4.2. Résultats dans le modèle de Black-Scholes 4

Transcription

Stratégies optimales de couverture des
garanties planchers sur les contrats en UC
Séminaire L² ISFA Lyon – ISA-HEC Lausanne
Lyon, le 19 janvier 2009
Oberlain NTEUKAM
Frédéric PLANCHET
Pierre THEROND
SOMMAIRE
1. Introduction
2. Evaluation des engagements
3. Stratégies de couverture
4. Implémentation
Séminaire L² ISFA Lyon – HEC Lausanne – 19 janvier 2009
1. Introduction
La future norme IFRS « assurance », comme le projet « solvabilité 2 »
imposent l’évaluation des provisions pour des risques réplicables dans
une logique de couverture née de la finance de marché.
Cette logique s’applique essentiellement à la composante financière des
risques portés par les assureurs et les conséquences suivantes :
 le calcul de la provision s’assimile à la détermination du prix
d’une couverture ;
 une gestion efficiente du risque impose que la provision soit
investie et gérée dans un portefeuille de couverture.
1. Introduction
Les risques liés aux garanties planchers sur des UC rentrent dans
cette logique.
Les garanties plancher en cas de décès sont caractérisées par le fait
que l’assuré se voit garantir un versement au moins égale au
montant de capital initialement investi, en cas de décès.
Concrètement, pour un montant initial investi S0, en cas de décès à
la date t le versement est:
Max St , S0
D’autres formes de garanties sont possibles : indexées, cliquet, en
cas de vie, etc.
1. Introduction
La question du choix de la stratégie de couverture du risque de ces
contrats se pose.
La couverture en delta neutre est mis en œuvre par Frantz et al.
(2003). Certes, elle génère des coûts supplémentaires à l’assureur,
mais permet de réduire la volatilité des coûts futurs.
D’autres stratégies de couverture sont possibles:
 Les stratégies par minimisation du risque du contrat;
 Les stratégies de couverture semi-statique par des options
de court terme.
SOMMAIRE
2. Evaluation de l’engagement
2.1. Evaluation risque neutre
2.2. Juste valeur de l’engagement
2. Évaluation de l’engagement
1.1. Évaluation risque neutre
 Introduit dans l’évaluation l’aversion au risque des
agents;
 Fournit une valeur objective du risque.
1.2. Juste valeur de l’engagement
Le calcul de l’engagement se fonde sur 2 observations
 le flux financier en cas de décès à T de l’assuré se met sous la forme:
Max ST , K
ST
K
ST
En notant Ki=S0 et St le montant du compte du participant
 en supposant les décès parfaitement mutualisés le flux associé à la garantie
pour un associé d’âge initial x à la période T est:
Pr x, T EQ e rT K ST
Pr xi , T est la probabilité sous la mesure historique que l’assuré d’âge x
décède T année(s) plus tard.
1.2. « Juste » valeur de l’engagement
De manière plus formelle, le flux associé à la garantie pour un assuré
d’âge x à la souscription et dont la maturité est , vaut:
e rTx K STx
1Tx
 Sous les hypothèses de parfaite mutualisation et d’indépendance entre
la mesure historique (P) et la mesure risque neutre (Q), la « juste »
valeur de cette engagement est :
EP Q e rTx K
Pr x, t
t
STx
1Tx
EQ e rt K
i
St
1.2. « Juste » valeur de l’engagement
EQ e rt K St
est la valeur d’une option d’achat européenne de strike K
et de maturité t.
La valeur de l’engagement s’écrit comme une combinaison linéaire
d’options de strike K et de maturité différente.
On peut donc étendre les stratégies usuelles de couverture des
options à la garantie décès.
SOMMAIRE
3.1. Les stratégies en delta neutre
3.2. Les stratégies par minimisation de la variance de
l’erreur de couverture
3.3. La stratégie semi-statique à l’aide des options de
court terme.
 On cherche à couvrir le risque lié à un portefeuille de N
contrats en UC avec garantie décès.
 La valeur de l’engagement de l’assureur s’écrit:
N
Pr xi , t
i 1t i
EQ e
rt
K i St
 On a une combinaison linéaire d’options de vente
européennes.
 Dans la situation idéalisée d’un marché parfait et de
décès parfaitement mutualisés, il suffit de couvrir
parfaitement chacune des options de vente.
 Toutefois, du fait du caractère discret des réallocations
et des frais de transaction, la couverture ne peut être
parfaite.
 L’optimalité des stratégies est étudiée à partir de la
distribution du coût net L .
 Le coût net est constitué de :
 L’engagement de l’assureur ;
H
 la valeur du portefeuille de couverture PT ;
H
 La valeur d’achat du portefeuille de couverture P0 ;
 Et les frictions F :
• Les coûts du au caractère discret des réallocations ;
• Les frais de transaction.
 La valeur du coût net s’écrit:
L
H
PT
H
P0
F
3.1. Stratégies en Delta neutre
Ces stratégies consistent à matcher le delta du portefeuille de
couverture à celui des engagements.
Pour un put de strike K et de maturité n, la composition du
portefeuille de couverture constitué du sous-jacent et d’actif sans
risque est;
P n t , St , K
t
t
St
P n t , St , K
P n t , St , K
St
St
 Fréquente recomposition du portefeuille de couverture
 Coût de recomposition du portefeuille de couverture:
t
W
t
t 1
St
t
t 1e
rh
 Coût de transaction
t c
C
t
t 1 St
c
t
t 1e
rh
 Recomposition selon l’erreur de couverture
Le portefeuille de couverture est modifié si l’erreur de recomposition
est supérieure en valeur absolue à un seuil :
t
W
t
W
 Si
St
rh
e
1
t
t 1
t
t
a, alors on modifie le portefeuille de
couverture;

