Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes 1 Généralités
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Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes 1 Généralités
1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d’Économie et Gestion MATH201 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes 1 Généralités ~ une application de Ω dans R2 Définition 1. Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé et C ~ : Ω −→ R2 On note : C où X et Y sont deux V.A. définies sur (Ω, P(Ω), P). ω 7−→ (X(ω), Y (ω)) ~ = (X, Y ) est un couple de V.A. discrètes, ou plus simplement couple aléatoire On dit que C discret, lorsque les V.A. X et Y sont discrètes. Exemple 1 On lance un dé. X est le numéro qui sort et Y vérifie Y (Ω) = {0; 1} où Y = 0 si le numéro est pair et Y = 1 si le numéro est impair. ~ pourrait prendre une infinité (dénombrable) de valeurs, Remarque : En principe, le couple C cependant, dans tous les exemples traités, nous nous contenterons d’étudier des couples prenant un nombre fini de valeurs. ~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret. On note, dans le cas fini : Notations : Soit C 1. X(Ω) = {x1 , · · · , xn } et Y (Ω) = {y1 , · · · , ym } ~ = (xi , yj )) = P((X = xi ) ∩ (Y = yj )) pour tout (i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, m]] 2. pij = P(C 3. pi• = P(X = xi ) pour tout i ∈ [[1, n]] 4. p•j = P(Y = yj ) pour tout j ∈ [[1, m]] 2 Loi conjointe, lois marginales ~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret. Définition 2. Soit C L0 application p : X(Ω) × Y (Ω) −→ [0, 1] ~ 1. s’appelle la loi conjointe du couple C. (xi , yj ) 7−→ pij L1/S1 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 2 2. 3. L0 application p : X(Ω) −→ [0, 1] s’appelle la première loi marginale du couple xi 7−→ pi• ~ (C’est en fait la loi de X) C. • L0 application p• : Y (Ω) −→ [0, 1] ~ s’appelle la seconde loi marginale du couple C. yj 7−→ p•j (C’est en fait la loi de Y ) ~ détermine complètement Remarque : Nous verrons que la loi conjointe d’un couple aléatoire C ~ mais que la réciproque est fausse. les lois marginales de C, ~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret. Avec les notations précédentes, on a : Théorème 1. Soit C 1. ∀i ∈ [[1, n]], pi• = m X pij et 2. ∀j ∈ [[1, m]], p•j = j=1 X p•j = 1 puisque les pi• (respectivement j∈[[1,m]] les p•j ) représentent la loi de X X (resp. de Y ). X X X Enfin, pij = pij = j∈[[1,m]] i∈[[1,n]] X pi• = 1 et i∈[[1,n]] Y pij i=1 Remarque : On a bien évidemment : i∈[[1,n]] j∈[[1,m]] n X X pij = 1 (i,j)∈[[1,n]]×[[1,m]] y1 y2 ··· yj ··· ym Loi de X x1 p11 p12 ··· p1j ··· p1m p1• x2 p21 p22 ··· p2j ··· p2m p2• X .. . xi .. . pi1 pi2 ··· .. . pij .. . ··· pim pi• .. . .. . xn pn1 pn2 ··· pnj ··· pnm pn• Loi de Y p•1 p•2 ··· p•j ··· p•m 1 ~ Table 1 – représentation matricielle des lois de C Exercice 1 On lance un dé non truqué (hypothèse d’équiprobabilité). On considère les variables aléatoires X et Y définies sur {1; 2; 3; 4; 5; 6} par : X prend la valeur 0 si le résultat est pair, et la valeur 1 sinon. Y prend la valeur 0 si le résultat est 2 ou 4, et la valeur 1 sinon. Donner le tableau de la loi conjointe du couple (X, Y ) et des lois marginales. L1/S1 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 3 Exercice 2 Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules noires. On tire successivement deux boules de cette urne. On considère les V.A.R. X et Y définies par : X prend la valeur 1 si la première boule tirée est blanche et 0 sinon. Y prend la valeur 1 si la seconde boule tirée est blanche, et 0 sinon. Donner la table de la loi conjointe de (X, Y ) dans le cas où les tirages se font avec remise, puis dans le cas où les tirages se font sans remise. 