Devoir de Mathématiques n°2

Devoir de Mathématiques n°2
1.S
Exercice I.
Soient ABC un triangle non rectangle et A', B' et C' les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et
[AB]. On note O le contre du cercle circonscrit au triangle.

→

→

→

→
1. Soit H le point du plan défini par : OH = OA + OB + OC

→

→

→
a. Montrer que : OB + OC = 2 OA'

→
b.
c.
d.
2.

→
En déduire AH en fonction de OA ' .
Montrer que la droite (AH) est perpendiculaire à la droite (BC).
Pourquoi la droite (BH) est-elle perpendiculaire à (AC) ? En déduire la nature du point H pour le triangle ABC.
On note G le centre de gravité du triangle ABC.

→

→
a. Montrer que OH = 3 OG
b. Dans quel cas a-t-on O = G = H ?
c. Le cas précédent excepté, montrer que les points O, G et H sont alignés sur une droite, que l'on appelle la droite
d'Euler du triangle.
d. Montrer que le résultat précédent reste valable si le triangle est rectangle.
Exercice II.
(unité : 1 cm).
1. Construire un triangle ABC tel que AC = 12, BA = 10 et CB = 8, et placer le barycentre G de (A, 1), (B, 2) et (C, 1)

→

→

→
2. Déterminer et représenter l'ensemble des points M tels que ||MA + 2 MB + MC || = AC.

→

→

→

→

→
3. Soit E l'ensemble des points N tels que || NA + 2 NB + NC || = || BA + BC ||.
3.a. Montrer que le point B appartient à E .
3.b. Déterminer et représenter l'ensemble E .
Exercice III. Soit un triangle ABC. Déterminer et construire l'ensemble (E) des points M du plan tels que

→

→

→

→
MA + 2 MB + MC soit colinéaire au vecteur AC .
Exercice IV. ABC est un triangle isocèle rectangle en A, de coté a, c’est à dire que a désigne la longueur AB.
Pour
le lieu des points vérifiant la relation donnée.
r chaquerquestionrdéterminer
r
1°)
2°)
3°)
AMr+ 2BM
+ 2CM
=0
r
r
2AM + BM + CM = 2a
r
r
r
r
r
r
2 AM + BM + CM = 2 AM − BM − CM
Exercice V.
Soit la fonction définie par g ( x ) = x 1 − x 2 . On désigne par (C) la courbe représentant g .
Préciser le domaine de définition de g . Montrer que g est impaire. Graphiquement, que peut-on en
déduire ?
Eléments de corrigé :

→

→

→
1. a. Comme A ' est le milieu de [BC], pour tout point M du plan, on a : MB + MC = 2MA' et on obtient le résultat en
remplacant M par O.

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→
b. AH = AO + OH ; AH = AO + OA + OB + OC d'où AH = OB + OC = 2OA '

→

→
c. (OA ') est la médiatrice du segment [BC], donc (OA ') est perpendiculaire à (BC). L'égalité AH = 2OA ' montre que les
droites (AH) et (OA ') sont parallèles. On en déduit que (AH) est perpendiculaire à (BC).

→

→
d. On démontre de la même manière que BH = 2OB ' et donc que les droites (BH) et (AC) sont perpendiculaires.
Les droites (AH) et (BH) sont donc deux hauteurs du triangle ABC ; elles ont le point H en commun, lequel est ainsi le point
de concours des hauteurs, c'est à dire l'orthocentre du triangle ABC.

→

→

→

→
2. a. G étant le centre de gravité du triangle, on a : MA + MB + MC = 3 MG pour tout point M du plan.

→

→

→

→

→

→
Pour M = O on obtient OA + OB + OC = 3 OG donc OH = 3 OG
b. O = G = H seulement dans le cas où ABC est équilatéral.

→

→
c. D'après la relation vue en a. OH et OG sont colinéaires, d'où O, G et H sont alignés.

→

→

→

→
d. Si le triangle est rectangle en A, par exemple, alors H = A et O = A ' et on a bien OH = 3 OG car AA ' = 3 A ' G La
droite d'Euler est (OA).