physique

 "
"
Les calculatrices sont interdites
Ce sujet comporte deux problèmes indépendants qui portent sur des thèmes différents.
Chaque problème comporte plusieurs parties qui sont le plus souvent indépendantes les unes des
autres.
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Premier problème : modélisation d’une suspension de véhicule
Sur un véhicule, les suspensions ont de multiples fonctions. Elles servent notamment :
-
à améliorer le confort des occupants ;
-
à améliorer la tenue de route en maintenant le contact entre les roues et le sol malgré ses
irrégularités (amélioration de la sécurité) ;
-
à diminuer l’effet, sur l’ensemble des organes mécaniques, des vibrations et impacts dus aux
irrégularités de la route (diminution de l’usure et du risque de rupture).
Il existe différents types de suspensions et, dans ce problème, nous nous intéresserons à un type très
répandu : les suspensions à ressorts. De manière simplifiée, ces suspensions se composent d’un
ressort qui assure la liaison entre les roues (masses non suspendues) et la caisse (masse suspendue)
et d’un système d’amortissement.
Le but de ce problème est d’étudier certaines caractéristiques des suspensions à ressort. En
particulier, nous étudierons les mouvements verticaux du véhicule dans différentes situations :
véhicule non amorti, véhicule amorti en régime libre, véhicule se déplaçant sur un sol non plat…
Pour l’ensemble du problème, le référentiel d’étude est le référentiel terrestre considéré comme
galiléen.
Le véhicule est soumis au champ de pesanteur terrestre g .
Données :
champ de pesanteur : g = 10 m.s-2.
Hypothèses :
tout au long du problème, on considèrera que :
- l’extrémité supérieure du ressort est en contact avec le véhicule et l’extrémité inférieure du
ressort est reliée à une roue qui se trouve en contact avec le sol ;
- la roue reste en contact avec le sol à tout instant ;
- les dimensions de la roue sont telles qu’on la suppose ponctuelle de sorte qu’elle suit
parfaitement le profil de la route, y compris lorsque le sol n’est pas plat.
Notations :
dérivées temporelles :
pour une fonction x(t) les dérivées temporelles seront notées :
d 2 x(t )
dx (t )
x (t ) =
et x(t ) =
;
dt
dt 2
fonctions complexes :
pour une fonction x(t ) = X m cos(ω t + ϕ ).
On notera x(t ) = X m exp[ j (ω t + ϕ )] = X m e jϕ e jω t = X m e jω t ,
jϕ
où x(t) = Re(x) et X m = X me ( X m représente l’amplitude complexe de
On a donc X m = X m et ϕ = arg( X m ).
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).
3UHPLqUHSDUWLHVXVSHQVLRQVDQVDPRUWLVVHPHQW
/HYpKLFXOHjYLGHPDVVHVXVSHQGXHHVWDVVLPLOpjXQHPDVVHP [NJ
/DVXVSHQVLRQHVWFRQVWLWXpHG¶XQUHVVRUWGHPDVVHQpJOLJHDEOHGHUDLGHXUN [1PHWGH
ORQJXHXUDXUHSRV O 'DQVFHWWHSUHPLqUHSDUWLHRQQpJOLJHWRXWDPRUWLVVHPHQW2QQHV¶LQWpUHVVHTX¶DXPRXYHPHQWGH
WUDQVODWLRQYHUWLFDOHGXYpKLFXOH
/DSRVLWLRQGXYpKLFXOHHVWUHSpUpHSDUVDFRRUGRQQpH ] W O¶D[H 2]pWDQWYHUWLFDORULHQWpYHUVOH
KDXWHWPXQLG¶XQYHFWHXUXQLWDLUH X ] ILJXUH
] W UHSUpVHQWHODFRRUGRQQpHGHO¶H[WUpPLWpVXSpULHXUHGXUHVVRUW
$ O¶pTXLOLEUH HQ O¶DEVHQFH GH WRXW PRXYHPHQW YHUWLFDO OD SRVLWLRQ GX YpKLFXOH HVW UHSpUpH SDU VD
FRRUGRQQpH ] H ]
YpKLFXOH
PDVVHP
YpKLFXOH
PDVVHP
UHVVRUW
UDLGHXUN
ORQJXHXUDXUHSRV
O
O
]H
]
X]
2
UHVVRUWDXUHSRV
YpKLFXOHDX
UHSRV
YpKLFXOHHQ
PRXYHPHQWYHUWLFDO
)LJXUHVXVSHQVLRQVDQVDPRUWLVVHPHQW
± )DLUH OH ELODQ GHV IRUFHV DX[TXHOOHV OH YpKLFXOH HVW VRXPLV ORUVTX¶LO HVW KRUV G¶pTXLOLEUH 2Q
GpWDLOOHUDFODLUHPHQWFKDTXHIRUFHHQLQGLTXDQWVDGLUHFWLRQVRQVHQVHWVDQRUPH
± (Q DSSOLTXDQW OH SULQFLSH G¶LQHUWLH SUHPLqUH ORL GH 1HZWRQ pFULUH OD UHODWLRQ pTXDWLRQ HQWUHFHVGLIIpUHQWHVIRUFHVORUVTXHOHYpKLFXOHHVWjO¶pTXLOLEUH(QGpGXLUHO¶H[SUHVVLRQGHODFRWH
] H jO¶pTXLOLEUHHQIRQFWLRQGHPJNHW O ±(QDSSOLTXDQWOHSULQFLSHIRQGDPHQWDOGHODG\QDPLTXHGHX[LqPHORLGH1HZWRQDXYpKLFXOH
ORUVTX¶LO HVW KRUV G¶pTXLOLEUH GpWHUPLQHU O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH pTXDWLRQ YpULILpH SDU ] W /¶pTXDWLRQUHOLHUDOHVGLIIpUHQWHVJUDQGHXUV ] H NP ] W HWVHVGpULYpHVWHPSRUHOOHV
± 'RQQHU OD VROXWLRQ JpQpUDOH GH O¶pTXDWLRQ 'pWHUPLQHU OHV H[SUHVVLRQV OLWWpUDOHV GH OD
SXOVDWLRQSURSUH ω HWGHODSpULRGHSURSUH 7 GHODVXVSHQVLRQHQIRQFWLRQGH NHW P'pWHUPLQHU
OHVYDOHXUVQXPpULTXHVGH ω HW 7 ±2QVXSSRVHTX¶XQRSpUDWHXUDSSXLHVXUOHYpKLFXOHHWO¶DPqQHGDQVXQHSRVLWLRQUHSpUpHSDUOD
FRWH ] DYHF ] ] H $XQLQVWDQW W FKRLVLFRPPHRULJLQHGXWHPSVOHYpKLFXOHHVWOkFKpVDQV
YLWHVVH LQLWLDOH 'pWHUPLQHU OD VROXWLRQ ] W GH O¶pTXDWLRQ HQ SUHQDQW HQ FRPSWH OHV FRQGLWLRQV
LQLWLDOHVSUpFpGHQWHV([SULPHU ] W HQIRQFWLRQGHW ] H ω HW ] ± 7UDFHU O¶DOOXUH GH ] W HW IDLUH DSSDUDvWUH VXU OH JUDSKLTXH OHV FRWHV PLQLPDOH ]PLQ PD[LPDOH
