroni et al. commencent donc par x définir les notions de parentsAF et de
outparentsAF :
Définition 3.1 (BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation, a ∈ A un argument de AF et
S ⊆ A un ensemble d’arguments de AF . parentsAF (a) = {b ∈ A | (b, a) ∈ R}.
Si parentsAF (a) = ∅, alors a est appelé nœud initial. outparentsAF (S) = {a ∈ A | a 6∈ S et ∃b ∈ S :
(a, b) ∈ R}.
Exemple 3.2 (BGG05) Soit AF = hA, Ri avec A1 = {a, b, c, e, i} et R = {(a, b), (b, c), (c, a), (c, e),
(e, i), (i, e)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 3.2 page suivante.
Soit S1 = {a, b, c} et S2 = {e, i} deux sous-ensembles de A. parentsAF (c) = {b}. Il n’y a pas de
nœud initial. outparentsAF (S1 ) = ∅ et outparentsAF (S2 ) = {c}.
28
3.1. Décomposition des systèmes d’argumentation en composantes strictement connexes
b
c
e
i
a
Pour Baroni et al., la relation de dépendance entre les arguments s’exprime aussi au niveau de certains
sous-graphes de AF , qui jouent, en un sens, le rôle de nœuds virtuels dans la propagation du statut des
arguments. Ces sous-graphes correspondent aux composantes fortement connexes du graphe d’attaque
de AF .
Définition 3.2 (BG03; BG04a; BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. La relation
binaire de chemin-équivalence entre deux arguments, notée P EAF ⊆ (A × A) est définie de la manière
suivante :
– ∀a ∈ A, (a, a) ∈ P EAF ,
– étant donné deux arguments distincts a, b ∈ A, (a, b) ∈ P EAF si et seulement s’il existe un chemin
partant de a et arrivant en b et un chemin partant de b arrivant en a.
Les composantes fortement connexes de AF sont les classes d’équivalence de A pour la relation d’équivalence P EAF . L’ensemble des composantes fortement connexes de AF est noté SCCSAF . Étant donné
un argument a ∈ A, la composante fortement connexe à laquelle appartient a est notée SCC(a).
#(SCCSAF ) représente le nombre de composantes fortement connexes de AF .
Dans le cas particulier où AF = h∅, ∅i, il est supposé que SCCSAF = {∅} et donc que le nombre de
composantes fortement connexes de AF est égale à 1.
Suite de l’exemple 3.2 Dans AF (figure 3.2), il existe un chemin (direct) de a vers b et un chemin de b
vers a (via c), donc a et b sont chemin-équivalents (i.e. (a, b) ∈ P EAF ). S1 = {a, b, c} et S2 = {e, i} sont
les composantes fortement connexes de AF , donc SCCSAF = {S1 , S2 }. #(SCCSAF ) = 2.
SCC(a) = S1 .
La «relation de propagation» s’exprime en étendant la notion de outparentAF en notion de sccparentAF (S). Une notion de prédécesseur d’une composante fortement connexe, noté sccancAF (S) est également définie.
Définition 3.3 (BG03; BG04a; BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et une composante fortement connexe S ∈ SCCSAF . sccparentsAF (S) = {P ∈ SCCSAF | P 6= S et ∃b ∈ P, a ∈
S : (b, a) ∈ R}. Si sccparentsAF (S) = ∅ alors
S S est appelé composante fortement connexe initiale.
ssccancAF (S)= sscparentsAF (S) ∪
sccancAF (P ).
P ∈ sccparents AF (S)
Suite de l’exemple 3.2 S1 = {a, b, c} et S2 = {e, i} sont les composantes fortement connexes de AF
(figure 3.2). sccparentsAF (S1 ) = ∅, donc S1 est une composante fortement connexe initiale.
sccancAF (S2 ) = sccparentsAF (S2 ) = S1 .
Soit SG le graphe quotient (aussi appelé graphe réduit) obtenu en considérant comme un simple nœud
chaque composante fortement connexe de AF , i.e. SG = hSCCSAF , R∗ i où (Si , Sj ) ∈ R∗ si et seulement
si Si ∈ sccparents(Sj ). Ce graphe est sans circuit. Dans l’approche de Baroni et al., ce graphe est parcouru
nœud par nœud, en partant de ses composantes connexes initiales, et c’est la combinaison des résultats issus
29
de chaque composante fortement connexe qui caractérise les extensions finales. Ainsi, pour construire les
extensions, chaque composante fortement connexe est analysée. Indiquons sur quel principe cette étude
s’appuie.
Comme dans (Dun95) le statut d’un argument ne dépend que de ses prédécesseurs dans le graphe d’attaque, l’appartenance ou la non-appartenance des arguments d’une composante fortement connexe à une
extension ne dépend que de ses prédécesseurs dans SG. Ce principe est nommé «principe de directionnalité». C’est au nom de ce principe que Baroni et al. partitionnent les arguments des prédécesseurs d’une
composante fortement connexe en trois sous-ensembles.
Définition 3.4 (BG04a; BG04b; BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation, E ⊆ A un
ensemble d’arguments et une composante fortement connexe S ∈ SCCSAF . Nous définissons :
– DAF (S, E) = {a ∈ S | ∃b ∈ (E ∩ outparents AF (S)) (b, a) ∈ R} ;
– PAF (S, E) = {a ∈ S | ∄b ∈ (E ∩ outparents AF (S)) (b, a) ∈ R et ∃c ∈ (outparents AF (S) ∩
parentsAF (a)) ∄d ∈ E (d, c) ∈ R} ;
– UAF (S, E) = S \ (DAF (S, E) ∪ PAF (S, E)) = {a ∈ S | ∄b ∈ (E ∩ outparents AF (S)) (b, a) ∈
R et ∀c ∈ (outparents AF (S) ∩ parentsAF (a)) ∃d ∈ E (d, c) ∈ R}.
DAF (S, E) est l’ensemble de tous les arguments de S attaqués par un argument hors de S appartenant
à E. UAF (S, E) est l’ensemble de tous les arguments de S non attaqués par des arguments de E hors
de S et de tous les arguments défendus par E contre tous leurs attaquants extérieurs à S. PAF (S, E) est
l’ensemble des arguments non attaqués par E hors de S, et dont au moins un des attaquants n’est pas
attaqué par E.
Suite de l’exemple 3.2 Soit S2 = {e, i} une composante fortement connexe de AF (figure 3.2 page
précédente).
Supposons que E = {c}. Alors DAF (S2 , E) = {e}, PAF (S2 , E) = ∅ et UAF (S2 , E) = {i}. i
appartient à UAF (S2 , E), car son attaquant e appartient à S2 .
Supposons que E = {b}. Alors DAF (S2 , E) = ∅, PAF (S2 , E) = ∅ et UAF (S2 , E) = {i, e}.
Supposons que E = {a}. Alors DAF (S2 , E) = ∅, PAF (S2 , E) = {e} et UAF (S2 , E) = {i}.
E représente en fait une extension en cours de construction.
Le «principe de directionnalité» n’est pas l’unique principe que Baroni et al. désirent voir respecter
lors de la construction des extensions. Comme dans le cadre de Dung (Dun95), le «principe d’absence de
conflit» doit être respecté, de même que le «principe de rétablissement». Le «principe de rétablissement»
indique que les attaquants d’une extension ne sont pas pris en compte lorsqu’ils sont à leur tour attaqués
par cette extension. Dans l’exemple 3.2 page 28, e est ainsi «rétabli» par b si b fait partie de l’extension.
Pour respecter le «principe d’absence de conflit», il suffit de ne pas choisir les arguments que l’on veut
ajouter à E parmi ceux de DAF (S, E), mais parmi ceux de S \ DAF (S, E)) = UAF (S, E) ∪ PAF (S, E),
noté U PAF (S, E).
Lorsque l’on applique le «principe de rétablissement» aux composantes fortement connexes, il faut
distinguer deux cas et séparer les arguments attaqués par E se trouvant dans S et les arguments attaquants
de S ne se trouvant ni dans S, ni dans E. Pour les premiers, il suffit d’ignorer les arguments de DAF (S, E),
ainsi que les attaques auxquelles ils participent. Pour ce faire, il suffit de se focaliser sur le sous-graphe de
AF induit par U PAF (S, E). Ce qui est formalisé par :
Définition 3.5 (BG03; BG04b; BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et S ⊆ A. La
restriction de AF sur S est le système d’argumentation AF↓S = hS, R ∩ (S × S)i.
Suite de l’exemple 3.2 Soit S1 = {a, b, c} un ensemble d’arguments de AF (figure 3.2 page précédente).
30
AF↓S1 = hS1 , RS1 i avec RS1 = {(a, b), (b, c), (c, a)}. Le graphe d’attaque de AF↓S1 est représenté
figure 3.3.
b
c
a
F IG . 3.3 – Représentation graphique de AF↓S1 .
Afin de préserver le «principe de rétablissement», Baroni et al. considèrent le système AF↓U PAF (S,E) .
Chaque composante fortement connexe de AF fournit en fonction de E un système d’argumentation
AF↓U PAF (S,E) , ce système d’argumentation étant à son tour décomposé en composantes fortement connexes qu’il faut étudier, et ainsi de suite. C’est ce qui est appelé la SCC-récursivité.
Il reste à gérer les attaquants de S ne se trouvant ni dans S ni dans E. S’ils sont attaqués par E, il
n’y a pas de problème, le «principe de rétablissement» est préservé. En revanche, si E n’attaque pas ces
attaquants, ces derniers peuvent jouer un rôle dans la construction de l’extension. Il faut donc garder la
trace des arguments défendus par E lorsque l’on passe au niveau de récursivité suivant.
Pour résumer, la sélection des arguments de S ∩ E (i.e. les arguments de S que l’on ajoute à E) dépend
uniquement de AF ↓U PAF (S,E) et de la distinction entre les arguments défendus et ceux non défendus par
E dans U PAF (S, E).
Baroni et al. formalisent cette idée par une fonction de sélection générique GF qui prend en entrée
deux paramètres :
– un système d’argumentation standard AF (qui peut être une restriction d’un système d’argumentation précédent) ;
– un ensemble C de nœuds défendus par E contre les attaquants issus du niveau de récursivité supérieur.
Cette fonction de sélection permet de calculer toutes les extensions sous une sémantique donnée S,
dépendant d’une fonction BFS .
Notons qu’il n’est fait aucune restriction sur les paramètres de GF , ainsi C peut très bien ne pas
intervenir dans la sélection des arguments de l’extension (i.e. être un paramètre dont la valeur n’influence
pas le résultat de la fonction).
Deux cas doivent néanmoins être distingués.
Lorsque AF est constitué d’une unique composante fortement connexe, la fonction GF (AF, C) correspond à une fonction de base, notée BFS (AF, C).
Sinon, GF est appliqué récursivement sur chacune des composantes fortement connexes de AF privée
de DAF (S, E). La fonction GF (AF↓U PAF (S,E) , C ′ ) retourne un ensemble d’ensembles. Il y aura autant
d’extension E que d’ensembles retournés par cette fonction. Il faut juste que (E∩S) ∈ GF (AF↓U PAF (S,E),
C ′ ), C ′ représentant les arguments défendus au niveau de récursion correspondant à AF (attention AF peut
être une restriction d’un système d’argumentation plus général). C ′ prend en compte les attaques venant
de l’extérieur de AF (c’est-à-dire celles qui viennent d’un niveau de récursion supérieur) et celles venant
des composantes connexes parents de S dans AF . Nous avons donc C ′ = C ∩ UAF (S, E). L’importance
de C ′ et le traitement qu’il suppose sont plus claires sur un exemple. Nous en présenterons un dans la suite
(exemple 3.3 page 33), une fois introduites toutes les notions nécessaires à sa compréhension.
Notation 3.1 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et S une sémantique. ES ⊆ 2A est l’ensemble de toutes les extensions de AF sous la sémantique S.
31
Les sémantiques SCC-récursives sont définies formellement de la manière suivante :
Définition 3.6 (BG04b; BGG05) Une sémantique S est SCC-récursive si et seulement si pour chaque
système d’argumentation AF = hA, Ri, ES = GF (AF, A), où pour chaque AF = hA, Ri et chaque
C ⊆ A, la fonction GF (AF, C) est définie comme suit :
pour chaque E ⊆ A, E ∈ GF (AF, C) si et seulement si
– E ∈ BFS (AF, C) si #(SCCSAF ) = 1,
– ∀S ∈ SCCSAF S ∩ E ∈ GF(AF↓U PAF (S,E) , UAF (S, E) ∩ C) sinon,
où BFS (AF, C) est une fonction, appelée fonction de base qui, étant donné un système d’argumentation
AF = hA, Ri tel que #(SCCSAF ) = 1 et un ensemble E ⊆ A, retourne un sous-ensemble de 2A .
Ainsi, pour obtenir l’ensemble de toutes les extensions sous une sémantique S donnée, il suffit d’appeler GF (AF, A). Dans ce cas, C = A car il n’y a pas d’attaque venant de l’extérieur de AF .
Pour définir une nouvelle sémantique, il suffit en fait de définir une nouvelle fonction de base.
3.1.2 Quatre nouvelles sémantiques SCC-récursives
Quatre nouvelles sémantiques ont été proposées par Baroni et al., chacune a été motivée par un exemple
particulier.
3.1.2.1
Au delà des extensions préférées
La première piste explorée a été de conserver la notion de base d’admissibilité.
Pour la première sémantique étudiée, c’est la notion de maximalité qui a été relâchée.
Définition 3.7 (BG04b; BGG05) La fonction de base de la sémantique AD1 est définie comme suit :
(
PE(AF, C) si C = A
BFAD1 (AF, C) =
{∅}
sinon
Suite de l’exemple 3.2(BGG05) AD1 va permettre de traiter l’exemple 3.2 page 28. Soit AF ′ = hA′ , R′ i
avec A′ = {a, b, c, n, e, i} et R = {(a, n), (n, b), (b, c), (c, a), (c, e), (e, i), (i, e)}. Le graphe d’attaque de
AF ′ est représenté figure 3.4.
b
n
c
e
i
a
F IG . 3.4 – Représentation graphique de AF ′ .
Pour AF , EAD1 = {∅} (par souci de concision, nous n’explicitons pas ici comment sont obtenues les
extensions, voir exemple 3.3 page suivante). Pour AF ′ , EAD1 = {{a, b, e}, {n, c, i}}. Contrairement à ce
qui se passe avec les sémantiques de Dung, i n’est plus dérivé sceptiquement. Dans les deux cas, aucun
argument n’est dérivé sceptiquement. AD1 se comporte donc de manière analogue avec AF (comportant
un circuit de longueur impaire) et AF ′ (représentant le système d’argumentation AF dans lequel le circuit
de longueur impaire a été remplacé par un circuit de longueur paire).
32
Cependant, dans l’exemple 3.1 page 27, les extensions obtenues sont les mêmes que les extensions
préférées.
Une autre sémantique est obtenue en renforçant la notion d’admissibilité : on impose qu’une extension
contienne tous les attaquants de ses attaquants.
Définition 3.8 (BG04b; BGG05) La fonction de base de la sémantique AD2 est définie comme suit :
(
∗ }
{E | E maximal dans ASAF
si C = A
BFAD2 (AF, C) =
{∅}
sinon
∗ = {F ∈ AS(AF ) | ∀a ∈ A tel qu’il existe b ∈ F avec (a, b) ∈ R, on a parents
avec ASAF
AF (a) ⊆
F }.
Suite de l’exemple 3.1 AD2 permet de traiter le système d’argumentation AF1 (fig. 3.1 page 27) de la
même manière que AF2 . Pour AF1 , EAD2 = {∅}. Pour AF2 , EAD2 = {{a, d}, {c}}. Un élément d’un
circuit de longueur impaire ne peut être dans une extension que si le défenseur, appartenant au circuit,
contre l’argument le précédant dans le circuit, est lui aussi dans l’extension. a ne peut donc pas faire partie
d’une extension, car b ne peut jamais appartenir à une extension. Ainsi, dans AF1 , a et d ne sont pas dérivés
sceptiquement, ce qui était le cas avec la sémantique préférée. Dans les deux cas, aucun argument n’est
dérivé sceptiquement. AD2 se comporte donc de manière analogue avec AF1 et AF2 .
Proposition 3.1 (BG04b; BGG05) Pour chaque système d’argumentation AF = hA, Ri, les extensions
associées aux sémantiques AD1 et AD2 sont des extensions complètes.
À l’instar de la sémantique complète, les sémantiques AD1 et AD2 peuvent donc être vues comme
des sémantiques intermédiaires entre la sémantique de base (pour laquelle l’extension est la plus petite
extension complète) et la sémantique préférée (pour laquelle les extensions sont des extensions complètes
maximales).
3.1.2.2
Au delà de l’admissibilité
Même si AD1 et AD2 permettent de mieux gérer certains exemples, elles ne permettent pas à un
argument appartenant uniquement à un circuit de longueur impaire d’appartenir à une extension, i.e. l’extension d’un circuit de longueur impaire est toujours l’ensemble vide. Les circuits de longueur paire et
ceux de longueur impaire sont donc toujours traités de manière dissymétrique. Une deuxième piste est de
relâcher le critère d’admissibilité pour résoudre ce problème. Il en découle deux nouvelles sémantiques
dont le concept de base n’est plus l’admissibilité, mais l’absence de conflit. La première essaie autant que
possible de préserver une notion de défense. La seconde considère que, dans certains cas, cette notion est
superflue.
Définition 3.9 (BG04b; BGG05) La fonction de base de la sémantique CF1 est définie comme suit :
BFCF 1 (AF, C) = MCFAF↓C .
Regardons plus en détail comment se construisent les extensions SCC-récursives et quel est le rôle de
C.
Exemple 3.3 (BGG05) Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, e, i, n, v} et R = {(a, b), (b, c), (c, a), (a, e),
(c, v), (v, e), (ei), (i, n), (n, v)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 3.5 page suivante.
ECF 1 = GF(AF, A). Le graphe d’attaque de AF est décomposé en deux composantes fortement
connexes S1 = {a, b, c} et S2 = {e, i, v, n}. Donc formellement, nous avons E ∈ ECF 1 si et seulement si
– (E ∩ S1 ) ∈ GF(AF↓U PAF (S1 ,E) , UAF (S1 , E)),
33
a
e
i
v
n
b
c
– (E ∩ S2 ) ∈ GF(AF↓U PAF (S2 ,E) , UAF (S2 , E)).
sccparentsAF (S1 ) = ∅. Donc S1 est la composante fortement connexe initiale. Nous commençons donc
par S1 .
Quel quel soit E, U PAF (S1 , E) = UAF (S1 , E) = S1 . Comme #(SCCSAF↓S1 ) = 1, (E ∩ S1 ) ∈
BFCF 1 (AF ↓S1 , S1 ), à savoir (E ∩S1 ) ∈ MCFAF↓S1 = {{a}, {b}, {c}}. Cela représente trois possibilités
pour E. Le choix effectué a un impact sur le reste de E, car U PAF (S2 , E) = U PAF (S2 , E ∩ S1 ).
– Dans le cas où E∩S1 = {a}, on a DAF (S2 , {a}) = {e}, U PAF (S2 , {a}) = {i, n, v}, PAF (S2 , {a})
= {v} et UAF (S2 , {a}) = {i, n}. Soit AF ′ = AF↓{i,n,v} .
Comme #(SCCSAF ′ ) 6= 1, nous avons (E ∩ S2 ) ∈ GF(AF ′ , {i, n}).
Soit S1′ = {i}, S2′ = {n} et S3′ = {v} les trois composantes fortement connexes de AF ′ . Formellement, nous avons E ′ ∈ GF(AF ′ , {i, n}) si et seulement si
– (E ′ ∩ S1′ ) ∈ GF(AF ′↓U PAF ′ (S1′ ,E ′ ) , UAF ′ (S1′ , E ′ ) ∩ {i, n}),
– (E ′ ∩ S2′ ) ∈ GF(AF ′↓U PAF ′ (S2′ ,E ′ ) , UAF ′ (S2′ , E ′ ) ∩ {i, n}),
– (E ′ ∩ S3′ ) ∈ GF(AF ′↓U PAF ′ (S3′ ,E ′ ) , UAF ′ (S2′ , E ′ ) ∩ {i, n}).
S1′ est la composante fortement connexe initiale de AF ′ . On a donc U PAF (S1′ , E ′ ) = UAF ′ (S1′ , E ′ )
= S1′ . Comme #(SCCSAF ′↓S ′ ) = 1, (E ′ ∩S1′ ) ∈ BFCF 1 (AF ′↓S1′ , S1′ ∩{i, n}), à savoir (E ′ ∩S1′ ) ∈
1
MCFAF ↓′ S ′ ∩{i,n} = {{i}}.
1
S2′ est la composante suivante dans AF ′ . Comme DAF ′ (S2′ , {i}) = {n}, on a donc U PAF (S2′ , {i})
= UAF ′ (S2′ , {i}) = PAF ′ (S2′ , {i}) = ∅. Comme #(SCCSAF ′↓∅ ) = 1 (par définition de SCCS),
(E ′ ∩ S2′ ) ∈ BFCF 1 (AF ′ ↓∅ , ∅ ∩ {i, n}), à savoir (E ′ ∩ S2′ ) ∈ MCFAF ↓′ ∅∩{i,n} = {∅}. On a donc
E ′ ∩ (S1′ ∪ S2′ ) ∈ {{i}}.
Passons à S3′ . On a DAF ′ (S3′ , {i}) = ∅, U PAF (S3′ , {i}) = UAF ′ (S3′ , {i}) = S3′ = {v} et
PAF ′ (S3′ , {i}) = ∅. Comme #(SCCSAF ′↓S ′ ) = 1, (E ′ ∩ S3′ ) ∈ BFCF 1 (AF ′ ↓S3′ , S3′ ∩ {i, n}), à
3
savoir (E ′ ∩ S2′ ) ∈ MCFAF ↓′ S3 ∩{i,n} = {∅}. C’est à cette étape qu’il est important de connaître les
arguments défendus par l’extension. L’existence de C (i.e. S3 ∩ {i, n}), nous indique que seuls les
argument de {i, n} sont défendus par l’extension. Donc que nous devons rejeter v. En absence de C,
v appartiendrait à une extension, alors qu’il n’est pas défendu.
On a donc une seule extension E ′ = {i} pour AF ′ . Ce qui permet d’avoir E1 = {a, i} pour première
extension de AF .
– Dans le cas où E ∩ S1 = {b}, on a DAF (S2 , {b}) = ∅, U PAF (S2 , {b}) = S2 = {e, i, n, v},
PAF (S2 , {b}) = {e} et UAF (S2 , {b}) = {i, n, v}. Comme #(SCCSAF↓S2 ) = 1, on a (E ∩ S2 ) ∈
BFCF 1 (AF ↓S2 , {i, n, v}, à savoir (E ∩ S2 ) ∈ MCFAF↓{i,n,v} = {{i, v}, {n}}. Ce qui permet
d’avoir E2 = {b, i, v} et E3 = {b, n} pour d’autres extensions de AF .
– Le cas de E ∩ S1 = {c} se résout de façon analogue à celui de E ∩ S1 = {a}. On obtient E4 =
{c, e, n} comme dernière extension de AF .
On obtient finalement ECF 1 = {{a, i}, {b, i, v}, {b, n}, {c, e, n}}.
34
Définition 3.10 (BG03; BG04b; BGG05) La fonction de base de la sémantique CF2 est définie comme
suit : BFCF 2 (AF, C) = MCFAF .
Suite de l’exemple 3.2 Pour AF , ECF 1 = {{c, i}, {b, e}, {b, i}, {a, i}}. Pour AF ′ , ECF 1 = {{a, b, e},
{n, c, i}}. Pour AF , ECF 2 = {{c, i}, {b, e}, {b, i}, {a, i}, {a, e}}. Pour AF ′ , ECF 2 = {{a, b, e}, {n, c,
i}}.
Cette fois, les résultats obtenus sont analogues pour AF et pour AF ′ , parce que les circuits de longueur
paire et ceux de longueur impaire sont traités de manière symétrique.
Néanmoins, ces résultats nous semblent peu naturels. En effet, nous considérons que la notion d’admissibilité est la base des notions d’extension. Le fait que les extensions naïves (seules extensions formées
d’arguments pas obligatoirement acceptables) soient peu utilisées dans la littérature le souligne.
3.1.3 Formulation des extensions de Dung en extensions SCC-récursives
L’élégance des sémantiques SCC-récursives vient du fait qu’elles réussissent à capturer les sémantiques
de Dung comme des cas particuliers.
Afin de pouvoir définir leurs nouvelles sémantiques et de pouvoir exprimer les sémantiques de Dung
comme des sémantiques SCC-récursives, Baroni et al. étendent le cadre de Dung.
Définition 3.11 (BG04b; BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et un ensemble C ⊆ A.
– E ⊆ A est admissible dans C si et seulement si E ⊆ C et E est admissible. L’ensemble de tous les
ensembles admissibles dans C est noté AS(AF, C).
– E ⊆ A est une extension stable dans C si et seulement si E ⊆ C et E est une extension stable de
AF . L’ensemble de toutes les extensions stables dans C est noté SE(AF, C).
– E ⊆ A est une extension complète dans C si et seulement si E est admissible dans C, et chaque
argument a ∈ C qui est acceptable par rapport à E appartient à E. L’ensemble de toutes les
extensions complètes dans C est noté CE(AF, C).
– E ⊆ A est une extension préférée dans C si et seulement si C est un élément maximal de
AS(AF, C). L’ensemble de toutes les extensions préférées dans C est noté PE(AF, C).
Pour éviter toute ambiguité, nous parlons d’ensemble admissible étendu, d’extension stable étendue,
d’extension complète étendue et d’extension préférée étendue.
Définition 3.12 (BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et un ensemble C ⊆ A. La
fonction
FAF,C : 2C −→ 2C
FAF (S) = {a | a est acceptable par rapport à S}
est appelée fonction caractéristique de AF dans C.
Cette fonction utilise la notion d’argument acceptable par rapport à un ensemble de Dung (définition 2.4
page 16).
Comme la fonction caractéristique définie par Dung, cette fonction est monotone.
Définition 3.13 (BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et un ensemble C ⊆ A.
L’extension de base de AF dans C, notée GE(AF, C), est le plus petit point fixe (par rapport à l’inclusion ensembliste) de FAF,C .
35
Cette extension possède les mêmes propriétés que l’extension de base de (Dun95).
De même, les relations entre l’extension de base dans C, les extensions préférées dans C et les extensions complètes dans C sont les mêmes que celles liant les extensions de Dung.
Ces définitions généralisent le cadre de Dung. En effet, lorsque C = A, nous retrouvons les définitions
de (Dun95).
Baroni et al. commencent par vérifier que les extensions de Dung sont décomposables suivant les
composantes fortement connexes. Ensuite, le résultat est étendu aux extensions dans C. Puis ils donnent la
fonction de base associée au type d’extension considéré.
Proposition 3.2 (BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et un ensemble E ⊆ A.
E ∈ SE(AF ) si et seulement si ∀S ∈ SCCSAF (E ∩ S) ∈ SE(AF↓U PAF (S,E) ).
Le lemme suivant permet la généralisation de cette proposition aux extensions stables dans C.
Lemme 3.1 (BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et E ⊆ A une extension stable de
AF . ∀S ∈ SCCSAF , PAF (S, E) = ∅.
Proposition 3.3 (BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et un ensemble E ⊆ A. ∀C ⊆
A, E ∈ SE(AF, C) si et seulement si ∀S ∈ SCCSAF (E ∩ S) ∈ SE(AF↓U PAF (S,E) , UAF (S, E) ∩ C).
La décomposition des ensembles admissibles dans C requiert l’utilisation du lemme fondamental de
(Dun95) et des lemmes suivants.
Lemme 3.2 (BG04a; BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation, un ensemble admissible
E ⊆ A et a ∈ A un argument acceptable par rapport à E. Si l’on note S = SCCAF (a), nous avons:
– a ∈ UAF (S, E) ; et
– a est acceptable par rapport à (E ∩ S) dans le système d’argumentation AF↓U PAF (S,E).
Lemme 3.3 (BG04a; BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et E ⊆ A tel que ∀S ∈
SCCSAF (E ∩ S) ∈ AS(AF ↓U PAF (S,E) , UAF (S, E)). Étant donnés Sb ∈ SCCSAF une composante
b E) un argument acceptable par rapport à E ∩ Sb dans le système
fortement connexe et a ∈ UAF (S,
d’argumentation AF↓U PAF (S,E)
, a est acceptable par rapport à E dans AF .
b
A, E ∈ AS(AF, C) si et seulement si ∀S ∈ SCCSAF (E ∩ S) ∈ AS(AF↓U PAF (S,E) , UAF (S, E) ∩ C).
Les résultats concernant les ensembles admissibles permettent de caractériser directement les extensions complètes.
A, E ∈ CE(AF, C) si et seulement si ∀S ∈ SCCSAF (E ∩ S) ∈ CE(AF↓U PAF (S,E) , UAF (S, E) ∩ C).
La décomposition suivant les composantes fortement connexes des extensions préférées étendues vient,
quant à elle, du lemme suivant :
Lemme 3.4 (BG04a; BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation, E ⊆ A un ensemble
b ⊆ A tel que :
admissible de AF , S ∈ SCCSAF une composante fortement connexe et E
b ⊆ UAF (S, E) ;
– (E ∩ S) ⊆ E
b est un ensemble admissible de AF↓U P (S,E) .
– E
AF
36
b est un ensemble admissible de AF .
On a : (E ∪ E)
A, E ∈ PE(AF, C) si et seulement si ∀S ∈ SCCSAF (E ∩ S) ∈ PE(AF↓U PAF (S,E) , UAF (S, E) ∩ C).
Finalement l’extension de base étendue généralisée donne lieu à la décomposition suivante :
A, E = GE(AF, C) si et seulement si ∀S ∈ SCCSAF (E ∩ S) = GE(AF↓U PAF (S,E) , UAF (S, E) ∩ C).
Il ne reste plus qu’à conclure en donnant les fonctions de base :
Théorème 3.1 (BG04b; BGG05) Les sémantiques stable, complète, préférée et de base sont SCC-récursives. Elles sont caractérisées par les fonctions de base suivantes (définies pour un système d’argumentation
tel que #(SCCSAF ) = 1) :
– BFST (AF, C) ≡ SE(AF, C) ;
– BFCO (AF, C) ≡ CE(AF, C) ;
– BFPR (AF, C) ≡ PE(AF, C) ;
– BFGR (AF, C) ≡ {GE(AF, C)}.
En ce qui concerne la fonction de base de l’extension de base, elle admet une formulation explicite
simple :
Proposition 3.8 (BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation tel que #(SCCSAF ) = 1 et
C ⊆ A. Nous avons :
BFGR (AF, C) = {GE(AF,
C)}
{{a}} si C = A = {a} et R = ∅ ;
=
{∅}
sinon.
3.1.4 Propriétés générales des sémantiques SCC-récursives
Les extensions des sémantiques de Dung (sauf les extensions naïves) sont toutes sans conflit et défendent leurs éléments contre l’extérieur. Ces deux critères sont généralement ceux que l’on considère
comme devant être vérifiés pour garantir une sémantique robuste. Baroni et al. définissent les deux propriétés qui à leurs yeux doivent être vérifiées pour garantir une sémantique non hasardeuse.
La première d’entre elle impose qu’une extension soit sans conflit.
Définition 3.14 (BGG05) Une sémantique satisfait la propriété «sans conflit» si et seulement si
∀AF = hA, Ri, ∀E ∈ ES , E est sans conflit.
Une condition nécessaire pour que la propriété «sans conflit» soit respectée par une sémantique SCCrécursive est que la fonction de base soit sans conflit.
Définition 3.15 (BGG05) La fonction de base d’une sémantique SCC-récursive S est sans conflit si et
seulement si ∀AF = hA, Ri, ∀C ∈ A chaque élément de BFS (AF, C) est sans conflit.
Baroni et al. montrent que c’est une condition suffisante :
Proposition 3.9 (BGG05) Soit S une sémantique SCC-récursive identifiée par la fonction de base BFS .
Si BFS est sans conflit, alors ∀AF = hA, Ri, ∀C ∈ A, chaque élément de la fonction GF(AF, C) basé
sur BFS est sans conflit.
37
Théorème 3.2 (BGG05) Soit une sémantique SCC-récursive S. Si sa fonction de base BFS est sans
conflit, alors S satisfait la propriété «sans conflit».
Les sémantiques de Dung, et les sémantiques AD1, AD2, CF1 et CF2 satisfont la propriété «sans
conflit».
Une autre propriété importante est de ne pas être en contradiction avec la sémantique de base de Dung.
On dit qu’une sémantique S est d’accord avec la sémantique de base si chaque argument appartenant à
l’extension de base est dérivé sceptiquement sous la sémantique S (et donc si aucun argument attaqué par
l’extension de base n’appartient à une extension de S). Nous pouvons déjà noter que toutes les sémantiques
définies par Dung sont en accord avec la sémantique de base.
Nous avons d’abord besoin des lemmes suivants :
Lemme 3.5 (BGG05) Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation et deux ensembles d’arguments
E1 ⊆ E2 ⊆ A tels que E2 (donc E1 aussi) soit sans conflit. Pour chaque composante fortement connexe
S ∈ SCCSAF , nous avons :
– DAF (S, E1 ) ⊆ DAF (S, E2 ) ;
– U PAF (S, E2 ) ⊆ U PAF (S, E1 ) ;
– UAF (S, E1 ) ⊆ UAF (S, E2 ) ;
Lemme 3.6 (BGG05) Soit AF1 = hA1 , R1 i et AF2 = hA2 , R2 i deux systèmes d’argumentation tels que
AF2 = AF1↓A2 et ; C1 et C2 deux ensembles tel que C1 ⊆ C2 ⊆ A2 ⊆ A1 . On a GE(AF1 , C1 ) ⊆
GE(AF2 , C2 )
Ces lemmes permettent de caractériser une condition suffisante pour garantir que la sémantique donnée
est d’accord avec la sémantique de base étendue.
Proposition 3.10 (BGG05) Soit S une sémantique SCC-récursive identifiée par la fonction de base sans
conflit BFS tel que BFS (h{a}, ∅i) = {{a}}. Pour chaque système d’argumentation AF = hA, Ri et pour
chaque ensemble C ⊆ A, on a : ∀E ∈ GF(AF, C), GE(AF, C) ⊆ E où GF(AF, C) est la fonction
récursive caractérisée par la fonction de base BFS .
Théorème 3.3 (BG04b; BGG05) Soit S une sémantique SCC-récursive identifiée par la fonction de base
sans conflit BFS tel que BFS (h{a}, ∅i) = {{a}}. Pour chaque système d’argumentation AF = hA, Ri,
on a : ∀E ∈ ES (AF ), GE(AF ) ⊆ E.
Les sémantiques AD1, AD2, CF1 et CF2 sont en accord avec la sémantique de base.
Nous verrons au le chapitre 5 page 55 qu’être d’accord avec la sémantique de base n’est pas toujours
suffisamment prudent.
En revanche, pour Baroni et al., l’extension de base ne gère pas convenablement le cas des arguments
flottants. La notion de conclusion flottante a été donnée par (MS91) à propos des réseaux d’héritage, mais
peut s’étendre facilement aux systèmes d’argumentation (PV02). Un argument flottant est un argument appartenant à toutes les extensions sous une sémantique S, mais dont la défense contre un argument s’appuie
sur des arguments ne pouvant pas appartenir tous à une même extension selon S.
Exemple 3.4 Soit AF = hA, R, i avec A = {a, b, c, d}, Ratt = {(b, a), (c, b), (d, c), (c, d), (d, b)}. Le
graphe d’attaque de AF est représenté figure 3.6 page suivante.
PE(AF ) = {{a, c}, {a, d}}. a est un argument flottant. En effet, il appartient à toutes les extensions
préférées, mais aucun de ses défenseurs contre b n’appartient à toutes les extensions préférées. a est dérivé
sceptiquement uniquement parce que dans chacune des extensions préférées de AF , il existe un attaquant
de b.
38
3.2. Systèmes d’argumentation bipolaires
a
b
d
c
L’appartenance des arguments flottants à toutes les extensions d’une sémantique est la dernière propriété proposée. Typiquement, la sémantique de base ne permet pas de capturer les arguments flottants,
contrairement à la sémantique préférée.
Baroni et al. montrent sur des exemples que AD1, AD2, CF1 et CF2 permettent de capturer les arguments flottants.
Nous ne considérons pas qu’une sémantique doive permettre de dériver sceptiquement les arguments
flottants. En effet, la défense d’un argument flottant a repose nécessairement sur un argument controversé
par rapport à a. La défense de a nous apparaît donc moins fiable que celles des arguments non flottants.
Baroni et al. ont proposé plusieurs sémantiques pour que l’utilisateur puisse avoir le choix du comportement de celle qu’il utilise. Dans (BG06), ils proposent donc de nouvelles alternatives. Dans ces dernières,
les élements de base ne sont plus les composantes fortement connexes de AF , mais des parties de ces dernières. Nous ne les décrivons pas dans ce document.
3.2 Systèmes d’argumentation bipolaires
Il s’agit ici de prendre en compte dans un système d’argumentation abstrait deux types d’interaction :
– le premier type d’interaction est déjà très connu en argumentation classique ; il s’agit des attaques,
c’est-à-dire de la possibilité pour un argument de contredire un autre argument ;
– le second type d’interaction est beaucoup moins utilisé en argumentation classique malgré son intérêt
évident ; il s’agit des appuis, c’est-à-dire de la possibilité pour un argument d’en aider un autre (par
exemple, en apportant une nouvelle information qui le renforce).
Nous pouvons faire deux remarques. La première concerne le nombre de bases de connaissances.
En effet, comment modéliser les appuis lorsque plusieurs bases de connaissances sont considérées (par
exemple une base par agent pour modéliser un dialogue)? Considérons le cas d’un dialogue entre plusieurs
agents. Les arguments sont donnés au fur et à mesure, et ne sont pas reconstruit à chaque phase du dialogue.
Un agent peut avoir un argument a appuyant un argument b précédemment avancé. Il n’est pas possible
d’intégrer a en b. Il faut donc trouver un autre moyen de modéliser le fait que a est en faveur de b. C’est une
des raisons qui justifie le besoin d’une relation d’appui. La seconde s’intéresse aux modes de construction
des arguments. À notre connaissance, les processus de construction des arguments incluent dans l’argument
les appuis dont il peut bénéficier. Rien ne permet de dire qu’il n’existe pas des systèmes d’argumentation
pour lesquels le processus de construction des arguments ne permettra pas l’intégration des appuis dans les
arguments. Dans le cadre de Dung (Dun95) aucune supposition n’est faite quant à la nature des arguments.
Nous pouvons donc très bien imaginer qu’ils interagissent aussi en se renforçant. C’est pourquoi il a semblé
important d’introduire la notion d’appui.
39
La notion d’indépendance des appuis et de la défense est primordiale : un argument peut en aider un
autre sans pour autant le défendre. Cet aspect apparaît dans l’exemple suivant.
Des journalistes discutent d’une information à publier :
Argument a du journaliste J1 : I est une information importante, il faut la publier.
Argument b du journaliste J2 : I concerne une personne privée X et nous ne pouvons pas
la publier sans l’accord que X nous refuse.
Argument c du journaliste J3 : I concerne un problème de santé publique, I est donc très
importante.
Dans cet exemple, on constate facilement que c n’attaque absolument pas b (il ne défend donc pas a),
néanmoins il renforce considérablement la position de J1 .
L’approche choisie ici consiste à étendre le système de Dung (qui traite déjà les attaques) en ajoutant
la prise en compte des appuis 3 . Cela permet d’introduire la notion de système d’argumentation bipolaire
et de définir des sémantiques pour la dérivabilité des arguments (CLS04; CLS05a; CLS05b; MCLS05).
Nous présentons uniquement les plus pertinentes par rapport à notre travail.
3.2.1 Définitions de base
Un système d’argumentation bipolaire est un système d’argumentation de (Dun95) auquel s’ajoute
une deuxième relation binaire entre les arguments, la relation d’appui.
Définition 3.16 (CLS05b) Un système d’argumentation bipolaire (noté BAF) est un triplet BAF =
hA, Ratt , Rapp i avec :
– A un ensemble fini d’objets, les arguments,
– Ratt ⊆ A × A, une relation binaire sur A, la relation d’attaque,
– Rapp ⊆ A × A, une relation binaire sur A, la relation d’appui.
Un système d’argumentation bipolaire fini peut lui aussi être représenté par un graphe dont les sommets
sont les arguments, avec deux sortes d’arc : des arcs dédiés à la relation d’attaque et les autres dédiés à la
relation d’appui. Ce graphe se nomme représentation graphique de BAF ou graphe des interactions
de BAF .
Il existe différentes façons de prendre en compte les attaques et les appuis.
Ainsi un appui est soit un appui seul, soit une suite d’appuis.
Définition 3.17 (CLS05b) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire.
Soit a, b ∈ A. a appuie de manière complexe b si et seulement si il existe une suite a1 Rapp a2 Rapp ..
Rapp an avec a1 = a et an = b et n > 1. Si n = 2, on dit que a appuie directement b.
Soit S ⊆ A, b ∈ A. S appuie de manière complexe b si et seulement s’il existe un argument a ∈ S
tel que a appuie de manière complexe b. On dit que S appuie directement b si a appuie directement b.
a0
a1
ou
a0
a1
a2 . . . . . . an−1
an
F IG . 3.7 – Représentation graphique d’un appui (direct, complexe).
Nous ne représentons pas dans ce manuscrit les interactions de la même façon que dans (CLS05b).
3. Il existe d’autres approches : voir (KP01; Ver02; Ver03).
40
Il a été défini différentes sortes de relation de contrariété.
Définition 3.18 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire.
Soit a, b ∈ A. a attaque directement b si et seulement si (a, b) ∈ Ratt .
Soit S ⊆ A, b ∈ A. S attaque directement b si et seulement si il existe a ∈ S tel que a attaque
directement b.
L’attaque directe est la relation d’attaque au sens de (Dun95).
a0
a1
F IG . 3.8 – Représentation graphique d’une attaque directe.
Nous pouvons combiner les attaques et les appuis. Nous ne nous intéressons qu’à la combinaison d’une
suite d’appuis suivie d’une attaque.
Définition 3.19 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire.
Soit a, b ∈ A. a attaque de manière complexe b si et seulement si :
– soit a attaque directement b,
– soit il existe une suite a1 R1 a2 R2 . . . Rn−1 an telle que a1 = a, an = b, ∀i, 1 ≤ i ≤ n−2, Ri = Rapp
et Rn−1 = Ratt
Soit S ⊆ A, b ∈ A. S attaque de manière complexe b si et seulement si il existe a ∈ S tel que a
attaque de manière complexe b.
L’attaque précédée d’une suite d’appuis correspond à l’attaque appuyée de (CLS05b; MCLS05).
L’attaque au sens de Dung est un cas particulier de l’attaque complexe.
a0
a1
ou
a0
a1
a2 . . . . . . an−2
an−1
an
F IG . 3.9 – Représentation graphique d’une attaque complexe.
Notons que (MCLS05) propose un autre type d’attaque : l’attaque détournée.
Il existe au moins 2 classes de conflit pouvant apparaître dans un ensemble :
– soit le conflit est interne à l’ensemble parce qu’il existe au moins deux éléments de l’ensemble en
conflit ;
– soit le conflit est externe à l’ensemble parce qu’il existe au moins deux éléments de l’ensemble qui
sont en conflit au sujet d’un argument extérieur à l’ensemble (l’un l’appuie et l’autre l’attaque).
Nous allons donc donner la définition de différents types de conflit pour chacune de ces classes permettant de prendre en compte les divers appuis et attaques définis précédemment.
Définition 3.20 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et S ⊆ A. S est sans
conflit si et seulement si quels que soient a, b ∈ S, (a, b) 6∈ Ratt .
C’est la définition au sens de (Dun95) et cela correspond à l’absence d’attaque directe interne à l’ensemble.
Exemple 3.5 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e}, Ratt = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e)}
et Rapp = {(a, d)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure 3.10 page suivante.
S1 = {a, d} est un ensemble sans conflit, alors que S2 = {a, b} n’en est pas un.
41
a
b
c
d
e
F IG . 3.10 – Représentation graphique de BAF .
Définition 3.21 (CLS05b; MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire
et S ⊆ A. S est sans conflit complexe si et seulement si ∀a, b ∈ S, a n’attaque pas de manière complexe
b.
Cette définition correspond à l’absence d’attaque complexe interne à l’ensemble.
Suite de l’exemple 3.5 Dans BAF (figure 3.10), S1 = {a, d} est sans conflit complexe, mais S3 = {a, e}
n’est pas sans conflit complexe.
Proposition 3.11 (CLS05b; MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et S ⊆ A. Si S est sans conflit complexe, alors S est sans conflit. La réciproque n’est pas vérifiée.
Une notion de cohérence indépendante de la relation d’attaque peut être définie : la notion d’ensemble
clos pour la relation Rapp .
Définition 3.22 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire (fini) et S ⊆ A. S
est clos pour la relation Rapp si et seulement si ∀a ∈ A, si S appuie de manière complexe a, alors a ∈ S.
Autrement dit, un ensemble est clos pour la relation Rapp lorsqu’il contient tous les arguments qu’il
appuie de manière complexe.
Exemple 3.6 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e}, Ratt = {(b, c), (c, d)} et Rapp =
{(a, c), (e, d)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure 3.11.
e
b
a
c
d
S = {a, c, d, e} est un ensemble clos de BAF (figure 3.11).
La bipolarité introduit une nouvelle notion de conflit, les conflits externes. Nous dirons qu’un ensemble
est en conflit externe s’il n’est pas «cohérent» vis-à-vis de l’extérieur.
Une autre notion proposée est celle d’ensemble sûr.
et S ⊆ A. S est un ensemble sûr si et seulement s’il n’existe pas d’argument b ∈ A tel que S attaque
directement b et S appuie directement b ou contient b.
Suite de l’exemple 3.6 Dans BAF (figure 3.11), S1 = {a, c} est un ensemble sûr, alors que S2 = {a, b}
n’en est pas un.
Proposition 3.12 (CLS05b; MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et S ⊆ A.
1. Si S est un ensemble sûr, alors S est sans conflit. La réciproque n’est pas vérifiée.
42
2. Si S est sans conflit complexe, alors S n’est pas sûr. La réciproque n’est pas vérifiée.
3. Si S est clos pour la relation Rapp et sans conflit complexe, alors S est sûr.
4. Si S est sans conflit complexe et si S est clos pour la relation Rapp , alors S est sûr.
La notion d’ensemble sûr peut être renforcée et étendue en notion d’ensemble complexe sûr.
Définition 3.24 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et S ⊆ A. S est un
ensemble complexe sûr si et seulement s’il n’existe pas d’argument b ∈ A tel que S attaque de manière
complexe b, et soit S appuie de manière complexe b, soit b ∈ S.
Suite de l’exemple 3.6 Dans BAF (figure 3.11 page précédente), S1 = {a, c} est un ensemble complexe
sûr, alors que S3 = {a, e} n’est pas un.
Proposition 3.13 (CLS05b; MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et S ⊆ A.
1. Si S est un ensemble complexe sûr, alors S est un ensemble sûr. La réciproque n’est pas vérifiée.
2. Si S est un ensemble complexe sûr, alors S est un ensemble sans conflit. La réciproque n’est pas
vérifiée.
3. Si S est un ensemble complexe sûr, alors S est un ensemble sans conflit complexe. La réciproque
n’est pas vérifiée.
4. Si Rapp = ∅ alors S est sans conflit complexe si et seulement si S est sans conflit.
Les liens d’inclusion entre tous ces ensembles sont synthétisés la figure 3.12.
sans conflit complexe
complexe sûr
sans conflit
sûr
F IG . 3.12 – Liens entre les différents ensembles «cohérents» (CLS05b; MCLS05).
3.2.2 Différentes sémantiques
Il a été introduit plusieurs sortes d’extensions dans le cadre des systèmes d’argumentation bipolaire.
Elles sont définies suivant le modèle de celles de (Dun95) tout en prenant en compte la notion d’appui, les
nouvelles notions de conflit (interne et externe) et d’attaque.
43
Ainsi un ensemble faiblement d-admissible est en fait un ensemble admissible, et un ensemble
moyennement d-admissible est un ensemble admissible sans conflit complexe.
et S ⊆ A. S est faiblement (resp. moyennement) d-admissible 4 si et seulement si S est sans conflit
(resp. sans conflit complexe), et défend tous ses éléments.
Suite de l’exemple 3.5 Dans BAF (figure 3.11 page 42), S4 = {a, b, d, e} est faiblement d-admissible et
S5 = {b, d, e} est moyennement d-admissible.
Un ensemble faiblement s-admissible est en fait un ensemble admissible qui est un ensemble sûr, et
un ensemble moyennement s-admissible est un ensemble admissible et complexe sûr.
et S ⊆ A. S est faiblement (resp. moyennement) s-admissible 5 si et seulement si S est sûr (resp.
complexe sûr), et défend tous ses éléments.
Suite de l’exemple 3.6 Dans BAF (figure 3.11 page 42), S6 = {a, e} est un ensemble faiblement sadmissible. S7 = {b, e} est un ensemble moyennement s-admissible.
Plusieurs notions d’admissibilité prennent en compte la notion de clôture. Dans notre travail, nous
n’utilisons que les ensembles faiblement c-admissibles.
Définition 3.27 (CLS05b; MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire.
Un sous-ensemble S de A est faiblement c-admissible 6 pour BAF si et seulement si S est faiblement
d-admissible pour BAF et clos pour Rapp .
Proposition 3.14 (MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et S ⊆
A.
1. Si S est moyennement d(resp. s)-admissible alors S est faiblement d(resp. s)-admissible.
2. Si S est faiblement s-admissible (resp. moyennement s-admissible) alors S est faiblement d-admissible (resp. moyennement d-admissible).
3. Si S est faiblement c-admissible alors S est faiblement s-admissible.
Les extensions faiblement (resp. moyennement) d(resp. s)-préférées sont aux ensembles faiblement (resp. moyennement) d(resp. s)-admissibles ce que les extensions préférées sont aux ensembles admissibles. Le critère de maximalité pour l’inclusion ensembliste est aussi celui utilisé pour définir les
extensions faiblement c-préférées.
Définition 3.28 (CLS05b; MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et S ⊆ A. S est une extension faiblement d-préférée (resp. faiblement s-préférée, faiblement
c-préférée) si et seulement si S est maximal pour l’inclusion ensembliste parmi les ensembles faiblement
d-admissibles (resp. faiblement s-admissibles, faiblement c-admissibles).
Suite de l’exemple 3.6 Dans BAF (figure 3.11 page 42), E1 = {b, d, e} est une extension faiblement
d-préférée et faiblement s-préférée.
Exemple 3.7 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c}, Ratt = {(a, b), (b, a)} et Rapp = {(c, b)}.
BAF est représenté figure 3.13 page ci-contre.
4. «d» signifie «au sens de Dung».
5. «s» signifie «sûr».
6. «c» signifie «clos».
44
a
b
c
E1 = {b, c} et E2 = {a} sont les extensions faiblement c-préféréees de BAF .
Définition 3.29 (MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et
S ⊆ A. S est une extension moyennement d-préférée (resp. moyennement s-préférée) si et seulement
si S est maximal pour l’inclusion ensembliste parmi les ensembles moyennement d-admissibles (resp.
moyennement s-admissibles).
Suite de l’exemple 3.6 Dans BAF (figure 3.11 page 42), E2 = {a, b, e} est une extension moyennement
d-préférée et E1 = {b, d, e} est une extension moyennement s-préférée.
Proposition 3.15 (MCLS05) Quelle que soit la classe de sémantique donnée (faible ou moyenne) et quel
que soit x ∈ {d, s, c} :
1. tout ensemble x-admissible est inclus dans une extension x-préférée ;
2. il existe toujours au moins une extension x-préférée pour cette classe.
Conséquence 3.1 (MCLS05) Pour une classe de sémantique donnée (faible ou moyenne), on a : si S ⊆ A
est s-préférée pour la classe donnée, alors ∃S ′ ⊆ A tel que S ′ est d-préférée pour la classe donnée et tel
que S ⊆ S ′ .
Les extensions faiblement d-stables sont des extensions stables. Les extensions moyennement dstables sont des ensembles sans conflit complexe attaquant tous les arguments extérieurs de manière complexe. Les extensions stables se contentent d’attaquer directement les arguments extérieurs. Les secondes
respectent donc une contrainte beaucoup plus forte.
Définition 3.30 (MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et S ⊆ A.
S est une extension faiblement (resp. moyennement) d-stable si et seulement si S est sans conflit direct
(resp. sans conflit complexe) et ∀a 6∈ S, S attaque directement (resp. de manière complexe) a.
Suite de l’exemple 3.6 Dans BAF (figure 3.11 page 42), E2 = {a, b, d, e} est une extension faiblement
d-stable. E3 = {a, b, e} est une extension moyennement d-stable.
Les extensions faiblement s-stables sont construites à la manière de (Dun95) (i.e. un ensemble sûr qui
attaque directement tout ce qui lui est extérieur). Les extensions moyennement s-stables sont beaucoup
plus contraignantes : elles attaquent de manière complexe tous les arguments extérieurs.
Définition 3.31 (MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et S ⊆ A.
S est une extension faiblement (resp. moyennement) s-stable si et seulement si S est sûr (resp. complexe
sûr) et ∀a 6∈ S, S attaque directement (resp. de manière complexe) a.
Les extensions faiblement c-stables sont des extensions stables, closes pour la relation Rapp .
Définition 3.32 (MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire. Une extension faiblement c-stable de BAF est un sous-ensemble S de A tel que S est sans conflit, clos pour la
relation Rapp et ∀a ∈ A \ S, ∃b ∈ S s.t. (b, a) ∈ Ratt .
45
Suite de l’exemple 3.7 E1 = {b, c} est l’unique extension faiblement c-stable de BAF (figure 3.13 page
précédente).
Proposition 3.16 (MCLS05) Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et S ⊆
A.
1. Pour les liens internes à la classe faible :
(a) Si S est une extension faiblement s-stable alors S est faiblement d-stable.
(b) Si S est une extension faiblement d-stable alors S est faiblement d-admissible.
2. Pour les liens internes à la classe moyenne :
(a) Si S est une extension moyennement s-stable alors S est moyennement d-stable.
(b) Si S est une extension moyennement d-stable, alors S n’est pas toujours moyennement dadmisssible.
Chaque famille de sémantiques est un pendant des sémantiques de Dung. Chacune possède sa particularité qui correspond à un niveau de contrainte ou encore de cohérence :
– les sémantiques faiblement «d» correspondent aux sémantiques de Dung.
– les sémantiques moyennement «d» ne concernent que la cohérence interne. Elles sont basées sur les
ensembles sans conflit complexe.
– les sémantiques faiblement «s» prennent en compte les conflits externes en se basant sur les ensembles sûrs.
– les sémantiques moyennement «s» sont encore plus exigeantes que les sémantiques faiblement «s»
puisqu’elles se fondent sur les ensembles complexes sûrs.
– les sémantiques faiblement «c» gèrent la cohérence externe liée à la clôture de la relation d’appui.
46
Deuxième partie
Contributions
47
4
Inférences dans le cadre de Dung
Sommaire
4.1
4.2
Systèmes d’argumentations symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complexité des dérivabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
52
Lors de notre stage de D.E.A. notre attention a été attirée par les systèmes d’argumentation dont la
relation d’attaque est symétrique (Dev03). Nous approfondissons notre étude en imposant à la relation
d’attaque de tels systèmes d’être irréflexive et non vide (CMDM05d; CMDM05c). Les systèmes d’argumentation ainsi définis possèdent des propriétés intéressantes. Néanmoins la notion de dérivabilité d’un
unique argument y est inappropriée. Nous introduisons donc la notion de dérivabilité d’un ensemble d’arguments. Nous montrons que décider la dérivabilité d’un ensemble d’arguments n’est pas plus coûteux en
terme de classe de complexité que décider la dérivabilité d’un argument unique.
Les preuves de ce chapitre se situent dans l’annexe A page 137.
4.1 Systèmes d’argumentations symétriques
Nous allons donc nous focaliser sur les systèmes d’argumentation symétriques, que nous définissons
de la façon suivante :
Définition 4.1 Un système d’argumentation symétrique est un système d’argumentation fini (au sens de
la Définition 2.1 page 15) AF = hA, Ri où R est symétrique, irréflexive et non vide.
L’idée de s’intéresser aux systèmes d’argumentation symétriques est venue de l’étude du cadre défini
par Elvang-gøransson et al. dans (EGFK93a). Dans un tel cadre les arguments sont engendrés à partir
d’une base de croyances (possiblement incohérente). Chaque argument est constitué de prémisses (un
sous-ensemble consistant de la base de croyances) et d’une conclusion (une conséquence logique des prémisses). Une des relations d’attaque qui y est définie est la relation réfute. Un argument en réfute un autre
lorsque la négation de la conclusion de l’un est logiquement équivalente à celle de l’autre. Cette relation
est typiquement symétrique. Elle correspond à la négation (logique) de la conclusion d’un argument par la
conclusion d’un autre. Nous ne considérons pas que le cadre de Dung instancie forcement le cadre Elvanggøransson. Ainsi, d’autre relation symétrique peuvent exister. Nous imposons à la relation d’attaque d’être
non seulement symétrique, mais aussi non vide et irréflexive. Un système d’argumentation dont la relation
d’attaque est vide est un système d’argumentation trivial, dont tous les arguments peuvent être déduits.
L’étude d’un tel système est inintéressante. Cela justifie donc le fait que notre relation d’attaque est non
49
Chapitre 4. Inférences dans le cadre de Dung
vide. Il existe des systèmes d’argumentation dont la relation d’attaque n’est pas irréflexive. Nous y trouvons des arguments qui s’auto-attaquent. Ces arguments ne peuvent jamais être déduits, mais ils conservent
un pouvoir de nuisance sur les autres (en les attaquant). Tous les systèmes ne permettent pas la présence
de tels arguments, e.g. dans (EGFK93a) les définitions des notions d’argument et de relation d’attaque empêchent qu’un argument s’auto-attaque. Lors de notre étude, nous nous rangeons à cet avis en considérant
qu’un argument qui s’attaque lui-même est dans un certain sens paradoxal et que le problème de raisonner
en présence de paradoxes déborde largement du cadre de notre travail.
Exemple 4.1 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(e, c),
(c, e), (b, c), (c, b), (b, d), (b, d), (c, d), (d, c)}. AF est représenté figure 4.1.
e
a
c
b
d
AF est un système d’argumentation symétrique.
Il est facile de montrer qu’un système d’argumentation symétrique ne peut pas être bien fondé (comme
R 6= ∅, il existe une attaque, et dans ce cadre, la présence d’une attaque induit la présence d’un circuit de
longueur égale à deux). Néanmoins, un tel système possède des propriétés intéressantes que nous étudions
dans la suite.
La notion d’admissibilité est la pierre angulaire des notions d’extensions dans les systèmes d’argumentation de (Dun95). Dans les systèmes d’argumentation symétriques cette notion se simplifie.
Proposition 4.1 Soit AF = hA, Ri un système argumentation symétrique. S ⊆ A est admissible si et
seulement si S est sans conflit.
Ainsi, les extensions préférées d’un système d’argumentation symétrique AF = hA, Ri sont les sousensembles maximaux de A par rapport à ⊆ parmi les sous-ensembles sans conflit, i.e. les extensions naïves
de (BDKT97).
Mais, plus encore, les extensions stables sont confondues avec les extensions préférées.
Proposition 4.2 Tout système d’argumentation symétrique est cohérent.
Les extensions préférées, stables et naïves sont confondues. Ce qui implique que les raisonnements crédules sous les sémantiques préférée, stable et naïve coïncident, de même que les raisonnements sceptiques
pour ces mêmes sémantiques.
Construire les extensions préférées (resp. naïves, stables) se fait de manière assez simple. Nous reprenons l’idée de génération des ensembles sans conflit de (Dou02). Il suffit de partir de l’ensemble des
arguments non attaqués du système d’argumentation puis pour chaque argument restant d’ajouter ou de ne
pas ajouter l’argument (nous formons ainsi deux possibilités d’extensions), en sachant que si l’on ajoute un
argument on rejette du même coup les arguments qui l’attaquent, et vérifier la maximalité des ensembles
ainsi obtenus.
Tout singleton étant sans conflit lorsque R est irréflexive, on déduit des propositions précédentes que :
Proposition 4.3 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation symétrique. Chaque a ∈ A appartient à
au moins une extension préférée (ou de manière équivalente : stable ou naïve) de AF .
50
4.1. Systèmes d’argumentations symétriques
Ce que nous comprenons intuitivement lors de la construction des extensions préférées : il y a toujours
possibilité d’ajouter l’argument à l’ensemble courant.
Cette propriété est très forte. En effet, elle induit que chaque argument peut être dérivé suivant le
raisonnement crédule sous les sémantiques préférées, stables et naïves.
Suite de l’exemple 4.1 E2 = {a, b, e}, E3 = {a, c} et E4 = {a, d, e} sont les extensions préférées de AF
(fig. 4.1 page ci-contre). E2 ∪ E3 ∪ E4 = A. Chaque argument de A appartient à une extension préférée
de AF .
Comme chaque système d’argumentation possède une extension préférée, la propriété 4.2 page 50
permet de garantir la présence d’une extension stable dans chaque système d’argumentation symétrique.
En fait, c’est une conséquence facile d’un résultat plus général de la théorie des graphes qui dit qu’un
graphe symétrique est un graphe parfait. De plus, comme lorsque R est non vide les extensions stables
sont non vides, nous en déduisons que chaque système d’argumentation symétrique possède une extension
stable (et préférée) non vide.
Intéressons-nous maintenant à l’extension de base.
Proposition 4.4 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation symétrique. L’extension de base de AF
est donnée par {a ∈ A | ∄b ∈ A, (b, a) ∈ R} .
Ainsi, l’extension de base de AF peut être calculée en temps O(n) dans le pire cas où n représente le
nombre d’arguments de AF .
La proposition 4.2 page précédente entraine que l’ensemble des arguments non attaqués est inclus dans
toutes les extensions préférées d’un système d’argumentation symétrique. En effet, chaque argument non
attaqué appartient forcément à toutes les extensions stables et chaque extension stable est une extension
préférée.
Proposition 4.5 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation symétrique. a ∈ A appartient à toutes
les extensions préférées (ou de façon équivalente : stables ou naïves) de AF si et seulement s’il n’existe
pas b ∈ A tel que (b, a) ∈ R.
Le corollaire suivant est une conséquence immédiate de la Proposition 4.5 :
Proposition 4.6 Tout système d’argumentation symétrique est relativement de base.
Suite de l’exemple 4.1 Dans AF (fig. 4.1 page précédente) a n’est pas attaqué. a appartient à toutes les
extensions préférées de AF et il est l’unique argument de l’extension de base E1 = {a} de AF .
Ainsi l’intersection des extensions préférées (raisonnement sceptique sous sémantique préférée), l’intersection des extensions stables (raisonnement sceptique sous sémantique stable) et l’extension de base
(raisonnement crédule ou sceptique sous la sémantique de base) coïncident.
Dans le cas de systèmes d’argumentation symétriques, il ne reste donc plus que deux formes distinctes
de dérivabilité :
– toutes les formes de dérivabilité sceptique coïncident avec la dérivabilité par rapport à l’extension de
base ;
– la dérivabilité crédule par rapport aux extensions préférées ainsi que celle par rapport aux extensions
stables coïncident avec la dérivabilité crédule par rapport aux extensions naïves.
Néanmoins, d’après la proposition 4.3, la dérivabilité crédule pour un argument unique n’est pas intéressante puisqu’elle trivialise pour les systèmes d’argumentation symétriques.
51
Il faut donc considérer des formes de dérivabilité plus générales si l’on veut obtenir plus d’une sémantique. En particulier, la dérivablité sceptique est ici assez pauvre car elle ne conduit à retenir comme
dérivables que les arguments qui ne sont pas attaqués.
Pour pallier la pauvreté de la dérivabilité crédule des systèmes d’argumentation symétriques, nous
proposons non plus de dériver un argument, mais un ensemble d’arguments. L’utilité de cette nouvelle
notion de dérivabilité ne se limite pas aux systèmes d’argumentation symétriques. Elle se montre aussi
intéressante dans les systèmes d’argumentation quelconques. En effet, dire que nous dérivons de manière
crédule 7 a et b de AF ne nous garantit pas qu’il soit prudent de croire conjointement a et b. Ce qu’illustre
l’exemple suivant :
Exemple 4.2 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, i, n} et R = {(i, n), (n, a), (b, a), (c, a), (d, c),
(b, d), (d, b)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 4.2.
i
n
a
c
b
d
E1 = {a, d, i} et E2 = {b, c, i} sont les deux extensions préférées (resp. stables) de AF .
On peut inférer crédulement sous la sémantique préférée (resp. stable) a et b, pourtant, comme b attaque
a, il semble très hasardeux de croire conjointement a et b.
Ce type de comportement des relations crédules définis dans des cadres logiques est bien connu (ces relations ne vérifient pas le postulat de rationalité [AND] souvent attendu).
4.2 Complexité des dérivabilités
Nous proposons donc d’étudier les problèmes de dérivabilité pour des ensembles d’arguments, i.e., la
question est maintenant de décider s’il est raisonnable de dériver (donc de croire) des arguments ensemble :
Définition 4.2 DÉRIVABILITÉq,s est le problème de décision suivant (également vu comme le langage de
ses instances positives) :
– Entrée : Un système d’argumentation fini quelconque AF = hA, Ri et un ensemble d’arguments
S ⊆ A.
– Question : Est-ce que S est inclus dans :
q=∀ : chaque extension s de AF ?
q=∃ : au moins une extension s de AF ?
où s est N (naïve), P (préférée), S (stable), C (complète) ou G (de base).
Par exemple, DÉRIVABILITÉ∀,S représente le problème de dérivabilité sceptique sous la sémantique
stable. Nous utilisons également la notation DÉRIVABILITÉ.,G pour représenter le problème de dérivabilité
sous la sémantique de base (assez trivialement DÉRIVABILITÉ.,G = DÉRIVABILITÉ∀,G = DÉRIVABILITÉ∃,G
car un système d’argumentation a toujours une unique extension de base).
