Masse et masse volumique

Masse et masse volumique
Enoncés
1) La masse volumique du mercure est de 13,6 g / cm 3 (on note aussi g.cm-3).
Quelle est la masse de 54 cm3 de mercure.
2) Quel est le volume d’un morceau de cuivre pesant 120g.
La masse volumique du cuivre est de 8,9 g / cm 3
3) Un flacon vide pèse 75g, On le remplit avec 250 ml de sang, il pèse alors 337,5 g.
Quelle est la masse volumique du sang ?
4) Une bille de fer a un diamètre de 5 cm, quelle est sa masse sachant que la masse volumique du fer est de 7,8 kg.dm-3
5) Un cylindre de métal est large de 4 cm et haut de 8 cm, il pèse 1, 146 Kg. Quelle est sa masse volumique ?
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6) Quelle est la masse volumique de l’alcool à 70% ?
Rappel :
masse volumique de l’alcool pur : 0,8 g / cm 3 .
Masse volumique de l’eau 1 g / cm 3
7) On veut calculer la masse volumique du métal dans lequel a été fabriqué un objet.
On dispose d’une balance et d’un récipient gradué de base carrée de 10 cm de côté.
On pèse l’objet, sa masse est de 675 g.
On y verse de l’eau dans le récipient jusqu’à une hauteur de 15 cm, puis on y introduit l’objet en question, la hauteur d’eau est alors de 17,5
cm.
En déduire la masse volumique du métal.
8) Dans une coopérative laitière on veut vérifier que le lait livré n’est pas coupé avec de l’eau.
Pour cela on prélève 5 litres de lait et on pèse. Le poids est de 5,135 Kg.
Sachant que la masse volumique du lait est de 1,03Kg/l, est-ce que ce lait est coupé et si oui avec quelle quantité d’eau ?
9) On désigne sous le nom de laiton des alliages de cuivre et de zinc dans des proportions variables.
Quel est le % en vol de zinc dans un laiton dont masse volumique est de 8,5 g / cm 3 ?
La masse volumique du zinc est de 7,14 g / cm 3 .
Celle du cuivre est de 8,92 g / cm 3 .
10) On mélange un liquide A avec de l’eau.
La masse volumique de A est 1,5 g / cm 3 .
La masse volumique du mélange est de 1,3 g / cm 3
Quel est dans ce mélange, le rapport des volumes de A et de l’eau ?
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Rappels
Qu’est ce que la masse volumique ?
Un oreiller pèse environ 500 g.
Ainsi si vous placez un oreiller sur le plateau d’une balance, pour équilibrer la balance vous n’aurez besoin que d’un petit cylindre en laiton.
Deux corps ayant la même masse n’ont pas forcément le même volume.
Deux corps de composition différente n’ont pas la même masse pour un volume équivalent.
Un cm 3 de plumes est plus léger qu’un cm 3 de laiton.
La masse volumique (ρ ) d'un corps est la masse par unité de volume.
Elle s'exprime généralement en :
grammes
g
=
= g.cm −3
3
centimètre cube
cm
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ou en
kilogrammes
Kg
=
= Kg.dm −3
3
decimètre cube
dm
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Formules
masse volumique =
masse
volume
volume × masse volumique = masse
V ×ρ = M
g
cm 3 × 3 = g
cm
M
ρ=
V
volume =
masse
masse volumique
M
V=
ρ
cm 3 =
g
g
cm 3
Tableau de quelques masses volumiques ( ρ )
Aluminium
2,7 g / cm 3
Fer
7,8 g / cm 3
Cuivre
8,9 g / cm 3
Argent
10,5 g / cm 3
Mercure
13,6 g / cm 3
Plomb
11,4 g / cm 3
Or
19,5 g / cm 3
Pétrole
0,96 g / cm 3
Laiton *
7,3 à 8,5 g / cm 3
* Le laiton est un alliage de deux ou plusieurs métaux principalement cuivre et zinc, sa masse volumique dépend de sa composition.
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Surfaces et volumes de quelques figures géométriques
SPHERE
!
S = 4πR ²
CONE
!
V =
CYLINDRE
!
V = πR ² H
V =
4
π R3
3
1
π R2 h
3
S latérale = 2πRH
Fond = πR ²
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Aide
Exercices 1 à 5
Il n’y a pas de difficultés particulières, il suffit d’appliquer les formules en faisant attention à la cohérence des unités.