]PD[ HWPR\HQQH ]PR\ DLQVLTXHODSpULRGHSURSUH 7 'RQQHUOHVH[SUHVVLRQVGHVFRWHVPLQLPDOH ]PLQ PD[LPDOH ]PD[ HWPR\HQQH ]PR\ HQIRQFWLRQGH ] H
HW ] 'HX[LqPHSDUWLHVXVSHQVLRQDYHFDPRUWLVVHPHQW
2Q VXSSRVH GDQV FHWWH SDUWLH TXH OD VXVSHQVLRQ GpFULWH GDQV OD SDUWLH SUpFpGHQWH FRPSRUWH
PDLQWHQDQW XQ GLVSRVLWLI TXL H[HUFH VXU OH YpKLFXOH GH PDVVH P XQH IRUFH G¶DPRUWLVVHPHQW
G
YLVTXHX[GRQQpHSDU ) = − KY R Y UHSUpVHQWHODYLWHVVHYHUWLFDOHGXYpKLFXOHSDUUDSSRUWjODURXH
HWKXQFRHIILFLHQWDSSHOpFRHIILFLHQWGHIURWWHPHQWIOXLGHILJXUH
]
YpKLFXOH
PDVVHP
UHVVRUW
UDLGHXUN
ORQJXHXUDXUHSRV
YpKLFXOH
PDVVHP
O
]H
O
DPRUWLVVHXU
FRHIILFLHQWK
]
X]
2
UHVVRUWDXUHSRV
YpKLFXOHDX
UHSRV
YpKLFXOHHQ
PRXYHPHQWYHUWLFDO
)LJXUHVXVSHQVLRQDYHFDPRUWLVVHPHQW
±4XHOOHHVWO¶XQLWpGHKGDQVOHV\VWqPHLQWHUQDWLRQDO"
± )DLUH OH ELODQ GHV IRUFHV DSSOLTXpHV DX YpKLFXOH KRUV G¶pTXLOLEUH 2Q GpWDLOOHUD FODLUHPHQW
FKDTXHIRUFHHQLQGLTXDQWVDGLUHFWLRQVRQVHQVHWVDQRUPH(FULUHODUHODWLRQHQWUHFHVGLIIpUHQWHV
IRUFHVORUVTXHOHYpKLFXOHHVWjO¶pTXLOLEUH
±(QDSSOLTXDQWOHSULQFLSHIRQGDPHQWDOGHODG\QDPLTXHGHX[LqPHORLGH1HZWRQDXYpKLFXOH
KRUV G¶pTXLOLEUH GpWHUPLQHU O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH YpULILpH SDU OD FRRUGRQQpH ] W DX FRXUV GX
WHPSV/¶pTXDWLRQUHOLHUDOHVGLIIpUHQWHVJUDQGHXUV ] H NKP ] W HWVHVGpULYpHVWHPSRUHOOHV
± (FULUH OHV FRQGLWLRQV SRUWDQW VXU OHV SDUDPqWUHV P N HW K SRXU TXH OD VXVSHQVLRQ VH WURXYH
UHVSHFWLYHPHQWGDQVOHVUpJLPHVSVHXGRSpULRGLTXHFULWLTXHHWDSpULRGLTXH
±9pKLFXOHHQFKDUJHHWYLHLOOLVVHPHQWGHODVXVSHQVLRQ
±6LO¶DPRUWLVVHPHQWHVWWHOTXHODVXVSHQVLRQVHWURXYHHQUpJLPHFULWLTXHORUVTXHOHYpKLFXOH
HVW j YLGH GDQV TXHO UpJLPH VH WURXYHWLO ORUVTXH OH YpKLFXOH HVW HQ FKDUJH" -XVWLILHU
TXDOLWDWLYHPHQWODUpSRQVH
±'qVORUVFRPPHQWFKRLVLUODYDOHXUGHO¶DPRUWLVVHPHQWSRXUTXHOHYpKLFXOHQHVRLWSDVHQ
UpJLPHSVHXGRSpULRGLTXHPrPHORUVTX¶LOHVWHQFKDUJH"-XVWLILHUTXDOLWDWLYHPHQWODUpSRQVH
/H YpKLFXOH VH GpSODFH PDLQWHQDQW VXU XQ VRO QRQ SODW /D SRVLWLRQ YHUWLFDOH GX SRLQW EDV GH OD
VXVSHQVLRQ URXH HVW UHSpUpH SDU OD YDULDEOH ]V W ILJXUH ,O HVW UDSSHOp TXH SDU K\SRWKqVH OD
URXHHVWFRQVLGpUpHFRPPHSRQFWXHOOHHWUHVWHjWRXWLQVWDQWHQFRQWDFWDYHFOHVRO
YpKLFXOH
PDVVHP
X]
]
VRO
]6
)LJXUHYpKLFXOHVXUXQVROQRQSODWGHSURILOTXHOFRQTXH
±1RXVQRXVSODFHURQVSRXUFHWWHTXHVWLRQGDQVOHFDVSDUWLFXOLHUROHYpKLFXOHVHGpSODFHVXU
XQHURXWHWHOOHTXH
SRXUW W ]V W ] R ] HVWXQHFRQVWDQWHSRVLWLYHHW W !