7. quelle que soit la sémantique.
52
4.2. Complexité des dérivabilités
Nous conservons les notations 2.1 page 23 pour exprimer les inférences d’ensembles d’arguments, il
faut juste garder à l’esprit que l’ensemble d’arrivée de la relation n’est plus A mais 2A (l’ensemble des
parties de A).
Nous pouvons facilement compléter les résultats de complexité connus pour la dérivabilité sceptique
d’un unique argument (DT96; DBC02b) :
Proposition 4.7 Les résultats de complexité suivants sont vérifiés :
– DÉRIVABILITÉ∀,P est Πp2 -complet.
– DÉRIVABILITÉ∀,S est coNP-complet.
– DÉRIVABILITÉ∀,C = DÉRIVABILITÉ.,G est dans P.
– DÉRIVABILITÉ∀,N est dans P.
Nous avons les mêmes résultats que ceux concernant la dérivabilité d’un argument à la fois. En effet,
un ensemble S d’arguments est inclus dans toutes les extensions considérées si et seulement si chaque
élément a ∈ S appartient à toutes les extensions.
En revanche, comme nous l’avons vu précédemment, il se peut que deux arguments soient crédulement
dérivables et que leur ensemble ne soit inclus dans aucune extension et ne soit donc pas crédulement
dérivable.
Suite de l’exemple 4.2 Dans AF (figure 4.2 page ci-contre), a ∈ E1 et b ∈ E2 . a et b pris séparément
sont crédulement dérivables. Cependant, l’ensemble d’arguments {a, b} ne l’est pas, car il n’est pas sans
conflit.
Comme dans le cas sceptique, nous avons montré que considérer des ensembles d’arguments à la
place d’arguments seuls n’augmente pas la complexité du problème de dérivabilité lorsque le principe
d’inférence retenu est crédule :
– DÉRIVABILITÉ∃,P = DÉRIVABILITÉ∃,C est NP-complet.
– DÉRIVABILITÉ∃,S est NP-complet.
– DÉRIVABILITÉ∃,N est dans P.
La complexité des problèmes de dérivabilité pour les systèmes d’argumentation symétriques est moins
élevée que dans le cas général :
Définition 4.3 DÉRIVABILITÉS,q,s est le problème de décision suivant (également vu comme le langage
de ses instances positives) :
– Entrée : Un système d’argumentation fini symétrique AF = hA, Ri et un ensemble d’arguments
S ⊆ A.
– Question : Est-ce que S est inclus dans :
q=∀ : chaque extension s de AF ?
q=∃ : au moins une extension s de AF ?
où s est N (naïve), P (préférée), S (stable), C (complète) ou G (de base).
Proposition 4.9 Considérons la restriction de DÉRIVABILITÉS,q,s lorsque AF est un système d’argumentation symétrique. Sous cette condition, nous avons les résultats suivants :
– DÉRIVABILITÉS,∀,P = DÉRIVABILITÉS,∀,S = DÉRIVABILITÉS,∀,C = DÉRIVABILITÉS,.,G =
DÉRIVABILITÉ S,∀,N est dans P.
53
–
DÉRIVABILITÉS,∃,P
=
DÉRIVABILITÉS,∃,S
=
DÉRIVABILITÉS,∃,C
=
DÉRIVABILITÉS,∃,N
est dans
P.
Pour résumer, les différentes sémantiques de Dung appliquées aux systèmes d’argumentation symétriques nous conduisent à considérer un ensemble d’arguments comme dérivable lorsque (1) aucun de ses
éléments n’est attaqué (dérivabilité sceptique) (2) est sans conflit (dérivabilité crédule). Dans les deux cas
la dérivabilité peut être décidée de manière efficace.
54
5
Spécialisations du cadre de Dung
Sommaire
5.1
5.2
5.3
5.4
c-extensions et p-extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaisons des capacités inférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Capacité inférentielle des relations de c-inférence . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Capacité inférentielle des relations de p-inférence . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Comparaison des relations de c-inférence et de p-inférence avec l’inférence
classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Comparaison des relations de p-inférence avec les relations de c-inférence .
Complexité des relations de p-inférence et des relations de c-inférence . . . . .
56
62
65
66
66
67
73
75
Dans ce chapitre, nous allons présenter deux spécialisations du cadre de Dung. Ces spécialisations
visent à mieux traiter le cas des arguments controversés. Comme montré dans l’introduction, ces derniers
ne sont pas toujours gérés de façon adéquate par les sémantiques de Dung. Rappelons brièvement pourquoi
sur un exemple abstrait.
Exemple 5.1 Cet exemple est une reprise de l’exemple 2.5 page 21Nous formalisons cet exemple de
la manière suivante : Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, e, n, i} et R = {(b, a), (c, a), (n, c), (i, b),
(e, c), (i, e)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 5.1.
a
c
b
e
n
i
AF est bien fondé, donc AF possède une unique extension complète qui est à la fois son unique
extension préférée, son unique extension stable et son extension de base. Un système d’argumentation bien
fondé a donc la particularité de réunir toutes les relations d’inférence de Dung : ce qui peut être déduit l’est
suivant toutes les sémantiques de (Dun95) et pour tous les raisonnements (crédule et sceptique).
55
Chapitre 5. Spécialisations du cadre de Dung
E1 = {a, i, n} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension de base de AF . Ce qui signifie
que a peut être dérivé de AF . Or est-il très prudent de croire en a alors que sa défense contre b se fonde sur
i qui est controversé par rapport à a? Si nous retirons i du système d’argumentation, a n’est pas défendu
contre b. i est donc ce que nous pouvons appeler un défenseur obligatoire de a. Il nous semble peu judicieux
que celui-ci soit controversé vis-à-vis de a. Comme l’illustre cet exemple aucune des sémantiques de Dung
ne permet d’exclure a, alors que sa défense est douteuse.
Nous avons donc cherché à gérer les arguments controversés. Le problème des arguments controversés
peut être vu depuis plusieurs angles. Nous en avons identifié deux :
1. Si nous souhaitons être très précautionneux, nous pouvons dire que le problème vient du comportement de i vis-à-vis des autres arguments. i n’est pas sûr parce que i attaque indirectement et défend
indirectement a. Cette idée peut s’étendre à toute une extension comme montré dans l’introduction 1
page 3.
2. Un autre point de vue est de penser qu’il est imprudent de dériver ensemble a et i, alors que i est
controversé par rapport à a, car il existe un conflit indirect entre a et i. Plus généralement, l’existence
de conflit indirect entre deux arguments d’une même extension nous semble peu prudente (même si
ces arguments ne sont pas controversés l’un par rapport à l’autre), comme le montre l’exemple de
l’introduction (figure 1 page 3 (Est-il rationnel de dériver ensemble a et d? Est-il rationnel de dériver
qu’Ally est innocente si l’on sait que son défenseur est partial?).
Le problème 1 est un problème similaire à celui rencontré en bipolarité lorsqu’une extension appuie
un argument et dans le même temps l’attaque (CLS05a; CLS05b; MCLS05). Nous allons donc proposer
une solution similaire à celle proposée en bipolarité par les sémantiques «s» se basant sur les ensembles
sûrs : nous interdisons à une extension d’attaquer indirectement et de défendre indirectement un même
argument (CMDM05a). Pour résoudre, le problème 2, nous allons interdire les conflits indirects dans une
même extension (CMDM05b; CMDM06b).
Les preuves de ce chapitre se situent dans l’annexe B page 141. Tous les exemples de ce chapitre sont
repris dans l’annexe C page 171.
5.1 c-extensions et p-extensions
Nous présentons maintenant nos nouvelles sémantiques pour le cadre de Dung. Elles sont fondées sur
la notion de couple d’arguments super-controversé et sur la notion de conflit indirect.
Définition 5.1 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini et a, b, c ∈ A. (a, b) est supercontroversé par rapport à c si et seulement si a attaque indirectement c et b défend indirectement c.
Exemple 5.2 Nous rappelons l’exemple de l’introduction en le formalisant. Soit AF = hA, Ri avec A =
{a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (e, b), (c, b), (d, c)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 5.2 page
ci-contre. Dans AF , (d, e) est super-controversé par rapport à a.
Nous remarquons que la notion de couple d’arguments super-controversé étend la notion d’argument
controversé. En effet, a est controversé par rapport à c si et seulement si (a, a) est super-controversé par
rapport à c.
Pour résoudre les exemples 5.2 et 5.1 page précédente de manière plus satisfaisante, nous renforçons
la notion d’ensemble sans conflit.
Premièrement, nous avons ajouté la notion d’ensemble d’arguments sans controverse :
Définition 5.2 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. S ⊆ A est sans controverse si et
seulement si pour tout a, b ∈ S et pour tout c ∈ A, (a, b) n’est pas super-controversé par rapport à c.
56
5.1. c-extensions et p-extensions
a
b
c
e
d
Ce qui nous conduit à une nouvelle notion d’admissibilité plus exigeante que celle de Dung:
Définition 5.3 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. S ⊆ A est c(areful)-admissible pour
AF si et seulement si chaque a ∈ S est acceptable par rapport à S et S est sans conflit et sans controverse.
Suite de l’exemple 5.2 ∅, {d}, {e} et {a, e} sont les ensembles c-admissibles de AF (fig. 5.2).
Nous pouvons déduire directement de la définition 5.3, le lemme suivant :
Lemme 5.1 Soit a, b deux arguments d’un système d’argumentation fini AF = hA, Ri. Si a est controversé par rapport à b, alors {a} ne peut pas être inclus dans un ensemble c-admissible de AF .
Notons que l’absence d’argument controversé est une condition nécessaire pour assurer à un ensemble
d’être sans controverse, mais ce n’est pas une condition suffisante.
Suite de l’exemple 5.2 Dans AF (fig. 5.2), ni d, ni e ne sont des arguments controversés, pourtant {d, e}
n’est pas un ensemble sans controverse. Cet exemple montre que plus que l’absence d’argument controversé, la propriété d’être «sans controverse» impose à un ensemble d’arguments une forme de cohérence
vis-à-vis des arguments du système. Un ensemble sans controverse n’attaque pas indirectement et ne défend pas indirectement un même argument.
De manière alternative (si l’on regarde le problème des arguments controversés du point de vue 2) nous
raffinons la notion d’admissibilité de Dung, en demandant qu’aucun conflit indirect n’apparaisse dans un
ensemble admissible. Cela nous conduit à la notion d’ensemble p-admissible :
Définition 5.4 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. S ⊆ A est un ensemble p(rudent)admissible pour AF si et seulement si chaque a ∈ S est acceptable par rapport à S et S est sans conflit
indirect, i.e., il n’existe pas de couple d’arguments a et b de S tel que a attaque indirectement b.
Suite de l’exemple 5.2 {d, e}, ses sous-ensembles et {a, e} et ses sous-ensembles excepté {a} sont les
ensembles p-admissibles de AF (figure 5.2).
Suite de l’exemple 5.1 {i, n} et ses sous-ensembles sont les ensembles p-admissibles de AF
(fig. 5.1 page 55).
Le lemme suivant découle immédiatement de la définition 5.4 :
Lemme 5.2 Soit a, b deux arguments d’un système d’argumentation fini AF = hA, Ri. Si a est controversé par rapport à b, alors {a, b} ne peut pas être inclus dans un ensemble p-admissible de AF .
57
Notons que ce lemme n’empêche pas a et b (lorsque a est controversé par rapport à b) d’appartenir à
un ensemble p-admissible de AF , mais seulement d’appartenir au même.
Encore une fois, l’absence d’argument controversé n’est pas suffisant pour qu’un ensemble soit sans
conflit indirect.
Suite de l’exemple 5.2 Ni a, ni d ne sont controversés l’un par rapport à l’autre, pourtant {a, d} n’est pas
sans conflit indirect.
D’après (Dou02), chaque argument d’un circuit de longueur impaire est controversé par rapport à un
argument du circuit. Notons que si a appartient à un circuit de longueur impaire, il est controversé par
rapport à lui-même (un tour de circuit le conduit à lui par un chemin de longueur impaire, deux tours de
circuit le conduisent à lui par un chemin de longueur paire). Cette particularité fait qu’un tel argument ne
peut appartenir ni à un ensemble c-admissible, ni à un ensemble p-admissible. En cela, nous nous opposons
à Baroni et al. (BGG05). Il nous semble important que les arguments d’un circuit de longueur impaire ne
puissent pas appartenir à un ensemble admissible, et, par cela, que les éléments des circuits de longueur
impaire soient traités de manière dissymétrique par rapport à ceux des circuits de longueur paire. En effet,
un argument d’un circuit de longueur impaire doit être rejeté car il s’attaque indirectement, et de ce fait,
être considéré comme peu fiable.
Les deux derniers lemmes illustrent un second point à propos duquel nous sommes en désaccord avec
(BGG05). Pour eux, la construction des extensions (et donc des ensembles admissibles) doit répondre au
critère de directionnalité. Ce critère indique que le statut d’un argument ne dépend que de ses prédécesseurs
dans le graphe d’attaque. Ainsi, seuls les arguments précédant les arguments d’un ensemble dans le graphe
d’attaque de AF vont intervenir pour décider si cet ensemble est admissible ou pas. Or, il est reconnu
dans la littérature que les arguments controversés posent problème. S’ils posent problème, c’est à cause
de leur comportement vis-à-vis d’arguments qui les suivent dans le graphe d’attaque de AF . Occulter les
arguments «suivants», c’est occulter le problème des arguments controversés. C’est donc sciemment que
nos ensembles c-admissibles et p-admissibles, ainsi que les extensions qui en découlent, ne respectent pas
le principe de directionnalité.
Pour ces nouvelles notions d’admissibilité, nous n’avons pas de lemme aussi puissant que le lemme
fondamental de Dung ; nous pouvons néanmoins énoncer le lemme suivant pour les ensembles p-admissibles 8 :
Lemme 5.3 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini, S ⊆ A un ensemble p-admissible de AF ,
et a, b ∈ A tel que
1. il existe c, d ∈ A tel que (c, a) ∈ R et (d, b) ∈ R,
2. a est acceptable par rapport à S et S ∪ {a} est sans conflit indirect,
3. b est acceptable par rapport à S et S ∪ {b} est sans conflit indirect.
Nous avons :
1. S ′ = S ∪ {a} est un ensemble p-admissible de AF ,
2. b est acceptable par rapport à S ′ et S ′ ∪ {b} est sans conflit indirect.
Sur la base de ces deux nouvelles notions d’admissibilité, nous construisons de nouvelles notions d’extension : les c-extensions et les p-extensions. Nous commençons par définir les c-extensions 9 préférées et
les p-extensions préférées.
8. Un lemme similaire peut être énoncé pour les ensembles c-admissibles, mais il ne nous est d’aucune utilité dans la suite ;
nous nous abstenons donc de le formuler.
9. C’est une notation qui n’a rien à voir avec celle utilisée en bipolarité par (CLS05b; MCLS05)
58
Définition 5.5 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Un ensemble c-admissible (resp. padmissible) S ⊆ A est une c-extension préférée (resp. une p-extension préférée) de AF si et seulement
si ∄S ′ ⊆ A tel que S ⊂ S ′ et S ′ est un ensemble c-admissible (resp. p-admissible).
Suite de l’exemple 5.2 {a, e} et {d} sont les c-extensions préférées de AF (fig. 5.2 page 57). {a, e} et
{d, e} sont les p-extensions préférées de AF .
Nous avons la proposition suivante :
Proposition 5.1 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini.
1. L’ensemble de tous les ensembles c-admissibles (resp. p-admissibles) de AF forme un ordre partiel
complet pour l’inclusion ensembliste.
2. Pour chaque ensemble c-admissible (resp. p-admissible) S ⊆ A pour AF , il existe au moins une
c-extension préférée (resp. une p-extension préférée) E ⊆ A telle que S ⊆ E.
Comme ∅ est un ensemble c-admissible et un ensemble p-admissible pour chaque AF , nous obtenons :
Corollaire 5.1 Chaque système d’argumentation fini AF = hA, Ri possède au moins une c-extension
préférée et au moins une p-extension préférée.
Quels arguments peut-on trouver dans une c-extension préférée et dans une p-extension préférée? L’ensemble de tous les arguments non attaqués de AF est forcément inclus dans une p-extension préférée, mais
pas obligatoirement dans une c-extension préférée. Néanmoins, chaque argument non attaqué appartient à
au moins une c-extension préférée. Alors que l’ensemble de tous les arguments non attaqués est inclus dans
toutes les extensions préférées, ce n’est le cas ni pour les c-extensions préférées, ni pour les p-extensions
préférées.
Lemme 5.4 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini et S ⊆ A l’ensemble de tous les arguments non attaqués de AF . Il existe au moins une p-extension préférée E de AF telle que S ⊆ E.
Suite de l’exemple 5.2 Dans AF (fig. 5.2 page 57), E1′ = {a, e} et E2′ = {d} sont les c-extensions
préférées, et E1′ et E1′′ = {d, e} sont les p-extensions préférées.
Soit S = {d, e} l’ensemble de tous les arguments non attaqués de AF . Chaque élément de S appartient
à E1′ ∪ E2′ , en revanche S 6⊆ E1′ et S 6⊆ E2′ . S ⊆ E1′′ . S 6⊆ E1′ ∩ E2′ et S 6⊆ E1′ ∩ E1′′ .
Définition 5.6 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. AF est c-trivial (resp. p-trivial) si et
seulement si son unique c-extension préférée (resp. p-extension préférée) est l’ensemble vide.
Exemple 5.3 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c} et R = {(b, a), (b, c), (c, a)}. Le graphe d’attaque de
c
a
b
59
b est controversé par rapport à a, donc il ne peut pas appartenir à une c-extension préférée de AF . a et
c ne sont pas défendus contre b, ils ne peuvent donc pas appartenir à une c-extension préférée. Donc AF
est c-trivial.
Exemple 5.4 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (c, b), (d, c), (e, c), (d, e),
(e, d), (a, d), (a, e)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 5.4.
a
b
c
e
d
AF est p-trivial: tous ses arguments appartiennent à un circuit de longueur impaire.
Intéressons-nous maintenant à une sémantique plus agressive que la sémantique préférée, une sémantique pour laquelle les extensions attaquent tout ce qui leur est extérieur : la sémantique stable.
Définition 5.7 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Un ensemble S ⊆ A sans conflit et
sans controverse (resp. un ensemble S ⊆ A sans conflit indirect) est une c-extension stable (resp. une
p-extension stable) de AF si et seulement si S attaque (directement) tous les arguments de A \ S.
Exemple 5.5 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (a, b), (c, b), (d, c), (b, e)}. Le
graphe d’attaque de AF est représenté figure 5.5.
e
a
b
c
d
E1 = {b, d} est l’unique c-extension stable et l’unique p-extension stable de AF .
Contrairement aux c-extensions préférées et aux p-extensions préférées, un système d’argumentation
fini ne possède pas toujours une c-extension stable ou une p-extension stable.
Suite de l’exemple 5.2 AF (fig. 5.2 page 57) n’a ni c-extension stable, ni p-extension stable.
Par définition, lorsque AF 6= ∅, les c-extensions stables et les p-extensions stables, si elles existent ne
peuvent pas être vides.
Finalement, comme pour les extensions de Dung, nous avons :
Lemme 5.5 Chaque c-extension stable (resp. p-extension stable) d’un système d’argumentation fini AF
est aussi une c-extension préférée (resp. p-extension préférée) de AF . La réciproque n’est pas vérifiée.
60
Contrairement aux extensions stables, un système d’argumentation bien fondé ne possède pas obligatoirement une c-extension stable, ni une p-extension stable. De plus, il existe des systèmes d’argumentation
controversés de manière limitée qui ne possèdent ni c-extension stable, ni p-extension stable.
Suite de l’exemple 5.1 AF (fig. 5.1 page 55) est controversé de manière limité et bien fondée. Pourtant il
ne possède ni c-extension stable, ni p-extension stable.
Nous expliquons maintenant comment les c-extensions et les p-extensions peuvent être caractérisées à
l’aide de construction de point fixe.
Définition 5.8 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini.
c de AF est définie comme suit :
– La fonction c-caractéristique FAF
c : 2A −→ 2A
FAF
c (S) = {a | a est acceptable par rapport à S et S ∪ {a} est sans conflit et sans controverse }.
FAF
p
– La fonction p-caractéristique FAF
de AF est définie comme suit:
p
A
A
FAF : 2 −→ 2
p
FAF
(S) = {a | a est acceptable par rapport à S et S ∪ {a} est sans conflit indirect }.
Nous avons immédiatement :
Lemme 5.6 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini et S ⊆ A un ensemble sans conflit et
sans controverse (resp. sans conflit indirect). S est un ensemble c-admissible (resp. p-admissible) si et
c (S) (resp. S ⊆ F p (S)).
seulement si S ⊆ FAF
AF
Nos fonctions c-caractéristiques et p-caractéristiques ne possèdent pas la même propriété que celle
définie par Dung. Ainsi, elles ne sont pas monotones. Nous ne pouvons donc pas utiliser le théorème de
Knaster-Tarski pour garantir l’existence d’un plus petit point fixe.
Suite de l’exemple 5.2 Soit S1 = ∅, S2 = {e} et S3 = {e, d}. S1 ⊆ S2 ⊆ S3 .
c (S ) = {d, e} et F c (S ) = {e, a}. F c (S ) 6⊆ F c (S ), donc F c n’est pas monotone.
FAF
1
2
1
2
AF
AF
AF
AF
p
p
p
p
p
FAF
(S2 ) = {d, e, a} et FAF
(S3 ) = {e, d}. FAF
(S2 ) 6⊆ FAF
(S3 ), donc FAF
n’est pas monotone.
p
Néanmoins, la suite (FAF
(∅))i∈N est monotone et tous ses éléments sont des ensembles p-admissibles.
p
Lemme 5.7 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. La suite (FAF
(∅))i∈N est monotone par
rapport à ⊆, et chacun de ses éléments est un ensemble p-admissible de AF .
p
Comme A est fini, la suite (FAF
(∅))i∈N est stationnaire à partir d’un rang j, donc la définition suivante
de la notion de p-extension faible est bien fondée :
Définition 5.9 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini et j le plus petit entier positif tel que
p
p,j
la suite (FAF
(∅))i∈N est stationnaire à partir du rang j. FAF
(∅) est la p-extension faible de AF .
Suite de l’exemple 5.2 E1′′ = {d, e} est la p-extension faible de AF (fig. 5.2 page 57).
Comme l’extension de base, la p-extension faible d’un système d’argumentation AF contient l’ensemble des éléments de A qui ne sont pas attaqués.
Lemme 5.8 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si le graphe d’attaque de AF est sans
circuit, alors la p-extension faible de AF est non vide.
61
Alors que l’extension de base d’un système d’argumentation AF est incluse dans toutes les extensions
préférées de AF , la p-extension faible de AF n’est pas incluse dans toutes les p-extensions préférées de
AF .
Suite de l’exemple 5.2 Dans AF (fig. 5.2 page 57), E1′′ = {d, e} est la p-extension faible et n’est pas
incluse dans E1′ = {a, e} une des p-extensions préférées.
Nous avons décidé de ne pas définir une notion analogue de c-extension faible, car elle est souvent trop
prudente (cf. chapitre 6, paragraphe 6.2.3 page 103)
5.2 Quelques propriétés
En premier lieu, nous obtenons directement la proposition suivante :
– Chaque ensemble c-admissible (resp. ensemble p-admissible) est un ensemble admissible. La réciproque n’est pas vérifiée.
– Chaque ensemble c-admissible est un ensemble p-admissible. La réciproque n’est pas vérifiée.
– Chaque c-extension stable (resp. p-extension stable) est une extension stable (resp. extension préférée, extension complète).
– Chaque c-extension stable est une p-extension stable (resp. une p-extension préférée).
Clairement cela n’implique pas que chaque c-extension préférée soit une extension préférée (resp. une
p-extension préférée) qui est sans conflit ni controverse, car une c-extension préférée est un ensemble
c-admissible maximal pour l’inclusion ensembliste. Nous pouvons faire la même remarque pour les pextensions préférées et les extensions préférées. Néanmoins, nous pouvons tout de même déduire de la
proposition 5.2 le corollaire suivant :
Corollaire 5.2 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini.
– Pour chaque c-extension préférée (resp. p-extension préférée) E ′ de AF , il existe au moins une
extension préférée E de AF telle que E ′ ⊆ E.
– Pour chaque c-extension préférée E ′ de AF , il existe au moins une p-extension préférée E de AF
telle que E ′ ⊆ E.
Ce corollaire montre en particulier que lorsque AF possède une unique extension préférée E (e.g.
lorsque AF est trivial, ou lorsque AF est bien fondé ou lorsque le graphe d’attaque de AF est sans circuit
de longueur paire), E contient toutes les c-extensions préférées et toutes les p-extensions préférées de AF .
Cependant, contrairement aux extensions préférées, un système d’argumentation bien fondé peut posséder
plusieurs c-extensions préférées et plusieurs p-extensions préférées.
Suite de l’exemple 5.2 AF (fig. 5.2 page 56) est bien fondé. Pourtant AF possède deux c-extensions
préférées (E1′ = {a, e} et E2′ = {d}) et deux p-extensions préférées (E1′ et E1′′ = {d, e}).
De même, lorsqu’un système d’argumentation AF ne possède qu’une p-extension préférée (e.g. AF
est p-trivial), cette dernière contient toutes les c-extensions préférées.
Comme pour les extensions préférées, la présence de circuit de longueur paire dans le graphe d’attaque
de AF n’empêche pas l’existence d’une unique c-extension préférée ou d’une unique p-extension préférée.
Remarquons également qu’une extension préférée ne contient pas forcément une c-extension préférée ou
une p-extension préférée. Ces deux points sont illustrés par l’exemple suivant :
62
5.2. Quelques propriétés
a
n
i
b
c
e
d
Exemple 5.6 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, i, n} et R = {(b, a), (a, i), (c, b), (d, c), (e, c),
(d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 5.6.
E1 = {a, c, n}, E2 = {d, b, i} et E3 = {b, d, n} sont les extensions préférées de AF . E1′ = {n}
est l’unique c-extension préférée et l’unique p-extension préférée de AF . Le graphe d’attaque contient
un circuit de longueur paire, néanmoins il n’existe qu’une seule c-extension préférée et qu’une seule pextension préférée pour AF .
E1′ 6⊆ E2 . Donc E2 ne contient ni c-extension préférée, ni p-extension préférée.
De même, une p-extension préférée ne contient pas obligatoirement une c-extension préférée.
Exemple 5.7 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, e, n, i} et R = {(b, e), (b, c), (c, e), (b, a), (a, i),
(n, i), (i, n)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 5.7.
c
e
a
i
n
b
E1′ = {n} est l’unique c-extension préférée de AF . E1 = {b, i} et E1′ sont les p-extensions préférées
de AF . E1′ 6⊆ E1 donc E1 ne contient pas de c-extension préférée.
Une autre conséquence de la proposition 5.2 page ci-contre concerne les systèmes d’argumentation
triviaux (resp. p-triviaux) :
– Si AF est trivial, alors AF est c-trivial (resp. p-trivial). La réciproque n’est pas vérifiée.
– Si AF est p-trivial, alors AF est c-trivial. La réciproque n’est pas vérifiée.
Concernant la p-extension faible d’un système d’argumentation, nous avons montré les lemmes suivants :
Lemme 5.9 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Pour tout entier positif i, nous avons :
p,i
i (∅).
FAF
(∅) ⊆ FAF
63
Lemme 5.10 La p-extension faible d’un système d’argumentation AF = hA, Ri est incluse dans l’extension de base de AF .
Ces lemmes nous sont utiles pour démontrer la proposition suivante.
Proposition 5.3 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si AF possède une p-extension
stable, alors la p-extension faible de AF et l’extension de base de AF coïncident.
Grâce à la proposition 5.2 page 62 cette propriété est vérifiée lorsqu’il existe une c-extension stable.
La présence d’une p-extension stable dans un système d’argumentation AF impose que ce dernier soit
relativement de base.
stable, l’extension de base (resp. la p-extension faible) de AF et l’intersection de toutes les extensions
préférées coïncident.
La proposition 5.2 page 62 induit que cette proposition est vérifiée lorsque AF possède une c-extension
stable.
stable, alors l’intersection des p-extensions préférées de AF est incluse dans l’extension de base (resp.
p-extension faible) de AF .
Comme d’après (Dun95), l’extension de base de AF est incluse dans chaque extension préférée de AF
et dans chaque extension stable de AF , il en va de même pour l’intersection des p-extensions préférées
lorsque AF possède une p-extension stable. La proposition 5.2 page 62 montre que cette proposition et
cette remarque sont vérifiées lorsque AF possède une c-extension stable.
La présence d’une c-extension stable permet également un certain nombre de propriétés.
La première concerne l’intersection des c-extensions préférées :
Proposition 5.6 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si AF possède une c-extension
stable, l’intersection de toutes les c-extensions préférées de AF est incluse dans l’extension de base (resp.
la p-extension faible) de AF .
Comme d’après (Dun95), l’extension de base de AF est incluse dans chaque extension préférée de AF
et dans chaque extension stable de AF , il en va de même pour l’intersection des c-extensions préférées
lorsque AF possède une c-extension stable.
Quelle est l’influence de la présence d’une c-extension stable sur la présence d’arguments controversés? Pour l’expliciter, nous avons d’abord besoin du lemme suivant :
Lemme 5.11 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. AF est controversé de manière limitée
si et seulement si le graphe d’attaque de AF ne possède pas de circuit de longueur impaire.
Ce qui nous permet de prouver le lemme suivant :
Lemme 5.12 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si AF possède une c-extension stable,
alors AF est controversé de manière limitée.
En conséquence :
Corollaire 5.4 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si AF possède une c-extension stable,
alors AF est cohérent.
64
5.3. Comparaisons des capacités inférentielles
Ce qui nous permet d’obtenir la proposition suivante :
Proposition 5.7 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini tel que AF possède une c-extension
stable. Pour chaque c-extension préférée E ′ de AF , il existe au moins une extension stable S de AF telle
que E ′ ⊆ S.
Nous allons chercher à raisonner à partir de ces nouvelles sémantiques. Nous voulons connaître les
arguments que l’on peut déduire en prenant en compte ces nouvelles contraintes. Nous disons qu’un ensemble S est dérivable pour un système d’argumentation AF donné s’il appartient à une (raisonnement
crédule) ou à toutes les (raisonnement sceptique) c-extension(s) (resp. p-extension(s)) sous une sémantique donnée. Ce que nous notons :
Notation 5.1
– |∼q,s
c dénote la relation d’inférence obtenue en considérant la sémantique s (s = P pour la sémantique des c-extensions préférées, et s = S pour la sémantique des c-extensions stables) et le principe
d’inférence q, soit l’inférence crédule (q = ∃), soit l’inférence sceptique (q = ∀). Nous parlons de
relation de c-inférence.
– |∼q,s
p dénote la relation d’inférence obtenue en considérant la sémantique s (s = P pour la sémantique des p-extensions préférées, s = S pour la sémantique des p-extensions stables et s = W pour
la sémantique de la p-extension faible) et le principe d’inférence q, soit l’inférence crédule (q = ∃),
soit l’inférence sceptique (q = ∀). Nous parlons de relation de p-inférence.
Pour le cas particulier de la p-extension faible, nous notons q = ., car il n’existe qu’une p-extension
faible, et le raisonnement crédule et le raisonnement sceptique sont donc confondus.
Suite de l’exemple 5.7 De AF (fig. 5.7 page 63), nous pouvons déduire (entre autres) :
∃,P
– AF |∼∃,P
p {n} et AF |∼c {n} ;
∀,P
– AF |∼∀,P
p ∅ et AF |∼c {n} ;
∃,S
– AF |∼∃,S
p {b, i} et AF |∼c ∅ ;
∀,S
– AF |∼∀,S
p {b, i} et AF |∼c A ;
– AF |∼.,W
p {d}.
5.3 Comparaisons des capacités inférentielles
Nous nous intéressons dans ce paragraphe aux capacités inférentielles des nouvelles relations introduites, afin de pouvoir les comparer entre elles et avec les relations proposées par Dung, de façon systématique. La capacité inférentielle des relations d’inférence est ainsi définie : nous disons que |∼q,s
x a une
′ ′
q ′ ,s′
capacité inférentielle au plus égale à celle de |∼qx′,s , noté |∼q,s
⊆
|∼
si
et
seulement
si
pour
chaque
x
x′
q,s
q ′ ,s′
AF = hA, Ri et chaque S ⊆ A, si AF |∼x S alors AF |∼x′ S.
Nous rappelons que d’après la proposition 5.2 page 62, pour tout système d’argumentation fini, l’existence d’une c-extension stable impose l’existence d’une p-extension stable et d’une extension stable ; de
même, l’existence d’une p-extension stable impose l’existence d’une extension stable.
Nous allons devoir étudier tour à tour les systèmes d’argumentation possédant une c-extension stable ;
ceux ne possédant pas de c-extension stable, mais possédant une p-extension stable ; ceux possédant une
extension stable, mais ne possédant pas de p-extension stable ; et ceux ne possédant pas d’extension stable.
En effet si AF n’a pas d’extension stable (resp. c-extension stable, p-extension stable), alors |∼∀,S (resp.
65
∀,S
∃,S (resp. |∼∃,S , |∼∃,S ) trivialisent : chaque argument appartient à l’image de AF par
|∼∀,S
c , |∼p ) et |∼
c
p
∀,S
∃,S (resp. |∼∃,S , |∼∃,S ).
|∼∀,S (resp. |∼∀,S
c , |∼p ), et aucun argument n’appartient à l’image de AF par |∼
c
p
Dans un tel scénario, l’inférence crédule par rapport à la sémantique stable (resp. c-stable, p-stable) a une
capacité inférentielle moindre que l’inférence sceptique pour la sémantique stable (resp. c-stable, p-stable),
ce qui est plutôt inattendu.
5.3.1 Capacité inférentielle des relations de c-inférence
Nous récapitulons les liens entre les capacités inférentielles des relations de c-inférence dans les deux
propositions suivantes :
Proposition 5.8 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de c-inférence lorsqu’il existe une
c-extension stable sont synthétisés dans le tableau 5.1.
|∼∃,P
c
|∼∃,S
c
|∼∀,P
c
|∼∀,S
c
|∼∃,P
c
⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∃,S
c
6⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∀,P
c
6⊆
6⊆
⊆
6⊆
|∼∀,S
c
6⊆
6⊆
⊆
⊆
TAB . 5.1 – Liens entre les relations de c-inférence en présence de c-extension stable.
Notons que les liens entre les capacités inférentielles des relations de c-inférence sont similaires à ceux
unissant les capacités inférentielles des relations d’inférence Dung (en présence d’extension stable) :
|∼∀,P
⊂ |∼∀,S
⊂ |∼∃,S
⊂ |∼∃,P
c
c
c
c .
Proposition 5.9 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de c-inférence en absence de cextension stable sont synthétisés dans le tableau 5.2.
|∼∃,P
c
|∼∀,P
c
|∼∃,P
c
⊆
⊆
|∼∀,P
c
6⊆
⊆
TAB . 5.2 – Liens entre les relations de c-inférence en absence de c-extension stable.
Notons que les résultats obtenus dans le tableau 5.2 sont cohérents avec ceux du tableau 5.1.
5.3.2 Capacité inférentielle des relations de p-inférence
Nous récapitulons les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence dans les deux
propositions suivantes :
Proposition 5.10 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence en présence d’une
p-extension stable sont synthétisés dans le tableau 5.3 page ci-contre.
66
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
|∼∀,P
p
|∼∀,S
p
.,W
|∼p
|∼∃,P
p
⊆
⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∃,S
p
6⊆
⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∀,P
p
6⊆
6⊆
⊂
6⊆
6⊆
|∼∀,S
p
6⊆
6⊆
⊆
⊆
⊆
|∼.,W
p
6⊆
6⊆
⊆
6⊆
⊆
TAB . 5.3 – Liens entre les relations de p-inférence en présence de p-extension stable.
Nous notons que les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence (excepté celle
liée à la p-extension faible) sont similaires à ceux unissant les capacités inférentielles des relations d’inférence Dung (en présence d’extension stable) :
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊂ |∼∀,S
p
p ⊂ |∼p ⊂ |∼p .
Proposition 5.11 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence en absence de
p-extension stable sont synthétisés dans le tableau 5.4.
|∼∃,P
p
|∼∀,P
p
.,W
|∼p
|∼∃,P
p
⊆
⊆
⊆
|∼∀,P
p
6⊆
⊆
6⊆
|∼.,W
p
6⊆
6⊆
⊆
TAB . 5.4 – Liens entre les relations de p-inférence en absence de p-extension stable.
Notons que les résultats obtenus dans le tableau 5.4 sont cohérents avec ceux du tableau 5.3.
5.3.3 Comparaison des relations de c-inférence et de p-inférence avec l’inférence classique
5.3.3.1
Comparaison des relations de c-inférence avec les relations d’inférence classique
Nous commençons par nous intéresser au cas où il existe une c-extension stable.
Proposition 5.12 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de c-inférence et celles des relations d’inférence classique en présence de c-extension stable sont synthétisés dans le tableau 5.5.
|∼∃,P = |∼∃,S
= |∼∀,S = |∼.,G
|∼∀,P
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
|∼∃,S
c
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
|∼∀,S
c
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
TAB . 5.5 – Liens entre les relations de c-inférence et d’inférence classique en présence de c-extension
stable.
Les tableaux 5.1 page précédente et 5.5 sont synthétisés dans le diagramme de Hasse présenté figure 5.8
page suivante.
67
|∼.,G = |∼∀,P = |∼∀,S
|∼∃,S = |∼∃,P
6 QQ
Q
Q
Q
s
Q
|∼∀,P
c
- |∼∃,S
c
|∼∀,S
c
Q
k
Q
Q
Q
Q
Q
- |∼∃,P
c
F IG . 5.8 – Liens entre les relations de c-inférence et d’inférence classique en présence de c-extension
stable.
Remarquons que la c-inférence liée au raisonnement sceptique sous la sémantique préférée est celle
qui a la capacité inférentielle la plus faible. Elle est même plus prudente que l’inférence classique liée
à l’extension de base. Pour (BGG05), une relation d’inférence ne doit pas être plus prudente que celle
liée à l’extension de base. Nous ne partageons pas cet avis ; en effet, dans le cas général rien n’empêche
l’extension de base d’avoir un comportement hasardeux (voir les motivations concernant l’exemple 5.1
page 55).
Exemple 5.8 Reprenons l’exemple 4.2 page 52. Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, i, n} et R =
{(i, n), (n, a), (b, a), (c, a), (d, c), (b, d), (d, b)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 5.9.
i
n
a
c
b
d
E1 = {i, a, d} et E2 = {i, b, c} sont les extensions préférées et les extensions stables de AF . E3 = {i}
est l’extension de base de AF .
E1 et E1′ = {b, c} sont les c-extensions préférées de AF . E1 est la c-extension stable de AF .
AF |∼.,G {i} et AF |∼∀,P
c ∅.
Dans le cas particulier où il existe une c-extension stable, être en accord avec l’extension de base
impose de toujours prendre l’argument i, même si (b, i) est super-controversé par rapport à a, et donc
interdit de prendre l’argument b, alors que celui-ci peut être tout à fait acceptable. Pourquoi rejeter b alors
qu’il se défend tout seul contre son unique attaquant et qu’il n’est pas controversé?
En revanche comme toutes les relations de c-inférence sont incluses dans la relation d’inférence classique lié au raisonnement crédule sous la sémantique préférée, nous pouvons garantir que les ensembles
que nous dérivons ne sont pas hasardeux : ils sont bien inclus dans un ensemble sans conflit et sachant se
défendre.
Étudions le cas où il existe une extension stable, mais pas de c-extension stable.
Proposition 5.13 Les liens entre capacités inférentielles des relations de c-inférence et celles des relations
d’inférence classique en absence de c-extension stable, mais en présence d’extension stable sont synthétisés
dans le tableau 5.6 page suivante.
On indique un résultat non démontré par un «?».
68
|∼∃,P
|∼∃,S
|∼∀,P
|∼∀,S
|∼.,G
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, ?
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, ?
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
TAB . 5.6 – Liens entre les relations de c-inférence et d’inférence classique en absence de c-extension
stable, mais en présence d’extension stable.
|∼.,G = |∼∀,P
-
|∼∀,S
|∼∀,P
c
|∼∃,S
|∼∃,P
p
p
p
3
p3
p6
pp
pp
pp p
p
pp
pp
p
pp
- |∼∃,P
c
F IG . 5.10 – Liens entre les relations de c-inférence et d’inférence classique en absence de c-extension
stable et en présence de p-extension stable.
Les tableaux 5.2 page 66 et 5.6 page suivante sont synthétisés dans le diagramme de Hasse présenté
figure 5.10 page ci-contre.
Les flèches en pointillée expriment l’ignorance. On conjecture que |∼∀,P
⊆ |∼∃,S et que |∼∃,P
⊆ |∼∃,S ,
c
c
mais nous n’avons pas réussi à le démontrer pour le moment. L’égalité |∼.,G = |∼∀,P vient de la proposition
5.4 page 64.
Les tableaux 5.2 page 66 et 5.6 sont synthétisés dans le diagramme de Hasse présenté figure 5.11.
|∼.,G
-
|∼∀,P
-
|∼∀,S
-
|∼∃,S
p p pp6
pp
p
p
pp
p
p
pp
p
p
pp
pp
- |∼∃,P
|∼∀,P
c
-
|∼∃,P
c
F IG . 5.11 – Liens entre les relations de c-inférence et d’inférence classique en absence de p-extension
stable et en présence d’extension stable.
Dans un cas comme dans l’autre, les relations de c-inférence se comportent comme les relations d’inférence classique (en absence d’extension stable). Encore une fois, comme toutes les relations de c-inférence
sont incluses dans la relation d’inférence classique liée au raisonnement crédule sous la sémantique préférée, nous pouvons garantir que les ensembles que nous dérivons ne sont pas hasardeux : ils sont bien inclus
dans un ensemble sans conflit et sachant se défendre. Comme nous ne connaissons pas la nature exacte
des liens entre la relation de c-inférence sous la sémantique préférée et la relation d’inférence classique
associée au raisonnement crédule sous la sémantique stable, nous ne pouvons conclure plus avant.
Terminons par le cas des systèmes sans extension stable.
Proposition 5.14 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de c-inférence et celles des relations d’inférence classique en absence d’extension stable sont synthétisés dans le tableau 5.7.
69
|∼∃,P
|∼∀,P
|∼.,G
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
TAB . 5.7 – Liens entre les relations de c-inférence et d’inférence classique en absence d’extension stable.
Les tableaux 5.2 page 66 et 5.7 page suivante sont synthétisés dans le diagramme de Hasse présenté
figure 5.12 page suivante.
|∼.,G
- |∼∀,P
|∼∀,P
c
- |∼∃,P
c
- |∼∃,P
3
F IG . 5.12 – Liens entre les relations de c-inférence et d’inférence classique en absence d’extension stable.
Les relations de c-inférence se comportent comme les relations d’inférence classique (en absence d’extension stable). La relation de c-inférence liée au raisonnement sceptique sous la sémantique préférée est
incomparable avec la relation d’inférence classique liée à l’extension de base, ce qui semble normal comme
nous l’avons vu plus haut. Nous pouvons encore garantir l’absence d’arguments considérés hasardeux par
Dung.
5.3.3.2
Comparaison des relations de p-inférence avec les relations d’inférence classique
Proposition 5.15 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations d’inférence classique en présence de c-extension stable sont synthétisés dans le tableau 5.8.
|∼∀,P
|∼∃,P = |∼∃,S
= |∼∀,S = |∼.,G = |∼.,W
p
|∼∃,P
p
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
|∼∃,S
p
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
|∼∀,P
p
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
|∼∀,S
p
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
TAB . 5.8 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en présence de c-extension
stable.
En présence de c-extension stable, le comportement des relations de p-inférence vis-à-vis des relations
d’inférence classique est le même que celui des relations de c-inférence vis-à-vis des relations d’inférence
classique. La relation de p-inférence liée au raisonnement sceptique sous la sémantique préférée est celle
qui a la capacité inférentielle la plus faible. Elle est même plus prudente que l’inférence classique liée à
l’extension de base. Encore une fois, nous considérons comme imprudent d’être en accord avec l’extension de base ; en effet, dans le cas général, rien n’empêche l’extension de base d’avoir un comportement
hasardeux (voir les motivations concernant l’exemple 5.1 page 55). Si nous sommes en accord avec l’extension de base, cela oblige chacune des p-extensions préférées à contenir chaque argument non attaqué
70
|∼.,W
= |∼.,G = |∼∀,P = |∼∀,S
p
|∼∀,P
p
*
|∼∃,S = |∼∃,P
6
?
- |∼∃,S
p
|∼∀,S
p
- |∼∃,P
p
F IG . 5.13 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en présence de c-extension
stable.
ce que nous ne voulons pas. C’est de cette non-obligation à contenir tous les arguments non attaqués du
système que s’explique le fait étonnant que la relation de p-inférence liée au raisonnement sceptique sous
la sémantique préférée a une capacité inférentielle au plus égale à celle de la p-inférence prudente liée à la
p-extension faible.
En revanche, comme toutes les relations de p-inférence sont incluses dans la relation d’inférence classique liée au raisonnement crédule sous la sémantique préférée, nous pouvons garantir que les ensembles
que nous dérivons ne sont pas hasardeux : ils sont bien inclus dans un ensemble sans conflit et sachant se
défendre.
Tournons-nous vers le cas où il n’existe pas de c-extension stable, mais où le système d’argumentation
possède une p-extension stable.
Proposition 5.16 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations d’inférence classique en absence de c-extension stable, mais en présence de p-extension stable sont
synthétisés dans le tableau 5.9.
|∼∀,P
|∼∃,P
|∼∃,S
= |∼.,G = |∼.,W
p
|∼∀,S
|∼∃,P
p
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
|∼∃,S
p
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
|∼∀,P
p
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
|∼∀,S
p
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
TAB . 5.9 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en absence de c-extension
stable, mais en présence de p-extension stable.
|∼.,W
= |∼.,G = |∼∀,P
p
-
|∼∀,S
6
|∼∃,S
-
|∼∃,P
6
6
- |∼∃,S
p
- |∼∃,P
p
?
|∼∀,P
p
|∼∀,S
p
F IG . 5.14 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en absence de c-extension
71
La relation de p-inférence prudente liée au raisonnement sceptique sous la sémantique préférée est celle
qui possède la plus petite capacité inférentielle. Les relations de p-inférence sont toutes plus prudentes (i.e.
avec une moindre capacité inférentielle) que leur pendant dans les relations d’inférence classique.
Proposition 5.17 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations d’inférence classique en absence de p-extension stable, mais en présence d’extension stable sont
synthétisés dans le tableau 5.10.
|∼∃,P
|∼∃,S
|∼∀,P
|∼∀,S
|∼.,G
|∼∃,P
p
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
p
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼.,W
p
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
TAB . 5.10 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en absence de p-extension
|∼.,G
k
Q
Q
Q
|∼∀,P
-
|∼.,W
p
- |∼∃,P
p
|∼∀,S
-
∃,P
1 |∼
|∼∀,P
|∼∃,S
p
F IG . 5.15 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en absence de p-extension
La relation de p-inférence sous la sémantique faible possède une capacité inférentielle plus faible que
celle des relations d’inférence classique. Elle est, en revanche, incomparable avec la relation de p-inférence
associée au raisonnement sceptique sous la sémantique préférée. Tout ce qui peut être dérivé à partir de
la relation de p-inférence sous la sémantique faible et tout ce qui peut être dérivé à partir de la relation
de p-inférence associée au raisonnement sceptique sous la sémantique préférée peut être inféré de façon
crédule sous la sémantique des p-extensions préférées.
Terminons par le cas où le système d’argumentation ne possède pas d’extension stable.
Proposition 5.18 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations d’inférence classique en absence d’extension stable sont synthétisés dans le tableau 5.11.
|∼∃,P
|∼∀,P
|∼.,G
|∼∃,P
p
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
p
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼.,W
p
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
TAB . 5.11 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en absence d’extension stable.
72
Les tableaux 5.4 page 67 et 5.11 sont synthétisés dans le diagramme de Hasse présenté figure 5.16 page
ci-contre.
|∼.,G
-
-
|∼∀,P
6
|∼.,W
p
|∼∃,P
- |∼∃,P p
|∼∀,P
p
F IG . 5.16 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en absence d’extension stable.
Nous pouvons faire les mêmes commentaires que ceux fait à la figure 5.15 page précédente.
Pour terminer l’étude concernant les capacités inférentielles de nos nouvelles relations d’inférence, il
ne nous reste plus qu’à comparer les relations de p-inférence et les relations de c-inférence.
5.3.4 Comparaison des relations de p-inférence avec les relations de c-inférence
Proposition 5.19 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations de c-inférence en présence de c-extension stable sont synthétisés dans le tableau 5.12.
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
∀,P
|∼p
|∼∀,S
p
|∼.,W
p
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
|∼∃,S
c
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ?
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
|∼∀,S
c
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
TAB . 5.12 – Liens entre les relations de p-inférence et de c-inférence en présence de c-extension stable.
Le tableau 5.1 page 66 donnant les liens entre les relations de c-inférence, le tableau 5.3 page 67
donnant les liens entre les relations de p-inférence et le tableau 5.12 sont synthétisés dans le diagramme de
Hasse présenté figure 5.17.
- |∼.,W
p
|∼∀,P
p
- |∼∀,S
p
6
p
Ip p
|∼∃,S
p
- |∼∃,P
p
6
6
- |∼∃,S
c
- |∼∃,P
c
pp
pp
pp
p
|∼∀,P
c
?
|∼∀,S
c
F IG . 5.17 – Liens entre les relations de p-inférence et de c-inférence en présence de c-extension stable.
Les relations de c-inférence semblent plus prudentes que les relations de p-inférence. Néanmoins,
nous ne pouvons pour l’instant rien conclure à propos des relations d’inférence associées au raisonnement
sceptique sous les sémantiques préférées.
73
Que se passe-t-il dans le cas où il n’existe pas de c-extension stable, mais où il y a une p-extension
stable?
Proposition 5.20 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations de c-inférence en absence de c-extension stable et en présence de p-extension stable sont synthétisés
dans le tableau 5.13.
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
|∼∀,P
p
|∼∀,S
p
|∼.,W
p
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
TAB . 5.13 – Liens entre les relations de p-inférence et de c-inférence en présence de p-extension stable et
en absence de c-extension stable.
Le tableau 5.2 page 66 donnant les liens entre les relations de c-inférence, le tableau 5.3 page 67
donnant les liens entre les relations de p-inférence et le tableau 5.13 sont synthétisés dans le diagramme de
|∼∀,P
p
- |∼.,W
p
- |∼∀,S
p
|∼∀,P
c
- |∼∃,S
p
- |∼∃,P
c
- |∼∃,P
p
3
F IG . 5.18 – Liens entre les relations de p-inférence et de c-inférence en présence de p-extension stable et
Ce que peuvent inférer les relations de c-inférence est inclus dans ce qui peut être dérivé pour le
raisonnement crédule sous la sémantique liée aux p-extensions préférées. Toutes les autres relations de
p-inférence sont incomparables avec les relations de c-inférence.
Lorsqu’il n’y a pas de p-extension stable, les comportements des relations de c-inférence et de pinférence se comportent de la même façon, l’une vis-à-vis de l’autre, qu’une extension stable existe ou
pas.
Proposition 5.21 Les liens entre capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations
de c-inférence en absence de p-extension stable sont synthétisés dans le tableau 5.14.
|∼∃,P
p
|∼∀,P
p
.,W
|∼p
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
TAB . 5.14 – Liens entre les relations de p-inférence et de c-inférence en absence de p-extension stable.
74
5.4. Complexité des relations de p-inférence et des relations de c-inférence
Les tableaux 5.2 page 66, 5.4 page 67 et 5.14 page précédente sont synthétisés dans le diagramme de
|∼∀,P
p
- |∼∃,P p
|∼.,W
p
6
|∼∀,P
c
- |∼∃,P
c
F IG . 5.19 – Liens entre les relations de p-inférence et de c-inférence en absence de p-extension stable.
Le comportement des relations de c-inférence vis-à-vis des relations de p-inférence reste le même à
partir du moment où il n’existe pas de c-extension stable.
5.4 Complexité des relations de p-inférence et des relations de c-inférence
Nous avons dérivé des résultats de complexité pour les relations introduites. Ces résultats sont essentiellement des résultats d’appartenance à des classes de complexité.
Proposition 5.22 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini et S ⊆ A. Les résultats de complexité du tableau 5.15 sont vérifiés.
Question
S est-il sans conflit indirect?
S est-il p-admissible?
S est-il la p-extension faible?
S est-il inclus dans la p-extension faible?
S est-il une p-extension stable?
S est-il une p-extension préférée?
AF a-t-il une p-extension stable?
AF est-il p-trivial?
S est-il inclus dans une p-extension préférée?
S est-il inclus dans une p-extension stable?
S est-il inclus dans toutes les p-extensions stables?
S est-il inclus dans toutes les p-extensions préférées?
Complexité
dans P
dans P
dans P
dans P
dans P
dans coNP
dans NP
dans coNP
dans NP
dans NP
dans coNP
dans ΠP2
TAB . 5.15 – Résultats de complexité (p-inférence).
Proposition 5.23 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini et S ⊆ A. Les résultats de complexité du tableau 5.16 page suivante sont vérifiés.
Nous remarquons que ces résultats sont les mêmes que ceux liés aux relations d’inférence proposées
par Dung. Ainsi, même si les relations de c-inférence et de p-inférence sont plus prudentes que les relations d’inférence classique, les raffinements proposés ne s’accompagnent pas d’un accroissement de la
complexité. Ces raffinements ne portent que sur la notion de cohérence interne. Or décider si un ensemble
est sans conflit, décider si un ensemble est sans conflit indirect et décider si un ensemble est sans conflit,
75
Question
S est-il sans conflit, ni controverse?
S est-il c-admissible?
S est-il une c-extension stable?
S est-il une c-extension préférée?
AF a-t-il une c-extension stable?
AF est-il c-trivial?
S est-il inclus dans une c-extension préférée?
S est-il inclus dans une c-extension stable?
S est-il inclus dans toutes les c-extensions stables?
S est-il inclus dans toutes les c-extensions préférées?
Complexité
dans P
dans P
dans P
dans coNP
dans NP
dans coNP
NP-complet
dans NP
dans coNP
dans ΠP2
TAB . 5.16 – Résultats de complexité (c-inférence).
ni controverse sont trois problèmes de décision appartenant à P. Il semble normal que les problèmes s’appuyant sur le problème de décider si un ensemble est sans conflit indirect (resp. le problème de décider si
un ensemble est sans conflit, ni controverse) n’aient pas une complexité plus élevée que leurs homologues
s’appuyant sur le problème de décider si un ensemble est sans conflit.
76
6
Généralisations du cadre de Dung
Sommaire
6.1
6.2
Traitement des arguments controversés dans les systèmes d’argumentation bipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1.2 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.3 Comparaisons des capacités inférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.4 Complexité des relations de bp-inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Systèmes d’argumentation à contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.2 Propriétés et capacités inférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.3 Généralité de l’approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.4 Aspects calculatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à deux généralisations du cadre de Dung. (CLS04;
CLS05a; CLS05b; MCLS05) présentent les systèmes d’argumentation bipolaires. Dans la partie 6.1 nous
spécialisons de tels systèmes en y introduisant la notion d’absence de conflits indirects commme nous
l’avons fait dans le cadre de Dung (cf. chapitre 5). La généralisation du cadre de Dung de la partie 6.2
page 94 est totalement inédite. Nous y introduisons la notion de système d’argumentation à contrainte.
Ces systèmes d’argumentation permettent de prendre en compte une contrainte lors de la définition des
extensions.
Les preuves de ce chapitre se situent dans l’annexe D page 177.
6.1 Traitement des arguments controversés dans les systèmes d’argumentation bipolaires
Par la suite, lorsque nous parlons d’ensemble admissible, d’extension préférée, d’extension stable,
d’extension de base, d’ensemble p-admissible, de p-extension préférée, de p-extension stable et p-extension
faible pour un système d’argumentation bipolaire BAF = hA, Ratt , Rapp i, nous parlons en fait d’ensemble admissible, d’extension préférée, d’extension stable, d’extension de base, d’ensemble p-admissible,
de p-extension préférée, de p-extension stable et p-extension faible pour le système d’argumentation AF =
hA, Ratt i associé à BAF .
Dans les systèmes d’argumentation unipolaires, il existe une catégorie d’arguments problématiques :
les arguments controversés. Lorsque nous travaillons dans des systèmes d’argumentation bipolaires, non
77
Chapitre 6. Généralisations du cadre de Dung
seulement ces arguments ne sont pas mieux gérés, mais il surgit d’autres arguments problématiques. En
effet, que dire et comment traiter les arguments qui appuient des arguments controversés?
Exemple 6.1 Regardons un peu ce qu’il se passe sur un exemple. Nous étendons l’exemple 2.5 page 21.
Arg. a : Si nous avons l’accord de la personne et si l’information n’est pas censurée, l’information importante I concernant la personne X peut être publiée.
Arg. b1 : I concerne le premier ministre X qui peut censurer des publications.
Arg. c1 : Le premier ministre a démissionné. Ainsi, I ne concerne plus le premier ministre.
Arg. d : La démission du premier ministre est officielle, elle a été annoncée lors d’un journal télévisé.
Arg. b2 : I est une information privée et X n’a pas donné son accord pour sa publication.
Arg. c2 : Toute information concernant le premier ministre est une information publique et non une information privée.
Arg. c3 : Mais I est une information d’intérêt national, donc I ne peut pas être considérée comme une
information privée.
Nous formalisons cet exemple de la manière suivante :
BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b1 , b2 , c1 , c2 , c3 , d}, Aatt = {(b1 , a), (b2 , a), (c1 , b1 ), (c2 , b2 ),
(c3 , b2 ), (c1 , c2 )} et Rapp = {(d, c1 )}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure 6.1.
a
d
b1
b2
c1
c2
c3
c1 est controversé par rapport à a. La présence de la paire {a, c1 } dans une extension pose donc problème. Mais, que dire de la paire {d, a}, lorsque l’on sait que d appuie un argument controversé par rapport
à a (i.e. c1 )?
Nous proposons de résoudre le problème posé par ces nouveaux arguments controversés (CDLS06b;
CDLS06a). Notre analyse est que le problème vient de la présence d’une attaque indirecte, précédée d’une
suite (qui peut être vide) d’appuis entre deux arguments d’une même extension.
Tous les exemples de cette partie sont repris dans l’annexe E page 213.
6.1.1 Définitions
Dans l’exemple 6.1, d appuie c1 qui est controversé par rapport à a. Il nous semble peu prudent d’accepter que a et d appartiennent à la même extension, même si d n’est pas directement controversé par rapport à
a. a et d illustrent une nouvelle sorte d’arguments controversés : les arguments b(ipolaire)-controversés.
Définition 6.1 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire et a, b ∈ A. a est bcontroversé par rapport à b si et seulement si a appuie (par une suite d’appuis 10 ) un argument x ∈ A qui
attaque indirectement b et a appuie (par une suite d’appuis 11 ) un argument y ∈ A qui défend indirectement
b. On dit que a est b-controversé si et seulement s’il existe b ∈ A tel que a est b-controversé par rapport
à b.
10. qui peut être vide.
11. qui peut être vide.
78
6.1. Traitement des arguments controversés dans les systèmes d’argumentation bipolaires
Suite de l’exemple 6.1 Dans BAF (figure 6.1 page précédente), d est b-controversé par rapport à a.
Nous déduisons directement de la définition que les arguments controversés sont des arguments bcontroversés. De même, les arguments appuyant des arguments controversés sont des arguments b-controversés. Mais comme l’illustre l’exemple suivant, ce ne sont pas les seuls.
Exemple 6.2 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, i}, Ratt = {(b, a), (e, b), (c, b), (d, c)}
et Rapp = {(i, d), (i, e)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure 6.2.
a
b
c
e
d
i
i appuie d qui attaque indirectement a. i appuie e qui défend indirectement a. Donc i est b-controversé
par rapport à a.
Afin de mieux gérer les arguments b-controversés, nous avons choisi de renforcer la cohérence interne
des extensions en étendant la notion d’absence de conflit indirect en une absence de bp-conflit 12 . En effet,
pour nous, la difficulté surgit du problème plus général des attaques indirectes précédées par une suite (qui
peut être vide) d’appuis.
Définition 6.2 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation, S ⊆ A est un ensemble sans bp-conflit
si et seulement s’il n’existe pas a ∈ S et b ∈ S tels qu’il existe une suite a1 Rapp . . . Rapp an Ratt . . .
Ratt an+m , n ≥ 1, avec a1 = a, an+m = b, et m est un nombre impair.
Exemple 6.3 Étendons l’exemple 6.1 page précédente, en y rajoutant les arguments c0 et e.
Arg. c0 : Nous sommes en démocratie et le premier ministre ne peut pas utiliser la censure.
Arg. e : I concerne le fils de X qui est suspecté d’être un espion au service d’un autre pays.
Nous obtenons donc le système d’argumentation bipolaire :
BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b1 , b2 , c0 , c1 , c2 , c3 , d, e}, Aatt = {(b1 , a), (b2 , a), (c0 , b1 ),
(c1 , b1 ), (c2 , b2 ), (c3 , b2 ), (c1 , c2 )} et Rapp = {(e, b2 ), (d, c1 )}. Le graphe des interactions de BAF est
représenté figure 6.3 page suivante.
{a, c0 , c3 , d} est sans attaque indirecte, mais n’est pas sans bp-conflit, alors que E1 = {a, c0 , c3 } l’est.
Une fois renforcée la notion de cohérence interne, nous pouvons introduire une nouvelle notion d’ensemble admissible : les ensemble bp-admissibles.
Définition 6.3 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et S ⊆ A. S est
bp-admissible si et seulement si S est sans bp-conflit, et quel que soit a ∈ S, a est acceptable par rapport
à S.
12. «b» pour bipolaire car nous sommes dans le cadre bipolaire et «p» car nous étendons les sémantiques liées aux p-extensions.
79
a
c0
b1
b2
d
c1
c2
e
c3
Suite de l’exemple 6.1 Dans BAF (figure 6.1 page 78), E1 = {a, c0 , c3 } est bp-admissible.
Notons que ∅ est toujours un ensemble bp-admissible.
Par ailleurs, comme pour les sémantiques basées sur la prise en compte des conflits indirects, le fait
que nos ensembles soient sans bp-conflit impose qu’aucun argument appartenant à un circuit (d’attaque)
de longueur impaire n’appartienne jamais à un ensemble bp-admissible. De même, si un argument a est
b-controversé par rapport à un argument b, {a, b} ne peut pas être inclus dans un ensemble bp-admissible.
Cela n’impose pas que a et b ne fassent jamais partie d’une extension, juste qu’ils ne fassent pas partie de
la même.
De façon analogue aux extensions préférées de (Dun95), nous allons définir une notion de bp-extension
suivant le critère de maximalité ensembliste : les bp-extensions préférées.
Définition 6.4 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et S ⊆ A un
ensemble bp-admissible. S est une bp-extension préférée de BAF si et seulement si ∄S ′ ⊆ A tel que
S ⊂ S ′ et S ′ est bp-admissible.
Suite de l’exemple 6.3 E1 = {a, c0 , c3 } et E2 = {c0 , c1 , c3 , d, e} sont les bp-extensions préférées de
BAF (figure 6.3).
Les systèmes d’argumentation bipolaire dont la bp-extension préférée est l’ensemble vide sont des
systèmes d’argumentation bp-triviaux.
Définition 6.5 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini. BAF est bptrivial si son unique bp-extension préférée est l’ensemble vide.
Exemple 6.4 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b}, Ratt = {(a, b), (b, a)} et Rapp = {(a, b), (b, a)}.
Le graphe des interactions de BAF est représenté figure 6.4.
a
b
∅ est l’unique bp-extension préférée de BAF .
À l’instar des extensions stables de (Dun95), nous définissons des extensions «robustes» qui attaquent
tout ce qui leur est extérieur : les bp-extensions stables. Ici, les appuis n’interviennent que pour renforcer
80
la notion de cohérence contrairement à l’idée exploitée dans le chapitre 3 au paragraphe 3.2 page 39 pour
définir les extensions (faiblement ou moyennement) (s ou d)-stables.
Définition 6.6 Soit BAF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Un ensemble sans bp-conflit S ⊆ A
est une bp-extension stable si et seulement si S attaque (directement) chaque argument qui n’appartient
pas à S.
Suite de l’exemple 3.7 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c}, Ratt = {(a, b), (b, a)} et
Rapp = {(c, b)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure 6.5.
a
b
c
E1 = {b, c} est une bp-extension stable de BAF .
Par définition, lorsque A 6= ∅, une bp-extension stable n’est jamais vide.
Il existe des systèmes d’argumentation bipolaires dont les bp-extensions stables et les bp-extensions
préférées sont confondues : les systèmes d’argumentation bipolaires bp-cohérents.
Définition 6.7 Un système d’argumentation bipolaire fini BAF = hA, Ratt , Rapp i est dit bp-cohérent si
chaque bp-extension préférée de BAF est une bp-extension stable.
L’utilité de tels systèmes vient du fait que la complexité des problèmes de décision liés aux bpextensions stables est moins élevée que celle des problèmes liés aux bp-extensions préférées (cf. paragraphe 6.1.4 page 93).
Un système d’argumentation bipolaire fini cohérent n’est pas forcément bp-cohérent et vice-versa. De
même, un système d’argumentation bipolaire fini p-cohérent (i.e. un système d’argumentation dans lequel
chaque p-extension préférée est une p-extension stable) n’est pas forcément bp-cohérent et vice-versa.
Suite de l’exemple 3.7 E1 = {b, c} et E2 = {a, c} sont les extensions stables (resp. p-stables) et les
extensions préférées (resp. p-extensions préférées) de BAF (figure 6.5). E3 = {a} est une bp-extension
préférée de BAF , mais ce n’est pas une bp-extension stable. BAF est cohérent (resp. p-cohérent), mais
n’est pas bp-cohérent.
