Cliques, ensembles indépendants et l`impossible

Cliques,
ensembles
indépendants
et l’impossible
désordre
Cliques, ensembles indépendants et
l’impossible désordre
Cliques,
ensembles
indépendants
et l’impossible
désordre
Le jeu de Sim
Six points dans le plan. Un joueur dispose d’un crayon bleu et
l’autre d’un rouge. Tour à tour, ils tracent un trait entre deux points.
Le premier qui complète un triangle de sa couleur a perdu.
Jamais de partie nulle !
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Le jeu de Sim
Sur cinq points, la partie nulle est possible.
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Le théorème de l’amitié
Thorème de l’amitié : Parmi six personnes, on en trouve toujours
trois qui se connaissent l’une l’autre, ou trois qui sont étrangères
l’une à l’autre.
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Ensembles indépendants et couvertures de sommets
Un ensemble indépendant d’un graphe est un ensemble de
nœuds deux à deux non adjacents.
Un ensemble indépendant maximum est un ensemble
indépendant dont le nombre de nœuds est maximal.
Rappel : Une couverture de sommets est un ensemble de
sommets tel que toute arête est incidente à un de ces sommets.
Théorème : Un ensemble de nœuds est indépendant si et
seulement si son complémentaire est une couverture de sommets.
Corollaire :
|ensemble indépendant maximum| + |couverture minimum| =
|nombre de nœuds|
Donc trouver un ensemble indépendant maximum est tout aussi
difficile que trouver une couverture de sommets minimale. Pas
d’algorithme efficace connu.
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Ensembles indépendants et cliques
Une clique d’un graphe est un ensemble de nœuds deux à deux
adjacents. Autrement dit, c’est un sous-graphe complet.
Une clique maximum est une clique dont le nombre de nœuds est
maximale.
Théorème : Un ensemble est indépendant dans un graphe simple
si et seulement si il est une clique dans le graphe complémentaire.
Deux nœuds sont adjacents dans le complémentaire du graphe G
si et seulement si ils sont non-adjacents dans le complémentaires.
Donc trouver une clique maximum est tout aussi difficile que
trouver un ensemble indépendant maximum ou une couverture de
sommets minimum.
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Le théorème de Ramsey
Théorème de l’amitié : Tout graphe simple à six nœuds contient
une clique de trois nœuds ou un ensemble indépendant de trois
nœuds.
Théorme de l’amitié : En coloriant, de façon arbitraire, les arêtes
du graphe complet à six nœuds en bleu et rouge, on crée un
triangle bleu ou un triangle rouge.
Un triangle est une clique de trois nœuds.
Ramsey a généralisé ce résultat pour des cliques de taille
arbitraire.
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Le théorème de Ramsey
Soit un graphe complet à r nœuds. On colorie les arêtes en
couleurs c1 , c2 . On cherche la plus petite valeur de r telle que tout
coloriage crée une clique à p nœuds de couleur c1 , ou une clique
à q nœuds de couleur c2 . Cette plus petite valeur de r , est le
nombre de Ramsey R(p, q).
Thorme de Ramsey (1930) : ∀p, q ∈ N∗ , R(p, q) existe
On le prouve à l’aide de l’inégalité suivante.
Théorème (Erdős et Szekeres, 1935) :
Pour p, q ≥ 2 : R(p, q) ≤ R(p, q − 1) + R(p − 1, q).
Corollaire : R(p, q) ≤
p+q−2
p−1
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Quelques nombres de Ramsey
Il est très difficile de calculer exactement les nombres de Ramsey,
on n’en connaît que peu.
Théorème de l’amitié : R(3, 3) = 6.
On sait aussi que R(1, 1) = 1, R(2, 2) = 2, R(4, 4) = 18. On ne
connaît pas exactement les valeurs de R(5, 5), R(6, 6), . . .
Le mathématicien Joel Spencer raconte :
“Erdős asks us to imagine an alien force, vastly more powerful
than us, landing on Earth and demanding the value of R(5, 5) or
they will destroy our planet. In that case, he claims, we should
marshal all our computers and all our mathematicians and attempt
to find the value. But suppose, instead, that they ask for R(6, 6). In
that case, he believes, we should attempt to destroy the aliens.”
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Cliques et densité
Un graphe dense (qui a beaucoup d’arêtes) possède
invitablement des cliques.
Thorème de Turàn (1941) : Si un graphe simple a strictement plus
2
de (1 − 1r ) n2 arêtes, alors il a une clique de r + 1 nœuds.
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Frank Plumpton Ramsey
Mathématicien, philosophe et économiste anglais. 1903-1930.
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La théorie de Ramsey
Beaucoup de théorèmes existant imitent le théorème de Ramsey
et prouvent quelque chose du genre :
“Dans un machin suffisamment grand, il y a toujours des
sous-machins avec une certaine propriété.”
Autrement dit :
“Dans un grand machin, même tout à fait quelconque, un certain
ordre est invitable.”
Ou encore :
“Le désordre complet est impossible.”
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Exemple : sommes d’entiers
Colorions les nombres de un à quatorze en trois couleurs. Alors il
existe trois nombres (pas forcément distincts) x, y , z de même
couleur tels que x + y = z.
Théorème de Schur (1916) : Pour chaque k , il y a un nombre rk tel
que pour toute partition des nombres 1, 2, . . . , rk en k classes, une
de ces classes contient x, y , z tels que x + y = z.
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Exemple : progressions arithmétiques
Colorions les nombres de un à neuf en deux couleurs. Alors il
existe une progression arithmétique de longueur trois qui est
monochrome.
Théorème de Van der Waerden : Pour tout p, q, il existe un
nombre W (p, q) tel que les nombres de 1 à W (p, q), coloriés
arbitrairement en p couleurs, contiennent une progression
arithmétique monochrome de longueur q.