SRXUW! W ]V W 3RXULOOXVWUHUODVLWXDWLRQRQSRXUUDLPDJLQHUTX¶jO¶LQVWDQW W OHYpKLFXOHGHVFHQGG¶XQWURWWRLUGH
KDXWHXU ] HWUHMRLQWXQHURXWHSODQHHWKRUL]RQWDOHGHFRWHQXOOH
2QFRQVLGqUHTXHSRXU W WODFRWH ] W GXYpKLFXOHHVWFRQVWDQWHF¶HVWjGLUHTXHOHYpKLFXOHVH
GpSODFHHQUpJLPHSHUPDQHQW
±'RQQHUO¶DOOXUHGH ] W SRXU WYDULDQWHQWUHHW W!! W ORUVTXHODVXVSHQVLRQHVWHQUpJLPH
SVHXGRSpULRGLTXH
±'RQQHUO¶DOOXUHGH ] W SRXU WYDULDQWHQWUHHW W!! WORUVTXHODVXVSHQVLRQHVWHQUpJLPH
DSpULRGLTXH
2QSUpFLVHUDFODLUHPHQWVXUFKDTXHJUDSKLTXHODYDOHXUGH ] SRXUW W HWODYDOHXUGH ] SRXUW
WHQGDQWYHUVO¶LQILQL
7URLVLqPHSDUWLHUpJLPHIRUFp
'DQVFHWWHSDUWLHOHYpKLFXOHVHGpSODFHKRUL]RQWDOHPHQWDYHFXQHYLWHVVHFRQVWDQWH Y
,OHVWUDSSHOpTXHSDUK\SRWKqVHODURXHHVWFRQVLGpUpHFRPPHSRQFWXHOOHHWUHVWHjWRXWLQVWDQWHQ
FRQWDFWDYHFOHVRO
,FLHQFRUHODSRVLWLRQYHUWLFDOHGXSRLQWEDVGHODVXVSHQVLRQURXHHVWUHSpUpHSDUODYDULDEOH ]V W
ILJXUH
'DQVFHWWHSDUWLHOHYpKLFXOHVHGpSODFHVXUXQVRORQGXOpKRUL]RQWDOVLQXVRwGDO
2QDGRQF ]V W = ] V FRV ω W YpKLFXOH
PDVVHP
]
]6 X]
VRO
]6
)LJXUHUpJLPHIRUFp
/D VXVSHQVLRQ FRPSRUWH XQ GLVSRVLWLI G¶DPRUWLVVHPHQW YLVTXHX[ VRQ DFWLRQ VXU OH YpKLFXOH HVW
G
PRGpOLVpH SDU OD IRUFH ) = − KY R Y UHSUpVHQWH OD YLWHVVH UHODWLYH GHV GHX[ H[WUpPLWpV GH
O¶DPRUWLVVHXUHWKOHFRHIILFLHQWGHIURWWHPHQWIOXLGH
2QDGRQF ) = − K ] − ]V X ] ±'pWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGHODIRUFHH[HUFpHSDUOHUHVVRUWGHODVXVSHQVLRQVXUODPDVVH PHQ
IRQFWLRQGHN ] ] V OHWGXYHFWHXUXQLWDLUH X ] ±(Q DSSOLTXDQW OD UHODWLRQ IRQGDPHQWDOH GH OD G\QDPLTXH GpWHUPLQHU O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH
UHOLDQWOHVIRQFWLRQV ]WHW ]V W HWOHXUVGpULYpHVWHPSRUHOOHVDLQVLTXHOHVSDUDPqWUHVKPNHW ] H
R ] H UHSUpVHQWHODORQJXHXUGXUHVVRUWjO¶pTXLOLEUHVWDWLTXHFDOFXOpHjODTXHVWLRQ
9RXODQW pWXGLHU OHV RVFLOODWLRQV GH OD PDVVH P DXWRXU GH VD SRVLWLRQ G¶pTXLOLEUH ] H RQ
SRVHUD ]
= ] − ]H ±0RQWUHU TXH O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH SUpFpGHQWH SHXW VH PHWWUH VRXV OD IRUPH
P]
+ K] + N] = < W 'pWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGH< WHQIRQFWLRQGH ] V ]V NHWK
'DQVODVXLWHGHFHWWHSDUWLHRQXWLOLVHUDOHVQRWDWLRQVFRPSOH[HVUDSSHOpHVDXGpEXWGHO¶pQRQFp
16 – Pour simplifier les notations, on posera :
k
h
et 2 λ = .
m
m
Z'
Déterminer l’expression de la réponse complexe
de la suspension en fonction de ω , ω0 et λ .
Zs
ω 02 =
Montrer que le module de la réponse complexe est donné par l’expression :
H=
Zm '
Z sm
=
(ω
ω 04 + 4λ2ω 2
2
0
−ω2
)
2
+ 4λ 2 ω 2
.
Par la suite, les candidats pourront utiliser l’expression précédente du module de la réponse
complexe, même s’ils ne sont pas parvenus à la démontrer.
17 – Etude de la réponse complexe.
17.1 – Déterminer la valeur vers laquelle tend H lorsque la pulsation ω tend vers 0. Décrire dans ce
cas le comportement de la masse m par rapport au sol.
17.2 – Déterminer la valeur vers laquelle tend H lorsque la pulsation ω tend vers l’infini. Décrire
dans ce cas le comportement de la masse m par rapport au sol.