Exemple 6.5 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, u}, Ratt = {(d, a), (c, d), (d, b), (b, u),
(u, c), (a, a)} et Rapp = {(c, d), (b, u)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure 6.6 page
suivante.
E1 = {d, u} est l’unique bp-extension préférée de BAF et c’est une bp-extension stable. E2 = {b, c}
est une extension préférée (resp. p-extension préférée) de BAF , mais ce n’est pas une extension stable
(resp. p-extension stable). BAF est bp-cohérent, mais n’est ni cohérent, ni p-cohérent.
Dung a défini une fonction caractéristique permettant d’exprimer certaines de ses extensions. Nous
avons à notre tour défini une notion de fonction bp-caractéristique. À l’instar de celle de Dung, nous imposons que les éléments de l’image d’un ensemble S par la bp-fonction caractéristique soient acceptables
par rapport à S. En revanche, nous sommes obligés d’ajouter une contrainte qui interdit les bp-conflits.
En effet, un ensemble dont tous les éléments sont acceptables par rapport à un autre ensemble n’est pas
forcément sans bp-conflit (comme l’illustre l’exemple suivant).
81
a
c
b
d
u
Suite de l’exemple 6.3 Dans BAF (figure 6.3 page 80), tous les éléments de S = {a, c0 , c3 , d} sont
acceptables par rapport à {c0 , c3 }. Pourtant S n’est pas sans bp-conflit : d appuie un argument (c1 ) qui
attaque indirectement a.
Définition 6.8 La fonction bp-caracteristique de BAF = hA, Ratt , Rapp i est définie de la façon suivante :
bp
FBAF
: 2A −→ 2A
bp
FBAF
(S) = {a | a est acceptable par rapport à S et S ∪ {a} est sans bp-conflit}.
Notre fonction bp-caractéristique ne possède pas les mêmes propriétés que la fonction caractéristique
bp
définie par Dung (Dun95). Ainsi FBAF
n’est en général pas monotone, et cela même si on réduit son
domaine de définition aux ensembles bp-admissibles ou sans bp-conflit.
Suite de l’exemple 6.3 S1 = {c0 , c3 } et S2 = {c0 , c3 , d} sont des ensembles sans bp-conflit (resp. bpadmissibles) de BAF (fig. 6.3 page 80).
bp
bp
FBAF
(S1 ) = {a, c0 , c1 , c3 , d, e} et FBAF
(S2 ) = {c0 , c1 , c3 , d, e}.
bp
bp
S1 ⊆ S2 , pourtant FBAF
(S1 ) 6⊆ FBAF
(S2 ).
bp
La non-monotonie de FBAF
nous empêche d’utiliser les théorèmes de Tarski et de Scott.
Nous ne pouvons donc pas définir de pendant «prudent» dans le cadre des systèmes d’argumentation
bp
bipolaires à l’extension de base à l’aide d’une notion de plus petit point fixe de FBAF
.
Comme ∅ est toujours un ensemble bp-admissible, c’est forcément le plus petit des ensembles bpadmissibles. Nous pouvons donc définir une bp-extension faible.
Définition 6.9 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire. La bp-extension
bp,i
bp,icon
(∅) où icon est le plus petit entier i tel que FBAF
(∅) est bpfaible de BAF est définie par FBAF
bp,i
bp,i+1
bp,i+1
admissible et si FBAF (∅) est bp-admissible, alors FBAF (∅) = FBAF (∅).
bp,1
(∅) = {c0 , c1 , c3 , d, e} est bp-admissible.
Suite de l’exemple 6.3 FBAF
bp,2
bp,1
bp,2
FBAF (∅) = {c0 , c1 , c3 , d, e} est bp-admissible, et FBAF
(∅) = FBAF
(∅). Donc {c0 , c1 , c3 , d, e} est la
bp-extension faible de BAF (figure 6.3 page 80).
Nous allons raisonner à partir des sémantiques rattachées aux bp-extensions que nous venons de définir.
Nous dirons qu’un ensemble S est dérivable pour un système d’argumentation bipolaire BAF donné s’il
appartient à une (raisonnement crédule) ou à toutes les (raisonnement sceptique) bp-extension(s) d’une
sémantique donnée. Ce que nous notons :
82
Notation 6.1 |∼q,s
bp dénote la relation d’inférence obtenue en considérant la sémantique s (s = P pour la
sémantique des bp-extensions préférées, s = S pour la sémantique des bp-extensions stables et s = W
pour la sémantique de la bp-extension faible et le principe d’inférence q, soit inférence crédule (q = ∃),
soit inférence sceptique (q = ∀). Nous parlons de bp-inférence.
Pour le cas particulier de la bp-extension faible, nous notons q = ., car il n’existe qu’une bp-extension
faible : le raisonnement crédule et le raisonnement sceptique sont donc confondus.
Suite de l’exemple 6.3
a
c0
b1
b2
d
c1
c2
e
c3
De BAF (figure 6.7), nous pouvons déduire (entre autres) :
– BAF |∼.,W
bp {c0 , d} ;
– BAF |∼∃,P
bp {a, c0 } ;
– BAF |∼∀,P
bp {c0 , c3 } ;
– BAF |∼∃,S
bp ∅ ;
– BAF |∼∀,S
bp A.
∀,S
Notons que ce qui concerne |∼∃,S
bp et |∼bp ne peut pas être considéré comme représentatif, car il n’existe
pas de bp-extension stable dans BAF .
6.1.2 Quelques propriétés
En premier lieu, remarquons que, lorsque Rapp = ∅, les bp-sémantiques correspondent exactement aux
p-sémantiques (cf. paragraphe 5.1 page 56).
La proposition suivante précise les liens existant entre les bp-sémantiques, les sémantiques de Dung et
les p-sémantiques.
Proposition 6.1 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et AF = hA,
Ratt i le système d’argumentation unipolaire qui lui est associé.
1. Chaque ensemble bp-admissible de BAF est un ensemble admissible de AF et un ensemble padmissible de AF . La réciproque n’est pas vérifiée.
2. Chaque bp-extension stable de BAF est une extension stable de AF et une p-extension stable de
AF . La réciproque n’est pas vérifiée.
Cette propriété est assez naturelle. Quant aux réciproques, elles ne sont pas vérifiées car un ensemble
sans conflit (resp. sans conflit indirect) n’est pas forcément un ensemble sans bp-conflit.
Cette propriété nous permet de récupérer les propriétés qui sont dues à la présence d’une p-extension
stable dans un système d’argumentation unipolaire.
83
Ratt i le système d’argumentation unipolaire fini qui lui est associé. Si BAF possède une bp-extension
stable, alors
1. la p-extension faible de AF et l’extension de base de AF coïncident ;
2. l’intersection des extensions préférées de AF et la p-extension faible (resp. l’extension de base) de
AF coïncident ;
3. l’intersection des p-extensions préférées de AF est incluse dans l’extension de base (resp. la pextension faible) de AF ;
4. l’intersection des p-extensions préférées de AF est incluse dans l’intersection des extensions préférées (resp. des extensions stables) de AF .
En revanche, les conditions qui garantissent la présence d’extension stable (i.e. AF bien fondé ou
controversé de manière limité) ne peuvent pas s’étendre aux bp-extensions stables.
Exemple 6.6 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, n, i}, Ratt = {(b, a), (c, a), (n, c),
(d, b), (i, b), (e, c), (i, e)} et Rapp = ∅. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure 6.8.
a
c
b
e
d
n
i
BAF est bien fondé et controversé de manière limité, pourtant BAF ne possède pas de bp-extension
stable.
Les propriétés de base concernant les extensions préférées de Dung sont préservées pour les bp-extensions préférées. Ainsi, puisque ∅ est un ensemble bp-admissible, un système d’argumentation bipolaire
possède toujours au moins une bp-extension préférée. De plus, nous avons aussi :
Proposition 6.3 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini. L’ensemble de
tous les ensembles bp-admissibles est un ordre partiel complet par rapport à ⊆. Pour chaque ensemble
bp-admissible S de BAF , il existe une bp-extension préférée E de BAF telle que S ⊆ E.
Les liens unissant les ensembles admissibles et les extensions préférées sont conservés, ainsi que ceux
entre les extensions stables et les extensions préférées.
Proposition 6.4 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini. Chaque bpextension stable est une bp-extension préférée. La réciproque n’est pas vérifiée.
Intéressons-nous maintenant aux propriétés de la fonction bp-caractéristique. Cette dernière permet de
caractériser les ensembles bp-admissibles, les bp-extensions préférées et la bp-extension faible.
Proposition 6.5 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et S ⊆ A.
bp
1. S est un ensemble bp-admissible si et seulement si S ⊆ FBAF
(S).
84
bp
(S). La réciproque n’est pas vérifiée.
2. Si S est une bp-extension préférée, nous avons S = FBAF
Nous avons facilement le lemme suivant :
Lemme 6.1 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et W ⊆ A la bpbp,i
bp,icon
(∅) est
extension faible de BAF définie par FBAF
bp,i+1
bp,i+1
bp,i
bp,i
bp-admissible et si FBAF (∅) est bp-admissible, alors FBAF (∅) = FBAF (∅). ∀0 ≤ i < icon , FBAF (∅)
bp,i
bp,i+1
est bp-admissible et FBAF
(∅) ⊆ FBAF
(∅)
Nous pouvons donc lier la bp-extension faible de BAF à ses bp-extensions préférées.
Proposition 6.6 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et W ⊆ A la
bp-extension faible de BAF .
1. Il existe une bp-extension préférée E ⊆ A de BAF telle que W ⊆ E.
2. Quelle que soit E bp-extension stable de BAF , on a W ⊆ E.
Pour résumer, chaque système d’argumentation bipolaire fini, possède une unique bp-extension faible,
au moins une bp-extension préférée, et zéro, une ou plusieurs bp-extensions stables.
Le but de ces extensions est d’offrir un meilleur traitement des arguments b-controversés. Cette exigence est réalisée, comme le montre la proposition suivante :
Proposition 6.7 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et a, b ∈ A. Si a
est b-controversé par rapport à b, alors {a, b} ne peut pas être inclus dans un ensemble bp-admissible.
Néanmoins cette proposition n’interdit pas à a et à b d’appartenir à une bp-extension, seulement de ne
par appartenir à la même.
Suite de l’exemple 6.3 Dans BAF (figure 6.3 page 80), d est b-controversé par rapport à a. a ∈ E1 =
{a, c0 , c3 } qui est une bp-extension préférée de BAF et d ∈ E2 = {c0 , c1 , c3 , d, e} qui est une bpextension préférée de BAF .
Comme conséquence de la proposition 6.7, aucun argument appartenant à un circuit de longueur impaire ne peut appartenir à un ensemble bp-admissible. Cela vient du fait que d’après (Dou02) chaque argument appartenant à un circuit de longueur impaire est controversé, donc b-controversé. Nous considérons
que dans les systèmes d’argumentation bipolaire, comme pour les systèmes d’argumentation unipolaire,
les circuits de longueur impaire doivent être traités de façon différente que ceux de longueur paire.
Cette proposition permet aussi de garantir l’idée intuitive de ne pas conserver deux arguments dans la
même bp-extension lorsque ces deux arguments sont controversés l’un par rapport à l’autre. Mais, cette
proposition va plus loin. L’interdiction à a et à b d’appartenir à la même bp-extension si a est b-controversé
par rapport à b interdit de fait à b d’appartenir à une bp-extension si sa défense contre un de ses attaquants
repose exclusivement sur a.
Suite de l’exemple 6.1 Dans BAF (figure 6.1 page 78), a n’appartient à aucune bp-extension, car l’unique
défenseur de a contre b1 est c1 qui est b-controversé par rapport à a.
Toutes les propriétés de (Dun95) ne sont pas préservées. Ainsi, les arguments non attaqués de BAF
n’appartiennent pas à toutes les bp-extensions préférées de BAF comme le montre l’exemple suivant :
Suite de l’exemple 6.3 Dans BAF (figure 6.3 page 80), {c0 , c1 , c3 , d, e} 6⊆ E1 = {a, c0 , c3 } qui est une
bp-extension préférée de BAF .
85
En revanche, l’ensemble de tous les arguments non attaqués appartient forcément à une bp-extension
préférée, à toutes les bp-extensions stables et à la bp-extension faible de BAF .
Proposition 6.8 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et S l’ensemble
de tous les arguments de A non attaqués suivant la relation Ratt .
1. Il existe E ⊆ A bp-extension préférée de BAF , telle que S ⊆ E.
2. Chaque bp-extension stable de BAF contient S.
3. La bp-extension faible de BAF contient S.
À l’inverse de ce qu’il se passe pour les extensions préférées, un système d’argumentation bien fondé
peut posséder plus d’une bp-extension préférée (voir exemple 6.3 page 79).
Notons aussi qu’une bp-extension préférée n’est pas une extension préférée (resp. p-extension préférée)
sans bp-conflit. En effet, si une extension préférée (resp. p-extension préférée) est sans bp-conflit alors
c’est une bp-extension préférée, mais parmi les bp-extensions préférées, il peut exister des ensembles
admissibles (resp. p-admissibles) qui ne sont pas maximaux pour l’inclusion ensembliste.
Suite de l’exemple 6.3 E1 = {a, c0 , c3 } est une bp-extension préférée de BAF (figure 6.3 page 80). Mais
ce n’est pas une extension préférée, car E1 ⊆ {a, c0 , c1 , c3 , d, e}. Et ce n’est pas une p-extension préférée
car E1 ⊆ {a, c0 , c3 , d, e}.
En revanche, nous pouvons lier les bp-extensions préférées aux extensions préférées et aux p-extensions préférées.
Ratt i le système d’argumentation unipolaire fini qui lui est associé. Pour chaque bp-extension préférée
Ebp de BAF , il existe une extension préférée E de AF telle que Ebp ⊆ E et une p-extension préférée Ep
de AF telle que Ebp ⊆ Ep .
En conséquence, lorsque AF possède une unique extension préférée (lorsque AF est bien fondé ou
sans circuit de longueur paire), E contient toutes les bp-extensions préférées. Nous pouvons faire la même
remarque à propos des systèmes d’argumentation possédant une unique p-extension préférée. Les cas des
systèmes d’argumentation triviaux ou p-triviaux sont des cas particuliers des systèmes d’argumentation à
unique extension préférée ou à unique p-extension préférée.
Lemme 6.2 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et AF = hA, Ratt i
le système d’argumentation unipolaire associé.
1. Si AF est trivial, alors BAF est bp-trivial. La réciproque n’est pas vérifiée.
2. Si AF est p-trivial, alors BAF est bp-trivial. La réciproque n’est pas vérifiée.
La bp-extension faible de BAF est, quant à elle, liée à l’extension de base et à la p-extension faible du
système unipolaire associé.
Lemme 6.3 Soit AF = hA, Ratt i un système d’argumentation, l’ensemble Q ⊆ A des arguments non
attaqués de AF , deux ensembles S1 ⊆ A et S2 ⊆ A p-admissibles tels que Q ⊆ S1 ⊆ S2 et pour tout
p
p
a ∈ S2 \ Q, a est défendu indirectement par un élément de Q. On a FAF
(S1 ) ⊆ FAF
(S2 ).
Lemme 6.4 Soiet BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et AF = hA, Ratt i
le système d’argumentation unipolaire associé. La bp-extension faible de BAF est incluse dans l’extension
de base de AF et dans la p-extension faible de AF .
86
Mais la présence de bp-extension stable de AF renforce les liens entre l’extension de base et la bpextension faible :
Lemme 6.5 Soit BAF = hA, Ratt , Aapp i un système d’argumentation bipolaire fini et AF = hA, Ratt i
le système d’argumentation unipolaire fini associé. Si BAF possède une bp-extension stable, alors la
bp-extension faible de BAF , la p-extension faible de AF et l’extension de base de AF coïncident.
Ce qui permet d’avoir :
Proposition 6.10 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et AF =
hA, Ratt i le système d’argumentation unipolaire fini associé. Si BAF possède une bp-extension stable,
alors :
1. l’intersection des extensions préférées de AF et la bp-extension faible de BAF coïncident ;
2. l’intersection des p-extensions préférées de AF est incluse dans la bp-extension faible de BAF .
6.1.3 Comparaisons des capacités inférentielles
Nous rappellons que d’après les propositions 5.2 page 62 et 6.1 page 83 pour tout système d’argumentation bipolaire fini, l’existence d’une bp-extension stable impose l’existence d’une p-extension stable, et
d’ une extension stable et l’existence d’une p-extension stable impose l’existence d’une extension stable.
Nous allons étudier tour à tour les systèmes d’argumentation possèdant une bp-extension stable ; ceux
ne possédant pas de bp-extension stable, mais possédant une p-extension stable ; ceux possédant une extension stable, mais ne possédant pas de p-extension stable ; et ceux ne possédant pas d’extension stable.
En effet, comme nous l’avons vu au chapitre 5, paragraphe 5.3 page 65 Si AF a pas d’extension stable
∀,S
∃,S (resp. |∼∃,S , |∼∃,S )
(resp. bp-extension stable, p-extension stable), alors et |∼∀,S (resp. |∼∀,S
p
bp , |∼p ) et |∼
bp
trivialisent, et dans un tel scénario, l’inférence crédule par rapport à la sémantique stable (resp. bp-stable,
p-stable) a une capacité inférentielle moindre que l’inférence sceptique pour la sémantique stable (resp.
bp-stable, p-stable), ce qui est plutôt non attendu.
6.1.3.1
Capacité inférentielle des relations de bp-inférence
Nous comparons les relations de bp-inférence entre elles en présence de bp-extension stable.
Proposition 6.11 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de bp-inférence lorsqu’il existe
une bp-extension stable sont synthétisés dans le tableau 6.1.
|∼∃,P
bp
|∼∃,S
bp
|∼∀,P
bp
|∼∀,S
bp
|∼.,W
bp
|∼∃,P
bp
⊆
⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∃,S
bp
6⊆
⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∀,P
bp
6⊆
6⊆
⊆
6⊆
6⊆
|∼∀,S
bp
6⊆
6⊆
⊆
⊆
⊆
|∼.,W
bp
6⊆
6⊆
6⊆
6⊆
⊆
TAB . 6.1 – Liens entre les relations de bp-inférence en présence de bp-extension stable.
Puis nous terminons par la comparaison des relations de bp-inférence en absence de bp-extension
stable.
87
Proposition 6.12 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de bp-inférence en absence de
bp-extension stable sont synthétisés dans le tableau 6.2.
|∼∃,P
bp
|∼∀,P
bp
|∼.,W
bp
|∼∃,P
bp
⊆
⊆
⊆
|∼∀,P
bp
6⊆
⊆
6⊆
|∼.,W
bp
6⊆
6⊆
⊆
TAB . 6.2 – Liens entre les relations de bp-inférence en absence de bp-extension stable.
6.1.3.2
Capacité inférentielle des relations de p-inférence
Nous comparons les relations de p-inférence entre elles en présence de p-extension stable 13 . Les relations de p-inférence en absence de p-extension stable ayant été étudiée au chapitre 5, paragraphe 5.3 page
65.
Proposition 6.13 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence lorsqu’il existe
une p-extension stable sont synthétisés dans le tableau 6.3.
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
|∼∀,P
p
|∼∀,S
p
.,W
|∼p
|∼∃,P
p
⊆
⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∃,S
p
6⊆
⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∀,P
p
6⊆
6⊆
⊆
6⊆
6⊆
|∼∀,S
p
6⊆
6⊆
⊆
⊆
⊆
|∼.,W
p
6⊆
6⊆
⊆
6⊆
⊆
TAB . 6.3 – Liens entre les relations de p-inférence en présence de p-extension stable.
L’absence ou la présence de bp-extension stable n’a pas d’influence sur les relations de p-inférence.
Intéressons-nous maintenant au cas où il n’y a pas de p-extension stable.
6.1.3.3
Comparaison des relations de bp-inférence avec les relations d’inférence classique
Nous nous intéressons en premier lieu au cas où il existe une bp-extension stable.
Proposition 6.14 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de bp-inférence et les capacités
inférentielles des relations d’inférence classique en présence de bp-extension stable sont synthétisés dans
le tableau 6.4 page suivante.
Les tableaux 6.1 page précédente et 6.4 page suivante sont synthétisés dans le diagramme de Hasse
présenté figure 6.9 page ci-contre.
Contrairement au cas classique, où la relation d’inférence liée à l’extension de base possède la plus petite capacité inférentielle, dans le cas des bp-inférences la relation d’inférence liée à la bp-extension faible
et la relation d’inférence sceptique liée aux bp-extensions préférées sont les deux relations de moindre
capacité inférentielle. Elles sont incomparables entre elles. Nous pouvons aussi noter qu’hormis le fait que
13. Nous sommes obligés de faire cette étude, car la présence de p-extension stable ne garantie ni l’absence, ni la présence de
bp-extension stable.
88
|∼∀,P
|∼∃,P
|∼∃,S
= |∼.,G = |∼.,W
bp
|∼∀,S
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
|∼∃,S
bp
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,S
bp
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
TAB . 6.4 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en présence de bp-extension
stable.
.,G
|∼.,W
= |∼∀,P
bp = |∼
- |∼∀,S
6
- |∼∃,P
6
- |∼∃,S
bp
- |∼∃,P
bp
|∼∃,S
?
|∼∀,P
bp
-
|∼∀,S
bp
F IG . 6.9 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence lorsqu’il existe une bpextension stable.
la capacité inférentielle de la relation d’inférence sceptique liée aux bp-extensions préférées ne soit pas
liée à celle de la relation inférence de l’extension de base, nous avons les mêmes liens que ceux unissant
les relations d’inférence classique aux relations de p-inférence lorsqu’il existe une p-extension stable (cf.
paragraphe 5.3.3.2 page 70).
Décrivons maintenant les relations obtenues en absence de bp-extension, mais en présence de p-extension stable.
inférentielles des relations d’inférence classique lorsqu’il n’existe pas de bp-extension stable, mais qu’il
existe une p-extension stable sont synthétisés dans le tableau 6.5.
|∼∃,P
|∼∃,S
|∼∀,P = |∼.,G
|∼∀,S
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼.,W
bp
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
TAB . 6.5 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en absence de bp-extension
Les tableaux 6.2 page précédente et 6.5 sont synthétisés dans le diagramme de Hasse présenté figure
6.10.
Nous pouvons faire exactement les mêmes remarques que celles faites en présence de bp-extensions
stables.
inférentielles des relations d’inférence classique en absence de p-extension stable et en présence d’extension stable sont synthétisés dans le tableau 6.6 page suivante
89
|∼.,G = |∼∀,P
- |∼∀,S
- |∼∃,S
|∼.,W
bp
- |∼∃,P
bp
H
Y
HH
HH
- |∼∃,P
*
|∼∀,P
bp
F IG . 6.10 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en absence de bp-extension
|∼∃,P
|∼∃,S
|∼∀,P
|∼∀,S
|∼.,G
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼.,W
bp
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
TAB . 6.6 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en absence de p-extension
|∼.,G
k
Q
Q
Q
|∼∀,P
-
|∼.,W
bp
- |∼∃,P
bp
|∼∀,S
-
∃,P
1 |∼
|∼∀,P
|∼∃,S
bp
F IG . 6.11 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en absence de p-extension
Encore une fois, ce sont la relation d’inférence liée à la bp-extension faible et la relation d’inférence
sceptique liée aux bp-extensions préférées qui possèdent les plus petites capacités inférentielles. Et encore
une fois, elles ne sont pas comparables entre elles. Dans ce cas, le comportement des relations de bpinférence est exactement le même que celui des relations de p-inférence, aussi bien vis-à-vis d’elles-mêmes
que vis-à-vis des relations d’inférence classique.
Terminons par le cas où il n’existe pas d’extension stable.
inférentielles des relations d’inférence classique en absence d’extension stable sont synthétisés dans le
tableau 6.7.
|∼∃,P
|∼∀,P
|∼.,G
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼.,W
bp
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
TAB . 6.7 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en absence d’extension stable.
90
Les tableaux 6.2 page 88 et 6.7 page précédente sont synthétisés dans le diagramme de Hasse présenté
figure 6.12.
|∼.,G
-
-
|∼∀,P
6
|∼.,W
bp
|∼∃,P
- |∼∃,P bp
|∼∀,P
bp
F IG . 6.12 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en absence d’extension stable.
Nous pouvons faire exactement les mêmes remarques que celles faites en présence d’extension stable.
Tournons-nous à présent vers la comparaison des relations de bp-inférence avec celles de p-inférence.
6.1.3.4
Comparaison des relations de bp-inférence avec les relations de p-inférence
Nous commençons par les systèmes d’argumentation possédant une bp-extension stable.
Proposition 6.18 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et de bp-inférence
en présence de bp-extension stable sont synthétisés dans le tableau 6.8
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
|∼∀,P
p
|∼∀,S
p
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
|∼∃,S
bp
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,S
bp
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
⊆, 6⊇
.,W
|∼.,W
bp = |∼p
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
⊆, 6⊇
6⊆, ⊇
TAB . 6.8 – Liens entre les relations de p-inférence et de bp-inférence en présence de bp-extension stable.
Les tableaux 6.1 page 87 et 6.3 page 88, ainsi que le tableau 6.8 sont synthétisés dans le diagramme de
|∼∀,P
p
- |∼.,W = |∼.,W
p
bp
|∼∀,P
bp
- |∼∀,S
p
?
- |∼∀,S
bp
|∼∃,S
p
- |∼∃,P
p
6
6
- |∼∃,S
bp
- |∼∃,P
bp
F IG . 6.13 – Liens entre les relations de p-inférence et de bp-inférence en présence de bp-extension stable.
Le comportement des relations de bp-inférence vis-à-vis des relations de p-inférence est exactement le
même que celui vis-à-vis des relations d’inférence classique en présence de bp-extension stable.
en absence de bp-extension stable et en présence de p-extension stable sont synthétisés dans le tableau 6.9.
91
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
∀,P
|∼p
|∼∀,S
p
|∼.,W
p
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼.,W
bp
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, ⊇
6⊆, ⊇
TAB . 6.9 – Liens entre les relations de p-inférence et de bp-inférence en absence de bp-extension stable et
en présence de p-extension stable.
Les tableaux 6.2 page 88 et 6.3 page 88, ainsi que le tableau 6.9 sont synthétisés dans le diagramme de
Hasse représenté figure 6.14.
|∼∀,P
p
- |∼.,W
p
- |∼∀,S
p
QQ
k
Q
|∼.,W
bp
- |∼∃,S
p
- |∼∃,P
p
- |∼∃,P
bp
3
|∼∀,P
bp
F IG . 6.14 – Liens entre les relations de p-inférence et de bp-inférence en absence de bp-extension stable et
Le comportement des relations de bp-inférence vis-à-vis des relations de p-inférence est le même
que celui vis-à-vis des relations d’inférence classique en présence de p-extension stable, si ce n’est que
la relation d’inférence sceptique liée aux p-extensions préférées et la relation d’inférence liée à la bpextension faible ne sont pas comparables.
Finissons par le cas où aucune p-extension stable n’existe.
en absence de p-extension stable sont synthétisés dans le tableau 6.10.
|∼∃,P
p
|∼∀,P
p
|∼.,W
p
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, 6⊇
|∼.,W
bp
6⊆, ⊇
6⊆, 6⊇
6⊆, ⊇
TAB . 6.10 – Liens entre les relations de p-inférence et de bp-inférence en absence de p-extension stable.
Les tableaux 6.2 page 88 et 5.4 page 67, ainsi que le tableau 6.10 sont synthétisés dans le diagramme
de Hasse présenté figure 6.15 page ci-contre.
Le comportement des relations de bp-inférence vis-à-vis des relations de p-inférence est analogue à
celui vis-à-vis des relations d’inférence classique en absence de p-extension stable, si ce n’est que la relation d’inférence liée à la bp-extension faible n’est pas comparable à la relation d’inférence sceptique liée
aux p-extensions préférées. Ceci est dû au fait que la relation d’inférence liée à la p-extension faible n’est
pas comparable à la relation d’inférence sceptique liée aux p-extensions préférées, alors que la capacité
inférentielle de la relation d’inférence liée à l’extension de base est plus faible que celle de la relation
d’inférence sceptique liée aux extensions préférées.
92
|∼.,W
p
6
|∼.,W
bp
- |∼∃,P p
|∼∀,P
p
6
- |∼∃,P bp
|∼∀,P
bp
F IG . 6.15 – Liens entre les relations de p-inférence et de bp-inférence en absence de p-extension stable.
6.1.3.5
Récapitulatif des liens entre les différentes relations d’inférence
Nous remarquons que les liens entre les différentes relations de bp-inférence sont de même nature que
les liens entre les différentes relations de p-inférence, si ce n’est en ce qui concerne les bp-extensions faibles
et p-extensions faibles. Pour toutes les autres types d’extensions, ceci s’explique par le fait que toutes les
p-extensions (resp. bp-extensions) sont des ensembles sans conflit indirect (resp. sans bp-conflit) qui sont
liés par la manière dont ils interagissent avec l’extérieur et que nous n’avons pas modifié la manière de
prendre en compte les relations avec l’extérieur par rapport aux extensions proposées par Dung.
Nous pouvons faire la même remarque à propos des liens entre les bp-inférences et les inférences
classiques, si ce n’est en ce qui concerne l’extension de base et la p-extension faible. Pour ce qui concerne
les liens entre les sémantiques stables et les sémantiques préférées et les liens entre les sémantiques bpstables et les sémantiques bp-préférées, c’est encore une fois dû au fait que nous ne faisons pas varier la
notion de défense, mais juste la notion de cohérence interne. En ce qui concerne la bp-extension faible, si,
contrairement à l’extension de base, elle n’est pas incluse dans toutes les bp-extensions préférées, c’est dû
à la propriété 6.8 page 86 qui impose que l’ensemble des arguments non attaqués de BAF soit inclus dans
la bp-extension faible, alors qu’il n’est pas forcément inclus dans toutes les bp-extensions préférées (mais
il l’est dans toutes les extensions préférées).
Nous pouvons noter que les liens entre les relations de bp-inférence et les relations d’inférence classique sont de même nature que les liens entre les relations de bp-inférence et les relations de p-inférence,
si ce n’est que la bp-extension faible n’est pas forcement incluse dans chaque p-extension préférée, alors
qu’elle l’est dans chaque extension préférée. Ces liens sont par ailleurs similaires à ceux qui unissent les
relations de p-inférence aux relations d’inférence classique.
Les relations de bp-inférence sont par ailleurs plus prudentes que les relations d’inférence classique ou
que les p-inférences. Ce qui s’explique par le fait qu’un ensemble sans bp-conflit est sans-conflit et sans
conflit indirect, alors que les réciproques ne sont pas vérifiées. Ainsi, nous avons une notion de cohérence
interne plus forte, donc plus prudente, ce qui entraîne que toutes les extensions qui s’appuient sur cette
cohérence sont plus restrictives que les autres. Donc que les relations d’inférence liées à cette absence de
bp-conflit sont plus prudentes que les autres.
6.1.4 Complexité des relations de bp-inférence
Nous avons obtenu des résultats de complexité pour les relations introduites.
Proposition 6.21 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et S ⊆ A. Les
résultats de complexité du tableau 6.11 page suivante sont vérifiés.
Nous pouvons noter que le traitement des bp-conflits ne fait pas augmenter la complexité de l’inférence
comparé à l’inférence classique ou à la p-inférence et ce, en dépit du fait que les sémantiques associées
soient plus prudentes. Ceci est dû au fait que décider si un ensemble d’arguments est sans bp-conflit est
93
Question
S est-il sans bp-conflit?
S est-il bp-admissible?
S est-il la bp-extension faible?
S est-il inclus dans la bp-extension faible?
S est-il une bp-extension stable?
S est-il une bp-extension préférée?
BAF a-t-il une bp-extension stable?
BAF est-il bp-trivial?
S est-il inclus dans une bp-extension préférée?
S est-il inclus dans une bp-extension stable?
S est-il inclus dans toutes les bp-extensions stables?
S est-il inclus dans toutes les bp-extensions préférées?
BAF est-il bp-cohérent?
Complexité
dans P
dans P
dans P
dans P
dans P
dans coNP
dans NP
dans coNP
dans NP
dans NP
dans coNP
dans ΠP2
dans ΠP2
TAB . 6.11 – Résultats de complexité lors de la prise en compte des bp-conflits.
dans P, comme le problème de décider si un ensemble est sans conflit (resp. sans conflit indirect). Rechercher un chemin composé d’une suite d’arcs représentant l’appui et d’une suite de longueur impaire d’arcs
représentant l’attaque est aussi difficile que rechercher une attaque (resp. une suite de longueur impaire
d’arcs représentant d’attaque), ce qui explique la similitude de complexité calculatoire pour les problèmes
de cohérence interne. Or, dans la définition de nos bp-extensions, l’unique point qui diffère de la définition
des extensions (resp. des p-extensions) est la cohérence interne. Il semble donc naturel que si décider si
cette dernière est vérifiée ne coûte pas plus cher, tous les problèmes qui s’appuient sur cette notion ne
coûtent pas plus chers que leurs homologues dans le cadre classique ou dans le cadre des p-extensions.
6.2 Systèmes d’argumentation à contrainte
Dans le chapitre 5 et dans la première partie de ce chapitre, nous avons vu tour à tour comment prendre
en compte trois contraintes particulières sur les ensembles d’arguments dérivables. Ces contraintes étaient
exprimées par le graphe d’attaque des systèmes d’argumentation. En effet, dans les systèmes d’argumentation définis dans (Dun95), la notion de dérivabilité ne dépend que de l’interaction entre les arguments.
Dung ne prend pas en compte des exigences telle que «une extension doit contenir a si elle contient b» ou
«une extension ne doit pas contenir l’un des arguments c et d si elle contient a mais ne contient pas b».
Comment dire que dans certains cas, nous voulons exclure des extensions certains arguments non attaqués?
Certes, certaines de ces contraintes peuvent être «simulées» en ajoutant des arguments et des attaques au
système d’argumentation de départ. Par exemple, considérons le système d’argumentation AF = hA, Ri
avec A = {a, b} et R = {(a, b)}. Si nous voulons interdire que l’argument a appartienne à une extension,
nous avons plusieurs possibilités. Par exemple ajouter l’attaque (a, a) à R, ou encore ajouter un argument
c à A et les attaques (c, c) et (c, a) à R. Mais, que signifie ce c ou ces nouvelles attaques ? Cette solution
relève plus du codage que de la représentation des connaissances, car nous ne sommes pas capables de
fournir un sens aux arguments introduits ou de justifier les attaques additionnelles.
C’est pourquoi nous préférons prendre en compte une information supplémentaire (CMDM06a) : une
contrainte sur l’ensemble des ensembles d’arguments dérivables. Cette contrainte prend la forme d’une
formule propositionnelle sur l’ensemble des symboles utilisés pour représenter les arguments. Si, dans un
des modèles de la formule, l’atome apparaît sous sa forme négative cela veut dire que l’argument ne doit
94
6.2. Systèmes d’argumentation à contrainte
pas apparaître dans l’ensemble, associé au modèle de la formule, devant vérifier la contrainte ; s’il apparaît
sous sa forme positive, il doit au contraire en faire partie.
Par exemple, considérons la contrainte C = ¬b ∧ (a ⇒ (c ∨ d))). Cela impose que les ensembles
vérifiant la contrainte C ne doivent pas contenir l’argument b et s’ils contiennent l’argument a, ils doivent
contenir soit l’argument c, soit l’argument d, soit les deux.
Tous les exemples de cette partie sont repris dans l’annexe F page 219.
6.2.1 Définitions
P ROPA (cf. définition 1.1 page 9) est le langage propositionel permettant de définir la contrainte ajoutée aux systèmes d’argumentation de (Dun95) pour obtenir les systèmes d’argumentation à contrainte :
Définition 6.10 Un système d’argumentation à contrainte (noté CAF) est un triplet CAF = hA, R, Ci
où :
– A est un ensemble fini d’objets, les arguments ;
– R ⊆ A × A est une relation binaire sur A, la relation d’attaque ;
– C est une formule propositionnelle de P ROPA , la contrainte.
Exemple 6.7 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d, e, f }, R = {(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e, f ),
(f, e)} et C = ¬d ∧ (a ⇒ f ). Le graphe d’attaque de hA, Ri est représenté figure 6.16.
b
d
c
e
a
f
F IG . 6.16 – Représentation graphique de hA, Ri.
La contrainte C impose de ne pas prendre l’argument d, et, chaque fois que l’argument a est pris, de
prendre l’argument f .
Par la suite, lorsque nous parlons d’ensemble admissible, d’extension préférée, d’extension stable et
d’extension de base pour un système d’argumentation à contrainte CAF = hA, R, Ci, nous parlons en fait
d’ensemble admissible, d’extension préférée, d’extension stable et d’extension de base pour le système
d’argumentation AF = hA, Ri associé à CAF .
Chaque sous-ensemble S de A correspond à une interprétation sur A donnée par la complétion de S.
Définition 6.11 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte et S ⊆ A. S satisfait C
si et seulement si la complétion Sb = {a | a ∈ S} ∪ {¬a | a ∈ A \ S} de S est un modèle de C (noté
Sb |= C).
Notre idée est de restreindre les ensembles d’arguments qui pourraient constituer des ensembles admissibles en ne gardant que ceux satisfaisant la contrainte C. Pour ce faire, nous avons besoin de raffiner la
notion d’admissibilité en C-admissibilité :
Définition 6.12 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Un sous-ensemble S de
A est C-admissible pour CAF si et seulement si S est admissible pour hA, Ri et S satisfait C. Nous notons
95
Ω = {S ⊆ A | S est admissible pour hA, Ri et Sb |= C} l’ensemble de tous les ensembles C-admissibles
de CAF .
(f, e)} et C = ¬a ∨ ¬d ∨ ¬e. Le graphe d’attaque de hA, Ri est représenté figure 6.16 page précédente.
c1 = {a, ¬b, ¬c, ¬d, e, ¬f } est la complétion
Soit E1 = {a, e} un ensemble d’arguments de CAF . E
c1 |= C, donc E1 est C-admissible.
de E1 . E1 est admissible et E
(f, e)} et C = ¬a ∧ d. Le graphe d’attaque de hA, Ri est représenté figure 6.16 page précédente.
Il n’existe aucun ensemble C-admissible, car pour pouvoir prendre l’argument d, il faut forcément
prendre l’argument a.
Ainsi, contrairement aux systèmes d’argumentation de (Dun95) qui possèdent toujours au moins un
ensemble admissible (l’ensemble vide), un système d’argumentation à contrainte ne possède pas toujours
un ensemble C-admissible. Nous introduisons donc la notion de consistance 14 :
Définition 6.13 Un système d’argumentation à contrainte CAF = hA, R, Ci est consistant quand il
existe un ensemble C-admissible pour CAF .
Suite de l’exemple 6.8 CAF est consistant.
Suite de l’exemple 6.9 CAF n’est pas consistant.
Qu’un système d’argumentation à contrainte soit consistant signifie seulement que la contrainte et les
informations données par la relation d’attaque sont compatibles. Cette propriété est très importante. En
effet, si un système d’argumentation est inconsistant, alors chaque relation d’inférence trivialise : lorsque
le système d’argumentation est inconsistant, il ne peut y avoir d’ensemble C-admissible, il n’existe aucune
extension (ces dernières étant toujours des ensembles C-admissibles). Prenons une sémantique S. Aucun
argument ne peut appartenir à une extension sous la sémantique S (puisqu’il n’y en a pas), donc aucun
argument ne peut se déduire crédulement sous la sémantique S. Intéressons-nous au raisonnement sceptique. a ∈ A se déduit sceptiquement sous sémantique S si et seulement si quel que soit E ⊆ A si E est
une extension sous la sémantique S alors a ∈ E. La partie «si» de la conditionnelle est toujours fausse
(puisqu’il ne peut y avoir d’extension), donc la conditionnelle est toujours vraie. Donc chaque argument
de A est dérivable sceptiquement sous la sémantique S.
Nous allons construire nos nouvelles extensions en suivant les mêmes critères d’optimalité que ceux
utilisés par Dung. Ainsi, la notion de maximalité ensembliste conduit à la notion de C-extension préférée :
Définition 6.14 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Un ensemble C-admissible S ⊆ A de CAF est une C-extension préférée de CAF si et seulement si ∄S ′ ⊆ A tel que S ⊂ S ′ et
S ′ est C-admissible pour CAF .
Suite de l’exemple 6.8 E1 = {a, e} et E2 = {a, d, f } sont les deux C-extensions préférées de CAF
(figure 6.16 page précédente).
Qu’un système d’argumentation à contrainte soit consistant n’interdit pas que sa C-extension préférée
soit l’ensemble vide. Dans un tel cas, le système d’argumentation est dit C-trivial.
Définition 6.15 Un système d’argumentation à contrainte est dit C-trivial si et seulement s’il est consistant
et son unique C-extension préférée est l’ensemble vide.
14. «cohérent» serait plus joli, mais cet adjectif est déjà reservé, cf. (Dun95).
96
(f, e)} et C = ¬a ∧ ¬f . Le graphe d’attaque de hA, Ri est représenté figure 6.16 page 95. CAF est
C-trivial.
Nous définissons les C-extensions stables :
Définition 6.16 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Un sous-ensemble sans
conflit S de A qui satisfait C est une C-extension stable de CAF si et seulement si ∀a ∈ A \ S, ∃b ∈ S tel
que (b, a) ∈ R.
Cette notion sous-entend qu’une C-extension stable se défend contre tout ce qui l’attaque, mais encore
plus qu’elle attaque tout ce qui lui est extérieur. C’est donc une notion très forte.
Comme pour les extensions stables de Dung, la définition même des C-extensions stables implique
qu’une C-extension stable n’est jamais vide (lorsque A 6= ∅).
Suite de l’exemple 6.8 E2 = {a, d, f } est l’unique C-extension stable de CAF (figure 6.16 page 95).
Comme dans le cadre de Dung, nous pouvons définir une notion de C-cohérence, qui stigmatise les
systèmes d’argumentation où les relations d’inférence liées aux C-extensions préférées sont confondues
avec celles liées aux C-extensions stables :
Définition 6.17 Un système d’argumentation à contrainte est C-cohérent si et seulement si chaque
C-extension préférée est une C-extension stable.
Exemple 6.11 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, e}, R = {(b, a), (a, b), (a, e), (e, e)} et
C = (b ⇒ a) ∧ (c ⇒ a). Le graphe d’attaque de hA, Ri est représenté figure 6.17.
e
c
a
b
E1 = {a, c} est l’unique C-extension préférée de CAF , c’est également une C-extension stable. CAF
est C-cohérent.
Pour définir d’autres extensions plus prudentes, nous avons besoin d’une fonction caractéristique adaptée aux systèmes d’argumentation à contrainte, la fonction C-caractéristique :
Définition 6.18 La fonction C-caractéristique FCAF de CAF = hA, R, Ci est définie de la manière
suivante :
FCAF : 2A −→ 2A
FCAF (S) = {a | a est acceptable par rapport à S et S ∪ {a} satisfait C}.
Par la suite, nous utilisons les notations suivantes :
Notation 6.2 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte.
– FCAF,Ω est la restriction de FCAF de Ω vers 2A , i.e., pour chaque S ⊆ A, FCAF,Ω (S) = FCAF (S)
si S ∈ Ω et FCAF,Ω (S) est indéfini sinon.
97
0
– Pour chaque entier i et quel que soit S ∈ Ω, FCAF,Ω
(S) = S
i+1
i
i
et FCAF,Ω (S) = FCAF,Ω (FCAF,Ω (S)), quand FCAF,Ω (S) ∈ Ω, et est indéfini sinon.
Nous introduisons la notion de C-extension de base d’un système d’argumentation à contrainte :
Définition 6.19 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Si l’ensemble partiellement ordonné (Ω, ⊆) possède un plus petit élément et FCAF,Ω est une fonction monotone de Ω vers
Ω, alors la C-extension de base de CAF est définie comme le plus petit point fixe de FCAF,Ω . Sinon la
C-extension de base n’est pas définie.
Il reste à vérifier que la définition 6.19 est correcte et à expliquer comment la C-extension de base d’un
système d’argumentation à contrainte peut être construite lorsqu’elle existe.
Proposition 6.22 La notion de C-extension de base d’un système d’argumentation à contrainte est bien
fondée et la C-extension de base de chaque système d’argumentation à contrainte CAF peut être calculée
imin
i+1
i
(M ) = FCAF,Ω
(M ), et M est le
comme FCAF,Ω
(M ) lorsque imin est le plus petit entier i tel que FCAF,Ω
plus petit élément de (Ω, ⊆).
(f, e)} et C = a. Le graphe d’attaque de hA, Ri est représenté figure 6.16 page 95.
C impose à l’argument a d’appartenir aux ensembles C-admissibles. Comme a n’est pas attaqué, a est
acceptable par rapport à a. Donc {a} est le plus petit ensemble C-admissible contenant a. C’est le plus
petit élément de Ω.
0
1
2
FCAF,Ω
({a}) = {a} (par convention), FCAF,Ω
({a}) = {a, d}, FCAF,Ω
({a}) = FCAF,Ω ({a, d}) =
{a, d}.
1
2
On a donc FCAF,Ω
({a}) = FCAF,Ω
({a}). Donc E = {a, d} est la C-extension de base de CAF .
Comme nous le verrons par la suite, la C-extension de base fonde une relation d’inférence au moins
aussi prudente que l’inférence sceptique sous la sémantique des C-extensions préférées. C’est-à-dire que
tout argument qui appartient à la C-extension de base est inclus dans toutes les C-extensions préférées de
CAF . Le même lien d’inclusion existe dans le cadre de Dung entre l’extension de base et les extensions
préférées.
Par les restrictions posées dans sa définition, il existe des cas où la C-extension de base de CAF
n’existe pas.
Suite de l’exemple 6.8 La C-extension de base de CAF (figure 6.16 page 95) n’existe pas, puisque FCAF,Ω
n’est pas une fonction monotone de Ω vers Ω. En effet FCAF,Ω ({a}) = {a, d} n’est pas inclus dans
FCAF,Ω ({a, e}) = {a, e}.
Nous avons pu néanmoins définir une C-extension faible qui peut dans certain cas pallier l’absence de
C-extension de base.
Définition 6.20 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Si Ω possède un plus
icon
(M ) où icon est le
petit élément M par rapport à ⊆, la C-extension faible de CAF est défini par FCAF,Ω
i+1
i+1
i
i
(M ).
plus petit entier i tel que FCAF,Ω (M ) ∈ Ω et si FCAF,Ω (M ) ∈ Ω, alors FCAF,Ω (M ) = FCAF,Ω
Suite de l’exemple 6.8 ∅ satisfait C. Donc Ω de CAF possède un plus petit élément pour l’inclusion
0
1
2
ensembliste : ∅. FCAF,Ω
(∅) = ∅ (par convention), FCAF,Ω
(∅) = {a}, FCAF,Ω
(∅) = FCAF,Ω ({a}) =
3
{a, d}, FCAF,Ω (∅) = FCAF,Ω ({a, d}) = {a, d}.
2
3
On a donc FCAF,Ω
(∅) = FCAF,Ω
(∅). Donc E3 = {a, d} est la C-extension faible de CAF .
98
Comme A est fini, la définition de la C-extension faible est bien fondée. Soulignons le fait que lorsque
∅ satisfait C l’existence d’une C-extension faible est garantie (puisqu’alors ∅ est C-admissible et minimal
pour ⊆).
Pour définir la notion de C-extension faible, nous nous sommes inspirés de la notion de p-extension
faible (définition 5.9 page 61). Comme pour cette dernière, nous appliquons itérativement la fonction
C-caractéristique. La différence vient de la condition d’arrêt que nous avons dû généraliser, la fonction
C-caractéristique ne possèdant pas, en général, les mêmes propriétés que la fonction p-caractéristique.
Nous discutons des relations entre la notion de p-extension faible et celle de C-extension faible au paragraphe 6.2.3 page 103. Nous montrons dans ce même paragraphe que, même si Ω possède un plus petit
élément, la notion de C-extension faible n’est pas toujours suffisante.
Nous voulons maintenant caractériser les arguments que l’on peut dériver du système d’argumentation
à contrainte. Nous disons qu’un ensemble S est dérivable pour un système d’argumentation à contrainte
CAF donné s’il appartient à une (raisonnement crédule) ou à toutes les (raisonnement sceptique) Cextension(s) d’une sémantique donnée. Ce que nous notons :
Notation 6.3 |∼q,s dénote la relation d’inférence obtenue en considérant la sémantique s (s = P pour
la sémantique des C-extensions préférées, s = S pour la sémantique des C-extensions stables, s = W
pour la sémantique de la C-extension faible et s = G pour la sémantique de la C-extension de base) et le
principe d’inférence q, soit inférence crédule (q = ∃), soit inférence sceptique (q = ∀). Nous parlons de
C-inférence.
Pour les cas particuliers de la C-extension de base et de la C-extension faible, nous notons q = ., car
il n’existe au plus qu’une C-extension de base et qu’une C-extension faible, et le raisonnement crédule et
le raisonnement sceptique sont donc confondus. Notons que l’image de |∼.,G (resp. |∼.,W ) est indéfinie
lorsqu’il n’existe pas de C-extension de base (resp. de C-extension faible).
Suite de l’exemple 6.8 De CAF (figure 6.16 page 95), nous pouvons dériver (entre autres) :
– CAF |∼.,W {a, d} ;
– CAF |∼∃,P {a, e} ;
– CAF |∼∀,P {a} ;
– CAF |∼∃,S {a, d, f } ;
– CAF |∼∀,S {a, d, f }.
6.2.2 Propriétés et capacités inférentielles
Nous allons maintenant expliquer comment les différentes notions de C-extensions sont connectées et
quels sont leurs liens avec les extensions de Dung. Nous commençons par un résultat facile.
Proposition 6.23 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte.
1. Pour chaque ensemble C-admissible S de CAF , il existe une C-extension préférée E de CAF telle
que S ⊆ E.
2. Si CAF ′ = hA, R, C ′ i est un système d’argumentation à contrainte tel que C ′ |= C, alors Ω′ ⊆ Ω.
Nous pouvons noter ici que si un ensemble C-admissible est un ensemble admissible vérifiant C, une Cextension préférée n’est pas forcément une extension préférée. En effet, si une extension préférée vérifie C,
elle constitue une C-extension préférée, mais parmi les C-extensions préférées, il peut exister des ensembles
admissibles qui ne sont pas maximaux pour ⊆ parmi les ensembles admissibles.
99
Suite de l’exemple 6.8 E = {a, d, e} est une extension préférée de CAF (fig. 6.16 page 95), mais pas une
C-extension préférée de CAF (car E ne vérifie pas C). De même E ′ = {a, e} est une C-extension préférée
de CAF , mais pas une extension préférée de CAF (car E ′ ⊂ E).
Ainsi, une C-extension préférée n’est pas forcément une extension préférée et vice-versa. Néanmoins,
comme nous pouvons trivialement vérifier qu’un ensemble C-admissible est un ensemble admissible (la
réciproque n’est pas vérifiée, voir {a, d, e} du CAF de l’exemple 6.8 page 96), nous pouvons déduire la
proposition suivante :
Proposition 6.24 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Pour chaque C-extension préférée E de CAF , il existe une extension préférée E ′ de hA, Ri telle que E ⊆ E ′ .
Notons que la proposition 6.23 page précédente ne signifie pas qu’un système d’argumentation à contrainte possède toujours une C-extension préférée. Ce n’est pas toujours le cas, comme le montre l’exemple 6.9 page 96.
Suite de l’exemple 6.9 CAF n’est pas consistant. En particulier, l’extension de base {a, d} n’est pas un
ensemble C-admissible de CAF .
Chaque extension préférée ne contient pas forcément une C-extension préférée (sinon l’existence de la
première imposerait l’existence de la seconde).
Nous remarquons également que la présence de circuit de longueur paire n’exclut pas l’unicité de la
C-extension préférée.
Suite de l’exemple 6.11 E1 = {a, c} est l’unique C-extension préférée de CAF (figure 6.17 page 97).
Nous notons aussi qu’un système d’argumentation trivial n’est pas forcément C-trivial.
Exemple 6.13 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a}, R = {(a, a)} et C = a. Le graphe d’attaque de
hA, Ri est représenté figure 6.18.
a
CAF ne possède pas de C-extension préférée. Donc CAF n’est pas C-trivial. En revanche CAF est
trivial.
Un système d’argumentation à contrainte C-trivial n’est pas forcément trivial.
Suite de l’exemple 6.10 CAF (fig. 6.16 page 95) est C-trivial, mais CAF n’est pas trivial (E1 = {a, d, e}
et E2 = {a, d, f } sont ses extensions préférées).
Plus encore, dans les conditions qui garantissent, dans le cadre de Dung, l’unicité de l’extension préférée, plusieurs C-extensions préférées peuvent exister.
Exemple 6.14 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d}, R = {(a, c), (b, c), (c, d)} et
C = d ⇒ (a ⊕ b). Le graphe d’attaque de hA, Ri est représenté figure 6.19 page suivante.
E1 = {a, d} et E2 = {b, d} sont les deux C-extensions préférées de CAF . Ici, l’absence de circuit de
longueur paire ou la présence d’un système bien fondé n’interdit pas l’existence de plusieurs C-extensions
préférées.
100
d
c
a
b
Intéressons-nous maintenant à la fonction C-caractéristique. Les ensembles C-admissibles de
CAF = hA, R, Ci peuvent être facilement caractérisés à l’aide de la fonction C-caractéristique de CAF .
Proposition 6.25 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte et S ⊆ A un ensemble
sans conflit qui satisfait C. S est C-admissible pour CAF si et seulement si S ⊆ FCAF (S).
L’une des conséquences de cette proposition est que si E est une C-extension préférée de
CAF = hA, R, Ci, alors E = FCAF (E)(= FCAF,Ω (E)). La réciproque n’est pas vérifiée (considérons
l’exemple 6.8 page 96 figure 6.16 page 95 : alors que {a, d} est C-admissible pour CAF et constitue un
point fixe pour FCAF,Ω , ce n’est pas une C-extension préférée de CAF ).
En ce qui concerne les C-extensions stables, nous avons la proposition suivante :
1. Chaque C-extension stable de CAF est une C-extension préférée de CAF . La réciproque n’est pas
vérifiée.
2. Chaque C-extension stable de CAF est une extension stable (d’où une extension préférée et complète) de hA, Ri. La réciproque n’est pas vérifiée.
Comme pour le cadre de Dung, un système d’argumentation à contrainte peut avoir zéro, une ou plusieurs C-extensions stables. Remarquons que la présence d’extension stable pour hA, Ri ne suffit pas à
garantir la présence de C-extension stable.
Suite de l’exemple 6.14 CAF (fig. 6.14 page ci-contre) possède une extension stable {a, d, b}. En revanche, il n’existe pas de C-extension stable.
Il faut aussi noter que le fait que hA, Ri soit bien fondé ou controversé de manière limité ne garantit
plus la présence de C-extension stable (voir exemple 6.14 page précédente).
Nous remarquons également qu’un système d’argumentation cohérent n’est pas forcément C-cohérent
(voir exemple 6.14 page ci-contre) et vice-versa (voir exemple 6.11 page 97).
Intéressons-nous à présent à la C-extension de base et à la C-extension faible d’un système d’argumentation à contrainte. Contrairement à l’extension de base d’un système d’argumentation, la C-extension de
base d’un système d’argumentation à contrainte n’existe pas toujours (c’est aussi le cas pour la C-extension
faible). Ceci est expliqué par la proposition suivante :
Proposition 6.27 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Ni l’ensemble de tous
les ensembles vérifiant C ni Ω ne constitue nécessairement un ordre partiel complet pour ⊆.
La C-extension de base d’un système d’argumentation à contrainte CAF est reliée aux C-extensions
préférées (et stables) de CAF :
Proposition 6.28 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Si la C-extension de
base de CAF existe, elle est incluse dans chaque C-extension préférée (et donc dans chaque C-extension
stable) de CAF .
101
En ce qui concerne les C-extensions faibles, nous avons le résultat suivant :
base de CAF existe, alors elle coïncide avec la C-extension faible de CAF .
Remarquons qu’un système d’argumentation à contrainte peut avoir une C-extension faible sans avoir
de C-extension de base (voir exemple 6.8 page 96).
Remarquons aussi que la C-extension faible d’un système d’argumentation à contrainte CAF n’est
pas incluse dans toutes les C-extensions préférées de CAF (voir exemple 6.8 page 96). Néanmoins, la
C-extension faible est incluse dans chaque C-extension stable de CAF :
Proposition 6.30 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Si la C-extension
faible de CAF existe, alors elle est incluse dans chaque extension stable de CAF .
Nous pouvons également montrer que la C-extension faible d’un CAF n’est pas nécessairement incluse
dans l’extension de base du système d’argumentation associé (ce qu’illustre l’exemple suivant).
Exemple 6.15 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b}, R = {(a, b), (b, a)} et C = a. Le graphe d’attaque
de hA, Ri est représenté figure 6.20.
a
b
∅ est l’extension de base de CAF . {a} est la C-extension faible de CAF . {a} 6⊆ ∅, donc la C-extension
faible de CAF n’est pas incluse dans l’extension de base de CAF .
La capacité inférentielle des relations d’inférence à base de système d’argumentation à contrainte (i.e.
C-inférence) est définie de façon analogue à celle pour les systèmes d’argumentation sans contrainte (cf.
notation 2.1 page 23 dans le chapitre 2) : nous disons que |∼q,s a une capacité inférentielle au plus égale à
′ ′
′ ′
celle de |∼q ,s , noté |∼q,s ⊆ |∼q ,s si et seulement si pour chaque CAF = hA, R, Ci et chaque S ⊆ A, si
′
′
CAF |∼q,s S alors CAF |∼q ,s S.
Nous nous focalisons sur les systèmes d’argumentation à contrainte CAF qui possèdent une C-extension faible et une C-extension stable. En effet, si CAF n’a pas de C-extension faible, son image par
|∼.,W est indéfinie et la relation ne peut pas être comparée aux autres relations d’inférence par rapport à
la capacité inférentielle. Si CAF n’a pas de C-extension stable, alors |∼∀,S et |∼∃,S trivialisent : chaque
argument appartient à l’image de CAF par |∼∀,S , et aucun argument n’appartient à l’image de CAF par
|∼∃,S . Dans ce scénario, l’inférence crédule par rapport à la sémantique stable a une capacité inférentielle
moindre que l’inférence sceptique pour la sémantique stable, ce qui est plutôt contre-intuitif.
Proposition 6.31 Les liens entre capacités inférentielles du tableau 6.2.2 sont vérifiées pour chaque système d’argumentation à contrainte CAF possédant une C-extension faible et une C-extension stable, mais
pas de C-extension de base.
Lorsqu’un système d’argumentation à contrainte CAF possède une C-extension de base, nous avons
|∼.,G = |∼.,W , et la seule différence est que |∼.,W ⊆ |∼∀,P (d’après la proposition 6.28). Ainsi, dans ce
cas, les capacités inférentielles sont similaires à celles obtenues dans le cadre de Dung.
102
|∼∀,P
|∼∃,P
|∼∀,S
|∼∃,S
|∼.,W
|∼∀,P
⊆
6⊆
6⊆
6⊆
6⊆
|∼∃,P
⊆
⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∀,S
⊆
6⊆
⊆
6⊆
⊆
|∼∃,S
⊆
6⊆
⊆
⊆
⊆
|∼.,W
6⊆
6⊆
6⊆
6⊆
⊆
TAB . 6.12 – Liens entre les relations d’inférence pour CAF.
6.2.3 Généralité de l’approche
Intéressons-nous maintenant à l’expressivité du cadre ainsi généralisé. Il est facile de prouver que la
théorie des systèmes d’argumentation à contrainte généralise la théorie de Dung des systèmes d’argumentation finis 15 :
Proposition 6.32 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. Soit CAF = hA, R, Ci un système
d’argumentation à contrainte où C est une formule sur A valide. Alors :
1. les extensions préférées de AF sont les C-extensions préférées de CAF .
2. les extensions stables de AF sont les C-extensions stables de CAF .
3. l’extension de base de AF est la C-extension de base de CAF (elle coïncide avec la C-extension
faible de CAF ).
De la même façon, certains systèmes d’argumentation bipolaires (ACLS04; CLS05a; CLS05b)
(MCLS05) peuvent être efficacement transformés en systèmes d’argumentation à contrainte «équivalents».
Plusieurs notions d’admissibilité peuvent être envisagées dans ce cadre, reflétant les différentes façons de
prendre en compte la relation d’appui. Entre autres, un ensemble d’arguments peut être considéré comme
admissible pour un système d’argumentation bipolaire BAF lorsqu’il est admissible pour hA, Ratt i et tel
que pour chaque a, b ∈ A, si (a, b) ∈ Rsup et a ∈ S, alors b ∈ S (voir les définitions 3.22 page 42, 3.27
page 44,
3.28 page 44 et 3.32 page 45).
Nous pouvons effectuer la transformation suivante :
Proposition 6.33 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation
V bipolaire (fini). Soit
CAF = hA, Ratt , Ci un système d’argumentation à contrainte tel que C = (a,b)∈Rapp (a ⇒ b). Alors :
1. les extensions faiblement c-préférées de BAF sont les C-extensions préférées de CAF ;
2. les extensions faiblement c-stables de BAF sont les C-extensions stables de CAF .
Une notion d’extension faiblement de c-base d’un système d’argumentation bipolaire peut être facilement définie et calculée comme la C-extension de base du système d’argumentation à contrainte correspondant. L’existence de la C-extension de base dans un tel cas vient d’un résultat légèrement plus général :
Proposition 6.34 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Si C est équivalent à
une conjonction de clauses de la forme ¬x ∨ y avec x, y ∈ A, alors (Ω, ⊆) possède un plus petit élément
et FCAF,Ω est une fonction monotone de Ω dans Ω.
15. Notons que le contraire n’est pas vérifié. En particulier, bien que tous les systèmes d’argumentation soient consistants (∅ est
toujours un ensemble admissible), nous avons vu que certains systèmes d’argumentation à contrainte ne sont pas consistants (b
∅
ne satisfait pas chaque C).
103
Nous avons aussi montré que les systèmes d’argumentation interprétés sous sémantiques liées aux pextensions et que les sémantiques liées aux c-extensions présentées dans (CMDM05b; CMDM05a) peuvent
être converties en systèmes d’argumentation à contrainte (les conflits indirects et les controverses peuvent
être calculés et transformés en contraintes en temps polynomial). Nous obtenons les résultats suivants :
Proposition 6.35 Soit AF = hA, Ri un système
d’argumentation fini, et CAF = hA, R, Ci le système
V
d’argumentation à contrainte tel que C = (a,b)∈A×A | a attaque indirectement b (a ⇒ ¬b). Alors :
1. les p-extensions préférées de AF sont les C-extensions préférées de CAF ;
2. les p-extensions stables de AF sont les C-extensions stables de CAF ;
3. la p-extension faible de AF est la C-extension faible de CAF .
La définition de la p-extension faible (definition 5.9 page 61) est bien la même que celle de la Cextension faible. En effet, d’après le lemme 5.7 page 61, nous sommes certains de toujours obtenir des
ensembles p-admissibles. De plus, comme A est fini, la fonction p-caractéristique est stationnaire à partir
d’un rang j. Ce qui correspond bien à la définition de la C-extension faible.Cette proposition nous permet
entre autre de montrer que la p-extension faible de AF est comprise dans chaque p-extension stable de
AF .
Proposition 6.36 Soit AF = hA, Ri un V
système d’argumentation fini, et CAF = hA, R, Ci le système
d’argumentation à contrainte tel que C = (a,b)∈A×A | ∃c∈A,(a,b) est super-controversé par rapport c (a ⇒
¬b). Alors :
1. les c-extensions préférées de AF sont les C-extensions préférées de CAF ;
2. les c-extensions stables de AF sont les C-extensions stables de CAF .
Comme nous l’avons illustré dans le paragraphe 5.1 page 56, la C-extension faible, même lorsqu’elle
existe, n’est pas toujours satisfaisante (car trop prudente). Par exemple, dans le cas des c-extensions, il
suffit qu’il n’y ait pas d’argument non attaqué, qu’un des arguments non attaqués soit controversé ou qu’un
couple d’arguments non attaqués soit super-controversé par rapport à un argument quelconque de A pour
que cette dernière soit l’ensemble vide.
Exemple 6.16 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d, e, i}, R = {(b, a), (e, b), (c, b), (d, c)} et
C = (d ⇒ ¬e) ∧ (d ⇒ ¬c) ∧ (b ⇒ ¬e) ∧ (b ⇒ ¬c). Le graphe d’attaque de AF est représenté figure 6.21.
a
b
c
e
d
i
F IG . 6.21 – Représentation graphique de hR, Ai.
La contrainte impose exactement que les ensembles dérivés soient sans controverse. ∅ est un ensemble
C-admissible. C’est donc le plus petit élément de l’ensemble de tous les ensembles C-admissible. La C0
extension faible peut donc être définie. FCAF,Ω
(∅) = ∅. FCAF,Ω (∅) = {d, e, i}. Ce n’est pas un ensemble qui satisfait C, donc la C-extension de base est l’ensemble vide. Ce qui nous empêche de dériver le
104
moindre argument. Pourtant, intuitivement, nous souhaiterions garder i. C’est pourquoi, dans le cadre des
c-extensions, nous avons considéré que de définir une notion de c-extension faible n’était pas justifiable.
Nous montrons enfin que les systèmes bipolaires interprétés sous les bp-sémantiques présentées dans
(CDLS06b) (cf. partie 6.1 page 77) peuvent être convertis en systèmes d’argumentation à contrainte (les
bp-conflits peuvent être calculés et transformés en contraintes en temps polynomial). Nous obtenons donc
la proposition suivante :
Proposition 6.37 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini, et CAF =
hA, Ratt , Ci le système d’argumentation à contrainte tel que
^
C=
(a ⇒ ¬b).
(a,b)∈A×A | ∃c∈A,a appuie de manière complexe c et c attaque indirectement b
Alors :
1. les bp-extensions préférées de AF sont les C-extensions préférées de CAF ;
2. les bp-extensions stables de AF sont les C-extensions stables de CAF ;
3. la bp-extension faible de AF est la C-extension faible de CAF .