a, le portefeuille de couverture est
 Si W t
inchangé.
 Recomposition selon l’erreur de couverture
Cette stratégie réduit la fréquence de recomposition du portefeuille
de couverture.
Elle est élaborée dans le but de réduire l’impact des frictions sur le
coût net.
3.2. Stratégies de minimisation de la variance de l’erreur de
couverture
On cherche le portefeuille de couverture qui minimise la variance de
l’erreur résiduel de couverture.
L’avantage de la variance est qu’elle fournit une règle linéaire de
couverture d’une option.
La combinaison de portefeuille de couverture des options est donc
optimale.
couverture
 Couverture statique
On construit un portefeuille statique, tel que la variance du coût
terminale est minimale.
Concrètement, on cherche à minimiser la variance de l’erreur de
couverture à la maturité.
WT
,
K
ST
ST
est la composition du portefeuille statique.
couverture
La composition optimale du portefeuille statique de couverture est
solution du programme:
Var WT
Min
,
sc E Q WT
0
couverture
La mise en œuvre est effectuée selon les étapes suivantes:
Fixer le nombre de simulations N S ;
Simuler le sous-jacent;
Calculer le pay-off final;
La composition du portefeuille statique est obtenue par MCO du
pay-off final sur le sous-jacent:
K
i
ST
i
HT
i
ST
e, i 1,..., N S
couverture
 Couverture dynamique
Dans ce cas l’erreur de couverture s’ écrit:
T
WT
Cap
sd e
rs
Ss
e
rT
HT
0
Avec Cap le capital initiale nécessaire à la mise en place de la
couverture.
couverture
 Couverture dynamique
La composition optimale du portefeuille de couverture est solution du
programme:
Q
Arg MinE WT
t, t
0 t T
Q
sc E WT
0
2
3.2. Stratégie semi-statique à l’aide des options de court
terme
 Cette stratégie est fondée sur le théorème énoncé par
Carr et Wu (2004) suivant lequel :
P( S , t ; K , T )
Avec
w k P( S , t ; k , u )dk
2
w k
k
2
0
P ( k , u; K , T )
terme
 En réalité le nombre d’options sur les marché est fini.
 On approxime l’intégrale précédente en pondérant une quantité
finie d’options de court terme à l’aide de la quadrature de GaussHermite.
 On approxime l’intégrale précédente en pondérant une quantité
finie d’options de court terme à l’aide de la quadrature de GaussHermite.
4. Implémentation
terme
 Portefeuille de couverture
Pour u et a, respectivement la maturité et le nombre d’options de
court terme fixés, le portefeuille de couverture est constitué de a
option(s) de maturité u et de strike:
xi
i
2T u
= Ke
r
2
2
T u
, i 1,..., a
La quantité de option i dans le portefeuille est donnée par
l’expression:
2
P i , u, K , T
qi
2
SOMMAIRE
4. Implémentation
4.1. Modélisation du risque
4.2. Résultats dans le modèle de Black-Scholes
4.3. Résultats dans le modèle à sauts de Merton
4. Implémentation
 Le risque de mortalité
La mortalité est généralement modélisé à l’aide d’une table de
mortalité notée Lx 0 x X end .
La probabilité qu’un individu d’âge x décède à t s’écrit:
Pr x, t
qx
t
t px
Avec:
qx t
Lx t Lx t 1
, probabilité qu'un assuré d'âge x décède à t
Lx t
t px
Lx t 1
, La probabilité de survie à t d'un individu d'âge x
Lx t
4. Implémentation
 Le risque financier
Le modèle de Black-Scholes.
•expression du sous-jacent dans l’environnement risque neutre:
St
•Delta:
BS
S0 exp r
2
2 t
Wt
log
d2
avec d 2
S0
K
(r
2
2
)(T t )
T t
•La couverture dynamique par minimisation de la variance est
équivalente à la stratégie en delta.
4. Implémentation
Le modèle de Black-Scholes.
•Couverture semi-statique:
{x j , w j }aj
Pour la quadrature de Gauss-Hermite donnée