17.3 – On considère pour simplifier :
- que la valeur maximale de H est atteinte pour une pulsation ωr non nulle telle que le
dénominateur de l’expression précédente est minimal ;
- que l’on se trouve dans le cas où ω02 > 2λ2 .
Déterminer l’expression de ωr en fonction de ω0 et λ . A quoi correspond physiquement le cas où
la pulsation est égale à ωr ?
Remarque : en réalité, la détermination de la pulsation qui correspond à la valeur maximale de H
aurait dû prendre en compte le fait que le numérateur de H dépend également de la pulsation. Le
calcul complet conduit à des résultats sensiblement équivalents.
18 – Donner l’allure de la courbe représentant H =
Z'
en fonction de ω . On fera apparaître les
Zs
valeurs particulières déterminées dans la question précédente.
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4XDWULqPHSDUWLHDPRUWLVVHPHQWpOHFWURPDJQpWLTXH
'DQV FHWWH SDUWLH RQ VRXKDLWH pWXGLHU OH SULQFLSH G¶XQ DPRUWLVVHPHQW pOHFWURPDJQpWLTXH SRXU OD
VXVSHQVLRQ
8QFDGUHFDUUpGHF{WpDGHPDVVHPGHUpVLVWDQFHWRWDOH5HWG¶LQGXFWDQFHQpJOLJHDEOHHVWDVWUHLQW
jVHGpSODFHUGDQVXQH]RQHGHO¶HVSDFHWHOOHTXH
GDQV OD ]RQH GpILQLH SDU ] ! UqJQH XQ FKDPS PDJQpWLTXH XQLIRUPH HW RUWKRJRQDO DX FDGUH
G
% = %X [ GDQVOD]RQHGpILQLHSDU ] LOQ¶H[LVWHSDVGHFKDPSPDJQpWLTXH
/DSRVLWLRQGXFDGUHHVWUHSpUpHSDUO¶DEVFLVVH ] GXF{WpKRUL]RQWDOVXSpULHXUGXFDGUH
8QGLVSRVLWLIQRQUHSUpVHQWpDVWUHLQWOHFDGUHjVHGpSODFHUXQLTXHPHQWYHUWLFDOHPHQW
/HGpSODFHPHQWGXFDGUHDXFRXUVGXWHPSVHVWWHOTX¶jWRXWLQVWDQWOHF{WpKRUL]RQWDOLQIpULHXUVH
WURXYHGDQVOD]RQHRLOQ¶H[LVWHSDVGHFKDPSPDJQpWLTXHHWOHF{WpKRUL]RQWDOVXSpULHXUVHWURXYH
GDQVOD]RQHRUqJQHOHFKDPSPDJQpWLTXH % /¶RULHQWDWLRQDUELWUDLUHGXFDGUHHVWLQGLTXpHVXUODILJXUH
%
]
]W
\
2
[
D
)LJXUHVSLUHGDQVOHFKDPSPDJQpWLTXH
'DQVFHWWHSDUWLHRQQpJOLJHUDWRXVOHVIURWWHPHQWVPpFDQLTXHV
±2QVRXKDLWHGpWHUPLQHUO¶LQWHQVLWpGXFRXUDQWLQGXLWTXLYDWUDYHUVHUOHFDGUH
±'pWHUPLQHUOHIOX[ ΦW GXFKDPSPDJQpWLTXHjWUDYHUVOHFDGUHORUVTXHLOHVWUHSpUpSDUXQH
SRVLWLRQ ]W
±'pWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGHODIRUFHpOHFWURPRWULFHLQGXLWH HWTXLDSSDUDvWGDQVOHFDGUHHQ
IRQFWLRQGHD ] HW%
±(QGpGXLUHO¶H[SUHVVLRQGHO¶LQWHQVLWpGXFRXUDQW LWTXLDSSDUDvWGDQVOHFDGUHHQIRQFWLRQ
GH ] D5HW%
±'pWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGHODUpVXOWDQWHGHODIRUFHGH/DSODFHTXLV¶DSSOLTXHVXUOHFDGUHHQ
IRQFWLRQGH ] D5%HWG¶XQRXSOXVLHXUVYHFWHXUVXQLWDLUHVTXHO¶RQSUpFLVHUD
±-XVWLILHUOHIDLWTXHOHFDGUHDLQVLFRQVWLWXpSRXUUDLWVHUYLUGHV\VWqPHG¶DPRUWLVVHPHQWSRXUXQH
VXVSHQVLRQ GH YpKLFXOH &LWHU FHUWDLQV DYDQWDJHV TXH SUpVHQWHUDLW XQ WHO V\VWqPH G¶DPRUWLVVHPHQW
SDUUDSSRUWDX[V\VWqPHVFODVVLTXHV
22 – Déterminer l’expression du champ B à appliquer pour que le cadre puisse servir d’amortisseur
de coefficient de frottement h. On exprimera B en fonction de h, R et a.