6.2.4 Aspects calculatoires
Pour finir, nous allons présenter la complexité des problèmes de décision liés aux relations d’inférence
des systèmes d’argumentation à contrainte. Le premier problème important est de décider si le système
d’argumentation à contrainte est consistant. En effet, les inférences à partir d’un système d’argumentation
à contrainte CAF non consistant trivialisent : |∼.,G et |∼.,W sont indéfinies, et CAF ne possédant pas
de C-extension préférée, CAF |∼∀,s E est vérifié pour tout E ⊆ A lorsque s vaut P ou S, tandis que
CAF |∼∃,s E n’est vérifié pour aucun E ⊆ A lorsque s vaut P ou S. Alors que ce problème est trivial dans
le cas des systèmes d’argumentation de Dung (puisque ces derniers sont toujours consistants !), c’est un
problème difficile dans le cas général. Plus encore, la complexité ne résulte pas uniquement du problème
de la satisfiabilité de C:
Proposition 6.38 Décider si CAF = hA, R, Ci est consistant est NP-complet, même si C est une formule
CNF positive ou une formule CNF négative.
Notons ici que le problème de la satisfiabilité d’une formule CNF positive ou négative est trivial
puisque de telles formules sont toujours satisfaisables.
La consistance est nécessaire et suffisante pour assurer que |∼∀,P et |∼∃,P ne trivialisent pas. Cependant,
elle n’est pas suffisante pour assurer que |∼.,G et |∼.,W sont définies et que |∼∀,S et |∼∃,S ne trivialisent
pas. De ces problèmes de vérification de «non-trivialisation», nous avons dérivé les résultats suivants :
1. Décider si Ω 16 possède un plus petit élément est coNP-difficile et dans Θp2 .
2. Décider si Ω possède un plus petit élément et FCAF,Ω est une fonction monotone de Ω dans Ω est
coNP-difficile et dans Θp2 .
3. Décider si CAF possède une C-extension stable est NP-complet (même lorsque l’on sait que CAF
est consistant).
Proposition 6.40 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte et S ⊆ A. Le problème
de décider si CAF |∼q,s S est vérifiée (et d’assurer que les extensions existent lorsque s = G ou s = W )
admet les complexités indiquées dans le tableau 6.13 page suivante.
16. i.e. l’ensemble des ensembles C-admissible
105
|∼∀,P
|∼∃,P
|∼∀,S
|∼∃,S
|∼.,G
|∼.,W
Πp2 -complet
NP-complet
coNP-complet
NP-complet
coNP-difficile et dans ∆p2
TAB . 6.13 – Complexité de l’inférence dans les systèmes d’argumentation à contrainte.
Il est important de noter que les quatre relations d’inférence basées sur les sémantiques préférées ou
stables dans le cadre d’un système d’argumentation à contrainte ne sont pas plus difficiles que les relations
correspondantes dans le cadre de Dung. Ce qui n’est pas le cas 17 des relations d’inférence basées sur la
C-extension de base (ou C-extension faible) car l’extension de base peut être calculée en temps polynomial.
D’un point de vue calcul, il est intéressant de souligner que l’approche par traduction proposée par
(Cre95) (dans le contexte de la théorie des graphes) et par Besnard et Doutre (DB04) pour coder les extensions comme des interprétations logiques peut être appliquée aux systèmes d’argumentation à contrainte.
L’approche par traduction montre comment réduire les questions d’inférence d’un système d’argumentation en inférence logique. L’idée consiste à associer à chaque système d’argumentation à contrainte une formule propositionnelle dont les modèles (resp. les modèles maximaux) codent exactement les C-extensions
stables (resp. C-extensions préférées) de CAF :
– S ⊆ A est une C-extension stable de CAF si et seulement si S satisfait la formule
^
^
(
(a ⇔
¬b)) ∧ C.
a∈A
b | (b,a)∈R
– S ⊆ A est une C-extension préférée de CAF si et seulement si Sb est un modèle maximal de la
formule
^
^
^
_
(
((a ⇒
¬b) ∧ (a ⇒
(
c)))) ∧ C.
a∈A
b | (b,a)∈R
b | (b,a)∈R c | (c,b)∈R
De telles transformations permettent de prendre en compte plusieurs résultats du raisonnement automatique (incluant les prouveurs SAT) pour décider nos relations d’inférence.
17. Sous les hypothèses habituelles de la théorie de la complexité.
106
7
Fusion de systèmes d’argumentation
Sommaire
7.1
7.2
7.3
7.4
Systèmes d’argumentation partiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Opérateurs de fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Propriétés des systèmes d’argumentation partiels et de l’expansion consensuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Quelques propriétés de la fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dérivabilité pour le résultat de la fusion de systèmes d’argumentation . . . . .
110
114
119
120
123
125
Dans les chapitres précédents, nous avons présenté des relations d’inférence permettant de dériver des
ensembles d’arguments étant donné un système d’argumentation fini (unipolaire, bipolaire ou à contrainte).
Dans ce chapitre, nous étendons la problématique de l’inférence en admettant que les informations disponibles le sont sous la forme de plusieurs systèmes d’argumentation fournis par des agents différents
(CMDK+ 05).
Les preuves de ce chapitre se situent dans l’annexe G page 223.
En règle générale, en argumentation, lorsque l’on veut raisonner à partir des connaissances de plusieurs
agents, nous utilisons le dialogue. Un dialogue a un but : persuader les autres agents, négocier à propos
d’une connaissance etc. À chaque étape du dialogue, un agent donne, en suivant des règles définies par
le type de dialogue, un argument ; et une décision est prise en fonction du système d’argumentation ainsi
obtenu. C’est donc un processus itératif. À notre connaissance, il n’existe pas de moyen de réunir les
systèmes d’argumentation afin que les agents adoptent un point de vue commun une fois pour toutes et
raisonnent à partir de celui-ci. C’est pour pallier ce manque que nous proposons de fusionner les systèmes
d’argumentation liés à chaque agent.
Chaque système d’argumentation fourni peut s’appuyer sur un ensemble d’arguments différent de ceux
que l’on rencontre dans les systèmes associés aux autres agents et possède une relation d’attaque propre.
En appliquant un mécanisme similaire à celui utilisé pour la fusion de bases de connaissances sur les
systèmes d’argumentation de départ, nous obtenons un ensemble de systèmes d’argumentation portant tous
sur le même ensemble d’arguments et utilisant une relation d’attaque globale. Cet ensemble représente un
consensus entre les agents. Nous pensons que raisonner à partir de ce consensus est plus satisfaisant que de
raisonner à partir de l’union des systèmes d’argumentation de départ ou à partir des ensembles d’arguments
dérivables des systèmes d’argumentation de départ.
Intuitivement, une méthode pour réunir différentes informations est de les mettre en commun, i.e. en
faire l’union. Une approche simpliste pour fusionner des systèmes d’argumentation consiste donc à en
former l’union. L’union d’un ensemble de systèmes d’argumentation AF1 , AF2 . . . AFn est définie par
107
Chapitre 7. Fusion de systèmes d’argumentation
S
S
AF = h ni=1 Ai , ni=1 Ri i. Regardons les problèmes soulevés par le raisonnement à partir de l’union des
systèmes d’argumentation de chaque agent.
Exemple 7.1 Deux espions remettent leur rapport à propos d’une nouvelle machine nommée MX.
Agent 1 :
argument a :
argument b :
argument c :
argument e :
MX a été observée dans les airs, MX est donc un nouvel engin volant.
MX n’a pas de moteur, donc MX ne peut pas voler.
MX est une fusée (ce n’est donc pas un deltaplane), donc MX a un moteur.
MX est un deltaplane, donc MX a des ailes.
Agent 2 :
argument a :
argument d :
argument e :
argument c :
MX a été observée dans les airs, MX est donc un nouvel engin volant.
MX n’a pas d’ailes, donc MX ne peut pas voler.
MX est un deltaplane (ce n’est donc pas une fusée), donc MX a des ailes.
MX est une fusée, donc MX a un moteur.
Les deux rapports sont formalisés par les systèmes d’argumentation suivants.
Soit AF1 = hA1 , R1 i avec A1 = {a, b, c, e} et R1 = {(b, a), (c, b), (c, e)} ; et AF2 = hA2 , R2 i avec
A2 = {a, c, d, e} et R2 = {(d, a), (e, d), (e, c)}. Les graphes d’attaque de AF1 et de AF2 sont représentés
figure 7.1.
AF2
AF1
b
c
a
c
a
e
d
e
F IG . 7.1 – Représentation graphique de AF1 et de AF2 .
Notons que l’agent 1 ignore l’existence d’une attaque de c par e, alors que cette dernière est connue
par l’agent 2. Et que pour l’agent 1, c attaque e, ce qui n’est pas le cas pour l’agent 2. Cela illustre le fait
que les agents ont des relations d’attaques différentes (cela peut être dû, par exemple, à des relations de
plausibilité différentes sur les arguments).
{a, c} est l’unique extension préférée de AF1 . {a, e} est l’unique extension préférée de AF2 . Pour
chaque agent, l’argument a est dérivable.
L’union de AF1 et de AF2 est : AF1,2 = hA1 ∪ A2 , R1 ∪ R2 i. AF1,2 possède deux extensions préférées
{c, d} et {b, e}. Ainsi, alors que les agents sont d’accord à propos de a, le système d’argumentation ne
le considère même pas comme dérivable crédulement. L’union de systèmes d’argumentation peut donc
conduire à une trop grande perte d’information.
Intéressons-nous maintenant aux résultats obtenus en considérant les systèmes d’argumentation de
chaque agent. Comme, à notre connaissance il n’existe pas encore de moyen de dériver un argument à partir
d’un ensemble de systèmes d’argumentation, nous considérons que les arguments dérivables d’un groupe
de systèmes d’argumentation sont obtenus par vote sur les extensions de chaque système d’argumentation.
En effet, une autre méthode pour mettre d’accord un groupe à propos d’une série d’informations est de
faire voter les agents du groupe sur chaque information et de ne conserver, par exemple, que celles ayant
108
obtenues la majorité stricte. Les arguments que l’agent peut dériver de son système d’argumentation sont
les informations en lesquelles il peut croire, et donc pour lesquelles il peut voter. Par exemple, un argument
a est dérivé si la majorité des agents croient en lui. Nous illustrons cette méthode par l’exemple suivant :
Exemple 7.2 Trois éditorialistes d’un même groupe d’édition définissent le contenu de la première page de
leur journal. Comme ils font partie du même groupe d’édition, leurs points de vue ne doivent pas s’opposer.
Agent 1 :
argument a : C’est une information concernant une personne privée, nous avons donc besoin de l’accord de
cette personne pour la publier.
argument b : C’est une information concernant un ministre, nous n’avons pas besoin d’accord pour publier
une information concernant un ministre.
argument f : Une rumeur venant du gouvernement indique que le ministre est malade.
argument e : Le bulletin de santé du ministre a été publié, il n’est pas malade.
Agent 2 :
argument d : Cette information est importante, elle doit être publiée.
argument c : Nous avons besoin d’un accord et nous ne l’avons pas, nous ne pouvons donc pas la publier.
argument b : C’est une information concernant un ministre, nous n’avons pas besoin d’accord pour publier
une information concernant un ministre.
Agent 3 :
Ces discussions se formalisent de la façon suivante.
Soit AF1 = hA1 , R1 i avec A1 = {a, b, e, f } et R1 = {(b, a), (a, b), (e, f )} ; AF2 = hA2 , R2 i avec
A2 = {b, c, d, e, f } et R2 = {(b, c), (c, d), (f, e)} ; et AF3 = hA3 , R3 i avec A3 = {e, f } et R3 = {(e, f )}
représentant les systèmes d’argumentation des trois agents. Les graphes d’attaque de AF1 , AF2 et AF3 sont
représentés figure 7.2.
AF1
AF2
b
a
b
e
f
AF3
c
d
e
f
e
f
F IG . 7.2 – Représentation graphique de AF1 , AF2 et AF3 .
Quelle que soit la sémantique choisie (parmi celles proposées par Dung), c n’appartient à aucune extension de AF2 . Comme c n’est pas connu des autres agents, ils ne peuvent pas voter pour lui. Donc, après
un vote des trois agents, c ne peut pas être considéré comme dérivable. Néanmoins, puisque c (resp. a)
n’est pas connu par l’agent 1 et l’agent 3 (resp. l’agent 2 et l’agent 3), il peut sembler raisonnable de supposer que l’agent 1 et l’agent 3 (n’ayant d’autre information que celle donnée par l’agent 2) croient que a
109
attaque b, b attaque a et que b attaque c. Cette hypothèse ne contredit en rien les trois systèmes d’argumentation fournis par les agents. Sous cette hypothèse, il semble sensé de pouvoir inférer crédulement c pour
le groupe.
Nous pensons que le vote sur les systèmes d’argumentation initiaux n’agrège pas de manière satisfaisante les croyances données par les système d’argumentation. Deux problèmes surgissent de la procédure
de vote :
– Problème 1 : Voter est raisonnable seulement si tous les agents considèrent le même ensemble A
d’arguments (sinon l’ensemble des 2A alternatives n’est pas commune à tous les agents). Cependant, interdire aux agents d’avoir des connaissances différentes est une contrainte trop restrictive : il
semble naturel que les agents ne possèdent pas tous les mêmes arguments.
– Problème 2 : Le vote dépend uniquement des extensions : les relations d’attaque (depuis lesquelles
les extensions ont été construites) ne sont plus prises en compte une fois les extensions calculées,
alors que l’avantage des extensions proposées par Dung est de savoir pourquoi un argument est
dérivable (i.e. qui le défend). Des informations pertinentes pour dériver les ensembles d’arguments
dérivables au niveau du groupe sont donc perdues.
7.1 Systèmes d’argumentation partiels
Pour définir le résultat de la fusion de systèmes d’argumentation de manière satisfaisante, nous avons
besoin de résoudre le problème 1.
L’exemple 7.2 page précédente soulève deux autres interrogations.
Suite de l’exemple 7.2
– L’argument c n’appartient pas à AF1 , le système d’argumentation de l’agent 1. L’agent 1 ne connaît
pas c. Ainsi, il ignore les interactions qui existent entre c et ses propres arguments. Par exemple, il
ne sait pas si a attaque c.
– Considérons maintenant les arguments e et f . Du point de vue de l’agent 1, e attaque f et f n’attaque pas e. Alors, que pour l’agent 2, qui connaît aussi e et f , c’est le contraire f attaque e et e
n’attaque pas f . Il y a donc un conflit, concernant la manière dont e et f interagissent, entre les deux
agents.
Les deux exemples précédents permettent d’illustrer les différents cas qui doivent être pris en compte :
– un argument existe pour un agent, mais n’est pas connu d’un autre agent ;
– une interaction (attaque ou absence d’attaque) existe pour un agent, mais pas pour un autre.
Dans le premier cas, le nouvel argument peut être ajouté au système d’argumentation de l’agent qui ne
le connaît pas, mais les interactions de cet argument avec les autres arguments du système d’argumentation
restent à préciser.
Dans le second cas, nous ne pouvons pas ajouter la relation d’attaque au système d’argumentation qui
ne l’exprime pas. En effet, lorsqu’il n’y a pas de relation d’attaque depuis un argument a vers un argument
b, c’est que a n’attaque pas b pour l’agent considéré. C’est une propriété importante.
Une conséquence de cette propriété est la nécessité de distinguer trois cas lorsque l’on ajoute l’argument a au système d’argumentation AF : soit b un argument de AF ,
– l’agent sait que l’interaction (a, b) existe (attaque) ;
– l’agent sait que l’interaction (a, b) n’existe pas (non-attaque) ;
– l’agent ignore si l’interaction (a, b) existe (ignorance).
110
7.1. Systèmes d’argumentation partiels
Dans les deux premiers cas, l’agent a assez de connaissance pour pouvoir déduire la présence ou non de
l’interaction. Dans le troisième cas, l’agent n’est pas capable de déterminer s’il y a attaque ou non attaque
(ce manque d’information peut avoir plusieurs origines, par exemple le fait que l’agent ne dispose pas des
ressources de calcul nécessaire pour déterminer s’il y a attaque ou pas).
Pour traiter ensemble ces différentes sortes d’information, nous généralisons la notion de système
d’argumentation en système d’argumentation partiel.
Définition 7.1 Un système d’argumentation partiel (noté PAF) sur A est un quadruplet P AF = hA, R,
I, N i où :
– A est un ensemble d’arguments,
– R, I, N sont trois relation binaires sur A :
– R est appelée la relation d’attaque,
– I est appelée la relation d’ignorance et est telle que R ∩ I = ∅,
– et N = (A × A) \ (R ∪ I) est appelée la relation de non-attaque.
La relation de non-attaque se déduisant de A, R et I peut également être notée hA, R, Ii. Nous utilisons
indifféremment l’une ou l’autre des deux notations.
Chaque système d’argumentation AF est un système d’argumentation partiel pour lequel I est vide.
Dans un système d’argumentation la relation N existe même si elle n’est pas donnée explicitement (N =
(A × A) \ R). Ainsi, un système d’argumentation peut aussi être noté hA, R, N i.
Nous rappelons qu’un argument a peut s’auto-attaquer, et donc que si (a, a) n’appartient ni à la relation
d’attaque, ni à la relation d’ignorance, on a (a, a) ∈ N .
Graphiquement, l’attaque de b par a s’illustre par une flèche pleine de a vers b. L’ignorance de a vers
b est représentée par une flèche en pointillée de a vers b. Nous ne représentons pas la non-attaque car elle
peut se déduire de l’attaque et de l’ignorance.
Exemple 7.3 Soit le système d’argumentation partiel P AF = hA, R, I, N i avec A = {a, b, c, d}, R =
{(a, b), (a, c)}, I = {(c, a), (b, d)}, et N = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, a), (b, c), (c, b), (a, d), (d, a),
(d, b), (c, d), (d, c)}. La représentation graphique de P AF est donnée figure 7.3.
b
a
d
c
F IG . 7.3 – Représentation graphique de P AF .
Chaque P AF sur A peut être vu comme la représentation compacte d’un ensemble d’AF s sur A,
appelés ses complétions:
Définition 7.2 Soit P AF = hA, R, Ii et AF = hA, Si. AF est une complétion de P AF si et seulement
si R ⊆ S ⊆ R ∪ I. L’ensemble des complétions de P AF est noté C(P AF ).
Suite de l’exemple 7.3 Les complétions de P AF (fig. 7.3) sont représentées figure 7.4 page suivante.
La solution proposée pour résoudre
Sn le problème 1 est d’associer chaque AFi sur Ai à un système
d’argumentation partiel P AFi sur i=1 Ai . P AFi est appelé l’expansion de AFi :
111
b
a
d
c
b
a
b
a
d
c
d
c
b
a
d
c
F IG . 7.4 – Représentation graphique des complétions de P AF .
Définition 7.3 Soit P = hAF1 , . . . , AFn i un profil de n systèmes d’argumentation où chaque AFi =
hAi , Ri , Ni i. Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation.
On appelle
S expansion de AF étant donné P un système d’argumentation partiel exp(AF, P) de la
forme hA ∪ i Ai , R′ , I ′ , N ′ i tel que R ⊆ R′ et (A × A) \ R ⊆ N ′ .
Par convention si P = ∅ alors exp(AF, P) = AF .
exp est la fonction d’expansion.
Notons que la seule contrainte dans la définition d’une expansion d’un système d’argumentation AF
est de préserver les arguments de départ et les interactions entre ceux-ci. Il existe plusieurs fonctions d’expansion, chacune reflétant une attitude possible de l’agent face à cette nouvelle information. Soit un agent
i possédant initialement l’argument a, il peut incorporer le «nouvel» argument b de différentes façons. Par
exemple, il peut :
– toujours rejeter b (e.g. en ajoutant (b, b) dans Ri′ ),
– toujours dériver b (en ajoutant (a, b), (b, a) et (b, b) dans Ni′ ),
– juste exprimer son ignorance vis-à-vis de b (en ajoutant (a, b), (b, a) et (b, b) dans Ii′ ).
La fonction d’expansion n’est pas forcément une primitive. L’agent peut également très bien calculer
les interactions exactes entre a et b (e.g. si sa relation d’attaque est la relation réfute (EGFK93a; EGH95)
il suffit qu’il vérifie si la conjonction des conclusions de a et b est contradictoire). Notons que si l’agent i
possède des ressources de calcul limitées, il peut ajouter (a, b) à Ii′ s’il n’a pu calculer l’interaction.
Par la suite, nous nous focalisons sur l’expansion consensuelle des systèmes d’argumentation. Intuitivement, l’expansion consensuelle d’un système d’argumentation AF = hA, Ri étant donné un profil de
systèmes d’argumentation est obtenue en ajoutant le couple (a, b) (où au moins un des deux arguments
a, b n’appartient pas à AF ) dans la relation d’attaque (resp. de non-attaque) si tous les agents du profil
connaissant à la fois a et b considèrent que a attaque b (resp. que a n’attaque pas b) ; en cas de conflit
(a, b) est ajouté à la relation d’ignorance. Notons que dans le cas où aucun agent ne connaît à la fois a et
b, (a, b) est ajouté à la relation de non-attaque. C’est une approche optimiste de l’expansion consensuelle.
Nous pourrions aussi considérer (d’un point de vue pessimiste de l’expansion consensuelle) que les couples
(a, b) pour lesquels aucun agent ne possède d’information sont à placer dans la relation d’ignorance. Cette
seconde vision, plus prudente que la première, a le désavantage de multiplier les couples dans la relation
d’ignorance et par cela même le nombre de complétions possibles. C’est pourquoi, par la suite, nous nous
intéressons à l’expansion consensuelle optimiste.
112
7.1. Systèmes d’argumentation partiels
Définition 7.4 Soit P = hAF1 , . . . , AFn i un profil de n systèmes d’argumentation avec pour chaque
AFi = hAi , Ri , Ni i. Soit AF = hA, R, N i un système d’argumentation.
S
S
Soit conf (P) = ( i Ri ) ∩ ( i Ni ) l’ensemble des interactions pour lesquels il existe un conflit dans
le profil P.
L’expansion consensuelle de AF étant donné P est donnée par expC (AF, P ) = hA′ , R′ , I ′ , N ′ i où :
–
–
–
–
S
A′ = A ∪ i Ai ,
S
R′ = R ∪ (( i Ri \ conf (P)) \ N ),
I ′ = conf (P) \ (R ∪ N ) 18 ,
N ′ = (A′ × A′ ) \ (R′ ∪ I ′ ).
Proposition 7.1 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de n systèmes d’argumentation avec chaque AF i =
hAi , Ri , Ni i. L’ expansion consensuelle expC de AF étant donné P est une expansion de AF étant donné
P au sens de la définition 7.3 page 111.
Exemple 7.4 Soit les quatre systèmes d’argumentation suivants :
– AF1 = hA1 , R1 i avec A1 = {a, b} et R1 = {(a, b), (b, a)},
– AF2 = hA2 , R2 i avec A2 = {b, c, d} et R2 = {(b, c), (c, d)},
– AF3 = hA3 , R3 i avec A3 = {a, b, d} et R3 = {(a, b), (a, d)},
– AF4 = hA4 , R4 i avec A4 = {a, b, d} et R4 = {(b, d), (b, a)}.
Leurs graphes d’attaque sont représentés figure 7.5.
AF2
AF1
b
AF3
b
a
b
c
d
AF4
a
b
a
d
d
F IG . 7.5 – Représentation graphique de AF1 , AF2 , AF3 et AF4 .
Ces quatres systèmes d’argumentation forment le profil P.
Conf (P) = {(a, b), (b, a), (b, d), (d, b)}.
Leurs expansions consensuelles étant donné le profil P sont données par les systèmes d’argumentation
partiels suivants (au système d’argumentation AFi correspond l’expansions consensuelles P AFi ) :
– P AF1 = hA1 , R1 , I1 i avec A1 = {a, b, c, d}, R1 = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, d)} et I1 = {(a, d),
(b, d)},
– P AF2 = hA2 , R2 , I2 i avec A2 = {a, b, c, d}, R2 = {(b, c), (c, d)} et I2 = {(a, b), (b, a), (a, d)},
– P AF3 = hA3 , R3 , I3 i avec A3 = {a, b, c, d}, R3 = {(a, b), (a, d), (b, c), (c, d)} et I3 = ∅,
– P AF4 = hA4 , R4 , I4 i avec A4 = {a, b, c, d}, R4 = {(b, d), (b, a), (b, c), (c, d)} et I4 = ∅
Elles sont données figure 7.6 page suivante.
18. On rappelle que R ∪ N = A × A
113
P AF1
P AF2
PAF3
P AF4
b
b
b
b
a
c
a
d
c
d
a
c
a
d
c
d
F IG . 7.6 – Représentation graphique de P AF1 , P AF2 , P AF3 et P AF4 .
7.2 Opérateurs de fusion
Maintenant que nous avons apporté une solution au problème 1, considérons le problème 2. Comment
garder la trace des relations d’attaque (et de non-attaque) des systèmes d’argumentation de chaque agent?
Pour résoudre ce problème nous proposons de fusionner les interactions des systèmes d’argumentation
plutôt que d’opérer directement sur les ensembles d’arguments dérivables. Le but est de caractériser les
systèmes d’argumentation qui sont les plus proches possibles de l’ensemble des systèmes d’argumentation
de départ considéré comme un tout.
Pour ce faire, nous définissons une notion de «distance» entre un système d’argumentation et un profil
de systèmes d’argumentation, ou plus généralement entre un système d’argumentation partiel et un profil
de systèmes d’argumentation partiels. Nous utilisons une notion de pseudo-distance entre deux systèmes
d’argumentation partiels et une méthode pour combiner ces pseudo-distances :
Définition 7.5 Une pseudo distance d entre systèmes d’argumentation partiels sur A est une fonction qui
associe un nombre réel positif à chaque paire de systèmes d’argumentation partiels sur A et qui satisfait
les propriétés de symétrie (d(x, y) = d(y, x)) et de minimalité (d(x, y) = 0 si et seulement si x = y).
d est une distance si elle satisfait aussi l’inégalité triangulaire (d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)).
Définition 7.6 Une fonction d’agrégation est une fonction ⊗ de (R+ )n dans (R+ ) (pour être plus précis,
c’est une famille de fonctions, une pour chaque n), qui satisfait les propriétés de :
– non-décroissance (si xi ≥ x′i , alors ⊗(x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ≥ ⊗(x1 , . . . , x′i , . . . , xn )),
– minimalité (⊗(x1 , . . . , xn ) = 0 si xi = 0, pour tout i),
– et identité (⊗(x) = x).
Le résultat de la fusion d’un profil de systèmes d’argumentation est défini comme un ensemble de
systèmes d’argumentation :
Définition 7.7 Soit P = hAF1 , . . . , AFn i un profil de n systèmes d’argumentation. Soit d une pseudodistance entre systèmes d’argumentation partiels, soit ⊗ une fonction d’agrégation, et soit exp1 . . . expn n
fonctions d’expansion. Le résultat de la fusion de P est l’ensemble de systèmes d’argumentation classiques
∆⊗
d (hAF1 , . . . , AFn i, hexp1 , . . . , expn i) =
{AF sur
[
i
114
Ai | AF minimise ⊗ni=1 d(AF, expi (AFi , P))}
7.2. Opérateurs de fusion
Fusionner un profil de systèmes d’argumentation P = hAF1 , . . . , AFn i est un processus en deux
temps :
– expansion : Une expansion de chaque AFi est calculée. Notons que chaque agent peut avoir sa
propre fonction S
d’expansion. L’important est que expi (AFi , P) soit un système d’argumentation
partiel sur A = i Ai .
– fusion : Les systèmes d’argumentation sélectionnés comme résultats de la fusion sont ceux qui représentent le mieux P (i.e. ceux qui sont les plus «proches»Sde P) parmi tous les systèmes d’argumentation classiques dont l’ensemble d’arguments est A = i Ai .
Par la suite, nous considérons que chaque agent utilise la fonction expansion consensuelle. Et donc
pour faciliter la lecture nous enlevons hexp1 . . . expn i de la liste des paramètres de l’opérateur de fusion.
Notons qu’il est possible de raffiner la définition 7.7 page ci-contre en y incluant une contrainte d’intégrité. Cela peut être utile s’il existe de la connaissance (non remise en doute) que nous désirons conserver
dans le résultat (des attaques entre arguments qui tiennent pour tout le groupe). Il est facile de ne garder que
les systèmes d’argumentation qui satisfont cette contrainte, de façon similaire à ce qui est fait en fusion de
bases de croyances propositionnelles (voir e.g. (KP02).) Contrairement à la fusion de bases de croyance, la
contrainte peut porter sur la structure des systèmes d’argumentation résultants. En particulier, nous pouvons souhaiter ne conserver que les systèmes d’argumentation dont le graphe d’attaque est acyclique. Une
telle contrainte est intéressante, car de tels systèmes d’argumentation sont bien fondés et possèdent donc
une unique extension (sous les sémantiques de Dung (Dun95) cf. définition 2.11 page 19 et théorème 2.3
page 19) calculable en temps polynomial (DBC02b).
Plusieurs pseudo-distances entre systèmes d’argumentation partiels et plusieurs fonctions d’agrégation
peuvent être utilisées, donnant de nombreux opérateurs de fusion. Les fonctions d’agrégation usuelles sont
la somme, le max, le leximax etc. Il est possible d’utiliser des fonctions non symétriques (en particulier si
l’on souhaite donner plus de poids à un agent). Certaines fonctions d’agrégation (e.g. la somme) permettent
de prendre en compte le nombre d’agents qui croient en une interaction.
L’opérateur Leximax est issu de la théorie du choix social (Mou88) et a été utilisé pour la fusion de
bases de connaissances dans (KP98). Nous pouvons aussi l’exploiter pour la fusion de système d’argumentation. Nous en rappelons ici la définition.
Définition 7.8 Soit P = hP AF1 , . . . , P AFn i un profil de n systèmes d’argumentation partiels, P AF un
autre système d’argumentation partiel et une pseudo-distance d. Nous construisons la liste
L = (d(P AF, P AF1 ) . . . d(P AF, P AFn )) de pseudo-distances entre P AF et les n systèmes d’argumentation partiels du profil P. Soit LP
P AF la liste obtenue en classant les éléments de L en ordre décroissant.
L’ordre lexicographique ≤Lex entre deux suites de réels positifs (de même taille) est défini de la façon suivante : (a1 , . . . , an ) ≤Lex (b1 , . . . , bn ) si et seulement s’il existe i ∈ 1 . . . n tel que pour tout k ∈ 1 . . . i− 1
ak = bk et ai < bi . Nous définissons le pré-ordre total ≤Lex
P entre systèmes d’argumentation partiels sur
′ si et seulement si LP
P
A de la façon suivante : P AF ≤Lex
P
AF
P
P AF ≤Lex LP AF ′ .
Définition 7.9 Soit P = hAF1 , . . . , AFn i un profil de n systèmes d’argumentation, une pseudo-distance
d et exp1 . . . expn n fonctions d’expansion. Soit P = hexp1 (AF1 , P), . . . , expn (AFn , P)i. La fusion de
P ′ utilisant le Leximax est l’ensemble
[
(hAF1 , . . . , AFn i, hexp1 , . . . , expn i) = min({AF sur
Ai }, ≤Lex
∆Leximax
P ).
d
i
Le choix de la fonction d’agrégation est très important car il influe sur les caractéristiques des résultats
obtenus par la fusion. Par exemple, la somme est une fonction possible lorsque l’on souhaite résoudre les
conflits en utilisant la majorité. Le leximax est plus adapté lorsque l’on désire résoudre les conflits de façon
115
consensuelle en permettant d’obtenir un résultat proche des croyances de chaque agent. Les distinctions
entre les opérateurs de majorité et ceux d’arbitrage comme considérés dans la fusion de bases de croyance
propositionnelles (KP02) s’appliquent aussi ici.
Dans la suite, nous nous focalisons sur la distance d’édition entre deux systèmes d’argumentation
partiels :
Définition 7.10 Soit P AF1 = hA, R1 , I1 , N1 i and P AF2 = hA, R2 , I2 , N2 i deux systèmes d’argumentation partiel sur A.
– Soit a, b deux arguments de A. La distance d’édition entre P AF1 et P AF2 sur a, b est la fonction
dea,b telle que :
– dea,b (P AF1 , P AF2 ) = 0 si et seulement si (a, b) ∈ R1 ∩ R2 ou I1 ∩ I2 ou N1 ∩ N2 ,
– dea,b (P AF1 , P AF2 ) = 1 si et seulement si (a, b) ∈ R1 ∩ N2 ou N1 ∩ R2 ,
– dea,b (P AF1 , P AF2 ) = 0.5 sinon.
– La distance d’édition entre P AF1 et P AF2 est donnée par
de(P AF1 , P AF2 ) = Σ(a,b)∈A×A dea,b (P AF1 , P AF2 ).
Il est facile de montrer que :
Proposition 7.2 La distance d’édition de entre systèmes d’argumentation partiels est une distance.
Nous illustrons la distance d’édition entre un système d’argumentation partiel et un système d’argumentation candidat sur l’exemple 7.4 page 113.
Suite de l’exemple 7.4 Nous considérons les systèmes d’argumentation :
– AF1′ = hA′1 , R1′ i avec A′1 = {a, b, c, d} et R1′ = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, d)},
– AF2′ = hA′2 , R2′ i avec A′2 = {a, b, c, d} et R2′ = {(a, b), (b, a), (b, c), (a, d), (c, d)},
– et, AF3′ = hA′3 , R3′ i avec A′3 = {a, b, c, d} et R3′ = {(b, a), (b, c), (a, d), (c, d)}
comme candidats pour être des résultats de la fusion.
La distance d’édition entre AF1′ , AF2′ et AF3′ et chaque système d’argumentation partiel obtenu par
l’expansion consensuelle du profil hAF1 , AF2 , AF3 , AF4 i est :
de(AF1′ , P AF1 ) = 1
de(AF1′ , P AF2 ) = 1.5
de(AF1′ , P AF3 ) = 2
de(AF1′ , P AF4 ) = 2
de(AF2′ , P AF1 ) = 1
de(AF2′ , P AF2 ) = 1.5
de(AF2′ , P AF3 ) = 1
de(AF2′ , P AF4 ) = 3
de(AF3′ , P AF1 ) = 2
de(AF3′ , P AF2 ) = 1
de(AF3′ , P AF3 ) = 2
de(AF3′ , P AF4 ) = 2
Suivant les fonctions d’agrégation, nous obtenons :
⊗=Σ
Σ4i=1 de(AF1′ , P AFi ) = 6.5
Σ4i=1 de(AF2′ , P AFi ) = 6.5
Σ4i=1 de(AF3′ , P AFi ) = 7
⊗ = Max
Max4i=1 de(AF1′ , P AFi ) = 2
⊗ = Leximax
Leximax4i=1 de(AF1′ , P AFi ) = (2, 2, 1.5, 1)
Leximax4i=1 de(AF2′ , P AFi ) = (3, 1.5, 1, 1)
Leximax4i=1 de(AF3′ , P AFi ) = (2, 2, 2, 1)
Pour la somme ∆Σ
de (hAF1 , . . . , AF4 i) contient deux systèmes d’argumentation :
– AF1′ = hA′1 , R1′ i avec A′1 = {a, b, c, d} et R = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, d)},
– AF2′ = hA′2 , R2′ i avec A′2 = {a, b, c, d} et R2′ = {(a, b), (b, a), (b, c), (a, d), (c, d)}.
116
7.2. Opérateurs de fusion
AF1′
AF2′
b
b
a
c
a
d
c
d
F IG . 7.7 – Représentation graphique de ∆Σ
de (hAF1 , . . . , AF4 i).
AF1′
AF3′
b
b
a
c
a
d
c
d
F IG . 7.8 – Représentation graphique de ∆Max
de (hAF1 , . . . , AF4 i).
AF1′
b
a
c
d
(hAF1 , . . . , AF4 i).
F IG . 7.9 – Représentation graphique de ∆Leximax
de
Avec ⊗ = Max, la fusion produit deux systèmes d’argumentation :
– AF1′ et
– AF3′ = hA′3 , R3′ i avec A′3 = {a, b, c, d} et R3′ = {(b, a), (b, c), (a, d), (c, d)}.
Et avec ⊗ = Leximax, l’ensemble obtenu n’est formé que d’un élément : AF1′ . Les résultats de la
fusion diffèrent en fonction des fonctions d’agrégation. Ces différences peuvent s’expliquer de la façon
suivante :
– AF1′ est le plus consensuel et il est pratiquement à la même distance de chaque système d’argumentation partiel du profil ; il minimise chacune des fonctions d’agrégation.
– AF2′ est beaucoup plus près de P AF1 , P AF2 , P AF3 que de P AF4 , ainsi il est sélectionné avec la
somme comme fonction d’agrégation. En revanche, il est trop éloigné de P AF4 pour être conservé
lorsque Max ou Leximax est la fonction d’agrégation.
– AF3′ est presque à la même distance de chaque système d’argumentation partiel du profil, mais il est
moins consensuel que AF1′ . Il n’est donc conservé qu’avec Max.
117
Il semble naturel de retrouver à chaque fois AF1′ dans les systèmes d’argumentation résultats. En effet,
dès qu’une attaque ou une non-attaque est conservée suivant la majorité faible (au moins deux systèmes
d’argumentation sur les quatre), il la conserve, ce qui n’est pas le cas pour les deux autres systèmes d’argumentation résultats.
Intéressons-nous maintenant au résultat de la fusion sur les deux exemples qui nous ont servi de motivation.
Suite de l’exemple 7.1 Les expansions consensuelles sont
– P AF1 = hA′′1 , R1′′ , I1′′ i avec A′′1 = {a, b, c, d, e}, R1′′ = {(b, a), (c, b), (d, a), (e, d), (c, e)} et
I1′′ = ∅ ;
– P AF2 = hA′′2 , R2′′ , I2′′ i avec A′′2 = {a, b, c, d, e}, R2′′ = {(b, a), (c, b), (d, a), (e, d), (e, c)} et I2′′ = ∅.
Le résultat de la fusion avec de et ⊗ = Max (ou ⊗ = Leximax) est
Leximax
(hAF1 , AF2 i) = {AF1′ , AF2′ } avec
∆Max
de (hAF1 , AF2 i) = ∆de
– AF1′ = hA′1 , R1′ i avec A′1 = {a, b, c, d, e} et R1′ = {(b, a), (c, b), (d, a), (e, d), (e, c), (c, e)} ;
– AF2′ = hA′2 , R2′ i avec A′2 = {a, b, c, d, e} et R2′ = {(b, a), (c, b), (d, a), (e, d)}.
AF2′
AF1′
b
c
a
b
c
d
e
a
d
e
Leximax (hAF , AF i).
1
2
Avec la fonction d’agrégation Σ nous obtenons deux systèmes d’argumentation supplémentaires dans
∆Σ
de (hAF1 , AF2 i):
– AF1′ ;
– AF2′ ;
– AF3′ = hA′3 , R3′ i avec A′3 = {a, b, c, d, e} et R3′ = {(b, a), (c, b), (d, a), (e, d), (c, e)} ;
– AF4′ = hA′4 , R4′ i avec A′4 = {a, b, c, d, e} et R4′ = {(b, a), (e, d), (d, a), (c, b), (e, c)}.
Dans un cas comme dans l’autre, nous obtenons des systèmes d’argumentation (AF1′ , AF3′ , AF4′ ) qui
traduisent le fait que les deux systèmes d’argumentation de départ sont conflictuels, mais nous avons aussi
un système d’argumentation résultat (AF2′ ) qui nous permet de conserver a sur lequel sont d’accord l’agent
1 et l’agent 2 (ce que ne permettait pas l’union). Ici la fonction d’agrégation Σ semble plus consensuelle,
car elle permet de préserver les points de vue initiaux des agents. En effet, AF3′ est exactement l’expansion
consensuelle de AF1 et AF4′ est celle de AF2 .
Suite de l’exemple 7.2 Les expansions consensuelles sont :
– P AF1 = hA′′1 , R1′′ , I1′′ i avec A′′1 = {a, b, c, d, e, f }, R1′′ = {(b, a), (a, b), (b, c), (c, d), (e, f )} et
I1′′ = ∅ ;
– P AF2 = hA′′2 , R2′′ , I2′′ i avec A′′2 = {a, b, c, d, e, f }, R2′′ = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, d), (f, e)} et
I2′′ = ∅ ;
118
AF2′
AF1′
b
c
a
b
c
d
e
a
d
e
AF3′
b
AF4′
c
a
b
c
d
e
a
d
e
de (hAF1 , AF2 i)i).
P AF2
P AF1
b
a
b
c
d
P AF3
e
f
a
b
c
d
f
e
a
c
d
e
f
F IG . 7.12 – Représentation graphique de P AF1 , P AF2 et P AF3 .
– P AF3 = P AF1 .
Les représentations graphiques de P AF1 , P AF2 et P AF3 sont illustrées figure 7.12.
Le résultat de la fusion avec de et ⊗ = Σ est ∆Σ
de (hAF1 , AF2 , AF3 i) = hP AF1 i. Cet exemple illustre
bien que Σ est un opérateur de majorité. Il garde bien toutes les interactions connues par la majorité
(absolue) des agents.
7.3 Quelques propriétés
Nous présentons à présent quelques propriétés de l’expansion consensuelle et des opérateurs de fusion
basés sur la distance d’édition. Ces propriétés montrent leur pertinence.
119
7.3.1 Propriétés des systèmes d’argumentation partiels et de l’expansion consensuelle
Nous définissons d’abord les notions de partie sans conflit et de partie commune d’un profil de
systèmes d’argumentation partiels :
Définition 7.11 Soit P = hP AF1 , . . . , P AFn i un profil de systèmes d’argumentation partiels. La partie
sans conflit deSP, notée
(P), est définie
S CF PS
S par : S
CF P (P) = hS i Ai , Si Ri \ i N
,
I
,
Si CF PS i Ni \ S i Ri i, S
où ICF P = ( i Ai × i Ai ) \ (( i Ri \ i Ni ) ∪ ( i Ni \ i Ri )).
Suite de l’exemple 7.4 Avec P = hAF1 , AF2 , AF3 , AF4 i, on a CF P (P) = h{a, b, c, d}, {(b, c), (c, d)},
{(a, b), (b, a), (a, d), (b, d), (a, c), (c, a)}, {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (d, b), (c, b), (d, c), (d, a)}i.
Définition 7.12 Soit P = hP AF1 , . . . , P AFn i un profil de systèmes d’argumentation partiels. La partie
commune deTP, notée
(P), est
T CPT
T définie par :
CP (P) = h i Ai , i Ri , i Ii , i Ni i.
Suite de l’exemple 7.4 Avec P = hAF1 , AF2 , AF3 , AF4 i, CP (P) = h{b}, ∅, ∅, {(b, b)}i.
Nous pouvons facilement lier la partie commune d’un profil de systèmes d’argumentation partiels à sa
partie sans conflit.
Proposition 7.3 Soit P = hP AF1 , . . . , P AFn i un profil de systèmes d’argumentation partiels. La partie
commune de P est incluse dans la partie sans conflit de P, i.e. :
S
S
T
– i Ri ⊆ i Ri \ i Ni ;
T
– i Ii ⊆ ICF P ;
S
S
T
– i Ni ⊆ i Ni \ i Ri .
La partie commune d’un profil de n systèmes d’argumentation partiels (resp. de n systèmes d’argumentation) n’est pas toujours un système d’argumentation partiel (resp. un système d’argumentation). En
revanche, sa partie sans conflit est un système d’argumentation partiel (attention, cela ne signifie pas qu’elle
soit toujours un système d’argumentation).
Il existe un cas particulier intéressant : lorsque chaque système d’argumentation partiel possède le
même ensemble d’argument et lorsque chaque couple (a, b) appartenant à la relation d’ignorance pour
un système d’argumentation partiel appartient à la relation d’attaque d’un autre système d’argumentation
partiel et à la relation de non-attaque d’un troisième système d’argumentation partiel. C’est, par exemple,
le cas lorsque le profil de systèmes d’argumentation partiels est obtenu par expansion consensuelle.
Proposition 7.4 Soit P = hP AF1 , . . . , P AFn i un profil de n systèmes d’argumentation partiels sur le
même ensemble A d’arguments. Considérons la partie sans conflit de P, notée CF P (P AF1 , . . . , P AFn )
= hACF P , RCF P , ICF P , NCF P i et la partie commune de P, notée CP (P AF1 , . . . , P AFn ) =
hACP , RCP , ICP , NCP i.
S
S
S
Si i Ii ⊆ conf (P) = ( i Ri ) ∩ ( i Ni ), alors nous avons :
– ACF P = ACP ,
– RCF P = RCP ,
– NCF P = NCP .
120
Suite de l’exemple 7.4 Avec P = hAF1 , AF2 , AF3 , AF4 i et P ′ = hexpC (AF1 , P), expC (AF2 , P),
expC (AF3 , P), expC (AF4 , P)i:
– CF P (P ′ ) = h{a, b, c, d}, {(b, c), (c, d)}, {(a, b), (b, a), (a, d), (b, d)},
{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (c, a), (d, a), (d, b), (d, c), (c, b)i
′
– et CP (P ) = h{a, b, c, d}, {(b, c), (c, d)}, ∅,
{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (c, a), (d, a), (d, b), (d, c), (c, b)}i.
S
S
S
Dans ce cas, la condition initiale ( i Ii ⊆ conf (P) = ( i Ri ) ∩ ( i Ni )) est vérifiée puisque les
systèmes d’argumentation partiels sont obtenu grâce à l’expansion consensuelle. Donc la proposition 7.4
page précédente peut s’appliquer.
Une propriété très intéressante de l’expansion consensuelle étant donné un profil de système d’argumentation est que sa partie sans conflit est conservée.
Proposition 7.5 Soit P = hAF1 , . . . , AFn i un profil de systèmes d’argumentation. Pour chaque i ∈
1 . . . n, nous avons :
– ACF P (P) = AexpC (AFi ,P) ,
– RCF P (P) ⊆ RexpC (AFi ,P) ,
– NCF P (P) ⊆ NexpC (AFi ,P) .
Avec AexpC (AFi ,P) l’ensemble des arguments de l’expansion consensuelle de AFi sur P, RexpC (AFi ,P)
la reltation d’attaque de l’expansion consensuelle de AFi sur P, IexpC (AFi ,P) la reltation d’ignorance
de l’expansion consensuelle de AFi sur P et NexpC (AFi ,P) la reltation de non-attaque de l’expansion
consensuelle de AFi sur P.
Une notion de cohérence entre systèmes d’argumentation peut être définie comme suit :
Définition 7.13 Soit AF1 = hA1 , R1 i et AF2 = hA2 , R2 i deux systèmes d’argumentation. AF1 , AF2 sont
cohérents si et seulement si ∄a, b ∈ A1 ∩ A2 tel que (a, b) ∈ (R1 \ R2 ) ∪ (R2 \ R1 ). Sinon, ils sont dit
incohérents.
Soit P = hAF1 , . . . , AFn i un profil de systèmes d’argumentation. P est cohérent si et seulement si tous
ses systèmes d’argumentation sont cohérents deux à deux. Sinon, il est incohérent.
Bien sûr, la cohérence d’un profil de systèmes d’argumentation est liée à la partie de ses interactions
qui est conflictuelle.
Proposition 7.6 Soit P =
. . . , AFn i un profil de systèmes d’argumentation. P est cohérent si et
S hAF1 ,S
seulement si conf (P) = i Ri ∩ i Ni est vide.
Si un profil de systèmes d’argumentation est cohérent, alors sa partie sans conflit est l’union de ses
éléments. La réciproque est vérifiée :
Proposition 7.7 Soit P =ShAF1 , . . . , AFn i un profil de systèmes d’argumentation. P est cohérent si et
seulement si CF P (P) = i AFi .
Lorsqu’un profil de systèmes d’argumentation est cohérent, cela influe sur son expansion consensuelle.
Proposition 7.8 Soit P = {AF1 , . . . , AFn } un profil de systèmes d’argumentation. Soit expC l’expansion
consensuelle. P est cohérent
S si et seulement si le profil expC (P) = {expC (AF1 , P), . . . , expC (AFn , P)}
se réduit au singleton { i AFi }.
121
Remarquons que
ple suivant :
S
i
AFi peut appartenir à expC (P), même si P est incohérent. Ce qu’illustre l’exem-
Exemple 7.5
– AF1 = hA1 , R1 i avec A1 = {a, b, c} et R1 = {(a, b), (a, c)} ;
– AF2 = hA2 , R2 i avec A2 = {a, b, c} et R2 = {(a, c)} ;
– AF3 = hA3 , R3 i avec A3 = {a, d} et {(a, d)}.
Les graphes d’attaque de AF1 , AF2 et AF3 sont représentés figure 7.13.
AF1
AF2
AF3
b
b
b
a
c
a
c
a
c
d
Le profil P = {AF1 , AF2 , AF3 } est incohérent et expC (P) (fig. 7.14) contient :
S
– h{a, b, c, d}, {(a, b), (a, c), (a, d)}, ∅i (= i AFi ) ;
– h{a, b, c, d}, {(a, c), (a, d)}, ∅i ;
– h{a, b, c, d}, {(a, c), (a, d)}, {(a, b)}i.
b
a
b
c
d
a
b
c
d
a
c
d
F IG . 7.14 – Représentation graphique de expC (P).
Proposition 7.9 Soit P = {AF1 , . . . , AFn } un profil de systèmes
S d’argumentation. Soit expC l’expansion
consensuelle. Soit un couple d’arguments (a, b) tel que a, b ∈ i Ai et ∄AFi , AFj ∈ P tel que (a, b) ∈
(Ri \ Rj ) ∪ (Rj \ Ri ).
Il existe AFl ∈ P tel que (a, b) ∈ Rl si et seulement si pour tout AFk ∈ P, on a (a, b) ∈ Rk′ avec Rk′
la relation d’attaque du système d’argumentation partiel expC (AFk , P).
Une notion de compatibilité pour un profil de systèmes d’argumentation partiels peut aussi être introduite :
Définition 7.14 Soit P = hP AF1 , . . . , P AFn i un profil de systèmes d’argumentation partiels sur un
ensemble d’arguments A. P AF1 , . . . , P AFn sont compatibles si et seulement si ils possèdent au moins
une complétion en commun. Sinon, ils sont incompatibles.
122
Soit P = {AF1 , . . . , AFn } un profil de systèmes d’argumentation.
Soit exp une fonction d’expansion.
T
AF1 , . . . , AFn sont compatibles pour exp si et seulement si ni=1 C(exp(AFi , P)) 6= ∅. Sinon, ils sont
incompatibles.
Bien sûr, les notions de cohérence et de compatibilité dans le cas de l’expansion consensuelle sont
liées :
Proposition 7.10 Soit P = hAF1 , . . . , AFn i un profil de systèmes d’argumentation. P est cohérent si et
seulement si expC (AF1 , P), . . . , expC (AFn , P) sont compatibles.
Exemple 7.6 Nous considérons les systèmes d’argumentation suivant :
– AF1 = hA1 , R1 i avec A1 = {c, a} et R1 = ∅ ;
– AF2 = hA2 , R2 i avec A = {a, b, c} et R2 = {(c, a)} ;
– AF3 = hA3 , R3 i avec A3 = {a, b} et R3 = {(a, b)}.
Les graphes d’attaque de AF1 , AF2 et AF3 sont représentés figure 7.15 :
AF1
c
AF2
a
c
a
AF3
b
a
b
Leurs complétions sont représentées figure 7.16.
Complétions de AF1
c
a
b
c
a
b
Complétion de AF2
c
a
b
Complétions de AF3
c
a
b
c
a
b
F IG . 7.16 – Représentation graphique des complétions de AF1 , AF2 et AF3 .
AF1 et AF2 sont incohérents et incompatibles pour expC . AF3 et AF1 sont cohérents et compatibles
pour expC .
7.3.2 Quelques propriétés de la fusion
Nous présentons quelques propriétés satisfaites par les opérateurs de fusion basés sur la distance d’édition.
Proposition 7.11 Soit AF un système d’argumentation. Alors ∆⊗
d (hAF i) = {AF }.
La propriété suivante est directement déduite de la proposition précédente, de la proposition 7.8 et de
la définition 7.7 page 114 :
Corollaire 7.1 Soit P = {AF 1 , . . . , AF n } un profil de systèmes d’argumentation. Si l’expansion
S consensuelle est considérée et si P est cohérent alors ∆⊗
(hAF
,
.
.
.
,
AF
i)
est
réduit
au
singleton
{
1
n
i AF i }.
de
123
Proposition 7.12 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de systèmes d’argumentation. Supposons que la
fonction d’expansion de chaque agent est la fonction consensuelle. Pour chaque AF = hA, R, N i ∈
∆⊗
de (hAF 1 , . . . , AF n i), nous avons :
– ACP (P) ⊆ A,
– RCP (P) ⊆ R,
– NCP (P) ⊆ N .
Proposition 7.13 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de n systèmes d’argumentation. Supposons que la
fonction d’expansion de chaque agent est la fonction consensuelle.
∀AF = hA, R, N i ∈ ∆⊗
– ACF P (P) ⊆ A,
– RCF P (P) ⊆ R,
– NCF P (P) ⊆ N .
Lorsque la fonction d’agrégation utilisée est Σ et que tous les systèmes d’argumentation partagent le
même ensemble d’arguments, le profil résultant de la fusion peut être caractérisé de façon concise à l’aide
de la notion de graphe de majorité. Intuitivement le graphe de majorité est obtenu par application de la
règle de majorité stricte pour décider si a attaque b ou non, et cela pour chaque couple d’arguments (a, b).
Lorsqu’il n’y a pas de majorité stricte, on considère que le couple (a, b) appartient à la relation d’ignorance.
Définition 7.15 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de systèmes d’argumentation sur un même ensemble
A d’arguments. Le système d’argumentation partiel majoritaire de P, noté M P (P), est le système
d’argumentation partiel sur A tel que ∀a, b ∈ A :
– (a, b) ∈ R si et seulement si #({i ∈ 1 . . . n | (a, b) ∈ Ri }) > #({i ∈ 1 . . . n | (a, b) ∈ Ni }) ;
– (a, b) ∈ N si et seulement si #({i ∈ 1 . . . n | (a, b) ∈ Ni }) > #({i ∈ 1 . . . n | (a, b) ∈ Ri }) ;
– (a, b) ∈ I sinon.
Exemple 7.7 Soit AF 1 = hA1 , R1 i avec A1 = {a, b, c} et R1 = {(a, b), (b, c), (a, c)} ; et AF 2 =
hA2 , R2 i avec A2 = {a, b, c} et R2 = {(a, b), (b, a), (a, c)}. Les graphes d’attaque de AF1 et AF2 sont
représentés figure 7.17.
AF1
AF2
b
a
b
a
c
c
F IG . 7.17 – Représentation graphique de AF1 et AF2 .
M P (AF 1 , AF 2 ) = hAM P , RM P , IM P , NM P i avec AM P {a, b, c}, RM P = {(a, b), (a, c)}, IM P =
{(b, c), (b, a)} et NM P = {(a, a), (b, b), (c, c), (c, a), (c, b)}. Le graphe des interactions de M P (AF 1 ,
AF 2 ) est représenté figure 7.18 page ci-contre.
Proposition 7.14 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de n systèmes d’argumentation sur le même ensemble A d’arguments. ∆Σ
de (P) = C(M P (P)).
124
7.4. Dérivabilité pour le résultat de la fusion de systèmes d’argumentation
b
a
c
F IG . 7.18 – Représentation graphique de M P (AF 1 , AF 2 ).
Cette propriété est illustré par l’exemple 7.2 page 109 :
Suite de l’exemple 7.2 Les expansions consensuelles sont représentées figure 7.19.
P AF1
P AF2
b
a
b
c
d
P AF3
e
a
f
b
c
d
e
f
a
c
d
e
f
F IG . 7.19 – Représentation graphique des expansions consensuelles de AF1 , AF2 et AF3 .
Le système d’argumentation partiel majoritaire est lui représenté figure 7.20, c’est aussi le résultat de
la fusion utilisant la distance d’édition et la fonction d’agrégation Σ.
b
a
c
d
e
f
F IG . 7.20 – Représentation graphique de M P (AF1 , AF2 , AF3 ).
7.4 Dérivabilité pour le résultat de la fusion de systèmes d’argumentation
À partir d’un ensemble de systèmes d’argumentation (qui peuvent être définis sur différents ensembles
d’arguments), l’opérateur de fusion permet de calculer un ensemble de systèmes d’argumentation (cette
fois, sur le même ensemble d’arguments) qui sont les meilleurs candidats pour représenter les systèmes
d’argumentation du groupe. Il existe une importante différence épistémique entre ces deux ensembles d’arguments. Le premier reflète différents points de vue (donnés par différents agents). Le second caractérise
l’incertitude sur le résultat (après s’être mis «d’accord» plusieurs visions peuvent subsister).
Le but de la fusion est d’exprimer le «consensus». Il nous reste à définir des mécanismes pour l’exploiter. Cette étude pose en fait le problème plus large de la définition des concepts de dérivabilité pour un
125
ensemble de systèmes d’argumentation en lieu et place d’un unique système d’argumentation.
Ce travail n’est pas terminé. Cependant une première piste peut être évoquée ici.
Lorsque nous fusionnons un profil de systèmes d’argumentation (i.e. un vecteur hAF1 , . . . AFn i tel
que AFi = hAi , Ri i où i est le numéro d’un agent), nous définissons un ensemble (qui peut ne contenir qu’un élément) de systèmes d’argumentation qui reflètent, de la meilleure façon pour l’ensemble du
groupe, comment les arguments interagissent. Ils ont donc plus de légitimité que l’ensemble de systèmes
d’argumentation de départ pour définir l’ensemble des arguments dérivables par le groupe.
Définition 7.16 Une relation de dérivabilité conjointe pour un Sprofil P = hAF 1 , . . . , AF n i de sysi Ai dans {0, 1} associant à chaque
tèmes d’argumentation,
S noté DerP , est une fonction totale de 2
sous-ensemble E de i Ai la valeur 1 si E est un ensemble conjointement dérivable pour P, la valeur
0 sinon.
Par exemple, une relation de dérivabilité conjointe pour un profil hAF 1 , . . . , AF n i peut être définie
par les relations de dérivabilité DerAF i (fondées elles-même sur une sémantique et un principe d’inférence), qui peuvent coïncider pour chaque AF i (mais ce n’est pas obligatoire) et une méthode de vote
V : {0, 1}n 7→ {0, 1} :
DerhAF 1 ,...,AF n i (E) = V (DerAF 1 (E), . . . , DerAF n (E)).
Nous pouvons préciser la définition 7.16 dans le cas classique d’une méthode de vote par la définition
suivante :
Définition 7.17 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de systèmes d’argumentation sur le même ensemble
A d’arguments, DerAF i la dérivabilité associée à chaque AF i et S un sous-ensemble de A. Les possibilités les plus classiques sont les suivantes :
– S est sceptiquement conjointement dérivable pour P si et seulement si S est inclus dans au moins
un ensemble dérivable de chaque AF i :
∀AF i ∈ P, ∃Ei tel que DerAF i (Ei ) = 1 et S ⊆ Ei
– S est crédulement conjointement dérivable pour P si et seulement si S est inclus dans un ensemble dérivable d’au moins un AF i :
∃AF i ∈ P, ∃Ei tel que DerAF i (Ei ) = 1 et S ⊆ Ei
– S est conjointement dérivable «avec la majorité faible» pour P si et seulement si S est inclus
dans au moins un ensemble dérivable d’au moins la majorité faible 19 des AF i :
#({AF i | ∃Ei tel que DerAF i (Ei ) = 1 et S ⊆ Ei }) ≤
n
E
Il ne faut pas confondre le raisonnement crédule (resp. sceptique) pour un système d’argumentation résultat et le raisonnement crédule (resp. sceptique) pour le groupe d’agents, ce sont deux notions totalement
différentes.
Utiliser des notions de dérivabilité différentes pour chaque système d’argumentation n’est pertinent
que lorsque chaque système d’argumentation représente un agent. Dans le cadre de systèmes d’argumentation résultant de la fusion, cette position n’est pas défendable : l’ensemble de systèmes d’argumentation
représente le groupe, il faut donc raisonner de façon identique avec chaque système d’argumentation pour
ne pas fausser l’équité du résultat.
19. dérivable pour au moins p n2 q AF i .
126
Considérons la sémantique préférée et étudions ce qui peut être dérivé des résultats de la fusion sur les
deux exemples ayant servi de motivation.
Suite de l’exemple 7.1 Le résultat de la fusion (fig. 7.21) avec de et ⊗ = Max (ou ⊗ = Leximax) est
Leximax
(hAF1 , AF2 i) = hAF1′ , AF2′ i avec
∆Max
– AF1′ = hA′1 , R1′ i avec A′1 = {a, b, c, d, e} et R1′ = {(b, a), (c, b), (c, e), (d, a), (e, d), (e, c)} ;
– AF2′ = hA′2 , R2′ i avec A′2 = {a, b, c, d, e} et R2′ = {(d, a), (e, d), (b, a), (c, b)}.
AF1′
b
AF2′
c
a
b
c
d
e
a
d
e
Leximax (hAF , AF i).
1
2
Les extensions préférées des systèmes d’argumentation résultants de la fusion sont :
– pour AF1′ , {c, d} et {e, b};
– pour AF2′ , {e, c, a}.
Donc,
– pour AF ′1 , {c, d}, {e, b} et leurs sous-ensembles sont dérivés crédulement pour la sémantique préférée ;
– pour AF2′ , {e, c, a} et ses sous-ensembles sont dérivés crédulement pour la sémantique préférée.
Si nous considérons que la dérivabilité appliquée sur AF1′ et AF2′ est la dérivabilité crédule pour la
sémantique préférée, {c} et {e} sont dérivés suivant la dérivabilté conjointe sceptique et {e, b}, {c, d},
{e, c, a} et leurs sous-ensembles sont dérivés suivant la dérivabilité conjointe crédule. Nous pouvons donc
(dans le cadre de la dérivabilité conjointe crédule) dériver a ce qui n’était pas possible avec l’union des
systèmes d’argumentation de départ.
Suite de l’exemple 7.2 Le système d’argumentation représenté figure 7.22 est aussi le résultat de la fusion
utilisant la distance d’édition et la fonction d’agrégation Σ sur AF1 , AF2 et AF3 .
b
a
c
d
e
f
de (AF1 , AF2 , AF3 ).
Ici, il n’y a qu’un seul système d’argumentation résultat, la dérivabilité conjointe crédule et la dérivabilité conjointe sceptique sont donc confondues.
127
Pour le système d’argumentation résultat {a, c, e}, {b, d, e} et leurs sous-ensembles sont dérivés crédulement pour la sémantique préférée. Donc, si l’on se place dans le cadre du raisonnement crédule pour
la sémantique préférée c’est {a, c, e}, {b, d, e} et leurs sous-ensembles que l’on peut dériver crédulement
(resp. sceptiquement) conjointement. Si on se place dans le cadre du raisonnement sceptique pour la sémantique préférée c’est {e} que l’on peut dériver crédulement (resp. sceptiquement) conjointement.
Suite de l’exemple 7.4 ∆Σ
de (hAF1 , . . . , AF4 i) est représenté figure 7.23.
AF1′
AF2′
b
b
a
c
d
a
c
d
de (hAF1 , . . . , AF4 i).
Ici, les deux systèmes d’argumentation résultats possèdent les mêmes extensions préférées {a, c} et
{b, d}, donc lorsque l’on applique la même dérivabilité à chacun, la dérivabilité conjointe sceptique et la
dérivabilité conjointe crédule sont confondues. {a, c}, {d, b} et leurs sous-ensembles sont dérivés crédulement pour la sémantique préférée. Donc {a, c}, {d, b} et leurs sous-ensembles sont dérivés conjointement
de manière sceptique (resp. crédule) pour le raisonnement crédule sous la sémantique préférée. ∅ est dérivé conjointement de manière sceptique (resp. crédule) pour le raisonnement sceptique sous la sémantique
préférée.
Il est intéressant de comparer la dérivabilité conjointe sur le profil des systèmes d’argumentation de
départ P = hAF 1 , . . . , AF n i à la dérivabilité conjointe sur le résultat de ∆⊗
d (P). Comme nous nous y
attendions, les deux ne sont pas liées et ce, même lorsque les deux relations de dérivabilité conjointe sont
fondées sur la même relation de dérivabilité pour chaque agent (par exemple, E est dérivable pour AF s’il
appartient à au moins une extension préférée) et utilise la même méthode de vote (par exemple, la règle de
majorité faible).
Ainsi, il existe des cas où les ensembles d’arguments dérivables conjointement après la fusion diffèrent
de ceux obtenus (toujours suivant la dérivabilité conjointe) avec les systèmes d’argumentation de départ.
Proposition 7.15 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de systèmes d’argumentation sur le même ensemble
A d’arguments. Les ensembles dérivables obtenus par un vote à majorité sur le profil P ne sont pas
toujours équivalents aux ensembles d’arguments dérivables obtenus par un vote à majorité sur le résultat
de la fusion du profil P.
De plus, si un ensemble d’arguments est inclus dans un ensemble dérivable d’arguments de chaque
agent, il n’est pas nécessairement inclus dans un ensemble dérivable d’arguments pour le résultat de la
fusion. Ce résultat est également vrai pour les singletons. La réciproque est aussi vraie.
Plus surprenant, même si un ensemble d’arguments est inclus dans toutes les extensions préférées
d’un agent, il n’est pas garanti qu’il soit inclus dans une extension préférée d’un système d’argumentation
résultat.
Inversement, si un ensemble d’arguments est inclus dans tous les ensembles dérivables du résultat de
la fusion, il n’est pas obligatoirement inclus dans un ensemble dérivable pour un des agents. Intuitivement,
128
cela s’explique par le fait que si un argument est accepté par tous les agents pour de mauvaises raisons (par
exemple, parce qu’il manque d’information sur les attaques qu’il subit), il peut être rejeté par le groupe
après la fusion. Plus formellement, cela est dû au fait que rien n’assure que les systèmes d’argumentation
initiaux appartiennent au résultat de la fusion et au fait que la dérivabilité est non monotone (dans le sens
où ajouter ou retirer une simple attaque (a, b) d’un système d’argumentation peut changer fortement ses
extensions).
S
′ ⊆
Proposition 7.16 Soit P = hAF
,
.
.
.
