Correction détaillée du Devoir Commun de Mathématiques 4ème

Correction détaillée du Devoir Commun de Mathématiques
Exercice 1 :
Roméo et Juliette
4ème
(partie 2)
/3pts
A l’occasion de la Saint-Valentin, Roméo impatient décide
de rejoindre Juliette sur son balcon à l’aide d’une échelle.
● Le balcon est à une hauteur de 3,50 𝑚. (𝐽𝐻 = 3,50 𝑚).
● Roméo est tenu à l’écart de la maison par un fossé de 2 𝑚. (𝐻𝑅 = 2 𝑚).
● On considère que les droites (𝐽𝐻) et (𝐻𝑅) sont perpendiculaires.
→ Calculer, en justifiant, la longueur minimale de l’échelle pour que
Roméo puisse rejoindre Juliette. On arrondira au centimètre près.
Pour calculer la longueur JR de l’échelle, je vais utiliser la propriété de Pythagore dans le
triangle JHR rectangle en H.
« Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés. »
Comme le triangle
JHR
JR² = JH² + HR²
Donc,
est rectangle en R, je peux utiliser la propriété de Pythagore et écrire :
d’où
BR² = (3,5𝑚)² + (2𝑚)² = 12,25𝑚2 + 4𝑚² = 16,25𝑚²
JR= √16,25 𝑚= ≈ 4,0311𝑚
La longueur de l’échelle est 𝟒, 𝟎𝟑 𝒎 à 1cm près.
Exercice 2 :
des Programmes de calcul
/4pts
On propose les deux programmes de calculs suivants :
Programme A
Programme B
● Choisir un nombre ;
● Choisir un nombre ;
● Ajouter 5 ;
● Soustraire 3 ;
● Multiplier le tout par 2 ;
● Soustraire 7.
● Multiplier le tout par 5.
1) Montrer que si l’on choisit 10 comme nombre de départ, on obtient 23 avec le programme 𝐴.
On choisit 10 comme nombre de départ.
Avec le programme de calcul A, on a
10
15
En choisissant
̶ 7
×2
+5
10
30
comme nombre de départ, on obtient bien 23 à l’arrivée.
23
2) On choisit le nombre −2 comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme 𝐵 ?
On choisit – 2 comme nombre de départ
Avec le programme de calcul B, on a
̶ 3
×5
̶ 2
̶ 5
̶ 25
En choisissant ̶ 2 comme nombre de départ, on obtient ̶ 25 à l’arrivée.
3) Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme 𝐵 soit 0 ?
Avec le programme de calcul B, on a
̶ 3
×5
?
?
0
 1ère méthode remonter le programme
0
÷5
0
+3
3
 2ème méthode résoudre une équation
Si 𝑥 est le nombre de départ, le programme B donne le nombre (𝑥 − 3) × 5 à l’arrivée.
Pour obtenir 0, il faut chercher le nombre 𝑥 tel que (𝑥 − 3) × 5 = 0
D’où 𝑥 − 3 = 0
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥 = 3
Il faut choisir le nombre 3 pour que le programme B donne 0.
4) Quel nombre faut-il choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ? Expliquer.
Si 𝑥 est le nombre de départ, le programme A donne le nombre (𝒙 + 𝟓) × 𝟐 − 𝟕 à l’arrivée.
Si 𝑥 est le nombre de départ, le programme B donne le nombre (𝒙 − 𝟑) × 𝟓 à l’arrivée.
Pour que les deux programmes donnent le même résultat, il faut que ∶ (𝒙 + 𝟓) × 𝟐 − 𝟕 = (𝒙 − 𝟑) × 𝟓
On doit résoudre cette équation avec rigueur (penser à développer d’abord !)
2𝑥 + 10 − 7 = 5𝑥 − 15
2𝑥 + 3 = 5𝑥 − 15
2𝑥 − 5𝑥 = −15 − 3
−3𝑥 = −18
−3
−18
𝑥=
−3
−3
𝒙=𝟔
Il faut choisir le nombre 6 pour que les deux programmes donnent le même résultat.
Exercice 3 :
Avec un tableur
/3pts
(A compléter sur cette feuille)
La fiche de calcul ci-dessous donne le nombre de passagers d’un vol Nantes-Toulouse durant une semaine :
1) Quelle est la formule écrite dans la cellule I2 ?
= SOMME (B2 : H2)
=B2+C2+D2+E2+F2+H2
ou
2) Parmi les six formules suivantes, entourer celles qui peuvent convenir pour la cellule J2 :
MOYENNE (152 : 163)
= MOYENNE (B2 : H2)/1113
(B2+C2+D2+E2+F2+H2)/7
= SOMME (B2 : H2)/7
= MOYENNE (B2 : H2)
= I2/7
A savoir : Il faut absolument le symbole = pour une formule
3) Calculer le nombre moyen de passagers sur ce vol pendant cette semaine.
Mettre le résultat dans la cellule J2.
1113 / 7 = 159
Le nombre moyen de passagers sur ce vol pendant cette semaine est de 159.
Exercice 4 :
Sur la route
/2pts
Un routier quitte son entrepôt à 7 ℎ 45. Le compteur de son camion
indique 45 678 𝑘𝑚. Il roule sans arrêt à la vitesse moyenne de 80 𝑘𝑚/ℎ
et arrive à 10 ℎ 15 chez son client.