Exercice 6
L’alcool à 70% est un mélange d’alcool éthylique pur et d’eau, les proportions sont données en volume.
La masse volumique ρ d’un mélange de deux composés de masses volumiques ρ1 et ρ 2 et de volumes respectifs V1 et V2 est donnée par la
formule:
ρ=
ρ1 × V1 + ρ 2 × V2
V1 + V2
Exercice 7
Le volume d’eau déplacé correspond au volume de l’objet.
Exercice 8 et 9
Utiliser la formule donnée à l’exercice 6 pour écrire un système de deux équations à deux inconnues.
Dans l’exercice 8 on connaît le volume total.
Dans l’exercice 9, on le fixera à 100 cm 3
Exercice 10
Utiliser toujours la même formule mais faites apparaître le rapport des volumes
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V1
V
ou 2
V2
V1
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Correction
Exercice 1 :
On cherche la masse,
masse = volume × masse volumique
Le volume est exprimé en cm 3 , la masse volumique en g / cm 3 , la masse sera exprimé en g .
La masse de 54 cm 3 de mercure est de 734,4 g
(54 x 13,6 = 734,4)
Exercice 2 :
On cherche le volume
volume =
masse
masse volumique
La masse est en g, la masse volumique en g / cm 3 , le volume sera exprimé en cm 3
Le volume du morceau de cuivre est d’environ 13,5 cm3
(
120
≈ 13,48 )
8,9
Exercice 3 :
On cherche la masse volumique
masse volumique =
masse
volume
La masse de sang est de 337,5 – 75 soit 262,5g
Le volume de sang est de 250 ml soit 250 cm 3
La masse volumique du sang est de 1,05 g / cm 3
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(
262,5
= 1,05 )
250
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Exercice 4 :
Il faut d’abord calculer le volume de la bille, en appliquant la formule du volume d’une sphère.
Le diamètre de la bille est de 5 cm, son rayon est de 2,5 cm
V =
4
× π × 2;5 3 ≈ 65,45
3
Le volume de la bille est de 65,45 cm 3 .
La masse volumique est exprimée en Kg / dm 3 .
Il faut :
soit exprimer le volume en dm 3 et garder la masse volumique en Kg / dm 3 , dans ce cas la masse sera exprimée en Kg
65,45 cm 3 = 0,06545 dm 3
La masse de la bille est d’environ 0,511 Kg ( 0,06545 x 7,8 ≈ 0,51051)
soit laisser le volume en cm 3 et exprimer la masse en g / cm 3 la masse sera alors en g.
Comme la masse volumique s’exprime avec la même valeur en Kg / dm 3 ou en g / cm 3 , la masse volumique du fer est de 7,8 g / cm 3 .
La masse de la bille est de 510,51 g (65,45 x 7,8 ≈ 510,51)
En arrondissant le résultat au gramme près:
La masse de la bille est de 511g ou 0,511Kg
Remarque :
Pourquoi la masse volumique a la même valeur numérique qu’elle soit exprimée en Kg / dm 3 ou en g / cm 3 ?
1 kg = 1000 g
1 dm 3 = 1000 cm 3
1000 g
Kg
g
=
=
3
3
dm
1000 cm
cm 3
Si 1 dm 3 de fer pèse 7,8 Kg ; 1 cm 3 pèse 1000 fois moins, c'est-à-dire 7,8g
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Exercice 5 :
On détermine le volume du cylindre, les dimensions sont en cm, le volume sera en cm 3 .
R = 2 cm
H = 8 cm
V = π × 2² × 8 ≈ 100,53
Ce cylindre a une masse de 1,146 Kg soit 1146 g.
Masse volumique =
1146
≈ 11,4 .
100,53
La masse volumique de ce cylindre est de 11,4 g / cm 3 . C’est probablement un cylindre en plomb.
Exercice 6 :
Dans 100 cm 3 d’alcool à 70%, il y a 70 cm 3 d’alcool éthylique pur et 30 cm 3 d’eau
La masse volumique d’un mélange est donnée par la formule: ρ =
ρ1 × V1 + ρ 2 × V2
V1 + V2
V1 est le volume d’alcool
V2 est le volume d’eau
ρ1 × V1 est la masse d’alcool.