,
AF
i
un
profil
de
systèmes
d’argumentation,
S
et
S
1
n
i Ai des
S
ensembles d’arguments et a ∈ i Ai un argument. Nous avons :
1. Pour tout AF i , a ∈ S tel que DerAF i (S) = 1 n’implique pas qu’il existe S ′ tel que DerP (S ′ ) = 1
et a appartient à S ′ .
2. a appartient à un des ensembles S ′ tel que DerP (S ′ ) = 1 n’implique pas qu’il existe AF i tel que a
appartienne à un des ensembles S tel que DerAF i (S) = 1.
129
130
1
Conclusion
L’argumentation est un modèle de raisonnement qui par la construction d’arguments et l’étude de leurs
interactions permet de justifier des conclusions. Notre cadre d’étude est celui proposé par Dung dans lequel
les arguments et leurs interactions sont donnés. Les interactions sont représentées par une relation binaire
entre les arguments appelée relation d’attaque. Dans un tel cadre, un système d’argumentation peut être
représenté par un graphe étiqueté dont les arguments sont les nœuds et les arcs représentent la relation
d’attaque. On cherche à caractériser les arguments dérivables.
Un de nos premiers axes de recherche a concerné l’étude des propriétés des systèmes argumentatifs
dont l’ensemble d’arguments est fini, et dont la relation d’attaque est non vide, irréflexive et symétrique.
Nous avons montré que de tels systèmes sont cohérents et relativement de base. Deux notions de dérivabilité collective simples et traitables ont pu alors être définies ; cela s’oppose au cas général pour lequel
les différentes formes de dérivabilité collective (excepté celle qui repose sur l’extension de base) ne sont
pas décidables en temps polynomial (sous les hypothèses habituelles de la théorie de la complexité). Cette
étude nous a aussi fait envisager non plus la dérivabilité d’un argument à la fois, mais la dérivabilité
d’un ensemble d’arguments. Si cela ne change rien aux raisonnements sceptiques, cela permet d’éviter la
croyance d’arguments antagonistes dans le cadre du raisonnement crédule. Nous avons également montré
que raisonner à partir d’un ensemble d’arguments ne coûte pas plus cher que de raisonner à partir d’un
argument unique dans le cadre de Dung.
Dans un second temps, nous avons étudié différents raffinements du cadre argumentatif de Dung.
– Le premier consiste à ne pas accepter qu’une extension attaque indirectement et défende indirectement un même argument. Les sémantiques fondées sur ce principe interdisent à deux arguments
d’appartenir à une même extension si l’un d’entre eux attaque indirectement un troisième argument,
alors que l’autre le défend indirectement. En particulier, les arguments controversés sont toujours
exclus de telles extensions. Les extensions ainsi définies sont appelées les c-extensions.
– Le second consiste à exclure des extensions les conflits indirects, afin de gérer de manière plus
prudente les arguments controversés et d’interdire à deux arguments dont l’un attaque indirectement l’autre d’appartenir à une même extension. Les extensions ainsi définies sont appelées les
p-extensions.
Ces deux nouvelles familles de sémantiques offrent deux façons différentes de gérer les arguments controversés. Nous considérons qu’elles les prennent mieux en compte que les sémantiques de Dung. La famille
des c-extensions le fait en intégrant une notion de cohérence vis-à-vis de l’extérieur (cf. la notion de sûreté
de (CLS05a; CLS05b)). Celle des p-extensions renforce la notion de cohérence interne. Les extensions
ainsi définies ne vérifient pas toutes les propriétés vérifiées par celles de Dung. Néanmoins, dans une
famille donnée, les liens les unes envers les autres sont analogues à ceux que l’on peut trouver dans la
famille des sémantiques de Dung. La présence de c-extension stable ou de p-extension stable dans un sys131
tème d’argumentation influe sur la nature de celui-ci. Ainsi, en présence de c-extension stable, un système
d’argumentation est cohérent, et en présence de p-extension stable, il est relativement de base. Nous avons
comparé les nouvelles relations d’inférence ainsi définies entre elles et avec celles de Dung du point de
vue du pouvoir inférentiel. À dessein, les deux nouvelles familles de sémantiques introduites se révèlent
typiquement plus prudentes que celles proposées par Dung. Néanmoins, nous soulignons le fait que nos
sémantiques ne sont pas en accord avec l’extension de base comme le prescrivent Baroni et al. : elles
peuvent parfois être plus prudentes (ce que nous avons défendu dans ce manuscrit). Les relations d’inférence liées aux c-extensions sont plus prudentes que celles liées aux p-extensions ; cela est sans surprise,
car la contrainte de cohérence vis-à-vis de l’extérieur impose qu’il n’y ait pas de conflit indirect dans les
extensions ainsi définies.
Dans les cadres bipolaires, les arguments controversés ne sont pas les seuls arguments problématiques.
Nous avons identifié une nouvelle sorte d’argument problématique : les arguments b-controversés. Ces
arguments sont des arguments qui appuient à la fois un argument qui attaque indirectement un argument a
et un argument (qui peut être le même) qui défend indirectement l’argument a. Nous avons montré que le
traitement de tels arguments pouvait être réalisé en combinant les appuis et l’absence de conflits indirects.
Les extensions ainsi obtenues sont les bp-extensions. Elles possèdent des propriétés analogues aux pextensions. Par exemple, l’existence d’une bp-extension stable dans un système d’argumentation impose
que ce dernier soit relativement de base. Les relations d’inférence qui y sont liées sont plus prudentes que
les relations d’inférence classique et que les relations d’inférence liées aux p-extensions.
Le cadre de Dung ne permet pas la prise en compte d’information au méta-niveau portant sur la dérivabilité des arguments à l’intérieur des sémantiques qu’il considère : c’est pourquoi nous avons décidé de
généraliser les systèmes d’argumentation de Dung de façon à prendre en compte une contrainte, exprimée
à l’aide d’une formule propositionnelle sur les symboles dénotant les arguments. Les extensions permettant
d’obtenir les arguments dérivables doivent vérifier cette contrainte et sont appelées des C-extensions. Ces
systèmes d’argumentation à contrainte possèdent des propriétés analogues à ceux du modèle de Dung, si ce
n’est qu’il n’existe pas toujours d’ensembles d’arguments dérivables. Par exemple, il n’existe pas toujours
de C-extension de base. Pour cette raison, nous avons défini une notion de C-extension faible. Néanmoins,
cette dernière n’est pas toujours satisfaisante et elle n’existe pas toujours. Les systèmes d’argumentation de
Dung sont un cas spécial de ces systèmes d’argumentation à contrainte dans lequel la contrainte est valide.
D’autres cadres sont capturés par cette généralisation, par exemple les sémantiques liées aux p-extensions,
celles liées aux c-extensions et celles liées aux extensions faiblement c-préférées (resp. faiblement c-stables
des systèmes d’argumentation bipolaires). Cette généralisation se fait, excepté pour le cas de la C-extension
de base, sans hausse de complexité (en comparaison aux relations de même nom chez Dung).
Enfin, nous nous sommes intéressés à la fusion de systèmes d’argumentation «à la Dung» afin de pouvoir raisonner à partir des systèmes fournis par plusieurs agents. Notre approche peut prendre en compte
des systèmes d’argumentation fondés sur des ensembles d’arguments différents et sur des relations d’attaque différentes. Nous étendons chaque système d’argumentation afin qu’ils possèdent tous le même ensemble d’arguments. Nous obtenons ainsi des systèmes d’argumentation partiels, i.e. des systèmes d’argumentation munis d’une relation d’ignorance entre arguments. Puis, suivant un mécanisme similaire à celui
employé pour la fusion de bases de connaissances, nous fusionnons les systèmes d’argumentation étendus.
Ce qui nous permet d’obtenir un ensemble de systèmes d’argumentation représentant un consensus entre
les différents agents.
2
Perspectives
Notre travail sur la gestion des arguments controversés dans les systèmes d’argumentation unipolaire
appelle plusieurs perspectives. Tout d’abord, il serait intéressant d’étudier comment combiner les nouvelles
132
sémantiques avec les min-def extensions de (CDLSM02) ou avec les extensions définies dans le cadre bipolaire. En particulier, il nous semble important de comparer la notion de sûreté de (CLS05b; CLS05a)
avec nos c-extensions. En effet, la notion de cohérence externe utilisée dans (CLS05b; CLS05a) se fonde
sur la même idée que celle qui sous-tend les c-extensions. Nous avons effectué quelques pas dans cette
direction en introduisant le principe d’absence de conflit indirect dans les systèmes d’argumentation bipolaires. Une deuxième perspective vise à introduire une notion de niveau de prudence dans les sémantiques.
Cette idée nous a été suggérée par Philippe Besnard. Prenons l’exemple de l’absence de conflit indirect. Si
un argument en attaque indirectement un autre par un chemin de longueur trois dans le graphe d’attaque du
système d’argumentation, l’attaque nous semble plus forte que celle portée par un argument via un chemin
de longueur quarante-cinq. Deux pistes peuvent être exploitées. La première est de définir une longueur de
chemin maximale (i.e. une borne) à partir de laquelles les extensions ne sont plus considérées. La seconde
consiste à pondérer les extensions obtenues en fonction de la longueur maximale de chemin de longueur
impaire contenu dans l’extension. Nous pouvons faire les mêmes remarques au sujets des c-extensions :
une défense indirecte peut, elle aussi, se «dissoudre» si le chemin de longueur paire emprunté est trop long.
Nous avons comparé les bp-extensions avec les extensions définies par Dung, ainsi qu’avec les pextensions. Il nous reste maintenant à les comparer avec les nombreuses extensions définies dans les cadres
bipolaires.
En ce qui concerne les systèmes d’argumentation à contrainte, nous souhaitons déterminer des restrictions supplémentaires sur la contrainte qui nous permettraient de garantir la présence d’une C-extension
préférée, d’une C-extension faible (resp. d’une C-extension de base).
La fusion de systèmes d’argumentation ouvre de nombreuses perspectives. La première est l’étude
des fonctions permettant d’étendre les systèmes d’argumentation de départ et d’analyser les répercussions
du choix réalisé sur le consensus final. La deuxième concerne l’étude des diverses notions de pseudodistance et de fonction d’agrégation et leur impact sur les systèmes d’argumentation résultats. Une autre
est de définir des notions de dérivabilité à partir des systèmes d’argumentation partiels. Plus globalement,
tout ce qui concerne la notion de dérivabilité d’un ensemble de systèmes d’argumentation reste à étudier.
Cette perspective est très intéressante, car elle pourrait avoir des impacts dans d’autres domaines que la
fusion. En effet, une autre de nos perspectives est l’étude d’une sémantique «coupe-cycle» qui passe par
une traduction vers un ensemble de systèmes d’argumentation bien fondés (dont le calcul des extensions
se fait en temps polynomial). Cette sémantique conduisant à plusieurs systèmes d’argumentation, il serait
intéressant de disposer de notions de dérivabilité définies pour des ensembles de systèmes d’argumentation.
La prise en compte d’une relation d’ignorance afin d’étendre les systèmes d’argumentation nous a conduit
à nous interroger sur la nature de la relation d’attaque. Par exemple, il pourrait être intéressant d’introduire
une relation de préférence entre les attaques.
Une autre perspective consiste à développer des théories de la preuve et des algorithmes, comme ceux
donnés dans (VP00; CDM03; DM04), pour calculer les p-extensions, les c-extensions, les bp-extensions
et les C-extensions.
Plus généralement, nous souhaitons étudier des critères qui rendraient le calcul des extensions moins
complexe (voire traitable). Que ce soit en cherchant d’autres propriétés fondées sur la théorie des graphes
pour les cadres unipolaires ou bipolaires ; ou en recherchant les critères à satisfaire par la contrainte pour
les systèmes d’argumentation à contrainte.
Une perspective plus globale consiste à étudier d’autres critères de préférence pour définir de nouvelles
sémantiques pour les cadres d’argumentation. Par exemple, on peut choisir de sélectionner les ensembles
admissibles maximaux pour la cardinalité. On peut également associer à chaque ensemble admissible d’arguments S la somme (ou le maximum) du nombre d’attaques contre chaque élément de S. Sur cette base,
on peut choisir de préférer les ensembles admissibles associés au plus petit nombre si l’on pense qu’un
ensemble d’arguments peu attaqué est meilleur qu’un ensemble d’arguments massivement attaqué. On
peut également choisir le point de vue opposé et choisir de préférer les ensembles d’arguments robustes –
133
capables de se défendre contre de nombreuses attaques.
Enfin, notre désaccord avec les règles proposées par Baroni et al. nous a donné envie de chercher
à définir des règles de rationalité que devraient respecter les sémantiques des systèmes d’argumentation
(précisant par exemple le comportement attendu vis-à-vis des arguments controversés), comme ont commencé à le faire Amgoud et Caminada (CA05).
134
Annexes
135
A
Preuves du chapitre 4 : «Inférences dans le
cadre de Dung»
Proposition 4.1 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation symétrique. S ⊆ A est admissible si et
seulement si S est sans conflit.
Démonstration R étant symétrique, chaque argument a de A se défend lui-même contre tous ses attaquants. Ainsi chaque a ∈ A est acceptable par rapport à {a}. D’où, pour chaque S ⊆ A, chaque a ∈ S est
acceptable par rapport à S. D’où S est admissible si et seulement si S est sans conflit.
Proposition 4.2 Tout système d’argumentation symétrique est cohérent.
Démonstration Chaque extension préférée E ⊆ A est une extension naïve. D’où tout ce qui en dehors de
E est en conflit avec E. Comme R est symétrique, tout ce qui est en dehors de E est attaqué par E. Donc
E est une extension stable.
Proposition 4.3 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation symétrique. Chaque a ∈ A appartient à
au moins une extension préférée (ou de manière équivalente : stable ou naïve) de AF .
Démonstration R étant irréflexive et symétrique, {a} est admissible. D’où a appartient à un ensemble
admissible. En conséquence, d’après le théorème 2.1 page 17, a appartient à une extension préférée (ou,
dans le cas des systèmes d’argumentation symétriques, de façon équivalente : stable ou naïve) de AF . Proposition 4.4 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation symétrique. L’extension de base de AF
est donnée par {a ∈ A | ∄b ∈ A, (b, a) ∈ R} .
Démonstration D’après la Définition 2.9 page 18, FAF (∅) est l’ensemble des arguments non attaqués de
AF . Il y a deux cas :
1. Soit chaque argument de A est attaqué. Alors FAF (∅) = ∅ est la plus petite extension complète de
AF (par rapport à ⊆). D’où ∅ est l’extension de base de AF .
2. Soit il existe des arguments de AF non attaqués. Soit S ′ = FAF (∅) l’ensemble de ces arguments.
Puisque R est symétrique, si un argument est non attaqué, alors il n’attaque aucun argument. D’où,
2 (∅) = F
′
′
il n’existe pas a ∈ A \ S ′ tel que a est acceptable par rapport à S ′ . D’où FAF
AF (S ) = S .
Donc S ′ est la plus petite extension complète de AF (par rapport à ⊆). D’où S ′ est l’extension de
base de AF .
Proposition 4.5 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation symétrique. a ∈ A appartient à toutes les
extensions préférées (ou de façon équivalente : stables ou naïves) de AF si et seulement s’il n’existe pas
b ∈ A tel que (b, a) ∈ R.
137
Annexe A. Preuves du chapitre 4 : «Inférences dans le cadre de Dung»
Démonstration
⇐ D’après la Proposition 4.4 et le fait que l’extension de base est incluse dans toute extension préférée.
⇒ Soit b ∈ A tel que (b, a) ∈ R, d’après la Proposition 4.3 il existe une extension préféré E contenant b.
Or E contient a. Donc E n’est pas sans conflit. Donc b n’existe pas.
Proposition 4.6 Tout système d’argumentation symétrique est relativement de base.
Démonstration Immédiate d’après les Propositions 4.4 et 4.5.
–
–
–
–
est Πp2 -complet.
DÉRIVABILITÉ∀,S est coNP-complet.
DÉRIVABILITÉ∀,C = DÉRIVABILITÉ .,G est dans P.
DÉRIVABILITÉ∀,N est dans P.
DÉRIVABILITÉ∀,P
Démonstration Clairement, considérer des ensembles d’arguments n’a pas d’impact pour la dérivabilité
sceptique et ce, quelque soit la sémantique sous-jacente : un ensemble S d’arguments est sceptiquement
dérivable si et seulement si S est un sous-ensemble de toutes les extensions si et seulement chaque élément de S est sceptiquement dérivable. Donc la complexité de la dérivabilité sceptique pour un ensemble
d’argument coïncide avec celle concernant la dérivabilité sceptique d’un unique argument, identifiée par
Dunne et Bench-Capon (lorsque l’ensemble d’argument est fini et que la relation d’attaque est non vide)
(DBC02b). Comme l’extension de base d’un système d’argumentation AF est l’intersection de toutes les
extensions complètes, les deux langages DÉRIVABILITÉ∀,C et DÉRIVABILITÉ.,G coïncident.
–
–
–
= DÉRIVABILITÉ∃,C est NP-complet.
DÉRIVABILITÉ∃,S est NP-complet.
DÉRIVABILITÉ∃,N est dans P.
DÉRIVABILITÉ∃,P
Démonstration L’égalité DÉRIVABILITÉ∃,P = DÉRIVABILITÉ∃,C se déduit facilement du fait que les extensions préférées d’un système d’argumentation AF sont exactement les extensions complètes qui sont
maximales par rapport à ⊆ (c’est une simple conséquence du fait que chaque extension préférée est une
extension complète de AF (Théorème 2.2 page 19) et que chaque ensemble admissible de AF (incluant
les extensions complètes) est inclus dans une extension préférée (Théorème 2.1 page 17)). Les appartenances sont due à l’algorithme suivant s’exécutant en temps polynomial dans la taille de l’entrée : Devinez
S ′ , puis vérifiez que S ′ est une extension complète (resp. stable) de AF et que S ⊆ S ′ . Il est facile de
montrer que l’étape de vérification s’exécute (de façon déterministe) en temps polynomial. Finalement, les
difficultés sont des conséquences du fait que leurs restrictions au cas où S contient un unique argument
sont NP-difficile (DT96; DBC02b). Pour ce qui est de DÉRIVABILITÉ∃,N , il suffit de vérifier que S est
sans conflit, ce qui s’effectue en temps polynomial en la taille de l’entrée.
Proposition 4.9 Considérons la restriction de DÉRIVABILITÉS,q,s lorsque AF est un système d’argumentation symétrique. Sous cette condition, nous avons les résultats suivants :
–
DÉRIVABILITÉS,∀,P
DÉRIVABILITÉS,∀,N
–
DÉRIVABILITÉS,∃,P
P.
138
= DÉRIVABILITÉS,∀,S = DÉRIVABILITÉS,∀,C = DÉRIVABILITÉS,.,G =
est dans P.
= DÉRIVABILITÉS,∃,S = DÉRIVABILITÉS,∃,C = DÉRIVABILITÉS,∃,N est dans
Démonstration Le premier point est une conséquence directe des Propositions 4.5 et 4.4. L’égalité du
second point vient de la Proposition 4.2 : les extensions préférées coïncident avec les extensions naïves,
et les extensions préférées d’un système d’argumentation AF sont exactement les extensions complètes
maximales pour ⊆ et chaque ensemble admissible est inclus dans une extension préférée (cf. preuve de
la Proposition 4.8). Remarquons que même si la dérivabilité crédule peut être décidée facilement, elle ne
trivialise pas (ce qui signifie que l’ensemble des instances positives n’est pas toujours celui de toutes les
instances du problème).
139
Annexe A. Preuves du chapitre 4 : «Inférences dans le cadre de Dung»
140
B
Preuves du chapitre 5 : «Spécialisations du
cadre de cadre de Dung»
Tous les exemples de cette annexe sont repris dans l’annexe C page 171.
Lemme 5.1 Soit a, b deux arguments d’un système d’argumentation fini AF = hA, Ri. Si a est controversé
par rapport à b, alors {a} ne peut pas être inclus dans un ensemble c-admissible de AF .
Démonstration Si a est controversé par rapport à b, alors (a, a) est super-controversé par rapport à b. En
conséquence, {a} n’est pas sans controverse. Donc a ne peut pas appartenir à un ensemble c-admissible.
Lemme 5.2 Soit a, b deux arguments d’un système d’argumentation fini AF = hA, Ri. Si a est controversé
par rapport à b, alors {a, b} ne peut pas être inclus dans un ensemble p-admissible de AF .
Démonstration Si a est controversé par rapport à b, alors il existe un chemin de longueur impaire de a
vers b. En conséquence {a, b} n’est pas sans conflit indirect. Donc {a, b} ne peut pas être inclus dans un
ensemble p-admissible.
Lemme 5.3 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini, S ⊆ A un ensemble p-admissible de AF ,
et a, b ∈ A tel que
1. il existe c, d ∈ A tel que (c, a) ∈ R et (d, b) ∈ R,
2. a est acceptable par rapport à S et S ∪ {a} est sans conflit indirect,
3. b est acceptable par rapport à S et S ∪ {b} est sans conflit indirect.
Nous avons :
1. S ′ = S ∪ {a} est un ensemble p-admissible de AF ,
2. b est acceptable par rapport à S ′ et S ′ ∪ {b} est sans conflit indirect.
Démonstration
1. Trivial d’après la définition 5.4 page 57.
2. Il est suffisant de montrer que {a, b} est sans conflit indirect. Travaillons par l’absurde. Supposons
que a attaque indirectement b (la preuve pour b n’attaque pas indirectement a est similaire par symétrie). Donc, il existe un chemin de longueur impaire de a vers b. Comme a est attaqué par c ∈ A et
comme a est acceptable par rapport à S, il existe c′ ∈ S tel que c′ défend a contre c. Donc, il existe
un chemin de longueur paire (dont la taille est égale à 2) de c′ vers a. Donc, il existe un chemin de
longueur impaire de c′ vers b (via a). Donc S ∪ {b} n’est pas sans conflit indirect, contradiction. 141
Annexe B. Preuves du chapitre 5 : «Spécialisations du cadre de cadre de Dung»
1. L’ensemble de tous les ensembles c-admissibles (resp. p-admissible) de AF forme un ordre partiel
complet pour l’inclusion ensembliste.
2. Pour chaque ensemble c-admissible (resp. p-admissible) S ⊆ A pour AF , il existe au moins une
c-extension préférée (resp. une p-extension préférée) E ⊆ A tel que S ⊆ E.
Démonstration
1. L’ensemble de tous les ensembles c-admissibles (resp. p-admissibles) de AF possède un plus petit
élément par rapport à ⊆, car ∅ est un ensemble c-admissible (resp. p-admissible) pour chaque AF . De
plus comme A est un ensemble fini, chaque chaîne d’ensembles c-admissibles (resp. p-admissibles)
par rapport à ⊆ possède une borne supérieure (l’union de ses éléments). Donc, l’ensemble de tous
les ensembles c-admissibles (resp. p-admissibles) de AF forme un ordre partiel complet pour ⊆.
2. Immédiate, parce que A est fini.
Lemme 5.4 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini et S ⊆ A l’ensemble de tous les arguments
non attaqués de AF . Il existe au moins une p-extension préférée E de AF tel que S ⊆ E.
Démonstration Soit S l’ensemble des arguments non attaqués de AF . Par définition S est sans conflit
indirect et chaque élément s ∈ S est acceptable par rapport à S. Donc d’après la définition 5.4 page 57,
S est un ensemble p-admissible. Donc d’après le point 2. de la proposition 5.1 page 59, il existe une
p-extension préférée E ⊆ A, tel que S ⊆ E.
Lemme 5.5 Chaque c-extension stable (resp. p-extension stable) d’un système d’argumentation fini AF
est aussi une c-extension préférée (resp. p-extension préférée) de AF . La réciproque n’est pas vérifiée.
Démonstration Par définition, si S est une c-extension stable (resp. p-extension stable) de AF , pour
chaque a ∈ A \ S, S ∪ {a} n’est pas sans conflit. En conséquence, S est un ensemble c-admissible (resp.
p-admissible) maximal par rapport à ⊆, i.e. une c-extension préférée (resp. une p-extension préférée) de
AF . La réciproque n’est pas vérifiée, voir Exemple 5.5 page 60.
Suite de l’exemple 5.5 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (a, b), (c, b), (d, c),
(b, e)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure B.1.
e
a
b
c
d
F IG . B.1 – Représentation graphique de AF .
E1′ = {a, e} est une c-extension préférée et une p-extension préférée de AF . En revanche, E1′ n’est ni
une c-extension stable, ni une p-extension stable de AF .
Lemme 5.6 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini et S ⊆ A un ensemble sans conflit et sans
controverse (resp. sans conflit indirect). S est un ensemble c-admissible (resp. p-admissible) si et seulement
c (S) (resp. S ⊆ F p (S)).
si S ⊆ FAF
AF
Démonstration
c (S)
⇐ Soit S ⊆ A un ensemble sans conflit ni controverse (resp. sans conflit indirect) tel que S ⊆ FAF
p
(resp. S ⊆ FAF (S)). Nous avons ∀a ∈ S, a est acceptable par rapport à S. Comme S est sans conflit
ni controverse (resp. sans conflit indirect), S est un ensemble c-admissible (resp. p-admissible) de
AF .
142
⇒ Soit S un ensemble c-admissible (resp. p-admissible) de AF . D’après la définition des ensembles cadmissibles (resp.des ensembles p-admissibles) ∀a ∈ S, a est acceptable par rapport à S et S est sans
c (S)
conflit ni controverse (resp. sans conflit indirect). Supposons qu’il existe a ∈ S tel que a 6∈ FAF
p
(resp. a 6∈ FAF (S)) . Comme a est acceptable par rapport à S, nous avons donc S ∪ {a} n’est pas
sans conflit ni controverse (resp. n’est pas sans conflit indirect). Or S ∪ {a} = S, qui est à la fois
sans conflit et sans controverse (resp. qui est sans conflit), contradiction.
p
Lemme 5.7 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. La suite (FAF
(∅))i∈N est monotone par
rapport à ⊆, et chacun de ses éléments est un ensemble p-admissible de AF .
Démonstration Par induction :
p,0
p,0
p,1
– Base : i = 0 et i = 1. Par convention FAF
(∅) = ∅. Donc FAF
(∅) ⊆ FAF
(∅) est trivialement
p,1
satisfait pour i = 0. ∅ et FAF (∅) = {a ∈ A | a n’est pas attaqué} sont trivialemment des ensembles
p-admissibles de AF .
p,k
– Étape inductive : i > 1. L’hypothèse inductive est pour 1 < k ≤ i FAF
(∅) est un ensemble
p,k
p,k−1
p-admissible et FAF (∅) ⊆ FAF (∅). Est-elle vérifié pour i + 1? Comme par hypothèse inducp,i
p,i
(∅) ⊆
(∅) est un ensemble p-admissible, d’après le lemme 5.6 page 61 nous avons FAF
tive FAF
p,i+1
p,i+1
p,i
p,i
p
(∅) est-il un ensemble p-admissible? Par défi(∅). FAF
(∅) ⊆ FAF
(∅)), donc FAF
(FAF
FAF
p,i+1
p,i
p,i
nition FAF
(∅) = {a | a est acceptable par rapport à FAF
(∅) et FAF
(∅) ∪ {a} est sans conflit
p,i
p,1
indirect }. Lorsque 1 < i, chaque argument acceptable par rapport à FAF (∅) appartient à FAF
(∅)
p,i+1
ou est attaqué. Donc, d’après le lemme 5.3 page 58 FAF (∅) est un ensemble p-admissible .
p
– Conclusion : La suite (FAF
(∅))i∈N est monotone, et chacun de ses éléments est un ensemble padmissible.
Lemme 5.8 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si le graphe d’attaque de AF est sans
circuit, alors la p-extension faible de AF est non vide.
Démonstration Immédiate d’après la définition de la p-extension faible.
– Chaque ensemble c-admissible (resp. ensemble p-admissible) est un ensemble admissible. La réciproque n’est pas vérifiée.
– Chaque ensemble c-admissible est un ensemble p-admissible. La réciproque n’est pas vérifiée.
– Chaque c-extension stable (resp. p-extension stable) est une extension stable (resp. extension préférée, extension complète).
– Chaque c-extension stable est une p-extension stable (resp. une p-extension préférée).
Démonstration
– L’implication est triviale. Pour la réciproque voir la suite de l’Exemple 5.2 page 56.
Suite de l’exemple 5.2 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (e, b), (c, b),
(d, c)}.
E1 = {a, d, e} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension de base de AF .
E1′ = {a, e} et E2′ = {d} sont les c-extensions préférées de AF . Il n’y a pas de c-extension stable.
E1′ et E1′′ = {d, e} sont les p-extensions préférées de AF . Il n’y a pas de p-extension stable.
E1 est un ensemble admissible, en revanche ce n’est ni un ensemble c-admissible, ni un ensemble
p-admissible.
143
a
b
c
e
d
– Montrons d’abord que si S est un ensemble c-admissible de AF , alors aucun élément de S n’attaque
indirectement un élément de S (c’est-à-dire qu’il n’existe pas de chemin de longueur impaire entre
deux éléments – qui peuvent être confondus – de S).
Soit a, b ∈ S tel que b attaque indirectement a. Alors il existe c ∈ A tel que (c, a) ∈ R. Comme
S est un ensemble c-admissible de AF , a est acceptable par rapport à S. Donc il existe d ∈ S tel
que (d, c) ∈ R (i.e., d défend a contre c). Alors (b, d) est super-controversé par rapport à a. Ce qui
contredit le fait que S est un ensemble c-admissible.
Donc si S est un ensemble c-admissible, S est sans conflit indirect. Comme tout élément d’un ensemble c-admissible S est acceptable par rapport à S, S est un ensemble p-admissible.
Pour la réciproque dans l’Exemple 5.2 page 56 (fig. B.2) E1′′ est un ensemble p-admissible, en
revanche ce n’est pas un ensemble c-admissible.
– L’implication est triviale. Pour la réciproque dans l’Exemple 5.2 page 56 (fig. B.2) E1 est une extension stable, en revanche ce n’est ni une c-extension stable, ni une p-extension stable.
– L’implication est triviale (cf. deuxième point de la démonstration). Pour la réciproque dans l’Exemple B.8 (fig. B.3) E1 est une p-extension stable, en revanche ce n’est pas une c-extension stable.
Exemple B.8 Nous reprenons l’exemple 2.1 page 16. Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et
R = {(b, a), (a, b), (c, b), (d, c), (b, e), (e, e)}.
e
a
b
c
d
E1 = {b, d} et E2 = {a, d} sont les extensions préférées de AF . E1 est l’extension stable de AF .
E3 = {d} est l’extension de base de AF .
E1′ = ∅ est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension stable.
E1 et E1′′ = {a} sont les p-extensions préférées de AF . E1 est la p-extension stable de AF . E3 est
la p-extension faible de AF .
– Pour chaque c-extension préférée (resp. p-extension préférée) E ′ de AF , il existe au moins une
extension préférée E de AF tel que E ′ ⊆ E.
– Pour chaque c-extension préférée E ′ de AF , il existe au moins une p-extension préférée E de AF
tel que E ′ ⊆ E.
144
Démonstration
– Par définition, une c-extension préférée (resp. p-extension préférée) de AF est un ensemble cadmissible (resp. p-admissible) de AF . D’après la proposition 5.2 page 62, un ensemble c-admissible
(resp. p-admissible) de AF est un ensemble admissible. Dung (Dun95) a montré que chaque ensemble admissible est inclus dans une extension préférée. Donc chaque c-extension préférée (resp.
p-préférée) est incluse dans une extension préférée.
– La démonstration du second point est très proche de celle du premier point. Par définition, une cextension préférée de AF est un ensemble c-admissible de AF . D’après la proposition 5.2 page 62,
un ensemble c-admissible de AF est un ensemble p-admissible. La proposition 5.1 page 59 montre
que chaque ensemble p-admissible est inclus dans une p-extension préférée. Donc chaque c-extension préférée est incluse dans une p-extension préférée.
– Si AF est trivial, alors AF est c-trivial (resp. p-trivial). La réciproque n’est pas vérifiée.
– Si AF est p-trivial, alors AF est c-trivial. La réciproque n’est pas vérifiée.
Démonstration
– D’après le corollaire 5.2 page 62, chaque c-extension préférée (resp. p-extension préférée) de AF est
incluse dans une extension préférée. Si AF est trivial, ∅ est l’unique extension préférée, la conclusion
suit. Pour la réciproque, nous utilisons comme contre-exemple l’exemple 5.4.
Suite de l’exemple 5.4 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (c, b), (d, c),
(e, c), (d, e), (e, d), (a, d), (a, e)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure B.4.
a
b
c
d
e
AF est p-trivial et c-trivial. En revanche, AF n’est pas trivial : E1 = {a, c}, E2 = {b, d} et E3 =
{b, e} sont ses extensions préférées.
– Nous montrons ce point de façon similaire au point précédent. D’après le corollaire 5.2 page 62,
chaque c-extension préférée de AF est incluse dans une p-extension préférée. Si AF est p-trivial,
∅ est l’unique p-extension préférée, la conclusion suit. Pour la réciproque, nous utilisons comme
contre-exemple l’exemple 5.3.
Suite de l’exemple 5.3 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c} et R = {(b, a), (b, c), (c, a)}. Le
graphe d’attaque de AF est représenté figure B.5 page suivante.
AF est c-trivial. En revanche, AF n’est pas p-trivial : E1 = {b} est son extension préférée.
.
Lemme 5.9 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Pour tout entier positif i, nous avons :
p,i
i (∅).
FAF
(∅) ⊆ FAF
145
c
a
b
p,i
i (∅).
Démonstration Nous montrons par induction sur i que FAF
(∅) ⊆ FAF
p,0
0 (∅) = ∅ et l’ensemble des arguments non
– Base: i = 0 ou i = 1, par convention FAF
(∅) = FAF
p,1
1
attaqués de AF est FAF (∅) = FAF (∅).
– Étape inductive : Les définitions 2.9 page 18 et 5.8 page 61 montrent que ∀S ⊆ A, nous avons
p,i
p,i
p
p,i
p
(∅)). Ce
(∅)) ⊆ FAF (FAF
(FAF
(∅), nous obtenons FAF
(S) ⊆ FAF (S). Avec S = FAF
FAF
p,i+1
p,i
p,i
i (∅). Comme
qui revient à FAF
(∅) ⊆ FAF (FAF
(∅)). Par hypothèse d’induction FAF
(∅) ⊆ FAF
p,i
i (∅)), c’est à dire
d’après Dung, FAF est monotone, nous obtenons FAF (FAF
(∅)) ⊆ FAF (FAF
p,i+1
p,i
i+1
i+1
(∅).
(∅). La transitivité de ⊆ nous donne FAF
(∅) ⊆ FAF
FAF (FAF
(∅)) ⊆ FAF
Lemme 5.10 La p-extension faible d’un système d’argumentation AF = hA, Ri est incluse dans l’extension de base de AF .
Démonstration La définition 5.9 page 61 montre que la p-extension faible de AF est définie comme
p,j
p,j+1
p,j
FAF
(∅) avec j le plus petit entier positif tel que FAF
(∅) = FAF
(∅).
p,i
i (∅).
Le lemme 5.9 page 63, nous indique que pour tout entier positif i, nous avons FAF
(∅) ⊆ FAF
p,j+1
p,j
k+1
k (∅)).
Soit j (resp. k) le plus petit entier positif tel que FAF (∅) = FAF (∅) (resp. FAF (∅) = FAF
p,j
j
1. j ≤ k, on a (par la preuve par induction ci-dessus) FAF
(∅) ⊆ FAF
(∅). Comme d’après Dung, FAF
j
k
est monotone, nous avons FAF (∅) ⊆ FAF (∅), La conclusion suit.
p,j
j
k (∅). La conclusion
2. j > k, on a (par la preuve par induction ci-dessus) FAF
(∅) ⊆ FAF
(∅) = FAF
suit.
Proposition 5.3 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si AF possède une p-extension stable,
alors la p-extension faible de AF et l’extension de base de AF coïncident.
Démonstration Soit S une p-extension stable de AF , Wp la p-extension faible de AF et G l’extension de
base de AF .
p,i
i (∅).
Le lemme 5.9 page 63 nous indique que pour tout entier positif i, nous avons FAF
(∅) ⊆ FAF
p,i
i (∅) 6⊆ F
Supposons que Wp 6= G. Alors il existe i ∈ N tel que FAF
AF (∅). Soit imin le plus petit entier
p,imin
imin
0 (∅) = F p,0 (∅),
positif tel que cette propriété est vérifiée. Soit a ∈ FAF (∅) \ FAF
(∅). Comme FAF
AF
p,imin
imin
nous avons nécessairement imin ≥ 1. De plus, comme a 6∈ FAF
(∅) et a ∈ FAF
(∅), il existe un conflit
p,imin −1
indirect dans FAF
(∅) ∪ {a}.
D’après la proposition 5.2 page 62, chaque p-extension stable de AF est aussi une extension stable
A. D’après (Dun95) chaque extension stable de AF contient G. Comme d’après le lemme 5.10 page 64
p,i
(∅) ⊆ Gp , nous avons nécessairement
Wp ⊆ G et comme par définition pour tout i ∈ N, nous avons FAF
p,imin −1
(∅) ⊆ S.
FAF
p,imin −1
Supposons que a ∈ S. Comme FAF
(∅) ∪ {a} n’est pas sans conflit indirect, cela impose que S
n’est pas sans conflit indirect. Ce qui est en contradiction avec le fait que S est une p-extension stable. Nous
imin
avons donc a 6∈ S. Donc il existe b ∈ S tel que (b, a) ∈ R. Comme a ∈ FAF
(∅), a est défendu contre b
146
p,imin −1
imin −1
imin −1
imin −1
(∅),
par FAF
(∅). Donc il existe c ∈ FAF
(∅) tel que (c, b) ∈ R. Comme FAF
(∅) = FAF
p,imin −1
(∅), ce qui implique que c ∈ S.
nous avons c ∈ FAF
Donc c et b appartiennent tous les deux à S alors que (c, b) ∈ R, ce qui est impossible car comme S
est une p-extension stable, S doit être sans conflit.
Proposition 5.4 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si AF possède une p-extension stable,
l’extension de base (resp. la p-extension faible) de AF et l’intersection de toutes les extensions préférées
coïncident.
Démonstration D’après la propriété 5.3 page 64, la p-extension faible et l’extension de base coïncident.
Soit G l’extension de base de AF et S une p-extension stable de AF . Nous notons P l’intersection de
toutes les extensions préférées de AF .
D’après (Dun95), nous avons G ⊆ P .
Supposons que P 6⊆ G. Alors il existe a ∈ P \ G. Donc a est attaqué et n’est pas défendu par G
contre au moins l’un de ses attaquants (sinon cela signifie que a ∈ G). Soit la suite (Ei )i∈N d’ensembles
d’arguments définis comme suit :
– E0 = {b ∈ A \ S | ∃a ∈ P \ G, (b, a) ∈ R et ∀c ∈ G, (c, b) 6∈ R}.
– Ei+1 = Ei ∪ {b′ ∈ A \ S | ∃b ∈ Ei , ∃a ∈ S \ G, ((a, b) ∈ R et (b′ , a) ∈ R)) et ∀c ∈ G, (c, b′ ) 6∈ G}.
(Ei )i∈N est croissante. Comme A est fini, il existe un entier positif j tel que Ej+1 = Ej . Nous notons
E = Ej . D’après la proposition 5.2 page 62, S est une extension préférée. Donc P ⊆ S. Comme S doit
être sans conflit tous les attaquants de a ∈ P \ G appartiennent à A \ S. Soit b un des attaquants contre
lequel a n’est pas défendu par G (sinon a ∈ G). Par définition de E0 , b ∈ E0 . E0 ⊆ E, donc b ∈ E. Donc
E 6= ∅ sous l’hypothèse que P \ G 6= ∅.
Par construction, chaque élément de E attaque un élément de S \ G et n’est attaqué par aucun élément
de G.
De plus, comme S est une p-extension stable de AF et comme, par construction, E ∩ S = ∅, chaque
élément de E est attaqué par un élément de S, donc par un élément a′ de S \ G. Chaque a′ est attaqué par
un élément de E (dans le cas contraire a′ appartient à G). Donc, chaque élément de E est défendu par E
contre S \ G.
Finalement, aucun élément e de E n’est attaqué par un élément c de (A \ E) \ S. En fait, si c’était le
cas, comme S est une p-extension stable de AF , S attaquerait c, qui attaquerait e qui, par construction de
E, attaque un élément de S : il existerait un chemin de longueur impaire entre deux éléments de S ; ce qui
est impossible car S est une p-extension stable 20 .
Donc, E est acceptable par rapport à E.
Nous allons montrer que supposer que E est sans conflit mène à une contradiction.
Supposons que E est sans conflit. Alors E est inclus dans une extension préférée E ′ de AF . Par
définition de P , P est inclus dans E ′ ; cependant E ∪ P n’est pas sans conflit par construction de E0
(a ∈ P \ G est attaqué par b ∈ E0 ). Donc un tel E ′ ne peut pas exister, car une extension préférée est sans
conflit. Ainsi E n’est pas sans conflit.
De ce fait, il existe b1 , b2 ∈ E tel que (b1 , b2 ) ∈ R. Comme, par construction de E, il existe deux
arguments a1 , a2 ∈ S \ G tel que (a1 , b1 ) ∈ R et (b2 , a2 ) ∈ R ; il existe un chemin de longueur impaire
de a1 vers a2 (via b1 et b2 ). Ce qui contredit le fait que S est une p-extension stable. Donc supposer qu’il
existe a ∈ P \ G mène à une contradiction. Donc P ⊆ G.
Donc P = G.
20. On rappelle qu’une p-extension stable est un ensemble sans conflit indirect.
147
stable, alors l’intersection des p-extensions préférées de AF est incluse dans l’extension de base (resp.
p-extension faible) de AF .
Démonstration Cette démonstration est très proche de la preuve de la proposition 5.4 page 64, P caractérise l’intersection des p-extensions préférées, S est une p-extension stable et G l’extension de base (resp.
la p-extension faible d’après la proposition 5.3 page 64) de AF . Supposons P 6⊆ G. Nous considérons
l’ensemble E défini et acceptable par rapport à E comme dans la preuve de la proposition 5.4 page 64.
Nous allons montrer que supposer que E est sans conflit indirect mène à une contradiction.
Supposons que E est sans conflit indirect. Alors, d’après la proposition 5.1 page 59, E est inclus dans
un p-extension préférée E ′ de AF . Par définition de P , P est inclus dans E ′ ; cependant E ∪ P n’est pas
sans conflit (comme E0 ⊆ E et E0 ∪ P n’est pas sans conflit), ce qui contredit le fait qu’un tel E ′ existe.
Ainsi, E n’est pas sans conflit indirect. Alors, il existe b1 , b2 ∈ E tel qu’il existe un chemin de longueur
impaire de b1 à b2 (e.g. entre autre (b1 , b2 ) ∈ R). Comme, par construction de E, il existe deux arguments
a1 , a2 ∈ S ⊂ G tel que (a1 , b1 ) ∈ R et (b2 , a2 ) ∈ R ; il existe un chemin de longueur impaire de a1 vers
a2 (via b1 et b2 ). Ce qui contredit le fait que S est une p-extension stable. Donc, P ⊆ G.
Proposition 5.6 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si AF possède une c-extension
stable, l’intersection de toutes les c-extensions préférées de AF est incluse dans l’extension de base (resp.
la p-extension faible) de AF .
Démonstration Cette démonstration est très proche de la preuve de la proposition 5.4 page 64, P caractérise l’intersection des c-extensions préférées, S est une c-extension stable et G l’extension de base
(resp. la p-extension faible d’après la proposition 5.3 page 64) de AF . À chaque fois qu’apparaît le mot
«p-extension» nous le substituons par le terme «c-extension». Supposons P 6⊆ G. Nous considérons l’ensemble E défini et acceptable par rapport à E comme dans la preuve de la proposition 5.4 page 64.
Nous allons montrer que supposer que E est sans conflit ni controverse mène à une contradiction.
Supposons que E est sans conflit ni controverse. Alors, d’après la proposition 5.1 page 59, E est inclus
dans une c-extension préférée E ′ de AF . Par définition de P , P est inclus dans E ′ ; cependant E ∪ P n’est
pas sans conflit (comme E0 ⊆ E et E0 ∪ P n’est pas sans conflit), ce qui contredit le fait qu’un tel E ′
existe. Ainsi, E n’est pas sans conflit ni controverse.
– Soit il existe b1 , b2 ∈ E tels que (b1 , b2 ) ∈ R. Comme par construction de E ∩ S = ∅ et qu’aucun
élément de E n’est attaqué par un élément de G, il existe deux arguments a1 , a2 ∈ S \ G tels que
(a1 , b1 ) ∈ R et (a2 , b2 ) ∈ R, il existe un chemin de longueur impaire reliant a2 à b2 , et un chemin
de longueur paire de a1 à b2 (passant par b1 ). Donc (a2 , a1 ) est super-controversé par rapport à b2 ce
qui contredit le fait que S soit une c-extension stable.
– Soit il existe b1 , b2 ∈ E, d ∈ A tels que (b1 , b2 ) est super-controversé par rapport à d (i.e. il existe
un chemin de longueur impaire reliant b1 à d, et un chemin de longueur paire de b2 à d.) . Comme
par construction de E ∩ S = ∅ et qu’aucun élément de E n’est attaqué par un élément de G, il existe
deux arguments a1 , a2 ∈ S \ G tels que (a1 , b1 ) ∈ R et (a2 , b2 ) ∈ R. Donc il existe un chemin de
longueur impaire reliant a2 à d (passant par b2 ), et un chemin de longueur paire de a1 à d (passant
par b1 ). Donc (a2 , a1 ) est super-controversé par rapport à d ce qui contredit le fait que S soit une
c-extension stable.
Donc P ⊆ G.
Lemme 5.11 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. AF est controversé de manière limitée
si et seulement si le graphe d’attaque de AF ne possède pas de circuit de longueur impaire.
148
Démonstration
⇐ Supposons que AF n’est pas controversé de manière limité. Alors il existe une suite infinie S =
a0 , . . . , an , . . . d’arguments de A tel que ai+1 est controversé par rapport à ai pour chaque i. Puisque
A est fini, il existe i, j avec i ≤ j tel que ai , . . . , aj est une sous-suite de S et aj est controversé
par rapport à ai . Un argument étant controversé par rapport à un autre argument lorsqu’il existe à la
fois un chemin de longueur paire et un chemin de longueur impaire entre le premier argument et le
second ai , . . . , aj est un circuit de longueur impaire d’arguments de AF .
⇒ Voir (Dou02).
Lemme 5.12 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si AF possède une c-extension stable,
alors AF est controversé de manière limitée.
Démonstration Supposons que AF possède une c-extension stable S et que AF ne soit pas controversé
de manière limité. Alors, d’après le lemme 5.11 page 64, il existe un circuit de longueur impaire dans le
graphe d’attaque de AF . Soit a un élément de ce circuit. D’après (Dou02), il existe b ∈ A tel que a est
controversé par rapport à b. Alors (a, a) est super-controversé par rapport à b. Comme S est sans conflit, ni
controverse, nous avons a 6∈ S. Donc il existe c ∈ S tel que (c, a) ∈ R. Donc (c, c) est super-controversé
par rapport à b, ce qui contredit le fait que S est une c-extension stable de AF .
Corollaire 5.4 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini. Si AF possède une c-extension stable,
alors AF est cohérent.
Démonstration Comme AF possède une c-extension stable, d’après le lemme 5.12 page 64, AF est
controversé de manière limité. Donc, d’après (Dun95), AF est cohérent.
Proposition 5.7 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini tel que AF possède une c-extension
stable. Pour chaque c-extension préférée E ′ de AF , il existe au moins une extension stable S de AF telle
que E ′ ⊆ S.
Démonstration Comme AF possède une c-extension stable, d’après le corollaire 5.4 page 64, AF est
cohérent. Soit E ′ ⊆ A une c-extension préférée de AF . D’après le corollaire 5.2 page 62, il existe une
extension préférée S de AF tel que E ′ ⊆ S. Comme AF est cohérent, S est une extension stable de AF .
Proposition 5.8 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de c-inférence lorsqu’il existe une
c-extension stable sont synthétisés dans le tableau B.1.
|∼∃,P
c
|∼∃,S
c
∀,P
|∼c
|∼∀,S
c
|∼∃,P
c
⊆
⊆4
⊆7
⊆ 10
|∼∃,S
c
6⊆ 1
⊆
⊆8
⊆ 11
|∼∀,P
c
6⊆ 2
6⊆ 5
⊆
6⊆ 12
|∼∀,S
c
6⊆ 3
6⊆ 6
⊆9
⊆
TAB . B.1 – Liens entre les relations de c-inférence en présence de c-extension stable.
Démonstration Comme AF possède une c-extension stable, |∼∀,S
et |∼∃,S
ne trivialisent pas. Les points
c
c
4., 7., 8., 9., 10. and 11. viennent des définitions des relations de c-inférence, du lemme 5.5 page 60 et de
la transitivité de ⊆. Nous avons donc la chaîne d’inclusions (I) :
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
⊆ |∼∃,P
c
c
c
c .
149
1 Dans AF (ex. 5.8 page 68, fig. 5.9 page 68), {b} est inclus dans une c-extension préférée, mais dans
aucune c-extension stable.
2 La non-inclusion vient du point 12. et de (I) montrant |∼∀,S
⊆ |∼∃,P
c
c .
∃,S
∃,P
3 La non-inclusion vient du point 6. et de (I) montrant |∼c ⊆ |∼c .
5 La non-inclusion vient du point 12. et de (I) montrant |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
c
c .
6 Dans AF (ex. B.9 fig. B.6), {d} est inclus dans une c-extension stable, mais n’est pas inclus dans
toutes les c-extensions stables.
Exemple B.9 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d} et R = {(b, a), (c, b), (d, c), (c, d))}. Le
graphe d’attaque de AF est représenté figure B.6.
a
b
c
d
E1 = {d, b} et E2 = {c, a} sont les c-extensions stables de AF .
12 Dans AF (ex. 5.8 page 68, fig. 5.9 page 68), {d} est inclus dans toutes les c-extensions stable, mais
n’est pas inclus dans toutes les c-extensions préférées.
Proposition 5.9 Les liens entre capacités inférentielles des relations de c-inférence en absence de c-extension stable sont synthétisés dans le tableau B.2.
|∼∃,P
c
|∼∀,P
c
|∼∃,P
c
⊆
⊆2
|∼∀,P
c
6⊆ 1
⊆
TAB . B.2 – Liens entre les relations de c-inférence en absence de c-extension stable.
Démonstration
1. Nous avons :
(a) AF possède une p-extension stable. Dans AF (ex. B.10, fig. B.7 page suivante), {b} est inclus
dans une c-extension préférée, mais pas dans toutes.
Exemple B.10 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, i, n} et R = {(i, n), (n, a), (b, a),
(c, a), (d, c), (d, b), (b, d), (n, n)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure B.7 page
ci-contre.
E1 = {i, a, d} et E2 = {i, b, c} sont les extensions préférées et les extensions stables de AF .
E3 = {i} est l’extension de base de AF .
E1′ = {d} et E2′ = {b, c} sont les c-extensions préférées de AF . Il n’y a pas de c-extension
stable.
150
n
i
a
c
b
d
E1′′ = {i, d} et E2 sont les p-extensions préférées de AF . E2 est la p-extension stable de AF .
E3 est la p-extension faible de AF .
(b) AF possède une extension stable, mais pas de p-extension stable. Dans AF (ex. 5.2 page 56,
fig. 5.2 page 57), {d} est inclus dans une c-extension préférée, mais pas dans toutes.
(c) AF ne possède pas d’extension stable. Dans AF (ex. B.11, fig. B.8), {d} est inclus dans une
c-extension préférée, mais pas dans toutes.
Exemple B.11 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, i} et R = {(b, a), (e, b), (c, b),
(d, c), (i, i)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure B.8.
a
b
c
e
d
i
E1 = {a, d, e} est l’extension préférée et l’extension de base de AF . Il n’y a pas d’extension
stable.
E1′ = {a, e} et E2′ = {d} sont les c-extensions préférées de AF .
E1′ et E ′′ 1 = {d, e} sont les p-extensions préférées de AF . E1′′ est la p-extension faible de AF .
Il n’y a pas de p-extension stable.
.
2. Trivial.
Proposition 5.10 Les liens entre capacités inférentielles des relations de p-inférence en présence d’une
p-extension stable sont synthétisés dans le tableau B.3 page suivante.
Démonstration Dans les points (a) AF possède une c-extension stable. Dans les points (b) AF ne possède
pas de c-extension stable, mais possède une p-extension stable.
D’après les définitions des relations de p-inférence, le lemme 5.5 page 60 et la transitivité de ⊆, les
points 3., 5., 9., 10., 11., 13. et 14. sont vérifiés, montrant que la chaîne d’inclusion (II) est vérifiée :
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p .
151
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
∀,P
|∼p
|∼∀,S
p
|∼.,W
p
|∼∃,P
p
⊆
⊆5
⊆9
⊆ 13
⊆ 17
|∼∃,S
p
6⊆ 1
⊆
⊆ 10
⊆ 14
⊆ 18
|∼∀,P
p
6⊆ 2
6⊆ 6
⊂
6⊆ 15
6⊆ 19
|∼∀,S
p
6⊆ 3
6⊆ 7
⊆ 11
⊆
⊆ 20
|∼.,W
p
6⊆ 4
6⊆ 8
⊆ 12
6⊆ 16
⊆
TAB . B.3 – Liens entre les relations de p-inférence en présence de p-extension stable.
(a) Dans AF (ex. 5.5 page 60, fig. 5.5 page 60), {e} est inclus dans une p-extension préférée, mais
dans aucune p-extension stable.
(b) Dans AF (ex. B.10 page 150, fig. B.7 page précédente), {d} est inclus dans une p-extension
préférée, mais dans aucune p-extension stable.
∃,P
2. La non-inclusion vient du point 15. et de (II) montrant |∼∀,S
p ⊆ |∼p .
1.
∃,P
p ⊆ |∼p .
∃,S
p ⊆ |∼p .
7. (a) Dans AF (ex. B.9 page 150, fig. B.6 page 150), {a} est inclus dans une p-extension stable,
mais pas dans toutes.
(b) Dans AF (ex. B.12, fig. B.9), {i} est inclus dans une p-extension stable, mais pas dans toutes.
Exemple B.12 Soit AF = hA, Ri avec A = {b, c, e, n, i} et R = {(b, e), (b, c), (c, e), (n, i),
(i, n)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure B.9.
c
e
i
n
b
E1 = {b, i} et E2 = {b, n} sont les extensions préférées et les extensions stables de AF .
E3 = {b} est l’extension de base de AF .
E1′ = {i} et E2′ = {n} sont les c-extensions préférées de AF . Il n’y a pas de c-extension
stable.
E1 et E2 sont les p-extensions préférées et les p-extensions stables de AF . E3 est la p-extension
faible de AF .
∃,S
p ⊆ |∼p .
12. L’inclusion vient de la proposition 5.5 page 64.
15. (a) Dans AF , (ex. 5.5 page 60, fig. 5.5 page 60) {b} est inclus dans toutes les p-extensions stables,
mais pas dans toutes les p-extensions préférées.
(b) Dans AF , (ex. B.10 page 150, fig. B.7 page précédente) {b} est inclus dans toutes les pextensions stables, mais pas dans toutes les p-extensions préférées.
16. (a) Dans AF (ex. 5.5 page 60, fig. 5.5 page 60), {b} est inclus dans toutes les p-extensions stables,
mais pas dans la p-extension faible.
152
(b) Dans AF (ex. B.10 page 150, fig. B.7 page 151), {b} est inclus dans toutes les p-extensions
stables, mais pas dans la p-extension faible.
∃,P
17. L’inclusion vient du point 20. et de (II) montrant |∼∀,S
p ⊆ |∼p .
∃,S
18. L’inclusion vient du point 20. et (II) montrant |∼∀,S
p ⊆ |∼p .
19. (a) Dans AF (ex. 5.5 page 60, fig. 5.5 page 60), {d} est inclus dans la p-extension faible, mais
n’est pas inclus dans toutes les p-extensions préférées.
(b) Dans AF (ex. B.8 page 144, fig. B.3 page 144), {d} est inclus dans la p-extension faible, mais
n’est pas inclus dans toutes les p-extensions préférées.
20. D’après le lemme 5.10 page 64, la p-extension faible est incluse dans l’extension de base. D’après la
proposition 2.1 page 19, l’extension de base est incluse dans chaque extension stable. Donc, d’après
la proposition 5.2 page 62 dans chaque p-extension stable.
Proposition 5.11 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence en absence de
p-extension stable sont synthétisés dans le tableau 5.4 page 67.
|∼∃,P
p
|∼∀,P
p
|∼.,W
p
|∼∃,P
p
⊆
⊆3
⊆5
|∼∀,P
p
6⊆ 1
⊆
6⊆ 6
|∼.,W
p
6⊆ 2
6⊆ 4
⊆
TAB . B.4 – Liens entre les relations de p-inférence en absence de p-extension stable.
Démonstration Dans les points (a) AF possède une extension stable, mais pas de p-extension stable. Dans
les points (b) AF ne possède pas d’extension stable.
(a) Dans AF (ex. 5.2 page 56, fig. 5.2 page 57), {a} est inclus dans une p-extension préférée, mais
pas dans toutes.
(b) Dans AF (ex. B.11 page 151, fig. B.8 page 151), {a} est inclus dans une p-extension préférée,
2. La non-inclusion vient du point 4. et du fait que |∼∀,P
⊂ |∼∃,P
p
p .
3. Trivial.
4. (a) Dans AF (ex. 5.6 page 62, fig. 5.6 page 63), {n} est inclus dans toutes les p-extensions préférées, mais pas dans la p-extension faible.
(b) Dans AF (ex. B.13, fig. B.10 page suivante), {n} est inclus dans toutes les p-extensions préférées, mais pas dans la p-extension faible.
1.
Exemple B.13 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, i, n, v} et R = {(b, a), (a, i), (c, b),
(d, c), (e, c), (d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i), (v, e), (v, v)}. Le graphe d’attaque de AF est
représenté figure B.10 page suivante.
E1 = {a, c, n}, E2 = {d, b, i} et E3 = {b, d, n} sont les extensions préférées de AF . E4 = ∅
est l’extension de base de AF . Il n’y a pas d’extension stable.
E1′ = {n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension stable.
E1′ est la p-extension préférée de AF . E4 est la p-extension faible de AF Il n’y a pas de
p-extension stable.
153
a
i
n
e
v
b
c
d
5. Le lemme 5.7 page 61 et la définition 5.9 page 61 montrent que la p-extension faible est un ensemble
p-admissible. D’après la proposition 5.1 page 59, la p-extension faible est donc incluse dans une pextension préférée.
6. (a) Dans AF (ex. 5.2 page 56, fig. 5.2 page 57), {d} est inclus dans la p-extension faible, mais pas
dans toutes les p-extensions préférées.
(b) Dans AF (ex. B.11 page 151, fig. B.8 page 151), {d} est inclus dans la p-extension faible, mais
pas dans toutes les p-extensions préférées.
Proposition 5.12 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de c-inférence et celles des relations d’inférence classique en présence de c-extension stable sont synthétisés dans le tableau B.5.
|∼∃,P = |∼∃,S
= |∼∀,S = |∼.,G
|∼∀,P
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇ 1
⊆, 6⊇ 5
|∼∃,S
c
6⊆, ⊇ 2
⊆, 6⊇ 6
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 7
|∼∀,S
c
6⊆, ⊇ 4
⊆, 6⊇ 8
TAB . B.5 – Liens entre les relations de c-inférence et d’inférence classique en présence de c-extension
stable.
Démonstration D’après Dung (Dun95), la chaîne d’inclusion suivante est vérifiée (III) :
|∼.,G ⊂ |∼∀,P ⊂ |∼∀,S ⊂ |∼∃,S ⊂ |∼∃,P .
D’après les définitions des relations de c-inférence, le lemme 5.5 page 60 et la transitivité de ⊆, la chaîne
d’inclusion suivante est vérifiée (I) :
⊆ |∼∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
c
c
c .
c
De plus, comme il existe une c-extension stable, les propositions 5.2 page 62 et 5.4 page 64 nous
indique que |∼.,G = |∼∀,P . De même, comme il existe une c-extension stable, le corollaire 5.4 page 64,
nous permet de déduire |∼∀,P = |∼∀,S et |∼∃,S = |∼∃,P .
1. L’inclusion vient de la proposition 5.7 page 65. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. 5.8 page 68
fig. 5.9 page 68), {i, c} est inclus dans une extension stable, mais dans aucune c-extension préférée.
2. L’inclusion vient de la proposition 5.2 page 62. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. 5.8 page 68,
fig. 5.9 page 68), {i, b} est inclus dans une extension stable, mais dans aucune c-extension stable.
154
3. L’inclusion vient du point 7. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . La non-inclusion vient du point 7. et
de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S .
4. (I) montre |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
c
c , donc, d’après la proposition 5.2 page 62 et la transitivité de ⊆, nous avons
∀,S
∃,S
|∼c ⊆ |∼ . Pour la non-inclusion, dans AF (ex. 5.8 page 68, fig. 5.9 page 68), {i, b} est inclus
dans une extension stable, mais dans aucune c-extension préférée.
5. L’inclusion et la non-inclusion viennent du point 8. et de (I) montrant |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
c
c .
∀,S
6. L’inclusion et la non-inclusion viennent du point 8. et de (I) montrant |∼c ⊆ |∼∃,S
c .
fig. 5.9 page 68), {i} est inclus dans l’extension de base, mais pas dans chaque c-extension préférée.
fig. 5.9 page 68), {a} est inclus dans chaque c-extension stable, mais pas dans l’extension de base.
Proposition 5.13 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de c-inférence et celles des relations d’inférence classique en absence de c-extension stable, mais en présence d’extension stable sont
synthétisés dans le tableau B.5 page ci-contre.
|∼∃,P
|∼∃,S
|∼∀,P
|∼∀,S
|∼.,G
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇ 1
6⊆, ? 3
6⊆, 6⊇ 5
6⊆, 6⊇ 7
6⊆, 6⊇ 9
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇ 2
6⊆, ? 4
6⊆, 6⊇ 6
6⊆, 6⊇ 8
6⊆, 6⊇ 10
TAB . B.6 – Liens entre les relations de c-inférence et d’inférence classique en absence de c-extension
|∼.,G ⊂ |∼∀,P ⊂ |∼∀,S ⊂ |∼∃,S ⊂ |∼∃,P .
⊆ |∼∃,S
⊆ |∼∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
c
c .
c
c
Dans les points (a) AF possède une p-extension stable. Dans les points (b) AF ne possède pas de
p-extension stable, mais possède une extension stable.
1. La non-inclusion vient du point 9. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient du corollaire 5.2 page 62.
2. La non-inclusion vient du point 10. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient du corollaire 5.2 page 62 et de (I) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
c
c .
3. La non-inclusion vient du point 9. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . On ne sait pas si |∼∃,P
⊆ |∼∃,S
c
ou non.
4. La non-inclusion vient du point 10. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . On ne sait pas si |∼∀,P
⊆ |∼∃,S
c
ou non.
155
5. La première non-inclusion vient du point 9. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . La seconde noninclusion vient du point 6. et de (I) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
c
c .
6. La première non-inclusion vient du point 10. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P .
(a) Pour la seconde non-inclusion, dans AF (ex. 5.7 page 63, fig. 5.7 page 63), {n} est inclus dans
toutes les c-extension préférées, mais pas dans toutes les extensions préférées.
(b) Pour la seconde non-inclusion, dans AF (ex. B.14, fig. B.11), {n} est inclus dans toutes les
c-extension préférées, mais pas dans toutes les extensions préférées.
Exemple B.14 Soit AF = hA, Ri avec A = {v, s, r, u, o, n} et R = {(r, v), (v, r), (s, v),
(r, s), (r, u), (u, o), (o, n), (n, o)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure B.11.
v
s
r
u
o
n
E1 = {r, o} et E2 = {r, n} sont les extensions préférées et les extensions stables de AF .
E3 = ∅ est l’extension de base de AF .
E1′ = {n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension stable.
E1′ est la p-extension préférée de AF . E3 est la p-extension faible de AF . Il n’y a pas de
p-extension stable.
7. La première non-inclusion vient du point 9. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S . La seconde noninclusion vient du point 8. et de (I) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
c
c .
8. La première non-inclusion vient du point 10. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S .
toutes les c-extensions préférées, mais pas dans toutes les extensions stables.
c-extensions préférées, mais pas dans toutes les extensions stables.
(a) Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.10 page 150, fig. B.7 page 151), {i} est inclus
dans l’extension de base, mais dans aucune c-extension préférée.
(b) Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. 5.2 page 56, fig. B.7 page 151), {d, e} est inclus
dans l’extension de base, mais dans aucune c-extension préférée.
La seconde non-inclusion vient du point 10. et de (I) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
c
c .
∀,P
∃,P
10. La première non-inclusion vient du point 9. et de (I) montrant |∼c ⊆ |∼c .
9.
toutes les c-extensions préférées, mais pas dans l’extension de base.
c-extensions préférées, mais pas dans l’extension de base.
Proposition 5.14 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de c-inférence et celles des relations d’inférence classique en absence d’extension stable sont synthétisés dans le tableau B.7 page suivante.
156
|∼∃,P
|∼∀,P
|∼.,G
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 3
6⊆, 6⊇ 5
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇ 2
6⊆, 6⊇ 4
6⊆, 6⊇ 6
TAB . B.7 – Liens entre les relations de c-inférence et d’inférence classique en absence d’extension stable.
|∼.,G ⊂ |∼∀,P ⊂ |∼∀,S ⊂ |∼∃,S ⊂ |∼∃,P .
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
⊆ |∼∃,P
c
c
c
c .
2. La non-inclusion vient du point 6. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient du corollaire 5.2 page 62 et de (I) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
c
c .
3. La première non-inclusion vient du point 5. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . La non-inclusion
vient du point 4. et de (I) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
c
c .
4. La première non-inclusion vient du point 6. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . Pour la seconde
non-inclusion, dans AF (ex. B.13 page 153, fig. B.10 page 154), {n} est inclus dans toutes les
c-extensions préférée, mais pas dans toutes les extensions préférées.
5. Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.11 page 151, fig. B.8 page 151), {d, e} est inclus
dans l’extension de base, mais dans aucune c-extension préférée. La seconde non-inclusion vient du
point 6. et de (I) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
c
c .