23 – Pour un amortisseur de véhicule, le coefficient de frottement doit être de l’ordre de h = 104 S.I.
On se place dans le cas d’un cadre de côté a = 10 cm et de résistance R = 10-4 Ω.
Déterminer numériquement l’ordre de grandeur du champ B qu’il faudrait appliquer au cadre pour
produire un tel coefficient de frottement.
Quel est l’ordre de grandeur de l’intensité du champ magnétique que peut créer un aimant
permanent ?
Pourrait-on créer un champ magnétique d’une telle intensité avec un électroaimant ?
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'HX[LqPHSUREOqPHLQGXFWLRQ
1RXV QRXV SURSRVRQV GDQV FH SUREOqPH G¶pWXGLHU GHX[ DSSOLFDWLRQV SUDWLTXHV GX SKpQRPqQH
G¶LQGXFWLRQ
/HVGHX[SDUWLHVGHFHSUREOqPHVRQWLQGpSHQGDQWHV
3UHPLqUHSDUWLHFKDXIIDJHSDULQGXFWLRQ
8QGLVTXHFRQGXFWHXUGHFRQGXFWLYLWp σG¶D[H2]YHUWLFDOGHUD\RQEHWG¶pSDLVVHXUHHVWSORQJp
G
GDQVXQFKDPSPDJQpWLTXH % ILJXUH&HFKDPSPDJQpWLTXHDOHVFDUDFWpULVWLTXHVVXLYDQWHV
LOHVWORFDOLVpGDQVXQF\OLQGUHG¶D[HYHUWLFDO2]GHUD\RQD
LOHVWXQLIRUPHGDQVOHF\OLQGUHSUpFpGHQWHWQXOjO¶H[WpULHXUGHFHF\OLQGUH
G
LOHVWGLULJpYHUWLFDOHPHQWVXLYDQWOHYHFWHXUXQLWDLUH H] G
G
LO YDULH VLQXVRwGDOHPHQW DX FRXUV GX WHPSV VHORQ OD IRUPH % W = %P FRVω W H] R %P
UHSUpVHQWHVRQDPSOLWXGHHW ω VDSXOVDWLRQ
G
Hθ
G
HU
3
G
H]
]
%
H
E
D
)LJXUHGLVTXHFRQGXFWHXUHWFKDPSPDJQpWLTXH
1RXVDGPHWWURQVOHVK\SRWKqVHVVLPSOLILFDWULFHVVXLYDQWHV
OHGLVTXHFRQGXFWHXUpWDQWGLVSRVpGDQVXQFKDPSPDJQpWLTXHYDULDEOHLOVHUDOHVLqJHG¶XQ
G
FRXUDQWYROXPLTXHLQGXLW M FRPSWHWHQX GH OD V\PpWULH GX V\VWqPH OH FRXUDQW YROXPLTXH LQGXLW HVW RUWKRUDGLDO HW GH OD
G
G
IRUPH M = M U W Hθ GDQV OHV FRQGLWLRQV GX SUREOqPH OH FKDPS PDJQpWLTXH LQGXLW FUpp SDU OH FRXUDQW LQGXLW HVW
QpJOLJHDEOHGHYDQWOHFKDPSPDJQpWLTXHH[WpULHXUDSSOLTXp
G
G
± 5DSSHOHU OD UHODWLRQ OLDQW OH YHFWHXU GHQVLWp YROXPLTXH GH FRXUDQW M DX FKDPS pOHFWULTXH (
GDQVXQFRQGXFWHXUGHFRQGXFWLYLWpσ
±2QFRQVLGqUHXQFRQWRXUFLUFXODLUH ΓGHUD\RQUHWG¶D[H2]'pWHUPLQHUODFLUFXODWLRQ &U W
GXFKDPSpOHFWULTXHUpVXOWDQWVXUFHFRQWRXU2QH[SULPHUD &U W HQIRQFWLRQGHU MUW HWσ
± 'pWHUPLQHU O¶H[SUHVVLRQ GX IOX[ Φ GX FKDPS PDJQpWLTXH j WUDYHUV OD VXUIDFH GpILQLH SDU OH
FRQWRXU Γ