→ Qu’indique le compteur du camion à l’arrivée chez le client ?
Expliquer.
Calcul de la durée du trajet
10 h 15min – 7 h 45min = 2h 30min = 2,5 h
Calcul de la distance parcourue
80𝑘𝑚
𝑑 =𝑣×𝑡 =
× 2,5ℎ
ℎ
= 200km
Calcul de la distance sur le compteur kilométrique du camion
45 678km + 200km = 45 878km
Le compteur du camion à l’arrivée chez le client indique 45 878km.
Exercice 5 : Les aventures de Tintin
/2,5pts
(A compléter sur cette feuille)
Dans plusieurs albums de TINTIN, le capitaine Haddock prononce des jurons.
1) Sous chaque vignette, écrire sous la forme d’une puissance de 10 le nombre prononcé par le capitaine.
Nombre A :
𝟑
Nombre B :
𝟔
𝟏𝟎 × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝟑+𝟔+𝟑
= 𝟏𝟎𝟏𝟐
𝟑
𝟑
Nombre C :
𝟔
𝟑
𝟗
𝟏𝟎 × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝟑+𝟔+𝟑+𝟗+𝟑
= 𝟏𝟎𝟐𝟒
2) a) Que dire des nombres B et C ?
𝟑
𝟏𝟎𝟑 × 𝟏𝟎𝟗 × 𝟏𝟎𝟑 × 𝟏𝟎𝟔 × 𝟏𝟎𝟑
= 𝟏𝟎𝟑+𝟗+𝟑+𝟔+𝟑
= 𝟏𝟎𝟐𝟒
Les nombres B et C sont égaux.
𝑨2 = (𝟏𝟎𝟏𝟐 )𝟐 = 𝟏𝟎𝟏𝟐×𝟐 = 𝟏𝟎𝟐𝟒 = 𝑩
Le carré du nombre A est égal au nombre B.
b) Quel est le carré du nombre A ?
Exercice 6 : La cathédrale de Strasbourg
/3pts
Sur le dessin ci-contre, la Borne 𝐵 est alignée avec la tête du bonhomme 𝑇 et le sommet
de la cathédrale 𝑆. On suppose que le bonhomme et la cathédrale sont en position
verticale par rapport au sol horizontal. En 𝐻, le bonhomme qui mesure 1,77 𝑚
se trouve à 1,26 𝑚 de la borne 𝐵 et à 100 𝑚 du pied de la cathédrale 𝐶.
→ Calculer la hauteur de la cathédrale au mètre près. Expliquer.
Pour calculer la longueur HT, je vais utiliser la propriété de Thalès dans les triangles BHT et BCS.
Dans les triangles BHT et BCS, on a :
 Les points B, H, et C sont alignés
 Les points B, T, et S sont alignés
 Les droites (HT) et (CS) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à la même droite (BC).
D’après la propriété de Thalès, on peut écrire :
Attention
d’où
𝐵𝑇
𝐵𝑆
=
𝐵𝑇
𝐵𝑆
=
𝐵𝐻
𝐵𝐶
=
𝑇𝐻
𝑆𝐶
𝐵𝐶 = 𝐵𝐻 + 𝐻𝐶 = 1,26𝑚 + 100𝑚 = 101,26𝑚
1,26𝑚
=
101,26𝑚
1,77𝑚
𝑆𝐶
On peut déduire que : 𝑆𝐶 =
101,26𝑚×1,77𝑚
1,26𝑚
≈ 142,246𝑚
La hauteur de la cathédrale est de 142m à 1m près.
Exercice 7 : Les glaçons
/2,5pts
L’eau en gelant augmente de volume. Le
segment de droite ci-contre représente le
volume de glace (en litres) obtenu à partir
d’un volume d’eau liquide (en litres).
1) En utilisant le graphique,
répondre aux questions :
a) Quel volume de glace obtient-on avec 6,5 litres de liquide ?
b) Quel volume d’eau liquide faut-il geler pour obtenir
10 litres de glace ?
2) Le volume de glace est-il proportionnel au volume
d’eau liquide ? Justifier.
Question Bonus : On admet que 10 litres d’eau donnent 10,8 litres de glace.
De quel pourcentage ce volume d’eau augmente-t-il en gelant ?
1) a) Avec 6,5 L de liquide, on obtient un volume d’environ 7 L de glace.
(voir tracés en pointillés rouges sur le graphique ci-dessus)
b) Pour obtenir 10 L de glace, il faut geler environ 9 L d’eau.
(voir tracés en pointillés violets sur le graphique ci-dessus)
A savoir :
Une lecture graphique ne donne pas une réponse précise, on utilise donc le terme « environ » dans la réponse !
2) Les points du graphique sont alignés avec l’origine du repère parce que l’énoncé précise que
l’on a un segment de droite sur le graphique, on a donc une situation de proportionnalité ;
ainsi :
le volume de glace est proportionnel au volume d’eau liquide.
3) Bonus
On a une augmentation du volume de 0,8L pour 10L d’eau.
Comme on est dans une situation de proportionnalité (question 2), on aura une augmentation
de 8L pour 100L d’eau soit une augmentation de 8% du volume.
Le volume d’eau augmente de 8% en gelant.