6. La première non-inclusion vient du point 5. et de (I) montrant |∼∀,P
= |∼∃,P
c
c . Pour la seconde noninclusion, dans AF (ex. B.13 page 153, fig. B.10 page 154), {n} est inclus dans chaque c-extension
préférée, mais pas dans l’extension de base.
Proposition 5.15 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations d’inférence classique en présence de c-extension stable sont synthétisés dans le tableau B.8.
|∼∀,P
|∼∃,P = |∼∃,S
= |∼∀,S = |∼.,G = |∼.,W
p
|∼∃,P
p
6⊆, ⊇ 1
⊆, 6⊇ 5
|∼∃,S
p
6⊆, ⊇ 2
⊆, 6⊇ 6
|∼∀,P
p
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 7
|∼∀,S
p
6⊆, ⊇ 4
⊆, 6⊇ 8
TAB . B.8 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en présence de c-extension
stable.
|∼.,G ⊂ |∼∀,P ⊂ |∼∀,S ⊂ |∼∃,S ⊂ |∼∃,P .
157
D’après les définitions des relations de p-inférence, le lemme 5.5 page 60 et la transitivité de ⊆, la chaîne
d’inclusion suivante est vérifiée (II) :
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p .
De plus, comme il existe une c-extension stable, les propositions 5.2 page 62 et 5.4 page 64 nous
indiquent que |∼.,G = |∼∀,P . De même, comme il existe une c-extension stable, le corollaire 5.4 page 64,
nous permet de déduire |∼∀,P = |∼∀,S et |∼∃,S = |∼∃,P . La présence de c-extension stable, donc de
p-extension stable nous permet d’appliquer la proposition 5.3 page 64 et d’avoir |∼.,G = |∼.,W
p .
1. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. 5.5 page 60, fig. 5.5 page 60), {a, d} est inclus dans une extension stable, mais dans aucune p-extension préférée. L’inclusion vient du corollaire 5.2 page 62.
2. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. 5.5 page 60, fig. 5.5 page 60), {a, d} est inclus dans une extension stable, mais dans aucune p-extension stable. L’inclusion vient du corollaire 5.2 page 62 et de la
proposition 5.2 page 62.
3. La non-inclusion vient du point 8. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . L’inclusion vient du point 8. et
de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S .
∀,S
⊆ |∼∃,P
⊆ |∼∃,S
p
p . (II) montre |∼p
p .
∀,S
∃,S
Donc d’après la proposition 5.2 page 62 et la transitivité de ⊆ |∼p ⊆ |∼ .
∃,P
5. L’inclusion et la non-inclusion viennent du point 9 et de (II) montrant |∼∀,S
p ⊆ |∼p .
∃,S
6. L’inclusion et la non-inclusion viennent du point 9 et de (II) montrant |∼∀,S
p ⊆ |∼p .
7. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. 5.5 page 60, fig. 5.5 page 60), {d} est inclus dans l’extension de
base, mais pas dans toutes les p-extensions préférées. L’inclusion vient de la proposition 5.5 page 64.
8. La proposition 5.2 page 62 montre que |∼∀,S ⊆ |∼∀,S
p . Pour la non-inclusion, dans AF
(ex. 5.5 page 60, fig. 5.5 page 60), {b} est inclus dans chaque p-extension stable, mais pas dans
l’extension de base.
Proposition 5.16 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations d’inférence classique en absence de c-extension, mais en présence de p-extension stable sont synthétisés dans le tableau B.9.
|∼∀,P
|∼∃,P
|∼∃,S
= |∼.,G = |∼.,W
p
∀,S
|∼
|∼∃,P
p
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 5
⊆, 6⊇ 9
⊆, 6⊇ 13
|∼∃,S
p
6⊆, ⊇ 2
6⊆, ⊇ 6
⊆, 6⊇ 10
⊆, 6⊇ 14
|∼∀,P
p
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 7
6⊆, ⊇ 11
6⊆, ⊇ 15
|∼∀,S
p
6⊆, ⊇ 4
6⊆, ⊇ 8
⊆, 6⊇ 12
⊆, 6⊇ 16
TAB . B.9 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en absence de c-extension
stable, mais en présence de p-extension stable.
|∼.,G ⊂ |∼∀,P ⊂ |∼∀,S ⊂ |∼∃,S ⊂ |∼∃,P .
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p .
158
De plus, comme il existe une p-extension stable, la propositions 5.4 page 64 nous indique que |∼.,G =
De même, comme il existe une p-extension stable, la proposition 5.3 page 64 nous donne |∼.,G =
.,W
|∼p .
|∼∀,P .
1. La non-inclusion vient du point 5. et de (III) montrant |∼∃,S ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient du corollaire 5.2 page 62.
2. La non-inclusion vient du point 6. et de (III) montrant |∼∃,S ⊆ |∼∃,P . Idem pour l’inclusion.
3. La non-inclusion vient du point 11. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . Idem pour l’inclusion.
4. La non-inclusion vient du point 8. and (III) montrant |∼∃,S ⊆ |∼∃,P . Idem pour l’inclusion.
5. Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.10 page 150, fig. B.7 page 151), {a, d} est inclus
dans une extension stable, mais dans aucune p-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion,
dans AF (ex. B.8 page 144, fig. B.3 page 144), {a} est inclus dans une p-extension préférée, mais
pas dans une extension stable.
6. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. B.10 page 150, fig. B.7 page 151), {d} est inclus dans une extension stable, mais pas dans une p-extension stable. L’inclusion vient de la proposition 5.2 page 62.
7. La non-inclusion et l’inclusion viennent du point 11. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S .
8. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. B.10 page 150, fig. B.7 page 151), {a, d} est inclus dans une
extension stable, mais dans aucune p-extension stable. (II) montre |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
p
p . D’après la propo∃,S
∀,S
∃,S
sition 5.2 page 62 |∼p ⊆ |∼ . Donc, grâce à la transitivité de ⊆ on a |∼p ⊆ |∼∃,S .
9. L’inclusion vient du point 13. et de (III) montrant |∼∀,P ⊆ |∼∀,S . La non-inclusion vient du point
∃,P
12. et de (II) montrant |∼∀,S
p ⊆ |∼p .
10. L’inclusion vient du point 14. et de (III) montrant |∼∀,P ⊆ |∼∀,S . La non-inclusion vient du point
∃,S
12. et de (II) montrant |∼∀,S
p ⊆ |∼p .
11. L’inclusion vient de la proposition 5.5 page 64. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. B.8 page 144,
fig. B.3 page 144), {d} est inclus dans l’extension de base, mais pas dans toutes les p-extensions
préférées
12. L’inclusion vient du point 16. et de (III) montrant |∼∀,P ⊆ |∼∀,S . Pour la non-inclusion, dans AF
(ex. B.10 page 150, fig B.7 page 151), {b} est inclus dans toutes les p-extensions stables, mais pas
dans toutes les extensions préférées.
∀,S
∃,P
p . (II) montre que |∼p ⊆ |∼p . Comme ⊆ est
∃,P
transitive, nous avons |∼∀,S ⊆ |∼p . La non-inclusion vient du point point 16. et de (II) montrant
∃,P
|∼∀,S
p ⊆ |∼p .
14. Idem que le point 13. en remplaçant |∼∃,P
par |∼∃,S
p
p .
(ex. B.10 page 150 fig. B.7 page 151), {b} est inclus dans chaque p-extension stable, mais pas dans
chaque extension stable.
Proposition 5.17 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations d’inférence classique en absence de p-extension, mais en présence d’extension stable sont synthétisés
dans le tableau B.10 page suivante.
|∼.,G ⊂ |∼∀,P ⊂ |∼∀,S ⊂ |∼∃,S ⊂ |∼∃,P .
159
|∼∃,P
|∼∃,S
|∼∀,P
|∼∀,S
|∼.,G
|∼∃,P
p
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 4
6⊆, 6⊇ 7
6⊆, 6⊇ 10
6⊆, 6⊇ 13
|∼∀,P
p
6⊆, ⊇ 2
6⊆, 6⊇ 5
6⊆, 6⊇ 8
6⊆, 6⊇11
6⊆, 6⊇ 14
|∼.,W
p
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 6
6⊆, ⊇ 9
6⊆, ⊇ 12
6⊆, ⊇ 15
TAB . B.10 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en absence de p-extension
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p .
3. La non-inclusion et l’inclusion viennent du point 15. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P .
4. La première non-inclusion vient du point 13. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . La seconde noninclusion vient du point 5. et de (II) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
p
p .
5. La première non-inclusion vient du point 14. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . Pour la seconde
non-inclusion, dans AF (ex. B.15, fig. B.12), {n} est inclus dans chaque p-extension préférée, mais
dans aucune extension stable.
Exemple B.15 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, i, n, u} et R = {(b, a), (a, i), (c, b),
(d, c), (e, c), (d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i), (i, u), (u, u)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure B.12.
u
a
i
n
b
c
d
e
E1 = {a, c, n}, E2 = {b, d, i} et E3 = {b, d, n} sont les extensions préférées de AF . E2 est
l’extension stable de AF . E4 = ∅ est l’extension de base de AF .
E4 est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension stable.
160
E1′′ = {n} est la p-extension préférée de AF . E4 est la p-extension faible de AF . Il n’y a pas de
p-extension stable.
7. La première non-inclusion vient du point 13. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . La second noninclusion vient du point 8. et de (II) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
p
p .
8. La première non-inclusion vient du point 14. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . Pour la seconde
non-inclusion, dans AF (ex. B.15 page ci-contre, fig. B.12 page précédente), {n} est inclus dans
toutes les p-extensions préférées, mais pas dans toutes les extensions préférées.
9. La non-inclusion et l’inclusion viennent du point 15. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P .
10. La première non-inclusion vient du point 13. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S . La seconde noninclusion vient du point 11. et de (II) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
p
p .
11. La première non-inclusion vient du point 14. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S . Pour la seconde
non-inclusion, dans AF (ex. B.15 page ci-contre, fig. B.12 page précédente), {n} est inclus dans
toutes les p-extensions préférées, mais dans aucune extension stable.
12. La non-inclusion et l’inclusion viennent du point 15. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S .
13. Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. 5.2 page 56, fig. 5.2 page 57), {a, d} est inclus dans
l’extension de base, mais dans aucune p-extension préférée. La seconde non-inclusion vient du point
14. et de (II) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
p
p .
14. Pour la première non-inclusion, {a, d} est inclus dans l’extension de base, mais dans aucune pextension préférée. Pour la seconde non-inclusion, dans AF (ex. B.15 page ci-contre,
fig. B.12 page précédente), {n} est inclus dans toutes les p-extensions préférées, mais pas dans
l’extension de base.
15. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. 5.2 page 56, fig. 5.2 page 57), {a, d} est inclus dans l’extension
de base, mais pas dans la p-extension faible. L’inclusion vient du lemme 5.10 page 64.
Proposition 5.18 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations d’inférence classique en absence d’extension stable sont synthétisés dans le tableau B.11.
|∼∃,P
|∼∀,P
|∼.,G
|∼∃,P
p
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 4
6⊆, 6⊇ 7
|∼∀,P
p
6⊆, ⊇ 2
6⊆, 6⊇ 5
6⊆, 6⊇ 8
|∼.,W
p
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 6
6⊆, ⊇ 9
TAB . B.11 – Liens entre les relations de p-inférence et d’inférence classique en absence d’extension stable.
Démonstration D’après Dung (Dun95), la chaîne d’inclusions suivante est vérifiée (III) :
|∼.,G ⊂ |∼∀,P ⊂ |∼∀,S ⊂ |∼∃,S ⊂ |∼∃,P .
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p .
161
3. La non-inclusion et l’inclusion viennent du point 9. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P .
4. La première non-inclusion vient du point 7. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . La seconde noninclusion vient du point 5. et de (II) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
p
p .
5. La première non-inclusion vient du point 8. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . Pour la seconde
non-inclusion, dans AF (ex. B.13 page 153, fig. B.10 page 154), {n} est inclus dans toutes les
p-extensions préférées, mais pas dans toutes les extensions préférées.
6. La non-inclusion et l’inclusion viennent du point 9. et de (III) montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P .
dans l’extension de base, mais dans aucune p-extension préférée. La seconde non-inclusion vient du
point 8. et de (II) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
p
p .
dans l’extension de base, mais dans aucune p-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion, dans
AF (ex. B.13 page 153, fig. B.10 page 154), {n} est inclus dans toutes les p-extensions préférées,
mais pas dans l’extension de base.
9. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. B.11 page 151, fig. B.8 page 151), {a, d} est inclus dans l’extension de base, mais dans la p-extension faible. L’inclusion vient du lemme 5.10 page 64.
Proposition 5.19 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations de c-inférence en présence de c-extension stable sont synthétisés dans le tableau B.12.
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
|∼∀,P
p
|∼∀,S
p
.,W
|∼p
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 5
⊆, 6⊇ 9
⊆, 6⊇ 13
⊆, 6⊇ 17
|∼∃,S
c
6⊆, ⊇ 2
6⊆, ⊇ 6
⊆, 6⊇ 10
⊆, 6⊇ 14
⊆, 6⊇ 18
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 7
6⊆, ? 11
6⊆, ⊇ 15
6⊆, ⊇ 19
|∼∀,S
c
6⊆, ⊇ 4
6⊆, ⊇ 8
⊆, 6⊇ 12
⊆, 6⊇ 16
⊆, 6⊇ 20
TAB . B.12 – Liens entre les relations de p-inférence et de c-inférence en présence de c-extension stable.
Démonstration D’après les définitions des relations de c-inférence, le lemme 5.5 page 60 et la transitivité
de ⊆, la chaîne d’inclusion suivante est vérifiée (I) :
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
⊆ |∼∃,P
c
c
c
c .
D’après les définitions des relations de p-inférence, le lemme 5.5 page 60 et la transitivité de ⊆, la
chaîne d’inclusion suivante est vérifiée (II) :
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p .
1. La non-inclusion vient du point 5. et de (II) montrant |∼∃,S
⊆ |∼∃,P
p
p . L’inclusion vient du corollaire 5.2 page 62.
⊆ |∼∃,P
p
p . L’inclusion vient de la proposition 5.2 page 62.
162
3. La non-inclusion vient du point 11. et de (II) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
p
p . L’inclusion vient du point 15.
∀,S
∃,P
et de (II) montrant |∼p ⊆ |∼p .
⊆ |∼∃,P
p
5. Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. 5.8 page 68, fig. 5.9 page 68), {i, b} est inclus dans une
p-extension stable, mais dans aucune c-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion, dans AF
(ex. 5.5 page 60, fig. 5.5 page 60), {a} est inclus dans une c-extension préférée, mais dans aucune
p-extension stable.
6. La non-inclusion vient du point 5. et de (I) montrant que |∼∃,S
⊆ |∼∃,P
c
c . L’inclusion vient de la
⊆ |∼∃,S
p
∃,S
et de (II) montrant |∼∀,S
⊆
|∼
.
p
p
8. Pour la non-inclusion, dans AF (ex. 5.8 page 68, fig. 5.9 page 68), {b} est inclus dans une pextension stable, mais pas dans toutes les c-extensions stables. (I) montre que |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
c
c , donc
∀,S
∃,S
d’après la proposition 5.2 page 62 |∼c ⊆ |∼p .
9. L’inclusion vient du point 13. et de (II) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p . La non-inclusion vient du point 12.
∀,S
∃,P
et de (I) montrant |∼c ⊆ |∼c .
⊆ |∼∀,S
p
p . La non-inclusion vient du point 12.
∃,S
et de (I) montrant |∼∀,S
⊆
|∼
.
c
c
11. Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. 5.8 page 68, fig. 5.9 page 68), {i} est inclus dans toutes
les p-extensions préférées, mais pas toutes les c-extensions préférées. On ne sait pas si |∼∀,P
⊆ |∼∀,P
c
p
ou non.
⊆ |∼∀,S
p
(ex. 5.8 page 68, fig. 5.9 page 68), {a} est inclus dans chaque c-extension stable, mais pas dans
chaque p-extension préférée.
∀,S
13. La proposition 5.2 page 62 montre que |∼∀,S
⊆ |∼∀,S
⊆ |∼∃,P
p
c . (I) montre que |∼c
c . Donc, comme
∀,S
∃,P
⊆ est transitive, nous avons |∼p ⊆ |∼c . La non-inclusion vient du point 16. et de (I) montrant
|∼∀,S
⊆ |∼∃,P
c
c .
∀,S
14. La proposition 5.2 page 62 montre |∼∀,S
⊆ |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
p
c . (I) montre |∼c
c . Donc, comme ⊆
∀,S
∃,S
est transitive, nous avons |∼p ⊆ |∼c . La non-inclusion vient du point 16. et de (I) montrant
|∼∀,S
⊆ |∼∃,S
c
c .
⊆ |∼∀,S
p
∀,S
et du tableau 5.3 page 67 montrant |∼.,W
⊆
|∼
.
p
p
fig. 5.9 page 68), {a} est inclus dans chaque c-extension stable, mais n’est pas inclus dans chaque
p-extension stable.
17. L’inclusion vient du point 13. et du tableau 5.3 page 67 montrant |∼.,W
⊆ |∼∀,S
p
p . La non-inclusion
∀,S
∃,P
vient du point 20. et de (I) montrant |∼c ⊆ |∼c .
18. L’inclusion vient du point 14. et du tableau 5.3 page 67 montrant |∼.,W
⊆ |∼∀,S
p
p . La non-inclusion
∀,S
∃,S
vient du point 20. et de (I) montrant |∼c ⊆ |∼c .
⊆ |∼.,W
p
20. L’inclusion vient du point 16. et du table 5.3 page 67 montrant |∼.,W
⊆ |∼∀,S
p
p . Pour la non-inclusion,
dans AF (ex. 5.8 page 68, fig. 5.9 page 68), {a} est inclus dans toutes les c-extension stable, mais
pas dans la p-extension faible.
163
Proposition 5.20 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations de c-inférence en absence de c-extension stable et en présence de p-extension stable sont synthétisés
dans le tableau B.13.
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
|∼∀,P
p
|∼∀,S
p
|∼.,W
p
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 3
6⊆, 6⊇ 5
6⊆, 6⊇7
6⊆, 6⊇ 9
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇ 2
6⊆, 6⊇ 4
6⊆, 6⊇ 6
6⊆, 6⊇ 8
6⊆, 6⊇ 10
TAB . B.13 – Liens entre les relations de p-inférence et de c-inférence en présence de p-extension stable et
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
⊆ |∼∃,P
c
c
c
c .
∃,S
∃,P
⊆ |∼∀,S
|∼∀,P
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p .
⊆ |∼∃,P
p
p . L’inclusion vient du corollaire
5.2 page 62.
⊆ |∼∃,P
p
3. La première non-inclusion vient du point 5. et de (II) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,S
p
p . La seconde non∀,P
∃,P
inclusion vient du point 4. et de (I) montrant |∼c ⊆ |∼c .
⊆ |∼∃,S
p
p . Pour la seconde noninclusion, dans AF (ex. 5.7 page 63, fig. 5.7 page 63), {n} est inclus dans toutes les c-extensions
préférées, mais dans aucune p-extension stable.
5. Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.10 page 150, fig. B.7 page 151), {i} est inclus dans
chaque p-extension préférée, mais dans aucune c-extension préférée. La seconde non-inclusion vient
du point 6. et de (I) montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
c
c .
6. Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.10 page 150, fig. B.7 page 151), {i} est inclus dans
chaque p-extension préférée, mais dans aucune c-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion,
dans AF (ex. 5.7 page 63, fig. 5.7 page 63), {n} est inclus dans chaque c-extension préférée, mais
⊆ |∼∀,S
p
p . La seconde non∃,P
inclusion vient du point 8. et de (I) montrant |∼∀,P
⊆
|∼
.
c
c
⊆ |∼∀,S
p
p . Pour la seconde noninclusion, dans AF (ex. 5.7 page 63, fig. 5.7 page 63), {n} est inclus dans toutes les c-extensions
préférées, mais pas dans toutes les p-extensions stables.
9. La première non-inclusion vient du point 5. et du tableau 5.3 page 67 montrant |∼∀,P
⊆ |∼.,W
p
p . La
∃,P
seconde non-inclusion vient du point 10. et de (I) montrant |∼∀,P
⊆
|∼
.
c
c
164
10. La première non-inclusion vient du point 6. et du tableau 5.3 montrant |∼∀,P
⊆ |∼.,W
p
p . Pour la
seconde non-inclusion, dans AF (ex. 5.7 page 63, fig. 5.7), {n} est inclus dans chaque c-extension
préférée, mais pas dans la p-extension faible.
Proposition 5.21 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence et celles des relations de c-inférence en absence de p-extension stable sont synthétisés dans le tableau B.14.
|∼∃,P
p
|∼∀,P
p
.,W
|∼p
|∼∃,P
c
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 3
6⊆, 6⊇ 5
|∼∀,P
c
6⊆, ⊇ 2
6⊆, 6⊇ 4
6⊆, 6⊇ 6
TAB . B.14 – Liens entre les relations de p-inférence et de c-inférence en présence en absence de p-extension
stable.
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
⊆ |∼∃,P
c
c
c
c .
∃,P
∃,S
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p .
p
Dans les points (a) AF possède une extension stable. Dans les points (b) AF n’en possède pas.
⊆ |∼∃,P
p
⊆ |∼∃,P
p
3. (a) Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.16, fig. B.13 page suivante), {d, n} est inclus
dans toutes les p-extensions préférée, mais dans aucune c-extension préférée.
Exemple B.16 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, n, i, r, s} et R = {(b, a), (c, a),
(n, c), (d, b), (i, b), (e, c), (i, e), (d, r), (r, s), (n, s)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté
figure B.13 page suivante.
E1 = {i, a, d, n} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension de base de AF .
E1′ = {d} et E2′ = {n} sont les c-extensions préférées de AF . Il n’y a pas de c-extension
stable.
E1′′ = {d, i, n} et E2′′ = {d, a, n} sont les p-extensions préférées de AF . E1′′ est la p-extension
faible de AF . Il n’y a pas de p-extension stable.
(b) Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.17, fig. B.14 page suivante), {d, n} est inclus
dans toutes les p-extensions préférée, mais dans aucune c-extension préférée.
Exemple B.17 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, n, i, r, s, o} et R = {(b, a), (c, a),
(n, c), (d, b), (i, b), (e, c), (i, e), (d, r), (r, s), (n, s), (o, o)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure B.14 page suivante.
165
r
a
c
b
e
d
s
n
i
r
a
c
b
e
d
i
s
n
o
E1 = {i, a, d, n} est l’extension préférée et l’extension de base de AF . Il n’y a pas d’extension
stable.
E1′ = {d} et E2′ = {n} sont les c-extensions préférées de AF . Il n’y a pas de c-extension
stable.
⊆ |∼∃,P
c
c .
4. (a) Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.16 page précédente, fig. B.13), {d, n} est inclus dans chaque p-extension préférée, mais pas dans chaque c-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion, dans AF (ex. B.18, fig. B.15), {a} est inclus dans toutes les c-extensions
préférées, mais pas dans toutes les p-extensions préférées.
Exemple B.18 Nous reprenons l’exemple 2.7 page 22.
Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, n, i} et R = {(b, a), (c, a), (n, c), (d, b), (i, b),
(e, c), (i, e)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure B.15 page suivante.
E1′ = {d, a, n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension stable.
166
a
c
b
e
d
n
i
(b) Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.17 page 165, fig. B.14), {d, n} est inclus dans
chaque p-extension préférée, mais pas dans chaque c-extension préférée. Pour la seconde noninclusion, dans AF (ex. B.19, fig. B.16), {a} est inclus dans toutes les c-extension préférées,
mais pas dans toutes les p-extensions préférées.
Exemple B.19 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, n, i, v} et R = {(b, a), (c, a), (n, c),
(d, b), (i, b), (e, c), (i, e), (v, v)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté figure B.16.
a
c
b
e
d
i
n
v
E1 = {i, a, d, n} est l’extension préférée et l’extension de base de AF . Il n’y a pas d’extension
stable.
E1′ = {d, a, n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension stable.
(a) Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.18 page ci-contre, fig. B.15), {i} est inclus
dans la p-extension faible, mais dans aucune c-extension préférée.
(b) Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.19, fig. B.16), {i} est inclus dans la p-extension faible, mais dans aucune c-extension préférée.
⊆ |∼∃,P
c
c .
6. (a) Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.18 page ci-contre, fig. B.15), {i} est inclus dans la p-extension faible mais dans aucune c-extension préférée. Pour la seconde noninclusion, dans AF (ex. B.18 page ci-contre, fig. B.15), {a} est inclus dans toutes les cextensions préférée, mais pas dans la p-extension faible.
5.
167
(b) Pour la première non-inclusion, dans AF (ex. B.19 page précédente, fig. B.16 page précédente), {i} est inclus dans la p-extension faible mais dans aucune c-extension préférée. Pour
la seconde non-inclusion, dans AF (ex. B.19 page précédente, fig. B.16), {a} est inclus dans
toutes les c-extensions préférées, mais pas dans la p-extension faible.
Proposition 5.22 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini et S ⊆ A. Les résultats de complexité
du tableau B.15 sont vérifiés.
Question
S est-il sans conflit indirect?
S est-il p-admissible?
S est-il la p-extension faible?
S est-il inclus dans la p-extension faible?
S est-il une p-extension stable?
S est-il une p-extension préférée?
AF a-t-il une p-extension stable?
AF est-il p-trivial?
S est-il inclus dans une p-extension préférée?
S est-il inclus dans une p-extension stable?
S est-il inclus dans toutes les p-extensions stables?
S est-il inclus dans toutes les p-extensions préférées?
Complexité
dans P
dans P
dans P
dans P
dans P
dans coNP
dans NP
dans coNP
dans NP
dans NP
dans coNP
dans ΠP2
TAB . B.15 – Résultats de complexité (p-inférence).
Démonstration
– L’appartenance : Premièrement il est facile de voir que:
– DÉCIDER SI UN ENSEMBLE D ’ ARGUMENTS EST SANS CONFLIT INDIRECT,
– DÉCIDER SI UN ENSEMBLE D ’ ARGUMENTS EST P - ADMISSIBLE,
– et DÉCIDER SI UN ENSEMBLE D ’ ARGUMENTS EST UNE P - EXTENSION STABLE
sont dans P.
On suppose que «choisir un élément de S», «comparer deux arguments (pour savoir si ce sont les
mêmes)» peut être fait à chaque fois en temps constant. Vérifier si un argument est acceptable par
rapport à un ensemble d’argument s’effectue en temps polynomial (au plus #(A)2 tests). Grâce
aux résultats précédents, nous savons que vérifier si un argument est sans conflit indirect avec un
ensemble d’arguments s’effectue en temps polynomial. Ainsi, construire la p-extension faible s’effectue en temps polynomial. Ce qui implique que vérifier si S ⊆ A est cette extension ou que S ′ ⊆ A
appartient à cette extension s’effectue en temps polynomial.
Une des autres conséquences est que DÉCIDER SI UN SYSTÈME D ’ ARGUMENTATION POSSÈDE UNE
P - EXTENSION STABLE est dans NP (il suffit de deviner un ensemble S ′ ⊆ A et de vérifier en temps
polynomial que S ′ est une p-extension stable).
Une autre conséquence est que DÉCIDER SI S APPARTIENT À UNE P - EXTENSION STABLE est dans
NP (il suffit de deviner S ′ ⊆ A, de vérifier en temps polynomial que S ′ est une p-extension stable et
de vérifier que S est inclus dans S ′ ).
Une quatrième conséquence est que DÉCIDER SI UN ENSEMBLE D ’ ARGUMENTS S APPARTIENT À
TOUTES LES P - EXTENSIONS STABLES est dans coNP (il suffit de s’intéresser au problème complémentaire, donc de deviner un ensemble S ′ ⊆ A, de vérifier en temps polynomial que S ′ est une
p-extension stable et de vérifier en temps polynomial que S 6⊆ S ′ ).
168
Une cinquième conséquence est que DÉCIDER SI S EST UNE P - EXTENSION PRÉFÉRÉE est dans
coNP (il suffit de s’intéresser au problème complémentaire et donc de deviner S ′ ⊆ A, de vérifier
en temps polynomial que S ′ et S sont des ensembles p-admissibles et de vérifier que S ⊂ S ′ ).
La proposition 6.3 page 84, nous permet de tirer deux autres conséquences des résultats précédents.
– D’abord, DÉCIDER SI UN AF EST P - TRIVIAL est dans coNP (il suffit de s’intéresser au problème complémentaire, donc de deviner un ensemble S ′ ⊆ A et de vérifier en temps polynomial qu’il est p-admissible).
– Ensuite, DÉCIDER SI S EST INCLUS DANS UNE P - EXTENSION PRÉFÉRÉE est dans NP (il suffit
de deviner S ′ ⊆ A, de vérifier en temps polynomial si S ′ est un ensemble p-admissible et de
vérifier que S ⊆ S ′ ).
Les résultats précédents permettent de dire que DÉCIDER SI S EST INCLUS DANS TOUTES LES P p
EXTENSIONS PRÉFÉRÉES est dans Π2 (il suffit de s’intéresser au problème complémentaire donc de
deviner S ′ ⊆ A, de vérifier à l’aide d’un oracle NP que S ′ est une p-extension préférée et de vérifier
que S 6⊆ S ′ ).
Proposition 5.23 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation fini et S ⊆ A. Les résultats de complexité
du tableau 5.16 page 76 sont vérifiés.
Question
S est-il sans conflit, ni controverse?
S est-il c-admissible?
S est-il une c-extension stable?
S est-il une c-extension préférée?
AF a-t-il une c-extension stable?
AF est-il c-trivial?
S est-il inclus dans une c-extension préférée?
S est-il inclus dans une c-extension stable?
S est-il inclus dans toutes les c-extensions stables?
S est-il inclus dans toutes les c-extensions préférées?
Complexité
dans P
dans P
dans P
dans coNP
dans NP
dans coNP
NP-complet
dans NP
dans coNP
dans ΠP2
TAB . B.16 – Résultats de complexité (c-inférence).
Démonstration
– L’appartenance : premièrement il est facile de voir que :
– DÉCIDER SI UN ENSEMBLE D ’ ARGUMENTS EST SANS CONFLIT, NI CONTROVERSE,
– DÉCIDER SI UN ENSEMBLE D ’ ARGUMENTS EST C - ADMISSIBLE,
– et DÉCIDER SI UN ENSEMBLE D ’ ARGUMENTS EST UNE C - EXTENSION STABLE
sont dans P.
Nous pouvons donc réutiliser les preuves de la proposition 5.23 page 75. Il suffit de remplacer la
particule «p-» par «c-» et les termes «sans conflit indirect», par «sans conflit ni controverse».
– La difficulté :
– S EST- IL INCLUS DANS UNE C - EXTENSION PRÉFÉRÉE ?
Nous allons construire une réduction fonctionelle polynomiale depuis 3-SAT en nous inspirant
de celle proposée dans (DT96). Soit φ une formule propositionelle sous forme CNF, avec φ =
169
V
Ci et Ci =
i=1...n
W
ci,j de telle manière qu’un literal et sa négation ne fassent pas partie de
j=1...3
la même clause. Nous appelerons C l’ensemble des clauses de φ et L l’ensemble des littéraux
de φ.
f : φ 7→ hAF = hA, Ri, Si tel que:
⋄ A est constitué de 3 nœuds ni , ai et di par littéral positif de L (ni représentant le littéral
positif), d’un nœud n′i par littéral négatif de L (n′i représentant le littéral négatif), d’un
nœud Ci par clause de C, d’un nœuds T ;
⋄ R est construit en temps polynomial de la façon suivante:
1.
2.
3.
4.
∀ni ∈ A, (ni , ai ) ∈ R, (ai , di ) ∈ R,
∀n′i ∈ A, (n′i , di ) ∈ R,
∀l ∈ L, Ci ∈ C, si l apparaît dans la clause Ci , (l, Ci ) ∈ R,
∀Ci ∈ C, (Ci , T ) ∈ R,
⋄ S = {T }
La figure B.17 représente le graphe associé à la formule (a∨b∨c)∧(a∨¬b∨¬c)∧(¬a∨¬b∨c).
n1 représente a, n′1 ¬a, n2 b, n′2 ¬b, n3 c et n′3 ¬c.
T
C1
C2
n1
C3
n2
n′1
a1
n3
n′2
a2
d1
n′3
a3
d2
d3
F IG . B.17 – Illustration de la réduction fonctionnelle depuis 3-SAT pour le problème de décider si S est
inclus dans une c-extension préférée.
Les nœuds ai et di interdisent à ni et n′i d’appartenir au même dans un ensemble c-admissible
(en effet, (n′i , ni ) est super-controversé par rapport à di ). T appartient à une c-extension préférée de AF si et seulement si T est défendu contre tous les Ci , i.e. si l’un des ni ou n′i qui attaque
Ci appartient aussi à la c-extension préférée. Donc T appartient à un ensemble c-admissible
(donc à une c-extension préférée) si et seulement si φ est satisfiable.
Comme 3-SAT est NP-difficile, le problème de décider si S EST INCLUS DANS UNE C EXTENSION PRÉFÉRÉE est NP-difficile.
170
C
Exemples pour les sémantiques sans conflit
indirect et sans controverse
Exemple 5.1 page 55 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, e, n, i} et R = {(b, a), (c, a), (n, c), (i, b),
(e, c), (i, e)}.
a
c
b
e
n
E1 = {a, i, n} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension de
base de AF .
E1′ = {n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension
stable.
E1′′ = {i, n} est la p-extension préférée et la p-extension faible de AF . Il
n’y a pas de p-extension stable.
i
Exemple 5.2 page 56 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (e, b), (c, b), (d, c)}.
E1 = {a, d, e} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension de
a
base de AF .
E1′ = {a, e} et E2′ = {d} sont les c-extensions préférées de AF . Il n’y a
b
pas de c-extension stable.
c
e
E1′ et E1′′ = {d, e} sont les p-extensions préférées de AF . E1′′ est la pextension faible de AF . Il n’y a pas de p-extension stable.
d
Exemple 5.3 page 59 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c} et R = {(b, a), (b, c), (c, a)}.
E1 = {b} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension de base
de AF .
c
E1′ = ∅ est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension
stable.
a
b
E1 est la p-extension préférée et la p-extension faible de AF . Il n’y a pas
de p-extension stabe.
Exemple 5.4 page 60 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (c, b), (d, c), (e, c),
(d, e), (e, d), (a, d), (a, e)}.
171
Annexe C. Exemples pour les sémantiques sans conflit indirect et sans controverse
a
E1 = {a, c}, E2 = {b, d} et E3 = {b, e} sont les extensions préférées et
les extensions stables de AF . E4 = ∅ est l’extension de base de AF .
E4 est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension stable.
E4 est la p-extension préférée et la p-extension faible de AF . Il n’y a pas
de p-extension stable.
b
c
e
d
Exemple 5.5 page 60 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (a, b), (c, b), (d, c),
(b, e)}.
E1 = {b, d} et E2 = {a, e, d} sont les extensions préférées et les extensions stables de AF . E3 = {d} est l’extension de base de AF .
e
E1 et E1′ = {a, e} sont les c-extensions préférées de AF . E1 est la cextension stable de AF .
a
c
b
d
E1 et E1′ sont les p-extensions préférées de AF . E1 est la p-extension
stable de AF . E3 est la p-extension faible de AF .
Exemple 5.6 page 62 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, i, n} et R = {(b, a), (a, i), (c, b), (d, c),
(e, c), (d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i)}.
a
i
b
c
d
e
n
E1 = {a, c, n}, E2 = {d, b, i} et E3 = {b, d, n} sont les extensions préférées et les extensions stables de AF . E4 = ∅ est l’extension de base de
AF .
E1′ = {n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension
stable.
E1′ est la p-extension préférée de AF . E4 est la p-extension faible de AF
Exemple 5.7 page 63 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, e, n, i} et R = {(b, e), (b, c), (c, e), (b, a),
(a, i), (n, i), (i, n)}.
E1 = {b, i} et E2 = {b, n} sont les extensions préférées et les extensions stables de AF . E3 = {b} est l’extension de base de AF .
c
a
n
i
E1′ = {n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de cextension stable.
e
b
E1 et E1′ sont les p-extensions préférées de AF . E1 est une pextension stable. E3 est la p-extension faible de AF .
Exemple 5.8 page 68 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, i, n} et R = {(i, n), (n, a), (b, a), (c, a),
(d, c), (b, d), (d, b)}.
E1 = {i, a, d} et E2 = {i, b, c} sont les extensions préférées et les extenn
a
i
sions stables de AF . E3 = {i} est l’extension de base de AF .
E1 et E1′ = {b, c} sont les c-extensions préférées de AF . E1 est la cc
extension stable de AF .
b
E1 et E2 sont les p-extensions préférées et les p-extensions stables de AF .
E
3 est la p-extension faible de AF .
d
172
Exemple B.8 page 144 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e} et R = {(b, a), (a, b), (c, b), (d, c),
(b, e), (e, e)}.
E1 = {b, d} et E2 = {a, d} sont les extensions préférées de AF . E1 est
e
l’extension stable de AF . E3 = {d} est l’extension de base de AF .
E1′ = ∅ est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension stable
a
c
E1 et E1′′ = {a} sont les p-extensions préférées de AF . E1 est la pb
d
extension stable de AF . E3 est la p-extension faible de AF .
Exemple B.9 page 150 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d} et R = {(b, a), (c, b), (d, c), (c, d))}.
a
E1 = {d, b} et E2 = {c, a} sont les extensions préférées et les extensions
stables de AF . E3 = ∅ est l’extension de base de AF .
E1 et E2 sont les c-extensions préférées et les c-extensions stables de AF .
E1 et E2 sont les p-extensions préférées et les p-extensions stables de AF .
E3 est la p-extension faible de AF .
b
c
d
Exemple B.10 page 150 Soit AF8 = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, i, n} et R = {(i, n), (n, a), (b, a), (c, a),
(d, c), (d, b), (b, d), (n, n)}.
n
i
a
c
b
d
E1 = {i, a, d} et E2 = {i, b, c} sont les extensions préférées et les extensions stables de AF . E3 = {i} est l’extension de base de AF .
E1′ = {d} et E2′ = {b, c} sont les c-extensions préférées de AF . Il n’y a
pas de c-extension stable.
E1′′ = {i, d} et E2 sont les p-extensions préférées de AF . E2 est la pextension stable de AF . E3 est la p-extension faible de AF .
Exemple B.11 page 151 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, i} et R = {(b, a), (e, b), (c, b), (d, c),
(i, i)}.
a
b
c
e
d
i
E1 = {a, d, e} est l’extension préférée et l’extension de base de AF . Il n’y
a pas d’extension stable.
E1′ = {a, e} et E2′ = {d} sont les c-extensions préférées de AF .
E1′ et E ′′ 1 = {d, e} sont les p-extensions préférées de AF . E1′′ est la pextension faible de AF . Il n’y a pas de p-extension stable.
Exemple B.12 page 152 Soit AF = hA, Ri avec A = {b, c, e, n, i} et R = {(b, e), (b, c), (c, e), (n, i),
(i, n)}.
E1 = {b, i} et E2 = {b, n} sont les extensions préférées et les extensions stables de AF . E3 = {b} est l’extension de base de AF .
c
n
i
E1′ = {i} et E2′ = {n} sont les c-extensions préférées de AF . Il n’y
a pas de c-extension stable.
e
b
E1 et E2 sont les p-extensions préférées et les p-extensions stables de
AF . E3 est la p-extension faible de AF .
173
Exemple B.13 page 153 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, i, n} et R = {(b, a), (a, i), (c, b),
(d, c), (e, c), (d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i), (v, e), (v, v)}.
a
i
n
e
v
E1 = {a, c, n}, E2 = {d, b, i} et E3 = {b, d, n} sont les extensions
préférées de AF . E4 = ∅ est l’extension de base de AF . Il n’y a pas
d’extension stable.
E1′ = {n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de cextension stable.
E1′ est la p-extension préférée de AF . E4 est la p-extension faible de
AF Il n’y a pas de p-extension stable.
b
c
d
Exemple B.14 page 156 Soit AF = hA, Ri avec A = {v, s, r, u, o, n} et R = {(r, v), (v, r), (s, v), (r, s),
(r, u), (u, o), (o, n), (n, o)}.
E1 = {r, o} et E2 = {r, n} sont les extensions préférées et les
extensions stables de AF . E3 = ∅ est l’extension de base de
v
s
AF .
E1′ = {n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de
c-extension stable.
r
u
o
n
E1′ est la p-extension préférée de AF . E3 est la p-extension
Exemple B.15 page 160 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, i, n, u} et R = {(b, a), (a, i), (c, b),
(d, c), (e, c), (d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i), (i, u), (u, u)}.
u
a
i
n
b
c
E1 = {a, c, n}, E2 = {b, d, i} et E3 = {b, d, n} sont les extensions
préférées de AF . E2 est l’extension stable de AF . E4 = ∅ est l’extension de base de AF .
E4 est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de c-extension
stable.
E1′′ = {n} est la p-extension préférée de AF . E4 est la p-extension
e
d
Exemple B.16 page 165 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, n, i, r, s} et R = {(b, a), (c, a), (n, c),
(d, b), (i, b), (e, c), (i, e), (d, r), (r, s), (n, s)}.
r
a
c
b
e
d
i
174
s
n
E1′ = {d} et E2′ = {n} sont les c-extensions préférées de AF . Il n’y
E1′′ = {d, i, n} et E2′′ = {d, a, n} sont les p-extensions préférées de
AF . E1′′ est la p-extension faible de AF . Il n’y a pas de p-extension
stable.
Exemple B.17 page 165 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, n, i, r, s, o} et R = {(b, a), (c, a),
(n, c), (d, b), (i, b), (e, c), (i, e), (d, r), (r, s), (n, s), (o, o)}.
r
a
c
b
e
d
s
n
E1 = {i, a, d, n} est l’extension préférée et l’extension de base de
AF . Il n’y a pas d’extension stable.
E1′ = {d} et E2′ = {n} sont les c-extensions préférées de AF . Il n’y
stable.
o
i
Exemple B.18 page 166 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, n, i} et R = {(b, a), (c, a), (n, c),
(d, b), (i, b), (e, c), (i, e)}.
a
c
b
e
d
n
i
E1′ = {d, a, n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de
c-extension stable.
stable.
Exemple B.19 page 167 Soit AF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, n, i, v} et R = {(b, a), (c, a), (n, c),
(d, b), (i, b), (e, c), (i, e), (v, v)}. Le graphe d’attaque de AF est représenté Figure B.16 page 167.
a
c
b
e
d
i
n
v
E1 = {i, a, d, n} est l’extension préférée et l’extension de base de
AF . Il n’y a pas d’extension stable.
E1′ = {d, a, n} est la c-extension préférée de AF . Il n’y a pas de
c-extension stable.
stable.
175
176
D
Preuves du chapitre 6 : «Généralisations du
cadre de Dung»
D.1 Manipulation des arguments controversés dans les systèmes d’argumentation bipolaires
Tous les exemples de cette partie sont repris dans l’annexe E page 213.
Ratt i le système d’argumentation unipolaire qui lui est associé.
1. Chaque ensemble bp-admissible de BAF est un ensemble admissible de AF et un ensemble padmisssible de AF . La réciproque n’est pas vérifiée.
2. Chaque bp-extension stable de BAF est une extension stable de AF et une p-extension stable AF .
La réciproque n’est pas vérifiée.
Démonstration
1. Trivial d’après la définition des ensembles bp-admissibles. Pour la réciproque, considérons la suite
de l’exemple 6.3 (fig. D.1), {a, c0 , c3 , d} est un ensemble admissible de AF et un ensemble padmissible de AF , mais n’est pas un ensemble bp-admissible de BAF .
Suite de l’exemple 6.3 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b1 , b2 , c0 , c1 , c2 , c3 , d, e}, Aatt =
{(b1 , a), (b2 , a), (c0 , b1 ), (c1 , b1 ), (c2 , b2 ), (c3 , b2 ), (c1 , c2 )} et Rapp = {(e, b2), (d, c1 )}. Le graphe
des interactions de BAF est représenté figure D.1.
a
c0
b1
b2
d
c1
c2
e
c3
F IG . D.1 – Représentation graphique de BAF .
2. Soit S une bp-extension stable de BAF . S est sans bp-conflit et attaque tout ce qui lui est extérieur.
Ainsi S est sans conflit indirect (et S est sans conflit) et attaque tout ce qui lui est extérieur. Donc
S est une p-extension stable de AF et une extension stable de AF . Pour la réciproque dans la suite
177
Annexe D. Preuves du chapitre 6 : «Généralisations du cadre de Dung»
de l’exemple 3.7 (fig. D.2), {a, c} est une p-extension stable de AF et une extension stable de AF ,
mais n’est pas une bp-extension stable de BAF .
Suite de l’exemple 3.7 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c}, Aatt = {(a, b), (b, a)} et
Rapp = {(c, b)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.2.
a
b
c
Proposition 6.2 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et
AF = hA, Ratt i le système d’argumentation unipolaire fini qui lui est associé. Si BAF possède une
bp-extension stable, alors :
1. la p-extension faible de AF et l’extension de base de AF coïncident ;
2. l’intersection des extensions préférées de AF et la p-extension faible (resp. l’extension de base) de
AF coïncident ;
3. l’intersection des p-extensions préférées de AF est incluse dans l’extension de base (resp. la pextension faible) de AF ;
4. l’intersection des p-extensions préférées de AF est incluse dans l’intersection des extensions préférées (resp. des extensions stables) de AF .
Démonstration
1. D’après le lemme 6.1 page 83, chaque bp-extension stable est une p-extension stable, on peut donc
appliquer la proposition 5.3 page 64.
2. D’après le lemme 6.1 page 83, chaque bp-extension stable est une p-extension stable, on peut donc
3. D’après le lemme 6.1 page 83, chaque bp-extension stable est une p-extension p-stable, on peut donc
4. D’après le lemme 6.1 page 83, chaque bp-extension stable est une extension p-stable, on peut donc
Proposition 6.3 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini. L’ensemble de
tous les ensembles bp-admissibles est un ordre partiel complet par rapport à ⊆. Et pour chaque ensemble
bp-admissible S de BAF , il existe une bp-extension préférée E de BAF telle que S ⊆ E.
Démonstration Comme ∅ est un ensemble bp-admissible, l’ensemble de tous les ensembles bp-admissibles
possède un plus petit élément par rapport à ⊆. Puisque A est un ensemble fini, chaque chaîne d’ensembles
bp-admissibles de BAF possède une borne supérieure (l’union de tous ses éléments). Ainsi, l’ensemble
de tous les ensembles bp-admissibles est un sous-ensemble inductif par rapport à ⊆. Le second point se
déduit directement du fait que A est fini.
Proposition 6.4 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini. Chaque bpextension stable est une bp-extension préférée. La réciproque n’est pas vérifiée.
178
D.1. Manipulation des arguments controversés dans les systèmes d’argumentation bipolaires
Démonstration Soit S une bp-extension stable de BAF . D’après la proposition 6.1 page 83, S est une
extension stable de AF . Donc, S est acceptable par rapport à S (voir (Dun95)). De plus, S est sans bpconflit. En conséquence, S est un ensemble bp-admissible de BAF . De plus, pour chaque argument a ∈
A \ S, il existe un conflit dans S ∪ {a}. Donc S est maximal pour ⊆ parmi les ensembles bp-admissibles
de BAF . Donc S est une bp-extension préférée de BAF . Pour la réciproque, dans la suite de l’exemple
6.3 (fig. D.1 page 177) {c0 , c1 , c3 , d, e} est une bp-extension préférée de BAF , mais n’est pas une bpextension stable de BAF .
Proposition 6.5 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et S ⊆ A.
bp
(S).
1. S est un ensemble bp-admissible si et seulement si S ⊆ FBAF
bp
2. Si S est une bp-extension préférée, nous avons S = FBAF
(S). La réciproque n’est pas vérifiée.
Démonstration
bp
1. S ⊆ FBAF
(S) signifie que pour chaque a ∈ S, a est acceptable par rapport à S et S ∪ {a} est sans
bp-conflit, qui signifie exactement que S est bp-admissible pour BAF .
bp
2. Supposons que S est une bp-extension préférée. Il reste a prouver que FBAF
(S) ⊆ S. Soit a un
bp
élément de FBAF (S). a est acceptable par rapport à S et S ∪ {a} est sans bp-conflit. Donc S ∪ {a}
est bp-admissible. Si a n’appartient pas à S cela contredit le fait que S est une bp-extension préférée.
bp
Pour la réciproque, dans l’exemple D.20, ∅ = FBAF
(∅), mais ∅ n’est pas une bp-extension préférée.
Exemple D.20 Nous reprenons l’exemple de (Dun95). BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b},
Aatt = {(a, b), (b, a)} et Rapp = ∅. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.3.
a
b
Lemme 6.1 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et W ⊆ A la bpbp,i
bp,icon
(∅) est
extension faible de BAF défini par FBAF
bp,i+1
bp,i+1
bp,i
bp,i
bp-admissible et si FBAF (∅) est bp-admissible, alors FBAF (∅) = FBAF (∅). ∀0 ≤ i < icon , FBAF (∅)
bp,i
bp,i+1
est bp-admissible et FBAF
(∅) ⊆ FBAF
(∅)
bp,i
Démonstration D’après la définition 6.9 page 82, on a directement FBAF
(∅) est bp-admissible. Donc
bp,i+1
bp,i
(∅).
nous avons directement d’après le point 1 de la proposition 6.5 page 84 FBAF (∅) ⊆ FBAF
Proposition 6.6 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et W ⊆ A la
1. Il existe une bp-extension préférée E ⊆ A de BAF telle que W ⊆ E.
2. Quel que soit E bp-extension stable de BAF , W ⊆ E.
Démonstration
1. D’après la définition des bp-extensions faibles (définition 6.9 page 82), la bp-extension faible est un
ensemble bp-admissible. Donc d’après la proposition 6.3 page 84, il existe une bp-extension préférée
qui contient la bp-extension faible.
179
V
2. Soit C = (a,b)∈A×A | ∃c∈A,a appuie de manière complexe c et c attaque indirectement b (a ⇒ ¬b)
et CAF = hA, Ratt , Ci. D’après la proposition 6.37 page 105, les bp-extensions stables correspondent aux C-extensions stables et la bp-extension faible est la C-extension faible. Donc d’après la
proposition 6.30 page 102, la bp-extension faible est incluse dans chaque bp-extension stable.
Proposition 6.7 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et a, b ∈ A. Si a
est b-controversé par rapport à b, alors {a, b} ne peuvent pas être inclus dans un ensemble bp-admissible.
Démonstration Si a est b-controversé par rapport à b, alors {a, b} n’est pas sans bp-conflit, ce qui induit
que chaque ensemble le contenant n’est pas sans bp-conflit.
Proposition 6.8 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et S l’ensemble
de tous les arguments de A non-attaqués suivant la relation Ratt .
1. Il existe E ⊆ A bp-extension préférée, telle que S ⊆ E.
2. Chaque bp-extension stable de BAF contient S.
3. La bp-extension faible de BAF contient S.
Démonstration
1. Par construction S est sans bp-conflit et admissible, c’est donc un ensemble bp-admissible. Donc
d’après la proposition 6.3 page 84 il existe une bp-extension préférée qui contient S.
2. Le résultat est trivial lorsqu’il n’y a de bp-extension stable. Dans le cas contraire, travaillons par
l’absurde et supposons qu’il existe une bp-extension stable E tel que S 6⊆ E. Alors il existe a ∈ S
tel que a 6∈ E. Donc, il existe b ∈ E tel que (b, a) ∈ Ratt . Donc a est attaqué. Contradiction (S est
l’ensemble des arguments non-attaqués).
bp,1
(∅) = S est sans bp-conflit et admissible, c’est donc un ensemble bp-admissible. Donc icon ≥
3. FBAF
1. Donc d’après le lemme 6.1 page 85, S est inclus dans la bp-extension faible.
Ratt i le système d’argumentation unipolaire fini qui lui est associé. Pour chaque bp-extension préférée
Ebp de BAF , il existe E extension préférée de AF telle que Ebp ⊆ E et Ep p-extension préférée de AF
telle que Ebp ⊆ Ep .
Démonstration Une bp-extension préférée Ebp est un ensemble bp-admissible, et d’après la proposition 6.1 page 83, c’est aussi un ensemble admissible et un ensemble p-admissible. Donc d’après (Dun95)
Ebp est incluse dans une extension préféré et d’après la proposition 5.1 page 59 Ebp est incluse dans une
p-extension préférée.
Lemme 6.2 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et AF = hA, Ratt i le
système d’argumentation unipolaire associé.
1. Si AF est trivial, alors BAF est bp-trivial. La réciproque n’est pas vérifiée.
2. Si AF est p-trivial, alors BAF est bp-trivial. La réciproque n’est pas vérifiée.
Démonstration
1. Si AF est trivial (resp. p-trivial), son unique extension préférée (resp. p-extension préférée) est ∅.
L’unique ensemble pouvant être inclus ou égal à ∅ est ∅. D’où, d’après la proposition 6.9 page 86 la
seule bp-extension préférée de BAF est ∅. Pour la réciproque voir la suite de l’exemple 6.4 (fig. 6.4
page 80).
Suite de l’exemple 6.4 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b}, Aatt = {(a, b), (b, a)} et Rapp =
{(a, b), (b, a)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.4.
180
a
b
E1 = {a} et E = {b} sont les extensions préférées (resp. les p-extensions préférées) de BAF . Donc
BAF n’est ni trivial, ni p-trivial. En revanche, BAF est bp-trivial (∅ est la bp-extension préférée de
BAF ).
2. Si AF est p-trivial, son unique p-extension préférée est ∅. L’unique ensemble pouvant être inclus ou
égal à ∅ est ∅. D’où, d’après la proposition 6.9 page 86 la seule bp-extension préférée de BAF est
∅. Pour la réciproque voir la suite de l’exemple 6.4 (fig. D.4).
Lemme 6.3 Soit AF = hA, Ratt i un système d’argumentation, l’ensemble Q ⊆ A des arguments non
attaqués de AF , deux ensembles S1 ⊆ A et S2 ⊆ A p-admissibles tels que Q ⊆ S1 ⊆ S2 et pour tout
p
p
(S2 ).
(S1 ) ⊆ FAF
a ∈ S2 \ Q, a est défendu indirectement par un élément de Q. On a FAF
p
p
(S2 ). D’après la
(S1 ) \ FAF
Démonstration Travaillons par l’absurde. Supposons qu’il existe a ∈ FAF
définition 5.8 page 61, il y a deux cas :
p
1. a n’est pas acceptable par rapport à S2 . a ∈ FAF
(S1 ), donc a est acceptable par rapport à S1 . Or
S1 ⊆ S2 . Donc a est acceptable par rapport à S2 .
2. {a} ∪ S2 n’est pas sans conflit indirect. Il y a deux cas :
(a) Il existe b ∈ S2 tel qu’il existe un chemin de longueur impaire de b vers a. Comme a ∈
p
FAF
(S1 ), b ∈ S2 \ S1 , ce qui sous-entend que b est attaqué. Donc b est défendu indirectement
par e ∈ Q. Ce qui revient à dire qu’il existe un chemin de longueur paire de e vers b. Il existe
donc un chemin de longueur impaire de e vers a (passant par b). Donc S1 ∪ {a} n’est pas sans
p
conflit indirect. Ce qui est impossible car a ∈ FAF
(S1 ).
(b) Il existe b ∈ S2 tel qu’il existe un chemin de longueur impaire de a vers b. Comme Q ⊆ S1
p
(S1 ). De même, comme Q ⊆ S2
et S1 est p-admissible (donc sans conflit indirect), Q ⊆ FAF
p
et S2 est p-admissible (donc sans conflit indirect), Q ⊆ FAF (S2 ). Donc a 6∈ Q. Donc a est
p
attaqué. Comme a ∈ FAF
(S1 ), il existe c ∈ S1 tel que c défend a. Donc, il existe un chemin
de longueur paire de c vers a. Comme S1 ⊆ S2 , c ∈ S2 . Donc, il existe un chemin de longueur
impaire de c vers b (passant par a). Ce qui est impossible car S2 est p-admissible donc sans
conflit indirect.
p
p
Donc FAF
(S1 ) ⊆ FAF
(S2 ).
Lemme 6.4 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et AF = hA, Ratt i le
système d’argumentation unipolaire associé. La bp-extension faible de BAF est incluse dans l’extension
de base et dans la p-extension faible de AF .
Démonstration Intéressons nous d’abord à l’inclusion dans la p-extension faible. La définition 6.9 page 82
bp,icon
(∅) où icon est le plus petit entier i
montre que la bp-extension faible de BAF est définie comme FBAF
bp,i
bp,i+1
bp,i
tel que FBAF (∅) est bp-admissible et si FBAF (∅) = FBAF (∅). En particulier, l’ensemble des arguments
bp,1
p
bp,i
non attaqués de BAF est FBAF
(∅) (FAF
(∅)). On montre ensuite par récurrence sur i que FBAF
(∅) ⊆
p,i
FAF (∅).
181
p,0
bp,0
(∅) = ∅).
(∅) = FAF
⋆ Base : i = 0 ou i = 1, trivial (par convention FBAF
⋆ Étape inductive : Supposons l’hypothèse inductive vraie pour tout 0 ≤ i < icon , montrons qu’elle est
vérifiée pour i + 1. Les définitions 5.8 page 61 et 6.8 page 82 montrent immédiatement que ∀S ⊆ A, on
bp
p
bp,i
bp,i+1
p
bp,i
bp,1
a FBAF
(S) ⊆ FAF
(S). Avec S = FBAF
(∅), on obtient FBAF
(∅) ⊆ FAF
(FBAF
(∅)). FBAF
(∅) est
l’ensemble des arguments non-attaqués de BAF , donc d’après le lemme 6.1 page 85, il est inclus dans
bp,i
bp,i
FBAF
(∅). Toujours d’après le lemme 6.1 page 85, FBAF
(∅) est un ensemble p-admissible (car d’aprés
p,1
la proposition 6.1 page 83 un ensemble bp-admissible est p-admissible). FAF
(∅) est l’ensemble des arp,i
guments non-attaqués de BAF , donc d’après le lemme 5.7 page 61, il est inclus dans FAF
(∅). Toujours
p,i
d’après le lemme 5.7 page 61, FAF (∅) est un ensemble p-admissible. Soit Q l’ensemble des arguments
p,i
non-attaqués de BAF . D’après la définition 5.8 page 61 et le lemme 5.7 page 61, pour tout a ∈ FAF
(∅)\Q,
p,i
bp,i
(∅).
il existe un argument de Q qui défend indirectement a. L’hypothèse inductive est que FBAF (∅) ⊆ FAF
p
bp,i
p
p,i
On peut donc appliquer le lemme 6.3 page 86. On a donc FAF (FBAF (∅)) ⊆ FAF (FAF (∅)). Donc par
bp,i+1
i+1
(∅).
transitivité on a FBAF
(∅) ⊆ FAF
p,k+1
p,k
Enfin soit k le plus petit entier tel que FAF
(∅) = FAF
(∅).
p,k
p,icon
p,icon
bp,icon
(∅) ⊆ FAF
(∅),
(∅). D’après le lemme 5.7 page 61, on a FAF
(∅) ⊆ FAF
1. si icon ≤ k, on a FBAF
ce qui termine la preuve.
p,k
p,icon
bp,icon
(∅) = FAF
(∅), ce qui termine la preuve.
(∅) ⊆ FAF
2. si icon > k, on a FBAF
Donc la bp-extension faible de BAF est incluse dans la p-extension faible de AF .
D’après le lemme 5.10 page 64, la p-extension faible de AF est incluse dans l’extension de base de
AF . Donc par transitivité, la bp-extension faible de BAF est incluse dans l’extension de base de AF . Lemme 6.5 Soit BAF = hA, Ratt , Aapp i un système d’argumentation bipolaire fini et AF = hA, Ri le
système d’argumentation unipolaire fini associé. Si BAF possède une bp-extension stable, alors la bpextension faible de BAF , la p-extension faible de AF et l’extension de base de AF coïncident.
Démonstration Soit S une bp-extension stable de AF , W la bp-extension faible de BAF et G l’extension
de base de AF .
bp,icon
(∅)
La définition 6.9 page 82 montre que la bp-extension faible de BAF est définie comme FBAF
bp,i
bp,i+1
bp,i
où icon est le plus petit entier i tel que FBAF
(∅) est bp-admissible ou tel que FBAF
(∅) = FBAF
(∅).
Supposons que W 6= G. Comme le lemme 6.4 page 86 indique que W ⊆ G, on a G 6⊆ W . Alors :
i (∅) 6⊆ F bp,i (∅). Si c’est le cas, soit i
– Soit il existe 0 ≤ i ≤ icon tel que FAF
min le plus petit
BAF
bp,imin
imin
(∅).
entier naturel pour lequel cette propriété est vérifiée. Alors il existe a ∈ FAF (∅) \ FBAF
0 (∅) = F bp,0 (∅) et F 1 (∅) = F bp,1 (∅) , on a forcément i
Comme FAF
>
1.
De
plus,
comme
min
AF
BAF
BAF
bp,imin
bp,imin −1
a 6∈ FBAF
(∅), il existe un bp-conflit entre a et b ∈ FBAF
(∅). Comme pour imin − 1,
bp,imin −1
imin −1
imin −1
(∅). Donc comme FAF est monotone, a, b ∈ G. De
FBAF
(∅) = FAF
(∅), b ∈ FAF
plus {a, b} n’est pas sans bp-conflit.
i (∅) 6⊆ F bp,icon (∅). Si c’est le cas, soit i
– Soit i > icon tel que FAF
min le plus petit entier naturel
BAF
bp,0
0
1 (∅) = F bp,1 (∅) , on a
pour lequel cette propriété est vérifiée. Comme FAF (∅) = FBAF (∅) et FAF
BAF
forcément imin > 1. Soit E l’ensemble des arguments non attaqué de A. Si icon = 1, alors W = E.
Soit Q l’ensemble des arguments de A \ E tel que pour tout q ∈ Q, q est défendu contre tous ses
attaquants par E. Si Q = ∅, G = E = W , donc Q 6= ∅. Comme imin > 1 et grâce au lemme
fondamental de (Dun95), Q ⊆ G. Comme E est l’ensemble des argument non attaqués de BAF ,
d’après la définition de l’extension de base E ⊆ G. Comme d’après la proposition 2.1 page 19, G est
inclus dans toutes les extensions stables de BAF et que, d’après la proposition 6.1 page 83, chaque
bp-extension stable est une extension stable, G ⊆ S. Ce qui induit E ∪ Q ⊆ S. Donc E ∪ Q est
sans bp-conflit. On a donc ∀c ∈ E ∪ Q, (1) : c admissible par rapport à E et {c} ∪ E sans bp-conflit.
182
bp,2
(∅). Comme ce sont par définition de E et de Q les seuls arguments qui
Donc E ∪ Q ⊆ FBAF
bp,2
bp,2
satisfassent la propriété (1), E ∪ Q = FBAF
(∅) et FBAF
(∅) est bp-admissible. Comme Q est non
bp,1
bp,2
bp,icon
imin
(∅). De plus,
vide, FBAF (∅) 6= FBAF (∅) Donc icon > 1. Alors il existe a ∈ FAF
(∅) \ FBAF
bp,icon −1
bp,icon
(∅), il existe un bp-conflit entre a et b ∈ FBAF
(∅). D’après le lemme 6.1
comme a 6∈ FBAF
page 85, b ∈ W . Comme d’après le lemme 6.4 page 86 W ⊆ G, b ∈ G. Donc comme FAF est
monotone, a, b ∈ G. De plus {a, b} n’est pas sans bp-conflit.
Toute extension bp-stable de BAF étant aussi une extension stable de BAF (cf. proposition 6.1 page 83),
que d’après la proposition 2.1 page 19 toute extension stable de BAF contient G, on a forcément G ⊆ S.
Ceci impose que G soit sans bp-conflit. Ce qui est en contradiction avec a, b ∈ G tel que {a, b} n’est pas
sans bp-conflit. Donc G ⊆ W .
Pour ce qui est de la p-extension faible de BAF , comme chaque bp-extension stable est une p-extension
stable (proposition 6.1 page 83), nous pouvons appliquer la proposition 5.4 page 64 pour dire que cette
dernière coïncide avec l’extension de base de BAF et de fait avec la bp-extension faible de BAF .
Proposition 6.10 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et AF =
hA, Ratt i le système d’argumentation unipolaire fini associé. Si BAF possède une bp-extension stable,
alors :
1. l’intersection des extensions préférées de AF et la bp-extension faible de BAF coïncident ;
2. l’intersection des p-extensions préférées de AF est incluse dans la bp-extension de base de BAF .
Démonstration
1. Directe d’après le lemme 6.5 page 87 et la proposition 5.4 page 64.
2. Directe d’après le lemme 6.5 page 87 et la proposition 5.5 page 64.
Proposition 6.11 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de bp-inférence lorsqu’il existe
une bp-extension stable sont synthétisés dans le tableau D.1.
|∼∃,P
bp
|∼∃,S
bp
|∼∀,P
bp
|∼∀,S
bp
|∼.,W
bp
|∼∃,P
bp
⊆
⊆5
⊆9
⊆ 13
⊆ 17
|∼∃,S
bp
6⊆ 1
⊆
⊆ 10
⊆ 14
⊆ 18
|∼∀,P
bp
6⊆2
6⊆ 6
⊆
6⊆ 15
6⊆ 19
|∼∀,S
bp
6⊆ 3
6⊆ 7
⊆ 11
⊆
⊆ 20
|∼.,W
bp
6⊆ 4
6⊆ 8
6⊆ 12
6⊆ 16
⊆
TAB . D.1 – Liens entre les relations de bp-inférence en présence de bp-extension stable.
Démonstration D’après la proposition 6.4 page 84, on a la chaîne d’inclusions IV suivante :
∀,S
∃,S
∃,P
|∼∀,P
bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp
(IV)
Les points 5, 9, 10, 11, 13 et 14 viennent de IV.
1. Dans BAF (ex. D.21, fig. D.5 page suivante), {d} est contenu dans une bp-extension préférée, mais
dans aucune bp-extension stable.