3 Lois conditionnelles ~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret, et xi , (respectivement yj ) une valeur Remarque : Soient C prise par X) (respect. Y ) telle que P(Y = yj ) 6= 0. On peut considérer la probabilité conditionnelle P(Y =yj ) (X = xi ) = p P((X = xi ) ∩ (Y = yj )) = ij P(Y = yj ) p•j ~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret défini sur un espace probabilisé. Définition 3. Soit C 1. Pour tout indice j tel que P(Y = yj ) 6= 0, on appelle loi conditionnelle de X sachant (Y = yj ), l’application définie sur X(Ω), à valeurs dans [0, 1] par : xi 7−→ P(Y =yj ) (X = xi ) = pij p•j 2. Pour tout indice i tel que P(X = xi ) 6= 0, on appelle loi conditionnelle de Y sachant (X = xi ), l’application définie sur Y (Ω), à valeurs dans [0, 1] par : yj 7−→ P(X=xi ) (Y = yj ) = Remarque : On a vu que n X pij = p•j et i=1 donc bien des lois de probabilités m X pij = pi• , les applications définies ci-dessus sont j=1 m X X n pij pi• pij pij = =1 . i=1 p•j j=1 pi• Exercice 3 On considère deux V.A.R. X et Y discrètes sur un univers Ω telles que X(Ω) = Y (Ω) = {0; 1; 2}. On donne la table de la loi conjointe de (X, Y ) et des lois marginales. Y 0 1 2 Loi de X 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 6 1 0 0, 1 0, 2 0, 3 2 0 0 0, 1 0, 1 Loi de Y 0, 1 0, 3 0, 6 1 X Déterminer toutes les lois conditionnelles. L1/S1 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 4 4 Indépendance de V.A.R. ~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret défini sur un espace probabilisé quelDéfinition 4. Soit C conque. On dit que les V.A.R.D. X et Y sont indépendantes si et seulement si ∀(i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, m]], P (X = xi ) ∩ (Y = yj ) = P(X = xi ) · (Y = yj ) ou encore, avec les notations du paragraphe précédent : ∀(i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, m]], pij = pi• · p•j Exercice 4 On lance un dé non truqué (hypothèse d’équiprobabilité). On considère les V.A. X et Y définies sur [[1; 6]] par : X prend la valeur 1 si le résultat est pair, et la valeur −1 sinon. Y prend la valeur 2 si le résultat est 2 ou 5, et la valeur 1 sinon. Compléter la table de la loi conjointe Y Loi de X X Loi de Y 1 Combien y-a-t-il d’égalités à vérifier pour justifier que les V.A.R.D. X et Y dont indépendantes ? Remarque : Si CardX(Ω) = n et CardY (Ω) = m, il y a n · m égalités à vérifier. Par contre, pour justifier que deux V.A.R.D. ne sont pas indépendantes, il suffit de montrer qu’une égalité n’est pas vérifiée ! Définition 5. On peut généraliser cette notion à d V.A.R. discrètes définies sur le même espace probabilisé : elles sont dites mutuellement indépendantes si et seulement si : ∀α1 ∈ X1 (Ω), · · · , ∀αd ∈ Xd (Ω), P (X1 = α1 ) ∩ · · · ∩ (Xd = αd ) = P(X1 = α1 ) × · · · × P(Xd = αd ) L1/S1 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 5 5 Somme de deux V.A.R. discrètes Le but de ce paragraphe est de déterminer la loi de la somme Z = X + Y de deux V.A.R discrètes X et Y définies sur un même espace probabilisé Ω. 5.1 Définitions - Exemples Exercice 5 On lance un dé non truqué (hypothèse d’équiprobabilité). Soient X et Y les V.A.R discrètes définies par : X est le chiffre obtenu et Y prend la valeur 3 si le résultat est un multiple de 3 et 1 sinon. 1. Donner la loi conjointe du couple (X, Y ), et les lois marginales 2. Donner la loi de la V.A.R. Z = X + Y Remarque : Ainsi, lorsque pour une valeur z ∈ Z(Ω), on veut calculer P(Z = z), il faut considérer l’ensemble Iz = {(i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, m]]/xi + yj = z}. Cet ensemble décrit toutes les façons d’obtenir z en sommant X + Y . Iz étant une partie de [[1, n]] × [[1, m]] donc de N2 , elle est dénombrable, et en utilisant la σ-additivité de P, on a : [ P(Z = z) = P(X + Y = z) = P (X = xi ) ∩ (Y = yj ) (i,j)∈Iz = X pij (i,j)∈Iz Théorème 2. Soient X et Y deux V.A.R. discrètes indépendantes à valeurs dans N (ou une partie de N). La loi de Z = X + Y est obtenue en faisant le produit de convolution de la loi de X par la loi de Y , i.e. ∀n ∈ N, P(Z = n) = X P(X = p) × P(Y = q) = p+q=n X P(X = p) × P(Y = n − p) p≥0 Exercice 6 On considère deux variables aléatoires X et Y de loi de Bernoulli de 1 2 paramètres et respectivement. 2 3 1 On suppose de plus que P ({X = 0} ∩ {Y = 0}) = . 6 1. Déterminer la loi du couple (X, Y ). Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? 2. On pose U = X + Y et V = X · Y . Déterminer la loi du couple (U, V ), ainsi que les lois des variables aléatoires U et V . Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes ? Exercice 7 (i; j)∈ Ω2 , Sur Ω = {−1; 0; 1}, on considère un couple (X, Y ) de V.A. tel que, pour tout P ({X = i} ∩ {Y = j}) = 1 9 1 12 1 6 si i = j, si i = 0 ou j = 0 et i 6= j, si i = −j et i 6= j. L1/S1 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 5.2 Quelques cas particuliers 6 1. Représenter ces données dans une table. Déterminer les lois marginales de X et Y . 