portefeuille de couverture est déterminé par le système:
xj
2T u
K j = Ke
qj
1
wj
r
2
2
T u
1
le
4. Implémentation
Le modèle à sauts de Merton.
•L’expression du sous-jacent N dans l’environnement risque
t
2
neutre: S S exp
t Wt
Log 1 Li
t
0
2
j 1
•Delta:
e
M
n 0
T t
T t
n!
n
Sn BS
T t , Sn , K , n
S
4. Implémentation
Le modèle à sauts de Merton.
•Stratégie dynamique par minimisation de la variance;
•Stratégie semi-statique.
4. Implémentation
 Les paramètres
Number of simulation
10,000
Maturity of insurance portfolio
15 years
Volatility of underlying asset
25 %
Drift of underlying asset
8.5%
Risk-free interest rate
5%
Guarantee
100
Initial value of underlying asset
100
Frequency of observation portfolio
Monthly
Costs of transaction
1%
Number of short-term options using in Carr hedging
2
Maturity of short-term options using in Carr hedging
1 year
Insurance portfolio
1,000 insured aged 45
Interval of re-hedging in corrected delta hedging
[-1,1]
4. Implémentation
 Les indicateurs de risque des coûts futurs espérés
Expected
Standard VaR
deviation 99,75%
VaR
99%
CTE
99,75%
CTE
Maximum
99%
No Hedging
950
1 177
5 006
4 459
5 007
4 463
6 124
Static minimisation
980
923
4 487
3 841
4 488
3 845
5 902
1 406
1 140
260
328
2 158
2 179
2 040
1 965
2 158
2 179
2 041
1 966
2 581
2 605
984
1 093
4 803
4 102
4 804
4 106
5 398
Delta Hedge
Delta2
Semi-Static Hedging
4. Implémentation
 Plan moyenne-variance des stratégies
4. Implémentation
 Densités empiriques des coûts futurs espérés
4. Implémentation
 Variation des indicateurs de risque entre indemnisations
annuelles et indemnisations mensuelles.
Expected
Standard
deviation
VaR
99,75%
VaR
99%
CTE
99,75%
CTE
99%
Maximum
No Hedging
3%
4%
4%
3%
4%
3%
4%
Static
minimisation
2%
5%
2%
3%
2%
3%
48%
Delta Hedge
-22%
80%
30%
17%
30%
17%
45%
Delta2 Hedging
-2%
66%
39%
30%
39%
30%
35%
Semi-Static
Hedging
1%
4%
0%
5%
0%
5%
11%
4. Implémentation
 Variation des indicateurs de risque entre indemnisations
annuelles et indemnisations mensuelles.
4. Implémentation
 Indicateurs de risque avec de coûts de transaction à 2%
de la valeur échangée.
Expected
Standard
deviation
VaR
99,75%
VaR
99%
CTE 99,75%
CTE 99%
Maximum
950
1 177
5 006
4 459
5 007
4 463
6 124
Static minimisation
1 018
954
4 649
3 988
4 651
3 994
9 007
Delta Hedge
1 840
352
2 814
2 639
2 814
2 640
3 088
Delta2 Hedging
1 310
342
2 453
2 191
2 454
2 192
2 909
Semi-Static Hedging
1 009
1 128
4 845
4 261
4 846
4 265
6 082
No Hedging
4. Implémentation
 Variation des Indicateurs de risque suite à la hausse de
coûts de transaction à 2%
Expected
Standard
deviation
VaR
99,75%
VaR 99%
CTE
99,75%
CTE
99%
Maximum
No Hedging
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
Static minimisation
4%
1%
3%
0%
3%
0%
-35%
Delta Hedge
31%
32%
29%
30%
29%
30%
26%
Delta2 Hedging
15%
5%
14%
12%
14%
12%
12%
Semi-Static Hedging
1%
0%
-4%
-2%
-4%
-2%
2%
4. Implémentation
 Impact de l’intervalle de couverture dans la stratégie
Delta2
Expected
Standard
deviation
CTE
99,75%
CTE 99%
Maximum
No Hedging
950
1 177
5 006
4 459
5 007
4 463
6 124
Static
minimisation
980
923
4 487
3 841
4 488
3 845
5 902
Delta Hedge
1 406
260
2 158
2 040
2 158
2 041
2 581
Delta2 [-1,1]
1 140
328
2 179
1 965
2 179
1 966
2 605
Delta2 [-2,2]
1 102
396
2 279
2 060
2 279
2 062
2 869
Delta2 [-3,3]
1 082
457
2 420
2 158
2 420
2 160
3 103
984
1 093
4 803
4 102
4 804
4 106
5 398
Semi-Static
Hedging
VaR
VaR 99%
99,75%
4. Implémentation
 Hausse du nombre d’options de court terme dans la
stratégie semi-statique.
4. Implémentation