ρ 2 × V2 est la masse d’eau.
ρ1 × V1 + ρ 2 × V2 est la masse totale
V1 + V2 est le volume total
ρ1 est la masse volumique de l’alcool.
ρ=
ρ 2 est la masse volumique de l’eau.
70 × 0,8 + 30 × 1
= 0,86
100
La masse volumique de l’alcool à 70% est de 0,86 g / cm 3
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Exercice 7 :
Le volume de l’objet est égal au volume d’eau déplacé :
La hauteur d’eau déplacée est de 2,5 cm, le volume d’eau déplacé est de : :
10 × 10 × 2,5 = 250 soit 250 cm 3
La masse de l’objet est de 675g, la masse volumique sera exprimée en g / cm 3
675
= 2,7
250
La masse volumique est de 2,7 g / cm 3
Exercice 8 :
Le lait livré est coupé si sa masse volumique est inférieure à 1,03 Kg/l.
Calculons cette masse volumique :
Dans la formule ρ =
ρ=
ρ1 × V1 + ρ 2 × V2
V1 + V2
M
V
5,135
= 1,027
5
Le lait livré est donc coupé.
, le numérateur ρ1 × V1 + ρ 2 × V2 représente la masse du mélange c'est-à-dire 5,135 Kg et V1 + V2 le
volume du mélange,c'est-à-dire 5 litres.
On connaît ρ1 (la masse volumique du lait : 1.03 kg/l) et ρ 2 (la masse volumique de l’eau : 1 kg/l)
On cherche V1 (le volume de lait) et V2 (le volume d’eau), on peut écrire le système d’équations à deux inconnues suivant :
( A) 1,03 V1 + V2 = 5,135

V1 + V2 = 5
( B )
( A) − ( B )
0,03V1 = 0,135
V1 = 4,5
V2 = 0,5
Dans le lait livré il y a 4,5 litres de lait et 0,5 litre d’eau
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Exercice 9 :
On connaît :
ρ (masse volumique du mélange = 8,5 g / cm 3 )
ρ1 (masse volumique du zinc = 7.14 g / cm 3 )
ρ 2 (masse volumique du cuivre =8.92 g / cm 3 )
On doit déterminer V1 et V2 .
Si on fixe le volume total à 100 cm3 on aura V1 + V2 = 100 et les valeurs de V1 et de V2 correspondront aux pourcentages demandés.
On remplace ces valeurs dans la formule qui fournit la masse volumique d’un mélange ρ =
8,5 =
7,14 × V1 + 8,92 × V2
100
ρ1 × V1 + ρ 2 × V2
V1 + V2
d’où 850 = 7,14 × V1 + 8,92 × V2
On peut écrire le système suivant :
( A) 7,14 V1 + 8,92V2 = 850

V1 + V2 = 100
( B )
( A) − (7,14 B )
1,78V2 = 136
V2 ≈ 76,4
V1 ≈ 23,6
Dans un volume de 100 cm 3 de ce laiton, il y a 23,6 cm 3 de zinc et 76.4 cm 3 de cuivre.
Dans ce laiton, il y 23,6% de zinc et 76,4% de cuivre.
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Exercice 10 :
ρ1 × V1 + ρ 2 × V2
En remplaçant comme précédemment les valeurs connues dans la formule ρ =
1,3 =
V1 + V2
on obtient :
1,5V1 + V2
V1 + V2
On va faire apparaître le rapport
V1
+1
V2
1,3 =
V1
+1
V2
V1
en divisant le numérateur et le dénominateur par V2
V2
1,5
En appelant r ce rapport on l’équation 1,3 =
1,5r + 1
r +1
Résolution de l’équation :
1,3 =
1,5r + 1
r +1
→
1,3( r + 1) = 1,5r + 1
→
1,3r + 1,3 = 1,5r + 1
→
0,2r = 0,3
→
r=
3
2
V1 3
=
V2 2
Le rapport des volumes est de 3/2, il y a 3 volumes du liquide A pour 2 volumes d’eau.
NB : On aurait pu comme dans l’exercice précédent fixer le volume total à 100, calculer les volumes V1 et V2 et en déduire le rapport
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V1
.
V2