2QGLVWLQJXHUDWUqVFODLUHPHQWOHVGHX[FDVRUDHWDUE
±(QDSSOLTXDQWODORLGH)DUDGD\GpWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGXFRXUDQWYROXPLTXHLQGXLW MUW HQ
IRQFWLRQGHσ ω UD %P HWW
2QGLVWLQJXHUDWUqVFODLUHPHQWOHVGHX[FDVRUDHWDUE
±5DSSHOHUO¶H[SUHVVLRQGHODSXLVVDQFHYROXPLTXHGLVVLSpHSDUHIIHW-RXOH
±(QFRQVLGpUDQWTXHOHGLVTXHFRQGXFWHXUHVWFRQVWLWXpSDUGHVFRXURQQHVGHUD\RQUGHODUJHXU
GUHWG¶pSDLVVHXUHGpWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGHODSXLVVDQFHWRWDOH 3 MRXOH GLVVLSpHSDUHIIHW-RXOHGDQV
O¶HQVHPEOHGXGLVTXHFRQGXFWHXUSXLVVDYDOHXUPR\HQQH 3MRXOH 2QPRQWUHUDTXH 3MRXOH SHXWVHPHWWUHVRXVODIRUPH 3MRXOH = $ω %P R $ HVWXQFRHIILFLHQWTXH
O¶RQH[SULPHUDHQIRQFWLRQGHHDEHW σ
2QVHSODFHUDSRXUODVXLWHGDQVOHFDVSDUWLFXOLHURD E'DQVFHFDVOHFRHIILFLHQW $ HVWGRQQp
SDUO¶H[SUHVVLRQ
$=
π Hσ D ± /H GLVSRVLWLI SUpFpGHQW HVW XWLOLVp GDQV OHV SODTXHV pOHFWULTXHV j LQGXFWLRQ SRXU FKDXIIHU OHV
FDVVHUROHVHWOHXUFRQWHQX
&RPPHQWSHXWRQFUpHUHQSUDWLTXHOHFKDPSPDJQpWLTXHVRXKDLWp"
&LWHU TXHOTXHV DYDQWDJHV GH FH GLVSRVLWLI GH FKDXIIDJH SDU UDSSRUW DX[ SODTXHV pOHFWULTXHV
FODVVLTXHV
± (Q SUDWLTXH OH FKDPS PDJQpWLTXH XWLOLVp D XQH SXOVDWLRQ ω GH O¶RUGUH GH [ UDGV
FRXUDQWGHIUpTXHQFHIGHO¶RUGUHGHN+]6RQLQWHQVLWp %P HVWGHO¶RUGUHGH7
2QFRQVLGqUHXQHSODTXHjLQGXFWLRQGHUD\RQE FPHWXQHFDVVHUROHGRQWOHIRQGDOHPrPH
UD\RQD E FPXQHpSDLVVHXUH FPHWXQHFRQGXFWLYLWpσ [6P
'pWHUPLQHU O¶RUGUH GH JUDQGHXU GH OD SXLVVDQFH PR\HQQH 3MRXOH GLVVLSpH GDQV OH IRQG GH OD
FDVVHUROH
'HX[LqPHSDUWLHIUHLQDJHpOHFWURPDJQpWLTXH
8QH URXH HVW FRQVWLWXpH SDU 1 UD\RQV FRQGXFWHXUV LGHQWLTXHV /HV H[WUpPLWpV GHV UD\RQV VRQW HQ
FRQWDFWpOHFWULTXHDYHFODFLUFRQIpUHQFHG¶XQFHUFOHGHUpVLVWDQFHQXOOHHWDYHFOHFHQWUH2GHODURXH
ILJXUH
,OVVRQWUpJXOLqUHPHQWUpSDUWLVVXUODFLUFRQIpUHQFHGXFHUFOH
&KDTXHUD\RQDXQHORQJXHXU/HWXQHUpVLVWDQFH5
G G
G
/¶HVSDFHHVWUDSSRUWpDXUHSqUHRUWKRQRUPp2[\]PXQLGHVYHFWHXUVXQLWDLUHV H[ H \ HW H] ]
ω
[
2
\
G
Hθ
3
G
HU
)LJXUHURXHSDUWLHOOHPHQWLPPHUJpHGDQVOHFKDPSPDJQpWLTXH
G
G
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10 – Soit un point P d’un rayon de la roue. On repèrera la position du point P par la distance r entre
P et le centre de la roue.