 Hausse de la maturité des options de court terme dans la stratégie
semi-statique.
4. Implémentation
 Choc à la hausse de 20% de la mortalité future.
Expected
Standard
CTE
VaR 99,75% VaR 99%
CTE 99% Maximum
deviation
99,75%
No Hedging
1 150
1 424
6 124
5 433
6 125
5 438
7 712
Static minimisation
1 165
1 140
5 375
4 724
5 376
4 730
13 822
Delta Hedge
1 587
313
2 761
2 465
2 762
2 467
3 330
Delta2 Hedging
1 320
408
2 931
2 524
2 932
2 526
3 634
Semi-Static Hedging
1 183
1 333
5 734
5 160
5 734
5 164
6 877
4. Implémentation
 Choc à la hausse de 20% de la mortalité future.
4. Implémentation
 Choc à la baisse de 30% de l’actif sous-jacent.
Expected
Standard
VaR
deviation 99,75%
VaR 99%
CTE
CTE 99% Maximum
99,75%
No Hedging
1 689
1 486
5 838
5 258
5 839
5 262
6 586
Static minimisation
1 046
1 024
4 815
3 787
4 821
3 797
12 750
Delta Hedge
1 614
343
2 495
2 352
2 495
2 353
2 932
Delta2
1 357
374
2 486
2 297
2 486
2 298
3 044
Semi-Static
1 701
1 354
5 471
4 972
5 471
4 976
6 500
4. Implémentation
 Choc à la baisse de 30% de l’actif sous-jacent.
4. Implémentation
 Paramètres
Number of simulation
1000
Maturity of insurance portfolio
15 years
Volatility of underlying asset
15 %
Intensity of poisson process
1
Volatility of discontinuous part (Jump volatility)
10%
Mean of amplitude of jump
0%
Drift of underlying asset
8.5%
Risk-free interest rate
5%
Guarantee
100
Initial value of underlying asset
100
Frequency of observation portfolio
Monthly
Costs of transaction
1%
Number of short-term options using in Carr hedging
2
Maturity of short-term options using in Carr hedging
1 year
Insurance portfolio
1,000 insured aged 45
Interval of re-hedging in corrected delta hedging
[-1,1]
4. Implémentation
 Indicateurs de risque dans le modèle de Merton
Expected
Standard
deviation
VaR
99,75%
VaR
1%
CTE
99,75%
CTE
99%
Maximum
No Hedging
661
1026
5315
4514
5316
4521
5747
Static minimisation
725
828
4612
3907
4613
3913
5189
Dynamic minimisation
1127
328
2501
2057
2502
2061
3251
Delta Hedge
1127
328
2501
2057
2502
2061
3251
Delta2 Hedging
977
396
2520
2111
2521
2114
2983
Semi-Static
658
965
4655
4013
4657
4019
5495
4. Implémentation
 Plan moyenne-Variance des stratégies
4. Implémentation
 Densités empiriques des stratégies
Conclusion (1/3)
 Toutes les stratégies de couverture permettent de réduire
la volatilité et les exigences de capitaux de l’assureur
(VaR et CTE);
 La couverture statique:
•
Elle peut générer une perte supérieure à la non couverture;
•
Elle est faiblement impactée par une hausse des coûts de
transaction;
•
Elle varie peu selon la périodicité des indemnisations,
•
mais elle est soumise au même titre que la non couverture à
une surmortalité future ou à une chute brutale des cours.
Conclusion (2/3)
 La couverture semi-statique:
•
Faiblement sensible à une hausse des coûts de transaction;
•
Soumise au même titre que la couverture statique et la non
couverture à une surmortalité future;
•
Les indicateurs de risque peuvent être améliorés
accroissement de la maturité des options de court-terme;
•
Mais la disponibilité des options n’est pas garantie;
•
De plus, les indicateurs de risque ne sont pas satisfaisants
comparés à la stratégies en delta.
par
Conclusion (3/3)
 Les couvertures en delta:
•
En moyenne coûte plus chère à l’assureur que les autres
stratégies;
•
Fournissent les meilleur indicateurs de risques extrêmes;
•
Fournissent les mêmes indicateurs de risques que la couverture
de minimisation de l’erreur de couverture;
•
Dans le cas des indemnisations à haute fréquence, ou une