Exemple D.21 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, i, n}, Ratt = {(i, e), (i, n),
(e, n), (n, a), (b, a), (c, a), (d, c) (b, d), (d, b)} et Rapp = ∅. Le graphe des interactions de BAF est
représenté figure D.5 page suivante.
183
i
e
n
a
c
b
d
E1 = {i, a, d} et E2 = {i, b, c} sont les extensions stables de BAF . Ebp = {i, d} et E2 sont les
bp-extensions préférées de BAF . Seule E2 est une bp-extension stable de BAF . E3 = {i} est
l’extension de base (resp. bp-extension faible) de BAF .
∃,P
2. Vient du point 15 et de IV montrant |∼∀,S
bp ⊆ |∼bp .
∃,P
3. Vient du point 7 et de IV montrant |∼∃,S
bp ⊆ |∼bp .
∃,P
4. Vient du point 12 et de IV montrant |∼∀,P
bp ⊆ |∼bp .
∃,S
6. Vient du point 15 et de IV montrant |∼∀,S
bp ⊆ |∼bp .
7. Dans BAF (ex. D.22, fig. D.6), {d} est inclus dans une bp-extension stable, mais pas dans toutes
les bp-extensions stables.
Exemple D.22 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d}, Ratt = {(b, a), (c, b), (d, c),
(c, d)} et Rapp = ∅. Le graphe des interaction de BAF est représenté figure D.6.
a
b
d
c
∅ est l’extension de base et la bp-extension faible de BAF . E = {c, a} et Ep = {d, b} sont les bpextensions préférées (resp. bp-extensions stables, extension préférées, extension stables) de BAF .
∃,S
bp ⊆ |∼bp .
12. Dans BAF (ex. D.23, fig. D.7 page ci-contre ), {d} est inclus dans toutes les bp-extensions préférées,
mais pas dans la bp-extension faible.
Exemple D.23 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d}, R = {(a, b), (b, a), (b, c),
(c, d)} et Rapp = {(a, b)}. BAF est représenté figure D.7.
E1 = {a, c} et E2 = {b, d} sont les extensions stables de BAF . Seule E2 est une bp-extension
préférée (resp. bp-extension stable) de BAF . ∅ est l’extension de base et la bp-extension faible de
BAF .
15. Dans BAF (ex. D.21, fig. D.5), {b} est inclus dans toutes les bp-extensions stables, mais pas dans
toutes les bp-extensions préférées.
∀,S
bp ⊆ |∼bp .
184
d
c
a
b
∃,P
17. Vient du point 20 et IV montrant |∼∀,S
bp ⊆ |∼bp .
∃,S
18. Vient du point 20 et IV montrant |∼∀,S
bp ⊆ |∼bp .
19. Dans BAF (ex. 3.7, fig. D.8), {c} est inclus dans la bp-extension faible, mais pas dans toutes les
bp-extensions préférées.
a
b
c
E1 = {b, c} est une extension stable (resp. bp-extension stable) de BAF . E1′ = {a, c} est une
extension stable de BAF . E2 = {a} est une bp-extension préférée de BAF . E3 = {c} est la
bp-extension faible et l’extension de base de BAF .
20. Vient de la proposition 6.6 page 85.
Proposition 6.12 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de bp-inférence en absence de
bp-extension stable sont synthétisés dans le tableau D.2.
|∼∃,P
bp
|∼∀,P
bp
|∼.,W
bp
|∼∃,P
bp
⊆
⊆3
⊆5
|∼∀,P
bp
6⊆ 1
⊆
6⊆ 6
|∼.,W
bp
6⊆ 2
6⊆ 4
⊆
TAB . D.2 – Liens entre les relations de bp-inférence en absence de bp-extension stable.
Démonstration Explications des liens entre les relations de bp-inférence lorsqu’il n’y a pas de bp-extension stable. Dans les points (a) il existe une p-extension stable. Dans les points (b), il n’existe pas de
p-extension stable, mais il y a une extension stable. Dans les points (c) il n’y a pas d’extension stable.
1. (a) Dans BAF (ex. D.24, fig. D.9 page suivante), {a} est inclus dans une bp-extension préférée,
Exemple D.24 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d}, Aatt = {(a, b), (b, a)} et
Rapp = {(c, b), (d, a)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.9.
185
a
d
c
b
E1 = {b, c, d} et E2 = {a, c, d} sont les extensions stables (resp. p-extensions stables) de
BAF . E3 = {b, c} et E4 = {a, d} sont les bp-extensions préférées de BAF . E5 = {c, d} est
une bp-extension préférée, la bp-extension faible et l’extension de base de BAF .
(b) Dans BAF (ex. D.25, fig. D.10), {a} est inclus dans une bp-extension préférée, mais pas dans
toutes.
Exemple D.25 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e}, Ratt = {(b, a), (e, b),
(c, b), (d, c)} et Rapp = ∅. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.10.
a
b
c
e
d
E1 = {a, d, e} est l’extension stable de BAF et son extension de base. E2 = {a, e} est une
bp-extension préférée de BAF . E3 = {d, e} est une bp-extension préférée de BAF et sa
bp-extension faible.
(c) Dans BAF (ex. D.26, fig. D.11), {a} est inclus dans une bp-extension préférée, mais pas dans
toutes.
Exemple D.26 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, n, i, v}, Ratt = {(b, a),
(c, a), (n, c), (d, b), (i, b), (e, c), (i, e), (v, c), (v, v)} et Rapp = ∅. Le graphe des interactions
de AF est représenté figure D.11.
a
c
b
e
d
v
n
i
186
E = {a, d, i, n} est l’unique extension préférée de BAF et son extension de base. E1 =
{d, i, n} et E2 = {a, d, n} sont les deux bp-extensions préférées de BAF . E1 est la bpextension de base de BAF .
(a) Dans BAF (ex. D.24, fig. D.9 page précédente), {a} est inclus dans une bp-extension préférée,
(b) Dans BAF (ex. D.25, fig. D.10 page ci-contre), {a} est inclus dans une bp-extension préférée,
(c) Dans BAF (ex. D.26, fig. D.11 page précédente), {a} est inclus dans une bp-extension préférée, mais pas dans la bp-extension faible.
3. Trivial.
4. (a) Dans BAF (ex. D.27, fig. D.12), {d} est inclus dans toutes les bp-extensions préférées, mais
pas dans la bp-extension faible.
2.
Exemple D.27 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, e, u}, Ratt = {(b, a),
(c, a), (c, d), (d, b), (b, u), (u, c), (c, e), (e, e)} et Rapp = {(c, d), (b, u)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.12.
a
c
b
e
d
u
E1 = {b, c} est la seule extension stable (resp. p-extension stable) de BAF . E2 = {a, d, u}
est une extension préférée, et la seule bp-extension préférée de BAF . ∅ est l’extension de base
et la bp-extension faible de BAF .
(b) Dans BAF (ex. D.28, fig. D.13 page suivante), {n} est inclus dans toutes les bp-extensions
préférées, mais pas dans la bp-extension faible.
Exemple D.28 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, i, n, u}, Ratt = {(b, a),
(a, i), (c, b), (d, c), (e, c), (d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i), (i, u), (u, u)} et Rapp = ∅. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.13 page suivante.
E1 = {a, c, n} et E2 = {b, d, n} sont les extensions préférées et non stable de BAF (elles
n’attaquent pas u). E3 = {b, d, i} est l’extension stable de BAF . E4 = {n} est l’unique
bp-extension préférée de BAF . ∅ est l’extension de base et la bp-extension faible de BAF .
(c) Dans BAF (ex. D.29, fig. D.14 page suivante), {n} est inclus dans toutes les bp-extensions
préférée, mais pas dans la bp-extension faible.
Exemple D.29 Soit BAF = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, i, n, v}, Ratt = {(b, a), (a, i),
(c, b), (d, c), (e, c), (d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i), (v, e), (v, v)} et Rapp = ∅. Le graphe des
interactions de BAF est représenté figure D.14 page suivante.
187
u
a
n
i
b
c
e
d
a
i
n
e
v
b
c
d
E1 = {a, c, n}, E2 = {b, d, i} et E3 = {b, d, n} sont les trois extensions préférés (et non
stables) de BAF . E = {n} est l’unique bp-extension préférée de BAF . ∅ est l’extension de
base et la bp-extension faible de BAF .
5. D’après la définition 6.9 page 82, la bp-extension faible est un ensemble bp-admissible, donc d’après
la proposition 6.3 page 84, elle est incluse dans une bp-extension préférée.
6. (a) Dans BAF (ex. D.24, fig. D.9 page 186), {d} est inclus dans la bp-extension faible, mais pas
dans tous les bp-extensions préférées.
(b) Dans BAF (ex. D.25, fig. D.10 page 186), {d, e} est inclus dans la bp-extension faible, mais
pas dans toutes les bp-extensions préférées.
(c) Dans BAF (ex. D.26, fig. D.11 page 186), {i} est inclus dans la bp-extension faible, mais pas
dans toutes les bp-extensions préférées.
Proposition 6.13 Les liens entre les capacités inférentielles des relations de p-inférence en présence de
p-extension stable sont synthétisés dans le tableau D.3 page ci-contre
Démonstration Nous considérons dans le tableau D.3 page suivante qu’il existe une p-extension stable.
Dans ce cas, les liens entre les relations de p-inférence restent les mêmes que ceux du tableau 5.3 page 67
parce que l’absence de bp-extension stable n’influence pas les p-extensions dès lors qu’on sait qu’il existe
au moins une p-extension stable. Nous pouvons donc garder les mêmes types de preuves que nous adaptons.
Lorsqu’il y a une bp-extension stable, pour les non-inclusions, le lemme 6.1 page 83 et le fait que lorsque
Rapp = ∅ les bp-sémantiques correspondent exactement aux p-sémantiques nous permet de conserver les
mêmes contre-exemples (de AF = hA, Ri on déduit BAF = hA, R, ∅i) que ceux de la démonstration de
la proposition 5.10 page 66 (ici la présence ou l’absence de c-extension stable importe peu). En revanche,
188
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
|∼∀,P
p
|∼∀,S
p
.,W
|∼p
|∼∃,P
p
⊆
⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∃,S
p
6⊆ 1
⊆
⊆
⊆
⊆
|∼∀,P
p
6⊆ 2
6⊆ 5
⊆
6⊆ 8
6⊆ 10
|∼∀,S
p
6⊆ 3
6⊆ 6
⊆
⊆
⊆
|∼.,W
p
6⊆ 4
6⊆ 7
⊆
6⊆ 9
⊆
TAB . D.3 – Liens entre les relations de p-inférence en présence p-extension stable.
ces contre-exemples possèdant une bp-extension stable, il nous en faut nouveaux de nouveaux pour étudier
le cas où il existe une p-extension stable, mais pas de bp-extension stable.
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p .
Contre-exemple en l’absence de bp-extension stable, mais en présence de p-extension stable :
1. Dans BAF (ex. D.30, fig. D.15), {a} est inclus dans une p-extension préférée, mais dans aucune
p-extension stable.
Exemple D.30 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, e}, Ratt = {(a, b), (b, a),
(c, b), (d, c), (b, e)} et Rapp = {(b, a)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure
D.15.
e
a
b
c
d
E1 = {b, d} est la p-extension stable de BAF . E2 = {a, e} est une p-extension préférée et une
bp-extension préférée de BAF . E3 = {d} est une bp-extension préférée, c’est aussi la p-extension
de faible et la bp-extension faible de BAF .
2. Vient du point 10 et du tableau 5.3 page 67 montrant |∼.,W
⊆ |∼∃,P
p
p .
∃,P
3. Vient du point 6 et de II montrant |∼∃,S
p ⊆ |∼p .
∃,P
4. Vient du point 9 et de II montrant |∼∀,S
p ⊆ |∼p .
⊆ |∼∃,S
p
p .
6. Dans BAF (ex. D.31,fig. D.16 page suivante), {c} est inclus dans une p-extension stable, mais pas
dans toutes.
Exemple D.31 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d}, R = {(a, b), (b, a), (b, c),
(c, d)} et Rapp = {(a, b), (b, a)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.16.
E1 = {a, c} et E2 = {b, d} sont les p-extensions stables de BAF . ∅ est la p-extension faible, la
bp-extension préférée et la bp-extension faible de BAF .
189
a
b
c
d
∃,S
7. Vient du point 9 et de II montrant |∼∀,S
p ⊆ |∼p .
⊆ |∼∀,S
p
p .
9. Dans BAF (ex. D.30, fig. D.15 page précédente), {b} est inclus dans toutes les p-extensions stables,
mais n’est pas inclus dans la p-extension faible.
10. Dans BAF (ex. D.30, fig. D.15 page précédente), {d} est inclus dans la p-extension faible, mais pas
dans toutes les p-extensions préférées.
inférentielles des relations d’inférence classique en présence de bp-extension stable sont synthétisés dans
le tableau D.4.
|∼∀,P
|∼∃,P
|∼∃,S
= |∼.,G = |∼.,W
bp
|∼∀,S
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 5
⊆, 6⊇9
⊆, 6⊇ 13
|∼∃,S
bp
6⊆, ⊇ 2
6⊆, ⊇ 6
⊆, 6⊇ 10
⊆, 6⊇ 14
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 7
6⊆, 6⊇ 11
6⊆, 6⊇ 15
|∼∀,S
bp
6⊆, ⊇ 4
6⊆, ⊇8
⊆, 6⊇ 12
⊆, 6⊇ 16
TAB . D.4 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en présence de bp-extension
stable.
Démonstration D’après (Dun95), on a la chaîne d’inclusions III suivante :
|∼.,G ⊆ |∼∀,P ⊆ |∼∀,S ⊆ |∼∃,S ⊆ |∼∃,P
(III)
D’après la proposition 6.4 page 84, on a la chaîne d’inclusions IV suivante :
∀,S
∃,S
∃,P
|∼∀,P
bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp
(IV)
D’après le lemme 6.5 page 87 et la proposition 6.10 page 87, on a |∼∀,P = |∼.,G = |∼.,W
bp .
Explication des liens entre les relations d’inférence classique et les relations de bp-inférence lorsqu’il
existe une bp-extension stable.
1. La non-inclusion vient du point 5 et de III montrant |∼∃,S ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient de la proposition 6.9 page 86.
2. La non-inclusion vient du point 6 et de III montrant |∼∃,S ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient du point 6 et
de III montrant |∼∃,S ⊆ |∼∃,P .
3. La non-inclusion vient du point 11 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient du point 7 et
4. La non-inclusion vient du point 8 et de III montrant |∼∃,S ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient du point 8 et
190
5. Dans BAF (ex. D.21, fig. D.5 page 184), {a, d} est inclus dans une extension stable, mais dans
aucune bp-extension préférée. Dans BAF (ex. D.17, fig. D.17), {a} est inclus dans une bp-extension
préférée, mais dans aucune extension stable.
Exemple D.32 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e}, Ratt = {(b, a), (a, b), (c, b),
(b, e), (e, e), (d, c)} et Rapp = ∅. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.17.
e
a
b
c
d
E1 = {b, d} est l’extension stable et la bp-extension stable de BAF . E2 = {a, d} est une extension
préférée de BAF . Ep = {a} est une bp-extension préférée de BAF . Eb = {d} est l’extension de
base (resp. la bp-extension faible) de BAF .
6. Dans BAF (ex. D.21, fig. D.5 page 184), {d} est inclus dans une extension stable, mais dans aucune
bp-extension stable. Voir la proposition 6.1 page 83.
7. La non-inclusion vient du point 11 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . L’inclusion vient du point 8 et
∀,S
de IV montrant |∼∀,P
bp ⊆ |∼bp .
8. Dans BAF (ex. D.21, fig. D.5 page 184), {d} est inclus dans une extension stable, mais dans aucune
∃,S
bp-extension stable. L’inclusion vient de III montrant |∼∀,S
bp ⊆ |∼bp et de la proposition 6.1 page 83.
9. L’inclusion vient du point 13 et de III montrant |∼∀,P ⊆ |∼∀,S . La non-inclusion vient du point 11 et
∃,P
bp ⊆ |∼bp .
∃,S
bp ⊆ |∼bp .
11. Pour la première non-inclusion, dans BAF (fig. D.8 page 185), {c} est inclus dans l’extension de
base, mais pas dans toutes les bp-extensions préférées. Pour la seconde non-inclusion, dans BAF
(ex. D.23, fig. D.7 page 185), {d} est inclus dans toutes les bp-extensions préférées, mais pas dans
toutes les extensions préférées.
∀,S
bp ⊆ |∼bp
∃,P
13. L’inclusion vient du point 16 et de IV montrant |∼∀,S
bp ⊆ |∼bp . La non-inclusion vient du point 15 et
∃,P
bp ⊆ |∼bp .
∃,S
∃,S
bp ⊆ |∼bp .
15. La première non-inclusion vient du point 11. et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S . Pour la seconde
non-inclusion, dans BAF (ex. D.23, fig. D.7 page 185), {d} est inclus dans toutes les bp-extensions
stables, mais pas dans toutes les extensions stables.
16. La proposition 6.1 page 83 indique que |∼∀,S ⊆ |∼∀,S
bp . La non-inclusion vient du point 15 et de IV
∀,S
montrant |∼∀,P
bp ⊆ |∼bp .
191
inférentielles des relations d’inférence classique lorsqu’il n’existe pas de bp-extension stable, mais qu’il
existe une p-extension stable sont synthétisés dans le tableau D.5.
|∼∃,P
|∼∃,S
∀,P
|∼
= |∼.,G
|∼∀,S
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 4
6⊆, 6⊇ 7
6⊆, 6⊇ 10
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇ 2
6⊆, 6⊇ 5
6⊆, 6⊇ 8
6⊆, 6⊇ 11
|∼.,W
bp
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 6
6⊆, ⊇ 9
6⊆, ⊇ 12
TAB . D.5 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en absence de bp-extension
|∼.,G ⊆ |∼∀,P ⊆ |∼∀,S ⊆ |∼∃,S ⊆ |∼∃,P
(III)
∀,S
∃,S
∃,P
|∼∀,P
bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp
(IV)
La proposition 5.4 page 64, nous indique que |∼∀,P = |∼.,G .
Explications des liens entre les relations d’inférence classique et les relations de bp-inférence lorsqu’il
existe une p-extension stable, mais pas de bp-extension stable.
1. La non-inclusion vient du point 7 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient de la proposition 6.9 page 86.
2. La non-inclusion vient du point 8 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient de la proposi∃,P
tion 6.9 page 86 et de IV montrant |∼∀,P
bp ⊆ |∼bp .
3. La non-inclusion vient du point 9 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient du point 9 et de
|∼.,G ⊆ |∼∃,P
4. La première non-inclusion vient du point 7 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . La seconde non∃,P
inclusion vient du point 5 et de IV montrant |∼∀,P
bp ⊆ |∼bp .
5. La première non-inclusion vient du point 8 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.27, fig. D.12 page 187), {a} est inclus dans toutes les bp-extensions
préférées, mais dans aucune extension stable.
6. La non-inclusion vient du point 9 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . L’inclusion vient du point 9 et de
III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S
7. Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.33, fig. D.18 page ci-contre), {a} est inclus dans
l’extension de base, mais dans aucune bp-extension préférée.
Exemple D.33 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c}, Ratt = {(b, a), (c, b)} et
Rapp = {(a, b)}. BAF est représenté figure D.18.
E1 = {a, c} est l’extension stable (resp. p-extension stable, extension de base) de BAF . E2 = {c}
est la seule bp-extension préférée de BAF , c’est aussi la bp-extension faible de BAF .
∃,P
La seconde non-inclusion vient du point 8 et de IV montrant |∼∀,P
bp ⊆ |∼bp .
192
a
b
c
8. Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.33, fig. D.18), {a} est inclus dans l’extension de
base, mais dans aucune bp-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion, dans BAF (ex. D.27,
fig. D.12 page 187), {a} est inclus dans toutes les bp-extensions préférées, mais pas dans toutes les
extensions préférées.
9. Pour la non-inclusion, dans BAF (ex. D.33, fig. D.18, {a} est inclus dans l’extension de base, mais
pas dans la bp-extension de base. L’inclusion vient du lemme 6.4 page 86.
10. La première non-inclusion vient du point 7 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S . La seconde non∃,P
bp ⊆ |∼bp .
11. La première non-inclusion vient du point 8 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S . Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.27, fig. D.12 page 187), {a} est inclus dans toutes les bp-extensions
préférées, mais aucune extension stable.
12. La non-inclusion vient du point 9 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S . L’inclusion vient du point 9 et de
|∼.,G ⊆ |∼∀,S .
inférentielles des relations d’inférence classique en absence de p-extension stable et en présence d’extension stable sont synthétisés dans le tableau D.6
|∼∃,P
|∼∃,S
|∼∀,P
|∼∀,S
|∼.,G
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 4
6⊆, 6⊇ 7
6⊆, 6⊇ 10
6⊆, 6⊇ 13
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇ 2
6⊆, 6⊇ 5
6⊆, 6⊇ 8
6⊆, 6⊇ 11
6⊆, 6⊇ 14
|∼.,W
bp
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 6
6⊆, ⊇ 9
6⊆, ⊇ 12
6⊆, ⊇ 15
TAB . D.6 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en absence de p-extension
|∼.,G ⊆ |∼∀,P ⊆ |∼∀,S ⊆ |∼∃,S ⊆ |∼∃,P
(III)
∀,S
∃,S
∃,P
|∼∀,P
bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp
(IV)
existe une extension stable, mais ni bp-extension stable, ni p-extension stable.
bp ⊆ |∼bp .
193
3. La non-inclusion vient du point 15 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient du point 15 et
de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P .
4. La première non-inclusion vient du point 13 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . La seconde non∃,P
bp ⊆ |∼bp .
5. La première non-inclusion vient du point 14 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.28, fig. D.13 page 188), {n} est inclus dans toutes les bp-extensions
préférées, mais dans aucune extension stable.
6. La non-inclusion vient du point 15 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S . L’inclusion vient du point 15 et
de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,S .
7. La première non-inclusion vient du point 13 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . La seconde non∃,P
bp ⊆ |∼bp .
8. La première non-inclusion vient du point 14 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.28, fig. D.13 page 188), {n} est inclus dans toutes les bp-extensions
préférées, mais pas dans toutes les extensions préférées.
9. La non-inclusion vient du point 15 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . L’inclusion vient du point 15 et
de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P .
10. La première non-inclusion vient du point 13 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S . La seconde non∃,P
bp ⊆ |∼bp .
11. La première non-inclusion vient du point 14 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S . Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.28, fig. D.13 page 188), {n} est inclus dans toutes les bp-extensions
préférées, mais aucune extension stable.
12. La non-inclusion vient du point 15 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S . L’inclusion vient du point 15 et
de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,S .
13. Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.25, fig. D.10 page 186), {a, d} est inclus dans
l’extension de base, mais dans aucune bp-extension préférée. La seconde non-inclusion vient du
∃,P
point 14 et de IV montrant |∼∀,P
bp ⊆ |∼bp .
14. Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.25,fig. D.10 page 186), {a, d} est inclus dans
l’extension de base, mais dans aucune bp-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion, dans
BAF (ex. D.28, fig. D.13 page 188), {n} est inclus dans toutes les bp-extensions préférées, mais
pas dans l’extension de base.
15. Pour la non-inclusion, dans BAF (ex. D.25,fig. D.10 page 186, {a} est inclus dans l’extension de
base, mais pas dans la bp-extension faible. L’inclusion vient du lemme 6.4 page 86.
inférentielles des relations d’inférence classique en absence d’extension stable sont synthétisés dans le
tableau D.7.
|∼∃,P
|∼∀,P
|∼.,G
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 4
6⊆, 6⊇ 7
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇ 2
6⊆, 6⊇ 5
6⊆, 6⊇ 8
|∼.,W
bp
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 6
6⊆, ⊇ 9
TAB . D.7 – Liens entre les relations d’inférence classique et de bp-inférence en absence d’extension stable.
194
|∼.,G ⊆ |∼∀,P ⊆ |∼∀,S ⊆ |∼∃,S ⊆ |∼∃,P
(III)
∀,S
∃,S
∃,P
|∼∀,P
bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp
(IV)
n’existe ni extension stable, ni p-extension stable, ni bp-extension stable.
bp ⊆ |∼bp .
3. La non-inclusion vient du point 9 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P . L’inclusion vient du point 9 et de
III montrant |∼.,G ⊆ |∼∃,P .
4. La première non-inclusion vient du point 7 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . La seconde non∀,P
inclusion vient du point 5 et de IV montrant |∼bp
⊆ |∼∃,P
bp .
5. La première non-inclusion vient du point 8 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.29, fig. D.14 page 188), {n} est inclus dans toutes les bp-extensions
préférées, mais pas dans toutes les extensions préférées.
6. La non-inclusion vient du point 9 et de III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P . L’inclusion vient du point 9 et de
III montrant |∼.,G ⊆ |∼∀,P .
base, mais dans aucune bp-extension préférée.
Exemple D.34 Soit AF19 = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, e, i, n, o}, Ratt = {(i, b), (b, a),
(a, o), (o, b), (c, a), (n, c), (n, n), (e, c)} et Rapp = ∅. Le graphe des interaction de BAF est représenté figure D.19.
i
b
a
c
o
e
n
E1 = {i, e, a} est l’extension préférée et de base de BAF . E2 = {e, i} est la bp-extension préférée
∃,P
bp ⊆ |∼bp .
base, mais dans aucune bp-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion, dans BAF (ex. D.29,
fig. D.14 page 188), {n} est inclus dans toutes les bp-extensions préférées, mais pas dans l’extension
de base.
9. Pour la non-inclusion, dans BAF (ex. D.26, fig. D.11 page 186), {a} est inclus dans l’extension de
base, mais pas dans la bp-extension faible. L’inclusion vient du lemme 6.4 page 86.
en présence de bp-extension stable sont synthétisés dans le tableau D.8 page suivante
195
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
∀,P
|∼p
|∼∀,S
p
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 6
⊆, 6⊇ 11
⊆, 6⊇ 16
|∼∃,S
bp
6⊆, ⊇ 2
6⊆, ⊇ 7
⊆, 6⊇ 12
⊆, 6⊇ 17
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 8
6⊆, 6⊇ 13
6⊆, 6⊇ 18
|∼∀,S
bp
6⊆, ⊇ 4
6⊆, ⊇ 9
⊆, 6⊇ 14
⊆, 6⊇ 19
.,W
|∼.,W
bp = |∼p
6⊆, ⊇ 5
6⊆, ⊇ 10
⊆, 6⊇ 15
6⊆, ⊇ 20
TAB . D.8 – Liens entre les relations de p-inférence et de bp-inférence en présence de bp-extension stable.
Démonstration D’après le lemme 5.5 page 60, on a la chaîne d’inclusions II suivante :
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p
(II)
∀,S
∃,S
∃,P
|∼∀,P
bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp
(IV)
.,W
Comme, il existe une bp-extension stable, d’après la proposition 6.5 page 87 |∼.,W
bp = |∼p .
Explication des liens entre les relations de p-inférence et les relations de bp-inférence en présence de
bp-extension stable.
1. La non-inclusion vient du point 6 et de II montrant |∼∃,S
⊆ |∼∃,P
p
∃,P
p ⊆ |∼p . L’inclusion vient du point 7 et de
∃,P
II montrant |∼∃,S
p ⊆ |∼p .
3. La non-inclusion vient du point 13 et de II montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,P
p
p . L’inclusion vient du point 8 et
∃,P
de II montrant |∼∃,S
⊆
|∼
.
p
p
∃,P
p ⊆ |∼p . L’inclusion vient du point 9 et de
∃,P
II montrant |∼∃,S
p ⊆ |∼p .
5. La non-inclusion vient du point 20 et de II montrant |∼∀,S
⊆ |∼∃,P
p
∃,P
de II montrant |∼∀,S
⊆
|∼
.
p
p
6. Dans BAF (ex. D.35, fig. D.20), {b} est inclus dans une p-extension stable, mais dans aucune bpextension préférée.
Exemple D.35 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, u}, R = {(b, a), (c, a),
(c, d), (d, b), (b, u), (u, c)} et Rapp = {(c, d), (b, u)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.20.
a
c
b
d
u
196
E1 = {b, c} et E2 = {a, d, u} sont les p-extensions préférées (resp. p-extensions stables) de BAF .
E2 est l’unique bp-extension préférée (resp. bp-extension stable) de BAF . ∅ est la p-extension faible
7.
8.
9.
10.
Dans BAF (ex. D.32, fig. D.17 page 191), {a} est inclus dans une bp-extension préférée, mais dans
aucune p-extension stable.
Dans BAF (ex. D.35, fig. D.20 page ci-contre), {b} est inclus dans une p-extension stable, mais
dans aucune bp-extension stable. Voir le lemme 6.1 page 83.
La non-inclusion vient du point 13 et de II montrant |∼∀,P
⊆ |∼∃,S
p
∀,P
∀,S
de IV montrant |∼bp ⊆ |∼bp .
Dans BAF (ex. D.35, fig. D.20 page ci-contre), {b} est inclus dans une p-extension stable, mais
∃,S
dans aucune bp-extension stable. L’inclusion vient de IV montrant |∼∀,S
bp ⊆ |∼bp et du lemme
6.1 page 83.
La non-inclusion vient du point 20 et de II montrant |∼∀,S
⊆ |∼∃,S
p
∀,S
∃,S
de II montrant |∼p ⊆ |∼p .
11. L’inclusion vient du point 16 et de II montrant |∼∀,P
⊆ |∼p∀,S . La non-inclusion vient du point 13 et
p
∀,P
∃,P
de IV montrant |∼bp ⊆ |∼bp .
⊆ |∼p∀,S . La non-inclusion vient du point 13 et
p
∃,S
bp ⊆ |∼bp .
13. Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. 3.7, fig. D.21), {c} est inclus dans toutes les pextensions préférées, mais pas dans toutes les bp-extensions préférées.
a
b
c
E1 = {a, c} et E2 = {b, c} sont les deux p-extensions préférées (resp. p-extensions stables) de
BAF . E2 est une bp-extension stable de BAF . E3 = {a} est une bp-extension préférée de BAF .
E4 = {c} est la p-extension faible et la bp-extension faible de BAF .
Pour la seconde non-inclusion, dans BAF (fig. D.20 page précédente), {d} est inclus dans toutes
les bp-extensions préférées, mais pas dans toutes les p-extensions préférées.
⊆ |∼∀,S
p
p . La non-inclusion vient du point 13 et
∀,S
⊆
|∼
.
bp
bp
15. L’inclusion vient de la proposition 6.10 page 87. Pour la non-inclusion, dans BAF
(ex. D.32, fig. D.17 page 191), {d} appartient à la bp-extension faible, mais pas à toutes les pextensions préférée.
∃,P
∃,P
bp ⊆ |∼bp .
∃,S
∃,S
bp ⊆ |∼bp .
197
18. La première non-inclusion vient du point 13 et de II montrant |∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p . Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.35, fig. D.20 page 196), {d} est inclus dans toutes les bp-extensions
préférées, mais pas dans toutes les p-extensions stables.
19. L’inclusion vient du lemme 6.1 page 83. La non-inclusion vient du point 18 et de IV montrant
∀,S
|∼∀,P
bp ⊆ |∼bp .
20. Pour la non-inclusion, dans BAF (ex. D.32, fig. D.17 page 191), {b} est inclus dans toutes les pextensions stables, mais pas dans la bp-extension faible. L’inclusion vient du tableau D.3 page 189.
en absence de bp-extension stable et en présence de p-extension stable sont synthétisés dans le tableau D.9
page 198.
|∼∃,P
p
|∼∃,S
p
∀,P
|∼p
|∼∀,S
p
|∼.,W
p
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 4
6⊆, 6⊇ 7
6⊆, 6⊇ 10
6⊆, 6⊇ 13
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇ 2
6⊆, 6⊇ 5
6⊆, 6⊇ 8
6⊆, 6⊇ 11
6⊆, 6⊇ 14
|∼.,W
bp
6⊆, ⊇ 3
6⊆, ⊇ 6
6⊆, 6⊇ 9
6⊆, ⊇ 12
6⊆, ⊇15
TAB . D.9 – Liens entre les relations de p-inférence et de bp-inférence en absence de bp-extension stable et
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p
(II)
∀,S
∃,S
∃,P
|∼∀,P
bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp
(IV)
Explications des liens entre les relations de p-inférence et les relations de bp-inférence lorsqu’il existe
une p-extension stable, mais pas de bp-extension stable.
⊆ |∼∃,P
p
⊆ |∼∃,P
p
p . L’inclusion vient de la proposi∃,P
⊆
|∼
.
bp
bp
⊆ |∼∃,P
p
.,W
∃,P
du tableau D.3 page 189 montrant |∼p ⊆ |∼p .
⊆ |∼∃,S
p
p . La seconde non∃,P
⊆
|∼
.
bp
bp
⊆ |∼∃,S
p
p . Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.27, fig. D.22 page suivante), {a} est inclus dans toutes les bp-extensions
préférées, mais dans aucune p-extension stable.
Suite de l’exemple D.27 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, e, u}, Ratt =
{(b, a), (c, a), (c, d), (d, b), (b, u), (u, c), (c, e), (e, e)} et Rapp = {(c, d), (b, u)}. Le graphe des
interactions de BAF est représenté figure D.22.
198
a
c
b
e
d
u
E1 = {b, c} est la seule p-extension stable de BAF . E2 = {a, d, u} est une p-extension préférée, et
la seule bp-extension préférée de BAF . ∅ est la p-extension faible et la bp-extension faible de BAF .
⊆ |∼∃,S
p
.,W
∃,S
7. Pour la première non inclusion, dans BAF (ex. D.33, fig. D.23), {a} est inclus dans toutes les
p-extensions préférées mais dans aucune bp-extension préférée.
Suite de l’exemple D.33 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c}, Ratt = {(b, a), (c, b)}
et Rapp = {(a, b)}. BAF est représenté figure D.23.
a
b
c
E1 = {a, c} est la p-extension stable et la p-extension faible de BAF . E2 = {c} est la seule
bp-extension préférée de BAF , c’est aussi la bp-extension faible de BAF .
∃,P
bp ⊆ |∼bp .
8. Pour la première non inclusion, dans BAF (ex. D.33, fig. D.23), {a} est inclus dans toutes les pextensions préférées mais dans aucune bp-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion, dans
BAF (ex. D.27, fig. D.22), {a} est inclus dans toutes les bp-extensions préférées, mais pas dans
toutes les p-extensions préférées.
9. Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.33, fig. D.23), {a} est inclus dans toutes les
p-extensions préférées, mais pas dans la bp-extension faible. Pour la seconde non-inclusion, dans
BAF (ex. D.30, fig. D.15 page 189), {d} est inclus dans la bp-extension faible, mais pas dans toutes
les p-extensions préférées.
⊆ |∼∀,S
p
p . La seconde non∀,P
∃,P
inclusion vient du point 11 et de IV montrant |∼bp ⊆ |∼bp .
⊆ |∼∀,S
p
p . Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.27, fig. D.22), {a} est inclus dans toutes les bp-extensions préférées,
mais pas dans aucune p-extension stable.
⊆ |∼∀,S
p
.,W
∀,S
199
13. La première non-inclusion vient du point 7 et du tableau D.3 page 189 montrant |∼∀,P
⊆ |∼.,W
p
p . La
∀,P
∃,P
seconde non-inclusion vient du point 14 et de IV montrant |∼bp ⊆ |∼bp .
14. La première non-inclusion vient du point 8 et du tableau D.3 page 189 montrant |∼∀,P
⊆ |∼.,W
p
p .
Pour la seconde non-inclusion, dans BAF (fig. D.22 page précédente), {a} est inclus dans toutes
les bp-extensions préférées, mais pas dans la p-extension faible.
15. La non-inclusion vient du point 9 et du tableau D.3 page 189 montrant |∼∀,P
⊆ |∼.,W
p
p . L’inclusion
vient du lemme 6.4 page 86.
en absence de p-extension stable sont synthétisés dans le tableau D.10.
|∼∃,P
p
|∼∀,P
p
|∼.,W
p
|∼∃,P
bp
6⊆, ⊇ 1
6⊆, 6⊇ 4
6⊆, 6⊇ 7
|∼∀,P
bp
6⊆, ⊇ 2
6⊆, 6⊇ 5
6⊆, 6⊇ 8
|∼.,W
bp
6⊆, ⊇ 3
6⊆, 6⊇ 6
6⊆, ⊇ 9
TAB . D.10 – Liens entre les relations de p-inférence et de bp-inférence en absence de p-extension stable.
∃,S
∃,P
|∼∀,P
⊆ |∼∀,S
p
p ⊆ |∼p ⊆ |∼p
(II)
∀,S
∃,S
∃,P
|∼∀,P
bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp ⊆ |∼bp
(IV)
Dans les points (a), il y a une extension stable. Dans les points (b), il n’y a pas d’extension stable.
Explications des liens entre les relations de p-inférence et les relations de bp-inférence en absence de
p-extension stable.
⊆ |∼∃,P
p
⊆ |∼∃,P
p
p . L’inclusion vient de la proposi∀,P
∃,P
tion 6.9 page 86 et de IV montrant |∼bp ⊆ |∼bp .
⊆ |∼∃,P
p
p . L’inclusion vient du point 9 et du
.,W
∃,P
tableau 5.4 page 67 montrant |∼p ⊆ |∼p .
4. (a) Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.36, fig. D.24 page suivante) {i} est inclus
dans toutes les p-extensions préférées, mais dans aucune bp-extension préférée.
Exemple D.36 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, e, v, u, i, n}, Ratt =
{(v, u), (u, i), (i, n), (n, n), (n, a), (a, e), (e, e), (b, a), (b, d), (c, a), (d, b), (d, c)} et Rapp =
{(i, u), (b, d)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.24.
E1 = {i, v, a, d} est la seule extension stable de BAF . E2 = {i, v, b, c} est une p-extension
préférée de BAF . E3 = {v, i, d} est une p-extension préférée. E4 = {v, d} est une bpextension préférée de BAF . E5 = {v, i} est la p-extension faible de BAF . E6 = {v} est la
200
v
u
i
n
a
e
c
b
d
(b) Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.37, fig. D.25) {i} est inclus dans toutes les
p-extensions préférées, mais dans aucune bp-extension préférée.
Exemple D.37 Soit BAF18 = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, e, v, u, i, n}, Ratt =
{(v, u), (u, i), (i, n), (n, n), (n, a), (e, e), (b, a), (b, d), (c, a), (d, b), (d, c)} et Rapp = {(i, u),
(b, d)}. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.25.
v
u
i
n
a
e
c
b
d
F IG . D.25 – Représentation graphique de BAF18
E1 = {i, v, b, c} et E2 = {v, i, d} sont les p-extensions préférées de BAF . E3 = {v, d} est la
bp-extension préférée de BAF . E4 = {v, i} est la p-extension faible de BAF . et E5 = {v}
est la bp-extension faible de BAF
∃,P
bp ⊆ |∼bp .
5. (a) Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.36, fig. D.24) {i} est inclus dans toutes les pextensions préférées, mais dans aucune bp-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion,
dans BAF (ex. D.36, fig. D.24), {d} est inclus dans toutes les bp-extensions préférées, mais
(b) Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.37, fig. D.25) {i} est inclus dans toutes les pextensions préférées, mais dans aucune bp-extension préférée. Pour la seconde non-inclusion,
dans BAF (ex. D.37, fig. D.25), {d} est inclus dans toutes les bp-extensions préférées, mais
6. (a) Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.36, fig. D.24) {i, v} est inclus dans toutes
les p-extensions préférées, mais pas dans la bp-extension faible. Pour la seconde non-inclusion,
dans BAF (ex. D.25, fig. D.26 page suivante), {d} est inclus dans la bp-extension faible, mais
Suite de l’exemple D.25 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e}, Ratt = {(b, a),
(e, b), (c, b), (d, c)} et Rapp = ∅. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure D.26
page suivante.
E1 = {a, d, e} est l’extension stable de BAF . E2 = {a, e} est une p-extension préférée et une
bp-extension préférée de BAF . E3 = {d, e} est une p-extension préférée, une bp-extension
préférée, la p-extension faible et la bp-extension faible de BAF .
201
a
b
c
e
d
(b) Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.37, fig. D.25 page précédente) {i, v} est
inclus dans toutes les p-extensions préférées, mais pas dans la bp-extension faible. Pour la
seconde non-inclusion, dans BAF (ex. D.38, fig. D.27), {d} est inclus dans la bp-extension
faible, mais pas dans toutes les p-extensions préférées.
Exemple D.38 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, i}, Ratt = {(b, a), (e, b),
(c, b), (d, c), (i, i)} et Rapp = ∅. Le graphe des interactions de BAF est représenté figure
D.27.
a
b
c
d
e
i
E1 = {a, e} est une p-extension préférée et une bp-extension préférée de BAF . E2 = {d, e}
est une p-extension préférée, une bp-extension préférée, la p-extension faible et la bp-extension
faible de BAF .
(a) Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.36, fig. D.24 page 201) {i} est inclus dans
la p-extension faible, mais dans aucune bp-extension préférée.
(b) Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.37, fig. D.25 page précédente) {i} est inclus
dans la p-extension faible, mais dans aucune bp-extension préférée.
∃,P
bp ⊆ |∼bp .
8. (a) Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.36, fig. D.24 page précédente) {i} est inclus dans la p-extension faible, mais dans aucune bp-extension préférée. Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.36, fig. D.24 page précédente), {d} est inclus dans toutes les
bp-extensions préférées, mais pas la p-extension faible.
(b) Pour la première non-inclusion, dans BAF (ex. D.37, fig. D.25 page précédente) {i} est inclus dans la p-extension faible, mais dans aucune bp-extension préférée. Pour la seconde noninclusion, dans BAF (ex. D.37, fig. D.25 page précédente), {d} est inclus dans toutes les
bp-extensions préférées, mais pas dans la p-extension faible.
7.
202
D.2. Systèmes d’argumentation à contrainte
9.
(a) Pour la non-inclusion, dans BAF (ex. D.36, fig. D.24 page 201) {i, v} est inclus dans la pextensions faible, mais pas dans la bp-extension faible.
(b) Pour la non-inclusion, dans BAF (ex. D.37, fig. D.25 page 201) {i, v} est inclus dans la pextensions faible, mais pas dans la bp-extension faible.
L’inclusion vient du lemme 6.4 page 86.
Proposition 6.21 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini et S ⊆ A. Les
résultats de complexité du tableau D.11 sont vérifiés.
Question
S est-il sans bp-conflit?
S est-il bp-admissible?
S est-il la bp-extension faible?
S est-il inclus dans la bp-extension faible?
S est-il une bp-extension stable?
S est-il une bp-extension préférée?
AF a-t-il une bp-extension stable?
AF est-il bp-trivial?
S est-il inclus dans une bp-extension préférée?
S est-il inclus dans une bp-extension stable?
S est-il inclus dans toutes les bp-extensions stables?
S est-il inclus dans toutes les bp-extensions préférées?
AF est-il bp-cohérent?
Complexité
dans P
dans P
dans P
dans P
dans P
dans coNP
dans NP
dans coNP
dans NP
dans NP
dans coNP
dans ΠP2
dans ΠP2
TAB . D.11 – Résultats de complexité lors de la prise en compte des bp-conflits.
Démonstration
– L’appartenance : Il est facile de voir que:
– DÉCIDER SI UN ENSEMBLE D ’ ARGUMENTS EST SANS BP - CONFLIT,
– DÉCIDER SI UN ENSEMBLE D ’ ARGUMENTS EST BP - ADMISSIBLE,
– et DÉCIDER SI UN ENSEMBLE D ’ ARGUMENTS EST UNE BP - EXTENSION
STABLE
sont dans P.
Nous pouvons donc récupérer les preuves pour l’appartenance de la démonstration de la proposition 5.22 page 75, il suffit de remplacer toutes les particules «p-» par «bp-» et les termes «sans
conflit indirect» par «sans bp-conflit».
Le résultat indiquant que décider si un ensemble S est une bp-extension est dans coNP, nous permet
de déduire que DÉCIDER SI UN AF EST BP - COHÉRENT est dans Πp2 (il suffit de s’intéresser au
problème complémentaire donc de deviner S ′ ⊆ A, de vérifier à l’aide d’un oracle NP que S ′ est
une bp-extension préférée et de vérifier en temps polynomial que S ′ n’est pas une bp-extension
stable)
D.2 Systèmes d’argumentation à contrainte
Tous les exemples de cette partie sont repris dans l’annexe F page 219.
203
Proposition 6.22 La notion de C-extension de base d’un système d’argumentation à contrainte est bien
fondée et la C-extension de base de chaque système d’argumentation à contrainte CAF peut être calculée
imin
i+1
i
(M ) = FCAF,Ω
(M ), et M est le
comme FCAF,Ω
(M ) lorsque imin est le plus petit entier i tel que FCAF,Ω
plus petit élément de (Ω, ⊆).
Démonstration Comme A est fini, chaque chaîne C = {A1 , A2 , . . . } d’ensembles de Ω est finie et possède
ainsi un plus grand élément Ak qui est aussi la borne supérieure de C. Comme FCAF,Ω est une fonction
monotone de Ω vers Ω, nous avons aussi sup({FCAF,Ω (A1 ), FCAF,Ω (A2 ), . . .}) = FCAF,Ω (Ak ), ce qui
montre que FCAF,Ω est une fonction continue au sens de Scott. Par ailleurs, (Ω, ⊆) possède un plus petit
élément et A est fini, (Ω, ⊆) est un ordre partiel complet. D’où, d’après les théorèmes de Knaster-Tarski
et de Scott, le plus petit point fixe de FCAF,Ω existe, et puisque A est fini, il peut être obtenu comme étant
imin
i+1
i
(M ) = FCAF,Ω
(M ), et M est le plus petit
FCAF,Ω
(M ) où imin est le plus petit entier i tel que FCAF,Ω
élément de l’ordre partiel complet (Ω, ⊆).
1. Pour chaque ensemble C-admissible S de CAF , il existe une C-extension préférée E de CAF telle
que S ⊆ E.
2. Si CAF ′ = hA, R, C ′ i est un système d’argumentation à contrainte tel que C ′ |= C, alors Ω′ ⊆ Ω.
Démonstration
1. Trivial puisque A est fini.
2. Vient du fait que si l’ensemble d’arguments S est tel que Sb |= C ′ et que C ′ |= C, alors Sb |= C.
Proposition 6.24 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Pour chaque Cextension préférée E de CAF , il existe une extension préférée E ′ de hA, Ri tel que E ⊆ E ′ .
Démonstration Soit E une C-extension préférée. Alors E est C-admissible pour CAF . D’où E est admissible pour AF = hA, Ri. Alors d’après le théorème 2.1 page 17, E est inclus dans une extension préférée
de E ′ de AF .
Proposition 6.25 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte et S ⊆ A un ensemble
sans conflit qui satisfait C. S est C-admissible pour CAF si et seulement si S ⊆ FCAF (S).
Démonstration Soit a ∈ S. Puisque S est C-admissible pour CAF , S est admissible pour hA, Ri, d’où a
est acceptable par rapport à S. De plus, S ∪ {a} = S satisfait C. En conséquence, a ∈ FCAF (S). Pour la
réciproque, soit S ⊆ A tel que S ⊆ FCAF (S), S est sans conflit et S satisfait C. Par définition de FCAF ,
nous savons que pour chaque S ⊆ A FCAF (S) ⊆ FAF (S). D’où S ⊆ FAF (S). Puisque S est sans conflit,
nous savons d’après (Dun95) que S est admissible pour hA, Ri. Puisque S satisfait C, S est C-admissible
pour CAF .
1. chaque C-extension stable de CAF est une C-extension préférée de CAF . La réciproque n’est pas
vérifiée.
2. Chaque C-extension stable de CAF est une extension stable (d’où une extension préférée ou complète) de hA, Ri. La réciproque n’est pas vérifiée.
Démonstration
1. Si S est une C-extension stable de CAF alors pour chaque a ∈ A \ S, il existe b ∈ S tel que
(b, a) ∈ R. D’où S ∪ {a} n’est pas admissible pour hA, Ri car non sans conflit. Donc, S est un
204
sous-ensemble de A C-admissible pour CAF qui est maximal par rapport à ⊆, i.e. une C-extension
préférée de CAF .
Dans l’exemple 6.8 (figure D.28) {a, e} est une C-extension préférée, mais pas une C-extension
stable, montrant ainsi que la réciproque n’est pas vérifiée.
2. Trivial suivant la définition d’une C-extension stable.
Dans l’exemple 6.8 (figure D.28) {a, d, e} est une extension stable, mais n’est pas une C-extension
stable, montrant ainsi que la réciproque n’est pas vérifiée.
Suite de l’exemple 6.8 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d, e, f }, R = {(a, b), (a, c), (b, d),
(c, e), (e, f ), (f, e)} et C = ¬a ∨ ¬d ∨ ¬e. Le graphe d’attaque de CAF est représenté figure D.28.
b
d
c
e
a
f
F IG . D.28 – Représentation graphique de hA, Ri.
Proposition 6.27 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Ni l’ensemble de tous
les ensembles vérifiant C, ni Ω ne constitue nécessairement un ordre partiel complet pour ⊆.
Démonstration
Exemple D.39 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b}, R = {(a, b), (b, a)} et C = a ∨ b. Le graphe
d’attaque de hA, Ri est représenté figure D.29.
a
b
S1 = {a}, S2 = {b} et S3 = {a, b} sont les ensembles vérifiant C. Pourtant l’ensemble formé de S1 ,
S2 et de S3 muni de ⊆ ne possède pas de minorant.
De même S1 et S2 sont les ensembles C-admissibles de CAF . Pourtant l’ensemble formé de S1 et de
S2 muni de ⊆ ne possède pas de minorant.
base de CAF existe, elle est incluse dans chaque C-extension préférée (et donc chaque C-extension stable)
de CAF .
Démonstration Ce résultat vient du fait que chaque C-extension préférée de CAF est un point fixe de
FCAF,Ω , et que la C-extension de base de CAF est le plus petit point fixe de FCAF,Ω .
205
base de CAF existe, alors elle coïncide avec la C-extension faible de CAF .
Démonstration Découle immédiatement des définitions de la C-extension faible et de la C-extension de
base d’un système d’argumentation à contrainte.
Proposition 6.30 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Si la C-extension faible
de CAF existe, alors elle est incluse dans chaque extension stable de CAF .
Démonstration Le résultat est trivial si CAF n’a pas de C-extension stable. Sinon, nous montrons par
i
induction sur i ≤ icon que pour chaque C-extension stable S de CAF , l’inclusion FCAF,Ω
(M ) ⊆ S est
0
vérifiée. Le cas de base est quand i = 0 : FCAF,Ω (M ) = M est inclus dans S puisque S est C-admissible
pour CAF et M est le plus petit C-admissible ensemble de CAF . Maintenant, nous supposons que la
propriété est vérifiée pour chaque i tel que i ≤ k < icon et nous montrons qu’elle est encore vrai pour
k+1
(M ) qui n’appartienne pas à une C-extension stable S
i = k + 1. Supposons qu’il existe a ∈ FCAF,Ω
de CAF . Puisque a 6∈ S, il existe b ∈ S tel que b attaque a. Puisque a est acceptable par rapport à
k
k
FCAF,Ω
(M ), a est défendu contre b par un élément c ∈ FCAF,Ω
(M ). Mais, l’hypothèse d’induction dit
que c ∈ S, d’où S n’est pas sans conflit, ce qui est impossible puisque S est une C-extension stable.
Proposition 6.31 Les capacités inférentielles du tableau D.2 sont vérifiées pour chaque système d’argumentation à contrainte CAF possédant une C-extension faible et une C-extension stable, mais pas de
|∼∀,P
|∼∃,P
|∼∀,S
|∼∃,S
|∼.,W
|∼∀,P
⊆1
6⊆ 6
6⊆11
6⊆16
6⊆ 21
|∼∃,P
⊆2
⊆7
⊆ 12
⊆17
⊆ 22
|∼∀,S
⊆3
6⊆ 8
⊆13
6⊆ 18
⊆ 23
|∼∃,S
⊆4
6⊆ 9
⊆ 14
⊆ 19
⊆ 24
|∼.,W
6⊆5
6⊆ 10
6⊆ 15
6⊆ 20
⊆ 25
TAB . D.12 – Liens entre les relations d’inférence pour CAF
Démonstration Les points 1., 7., 13., 19. et 25. sont triviaux. Les points 3. 12. et 17. viennent de la
2. Découle du fait que CAF possède une C-extension stable, donc d’après la proposition 6.26 page 101
une C-extension préférée.
4. Vient du point 3.
5. Dans CAF (ex. D.40, fig. D.30 page ci-contre), {i} est inclus dans toutes les C-extensions préférées,
mais n’est pas inclus dans la C-extension faible.
Exemple D.40 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d, e, f, n, i}, R = {(a, b), (a, c), (b, d),
(c, e), (e, f ), (f, e), (e, n), (f, n), (n, i)} et C = ¬a ∨ ¬d ∨ ¬e. Le graphe d’attaque de CAF est
représenté figure D.30 page suivante.
CAF ne possède pas de C-extension de base (car FCAF,Ω n’est pas monotone, FCAF,Ω ({a}) =
{a, d} 6⊆ FCAF,Ω ({a, e}) = {a, e}). E1 = {a, d} est la C-extension faible CAF . E2 = {a, d, f, i}
et E3 = {a, e, i} sont les C-extensions préférées de CAF . E2 est la C-extension stable de CAF .
6. Dans CAF (ex. D.40, fig. D.30 page ci-contre), {d} est inclus dans une C-extension préférée, mais
pas dans toutes.
206
b
a
d
f
n
c
i
e
8. et 9. Dans CAF (ex. D.40, fig. D.30), {e} est inclus dans une C-extension préférée, mais dans aucune
C-extension stable.
10. Dans CAF (ex. D.40, fig. D.30), {d} est inclus dans une C-extension préférée, mais pas dans la
C-extension faible.
11. Dans CAF (ex. D.40, fig. D.30), {d} est inclus dans toutes les C-extensions stables, mais pas dans
toutes les C-extensions préférées.
14. Vient du fait que CAF possède une C-extension stable.
15. Dans CAF (ex. D.40, fig. D.30), {i} est inclus dans toutes les C-extensions stables, mais pas dans
la C-extension faible.
16. Dans CAF (ex. D.40, fig. D.30), {d} est inclus dans une C-extension stable, mais pas dans toutes
les C-extensions préférées.
18. Vient de l’exemple D.40 page ci-contre où l’on remplace C par ⊤. {a, d, e, i} et {a, d, f, i} sont les
deux C-extensions stables de CAF . {e} est inclus dans une C-extension stable, mais pas dans toutes.
20. Dans CAF (ex. D.40, fig. D.30), {i} est inclus dans une C-extension stable, mais pas dans la Cextension faible.
21. Dans CAF (ex. D.40, fig. D.30), {d} est inclus dans la C-extension faible, mais pas dans toutes les
C-extensions préférées.
22. Vient du point 24. et de la proposition 6.26 page 101.
23. et 24. Vient de la proposition 6.30 page 102.
Proposition 6.32 Soit AF = hA, Ri un système d’argumentation. Soit CAF = hA, R, Ci un système
d’argumentation à contrainte où C est une formule sur A valide. Alors :
1. les extensions préférées de AF sont les C-extensions préférées de CAF ;
2. les extensions stables de AF sont les C-extensions stables de CAF ;
3. l’extension de base de AF est la C-extension de base de CAF (elle coïncide avec la C-extension
faible de CAF ).
Démonstration Les point 1. et 2. sont triviaux ; le point 3. vient du fait que (Ω, ⊆) est un ordre partiel
complet et que FCAF,Ω est continue de Ω vers Ω quand C est valide (théorème 1 de (Dun95)).
Proposition 6.33 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentationVbipolaire (fini). Soit
CAF = hA, Ratt , Ci un système d’argumentation à contrainte tel que C = (a,b)∈Rapp (a ⇒ b). Alors :
1. les extensions faiblement c-préférées de BAF sont les C-extensions préférées de CAF ;
2. les extensions faiblement c-stables de BAF sont les C-extensions stables de CAF .
Démonstration Trivial car vérifier que l’ensemble d’ arguments S est tel que pour chaque a, b ∈ A, si
(a, b) ∈ Rapp et a ∈ S, alors b ∈ S revient exactement à vérifier que Sb |= C.
207
Proposition 6.34 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte. Si C est équivalent à
une conjonction de clauses de la forme ¬x ∨ y avec x, y ∈ A, alors (Ω, ⊆) possède un plus petit élément
et FCAF,Ω est une fonction monotone de Ω dans Ω.
Démonstration Premièrement, C possède un plus petit élément puisque ∅ est admissible pour hA, Ri
et satisfait C. Pour la monotonie, considérons deux sous-ensemble S et S ′ de Ω tel que S ⊆ S ′ . Soit
a ∈ FCAF,Ω (S). Par définition, a est acceptable par rapport à S. D’où, a est aussi acceptable par rapport
à S ′ . De plus, S ∪ {a} satisfait C. Supposons maintenant que S ′ ∪ {a} ne satisfasse pas C. Alors il existe
une clause ¬x ∨ y de C qui n’est pas satisfaite par S ′ ∪ {a}. Puisque S ′ satisfait C, nous sommes dans le
cas x = a et y 6∈ S ′ . D’où, y 6∈ S. Donc S ∪ {a} ne satisfait pas ¬a ∨ y, contradiction. Finalement, il reste
à montrer que pour chaque S ∈ Ω, nous avons FCAF,Ω (S) ∈ Ω. Puisque le lemme fondamental de Dung
(Dun95) (lemme 2.1 page 17) assure que FCAF,Ω (S) est admissible pour hA, Ri, il suffit de montrer que
FCAF,Ω (S) satisfait C. Supposons que ce n’est pas le cas. Alors il existe une clause ¬x ∨ y de C tel que
FCAF,Ω (S) satisfait x et ne satisfait pas y. C’est équivalent de dire x ∈ FCAF,Ω (S) et y 6∈ FCAF,Ω (S).
D’où x est acceptable par rapport à S et S ∪ {x} satisfait C. Donc S ∪ {x} satisfait ¬x ∨ y. Donc y ∈ S.
Maintenant pour chaque S ∈ Ω, nous avons S ⊆ FCAF,Ω (S) ; en fait, si a appartient à S, alors a est
acceptable par rapport à S puisque S ∈ Ω ; en plus, S ∪ {a} = S satisfait C puisque S ∈ Ω. Finalement,
puisque y ∈ S, nous devons avoir y ∈ FCAF,Ω (S), contradiction.
Proposition 6.35 Soit AF = hA, Ri un système
d’argumentation fini, et CAF = hA, R, Ci le système
V
d’argumentation à contrainte tel que C = (a,b)∈A×A | a attaque indirectement b (a ⇒ ¬b). Alors :
1. les p-extensions préférées de AF sont les C-extensions préférées de CAF ;
2. les p-extensions stables de AF sont les C-extensions stable de CAF ; la p-extension faible de AF
est la C-extension faible de CAF .
Démonstration Pour les deux premiers points, directe puisque C interdit aux arguments a et b d’appartenir
à un même ensemble C-admissible de CAF exactement lorsque a attaque indirectement b.
Pour le troisième point. La nature de C, nous indique que les ensembles C-admissibles, sont exactement
les ensembles p-admissibles. Comme ∅ satisfait toujours la contrainte C, et est donc toujours un ensemble
C-admissible, Ω possède un plus petit élément (∅). Donc, d’après la définition 6.20 page 98, il existe une
p
p
p
(S) =
de Ω vers 2A , i.e., pour chaque S ⊆ A, FAF,Ω
la restriction de FAF
C-extension faible. Soit FAF,Ω
p
p
FAF (S) si S ∈ Ω et FAF,Ω (S) est indéfinie sinon. Au vu de la nature de C , quel que soit S ⊆ A,
p
p,i
FAF,Ω
(S) = FCAF,Ω (S). Le lemme 5.7 page 61 nous garantie que pour tout entier i positif, FAF
(∅) est
p,i
un ensemble p-admissible. Donc, pour tout entier positif i, FAF,Ω
(∅) est un ensemble p-admissible. Donc
i
pour tout entier i positif, FCAF,Ω (∅) est un ensemble C-admissible. Donc la C-extension faible est définie
i+1
i
(∅) = FCAF,Ω
(∅), ce qui est exactement la définition
à l’aide du plus petit entier positif i tel que FCAF,Ω
de la p-extension faible.
Proposition 6.36 Soit AF = hA, Ri un V
système d’argumentation fini, et CAF = hA, R, Ci le système
d’argumentation à contrainte tel que C = (a,b)∈A×A | ∃c∈A,(a,b) est super-controversé par rapport c (a ⇒
¬b). Alors :
1. les c-extensions préférées de AF sont les C-extensions préférées de CAF ;
2. les c-extensions stables de AF sont les C-extensions stables de CAF .
Démonstration Directe puisque C interdit aux arguments a et b d’appartenir à un même ensemble Cadmissible de CAF exactement lorsque (a, b) est super-controversé par rapport à un argument c.
208
Proposition 6.37 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i un système d’argumentation bipolaire fini, et CAF =
hA, R, Ci le système d’argumentation à contrainte tel que
C=
^
(a,b)∈A×A | ∃c∈A,a
appuie de manière complexe c et c attaque indirectement b
(a ⇒ ¬b).
Alors :
1. les bp-extensions préférées de AF sont les C-extensions préférées de CAF ;
2. les bp-extensions stables de AF sont les C-extensions stables de CAF ;
3. la bp-extension faible de AF est la C-extension faible de CAF .
Démonstration Pour les deux premiers points, directe puisque C interdit aux arguments a et b d’appartenir
à un même ensemble C-admissible de CAF exactement lorsque {a, b} n’est pas sans bp-conflit.
Pour le troisième point, comme ∅ satisfait toujours la contrainte C, et est donc toujours un ensemble
C-admissible, donc Ω possède un plus petit élément (∅). Donc d’après la définition 6.20 page 98, la Cextension faible existe et correspond exactement à la bp-extension faible.
Proposition 6.38 Décider si CAF = hA, R, Ci est consistant est NP-complet, même si C est une formule
CNF positive ou une formule CNF négative.
Démonstration L’appartenance est facile. La difficulté est obtenue par une réduction depuis 3- CNF - SAT.
Pour chaque formule 3 − CN F Σ sur {x1 , . . . , xn }, nous associons en temps polynomial le système
d’argumentation à contrainte CAF = hA, R, Ci où A = {x1 , . . . , xn , x′1 , . . . , x′n },
R = {(xi , x′i ), (x′i , xi ) | i = 1 . . . n} et C est une formule positive (resp. négative) obtenue en remplaçant
dans Σ chaque littéral négatif ¬xi par x′i (resp. chaque littéral positif xi par ¬x′i ). Σ est satisfaisable si et
seulement si CAF est consistant.
1. Décider si Ω possède un plus petit élément est coNP-difficile et dans Θp2 .
2. Décider si Ω possède un plus petit élément et FCAF,Ω est une fonction monotone de Ω dans Ω est
coNP-difficile et dans Θp2 .
3. Décider si CAF possède une C-extension stable est NP-complet (même lorsque CAF est su consistant).
Démonstration
1. Pour l’appartenance : dans (DB04) (proposition 6), il est montré comment un système d’argumentation AF = hA, Ri peut être associé en temps polynomial à une formule propositionnelle CAF sur
A telle que S ⊆ A est admissible pour hA, Ri si et seulement si S satisfait CAF . Ainsi, S ⊆ A
est C-admissible pour CAF si et seulement si S satisfait CAF ∧ C. D’où, Ω possède un plus petit
élément si et seulement si CAF ∧ C possède un plus petit modèle par rapport à ⊆. Ceci est vérifié si
et seulement si la clôture CW A(CAF ∧ C) de CAF ∧ C sous l’hypothèse des mondes clos possède
un modèle ; ce plus petit modèle M de CAF ∧ C est
V l’unique modèle de CW A(CAF ∧ C), qui peut
être calculé comme CW A(CAF ∧ C) = CAF ∧ C ∧ a∈A | CAF ∧C6|=a ¬a (voir lemme 5 dans (EG92)).
Par conséquent, décider si Ω possède un plus petit élément équivaut à décider si CW A(CAF ∧ C) est
consistant, ce qui est dans Θp2 (et non dans coBH2 à moins que la hiérarchie polynomiale s’effondre)
(EG92).
La difficulté vient du fait que décider si la clôture d’une formule propositionnelle Σ sur A est consistante est coNP-difficile (EG92).
209
2. Pour l’appartenance, nous pouvons réutiliser celle développée au point 1. en ajoutant en plus la
condition que FCAF,Ω soit une fonction monotone de Ω dans Ω n’augmente pas la complexité, car
il est facile de montrer que si FCAF,Ω est une fonction monotone de Ω dans Ω est dans coNP.
Pour la difficulté : nous proposons une réduction depuis UNSAT. Soit Σ une formule propositionnelle sur {x1 , . . . , xn }. Nous pouvons associer en temps polynomial à Σ le système d’argumentation à contrainte CAFV = hA, R, Ci où A = {x1 , . . . , xn , y1 , y2 }, R = ∅ et C = (Σ ∧ (y1 ∨
y2 ) ∧ (¬y1 ∨ ¬y2 )) ∨ ( ni=1 ¬xi ∧ ¬y1 ∧ ¬y2 )i. Si Σ n’est satisfaisable alors Ω = {∅} ; puisque
FCAF,Ω (∅) = ∅, FCAF,Ω est une fonction monotone de Ω dans Ω. Si Σ est satisfaisable, alors il existe
S ⊆ {x1 , . . . , xn } tel que S satisfait Σ. Puisque R = ∅, tous les sous-ensembles {x1 , . . . , xn , y1 , y2 }
sont admissibles pour hA, Ri et chaque argument de A est acceptable par rapport à lui-même.
Par construction, S ∪ {y1 } et S ∪ {y2 } satisfont C mais aucun S ′ ⊆ {x1 , . . . , xn , y1 , y2 } tel que
S ∪ {y1 , y2 } ⊆ S ′ , S ′ ne satisfait C. D’où FCAF,Ω (S) 6∈ Ω.
3. L’appartenance est facile (deviner S ⊆ A et vérifier en temps polynomial que c’est une C-extension
stable de CAF ).
La difficulté vient de (DT96; DBC02b) dans la restriction où C est valide.
