Les Olympiades mathématiques
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Les Olympiades mathématiques
JEUX ET PROBLÈMES par Béchir Kachoukh Les Olympiades mathématiques africaines En 1986, l’Union mathématique africaine crée les Olympiades mathematiques africaines pour les élèves de moins de 20 ans. Un classement individuel et un classement par pays sont établis. Bechir Kachoukh est président de la Commisssion de l’enseignement et des nouvelles technologies de l’Union mathématique africaine (UMA), ancien président et actuel vice-président de l’Association tunisienne des sciences mathématiques (ATSM). L 'Olympiade pan-africaine des mathématiques (OPAM) est l'une des principales activités de l'Union mathématique africaine (UMA). Elle est gérée par l'une des quatre commissions de l'UMA créées en 1986, en l'occurence la Commission des olympiades pan-africaines de mathématiques (Opamuma). L'UMA a élaboré dès 1986 des règlements régissant les modalités de participation, le déroulement de l'olympiade, le mode de classement... L’OPAM est destinée au élèves du niveau baccalauréat au plus, n’ayant pas encore intégré l’enseignement supérieur ou tout enseignement équivalent, et qui sont âgés de moins de vingt ans. Le choix des pays destinés à accueillir les différéentes éditions de l’OPAM est effectué pour quatre ans par l’assemblée générale de l’UMA lors de chaque Congrès pan-africain des mathématiques. Avant chaque édition, l’accord officiel du gouvernement du pays retenu est sollicité et est déterminant pour l’organisation effective de l’Olympiade. Chaque délégation est composée d’au plus quatre concurrents et d’un chef de délégation qui doit être un enseignant de mathématiques de l’enseignement secondaire ou supérieur. Les épreuves se déroulent sur deux jours en deux sessions de 4 h 30 chacune. Trois problèmes sont proposés pour chaque session. Un jury assure la correction, en avccord avec l’ensemble des responsables de délégations. Deux classements sont ensuite établis : un clas- 16 Tangente Éducation no 12 Mars 2010 sement individuel et un classement par pays, selon le total des points de tous les participants d’une même délégation. B. K. 1987 Rabat (Maroc) 7 pays 1989 Ibadan (Nigéria) 9 pays 1991 Nairobi (Kenya) 3 pays 1993 Dakar (Sénégal) 4 pays 1994 Yamoussoukro (Côte d’Ivoire) 3 pays 1995 Ifrane (Maroc) 6 pays 1997 Cotonou (Bénin) 4 pays 1998 Rabat (Maroc) 6 pays 2000 Le Cap (Afrique du Sud) 7 pays 2001 Ouagadougou (Burkina Faso) 8 pays 2002 Pretoria (Afrique du Sud) 12 pays 2003 Maputo (Mozambique) 12 pays 2004 Tunis (Tunisie) 2005 Alger (Algérie) 2006 Dakar (Sénégal) 2007 Abuja (Nigéria) 2008 Porto Novo (Bénin) 2009 Pretoria (Afrique du Sud) Les dix-huit premières éditions des Olympiades pan-africaines de Mathématiques. MATHÉMATIQUES AFRICAINES 1. Une cerémonie dérangée Au cours de la cérémonie d’accueil des Olympiades pan-africaines, on distribue des badges aux membres des équipes des douze pays participant (chaque équipe comporte cinq participants). On suppose que la distribution des badges se fait au hasard. 1. Déterminer le nombre A des distributions où aucun participant ne reçoit son propre badge. 2. Déterminer le nombre B des distributions au aucun participant ne reçoit son propre badge, mais celui d’un membre de son équipe. 3. Dans un quadrilatère Un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle de diamètre [AB]. Supposons que (AB) et (CD) se coupent en I, (AD) et (BC) en J, (AC) et (BD) en K. Soit N un point de [AB]. Montrer que (IK) est perpendiculaire à (JN) si et seulement si N est le milieu de [AB]. 4. Des nombres sur un cercle 2. Un entier difficile à trouver Soit n un entier naturel. Montrer qu’on ne peut pas trouver d’entier naturel m tel que 3n2 + 3n + 7 = m3. 5. Les trois nombres Trois nombres réels vérifient les deux propriétés suivantes : (P1) Le carré de leur somme est égal à la somme de leurs carrés ; (P2) Le produit des deux premiers est égal au carré du troisième. Trouver ces trois nombres. Les nombres a1, a2…, a268 sont écrits sur un cercle. Toute somme de vingt nombres qui se suivent sur le cercle est égale à 75. On sait que a17 = 3, a83 = 4 et a144 = 9. Trouver a210. 7. Une expression à maximiser Soient a, b, c, x, y, z des réels strictement positifs. 6. L’entier mystérieux Déterminer le plus petit entier m tel que 4 002 divise am – a pour tout nombre entier a. Déterminer la valeur maximale de l’expression suivante : Solutions en page 18. (a + b + c)4 4 4 4 (x + y + z) (ax + by + c ) 4z Mars 2010 no 12 Tangente Éducation 17