G
10.1 – Déterminer l’expression Em du champ électromoteur créé en un point P d’un rayon immergé
dans le champ magnétique en fonction de r, ω , B et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
10.2 – En déduire l’expression de la force électromotrice e créée sur chaque rayon immergé dans le
champ magnétique.
10.3 – Justifier, en détaillant la réponse apportée, qu’aucune force électromotrice n’apparaît sur la
circonférence de la roue.
11 – Tous les rayons étant en contact électrique d’une part avec la circonférence de la roue (de
résistance nulle) et d’autre part avec le moyeu O de la roue et compte-tenu de la symétrie de
rotation de la roue, on admet que :
chaque rayon immergé dans le champ magnétique est parcouru par le même courant
d’intensité i0 ;
chaque rayon non soumis au champ magnétique est parcouru par un courant d’intensité i1 .
Le schéma électrique équivalent à la roue est donc le suivant :
R
R
R
R
u
e
e
i0
i0
N
rayons immergés
2
dans le champ
magnétique
i1
i1
N
rayons hors
2
du champ
magnétique
Figure 8 : schéma électrique équivalent de la roue
On note u la différence de potentiel appliquée à chaque rayon.
11.1 – Déterminer l’expression de l’intensité i0 en fonction de u, e et R.
Déterminer l’expression de l’intensité i1 en fonction de u et R.
11.2 – En appliquant la loi des nœuds au centre O de la roue, déterminer la relation entre i0 et i1.
En déduire les expressions de i0 et i1 en fonction de e et R puis en fonction de B, L, R et ω .
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12 – Détermination du moment résultant des forces de Laplace.
12.1 – Quels sont les rayons de la roue soumis à une force de Laplace ?
12.2 – On considère un rayon soumis à une force de Laplace. Soit un élément de longueur dr de ce
rayon situé à une distance r du centre O.
G
Déterminer l’expression de la force élémentaire de Laplace dF à laquelle cet élément de circuit est
G
soumis. Exprimer dF en fonction de i0 , B, dr et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
G
12.3 – Déterminer l’expression dM du moment élémentaire de la force de Laplace par rapport à
G
l’axe Ox auquel est soumis cet élément de circuit. Exprimer dM en fonction de i0 , B, r, dr et d’un
vecteur unitaire que l’on précisera.
G
12.4 – En déduire l’expression du moment M de la force de Laplace F à laquelle est soumis un
rayon immergé en fonction de i0 , B, L et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
En déduire l’expression du moment résultant M tot des forces de Laplace appliquées aux différents
rayons de la roue. Exprimer M tot en fonction de i0 , B, L, N et d’un vecteur unitaire que l’on
précisera puis en fonction de B, L, N, R et ω .
13 – En appliquant le théorème du moment cinétique à la roue en rotation par rapport à l’axe Ox,
déterminer l’équation différentielle notée (1) vérifiée par la vitesse de rotation angulaire ω de la
roue.
Remarque : on pourra, pour simplifier, considérer sans démonstration que le moment du poids des
rayons de la roue par rapport à l’axe Ox est nul.
dω ω
+ = 0 et exprimer τ en fonction de R, J, N, B et L.
Mettre cette équation sous la forme
dt τ
En considérant que la vitesse de rotation angulaire de la roue est égale à une valeur ω0 à un instant
t = 0, déterminer la solution ω (t ) de l’équation différentielle (1).
Donner l’allure de la représentation graphique de ω (t ) . Quelle est la signification physique de la
constante τ ?
14 – Ce dispositif de freinage par courant de Foucault est utilisé sur les poids lourds et les véhicules
de transport en commun.
14.1 – Pourquoi ce dispositif n’est-il qu’un dispositif de ralentissement secondaire et ne peut-il être
utilisé comme dispositif unique de freinage ?
Par quel effet physique est transformée l’énergie cinétique du véhicule lors du freinage par courant
de Foucault ?
14.2 – Les freins par courant de Foucault sont utilisés le plus souvent en complément de freins à
disque classiques sur lesquels des plaquettes fixes et solidaires du véhicule viennent frotter sur des
disques en rotation et solidaires des roues.
Par quel effet physique est transformée l’énergie cinétique du véhicule lors du freinage avec des
freins à disque ?
Quels sont les avantages, au niveau de l’entretien, d’un dispositif de freinage par courant de
Foucault par rapport à un frein classique à disque ?
Fin de l’énoncé
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I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 13 1176 – D’après documents fournis