Proposition 6.40 Soit CAF = hA, R, Ci un système d’argumentation à contrainte et S ⊆ A. Le problème
de décider si CAF |∼q,s S est vérifiée (et on vérifie d’abord que les extensions existent lorsque s = G ou
s = W ) admet les complexités indiquées dans le tableau D.13.
|∼∀,P
|∼∃,P
|∼∀,S
|∼∃,S
|∼.,G
|∼.,W
Πp2 -complet
NP-complet
coNP-complet
NP-complet
TAB . D.13 – Complexité des inférence dans les systèmes d’argumentation à contrainte
Démonstration Intéressons-nous d’abord aux quatre premières ligne du tableau D.13. Tous les résultats
de difficulté viennent de la proposition 6.32 page 103 et des résultats de (DT96; DBC02b), et sont valables
lorsque le système d’argumentation à contrainte CAF est consistant. En ce qui concerne l’appartenance,
nous avons montré dans (CMDM05c) que considérer un ensemble d’arguments S comme entrée (à la
place d’un argument) n’augmente pas la complexité des questions d’inférence dans le cadre de Dung. Des
preuves d’appartenance similaires peuvent être faites ici, en prenant en compte que décider si S satisfait
C est facilement fait en temps polynomial dans la taille de l’entrée (i.e. |CAF | + |S|). Intéressons-nous
maintenant aux deux dernières lignes du tableau D.13. Puisque décider si S satisfait C est facile pour
chaque S ⊆ A, FCAF,Ω (S) peut être calculé en temps polynomial en |CAF | ; en conséquence, calculer
la C-extension de base de CAF et calculer la C-extension faible de CAF est aussi difficile à calculer que
calculer le plus petit modèle M de C (ce qui requiert de déterminer s’il existe). Une fois M disponible, il
suffit d’appliquer itérativement FCAF,Ω sur M , jusqu’à (1) trouver un point fixe ou (2) obtenir un ensemble
qui ne satisfait pas C. Puisque FCAF,Ω (S) peut être calculé en temps polynomial en |CAF |, que décider
si S satisfait C est facile et que le nombre d’itérations est borné par |A|, le processus peut être calculé
en temps polynomial en |CAF | lorsque M est donné. Dans le cas (1), le point fixe est la C-extension de
base de CAF (qui coïncide avec la C-extension faible de CAF ), alors que dans le cas (2) il n’y a pas de
C-extension de base mais l’ensemble obtenu à l’avant dernière-itération est la C-extension faible de CAF .
Finalement, puisque M est l’unique modèle de CW A(C), le calculer peut être réaliser en O(|A|) appels à
un oracle NP (c’est immédiat d’après la définition de CW A(C)).
210
– S ⊆ A est une C-extension stable de CAF si et seulement si S satisfait la formule
^
^
(
(a ⇔
¬b)) ∧ C.
a∈A
b | (b,a)∈R
– S ⊆ A est une C-extension préférée de CAF si et seulement si Sb est un modèle maximal de la
formule
^
^
^
_
(
((a ⇒
¬b) ∧ (a ⇒
(
c)))) ∧ C.
a∈A
b | (b,a)∈R
b | (b,a)∈R c | (c,b)∈R
Démonstration
– Directe depuis la proposition 5.1 de (Cre95) car une C-extension stable de CAF est une extension
stable de CAF qui satisfait C, et que la réciproque est aussi vérifiée.
– Directe depuis la proposition 6 de (DB04) car un ensemble C-admissible pour CAF est un ensemble
admissible pour CAF qui satisfait C, et les C-extensions préférées de CAF sont les ensembles
maximaux pour ⊆ parmi les ensembles C-admissibles.
211
212
E
Exemples pour les systèmes
d’argumentation bipolaires
Exemple 6.1 page 78 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b1 , b2 , c1 , c2 , c3 , d}, Aatt = {(b1 , a), (b2 , a),
(c1 , b1 ), (c2 , b2 ), (c3 , b2 ), (c1 , c2 )} et Rapp = {(d, c1 )}.
E1 = {d, c1 , c3 , a} est l’extension préférée, l’extension stable
a
et l’extension de base de BAF .
E1′ = {d, c1 , c3 } est la bp-extension préférée et la bp-extension
faible de BAF . Il n’y a pas de bp-extension stable.
b1
b2
E1′ est la p-extension préférée et la p-extension faible de BAF .
c1
c2
c3
d
Exemple 6.2 page 79 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, i}, Ratt = {(b, a), (e, b), (c, b),
(d, c)} et Rapp = {(i, d), (i, e)}.
a
b
c
e
d
i
E1 = {d, e, i, a} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension
e base de BAF .
E1′ = {d, e, i} et E2′ = {e, a} sont les bp-extensions préférées de BAF .
E1′ est la bp-extension faible de BAF . Il n’y a pas de bp-extension stable.
E1′ et E1′′ = {i, e, a} sont les p-extensions préférées de BAF . E1′ est la
p-extension faible. Il n’y a pas de p-extension stable.
Exemple 6.3 page 79 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b1 , b2 , c0 , c1 , c2 , c3 , d, e}, Aatt = {(b1 , a),
(b2 , a), (c0 , b1 ), (c1 , b1 ), (c2 , b2 ), (c3 , b2 ), (c1 , c2 )} et Rapp = {(e, b2 ), (d, c1 )}.
E1 = {d, e, c0 , c1 , c3 , a} est l’extension préférée, l’extension
stable et l’extension de base de BAF .
a
E1′ = {d, e, c0 , c1 , c3 } et E2′ = {c0 , c3 , a} sont les bpextensions préférées de BAF . E1′ est la bp-extension faible de
c0
e
b1
b2
BAF . Il n’y a pas de bp-extension stable.
E1′ et E1′′ = {d, e, c0 , c3 , a} sont les p-extensions préférées de
c1
c2
c3
BAF . E1′ est la p-extension faible. Il n’y a pas de p-extension
d
faible.
Exemple 6.4 page 80 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b}, Aatt = {(a, b), (b, a)} et Rapp = {(a, b),
(b, a)}.
213
Annexe E. Exemples pour les systèmes d’argumentation bipolaires
a
b
E1 = {a} et E2 = {b} sont les extensions préférées, les extensions stables
de BAF . E3 = ∅ est l’extension de base de BAF .
E3 est la bp-extension préférée et la bp-extension faible de BAF . Il n’y a
pas de bp-extension stable.
E1 et E2 sont les p-extensions préférées, les p-extensions stables de BAF .
E3 est la p-extension faible de BAF .
Exemple 6.5 page 81 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, u}, Ratt = {(d, a), (c, d),
(d, b), (b, u), (u, c), (a, a)} et Rapp = {(c, d), (b, u)}.
E1 = {c, b} et E2 = {d, u} sont les extensions préférées de BAF .
a
E2 est l’extension stable de BAF . E3 = ∅ est l’extension de base de
BAF .
c
b
E2 est la bp-extension préférée et la bp-extension stable de BAF . E3
est la bp-extension faible.
d
E1 et E2 sont les p-extensions préférées de BAF . E2 est la pextension stable de BAF . E3 est la p-extension faible de BAF .
u
Exemple 6.6 page 84 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, n, i}, Ratt = {(b, a), (c, a),
(n, c), (d, b), (i, b), (e, c), (i, e)} et Rapp = ∅.
E1 = {a, d, i, n} est l’extension préférée, l’extension stable et l’exa
tension de base de BAF .
E1′ = {d, i, n} et E2′ = {d, n, a} sont les bp-extensions préférées
c
b
de BAF . E1′ est la bp-extension faible de BAF . Il n’y a pas de bpextension stable.
e
n
d
E1′ et E2′ sont les p-extensions préférées. E1′ est la p-extension faible
de BAF . Il n’y a pas de p-extension stable.
i
Exemple D.20 page 179 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b}, Aatt = {(a, b), (b, a)} et Rapp = ∅.
E1 = {a} et E2 = {b} sont les extensions préférées, les extensions stables
de BAF . E3 = ∅ est l’extension de base de BAF .
E1 et E2 sont les bp-extensions préférées, les bp-extensions stables de
a
b
BAF . E3 est la bp-extension faible de BAF .
E1 et E2 sont les p-extensions préférées, les p-extensions stables de BAF .
E3 est la p-extension faible de BAF .
Exemple D.21 page 183 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, i, n}, Ratt = {(i, e), (i, n),
(e, n), (n, a), (b, a), (c, a), (d, c) (b, d), (d, b)} et Rapp = ∅.
E1 = {i, a, d} et E2 = {i, b, c} sont les extensions préférées,
les extensions stables de BAF . E3 = {i} est l’extension de
e
n
a
i
base de BAF .
E1′ = {i, d} et E2 sont les bp-extensions préférées de BAF . E2
c
est la bp-extension stable de BAF . E3 est la bp-extension faible
b
de BAF .
E1′ et E2 sont les p-extensions préférées de BAF . E2 est la pd
extension stable de BAF . E3 est la p-extension faible de BAF .
214
Exemple D.22 page 184 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d}, Ratt = {(b, a), (c, b), (d, c),
(c, d)} et Rapp = ∅.
E1 = {c, a} et E2 = {b, d} sont les extensions préférées et les extensions
a
stables de BAF . E3 = ∅ est l’extension de base de BAF .
E1 et E2 sont les bp-extensions préférées et les bp-extensions stables de
BAF . E3 est la bp-extension faible de BAF .
b
BAF . E3 est la p-extension faible de BAF .
c
d
Exemple D.23 page 184 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d}, R = {(a, b), (b, a), (b, c),
(c, d)} et Rapp = {(a, b)}.
E1 = {a, c} et E2 = {b, d} sont les extensions préférées et les extensions
stables de BAF . E3 = ∅ est l’extension de base de BAF .
d
E2 est la bp-extension préférée et la bp-extension stable de BAF . E3 est
c
la bp-extension faible de BAF .
BAF . E3 est la p-extension failbe de BAF .
a
b
Exemple D.24 page 185 BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d}, Aatt = {(a, b), (b, a)} et Rapp =
{(c, b), (d, a)}.
E1 = {b, c, d} et E2 = {a, c, d} sont les extensions préférées et les extensions stables de BAF . E3 = {c, d} est l’extension de base de BAF .
E1′ = {b, c}, E2′ = {a, d} et E3 sont des bp-extensions préférées de BAF .
a
c
d
b
E3 est la bp-extension faible de BAF . Il n’y a pas de bp-extension stable.
Exemple D.25 page 186 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e}, Ratt = {(b, a), (e, b),
(c, b), (d, c)} et Rapp = ∅.
a
b
c
e
E1 = {a, d, e} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension de
base de BAF .
E1′ = {a, e} et E2′ = {d, e} sont les bp-extensions préférées de BAF . E2′
est la bp-extension faible de BAF . Il n’y a pas de bp-extension stable.
E1′ et E2′ sont les p-extensions préférées de BAF . E2′ est la p-extension
faible de BAF . Il n’y a pas de p-extension stable.
d
Exemple D.26 page 186 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, n, i, v}, Ratt = {(b, a),
(c, a), (n, c), (d, b), (i, b), (e, c), (i, e), (v, c), (v, v)} et Rapp = ∅.
E1 = {a, d, i, n} est l’extension préférée et l’extension de base de
a
BAF . Il n’y a pas d’extension stable.
E1′ = {d, i, n} et E2′ = {d, n, a} sont les bp-extensions préférées
c
v
b
de BAF . E1′ est la bp-extension faible de BAF . Il n’y a pas de bpextension stable.
e
n
d
E1′ et E2′ sont les p-extensions préférées. E1′ est la p-extension faible
i
215
Exemple D.27 page 187 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, e, u}, Ratt = {(b, a), (c, a),
(c, d), (d, b), (b, u), (u, c), (c, e), (e, e)} et Rapp = {(c, d), (b, u)}.
a
c
b
e
d
u
E1 = {a, d, u} et E2 = {b, c} sont les extensions préférées de
BAF . E2 est l’extension stable de BAF . E3 = ∅ est l’extension de base de BAF .
E1 est la bp-extension préférée de BAF . E3 est la bp-extension
E1 et E2 sont les p-extensions préférées de BAF . E2 est la pextension stable de BAF . E3 est la p-extension faible de BAF .
Exemple D.28 page 187 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, i, n, u}, Ratt = {(b, a),
(a, i), (c, b), (d, c), (e, c), (d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i), (i, u), (u, u)} et Rapp = ∅.
u
a
i
b
c
n
E1 = {a, c, n} et E2 = {b, d, n} sont les extensions préférées de
BAF . E3 = {b, d, i} est l’extension stable de BAF . E4 = ∅ est
l’extension de base de BAF .
E1′ = {n} est la bp-extension préférée de BAF . E4 est la bpextension faible de BAF . Il n’y a pas de bp-extension stable.
E1′ est la p-extension préférée de BAF . E4 est la p-extension faible
e
d
Exemple D.29 page 187 Soit AF20 = hA, Ri avec A = {a, b, c, d, e, i, n, v}, Ratt = {(b, a), (a, i), (c, b),
(d, c), (e, c), (d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i), (v, e), (v, v)} et Rapp = ∅.
a
i
n
e
v
b
c
d
E1 = {a, c, n}, E2 = {b, d, i} et E3 = {b, d, n} sont les extensions préférés de BAF . E4 = ∅ est l’extension de base de BAF . Il n’y a pas
d’extension stable.
E1′ = {n} est la bp-extension préférée de BAF . E4′ est la bp-extension
E1′ est la p-extension préférée de BAF . E4′ est la p-extension faible de
BAF . Il n’y a pas de bp-extension stable.
Exemple D.30 page 189 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, e}, Ratt = {(a, b), (b, a),
(c, b), (d, c), (b, e)} et Rapp = {(b, a)}.
E1 = {b, d} et E2 = {a, d, e} sont les extensions préférées et les extensions stables de BAF . E3 = {d} est l’extension de base de BAF .
e
E3 et E1′ = {a, e} sont les bp-extensions préférées de BAF . E3 est la
bp-extension faible de BAF . Il n’y a pas de bp-extension stable.
a
c
b
d
E1 et E1′ sont les p-extensions préférées de BAF . E1 est la p-extension
stable de BAF . E3 est la p-extension faible de BAF .
Exemple D.31 page 189 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d}, R = {(a, b), (b, a), (b, c),
(c, d)} et Rapp = {(a, b), (b, a)}.
216
a
b
c
d
E1 = {a, c} et E2 = {b, d} sont les extensions préférées et les extensions stables de BAF . E3 = ∅ est l’extension de base de BAF .
E3 est la bp-extension préférée et la bp-extension faible de BAF . Il
n’y a pas de bp-extension stable.
Exemple D.32 page 191 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e}, Ratt = {(b, a), (a, b),
(c, b), (b, e), (e, e), (d, c)} et Rapp = ∅.
E1 = {b, d} et E2 = {a, d} sont les extensions préférées et les extensions
stables de BAF . E3 = {d} est l’extension de base de BAF .
e
E1 et E1′ = {a} sont les bp-extensions préférées de BAF . E1 est la bpextension stable de BAF . E3 est la bp-extension faible de BAF .
a
c
b
d
E1 et E1′ sont les p-extensions préférées de BAF . E1 est la p-extension
stable de BAF . E3 est la p-extension faible de BAF .
Exemple D.33 page 192 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c}, Ratt = {(b, a), (c, b)} et
Rapp = {(a, b)}.
E1 = {a, c} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension de
base de BAF .
E1′ = {c} est la bp-extension préférée et la bp-extension faible de BAF .
Il n’y a pas de bp-extension stable.
a
c
b
E1 est la p-extension préférée, la p-extension stable et la p-extension faible
de BAF .
Exemple D.34 page 195 Soit AF19 = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, e, i, n, o}, Ratt = {(i, b), (b, a),
(a, o), (o, b), (c, a), (n, c), (n, n), (e, c)} et Rapp = ∅.
E1 = {i, e, a} est l’extension préférée et l’extension de base de
a
c
n
E1′ = {e, i} est la bp-extension préférée et la bp-extension faible
i
b
de BAF . Il n’y a pas de bp-extension stable.
E1′ est la p-extension préférée et la p-extension faible de BAF .
o
e
Exemple D.35 page 196 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, u}, R = {(b, a), (c, a),
(c, d), (d, b), (b, u), (u, c)} et Rapp = {(c, d), (b, u)}.
a
c
b
d
E1 = {a, d, u} et E2 = {b, c} sont les extensions préférées et les
extensions stable de BAF . E3 = ∅ est l’extension de base de BAF .
E1 est la bp-extension préférée et la bp-extension stable de BAF . E3
est la bp-extension faible de BAF .
u
Exemple D.36 page 200 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, e, v, u, i, n}, Ratt = {(v, u),
(u, i), (i, n), (n, n), (n, a), (a, e), (e, e), (b, a), (b, d), (c, a), (d, b), (d, c)} et Rapp = {(i, u), (b, d)}.
217
v
u
n
i
a
e
c
b
d
E1 = {v, i, a, d} et E2 = {v, i, b, c} sont les extensions
préférées de BAF . E1 est l’extension stable de BAF .
E3 = {v, i} est l’extension de base de BAF .
E1′ = {v, d} est la bp-extension préférée de BAF . E2′ =
{v} est la bp-extension faible de BAF . Il n’y a pas de bpextension stable.
E1′′ = {v, i, d} et E2 sont les p-extensions préférées de
BAF . E3 est la p-extension faible de BAF . Il n’y a pas
de bp-extension stable.
Exemple D.37 page 201 Soit BAF18 = hA, Ratt , Rapp i tel que A = {a, b, c, d, e, v, u, i, n}, Ratt =
{(v, u), (u, i), (i, n), (n, n), (n, a), (e, e), (b, a), (b, d), (c, a), (d, b), (d, c)} et Rapp = {(i, u), (b, d)}.
E1 = {v, i, a, d} et E2 = {v, i, b, c} sont les extensions
préférées de BAF . E3 = {v, i} est l’extension de base de
v
u
n
a
e
i
E1′ = {v, d} est la bp-extension préférée de BAF . E2′ =
{v} est la bp-extension faible de BAF . Il n’y a pas de bpc
extension stable.
b
E1′′ = {v, i, d} et E2 sont les p-extensions préférées de
BAF . E3 est la p-extension faible de BAF . Il n’y a pas
d
de bp-extension stable.
Exemple D.38 page 202 Soit BAF = hA, Ratt , Rapp i avec A = {a, b, c, d, e, i}, Ratt = {(b, a), (e, b),
(c, b), (d, c), (i, i)} et Rapp = ∅.
a
b
c
d
218
e
i
E1 = {a, d, e} est l’extension préférée et l’extension de base de BAF . Il
n’y a pas d’extension stable.
E1′ = {d, e} et E2′ = {e, a} sont les bp-extensions préférées de BAF . E1′
est la bp-extension faible de BAF . Il n’y a pas de bp-extension stable.
E1′ et E2′ sont les p-extensions préférées de BAF . E1′ est la p-extension
faible de BAF . Il n’y a pas de p-extension stable.
F
Exemples pour les systèmes
d’argumentation à contrainte
Exemple 6.7 page 95 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d, e, f }, R = {(a, b), (a, c), (b, d), (c, e),
(e, f ), (f, e)} et C = ¬d ∧ (a ⇒ f ).
E1 = {a, d, e} et E2 = {a, d, f } sont les extensions stables et les
b
d
extensions préférées de CAF . E3 = {a, d} est l’extension de base
de CAF .
a
E1′ = {a, f } est la C-extension préférée de CAF . E2′ = ∅ est la Cextension faible et la C-extension de base de CAF . Il n’y a pas de
c
e
C-extension stable.
f
(e, f ), (f, e)} et C = ¬a ∨ ¬d ∨ ¬e.
b
d
de CAF .
E1′ = {a, e} et E2 = {a, d, f } sont les C-extensions préférées de
a
CAF . Seule E2 est une C-extension stable. E3 est la C-extension
faible et la C-extension de base de CAF . Il n’y a pas de C-extension
c
e
f
de base.
(e, f ), (f, e)} et C = ¬a ∧ d.
b
d
de CAF .
a
Il ni a ni C-extension préféré, ni C-extension stable, ni C-extension
faible, ni C-extension de base.
c
e
f
Exemple 6.10 page 97 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d, e, f }, R = {(a, b), (a, c), (b, d),
(c, e), (e, f ), (f, e)} et C = ¬a ∧ ¬f .
219
Annexe F. Exemples pour les systèmes d’argumentation à contrainte
b
d
c
e
a
f
de CAF .
E1′ = ∅ est la C-extension préférée, la C-extension faible et la Cextension de base. Il n’y a pas de C-extension stable.
Exemple 6.11 page 97 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, e}, R = {(b, a), (a, b), (a, e), (e, e)} et
C = {(b ⇒ a) ∧ (c ⇒ a)}.
E1 = {a, c} et E2 = {b, c} sont les extensions préférées de CAF . E1 est
e
l’extension stable de CAF . E3 = {c} est l’extension de base de CAF .
E1 est la C-extension préférée, la C-extension stable de CAF . E2′ = ∅ est
c
a
b
la C-extension faible et la C-extension de base de CAF .
Exemple 6.12 page 98 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d, e, f }, R = {(a, b), (a, c), (b, d),
(c, e), (e, f ), (f, e)} et C = a.
b
d
de CAF .
a
E1 et E2 sont les C-extensions préférées et les C-extensions stables
de CAF . E3 est la C-extension faible et la C-extension de base de
c
e
CAF .
f
Exemple 6.13 page 100 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a}, R = {(a, a)} et C = a.
E1 = ∅ est l’extension préférée et l’extension de base de CAF . Il n’y a
pas d’extension stable.
a
Il n’y a ni C-extension préférée, ni C-extension stable, ni C-extension faible,
ni C-extension de base.
Exemple 6.14 page 100 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d}, R = {(a, c), (b, c), (c, d)} et
C = d ⇒ (a ⊕ b).
E1 = {a, b, d} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension de
base de CAF .
E1 = {a, d} et E2 = {b, d} sont les deux C-extensions préférées de CAF .
Il n’y a ni C-extension stable, ni C-extension faible, ni C-extension de base.
d
c
a
b
Exemple 6.15 page 102 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b}, R = {(a, b), (b, a)} et C = a.
E1 = {a} et E2 = {b} sont les extensions stables et les extensions
préférées de CAF . E3 = ∅ est l’extension de base de CAF .
a
b
E1 = {a} est la C-extension préférée et la C-extension faible de
CAF . Il n’y a pas de C-extension stable.
Exemple 6.16 page 104 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d, e, i}, R = {(b, a), (e, b), (c, b),
(d, c)} et C = (d ⇒ ¬e) ∧ (d ⇒ ¬c) ∧ (b ⇒ ¬e) ∧ (b ⇒ ¬c).
220
a
b
c
e
d
i
E1 = {a, d, e, i} est l’extension préférée, l’extension stable et l’extension
de base de CAF .
E1′ = {a, e, i} et E2′ = {d, i} sont les C-extensions préférées de CAF .
E3′ = ∅ est la C-extension faible de CAF . Il n’y a ni C-extension stable, ni
Exemple D.39 page 205 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b}, R = {(a, b), (b, a)} et C = a ∨ b.
E1 = {a} et E2 = {b} sont les extensions préférées et les extensions
stables de CAF . E3 = ∅ est l’extension de base de CAF .
a
b
E1 et E2 sont les C-extensions préférées et les C-extensions stables de
CAF . Il n’y a ni C-extension faible, ni C-extension de base.
Exemple D.40 page 206 Soit CAF = hA, R, Ci avec A = {a, b, c, d, e, f, n, i}, R = {(a, b), (a, c), (b, d),
(c, e), (e, f ), (f, e), (e, n), (f, n), (n, i)} et C = ¬a ∨ ¬d ∨ ¬e.
E1 = {a, d, f, i} et E2 = {a, d, e, i} sont les extensions préférées et
les extensions stables de CAF . E3 = {a, d} est l’extension de base
b
d
de CAF .
a
E1 = {a, d, f, i} et E1′ = {a, e, i} sont les C-extensions préférées
f
′
n
i de CAF . E1 est la C-extension stable de CAF . E2 = {a, d} est la
C-extension faible CAF . Il n’y a pas de C-extension de base
c
e
221
Annexe F. Exemples pour les systèmes d’argumentation à contrainte
222
G
Preuves du chapitre 7 : «Fusion de systèmes
d’argumentation»
Proposition 7.1 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de n systèmes d’argumentation avec chaque AF i =
hAi , Ri , Ni i. L’ expansion consensuelle expC de AF étant donné P est une expansion de AF étant donné
P au sens de la définition 7.3 page 111.
Démonstration Considérons (a, b) ∈ A′ × A′ . Nous avons plusieurs cas :
– si (a, b) ∈ R alors (a, b) ∈ R′ et (a, b) 6∈ I ′ ∪ N ′ (donc R ⊆ R′ ) ;
– si (a, b) 6∈ R et (a, b) ∈ N alors (a, b) 6∈ I ′ ∪ R′ et (a, b) ∈ N ′ (donc N ⊆ N ′ ) ;
– si (a, b) 6∈ R ∪ N alors nous avons deux cas :
– si ∄AF i ∈ P tel que a, b ∈ Ai alors (a, b) 6∈ conf (P) ; donc (a, b) ∈ N ′ et (a, b) 6∈ R′ ∪ I ′ ;
– si ∃AF i ∈ P tel que a, b ∈ Ai alors nous avons quatre cas possible :
– Si (a, b) ∈ Ri et ∄AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Nj alors (a, b) 6∈ conf (P) ; donc (a, b) ∈ R′
et (a, b) 6∈ N ′ ∪ I ′ ;
– si (a, b) ∈ Ri et ∃AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Nj alors (a, b) ∈ conf (P) ; donc (a, b) ∈ I ′
et (a, b) 6∈ R′ ∪ N ′ ;
– si (a, b) ∈ Ni et ∄AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Rj alors (a, b) 6∈ conf (P) ; donc (a, b) ∈ N ′
et (a, b) 6∈ R′ ∪ I ′ ;
– si (a, b) ∈ Ni et ∃AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Rj alors (a, b) ∈ conf (P) ; donc (a, b) ∈ I ′
et (a, b) 6∈ R′ ∪ N ′ .
Donc R′ , I ′ et N ′ forment une partition de A′ × A′ avec R ⊆ R′ et N ⊆ N ′ .
Proposition 7.4 Soit P = hAF1 , . . . , AFn i un profile de n systèmes d’argumentation avec pour chaque
AFi = hAi , Ri i. Soit AF = hA, R, N i un système d’argumentation.
S
S
Soit conf (P) = ( i Ri ) ∩ ( i Ni ) l’ensemble des interactions pour lesquels il existe un conflit dans
le profile P.
L’expansion consensuelle de AF sur P donnée par expC = hA′ , R′ , I ′ , N ′ i où :
–
–
–
–
S
A′ = A ∪ i Ai ,
S
R′ = R ∪ (( i Ri \ conf (P)) \ N ),
I ′ = conf (P) \ (R ∪ N ),
N ′ = (A′ × A′ ) \ (R′ ∪ I ′ ).
223
Annexe G. Preuves du chapitre 7 : «Fusion de systèmes d’argumentation»
est une expansion de AF sur P dans le sens de la définition 7.3 page 111.
Démonstration Considérons (a, b) ∈ A′ × A′ . Il y a trois cas :
– si (a, b) ∈ R alors (a, b) ∈ R′ et (a, b) 6∈ I ′ ∪ N ′ (donc R ⊆ R′ );
– si (a, b) 6∈ R et (a, b) ∈ N alors (a, b) 6∈ I ′ ∪ R′ et (a, b) ∈ N ′ (donc N ⊆ N ′ );
– si (a, b) 6∈ R ∪ N alors il y a deux possibilités :
– si ∄AFi ∈ P tel que a, b ∈ Ai alors (a, b) 6∈ conf (P) ; donc (a, b) ∈ N ′ et (a, b) 6∈ R′ ∪ I ′ ;
– si ∃AFi ∈ P tel que a, b ∈ Ai nous avons quatre possibilité :
– si (a, b) ∈ Ri et ∄AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Nj alors (a, b) 6∈ conf (P) ; donc (a, b) ∈ R′
et (a, b) 6∈ N ′ ∪ I ′ ;
– si (a, b) ∈ Ri et ∃AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Nj alors (a, b) ∈ conf (P) ; donc (a, b) ∈ I ′
et (a, b) 6∈ R′ ∪ N ′ ;
– si (a, b) ∈ Ni et ∄AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Rj alors (a, b) 6∈ conf (P) ; donc (a, b) ∈ N ′
et (a, b) 6∈ R′ ∪ I ′ ;
– si (a, b) ∈ Ni et ∃AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Rj alors (a, b) ∈ conf (P) ; donc (a, b) ∈ I ′
et (a, b) 6∈ R′ ∪ N ′ .
Donc R′ , I ′ et N ′ forment une partition de A′ × A′ telle que R ⊆ R′ et N ⊆ N ′ .
Proposition 7.2 La distance d’édition de entre systèmes d’argumentation partiels est une distance.
Démonstration de et dea,b , ∀(a, b) ∈ A × A, doivent être symétriques (1), respecter la minimalité (2) et
satisfaire l’identité triangulaire (3):
1. Par définition, de et dea,b , ∀(a, b) ∈ A × A, sont des relations symétriques.
2. ⇒ Considérons P AF1 = hA, R1 , I1 , N1 i et P AF2 = hA, R2 , I2 , N2 i tel que P AF1 = P AF2 . Pour
tout (a, b) ∈ A × A, si P AF1 = P AF2 alors (a, b) ∈ R1 ∩ R2 ou ∈ I1 ∩ I2 ou ∈ N1 ∩ N2 . Donc
∀(a, b) ∈ A × A, dea,b (P AF1 , P AF2 ) = 0, et de(P AF1 , P AF2 ) = 0.
⇐ Supposons de(P AF1 , P AF2 ) = 0 et travaillons par l’absurde : si P AF1 6= P AF2 alors ∃(a, b) ∈
A × A tel que (a, b) 6∈ R1 ∩ R2 , 6∈ I1 ∩ I2 et 6∈ N1 ∩ N2 ; donc dea,b (P AF1 , P AF2 ) 6= 0; donc
de(P AF1 , P AF2 ) 6= 0 ce qui contredit l’hypothèse ; donc P AF1 = P AF2 . Le même raisonnement
peut être tenu pour dea,b (P AF1 , P AF2 ) = 0 et nous obtenons donc le même résultat : P AF1 =
P AF2 .
3. Considérons P AF1 = hA, R1 , I1 , N1 i, P AF2 = hA, R2 , I2 , N2 i et P AF3 = hA, R3 , I3 , N3 i.
∀(a, b) ∈ A × A, nous calculons et comparons dea,b (P AF1 , P AF2 ), dea,b (P AF1 , P AF3 ) et dea,b
(P AF3 , P AF2 ), respectivement notés x, y, z. Nous avons trois possibilités :
– x = 0: ∀y, z, nous avons x ≤ y + z;
– x = 0.5: x ≤ y + z est faux uniquement si et seulement si y = z = 0; cependant, y = z = 0
implique que (a, b) ∈ R1 ∩ R2 ∩ R3 ou ∈ I1 ∩ I2 ∩ I3 ou ∈ N1 ∩ N2 ∩ N3 ce qui implique
que x = 0 (contradiction avec l’hypothèse) ; donc x ≤ y + z ;
– x = 1: nous avons (a, b) ∈ R1 ∩ N2 ou ∈ N1 ∩ R2 ; supposons que (a, b) ∈ R1 ∩ N2 , il y a
trois cas :
– (a, b) ∈ R3 : donc y = 0, z = 1 et nous avons x ≤ y + z ;
– (a, b) ∈ I3 : donc y = 0.5, z = 0.5 et nous avons x ≤ y + z ;
– (a, b) ∈ N3 : donc y = 1, z = 0 et nous avons x ≤ y + z.
Le même raisonnement peut être tenu pour le cas (a, b) ∈ N1 ∩ R2 .
Donc ∀(a, b) ∈ A × A : dea,b (P AF1 , P AF2 ) ≤ dea,b (P AF1 , P AF3 ) + dea,b (P AF3 , P AF2 ) ;
donc de(P AF1 , P AF2 ) ≤ de(P AF1 , P AF3 ) + de(P AF3 , P AF2 ).
224
Proposition 7.3 Soit P = hP AF1 , . . . , P AFn i un profil de systèmes d’argumentation partiels. La partiel
commune de P est incluse dans la partie sans conflit de P, i.e. :
T
S
S
– i Ri ⊆ i Ri \ i Ni ;
T
– i Ii ⊆ ICF P ;
T
S
S
– i Ni ⊆ i Ni \ i Ri .
Démonstration La preuve est assez simple :
T
S
T
– i Ri ⊆ i Ri est trivial ; et nous avons donc ∀(a, b) ∈ i Ri , (a, b) 6∈ TNj pourStout j (sinon,
S
∃P AFk tel que (a, b) ∈ Rk ∩ Nk ce qui est impossible par définition), donc i Ri ⊆ i Ri \ i Ni .
T
S
S
– De façon analogue, nous prouvons que i Ni ⊆ i Ni \ i Ri .
T
S
– Si
(a,
S (a, b) ∈ Si Ii alors,
S par définition,
S
S b) 6∈ Ri et (a, b) 6∈ Ni pour tout i ; donc (a, b) ∈ ( i Ai ×
i Ai ) \ (( i Ri \ i Ni ) ∪ ( i Ni \ i Ri )).
Proposition 7.4 Soit P = hP AF1 , . . . , P AFn i un profil de n systèmes d’argumentation partiels sur le
même ensemble A d’arguments. Considérons la partie sans conflit de P, notée CF P (P AF1 , . . . , P AFn )
= hACF P , RCF P , ICF P , NCF P i et la partie commune de P, notée CP (P AF1 , . . . , P AFn ) =
hAS
CP , RCP , ICP , NCP i.S
S
Si i Ii ⊆ conf (P) = ( i Ri ) ∩ ( i Ni ), alors nous avons :
– ACF P = ACP ,
– RCF P = RCP ,
– NCF P = NCP .
Démonstration Tous
d’argumentation partiels possèdent le même ensemble d’argument, donc
T
S les systèmes
nous avons A = i Ai = i Ai et ACF P = ACP .
Prouvons d’abord que RCF P = RCP .
S
S
– RCF P ⊆ RCP : considérons (a, b) ∈ RCF P ; donc (a, b) ∈ i Ri \ i Ni ; supposons que (a, b) 6∈
RCP ; alors ∃P AFk tel que (a, b) 6∈ Rk ; donc (a, b) ∈ Nk ou (a, b) ∈ Ik ;
S
S
dans le premier cas, nous avons (a, b) 6∈ i Ri \ i Ni : contradiction avec l’hypothèse (a, b) ∈
RCF P ;
S
S
S
dans le second cas, nous récupérons le premier cas, car i Ii ⊆ conf (P) = ( i Ri ) ∩ ( i Ni ).
Donc (a, b) ∈ RCP .
– RCF P ⊇ RCP : vient de la proposition 7.3 page 120.
NCF P = NCP est prouvé de la même façon.
Proposition 7.5 Soit P = hAF1 , . . . , AFn i un profil de systèmes d’argumentation. Pour chaque i ∈
1 . . . n, nous avons :
– ACF P (P) = AexpC (AFi ,P) ,
– RCF P (P) ⊆ RexpC (AFi ,P) ,
– NCF P (P) ⊆ NexpC (AFi ,P) .
Avec AexpC (AFi ,P) l’ensemble des arguments de l’expansion consensuelle de AFi sur P, RexpC (AFi ,P)
la reltation d’attaque de l’expansion consensuelle de AFi sur P, IexpC (AFi ,P) la reltation d’ignorance
de l’expansion consensuelle de AFi sur P et NexpC (AFi ,P) la reltation de non-attaque de l’expansion
consensuelle de AFi sur P.
S
Démonstration
Considérons
AF
,
caractérisé
par
hA
,
R
,
N
i,
et
l’ensemble
conf
(P)
=
(
i
i
i
i
i Ri ) ∩
S
′
′
′
′
( i Ni ). Chaque expC (AFi , P) est caractérisé par hAi , Ri , Ii , Ni i.
– Par définition,
S l’ensemble est le même pour CF P (AF1 , . . . , AFn ) et pour expC (AFi , P), ∀AFi : il
est égal à i Ai .
225
S
S
S
– Considérons a, b ∈ i Ai tel que (a, b) ∈ RCF P (P) =S( i Ri ) \ ( i Ni ) ; donc nous avons (a, b) 6∈
conf (P) et (a, b) 6∈ Ni . Donc (a, b) ∈ Ri′ = Ri ∪ ((( i Ri ) \ conf (P)) \ Ni ).
S
S
S
– Considérons a, b ∈ i Ai tel
que
(a,
b)
∈
N
=
(
N
)
\
(
i
CF
P
(P)
i
i Ri ) ; donc, nous avons
S
′
′
(a, b) 6∈ conf (P) et (a, b) 6∈ i Ri . Donc (a, b) 6∈ Ii , et (a, b) 6∈ Ri . Donc (a, b) ∈ Ni′ .
Proposition 7.6 Soit P =
. . . , AFn i un profil de systèmes d’argumentation. P est cohérent si et
S hAF1 , S
seulement si conf (P) = i Ri ∩ i Ni est vide.
Démonstration P est cohérent ⇔
∀AFi , AFj ∈ P, ∄a, b ∈ Ai ∩ Aj tel que (a, b) ∈ (Ri \ Rj ) ∪ (Rj \ Ri ) ⇔
∀AF
S i , AF
Sj ∈ P, ∄a, b ∈ Ai ∩ Aj tel que (a, b) ∈ Ri et (a, b) ∈ Nj ⇔
R
∩
i i
i Ni = ∅
Proposition 7.7 Soit P =ShAF1 , . . . , AFn i un profil de systèmes d’argumentation. P est cohérent si et
seulement si CF P (P) = i AFi .
Démonstration CF P (P AF1 , . . . , P AFn ) est caractérisé par hACF P , RCF P , ICF P , NCF P i.
⇒ Nous
raisonnons par l’absurde pour prouver que «P estScohérent ⇒ CF P (AF1 , . . . , AFn ) =
S
AF
i ». Nous supposons que CF P (AF1 , . . . , AFn ) 6=
i
i AFi . Nous avons les possibilités suivantes :
S
– ∃(a, b) ∈ RCF P et (a, b) 6∈ i Ri ;
S
S
ce cas est impossible parce que, par définition, (a, b) ∈ ( i Ri ) \ ( i Ni ) ;
S
– ∃(a, b) ∈ NCF P et (a, b) 6∈ i Ni ;
S
S
ce cas est impossible parce que, par définition, (a, b) ∈ ( i Ni ) \ ( i Ri ) ;
S
– ∃(a, b) 6∈ RCF P et (a, b) ∈ i Ri ;
S
donc, par définition, (a, b) ∈ ( i Ni ) ; donc ∃AFk , AFj tel que (a, b) ∈ Rk et (a, b) ∈ Nj ;
donc ∃AFk , AFj tel que (a, b) ∈ Ak ∩ Aj et (a, b) ∈ Rk \ Rj ; donc contradiction avec
l’hypothèse P cohérent ;
S
– ∃(a, b) 6∈ NCF P et (a, b) ∈ i Ni ;
S
donc, par définition, (a, b) ∈ ( i Ri ) ; donc ∃AFk , AFj tel que (a, b) ∈ Rk et (a, b) ∈ Nj ;
donc ∃AFk , AFj tel que (a, b) ∈ Ak ∩ Aj et (a, b) ∈ Rk \ Rj ; donc contradiction avec
l’hypothèse P cohérent.
Pour chaque possibilité,
nous obtenons une contradiction. Donc si P est cohérent, alors CF P (AF1 ,
S
. . . , AFn ) = i AFi .
S
⇐ La démonstration pour «P est cohérent ⇐ CF P (AF1 , . . . , AFn ) = i AFi » s’effectue aussi par
l’absurde. SiS
P est incohérentS∃AFi , AFj tel queS∃(a, b) ∈ Ai ∩ Aj et (a, b) ∈ (Ri \ Rj ) ∪ (Rj \ Ri ).
Donc a, b ∈ k Ak , (a, b) ∈ k RS
k et (a, b) ∈
k Nk ; donc (a, b) appartient à la relation d’attaque
et à la relation de non-attaque de i AFi . Or, par définition, (a, b) ne peut pas appartenir en
Smême
temps à RCF P et à NCF P . Donc, contradiction avec l’hypothèse CF P (AF1 , . . . , AFn ) = i AFi .
Proposition 7.8 Soit P = {AF1 , . . . , AFn } un profil de systèmes d’argumentation. Soit expC l’expansion
consensuelle.SP est cohérent si et seulement si le profil expC (P) = {expC (AF1 , P), . . . , expC (AFn , P)}
se réduit à { i AFi }.
Démonstration Considérons un profil de systèmesSd’argumentation P cohérent. ∀AFi = hAi , Ri , Ni i,
étudions expC (AFi , P) = hA′i , Ri′ , Ii′ , Ni′ i. ∀a, b ∈ i Ai , nous avons plusieurs possibilité :
– si (a, b) ∈ Ri alors (a, b) ∈ Ri′ ;
226
– si (a, b) 6∈ Ri et (a, b) ∈ Ai × Ai alors (a, b) ∈ Ni , donc (a, b) ∈ Ni′ ; comme P est cohérent, nous
savons aussi que ∄AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Rj ;
– si (a, b) 6∈ Ri et (a, b) 6∈ Ai × Ai , il y a trois cas :
– soit ∃AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Rj : donc, comme P est cohérent, (a, b) ∈ Ri′ ;
– soit ∄AFj ∈ P tel que (a, b) ∈ Rj : donc (a, b) ∈ Ni′ .
Dans tous les cas si (a, b) appartient à la relation d’attaque d’un AFi , (a, b) appartient aussi à la relation d’attaque des systèmes d’argumentation partiels obtenus par l’expansion consensuelle.
Donc, tous les
S
systèmes d’argumentation partiels obtenus par l’expansion consensuelle sont égaux à i AFi .
S
Pour la seconde partie de la démonstration, considérons expC (P) = { i AFi }. Supposons que P est
incohérent. Donc ∃AFi , AFj ∈ P tel que ∃a, b ∈ Ai ∩ Aj et (a, b) ∈ (Ri \ Rj ) ∪ (Rj \ Ri ). Si nous
S supposons que (a, b) ∈ Ri , alors expC (AFj , P) ne peut pas contenir (a, b) ; donc expC (AFj , P) 6= i AFi :
contradiction. Le même problème survient si nous supposons que (a, b) ∈ Rj . Donc P est cohérent.
Proposition 7.9 Soit P = {AF1 , . . . , AFn } un profil de systèmes
S d’argumentation. Soit expC l’expansion
consensuelle. Soit un couple d’arguments (a, b) tel que a, b ∈ i Ai et ∄AFi , AFj ∈ P tel que (a, b) ∈
(Ri \ Rj ) ∪ (Rj \ Ri ).
∃AFl ∈ P tel que (a, b) ∈ Rl si et seulement si ∀AFk ∈ P, (a, b) ∈ Rk′ avec Rk′ caractérisant la
relation d’attaque du système d’argumentation partiel expC (AFk , P).
Démonstration Considérons AFk ∈ P. Comme ∃AFl ∈ P tel que (a, b) ∈ Rl et ∄AFi , AFj ∈ P tel que
(a, b) ∈ (Ri \ Rj ) ∪ (Rj \ Ri ), (a, b) 6∈ Nk ; alors (a, b) ∈ Rk′ .
Pour la seconde partie de la démonstration, travaillons par l’absurde: si nous supposons que ∄AFl ∈ P
tel que (a, b) ∈ Rl alors ∀AFk ∈ P, (a, b) ∈ Nk′ ce qui est en contradiction avec ∀AFk ∈ P, (a, b) ∈ Rk′ .
Proposition 7.10 Soit P = hAF1 , . . . , AFn i un profil de systèmes d’argumentation. P est cohérent si et
seulement si expC (AF1 , P), . . . , expC (AFn , P) sont compatibles.
Démonstration
⇒ Si P est cohérent
alors le profil expC (P) = hexpC (AF1 , P), . . . , expC (AFn , P)i est réduit au
S
singleton { i AFi } (cf. proposition 7.8) ; donc expC (AF1 , P), . . . , expC (AFn , P) sont égaux et
donc ont une complétion en commun.
⇐ Nous travaillons par l’absurde : si nous supposons que P est incohérent alors ∃AFi , AFj tel que
∃(a, b) ∈ Ri ∩ Nj ; donc (a, b) ∈ Ri′ avec Ri′ caractérisant la relation d’attaque de expC (AFi , P) et
(a, b) ∈ Nj′ avec Nj′ caractérisant la relation de non-attaque de expC (AFj , P) ; Donc toutes les complétions de expC (AFi , P) doivent contenir l’attaque (a, b) et aucune complétion de expC (AFj , P)
ne peut contenir l’attaque (a, b) ; donc expC (AFi , P) et expC (AFj , P) ne peuvent pas avoir de
complétion commune, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse de départ (concernant la compatibilité).
Proposition 7.11 Soit AF un système d’argumentation. Alors ∆⊗
d (hAF i) = {AF }.
⊗
Démonstration Par définition, avec AF = hA, Ri, ∆⊗
d (hAF i) = ∆d (h exp(AF , hAF i)i) = {AF i sur
A | AF i minimise ⊗1i=1 d(AF i , hAF i)} = {AF i sur A | AF i minimise d(AF i , AF )}.
Considérons une pseudo-distance d : d vérifie d(P AF i , P AF j ) = 0 si et seulement si P AF i =
⊗
P AF j . Comme AF ∈ ∆⊗
d (hAF i), la distance minimale d(AF i , AF ) est 0, et donc ∀AF i ∈ ∆d (hAF i),
AF i = AF .
227
Proposition 7.12 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de systèmes d’argumentation. Supposons que la
fonction d’expansion de chaque agent est la fonction consensuelle. Pour chaque AF = hA, R, N i ∈
∆⊗
– ACP (P) ⊆ A,
– RCP (P) ⊆ R,
– NCP (P) ⊆ N .
T
T
T
Démonstration CP (P) = h i Ai , i Ri , i Ni i (la relation d’ignorance n’apparaît pas, parce que c’est
la partie commune de n systèmes d’argumentation).
T
S
– ACP (P) = i Ai ⊆ A = i Ai .
T
– Considérons (a, b) ∈ i Ri et AF = hA, Ri ∈ ∆⊗
de (hAF 1 , . . . , AF n i). Supposons que (a, b) 6∈ R
et considérons AF ′ = hA′ = A, R′ = R ∪ {(a, b)}i.
∀AF i , de(AF ′ , expC (AF i , P)) = de(AF , expC (AF i , P))−1, parce que (a, b) appartient à R′ ∩Ri
et n’appartient pas R ∩ Ri ; donc, comme ⊗ est monotone, nous avons ⊗ni=1 de(AF ′ , expC (P))
< ⊗ni=1 de(AF , expC (P)) et nous obtenons un contradiction avec AF ∈ ∆⊗
de (hAF 1 , . . . , AF n i) ;
donc (a, b) ∈ R. Donc RCP (P) ⊆ R.
T
– Le même raisonnement peut être tenu pour (a, b) ∈ i Ni et nous obtenons donc le résultat : (a, b) ∈
N . Donc NCP (P) ⊆ N .
Proposition 7.13 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de n systèmes d’argumentation. Supposons que la
fonction d’expansion de chaque agent est la fonction consensuelle.
∀AF = hA, R, N i ∈ ∆⊗
– ACF P (P) ⊆ A,
– RCF P (P) ⊆ R,
– NCF P (P) ⊆ N .
Démonstration CF P (P) est caractérisé par hACF P , RCF P , NCF P i (la relation d’ignorance n’apparaît
pas, parce qu’il s’agit de la partie sans conflit de n systèmes d’argumentation).
S
S
– ACF P = i Ai ⊆ A = i Ai .
– La proposition 7.5 page 121 indique CF P (P) est incluse dans chaque expC (AF i , P). Considérons
(a, b) ∈ RCF P , nous avons (a, b) ∈ RexpC (AF i ,P) , ∀AF i .
Considérons AF = hA, Ri ∈ ∆⊗
de (hAF 1 , . . . , AF n i). Supposons que (a, b) 6∈ R et considérons
AF ′ = hA′ = A, R′ = R ∪ {(a, b)}i.
∀AF i , de(AF ′ , expC (AF i , P)) = de(AF , expC (AF i , P)) − 1, parce que (a, b) appartient à R′ ∩
RexpC (AF i ,P) et n’appartient pas à R ∩ RexpC (AF i ,P) ; donc puisque ⊗ est monotone, nous avons
⊗ni=1 de(AF ′ , expC (P)) < ⊗ni=1 de(AF , expC (P)) et nous obtenons une contradiction avec h AF ∈
∆⊗
de (hAF 1 , . . . , AF n i) ; donc (a, b) ∈ R. Donc RCF P (P) ⊆ R.
– De la même manière, nous prouvons que si (a, b) ∈ NCF P , (a, b) ∈ N . Donc NCF P (P) ⊆ N .
Proposition 7.14 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de n systèmes d’argumentation sur le même ensemble A d’arguments. ∆Σ
de (P) = C(M P (P)).
Démonstration L’idée principale est que la somme des distances d’édition entre un système d’argumentation, noté AF , et les éléments, notés AFi d’un profil de systèmes d’argumentations sur A équivaut à la
somme des distances d’édition de chaque couple d’arguments de A pour chaque couple AF , AF i .
Soit AF un système d’argumentation sur A qui minimise Σni=1 de(AF , P). Soit a, b ∈ A. Si #({i ∈
1 . . . n | (a, b) ∈ Ri }) > #({i ∈ 1 . . . n | (a, b) ∈ Ni }), alors (a, b) doit appartenir à la relation d’attaque
228
de AF ; sinon le système d’argumentation AF ′ sur A qui coïncide avec AF , excepté pour (a, b) qui
appartient à la relation d’attaque de AF ′ est tel que Σni=1 de(AF ′ , P) < Σni=1 de(AF , P). De manière
analogue, si #({i ∈ 1 . . . n | (a, b) ∈ Ni }) > #({i ∈ 1 . . . n | (a, b) ∈ Ri }), alors (a, b) doit appartenir à
la relation de non-attaque de AF .
Il reste le cas où #({i ∈ 1 . . . n | (a, b) ∈ Ri }) = #({i ∈ 1 . . . n | (a, b) ∈ Ni }), soit AF ′ le système
d’argumentation sur A qui coïncide avec AF , excepté pour (a, b) qui appartient à la relation d’attaque
de AF ′ si et seulement si (a, b) appartient à la relation de non-attaque de AF . Alors Σni=1 de(AF ′ , P) =
Σni=1 de(AF , P).
Il est facile de voir que chaque système d’argumentation sur A qui minimise Σni=1 de(AF , P) est une
complétion du système d’argumentation partiel majoritaire M P (P).
À l’inverse, comme AF ′ complétion de M P (P) est tel que Σni=1 de(AF ′ , P) = Σni=1 de(AF , P) avec
AF minimisant Σde(AF , P), ils appartiennent à ∆Σ
de (P).
Proposition 7.15 Soit P = hAF 1 , . . . , AF n i un profil de systèmes d’argumentation sur le même ensemble
A d’arguments. Les ensembles dérivables obtenus par un vote à majorité sur le profil P ne sont pas
toujours équivalents aux ensembles d’arguments dérivables obtenus par un vote à majorité sur le résultat
de la fusion du profil P.
Démonstration La preuve est fournie par l’exemple 7.4 :
Suite de l’exemple 7.4 Soit les quatre systèmes d’argumentation suivants :
– AF1 = hA1 , R1 i avec A1 = {a, b} et R1 = {(a, b), (b, a)},
– AF2 = hA2 , R2 i avec A2 = {b, c, d} et R2 = {(b, c), (c, d)},
– AF3 = hA3 , R3 i avec A3 = {a, b, d} et R3 = {(a, b), (a, d)},
– AF4 = hA4 , R4 i avec A4 = {a, b, d} et R4 = {(b, d), (b, a)}.
Leurs graphes d’attaque sont représentés figure G.1.
AF1
AF2
b
AF3
b
a
b
c
d
AF4
a
b
a
d
d
F IG . G.1 – Représentation graphique de AF1 , AF2 , AF3 et AF4 .
Le résultat de la fusion de AF1 , AF2 , AF3 et AF4 en utilisant la distance d’édition et la fonction
d’agrégation Σ est représenté figure G.2 page suivante.
Supposons que la relation de dérivabilité pour tous les agents consiste à considérer un ensemble d’argument comme dérivable lorsqu’il appartient au moins à une extension préférée ; supposons aussi que la
méthode de vote est la majorité faible. {a}, {b} sont dérivable pour l’agent 1, {b, d} pour l’agent 2, {a}
pour l’agent 3 et {b} pour l’agent 4. D’où, en appliquant la majorité faible seuls {a} et {b} sont conjointement dérivables pour le groupe.
Les ensembles d’arguments considérés comme dérivables (parce qu’appartenant au moins à une extension préférée) par les deux systèmes d’argumentation résultats de ∆Σ
de sont {a, c} et {b, d} dans les deux
cas. Donc en appliquant la majorité faible, ces deux ensembles sont conjointement dérivable pour le groupe,
229
AF1′
AF2′
b
b
a
c
a
d
c
d
F IG . G.2 – Représentation graphique de ∆Σ
de (hAF1 , . . . , AF4 i).
en particulier {a, c}. Or c n’appartient à aucune extension préférées des quatre systèmes d’argumentation
initiaux.
S
′
Proposition 7.16 Soit P = hAF
S1 , . . . , AF n i un profil de systèmes d’argumentation, S et S ⊆ i Ai des
ensembles d’arguments et a ∈ i Ai un argument. Nous avons :
1. Pour tout AF i , a ∈ S tel que DerAF i (S) = 1 n’implique pas qu’il existe S ′ tel que DerP (S ′ ) = 1
et a appartient à S ′ .
2. a appartient à un des ensembles S ′ tel que DerP (S ′ ) = 1 n’implique pas qu’il existe AF i tel que a
appartienne à un des ensembles S tel que DerAF i (S) = 1.
Démonstration
1. Exemple G.41
– AF 1 = hA1 , R1 i avec A1 = {a, b, c, d} et R1 = {(c, b), (b, a)}. {c, a, d} est l’unique extension préférée de AF1 .
– AF 2 = hA2 , R2 i avec A2 = {a, b, c, d} et R2 {(d, c), (c, b)}. {d, b, a} est l’unique extension
préférée de AF2 .
– AF 3 = hA3 , R3 i avec A3 = {a, b, c, d} et R3 = {(d, b), (d, c), (b, a)}. {d, a} est l’unique
extension préférée de AF3 .
Les graphes d’attaque de AF1 , AF2 et AF3 sont représentés figure G.3.
AF1
AF2
AF3
b
b
b
a
c
d
a
c
a
d
c
d
F IG . G.3 – Représentation graphique de AF1 , AF2 et AF3 .
On considère que chaque agent utilise le raisonnement crédule sous la sémantique préférée comme
dérivabilité. L’argument a peut donc être inférer de chacun des systèmes d’argumentation AF1 , AF2
et AF3 .
∆Σ
de (AF 1 , AF 2 , AF 3 ) = h{a, b, c, d}, {(d, c), (c, b), (b, a)}i. Le résultat de la fusion est représenté
figure G.4 page suivante. Il n’existe qu’une extension préférée à ce système d’argumentation : {b, d}.
230
b
a
c
d
de (AF 1 , AF 2 , AF 3 ).
{d, b} est conjointement dérivable de manière crédule pour le raisonnement crédule sous la sémantique préférée.
Quel que soit i ∈ 1 . . . S
3, il existe S ⊆ Ai tel que DerAFi (S) = 1 et a ∈ S;
′
et il n’existe pas S ⊆ i Ai tel que Der∆Σ (AF 1 ,AF 2 ,AF 3 ) (S ′ ) = 1 et a ∈ S ′ .
de
2. Exemple G.42
– AF 1 = hA1 , R1 i avec A1 = {a, b} et R2 = {(a, b), (b, a)}. {a} et {b} sont les extensions
préférées de AF1 .
– AF 2 = hA2 , R2 i avec A2 = {b, c} et R2 = {(b, c)}. {b} est son unique extension préférée.
– AF 3 = hA3 , R3 i avec A3 = {b, d} et R3 = {(d, b)}. {d} est son unique extension préférée.
Les graphes d’attaque de AF1 , AF2 et AF3 sont représentés figure G.5.
AF2
AF1
b
AF3
b
b
a
c
d
F IG . G.5 – Représentation graphique de AF1 , AF2 et AF3 .
On considère que chaque agent utilise le raisonnement crédule sous la sémantique préférée comme
dérivabilité. L’argument c ne peut être inféré d’aucun des systèmes d’argumentation initiaux.
∆Σ
de (AF 1 , AF 2 , AF 3 ) = h{a, b, c, d}, {(a, b), (b, a), (b, c), (d, b)}i. Le résultat de la fusion est représenté figure G.6. Il existe une unique extension préférée pour ce système d’argumentation : {a, c,
d}.
b
a
c
d
de (AF 1 , AF 2 , AF 3 ).
{a, c, d} est conjointement dérivable de manière crédule pour le raisonnement crédule sous la sémantique préférée.
231
S
Il existe S ′ ⊆ i Ai tel que Der∆Σ (AF 1 ,AF 2 ,AF 3 ) (S ′ ) = 1 et c ∈ S ′ ; et il n’existe pas i ∈ 1 . . . 3 et
de
S ⊆ Ai tel que DerAFi (S) = 1 et a ∈ S.
232
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Index
Symboles
B
#(S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
∆⊗
d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
≤Lex
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
P
|= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
⊗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
|∼q,s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 53, 99
|∼q,s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
c
|∼q,s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
p
q,s
|∼bp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
BAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
BFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
borne
inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
bp-extension
faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C
A
AD1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
AD2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
AF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
AF↓S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
appui
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 40
acceptable par rapport à . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
b-controversé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
chemin-équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
controversé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
parentsAF d’un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
super-controversé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
∗
ASAF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
AS(AF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
AS(AF, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
attaque
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
C(P AF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
c-extension
préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
C-extension
préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
CAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
caractérisation sous forme de modèle
ensemble admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ensemble qui se défend . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ensemble sans conflit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
extension complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
extension de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
extension préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
extension stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
CE(AF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
CE(AF, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
CF1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
CF2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
CF P (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
239
Index
chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
d’édition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
clause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
E
CNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Horn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
élément
négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
complétion
plus grand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
plus petit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
d’un P AF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
ensemble
complexité
C-admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
dans le cadre de Dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
dans le cadre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
admissible dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
dans le cas des bp-sémantiques . . . . . . . . . . . 93
bp-admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
dans le cas général
c-admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
crédule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
clos pour la relation Rapp . . . . . . . . . . . . . . . . 42
sceptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
complexe sûr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
composante fortement connexe
dérivabilité pour . . . . voir dérivabilité pour des
initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ensembles d’arguments
sccancAF d’une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
dominant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
parentsAF d’une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
faiblement c-admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
conf (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
faiblement d-admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
coNP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
faiblement s-admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
conséquence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
indépendant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
CP (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
moyennement d-admissible . . . . . . . . . . . . . . . 44
moyennement s-admissible . . . . . . . . . . . . . . . 44
ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
D
outparentsAF d’un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
p-admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
qui satisfait une contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . 95
DAF (S, E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
sans bp-conflit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
de(P AF1 , P AF2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
sans conflit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 41
defense
sans conflit complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
sans conflit indirect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
demi-treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
sans controverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
DerP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
sûr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
dérivabilité
conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
avec la majorité faible . . . . . . . . . . . . . . . . 126 expC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
crédulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 exp(AF, P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 expansion
consensuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
scéptiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
pour des ensembles d’arguments . . . . . . .52, 53
de AF étant donné P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
DÉRIVABILITÉ S,q,s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 extension
DÉRIVABILITÉ q,s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
diagramme de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
extension complète dans . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
240
de base dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
faiblement c-préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
faiblement c-stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
faiblement d-préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
faiblement d-stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
faiblement s-préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
faiblement s-stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
moyement d-préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
moyennement d-stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
moyement s-préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
moyennement s-stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
naïve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
préférée dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
stable dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
F
i
FCAF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
FAF,C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
FAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
FCAF,Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
FCAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
fonction
C-caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
bp-caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
c-caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
caractéristique dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
continue au sens de Scott . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
d’agrégation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
d’expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
p-caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
point fixe d’une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
sans conflit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
formule propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
cohérente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
satisfaisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
fusion de n systèmes d’argumentation . . . . . . . . 114
utilisant le Leximax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
G
GE(AF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
GE(AF, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
GF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
graphe
réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
graphe d’attaque . voir représentation graphique de
AF
graphe de majorité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
graphe des interactions . . . . . . . . voir représentation
graphique de BAF
graphe orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
fortement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
sans circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
sous graphe-induit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I
identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
L
LP
AF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Leximax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
M
majorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
MCFAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
minimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
minorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
M P (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
241
Index
N
nœud initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
non-décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 18
NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
O
ordre partiel complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
de non-attaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
irréflexive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
pré-ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
réflexive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
relation d’ordre partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
relation d’ordre total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
transitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
représentation graphique
de AF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
de BAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
P
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
PAF (S, E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
p-extension
faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
préférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
P AF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
partie initiale acyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
P EAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
PE(AF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
PE(AF, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
profil
de systèmes d’argumentation . . . . . . . . . . . . 111
cohérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
de systèmes d’argumentation partiels . . . . . 114
P ROPP S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
propriété
sans conflit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
de minima lité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
pseudo-distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
S
Sb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
SCC(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
SCCSAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
SE(AF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
SE(AF, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
SCC-récursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
semi-noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
système d’argumentation
restriction d’un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
système d’argumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
à contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C-cohérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
C-trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
consistant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
bien fondé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
bp-cohérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
bp-trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
c-trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
cohérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 121
R
controversé de manière limitée . . . . . . . . . . . . 21
incohérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
non controversé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
relation
d’appuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
p-trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
d’attaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 40, 111
partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
d’ingnorance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
compatible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
242
imcompatible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
majoirtaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
partie sans commune d’un . . . . . . . . . . . . 120
partie sans conflit d’un . . . . . . . . . . . . . . . . 120
relativement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
systèmes d’argumentation
compatible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
imcompatible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
système d’argumentation unipolaire . . voir système
d’argumentation
T
treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
U
UAF (S, E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
243
Index
244
Résumé
L’argumentation est un modèle de raisonnement qui, par la construction d’arguments et l’étude de leurs interactions, permet de justifier une conclusion. Notre cadre d’étude est celui proposé par Dung dans lequel les arguments
et leurs interactions sont donnés. Les interactions sont représentées par une relation binaire entre arguments. On
cherche alors à caractériser les arguments dérivables.
Un des premiers axes de recherche de notre travail a concerné l’étude des propriétés des systèmes argumentatifs
dont la relation d’attaque est non vide, irréflexive et symétrique. Sous cette hypothèse il n’existe plus que deux
sémantiques parmi celle de Dung ; elles ne trivialisent pas et ont l’intérêt de conduire à des relations d’inférence
traitables en temps polynomial.
Nous avons aussi proposé différents raffinement du cadre argumentatif de Dung. Le premier n’accepte pas qu’une
extension attaque indirectement et défende indirectement un même argument. Le second exclut des extensions les
conflits indirects. Dans les deux cas, nous avons défini de nouvelles extensions, puis nous les avons comparées entre
elles et avec celles de Dung. Les nouvelles sémantiques ainsi définies sont plus prudentes que celles proposés par
Dung, sans hausse de complexité.
Puis, nous avons généralisé le cadre argumentatif de Dung de façon à pouvoir prendre en compte une contrainte
que doivent satisfaire les extensions permettant d’obtenir les arguments dérivables.
L’ajout d’une relation d’appui entre les arguments fait apparaître de nouveaux arguments problématiques. Nous
présentons une nouvelle méthode pour les manipuler de manière prudente. Dans ce cas aussi, les relations d’inférence
obtenues sont plus prudentes que celles de Dung pour une complexité identique.
Enfin, nous nous sommes intéressés à la fusion de systèmes d’argumentation «à la Dung» afin de pouvoir raisonner à partir de systèmes d’argumentation fournis par plusieurs agents. Ces agents peuvent posséder des systèmes
d’argumentation aux arguments différents et fondés sur des relations d’attaque différentes. Notre méthode nous permet d’obtenir un consensus entre les agents.
Mots-clés : Intelligence artificielle, raisonnement non monotone, argumentation, fusion.
Abstract
Argumentation is a theory allowing to derive a conclusion from a set of arguments and the analysis of their
interactions. Our study focuses on Dung’s theory of argumentation. In this framework, the arguments and their
interactions are given as inputs. Interactions take the form of a binary relation between arguments and derived
arguments are characterized from these interactions.
The first part of this study analyses the properties of derivable sets of arguments when the attack relation is non
empty, irreflexive and symmetric. Under these assumptions, we show that there are only two semantics left and that
they do not trivialize. Furthermore, they allow to define inference relations which are tractable.
Then, we propose different ways to refine Dung’s framework. In a first refinement, we do not allow an extension
simultaneously to attack indirectly and to defend indirectly the same argument. A second refinement rules out indirect
conflict from extensions. In both refinements, we propose new extensions then we make a comparison between the
inference relations that they define and also with the inference relations based on Dung’s framework. We show that
the relations based on our semantics are more cautious than the one based on Dung’s framework without increase of
the computational cost.
A third contribution is to generalize Dung’s framework in order to be able to take into account a constraint which
must be satisfied by the extensions containing derivable arguments. We propose another generalization of Dung’s
framework analysing controversial arguments in bipolar argumentation frameworks. The inference relations based
on the new semantics we define is more cautious than the ones based on Dung’s framework and their complexity is
equivalent.
A last contribution tackles the problem of merging several argumentation systems, each argumentation system
representing the knowledge of an agent. Each agent may use different arguments and different attack relations.
We propose a way to deal with these two problems and we obtain a set of argumentation systems representing the
knowledge of the whole group of agents.
Keywords: Artificial intelligence, nonmonotonic reasoning, argumentation, merging.

Contribution `a l`étude des inférences

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