hausse des couts de transaction, privilégié la stratégie de
recomposition selon un intervalle de couverture,
•
Résistent mieux aux chocs.
Bibliographie (1/3)
BLACK F. & SCHOLES M. (1973) « The Pricing of Options and Corporate Liabilities », Journal of
Political Economy 81(3), 637-54.
BREEDEN D. T. &. LITZENBERGER R. H (1978), « Prices of State-Contingent Claims Implicit in
Option Prices », Journal of Business 51(4), 621–651
CONT, R. (2001), « Empirical Properties of Asset Returns: Stylized Facts and Statistical Issues»,
Quantitative Finance 1, 223–236.
CONT R. TANKOV P. & VOLTCHKOVA E.(2005), « hedging with options in models with jumps »,
Ecole polytechnique centre de mathematiques appliquées. R.I 601
CARR P. & WU L. (2004) « Static Hedging of Standard Options », Bloomberg L.P. and Courant
Institute Zicklin School of Business, Baruch.
DESMEDT, X., CHENUT, X. AND WALHIN, J.F.(2005). « Actuarial Pricing of Minimum Death
Guarantees in Unit-Linked Life Insurance: a Multi-Period Capital Allocation Problem », Proceedings
of the 3rd Actuarial and Financial Mathematics Day, Brussels.
Bibliographie (2/3)
DEVILLE L. (2001) « Estimation des coûts de transaction sur un marché gouverné par les ordres : le
cas des composantes du CAC 40 ». Laboratoire de recherche en gestion et économie Université Louis
Pasteur Pole européen de gestion et d’économie.
FRANTZ C., CHENUT X. & WALHIN J.-F. (2003) « Pricing and capital allocation for unit-linked life
insurance contracts with minimum death guarantee, Institut des Sciences Actuarielles », Université
catholique de Louvain.
GABRIEL F. & SOURLAS P. (2006) « Couverture d'options en présence de sauts », Mémoire
d'Actuariat, ENSAE.
KOU S. & WANG H. (2004) « Option pricing under a double exponential jump-diffusion model »,
Management Science, 1178-92.
LEMERY S. & MERLUS, S. (2003) « Enquête sur les garanties plancher des contrats en unités de
compte », Mémoire d’Actuariat, ENSAE.
MERTON, R. C. (1976) « Option Pricing When Underlying Stock Returns are Discontinuous», Journal
of Financial Economics 3, 125–44.
Bibliographie (3/3)
MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES (2005) Financial risk management for insurance
liabilities –the theoretical and practical aspects of hedging.
MOLLER, T. (1998) « Risk-Minimizing hedging strategies for unit-linked life insurance contracts »,
Astin Bulletin 28(1), pp. 17-47.
PLANCHET F. & THÉROND P.-E. (2005) l'impact de la prise en compte des sauts boursiers dans les
problématiques d'assurance, Proccedings of the 15th AFIR Colloquium.
PLANCHET F., THÉROND P.-E. & JACQUEMIN J. (2005) Modèles financiers en assurance,
Economica.
RANDRIANARIVONY R. (2006) « Implémentation et extension de Kou pour l'évaluation d'options »,
ISFA, Université de Lyon 1.
TANKOV P.(2008) « Calibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés », Université Paris VII.
TANKOV P. & VOLTCHKOVA E. (2006) « Jump-diffusion models: a practitioner’s guide »
THEROND P.-E. (2007) Mesure et gestion des risques d'assurance: analyse critique des futurs
référentiels prudentiel et d'information financière, PhD thesis, Université de Lyon, ISFA Actuarial
School.

4.2. Résultats dans le modèle de Black-Scholes 4

Transcription

Documents pareils

Programme - ANR LoLitA

Jeudi 9 juin 2016 à 20 h 30 Cathédrale de Lausanne

Matin, Le

Workshop on Weather and Energy Risks

Pérégrinations d`un prof esseur

plan grand froid

LAUSANNE, MUSEE OLYMPIQUE - info

Votre conférence Mövenpick Hotel Lausanne.

Die Geburt Christi