2. Déterminer l’espérance de X, puis celle de Y . 3. Les V.A. X et Y sont-elles indépendantes ? 4. Déterminer la loi de probabilité de la variable Z = X + Y . Exercice 8 La loi d’un couple (X, Y ) de V.A. est donnée par le tableau suivant : Y −2 −1 0 1 2 Loi de X 0 0 0 1 6 1 12 1 12 1 3 1 0 1 12 1 24 1 24 0 1 6 2 1 4 1 8 1 8 0 0 1 2 Loi de Y 1 4 5 24 1 3 1 8 1 12 1 X 1. Calculer E(X) et E (Y ). 2. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? 3. On pose Z = X + Y . Donner le tableau de la loi de probabilité du couple (X, Z). Les V.A. X et Z sont-elles indépendantes ? 5.2 5.2.1 Quelques cas particuliers Loi binomiale Théorème 3. Soient X ,→ B(n, p) et Y ,→ B(n0 , p) (le paramètre p doit être le même !) deux V.A. indépendantes : alors X + Y ,→ B(n + n0 , p) Corollaire : Considérons n V.A.R. indépendantes qui suivent toutes la même loi de Bernouilli (ou loi Binomiale B(1, p)). Alors Z = X1 + X2 + · · · + Xn suit la loi binomiale B(n, p) . 5.2.2 Loi de Poisson Théorème 4. Soient X ,→ P(λ) et Y ,→ P(µ) deux V.A. indépendantes qui suivent des lois de Poisson ; alors X + Y ,→ P(λ + µ) L1/S1 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 5.3 Espérance 5.3 7 Espérance Théorème 5. Soient X et Y deux V.A.R.D. définies sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On suppose que X et Y possèdent chacune une espérance. Alors 1. X + Y possède une espérance et E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 2. Pour tous réels a et b, W = aX + b possède une espérance et E(W ) = a.E(X) + b. 5.4 Variance et covariance Théorème 6. Soit X une V.A.R.D. définie sur (Ω, P(Ω), P). On suppose que X possède une variance. Alors Y = aX + b (où (a, b) ∈ R2 ) possède une variance et V (Y ) = a2 V (X) Définition 6. Soient X et Y deux V.A.R.D. définies sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On suppose que X et Y possèdent chacune une variance. On appelle covariance de X et Y , notée cov (X, Y ), l’espérance du produit des V.A.R. centrées associées à X et à Y , i.e. cov (X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] Théorème 7. Avec les notations ci-dessus, on a : cov (X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) Théorème 8. Soient X et Y deux V.A.R.D. définies sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On suppose que X et Y possèdent chacune une variance. Alors 1. La V.A.R.D. Z = X + Y possède également une variance 2. V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2cov (X, Y ) 5.5 Corrélation linéaire Définition 7. Soient X et Y deux V.A.R. discrètes sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On suppose que X et Y possèdent chacune une variance non nulle. On appelle coefficient de corrélation linéaire de X et Y le nombre réel noté ρX,Y défini par : cov (X, Y ) ρX,Y = σ(X).σ(Y ) où σ(X) (respectivement σ(Y )) est l’écart-type de X (respectivement de Y ) et σ(X) = Remarque : Il existe une inégalité (dite de Cauchy-Schwarz) en analyse qui s’écrit : n X xi y i i=1 6 n X i=1 !1/2 x2i · n X !1/2 yi2 i=1 Cette inégalité s’applique ici : |cov (X, Y )| 6 σ(X).σ(Y ) Conséquence : ρX,Y ≤ 1 L1/S1 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion q V (X) . 5.5 Corrélation linéaire 8 Théorème 9. Soient X et Y deux V.A.R. discrètes sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On suppose que X et Y possèdent chacune une variance non nulle. On a l’implication Xet Y indépendantes ⇒ cov (X, Y ) = 0 Xet Y indépendantes ⇒ V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) Remarque : Ces deux implications ne possèdent pas de réciproque ! Exercice 9 La loi d’un couple de V.A.R. discrètes (X, Y ) est donné par le tableau ci-dessous : (X(Ω) = {1; 2} et Y (Ω) = {1; 2.3.} ). Y 1 2 3 Loi de X 1 0 1 2 0 1 2 2 1 4 0 1 4 1 2 Loi de Y 1 4 1 2 1 4 1 X Calculer cov (X, Y ). X et Y sont-elles indépendantes ? Exercice 10 Un dé équilibré est lancé n fois. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de chiffres pairs obtenus et Y la variable aléatoire égale au nombre de 1 obtenus. 1. Pour n = 2, explicitez la loi conjointe de X et Y . Calculez cov(X; Y ). 2. Dans le cas général, calculez V(X), V(Y ), V(X + Y ) et en déduire cov(X; Y ). Indication pour V(X + Y ) : quelle est la loi de X + Y ? L1/S1 - MATH 201 - Probabilités J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion