Actionneurs piézo-électriques dans des interfaces homme

Transcription

Université des Sciences et Technologies de Lille
Laboratoire d’électrotechnique et d’électronique
de puissance
Thèse
présentée en première version en vu d’obtenir le grade de Docteur,
spécialité « Génie Electrique »
par
DAI Zheng
Actionneurs piézo-électriques
dans des interfaces homme machine à retour d’effort
Thèse soutenue le 9 Mars 2009 devant le jury composé de :
M.
M.
M.
M.
Mme
M.
M.
Eric Monmasson
Lionel Petit
Pascal Maussion
Alexandre Janot
Betty Lemaire-Semail
Christophe Chaillou
Frédéric Giraud
Pr. à l’Université de Cergy-pontoise
MCF HDR à LINSA de Lyon
Pr à l’ENSEEIHT de Toulouse
Dr-Ingénieur R et D société Haption
Pr à l’USTL
Pr à l’USTL
MCF à l’USTL
(Rapporteur)
(Rapporteur)
(Examinateur)
(Directrice de thèse)
(Examinateur)
(Examinateur)
À mon père
À ma mère
Remerciements
Ce mémoire est l’aboutissement de trois années de travail au sein du
L2EP. Je tiens à remerxier l’ensemble des personnes qui ont contribué à la
réalisation de ce travail.
Je tiens à remercier particulièrement Betty Semail, ma direstrice de
thèse, pour son accueil et son apport scentifique à ces travaux tout au long
de cette thèse.
Je remercie chaleureusement Frédéric Giraud, pour les échanges riches
et nombreux, pour m’avoir apporté de nouvelles compétences et avoir partagé à un moment ou un autre l’évolution de mes travaux. Sans son aide
précieuse, cette thèse n’auait simplement pas abouti.
Je remercie aussi mes collègues, Mélisande Biet, Gastion M’Boungui,
Mickaêl Herbin et les autres pour leur aide, leur chaleur et leurs encouragements.
Je tiens enfin à remercier Yuanyuan Zheng et tous les amis, pour
m’avoir toujours soutenu malgré les difficultés et sans qui je n’aurais jamais pu réussir mes études.
v
Table des matières
Table des matières
vi
Liste des figures
vii
Préface
1
1 Etat de L’art
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduction et contexte . . . . . . . . . . . . . . .
Actionneurs dans les interfaces homme machine
1.2.1 Actionneurs électromagnétiques . . . . . . . . . .
1.2.2 Actionneurs pneumatiques ou hydrauliques . . .
1.2.3 Actionneurs électro- ou magnéto-rhéologiques . .
1.2.4 Dispositifs à cable . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Actionneurs piézo-électriques . . . . . . . . . . .
Présentation du MPE à onde progressive . . . . .
1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Constitution du moteur . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Avantages et inconvénients . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Les moteurs à onde progressive de Shinsei . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Modèle dynamique du comportement mécanique
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
vi
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation sous l’hypothèse du rotor idéal . . . . . .
2.2.1 Description du système . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Cinématique du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Caractéristiques couple-vitesse . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Hypothèse du rotor idéal . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prise en compte de la zone morte dans le modèle global
2.3.1 Introduction d’un couple de frottement supplémentaire .
2.3.2 Validation par simulation . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation du stick-slip . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Construction du modèle par réseau de Pétri . . . . . . .
Implantation, identification et validation du modèle .
2.5.1 Implantation en simulation . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Description de la plateforme d’essais . . . . . . . . . . .
2.5.3 Validation expérimentale - Caractéristique à vide . . . . .
2.5.4 Validation expérimentale - Caractéristique en charge . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
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30
31
35
35
37
38
40
42
3 Commande du moteur USR30 en retour d’effort
3.1
3.2
3.3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe de la commande à retour d’effort
3.2.1 Introduction aux environnements virtuels . .
3.2.2 Commande en impédance . . . . . . . . . .
3.2.3 Commande en admittance . . . . . . . . . .
Commande à retour d’effort d’un USR30 . .
3.3.1
3.3.2
3.4
3.5
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Structure de contrôle d’une commande en impédance
Structure de contrôle d’une commande en admittance
Simulation du mur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Implémentation dans une commande en impédance .
3.4.3 Amélioration de la phase de relâchement. . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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82
84
84
85
88
93
96
4 Résultats expérimentaux
4.1
4.2
4.3
4.4
Présentation de la plate-forme expérimentale
4.1.1 Présentation du dispositif à 1ddl . . . . . . . .
4.1.2 Electronique d’interfaçage . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Implantation des lois de commande . . . . . . .
4.1.4 Asservissement de l’amplitude d’onde W . . . .
Résultats de la commande en impédance . . . .
4.2.1 Simulation d’un environnement libre . . . . . .
4.2.2 Simulation d’une raideur paramétrable . . . . .
4.2.3 Réalisation du mur . . . . . . . . . . . . . . . .
Réalisation de la commande en admittance . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Annexes
101
A.1 Calcul sur Ωid en moyenne et approximativement . . . 103
Bibliographie
107
Liste des figures
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
. . . . . . . . . . . . . . . .
Application de Digitracker dans un environnement virtuel
Conception de Digitracker . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phantom de Sensable : système à cabestan (74) . . . . . . . . . . . .
VIRTUOSE 3D15-25 de Haption (33) . . . . . . . . . . . . .
Le Digihaptic : vue du dispositif et schéma de conception (7) . . . . .
Interface haptique à 1ddl entrainée par MSAP (37) . . . . . . . . . .
Interface haptique pour le ’Microrobot Cell’ . . . . . . . .
Exemple de gant haptique à vérins pneumatiques (66) . . . . . . . .
Dispositif à retour d’effort à base de fluide électrorhéologique (89) . .
Environnement virtuel avec 3ddls (54)
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3
4
4
5
6
6
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7
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9
vii
viii
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
Electrode d’actionneur électrorhéologique . . . . . . . . . . .
Le SPIDAR-8 (86) et le SPIDAR-G (40) . . . . . . . . . . . . .
Système à câble pour pratiquer la calligraphie chinoise (88)
Actionneurs linéaires de PILINE (91) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actionneur plan sur retour d’effort . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29
2.30
2.31
2.32
principe de conversion d’énergie au sein d’un MPE (58)
3.1
3.2
3.3
Action et réaction entre l’utilisateur et l’environnement virtuel
USR60 appliqué dans la réhabilitation de tremblement pathologique (68)
. . . . .
. . . . . . . .
Déformation du céramique et du stator (22) . . . . . . . . .
Agencement des éléments piézo-électriques . . . . . . . . .
Rotor du moteur à onde progressive (USR60)(76) . . . . . . .
Structure de la céramique et mouvement elliptique
USR60 et USR30 de Shinsei . . . . . . . . . . . . . .
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Modèle de contact stator/rotor modélisé par éléments finis (81) .
Coupe transversale du moteur étudié . . . . . . . . . . . . . .
Définition du repère pour le MPE (22) . . . . . . . . . . . . . .
Onde progressive sur la surface du stator . . . . . . . . . . . .
Caractéristique mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . .
Description du modèle utilisé introduisant le rotor idéal . . . . .
GIC du modèle simplifié (cas des ondes en quadrature) . . . . .
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Constitution du moteur à onde progressive (17) (18)
Stator du moteur à onde progressive (USR60)
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9
9
10
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19
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Mode mur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
45
45
modèle de contact stator/rotor
Caractéristique de Ωid (W ) sans zone morte (résultat du modèle simplifié)
Caractéristiques déphasage-vitesse . . . . . . . . .
GIC du modèle prenant compte la zone morte . . . . . . .
Evolution temporelle de l’amplitude d’onde progressive . .
Vitesse à vide correspondant à l’évolution de W . . . . . .
Vitesse à vide en fonction de W. Zoom autour de Ω = 0 . .
Effet de collage d’un USR30 à vide . . . . . . . . . . . .
Objet soumis à un frottement statique et dynamique . . . .
Modèle de frottement sec de Stribeck . . . . . . . . . . .
Schéma de pétri de ’stick-slip’ . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de pétri du ’stick-slip’ dans le moteur . . . . . . .
GIC du modèle mécanique avec ’stick-slip’ . . . . . . . . .
Bloc stateflow correspondant au schéma de pétri . . . . . .
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(a)Amplitude d’onde progressive ;(b)Déphasage des ondes stationnaires
’Stick-slip’ et Couple de frottement . . . . . . . . . . .
(a)Vitesse à vide ;(b)Vitesse en fonction de W (simulation) . . .
Banc d’expérimentation pour la validation de la modélisation .
Organisation du banc expérimental . . . . . . . . . . . . . .
(a)Ω en fonction de W ; ϕ = 90˚ ;(b)Ω en fonction de W ; ϕ = 60˚
(a)Ω en fonction de W ; ϕ = 45˚ ;(b)Ω en fonction de W ; ϕ = 30˚
. . . . . . . . . . . . .
Cs en fonction de ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaisons simulation-expérimentation . . . . . .
Ω en fonction de ϕ avec W différents
Mode élastique
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3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
3.39
3.40
3.41
3.42
3.43
3.44
3.45
3.46
3.47
3.48
3.49
3.50
3.51
3.52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe de commande en impédance . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe de commande en impédance traduit en REM . . . . . . . . .
Analysation de la stabilité pour la commande en impédance
Principe de commande en admittance . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe de commande en admittance traduit en REM . . . . . . . . .
Analyse de la stabilité pour la commande en admittance . .
Structure de contrôle en impédance du couple du moteur USR30 . . . .
Contrôle du couple par estimation de C f . . . . . . . . . . . . . . . .
Contrôle du couple par asservissement . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcul des références de W et ϕ selon Ωidre f . . . . . . . . . . . . . .
Schéma bloc de la boucle de couple et de l’estimateur de C f . . . . . .
Schéma bloc simplifié de la boucle de couple et de l’estimateur de C f . .
Environnement virtuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Environnement virtuel avec frottement visqueux en impédance . . . . .
Boucle haptique en impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Couple utilisateur utilisé en simulation . . . . . . . . . . . . . . . .
Environnement virtuel complet
Caractéristiques du moteur USR30 lors d’une commande en impédance
Zoom des caractéristiques . . . . . . . . . . . . .
Couple de friction estimé et calculé . . . . . . . .
Zoom de Couple de friction estimé et calculé . .
Régulation de W et ϕ selon les deux stratégies . . . . . .
Mode élastique simulé . . . . . . . . . . . . . . . . .
Structure de la commande en admittance . . . . . . . .
Commande à base de modèle de comportement
GIC du modèle linéarisé du moteur . . . . . . . . . . .
Structure du retour d’état "principal" . . . . . . . . . .
Boucle de comportement . . . . . . . . . . . . . . . .
Environnement virtuel avec frottement visqueux
Boucle haptique en admittance . . . . . . . . . . . . .
Couple donné par l’utilisateur . . . . . . . . . . . . . .
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Caractéristiques de moteur à base de la commande en admittance
Zoom des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . .
Régulation alternative de W et ϕ en admittance . . . . . . . .
Mode élastique simulé en admittance . . . . . . . . . . . . .
Illustration de l’environnement virtuel à simuler . . . . . . .
L’environnement virtuel idéal . . . . . . . . . . . . . . . . .
Commutation de consigne dans le cas idéal en GIC . . . . . .
Résultat simulé de la commutation des deux modes . . . . . .
Caractéristiques du moteur commandé en impédance
Amplitude d’onde progressive . . . . . . . . . . . . . . . .
Vitesse de rotation du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . .
’Stick-slip’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Couple fourni par moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Position angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Murs virtuels et leur évolution . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration du nouvel environnement virtuel . . . . . . . . .
Réseau de Pétri de la commutation des deux modes . . . . . .
Diagramme de la commutation des deux modes . . . . . . . .
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54
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60
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72
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74
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75
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76
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ix
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
. . . . . . . . .
Plateforme d’expérimentation à 1ddl (b) vue de coté . . . . . . . . . .
Equipement de banc à retour d’effort . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régulateur de tension et estimateur d’amplitude d’onde progressive . .
Principe de plateau d’expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe de méthode de Zigler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . .
Hauteur d’onde de référence et mesurée après réglage . . . . . . . . .
Hauteur d’onde mesurée et filtrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Position angulaire ; (b) Couple en sortie du moteur . . . . . . . . .
Couple en fonction de position angulaire dans le mode libre . . . . . .
Résultats expérimentaux pour le mode "ressort" . . . . . . .
Mode élastique avec une petite raideur . . . . . . . . . . . . . . . .
Mode élastique avec une moyenne raideur . . . . . . . . . . . . . . .
Mode élastique avec une grande raideur . . . . . . . . . . . . . . . .
79
80
80
81
81
82
83
83
84
84
86
87
87
87
3 ressorts simulés dans le mode élastique par commande en impédance
88
Commutation des deux modes sans pénétration dans le mur 89
caractéristique globale de la reproduction des deux modes (ressort et mur) 90
Zoom de caractéristique globale de la commutation des deux modes . .
90
Caractéristiques de la commutation des deux modes avec pénétration . .
91
Commutation des deux modes avec une pénétration dans le ’mur’ . . .
92
Zoom de la commutation des deux modes . . . . . . . . . . 92
Comparaison entre θ P , Ω P et θmes , Ωmes . . . . . . . . . . . . 93
Résultats expérimentaux pour la commande en admittance
94
Mode élastique avec une petite raideur . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Mode élastique avec une moyenne raideur . . . . . . . . . . . . . . .
95
Mode élastique avec une grande raideur . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3 ressorts simulés dans mode élastique par commande en admittance . .
96
Plateforme d’expérimentation à 1ddl (a) vue de dessus
A.1 Vitesse tangentielle en cas de ϕ différent . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.2 Vitesse tangentielle en moyenne en fonction de ϕ . . . . . . . . . . . 105
x
Introduction
Les moteurs piézo-électriques sont nés voici une quarantaine d’années,
et suscitent un intérêt croissant. Leurs performances en termes de couple
massique permettent de réduire la masse de l’actionneur, ce qui est intéressant par exemple dans des applications avioniques (58) (83). Pour
les moteurs micrométriques, il est même admis qu’ils supplantent les actionneurs électromagnétiques (70). C’est pour cela que l’on voit arriver
en masse des micro-actionneurs de lentilles d’objectifs d’appareils photo
logés dans un téléphone portable.
Cependant, comme la conception de moteurs piézo-électriques
simples, fiables et robustes qui est un sujet sur lequel beaucoup de
choses restent à écrire, le contrôle de ces moteurs est une affaire délicate. En particulier, pour les moteurs à onde progressive, la commande
du couple ou de la vitesse n’est pas aisée car les grandeurs électriques
ne traduisent pas simplement les actions et réactions mécaniques. Par
ailleurs, le moteur est le lieu d’une multitude de phénomènes complexes
et non-linéaires : le contact entre stator et rotor, la mise en vibration du
moteur, les non linéarités des éléments piézo-électriques eux-mêmes (30),
(20), (39).
Ainsi, vouloir utiliser ce type d’actionneur dans une interface homme
machine à retour d’effort constitue un challenge intéressant à remporter
(80) (2) (42). En effet, ces applications sont exigeantes du point de vue
du contrôle, elles fournissent donc un cahier des charges sévère que nous
chercherons à remplir. Pour notre part, l’objectif à terme est d’équiper un
dispositif de pointage 3d - le digitracker - de retour d’effort (54). Ce dispositif est né à l’institut de recherche sur les composants logiciel et matériel pour l’information et la communication avancée (IRCICA), et permet
la manipulation d’objet virtuel dans un environnement informatique 3d.
Initialement, cette interface a été conçue comme un dispositif passif, et ne
permettait pas d’assurer le retour d’effort. Or l’ajout de moteurs pour le retour d’effort ne doit pas venir modifier l’architecture du dispositif dont la
simplicité est l’atout majeur. Ici, le recours aux moteurs piézo-électriques
à onde progressive s’est imposé comme l’une des meilleures solutions qui
permettent de remplir les contraintes d’encombrement(59) et de satisfaire
les specifications.
Le premier chapitre de ce mémoire propose un état de l’art des travaux antérieurs dans le domaine général en retour d’effort. Parmi ceux-ci,
l’exemple de (71) est remarquable par les performances obtenues, mais au
prix d’un contrôle complexe. Au laboratoire, des travaux ont également
été entrepris sur ce thème, mais (22) a plutôt étudié la robustesse du fonctionnement sans forcément chercher à reproduire des effets probants.
L’objectif de ce mémoire est d’aboutir à un contrôle optimal du moteur piézo-électrique à onde progressive, sans aboutir à une structure de
1
2
Introduction
commande trop complexe à mettre en oeuvre. La méthode pour obtenir ce
contrôle se base sur un modèle causal (45) que l’on inverse pour obtenir
les asservissements nécessaires et les règles de compensation.
C’est donc la question du modèle qui est abordé dans un second chapitre. Plus précisément, il s’agit ici de modéliser avec le plus grand soin
le comportement à basse vitesse ; nous ne faisons pas allusion à la mise
en vibration du stator, qui est un point qui nous semble résolu par les
travaux antérieurs (18), (48), (51), (53). Ce modèle doit être suffisamment
précis pour tenir compte des effets que l’on souhaite corriger, comme le
collement à basse vitesse, sans toutefois être trop complexe pour ne pas
aboutir - par inversion - à des algorithmes de commandes trop lourds
pour être implantables.
Nous détaillerons au cours du troisième chapitre comment obtenir des
structures de commande adaptées au moteur piézo-électrique. Les algorithmes seront déterminés dans le cas d’une application à retour d’effort.
Deux types de structures sont présentés. La première, appelée contrôle en
impédance nécessite un asservissement de couple du moteur. Nous présentons dans ce mémoire une boucle en couple originale qui estime le
couple de frottement généré au niveau du stator. La deuxième, appelée
commande en admittance, met en jeu une boucle de position. Dans ce cas,
nous utilisons une commande à modèle de comportement, qui est relativement robuste vis-à-vis des variations du couple de frottement. Par ailleurs,
nous présentons une synthèse originale de la fonction " mur virtuel ". Il
s’agit de bloquer le moteur par manque d’alimentation ce qui procure le
couple le plus fort que l’actionneur puisse développer.
A la suite des simulations produites à l’étape précédente, nous mettons
en oeuvre ces structures de contrôle cette fois sur un banc de manipulation
expérimentale. Celui-ci reproduit un seul degré de liberté de la chaîne
cinématique du digitracker. Nous y testons les commandes en impédance
et en admittance, et nous montrons la réalisation du mur virtuel.
Le dernier chapitre offre une conclusion générale à ce travail de thèse,
et les perspectives qu’elle procure.
Etat de L’art
1.1
1
Introduction et contexte
L’avancée des technologies informatiques a conduit à l’augmentation des
capacités matérielles de l’ordinateur personnel de " monsieur tout le
monde ". L’amélioration sans cesse croissante des performances des cartes
graphiques permet maintenant l’exécution de logiciel 3d, comme des jeux
ou des applications de CAO. Certains systèmes d’exploitation proposent
même des bureaux 3d, ce qui est une étape dans la démocratisation de la
troisième dimension (64) (65)(10) (3) (19).
Fig. 1.1 – Environnement virtuel avec 3ddls (54)
Cependant, peu d’interface homme - machine permettent de réaliser
le pointage et la sélection des objets dans un espace à 3 degrés de liberté,
précisément, rapidement et simplement. Or l’institut de recherche sur les
composants logiciels et matériels pour la communication avancée - l’IRCICA - a entre autres objectifs la conception de nouveaux périphériques
qui améliorent la communication entre l’ordinateur et l’utilisateur, entre
l’homme et la machine. C’est dans ce contexte qu’a été créé le digitracker,
un dispositif à trois degrés de liberté pour le pointage et la manipulation
d’objets virtuels (54).
L’intérêt du dispositif réside dans sa conception simple, et, surtout,
son espace de travail réduit. Ainsi, non seulement il est peu encombrant et
peut trouver place à coté d’un poste informatique, au même titre qu’une
souris, mais il est en plus manipulable poignet au repos, ce qui réduit
notablement la fatigue (figure 1.2).
Sa conception repose sur la mise en série de trois liaisons pivot dont
on mesure l’angle de rotation. Ces mesures permettent de reconstruire
la position de l’effecteur, et ainsi d’en donner une représentation dans
le monde virtuel. Nous montrons figure 1.3 le schéma cinématique du
digitracker, et sa représentation par modeleur 3d.
3
4
Chapitre 1. Etat de L’art
c Wallace INRIA
Fig. 1.2 – Application du Digitracker dans un environnement virtuel °
Cependant, les performances attendues en matière de pointage ou de
manipulation ne sont pas celles obtenues en réalité. En effet, compte tenu
du petit volume de l’espace de travail, il doit y avoir un grand gain entre
les déplacements à l’écran et les déplacements de l’effecteur, ce qui réduit
la précision : l’utilisateur a du mal à figer son pointeur à l’écran. Incorporer une dose de retour d’effort permettrait de mieux définir le contour des
objets que l’on pointe, ou alors de commuter facilement d’un mode isotonique (à effort quasi-nul) à un mode isométrique (à déplacement quasi
nul)(7). Cette étape nécessite de doter l’interface de moteurs électriques,
qui moduleront l’effort en fonction de la position de l’effecteur. Mais l’introduction de ces moteurs ne doit pas nuire à la simplicité de l’interface,
et son encombrement doit continuer à rester suffisamment faible.
Fig. 1.3 – (a) liens Cinématiques ; (b) Dessin de conception du Digitracker (54)
Nous présentons dans la suite de ce chapitre quelques solutions technologiques, classiques ou non, qui peuvent être employées dans des interfaces à retour d’effort.
1.2
Actionneurs dans les interfaces homme machine
En règle générale, les dispositifs à retour d’effort se composent d’un effecteur que l’on manipule, sur lequel un actionneur impose des efforts,
qui renvoie lui-même des forces parfaitement contrôlées. en fonction de
la position de l’actionneur. La chaîne cinématique est constituée par l’en-
1.2. Actionneurs dans les interfaces homme machine
semble des liaisons mécaniques qui relient l’effecteur au moteur. En effet,
pour des raisons de compacité de l’interface, d’adaptation mécanique du
moteur à l’application ou bien d’équilibrage dynamique, il peut être nécessaire de déporter les moteurs loin de l’endroit où sont appliqués les efforts
sur l’effecteur. Dans ce paragraphe, nous montrons quelques réalisations
technologiques utilisées dans des interfaces à retour d’effort, associant une
chaîne cinématique et un actionneur.
1.2.1 Actionneurs électromagnétiques
Les actionneurs électromagnétiques sont principalement utilisés dans les
dispositifs à retour d’effort. Parmi ceux-ci, les moteurs à courant continu
représentent une large part des applications. En effet, le couple de sortie est lié au courant d’alimentation qu’il est très facile de contrôler par
ailleurs. Cette propriété rend le contrôle plus facile. On distingue les moteurs sans balais, ou à commutation électronique des moteurs à balais. Les
premiers présentent un couple de frottement très petit, ont un fort couple
massique comparés aux deuxièmes, mais nécessitent une électronique de
pilotage adaptée. Pour les moteurs à balais, le frottement des charbons sur
le collecteur génère un couple de frottement statique qui peut être gênant.
C’est pour cela que l’on choisit en général des moteurs où les balais sont
en métal précieux, ce qui assure un frottement plus faible.
Le ’Phantom’ de Sensable, les manettes de jeux, les volants, etc. sont
des interfaces où le retour d’haptique est réalisé en utilisant l’actionnement à courant continu. La vitesse de rotation typique de ces moteurs se
compte en milliers de tours par minute. Un réducteur de vitesse est donc
ajouté pour diminuer la vitesse de la machine et adapter le couple de
sortie. Le retour haptique est alors réalisé aux dépends de la complexité
mécanique du système.
Le Phantom (74) (figure 1.4), est un produit commercial. Cette interface
homme-machine à retour d’effort a 6 degrés de liberté. Il peut nous donner
un retour d’effort dans un espace 3d grâce à trois moteurs électriques.
Dans ce cas, les trois moteurs sont déportés et la liasion avec l’effecteur se
fait par l’intermédiaire d’un système à cabestan.
Fig. 1.4 – Phantom de Sensable : système à cabestan (74)
La société Haption a quant à elle développé un périphérique 3D, le Vir-
5
6
Fig. 1.5 – VIRTUOSE 3D15-25 de Haption (33)
tuose3D (33) (figure 1.5). Le VIRTUOSE 3D15-25 est une interface haptique
3D (3 degrés de liberté avec retour d’effort, trois degrés avec retour de position). Il propose également la commande en admittance 6D, l’indexage
6D, etc.
Un autre dispositif est le Digihaptic (7) (figure 1.6) motorisé par trois
moteurs à courant continu (blocs rouges) avec les codeurs de position de
vitesse et les mannettes développé par Géry Casiez au LIFL. Ce dispositif
a les mêmes caractéristiques mais avec trois dégrées de liberté. L’intérêt
technologique réside dans le fait que les moteurs sont fixes et la taille du
système à cabestan a été réduite au maximum, ce qui fait que le dispositif
est très peu volumineux.
Fig. 1.6 – Le Digihaptic : vue du dispositif et schéma de conception (7)
F. Khatounian utilise une machine synchrone à aimants permanents
dans un système à cable pour réaliser le retour d’effort sur un dégré de
liberté, en mode libre et en mode butée dans sa thèse ( figure 1.7). (37) (38)
Alexander Shirinov a développé des interfaces haptique avec la téléopération de microrobots et le balayage du microscope électronique (77).
Utilisant ces interfaces haptique il est possible d’exécuter téléopération de
microrobots dans une chambre et sous un microscope léger.
En conclusion, l’usage des moteurs électriques permet un contrôle plus
ou moins simple de l’effet qu’ils procurent. Mais il conduit également à
l’usage de système à réduction de vitesse qui, déporté ou non, complexifie
énormément la chaîne cinématique. Appliqué au digitracker, cela constituerait un inconvénient certain si nous voulons garder la structure mécanique initiale.
Fig. 1.7 – Interface haptique à 1ddl entrainée par MSAP (37)
Fig. 1.8 – Interface haptique pour le ’Microrobot Cell’ et le panneau de contrôle (77)
1.2.2 Actionneurs pneumatiques ou hydrauliques
Les actionneurs pneumatiques convertissent l’énergie pneumatique en
énergie mécanique de translation, de rotation ou d’aspiration. Leurs principales caractéristiques sont : une course, une force et une vitesse très
élevées par rapport aux actionneurs electromagnétiques. Parmi les actionneurs pneumatiques, on retrouve principalement les vérins, les moteurs et
les ventouses.
L’air comprimé se transporte facilement dans des conduites bon marché ; Il est propre et les composants fonctionnant sous cette énergie sont
peu coûteux ; Il est également peu sensible aux variations de température.
Par contre, cette source d’énergie exige un excellent conditionnement. Aucune impureté ne doit pénétrer dans le système. Les actionneurs qui utilisent l’énergie de l’air comprimé peuvent être généralement de faible encombrement. Par exemple, figure 1.9, nous montrons un exemple de gant
haptique utilisant des actionneurs linéaires. L’intérêt est de pouvoir utiliser les actionneurs sans composants supplémentaire dans la chaîne cinématique, comme une transformation de mouvement rotatif en linéaire. Par
contre, il est difficile d’obtenir des vitesses régulières du fait de la compressibilité de l’air, et le contrôle en force est compliqué. Enfin, L’échap-
7
8
Fig. 1.9 – Exemple de gant haptique à vérins pneumatiques (66)
pement d’air est bruyant et les forces développées restent relativement
faibles. Pour des efforts importants, il est préférable voire impératif de
faire appel à de l’énergie hydraulique. Mais cette technologie n’efface pas
ces inconvénients, bien au contraire.
1.2.3 Actionneurs électro- ou magnéto-rhéologiques
Les fluides électrorhéologiques sont composés de particules métalliques
diluées dans un fluide isolant. Ces fluides voient leur viscosité varier
lorsqu’ils sont parcourus par un champ électrique. En effet, les particules s’alignent sous l’effet du champ, créant des chaînes qui s’apposent
à l’écoulement du fluide. Dans l’industrie, ces fluides sont utilisés pour
créer des amortisseurs variables. Des applications en retour d’effort ont
également été créées pour tirer partie de leur grande densité de force.
A titre d’exemple, nous montrons figures 1.10 et 1.11 un joystick à
retour d’effort composé de deux actionneurs électrorhéologiques (89). Par
application d’un champ électrique entre deux électrodes implantées dans
un cylindre, et grâce au matériau électrorhéologique, on peut créer un effet
résistant s’opposent à l’action de l’utilisateur sur 2ddls.
Les fluides magnéto-rhéologiques sont en principe pareil à mettre en
oeuvre. C’est alors le champ magnétique qui oriente et assemble en chaîne
les fines particules ferromagnétiques en suspension dans un solvant.
Par principe, ces actionneurs à fluide actif sont incapables de renvoyer,
même transitoirement, de l’énergie à l’utilisateur. C’est pourquoi, si elles
sont actives dans le sens où le freinage peut être contrôlé, les interfaces
basées sur ces matériaux sont passives d’un point de vue de leur comportement vis-à-vis de l’utilisateur. Ils est donc impossible de réaliser par
exemple de raideur variables.
Fig. 1.10 – Dispositif à retour d’effort à base de fluide électrorhéologique (89)
Fig. 1.11 – (a)Electrode séparée : Electrode positive (vert) et electrode négative (rouge) ;
(b) Electrode assemblée (89)
1.2.4 Dispositifs à cable
Ces dispositifs à retour d’effort sont généralement équipés d’actionneurs
électromagnétiques. Cependant, nous les traitons dans un paragraphe différent étant donné leur structure particulière. Les systèmes à câble peuvent
être liés ou non à l’utilisateur. Ils s’agit de dispositifs au bout desquels on
attache directement les doigts de l’utilisateur ou l’effecteur principal. Normalement, ces actionneurs ne sont pas difficile à commander, en revanche,
ils ont besoin d’un grand espace de travail par rapport aux autres interfaces présentées jusqu’à alors.
Ainsi, le SPIDAR-8 (Space Interface Device for Artificial Reality) de
Sato et al. peut être utilisé pour saisir des objets virtuels (86). Dans cette
configuration, trois câbles sont attachés aux doigts de chaque main (fig.
1.12). L’utilisateur peut ainsi avoir l’impression de manipuler un objet virtuel comme s’il s’agissait d’un objet réel. Une autre configuration permet
de disposer d’un périphérique à 6 ddls actifs dans le cas du SPIDAR-G
(40) (fig. 1.12). L’utilisateur manipule cette fois un effecteur final.
Fig. 1.12 – Le SPIDAR-8 (86) et le SPIDAR-G (40)
9
10
D’autres configurations sont également envisageables. L’université de
Beihang, à perkin, a développé un système à câble avec 5ddls pour pratiquer la calligraphie chinoise (88). L’inconvénient de ces dispositifs est qu’il
faut veiller à éviter d’entremêler les câbles.
Fig. 1.13 – Système à câble pour pratiquer la calligraphie chinoise (88)
1.2.5 Actionneurs piézo-électriques
Il existe une gamme très large d’actionneurs piézo-électriques (82), offrant des fonctionnalités différentes. On rencontre ainsi des actionneurs
linéaires (92), figure 1.14, qui se distinguent par leur faible encombrement,
des actionneurs plans à plusieurs degrés de liberté (55) (4) (5) (63) (62), ou
bien rotatifs. En règle générale, ces actionneurs se distinguent par leurs
grands efforts massiques et les faibles vitesses de déplacement. Si bien
qu’ils permettent d’associer la charge directement à l’actionneur, sans passer par des systèmes de transformations de mouvement au sein de chaînes
cinématiques complexes.
Fig. 1.14 – Actionneurs linéaires de PILINE (91)
Au L2ep, G. M’Boungui a proposé un actionneur piézo-électrique plan
qui peut simuler une interface haptique avec un frottement variable (56).
Cet actionneur est composé d’un résonateur cuivré sur lequel des céramiques piézoélectriques sont collées et convenablement agencées. Grâce
à une alimentation simple des céramiques, on génère une onde stationnaire. Quand l’amplitude de l’onde stationnaire atteint une valeur donnée,
on observe une intermittence de contact entre les pieds qui supportent le
résonateur et le substrat plan sur lequel un utilisateur déplace cet actionneur. Ainsi, la force de frottement perçue par utilisateur est moins élevée
Fig. 1.15 – (a)Actionneur plan à retour d’effort ; (b)Matrice de piézocéramiques et
connexions d’alimentation
quand l’actionneur est excité. En conséquence, on peut alors faire varier
la force résistante retournée par la plaque à l’utilisateur qui la manipule
(56).
Dans la gamme des actionneurs rotatifs, les moteurs à onde progressive ont déjà été étudiés dans le cadre d’applications à retour d’effort Dans
(71), les auteurs utilisent un prototype de moteur, qu’ils ont fabriqué et
identifié. Ils appliquent un contrôle en couple complexe, permettant même
l’estimation du couple moteur et donc évitent le capteur de couple supplémentaire. Cette commande a l’avantage de bien contrôler la mise en
vibration du stator, et le contrôle indépendant de chaque onde stationnaire du stator. L’application visée était la motorisation d’une commande
d’avion afin de fournir un retour d’effort au public. En effet, aujourd’hui
cette fonction est réalisée par un système mécanique à base de ressorts,
qui est lourd et encombrant. Un système actif peut permettre de réduire
la masse. Cette application montre la possibilité d’une utilisation de l’actionneur piézo-électrique à la fois en moteur ou en frein.
Dans (22) (25), un autre contrôle en retour d’effort est présenté. Ici,
les auteurs travaillent sur le contrôle de la résonance du stator afin d’obtenir un fonctionnement stable, sans calage inopiné du moteur. En effet,
en général, on cherche faire travailler le moteur au plus près de sa résonance statorique pour propager une onde progressive importante. Mais si
par mégarde le point de fonctionnement dépasse la résonance, le moteur
cale et ne redémarre plus. Or, il est très difficile de savoir si le moteur
est proche ou non de sa résonance. Dans ce travail, une méthode qui immunise le moteur vis-à-vis de ce problème a été testée et appliquée à un
manche à retour d’effort. Néanmoins, le contrôle à basse vitesse du moteur
n’a pas été optimisé, et si le fonctionnement est stable, le comportement à
faible vitesse pose problème.
Dans (6), les auteurs ont recours à un moteur piézo-électrique à onde
progressive parce que l’application à retour d’effort envisagée devait être
manipulée par un utilisateur au cours d’un examen sous IRM. Dans ce cas,
on profite du fait que ces moteurs sont par nature construits en matériaux
amagnétiques, il ne mettent en jeu aucun champs électromagnetique pour
éviter les problèmes à basse vitesse. Les auteurs utilisent cette fois un
système réducteur de vitesse.
Ces problèmes à basse vitesse sont évoqués dans (68) ; ici, l’objectif est
de réaliser un système de suppression des tremblements (figure 1.16). Le
dispositif se compose donc d’un moteur piézo-electrique en prise directe
sur une orthèse de bras. Il est situé au niveau du joint de rotation qui
11
12
correspond au coude de l’utilisateur, et corrige son mouvement du bras
en supprimant les tremblements. Il est mentionné que le moteur colle au
moment ou l’utilisateur tente d’inverser le sens de rotation de son avant
bras, c’est-à-dire qu’il avance par saccade : dans un domaine où la vitesse
est inférieure à 0.7 rad/sec, les auteurs ne peuvent plus contrôler le couple.
Fig. 1.16 – USR60 appliqué dans la réhabilitation de tremblement pathologique (68)
Ainsi, nous voyons que des dispositifs à retour d’effort ont déjà fonctionné avec des moteurs piézoélectriques à onde progressive. C’est parce
qu’ils ne nécessitent pas de système de réduction de vitesse, et qu’ils sont
capables de délivrer des efforts importants que nous envisageons de les
utiliser dans la motorisation du Digitracker. Le paragraphe suivant fait
une description brève du moteur à onde progressive, et présente son fonctionnement global.
1.3
Présentation du moteur piézo-électrique à onde
progressive
1.3.1 Introduction
Dans cette section, on présentera d’abord globalement les caractéristiques
des moteurs à onde progressive : sa construction, ses avantage et inconvénients, et donnera en exemple deux moteurs Shinsei. La théorie au fonctionnement du moteur sera étudiée dans le chapitre suivant.
Le moteur piézoélectrique à onde progressive exploite les vibrations
mécaniques dans le domaine des fréquences ultrasoniques (44). Il est
constitué d’un rotor et d’un stator excité par des céramiques piézoélectriques. Ainsi l’oscillation ultrasonique du stator, produite par l’application de tensions appropriées aux céramiques piézoélectriques, transmet
par frottement, la force d’entraînement au rotor. L’amplitude de ces oscillations est très réduite, de l’ordre du micromètre. Pour optimiser cette
oscillation, l’excitation sera faite dans le voisinage de la fréquence de résonance mécanique du stator (6).
En fait, ces moteurs sont beaucoup plus compacts que des machines
électromagnétiques, et le couple massique est dix fois plus élevé que celui
des moteurs électromagnétiques (76). De plus, ces moteurs fournissent un
couple de blocage sans alimentation. Cette caractéristique mène à deux
avantages principaux : d’abord, la position permanente du dispositif haptique est fixée par les moteurs ; deuxièmement, la simulation de murs peut
1.3. Présentation du MPE à onde progressive
être améliorée en exploitant cette fonctionnalité comme détaillé dans le
troisième chapitre.
1.3.2 Constitution du moteur
La constitution de ce type d’actionneur est représentée à la figure 1.17
dans le cas d’une configuration annulaire. Elle met en évidence que cet
actionneur est composé principalement de deux parties : la partie d’entraînement constitué d’un anneau statorique et de céramiques piézoélectriques, et la partie entraînée composée par le rotor, une couche polymère
de friction et le ressort de précontrainte qui a pour but de presser le rotor
fortement sur la partie immeuble. Tous les éléments ont une forme plate.
Ces moteurs sont donc plats, ce qui leur confère un avantage en terme
d’encombrement par rapport aux moteurs longs.
Fig. 1.17 – Constitution du moteur à onde progressive (17) (18)
1.3.2.1 Architecture mécanique
Organe d’entraînement - stator
Ici, on prend l’exemple du moteur Shinsei USR60 dont le stator
consiste en un anneau de cuivre à l’arrière duquel est collé un anneau
de céramiques assurant la mise en rotation. L’anneau est pourvu de dents
dont le rôle est d’augmenter l’épaisseur apparente de la structure, sans
pour autant réduire son élasticité, afin d’amplifier la composante tangentielle du déplacement particulaire et d’augmenter par voie de conséquence
la vitesse de rotation du moteur (figure 1.18).
Dans l’architecture considérée, les éléments piézo-électriques fonctionnent en mode transversal. La figure 1.19 nous montre comment ces
céramiques s’allongent, et peuvent générer une onde de flexion dans le
matériau. Ce n’est cependant pas la seule solution pour créer une telle
onde, l’utilisation de bâtonnets piézo-électriques fonctionnant en mode
longitudinal à également prouvé son efficacité (61).
La polarisation des céramiques doit satisfaire aux conditions de propagation de l’onde de flexion. Pour ce faire, une alternance à la fois
des phases et des directions de polarisation est nécessaire. La figure 1.20
montre l’agencement des éléments piézo-électriques collés sous le stator.
Organe entraîné - rotor
13
14
Fig. 1.18 – Stator du moteur à onde progressive (USR60)
Fig. 1.19 – Déformation du céramique et du stator (22)
Fig. 1.20 – Agencement des éléments piézo-électriques
1.3. Présentation du MPE à onde progressive
Le rotor est constitué d’un disque en duralumin, il est revêtu d’une
couche de matériau polymère. L’effort axial est calibré par la compression
d’un ressort rendu solidaire du disque d’appui de l’arbre par le jeu d’un
système à ergot. Grâce à la pression générée dans la zone de contact, entre
le stator et le rotor, il existe une force de frottement qui joue un rôle de
traction au rotor (figure 1.21). La force de précontrainte permet aussi de
fixer le couple de maintien sans alimentation du moteur selon la loi du
frottement.
Fig. 1.21 – Rotor du moteur à onde progressive (USR60)(76)
1.3.2.2 Structure de l’anneau d’excitation
L’anneau de céramique est divisé en deux séries de céramique. Chaque série est alimentée idéalement par une tension sinusoïdale dans le domaine
ultrasonique, cette tension génère alors deux ondes stationnaires dans le
stator, la théorie de la génération d’onde sera présentée dans le chapitre
suivant. Un déphasage d’onde de 90 degrés est alors introduit entre les
deux séries d’excitation de façon à générer une onde progressive par la superposition des deux ondes stationnaires. Grâce à l’onde progressive, les
points à la surface du stator décrivent une trajectoire elliptique (Chapitre
2) qui permet de combiner des déplacements verticaux et horizontaux. La
figure 1.22 met en évidence que dans la géométrie de l’anneau statorique,
les céramiques sont réparties en deux phases, selon leurs directions de polarisation, l’effet de l’onde progressive ayant un mouvement elliptique à
chaque point est illustré figure 1.22(b).
1.3.3 Avantages et inconvénients
Par rapport à un moteur classique de même taille (DC, quelques watts), le
moteur piézo-électrique à onde progressive a un couple massique potentiellement élevé ; il a une caractéristique de basse vitesse et fort couple, il
n’a plus besoin de réducteur, c’est-à-dire il est plus petit et plus léger (13) ;
son niveau de bruit est très faible grâce à sa vibration ultrasonore, et avec
un temps de réponse de l’ordre de la milliseconde ; à l’arrêt, le moteur
est naturellement bloqué sans consommer d’énergie grâce à la pression
du rotor sur le stator, ce qui sera un atout pour la commande à appliquer
en mode mur (chapitre 4) ; en outre, il n’y a aucun risque de perturba-
15
16
Fig. 1.22 – Caractéristique de : (a) Structure de l’anneau d’excitation ; (b) Mouvement
elliptique dû à onde progressive (18)
Fig. 1.23 – USR60 et USR30 de Shinsei
tion électromagnétique, ce qui peut être un atout pour des environnement
particuliers.
Par contre, la faible durée de vie (2000h), due à l’usure de l’interface de friction, devient un de ses inconvénients. Le coût élevé (développement, fabrication des céramiques, nouvelle technologie), l’alimentation
électrique complexe (contrôle et concordance des 2 voies), sont deux autres
insuffisances ; de plus, le rendement énergétique faible (10-25 pour cents)
dû aux pertes dans la céramique piézoélectrique et lors de l’entraînement
par friction est considérable. Enfin, cet actionneur a besoin d’une source
électrique à haute fréquence.
1.3.4 Les moteurs à onde progressive de Shinsei
La Figure 1.23 présente une vue de l’architecture éclatée du moteur de
USR60 (à stator de 60 mm de diamètre extérieur) et une vue globale sur
l’USR30 (à stator de 30 mm de diamètre extérieur) produit par Shinsei
au Japon. En fait, ces deux actionneurs ont une structure très similaire.
Dans nos travaux, nous nous concentrerons plutôt sur l’USR30 qui sera
implanté dans un périphérique de 3 dégrées de liberté - le Digitracker. Les
principales caractéristiques techniques du moteur USR30 sont rassemblées
dans le tableau 1.1.
1.4
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons tout d’abord présenté le contexte de nos
travaux ; ensuite, nous avons introduit quelques actionneurs utilisés dans
1.4. Conclusion
Fréquence d’utilisation
Tension d’alimentation
Couple nominal
Puissance nominale
Vitesse de rotation nominale
Couple maximal
Couple de maintien
Temps de réponse du moteur seul
Sens de rotation
Durée de vie
poids
17
Standard
50KHz
110Vrms
0.01Nm
1.3W
250rpm
0.5Nm
0.1Nm
1msec
2
2000h
45g
Tab. 1.1 – Paramètres de l’USR30 de Shinsei
les interfaces homme-machine à retour d’effort : les actionneurs électromagnétiques, pneumatiques ou hydrauliques, électro- ou magnétorhéologiques et enfin piézo-électriques. En particulier, nous avons présenté
les avantages et inconvénients des actionneurs piézoélectriques par rapport aux actionneurs électromagnétiques qui sont souvent utilisés. Enfin,
nous avons décrit la structure de l’actionneur piézoélectrique à onde progressive. Dans le chapitre suivant, on s’intéressera à la modélisation du
moteur piézoélectrique à onde progressive en étudiant le moteur USR30
de Shinsei.
Modèle dynamique du
comportement mécanique des
moteurs piézo-électriques à
onde progressive
2.1
2
Introduction
Les moteurs piézo-électriques à onde progressive sont des convertisseurs
électro- mécaniques, qui transforment donc l’énergie électrique en énergie mécanique. Cette conversion d’énergie ne se fait pas de manière directe, et passe par trois étapes successives. D’abord, l’énergie électrique
est transformée en énergie mécanique par effet piézo-électrique inverse :
des contraintes sont générées dans les céramiques d’excitation qui vont
déformer le stator. Ce stator vibre car c’est un résonateur mécanique et
une onde vibratoire se propage au sein du matériau, pour donner lieu à
la seconde conversion d’énergie. Enfin, une troisième étape de conversion
permet la production d’un effort de poussée sur un rotor que l’on presse
fortement sur le stator.
On peut définir pour chaque conversion des variables d’action et de
réaction qui permettent de définir les échanges énergétiques d’une étape
à l’autre, (58). Signalons cependant que beaucoup de pertes apparaissent
dans chaque processus de conversion, ce qui rend difficile leur identification précise.
Fig. 2.1 – principe de conversion d’énergie au sein d’un MPE (58)
19
20
Chapitre 2. Modèle dynamique du comportement mécanique
De nombreuses modélisations ont été proposées pour décrire le fonctionnement de chaque processus de conversion d’énergie. Signalons les
modèles de (36), (51), (21), (22) qui modélisent l’ensemble de la chaîne
de conversion, des grandeurs électriques d’alimentation aux grandeurs
mécaniques mesurées. Dans cette thèse, nous ne nous intéressons qu’à la
modélisation causale de la conversion mécano - mécanique qui apparaît
au contact stator - rotor.
Des travaux antérieurs ont déjà été entrepris dans ce sens, et nous
trouvons de nombreux modèles pour décrire les phénomènes mis en jeu.
Pour expliquer, dans des conditions réelles de contact, l’apparition d’un
couple sur le rotor, (71), (6), (87), (34) proposent un modèle de contact
entre le stator et le rotor sous l’hypothèse qu’il existe une certaine élasticité dans la couche de contact. L’onde progressive y pénètre alors, il y a
donc une multitude de points de contact (32). La vitesse de cette onde et
la vitesse du rotor sont différentes ; grâce à cette différence, (71) (6) modélisent le phénomène de contact en séparant la zone de contact en zones
entraînantes et freinante, le couple du moteur pouvant alors être calculé
en intégrant les effets sur les deux zones. Quand le couple du moteur
est nul, la zone entraînante et la zone freinante sont équivalentes. La figure 2.2 présente une vue en coupe du stator vibrant, pénétrant dans une
couche élastique collée au rotor. Elle montre également le profil en vitesse
particulaire des points du stator, comparée à la vitesse du rotor. Cette dernière est constante pour tous les points de contact du rotor, tandis que la
vitesse particulaire des points du stator varie en fonction de la position
car le stator vibre. C’est pourquoi il existe une vitesse relative stator/rotor
non nulle sur l’ensemble des points de contact : certains points de contact
freinent le rotor, d’autres l’entraînent.
Fig. 2.2 – modèle de contact stator/rotor
Dans ce processus, le couple est supposé être produit par un frottement de coulomb, pour lequel on suppose connu le coefficient de frottement. D’autre phénomènes peuvent être pris en compte, comme la raideur
tangentielle de la couche de friction (6), ou encore un effet de lubrification
2.1. Introduction
causé par la vibration statorique. Si en général ces modèles permettent
d’obtenir une bonne adéquation avec les mesures expérimentales, ils sont
aussi très complexes. Ils montrent cependant que le couple produit est une
fonction de la vitesse de rotation du moteur, de l’amplitude de la vibration
du stator et du déphasage des deux ondes stationnaires.
Ces modèles peuvent être donnés sous forme analytique. Mais certains auteurs ont également tenté de décrire le phénomène de contact
sous forme numérique (93), (92), (85), (78), (91). Par exemple, (53), utilise
JNIKE3D - un code d’éléments finis - pour simuler le contact stator/rotor.
L’intérêt est de pouvoir tenir compte de détails fins dans la géométrie du
stator afin d’en déduire leur influence. Par exemple, dans le modèle de la
figure 2.3, des dents au stator sont modélisées.
Fig. 2.3 – Modèle de contact stator/rotor modélisé par éléments finis (81)
Dans ces modèles, le couple est également calculé sur la base de la loi
de Coulomb. A la différence des modèles analytiques, les zones freinantes
ou entraînantes sont discrétisées aux noeuds du maillage.
Ces modèles sont nécessaires dans une démarche de conception, car ils
permettent de connaître a priori les caractéristiques couple-vitesse d’un
moteur à partir de sa géométrie. Cependant, ils sont très lourds et trop
complexes pour pouvoir fournir, par inversion, les lois de commande
adaptées.
Des modélisations plus simples ou plus idéalisées ont été développées
et attirent donc notre attention (39) (20) (50) (52) (28). D’une manière générale, ces approches globalisent les phénomènes de contact. L’idée est de
fournir la relation qui relie la vibration statorique, la vitesse de rotation
et le couple sur l’arbre. Par exemple, dans (59), une résistance dans un
schéma électrique équivalent permet de modéliser cette relation.
Dans ce travail, nous nous basons sur la modélisation décrite dans (22)
faisant appel au concept du rotor idéal. Dans une première partie, nous
détaillons les équations relatives à ce modèle que nous améliorons dans
une deuxième partie pour l’étendre au cas des régimes transitoires.
21
22
2.2
Modélisation causale et approchée sous l’hypothèse du rotor idéal
2.2.1 Description du système
Les moteurs rotatifs à onde progressive élaborés par (70) se composent
d’un rotor discoïdal et d’un stator annulaire. L’épaisseur de ce dernier est
faible devant les autres dimensions, permettant de le considérer comme
une plaque mince (hypothèse H1). Sur celui-ci, des éléments piézoélectriques sont collés afin d’exciter les modes vibratoires de la plaque (figure 2.4). Les éléments se répartissent en 2 voies d’alimentation, la voie
α, et la voie β (25) (27). Ils sont respectivement alimentés par les tensions
vα , v β . Chacune génère une onde stationnaire parfaitement sinusoïdale
(H2) décalée dans l’espace. Les deux ondes se superposent pour constituer une onde progressive. Le stator est optimisé pour propager un mode
de flexion d’ordre k, c’est à dire que l’on trouve k ondes de flexion ; les
moteurs commerciaux Shinsei présentent ainsi un nombre k égal à 9 ou
11, et la fréquence de résonance se situe aux alentours de 40kHZ à 50kHZ.
La figure 2.5 montre dans un repère cartésien la position des éléments
piézo-électriques répartis en deux phases.
Fig. 2.4 – Coupe transversale du moteur étudié
On note :
a - le diamètre intérieur du stator ;
b - le diamètre extérieur du stator ;
h - la position du plan neutre du stator, qui peut être calculés (29).
Le plan neutre est un plan particulier du stator où les déplacements radiaux et tangentiels sont nuls.
2.2.2 Cinématique du stator
→
→
→
Nous définissons un repère tournant Rθ (−
ur , −
uθ , −
uz ) dans le repère car−
→
−
→
−
→
tésien fixe R1 ( u x , uy , uz ). On choisira d’exprimer les coordonnées d’un
point M en coordonnées polaires (r, θ, z) dans R1 , tandis que l’on conserve
les coordonnées cartésiennes (u, v, w) dans le repère Rθ (26).
Lorsque la phase α est alimentée seule par une tension alternative sinusoïdale, l’onde stationnaire relative à α se propage. Chaque point M à
−−→
la surface du stator de coordonnées polaires OM =(r,θ) se déplace en M’
sous l’action des contraintes générées par les éléments piézo-électriques.
2.2. Modélisation sous l’hypothèse du rotor idéal
23
Fig. 2.5 – Définition du repère pour le MPE (22)
−−→
On note MM0 = (u,v,w) relativement à Rθ . (83) (70) (24) ont montré que la
→
déformation selon −
uz s’écrit :
w(θ, t) = wα (t)cos(kθ )
(2.1)
De même, lorsque la phase β est alimentée seule, une onde stationnaire
décalée dans l’espace se propage ; la déformation selon uz s’écrit alors :
w(θ, t) = w β (t)sin(kθ )
(2.2)
compte tenu de la localisation des éléments piézo-électriques de la phase
β.
Sous l’hypothèse du comportement linéaire du résonateur mécanique,
la déformation totale observée en chaque point du stator s’écrit :
w(θ, t) = wα (t)cos(kθ ) + w β (t)sin(kθ )
(2.3)
Un cas particulier apparaît pour deux ondes en quadrature en supposant que l’amplitude des deux ondes stationnaires sont équivalentes et
constantes, c’est-à-dire lorsque l’on pose :
wα (t) = Wcos(ωt)
(2.4)
w β (t) = Wsin(ωt)
(2.5)
On a alors l’équation d’une onde progressive d’amplitude W.
w(θ, t) = Wcos(ωt − kθ )
(2.6)
L’hypothèse des plaques minces peut être appliquée au cas du stator.
→
Il s’en déduit une relation qui permet de calculer la déformation selon −
uθ ,
notée v :
v = −k
h
h ∂w
= −k (−wα sin(kθ ) + w β cos(kθ ))
b ∂θ
b
(2.7)
24
Dans le cas particulier de deux ondes en quadrature telles que définies
→
uθ s’écrit :
à l’équation 2.4 et 2.5, la déformation selon −
h
v = −k Wsin(ωt − kθ )
(2.8)
b
→
→
Ainsi, dans le plan (−
u ,−
u ) la trajectoire d’un point M de coordonnées
θ
z
(θ, z) est donnée par :
h
v = −k Wsin(ωt − kθ )
b
(2.9)
w = Wcos(ωt − kθ )
(2.10)
qui est l’équation d’un ellipse de petit axe k hb W, et de grand axe W.
→
→
La figure 2.6 montre alors la déformation du stator selon −
uθ , −
uz , en
fonction de θ. Nous avons représenté aussi les trajectoires elliptiques obtenues.
Fig. 2.6 – Onde progressive sur la surface du stator
C’est grâce à ce mouvement elliptique que le stator peut entraîner le
rotor par friction. En effet, chaque point du stator devient alternativement
point de contact avec le rotor. A ce moment là, sa vitesse est portée par
l’axe tangentiel uθ qui est communiquée au rotor par roulement sans glissement (voir l’hypothèse de 2.2.4).
Nous définissons θc comme l’angle mesuré dans le repère R1 , où est
localisé le point de contact. L’angle θc varie avec le temps et l’on peut
démontrer qu’il dépend des amplitudes des ondes stationnaires par :
kθc = atan
w β (t)
wα ( t )
(2.11)
Dans le cas de deux ondes stationnaires en quadrature kθc =ωt.
Nous pouvons à présent calculer vt la vitesse tangentielle du point de
contact. Elle est donnée par :
h
dv
= −k (−w˙α sin(kθc ) + w˙ β cos(kθc ))
(2.12)
dt
b
Encore une fois, nous pouvons donner le cas particulier d’une onde
progressive :
vT =
h
v T = −k (ωWsin(ωt)sin(kθc ) + ωWcos(ωt)cos(kθc ))
b
h
h
= −k ωW (sin(ωt)2 + cos(ωt)2 ) = −k ωW
b
b
(2.13)
(2.14)
2.2. Modélisation sous l’hypothèse du rotor idéal
25
Ainsi, dans ce cas particulier même si la trajectoire de chaque particule
du stator est elliptique, un observateur qui suivrait le point de contact
le ferait avec une vitesse de rotation constante. Cette vitesse que nous
appelons Ωid est donnée par :
Ωid = −
vT
b
(2.15)
Le signe ’-’ de l’équation 2.15 provient d’une inversion du sens positif
de la vitesse de rotation du moteur. Dans le cas de deux ondes stationnaires en quadrature et de même amplitude, cela devient :
Ωid = k
h
ωW
b2
(2.16)
Un autre cas particulier concerne deux ondes stationnaires déphasées
d’un angle ϕ, et nous écrirons :
wα (t) = Wcos(ωt −
π
ϕ
+ )
4
2
(2.17)
w β (t) = Wsin(ωt +
π
ϕ
− )
4
2
(2.18)
Alors, une étude sur le stator (23) nour permet de montrer en annexe
A1 que la vitesse du rotor idéal s’écrit en moyenne et approximativement :
Ωid = k
h
ωWsin( ϕ)
b2
(2.19)
2.2.3 Caractéristiques couple-vitesse
Bien sûr, la vitesse réelle du moteur Ω mesurée sur le rotor est différente
de Ωid à cause des conditions de contact stator/rotor. A titre d’exemple,
nous fournissons des caractéristiques expérimentales de la vitesse de rotation en fonction du couple fourni par le moteur.
Les mesures de la figure 2.7 (a) ont été produites par un moteur Shinsei
USR30 dont les caractéristiques nominales sont données tableau 1.1. On
constate bien une grande dépendance du couple produit en fonction de la
vitesse et de l’amplitude de la vibration. Ces courbes ne sont par linéaires,
signe que le contact stator/rotor est un processus complexe.
Une autre caractéristique intéressante est celle donnée à la figure 2.7
(b), où nous traçons l’évolution de la vitesse du moteur à vide et en régime permanent en fonction de W. La caractéristique obtenue est linéaire
par morceau, avec toutefois la nécessité de propager une onde d’amplitude supérieure à un certain seuil, noté Wth , pour faire tourner le moteur.
Cette caractéristique est à rapprocher de l’équation 2.16, qui elle montre
une évolution linéaire et sans seuil de la vitesse à vide, mais dans une
approche idéale. Dans la suite, nous appellerons zone morte la zone de la
caractéristique pour laquelle W< Wth .
C’est pour modéliser ces caractéristiques qu’un grand nombre de modèles ont été construits. La modélisation que nous proposons se veut
simple de manière à être inversible et pouvoir fournir des lois de contrôle
adaptées. Cette modélisation se base sur l’hypothèse du rotor idéal exposé
au paragraphe suivant.
26
Fig. 2.7 – Caractéristique de : (a) couple-vitesse et (b) amplitude d’onde-vitesse ; ϕ = ± π2
(25)
2.2.4 Hypothèse du rotor idéal
C’est pour modéliser de manière simple les conditions de contact stator/rotor, que nous introduisons le concept de rotor idéal. Ce dernier est
un rotor annulaire de masse nulle et entraîné par le stator avec des conditions de contact parfaites : roulement sans glissement au point de contact
et pas d’écrasement du stator contre le rotor. Le rotor idéal entraîne le rotor
réel par l’intermédiaire d’un contact imparfait que nous avons modélisé
par un frottement visqueux.
Fig. 2.8 – Description du modèle utilisé introduisant le rotor idéal
On relie alors le couple de sortie du moteur aux vitesses réelle et idéale
des deux rotors par une relation approximative que l’on déduit des caractéristiques couple-vitesse expérimentales par une linéarisation.
Cm = f 0 (Ωid − Ω)
(2.20)
Avec Cm le couple de sortie du moteur piézo-électrique, f 0 le coefficient de linéarisation identifié en mesurant la moyenne de la pente des
caractéristiques de la figure 2.7(a).
Une modélisation analogue pourrait également être entreprise le long
de l’axe normal pour fournir l’effort d’appuie en fonction des vitesses
de déplacement des deux rotors selon uz . Cependant, ce volet de la modélisation ne sera pas entrepris dans ce travail, et nous nous focalisons
uniquement sur le comportement selon l’axe tangentiel.
Nous pouvons ensuite donner l’évolution de la vitesse de rotation en
fonction des couples extérieurs appliqués sur le rotor par application du
2.3. Prise en compte de la zone morte dans le modèle global
27
principe fondamental de la dynamique en rotation :
J
dΩ
= Cm − Cr
dt
(2.21)
Avec :
J inertie de l’ensemble du rotor et la charge
Cm couple fournit par le moteur
Cr couple résistant
L’ensemble de ces équations peut être représenté par un graphe informationnel causal (31) (45) tel que celui de la figure 2.9 :
R1
R2
R3
Cm = f 0 (Ωid − Ω)
Ωid = k bh2 ωW
R
Ω = 1J (C − Cr )dt
Fig. 2.9 – GIC du modèle simplifié (cas des ondes en quadrature)
Nous pouvons comparer les résultats de simulation de la figure 2.9
issus de ce modèle aux résultats expérimentaux de la figure 2.7 pour nous
rendre compte que cette modélisation ne décrit pas l’effet de zone morte
lorsque l’amplitude d’onde est trop faible. Ce modèle est donc complété
ce qui fait l’objet du chapitre suivant.
Fig. 2.10 – Caractéristique de Ωid (W ) sans zone morte (résultat du modèle simplifié)
2.3
Prise en compte de la zone morte dans le modèle
global
2.3.1 Introduction d’un couple de frottement supplémentaire
Lorsque W est petit, le stator colle sur le rotor, et à vide, le moteur ne
peut pas entraîner le rotor. Dans l’exemple de la figure 2.7(b), ce phénomène apparaît pour W< Wth . Pour pallier ce problème, certains auteurs
préconisent de faire varier la vitesse du moteur, non pas par action sur W,
mais plutôt sur l’angle de déphasage entre les deux ondes stationnaires
ϕ. Ce principe est illustré à la figure 2.11 dans laquelle nous avons tracé
la vitesse à vide du moteur en fonction de ϕ, pour une amplitude d’onde
donnée supérieure à Wth .
28
Fig. 2.11 – Caractéristiques déphasage-vitesse ; W=0,65µm ; - théorique – expérimentale
La modélisation présentée au chapitre précédent ne prend pas en
compte ce phénomène de seuil. Elle peut cependant être améliorée en
supposant l’existence d’un frottement sec supplémentaire noté C f entre
rotor idéal et rotor réel. Ainsi, l’équation 2.21 peut être légèrement modifiée pour prendre en compte ce frottement.
J
dΩ
= Cm − Cr − C f
dt
(2.22)
Bien sûr, nous devrons identifier la valeur de ce frottement. On écrira
pour l’instant les relations R’3 et R4 avec :
R30 : C = Cm − C f
Z
1
R4 : Ω =
(C − Cr )dt
J
(2.23)
(2.24)
La figure de modèle simplifié 2.9 est alors modifié en :
Fig. 2.12 – GIC du modèle prenant compte la zone morte
En régime permanent établi ( dΩ
dt = 0 ) et à vide (Cr = 0) il vient que :
Cm − C f = 0 ⇒ C f = Cm
(2.25)
= f 0 (Ωid − Ω)
(2.26)
h
ωWsin( ϕ) − Ω) ⇒
b2
Cf
h
Ω = k 2 ωWsin( ϕ) −
b
f0
= f 0 (k
(2.27)
(2.28)
Ainsi, il vient que la caractéristique Ω(W ) et une droite de pente
C
d’ordonnée à l’origine − f0f , ceci est théorique car lorsque la
k bh2 ωsin( ϕ),
2.3. Prise en compte de la zone morte dans le modèle global
29
hauteur d’onde est nulle, la vitesse l’est également. Ceci permet d’identifier au paragraphe suivant les valeurs du couple de friction C f à imposer
pour tenir couple de la zone morte. En effet, pour ϕ = π2 et Ω = 0, nous
avons :
k
Cf
h
ωW =
2
b
f0
(2.29)
Le décollement se produit si :
W = Wth =
C f b2
f 0 khω
(2.30)
Alors, la mesure de Wth permet d’identifier, par inversion de la relation
2.30 la valeur de C f .
2.3.2 Validation par simulation
Nous montons dans ce paragraphe comment l’introduction du couple de
friction C f permet de prendre en compte l’effet de la zone morte. Pour
cela, nous comparons les caractéristiques Ω(W ) simulée et expérimentale.
Au cours de l’essai, nous fixons ϕ à π2 puis à − π2 et nous faisons varier W
de manière linéaire entre 0 et 1µm. Nous relevons alors la vitesse à vide
du moteur (2.13, 2.14) .
Fig. 2.13 – Evolution temporelle de l’amplitude d’onde progressive
Fig. 2.14 – Vitesse à vide correspondant à l’évolution de W
Nous pouvons en déduire figure 2.15 la caractéristique Ω(W) simulée.
Nous comparons alors les figures 2.15 et 2.7(b), nous constatons que la
zone morte est bien prise en compte avec ce modèle. La longueur de cette
30
Fig. 2.15 – Vitesse à vide en fonction de W. Zoom autour de Ω = 0
zone morte est donnée par la valeur de C f , elle-même identifiée à partir
de la mesure de Wth comme montré au paragraphe précédent.
D’un point de vue du régime permanent, dont les caractéristiques ont
fourni la base du modèle, la modélisation est donc convenable, tout au
moins en ce qui concerne les caractéristiques à vide. Cependant, nous
verrons au paragraphe suivant qu’une amélioration est encore possible
pour prendre en compte le comportement dynamique du moteur à son
démarrage.
2.4
Prise en compte du stick-slip ou modélisation dynamique globale du contact stator/rotor
2.4.1 Introduction
Le modèle tel que décrit par le graphe informationnel causal de la figure 2.12 est fondé sur des caractéristiques obtenues en régime permanent. Nous traitons ici le cas du brouttement du moteur - stick-slip en
anglais - qui ne peut être mis en évidence que par l’examen des réponses
transitoires de la vitesse. Nous réalisons donc figure 2.16 un essai expérimental pendant lequel W augmente de manière linéaire en fonction du
temps. Le rotor reste immobile, comme si il était collé au stator. Lorsque
W devient suffisant, il démarre subitement, ce qui peut être observé en
t=t0 , : il décolle. La valeur du seuil qui permet de décoller le rotor est plus
grand que le seuil Wth, c’est pourquoi après cette phase transitoire, la
vitesse s’établit à une valeur raisonnable. Ensuite, lorsque W diminue, le
moteur ralentit jusqu’à l’arrêt, cette fois de manière normale, c’est-à-dire
conformément à la caractéristique de la figure 2.7(b).
Ce problème est important dans les interfaces à retour d’effort, car le
moteur y fonctionne souvent à vitesse quasi nulle. Le collage crée des perturbation au niveau du couple que la commande doit pouvoir éviter. Il est
donc nécessaire de disposer d’un modèle représentant ce comportement
afin de le traiter.
2.4. Modélisation du stick-slip
31
Fig. 2.16 – Effet de collage d’un USR30 à vide
2.4.2 Construction du modèle par réseau de Pétri
L’effet de stick-slip tel qu’il est généralement décrit, trouve son origine
dans la différence entre frottement statique et frottement dynamique.
Avant de montrer la modélisation dans le cas de notre application, nous
fournissons ici une explication au phénomène dans un cas simple.
Fig. 2.17 – Objet soumis à un frottement statique et dynamique
Prenons figure 9 un objet A reposant sur un plan B. Un utilisateur
−−−→
applique sur A un effort tangentiel Fext→ A . Par ailleurs, A subit l’effet de
−−−→
−−−→
son poids ~
P = − P~z et de la réaction du plan B, notée FB→ A . Si Fext→ A =0
−−−→
(2.17(a)), l’équilibre de A montre facilement que FB→ A =−~
P = P~z . Augmen−−−→
tons alors progressivement l’effort tangentiel de l’utilisateur FB→ A =F~x.
Supposons dans un premier temps que cet effort n’est pas suffisant pour
compenser les frottements qui apparaissent à l’interface entre A et B ; A
est alors en équilibre (figure 2.17(b), ce qui impose que :
−−−→
−−−→
FB→ A = −(~
P + Fext→ A ) = P~z − F~x
(2.31)
Au fur et à mesure que l’on tire davantage sur le solide A, F augmente.
Si F atteint une valeur limite, telle que | F | = µs P, alors il y a glissement :
32
A se met en mouvement (figure 2.17(c)). Dès lors, la force de réaction du
plan devient fixe, et ne dépend que de l’effort du plan sur l’axe normal :
−−−→ ~
FB→ A = Pz − Fs~x
(2.32)
avec Fs = µd P, tandis que A n’est plus à l’équilibre statique :
MA
dv A
= F − Fs
dt
(2.33)
Le solide A est donc dans deux états possibles : collé, v A = 0 ou en
glissement v A 6= 0. Le passage de bloqué à glissant est imposé par l’effort
que l’on applique tangentiellement à A. Le passage de l’état glissant à bloqué est imposé par la vitesse. Il est possible de modéliser ces transitions et
ces états à l’aide d’un réseau de pétri tel que décrit à la figure (2.19). Dans
ce réseau, nous avons fait figuré les deux états possibles pour le solide A :
bloqué ou glissant. Nous repérons l’état initial (à t = 0) par un point. Ici,
l’état initial est l’état bloqué par convention. Nous faisons également figurer les équations relatives au fonctionnement de chaque état. Notons que
dans l’état bloqué, une variable d’état - la vitesse - est fixée puisqu’elle est
nulle. Nous repérons également les conditions de passage d’un état à un
autre, que l’on appelle les transitions. Elles sont repérées par τ1 pour le
passage d’un état bloqué à un état glissant et τ2 pour l’inverse.
On constate en général que µd < µs , ce qui a pour conséquence que
l’effort F nécessaire pour mettre A en mouvement, équivalent à µs P est
plus grand que l’effort de réaction µd P du plan sur l’axe ~x une fois que A
se déplace. C’est pour cette raison que le solide A se met en mouvement
subitement. Lorsque F varie au cours du temps ( soit de manière volontaire, soit par parce que cet effort est appliqué via un ressort), le solide
A alterne les phases bloquées et glissantes, ce qui a pour conséquence le
stick-slip.
Du point de vue de la compréhension du phénomène, nous voyons
qu’il est possible de poser les équations qui amènent au stick-slip. Les
difficultés commencent lorsque l’on s’intéresse à sa simulation sous un
logiciel du commerce comme Matlab-Simulink. En effet, nous sommes là
face à un cas de fonctionnement non linéaire et non continu. Dans ce
contexte, le modèle de Stribeck fournit une alternative intéressante. Il se
base sur une caractéristique continue - et non linéaire - de la force de
frottement en fonction de la vitesse relative au point de contact (57). Une
caractéristique type est donnée à la figure 2.18. Lorsque la vitesse est nulle,
la force de frottement est très grande. Puis, dès que le solide se met en
mouvement, la force de frottement diminue, mais de manière continue.
Pour que la simulation soit fine et se rapproche au mieux du comportement réel, la zone de la caractéristique autour de ẋ = 0 doit être la plus
étroite possible, ce qui ralentit la simulation. Il existe donc un compromis
entre d’une part la vitesse de simulation et d’autre part sa validité avec
cette méthode qui reste néanmoins facile à mettre en oeuvre.
Comme nous l’avons dit précédemment, nous avons opté pour une
simulation par réseau de Pétri (11). Ces diagrammes montrent les transitions et les états dans lesquels se trouve le système. En fonction de chaque
état, des équations sont associées et résolues.
2.4. Modélisation du stick-slip
33
Fig. 2.18 – Modèle de frottement sec de Stribeck
Fig. 2.19 – Schéma de pétri de ’stick-slip’
Nous pouvons considérer dans notre cas que nous obtenons un schéma
de simulation de manière plus rigoureuse qu’avec le modèle de Stribeck.
Nous verrons également par la suite que l’implantation de tels modèles se
fait de manière assez directe grâce aux outils de Matlab. C’est pourquoi
nous adaptons les équations 2.31 2.32 et 2.33 afin de pouvoir mettre sous
cette forme notre système.
Par analogie, dans notre système, c’est C f qui représente le frottement
−−−→
et qui est donc l’analogue de FB→ A ; (Cm - Cr ) la somme algébrique des
−−−→
couples de l’extérieur sur le rotor est l’analogue de Fext→ A . Lorsque le
moteur est à l’état glissant, la relation qui lie l’évolution de la vitesse aux
couples extérieurs au rotor est donnée par :
J
dΩ
= Cm − Cr − Cd
dt
(2.34)
avec Cd le couple de frottement dynamique. Compte tenu du fait que
dans cet état nous devons retrouver le comportement du moteur exposé
au chapitre précédent, nous poserons donc, conformément à l’équation :
Cd = f 0 KWth sinϕ
(2.35)
34
avec
kh
ω
b2
En ce qui concerne l’état bloqué du moteur, puisque la vitesse est nulle
dans ce cas, nous devons fournir l’évolution du couple statique Cs qui est
utile pour définir la transition de l’état bloqué à l’état passant, et ainsi bien
prendre en compte l’effet de stick-slip.
Or, par expérience, nous avons apprit que l’effet de stick-slip est réduit lorsque ϕ 6= 0 voire, peut être annulé si ϕ=0. Une étude analytique
poussée du contact stator-rotor pourrait nous fournir l’évolution du Cs
en fonction de ϕ. Cette étude n’a pas été entreprise dans le cadre de ce
mémoire. Cependant, compte tenu de l’équation 2.35, nous proposons le
modèle empirique suivant (2.36) afin de réduire dans le modèle l’effet de
stick-slip par modification de l’angle de déphasage des deux ondes stationnaires observé en pratique.
K=
Cs = C0 sinϕ
(2.36)
avec C0 le couple de frottement statique à déphasage ϕ = π2 .
Nous pouvons tracer figure 2.20 le réseau de Pétri qui résulte de ces
équations.
Fig. 2.20 – Schéma de pétri du ’stick-slip’ dans le moteur
L’ensemble de ces équations peut être représenté une nouvelle fois
sous forme de GIC. Ainsi, celui de la figure 2.12 peut être complété pour
faire apparaître ces deux états qui conduisent à deux jeux d’équations
distinctes, avec commutation de l’un vers l’autre. Pour cela, un aiguilleur,
une relation simple de commutation, permettra de choisir l’une ou l’autre
sortie du modèle selon l’état du moteur, qui est une sortie du réseau de
Pétri montré précédemment (46) :
Rst :
(
Ω1 si glissant
Ω=
(2.37)
Ω2 = 0 si bloqué
Nous venons de construire un modèle global de l’interface mécanique
stator-rotor d’un moteur piézo-électrique à onde progressive prenant en
compte le collage du moteur à vitesse nulle. Pour être valable, les résultats de ce modèle doivent être comparés aux essais expérimentaux du moteur. L’analyse et la comparaison des caractéristiques de fonctionnement
2.5. Implantation, identification et validation du modèle
Fig. 2.21 – GIC du modèle mécanique avec ’stick-slip’
obtenues en simulation avec celles mesurées nous permettront de juger
de l’efficacité du modèle proposé. C’est l’objet du paragraphe suivant qui
fournira en outre une méthode d’identification des paramètres du modèle.
2.5
Implantation, identification et validation du modèle dynamique de l’interface mécanique statorrotor
Au cous de ce paragraphe, nous tentons de montrer la validité du modèle
de simulation proposé, ainsi que les élements clé de sa mise en oeuvre
dans un logiciel de simulation comme MATLAB-SIMULINK, et de l’identification de ses paramètres.
2.5.1 Implantation en simulation
D’un point de vue pratique un réseau de Pétri peut s’implémenter facilement sous Matlab si on possède la toolbox Stateflow. On crée alors une
boîte possédant en entrée les variables qui contrôlent l’état du système et
qui fournit en sortie justement l’état du système. On utilise une grandeur
appelée " stick " qui vaut 1 si le moteur est dans l’état bloqué, ou 0 dans le
cas contraire. C’est cette grandeur qui permet de contrôler les équations
régissant l’évolution des variables d’état telles que décrites à l’équation
2.37.
Comme il est montré dans la figure 2.22, il y a trois signaux d’entrée :
le ’novelocity’ pour tester le changement de signe de la vitesse de rotor,
le ’Csum ’ couple résultant de la somme de Cm − Cr , et le sinϕ. Selon les
conditions du réseau de Pétri, on obtient alors la consigne suivante : en
sortie ’1’ pour l’état de ’stick’, en sortie ’0’ pour l’état ’slip’.
Fig. 2.22 – Bloc stateflow correspondant au schéma de pétri
Par ailleurs, une condition de mise à zéro doit être ajoutée sur l’intégrateur de la relation R’3 pour qu’au passage de l’état bloqué à l’état
passant la vitesse soit bien nulle, comme le préconise (45).
35
36
Afin d’illustrer le comportement de ce modèle, nous reproduisons en
simulation l’essai opéré à la figure 2.16, on donne une consigne triangulaire pour l’entrée de W et une constante de π2 pour le déphasage ϕ (figure
2.23).
Fig. 2.23 – (a)Amplitude d’onde progressive ;(b)Déphasage des ondes stationnaires
Fig. 2.24 – (a)Sortie ’Stick-slip’ du réseau de Pétri ;(b)Couple de frottement avec collage
La caractéristique de la vitesse en fonction du temps correspondant à
ces consignes n’est plus symétrique, il apparaît un hystérésis entre aller et
retour dans la caractéristique de la vitesse Ω en fonction de l’amplitude
d’onde W, l’effet de collage est alors bien simulé (figures 2.24 et 2.25).
Fig. 2.25 – (a)Vitesse à vide ;(b)Vitesse en fonction de W (simulation)
Nous disposons ainsi d’un modèle permettant de prendre en compte
les phénomènes dynamiques à l’interface stator/rotor. Le modèle se base
sur l’ajout d’un frottement C f et d’une boite à état ou réseau de Pétri.
Dans la suite de ce chapitre, nous montrons comment obtenir la valeur de
ce frottement à partir d’essais expérimentaux.
2.5.2 Description de la plateforme d’essais
Nous décrivons dans ce paragraphe la plateforme d’essais utilisés pour
l’identification des paramètres et la validation expérimentale du modèle.
Concrètement, il s’agit de comparer les caractéristiques donnant l’évolution de la vitesse Ω en fonction de l’amplitude d’onde progressive W et
du déphasage des ondes stationnaires ϕ.
Présentée figure 2.26, cette plateforme est composée d’un moteur
SHINSEI USR30 (à gauche) alimenté par deux tensions d’amplitude 200v
crête chacune ; ce moteur développe alors un couple nominal de 0,1Nm
à environ 150tr/min. Une électronique de commande génère les tensions
d’alimentation permettant d’obtenir l’amplitude d’onde (W) et leur déphasage (ϕ) convenable.
Puisque des essais en charge sont nécessaires, nous accouplons ce moteur à un moteur à courant continu (à droite), de type MAXON avec un
couple nominal de 0,1 Nm, asservi en courant, qui permet donc le réglage
du couple de charge Cr . Ce couple est mesuré par l’intermédiaire d’un
capteur de couple de type DR-2 de marque SCAIME (en bleu au milieu).
Enfin, la mesure de la vitesse est obtenue par dérivation de la position
issue d’un codeur optique placé sur l’axe de l’ensemble (en bout d’arbre à
gauche). Afin de bien connecter les deux moteurs et le capteur, deux joints
d’accouplement sont nécessaires.
Un système dspace 1104 permet l’échantillonnage des variables mesurées, ainsi que le contrôle de l’amplitude d’onde - W et de l’angle ϕ.
L’organisation du banc expérimental est donnée figure 2.27.
Fig. 2.26 – Banc d’expérimentation pour la validation de la modélisation
On donne des valeurs de référence au banc, comme illustré dans la
figure 2.27, le couple résistant Cre f au MCC, le déphasage ϕ et la référence
W d’amplitude d’onde au moteur USR30. En même temps, on mesure la
position acquise par le codeur et le couple sur l’axe.
A partir de cette plate-forme, on fera deux types d’essais, à vide ou
bien en charge, qui permettront de valider le modèle soit dans sa partie
glissante, soit dans sa transition bloqué-glissant.
37
38
Fig. 2.27 – Organisation du banc expérimental
2.5.3 Validation expérimentale - Caractéristique à vide
Lorsque le moteur est à vide et en rotation, il se trouve donc dans l’état
glissant - P2 . Nous pouvons donc écrire :
J
dΩ
= Cm − Cr − Cd
dt
(2.38)
Puisque le moteur est à vide et en régime permanent, posons Cr = 0 et
J dΩ
dt = 0. Il vient alors qu’au cours de ces essais Cm = Cd . Or, nous avons
posé :
Cm = f 0 (Ωid − Ω)
C f = Cd = f 0 k
h
ωWth sinϕ car etat P2
b2
(2.39)
(2.40)
Il vient ainsi qu’à vide en régime permanent :
f 0 (Ωid − Ω) = f 0
kh
ωWth sinϕ
b2
(2.41)
Soit encore d’après A.14 :
Ω=
kh
ω (W − Wth )sinϕ
b2
(2.42)
Les essais à vide que nous réalisons permettent d’identifier et de valider l’évolution du couple de frottement glissant que nous avons appelé
Cd . Deux types d’essais sont menés :
– à déphasage fixe et amplitude de vibration variable
– à déphasage variable et amplitude de vibration constante
Pour chaque type d’essai, nous comparerons la sortie du modèle obtenue à partir de l’équation 2.42 - aux mesures expérimentales.
Validation de Ω − W
Les phénomènes caractéristiques simulés que nous allons comparer
aux résultats expérimentaux traduisent dans un premier temps l’évolution
de la vitesse du moteur à déphasage constant. Dans ces essais, nous fixons
ϕ à une valeur prédéterminée (entre -90˚ et +90˚) et nous diminuons W par
paliers successifs ; nous relevons pour chaque point de mesure la valeur
de Ω.
Les résultats expérimentaux pour des déphasages de 90˚, 60˚, 45˚ et 30˚
et -90˚, -60˚, -45˚ et -30˚ sont donnés à la figure 2.28 et 2.29. Notons que
dans cette figure, pour plus de lisibilité, nous avons adopté la convention
selon laquelle un déphasage négatif est représenté sur la figure par la zone
de la caratéristique pour laquelle W est négatif.
Fig. 2.28 – (a)Ω en fonction de W ; ϕ = 90˚ ;(b)Ω en fonction de W ; ϕ = 60˚
Fig. 2.29 – (a)Ω en fonction de W ; ϕ = 45˚ ;(b)Ω en fonction de W ; ϕ = 30˚
Sur ces caractéristiques expérimentales, nous avons placé en trait plein
la sortie du modèle. Ce modèle est linéaire par morceau, et de l’équation
2.42 nous pouvons faire deux remarques importantes :
– l’évolution de la vitesse à vide est linéaire par morceaux. La pente
lorsque le moteur tourne vaut k bh2 ωsinϕ. La pente varie donc selon
ϕ. Une méthode permettant d’identifier le paramètre k bh2 ω consiste
donc à tracer l’évolution des pente de la caractéristique en fonction
de ϕ, ce que nous avons fait à la figure 2.28 et 2.29, et d’y faire correspondre notre modèle au mieux des points. Nous nous rendons
compte alors que l’écart entre le modèle et les mesures expérimentales est réduit, ce qui nous permet de conclure sur une bonne adéquation sur ce point entre mesure et modèle.
– La taille de la zone morte ne varie pas avec ϕ. Cette constatation
peut également se faire sur la caractéristique expérimentale : le plat
en Ω = 0 possède une largeur constante. Il vaut Wth conformément
à 2.16.
Ainsi, ces premiers essais démontrent une bonne adéquation entre modèle et mesures expérimentales. Ils permettent en outre d’identifier la valeur de certains paramètres comme la valeur de l’amplitude vibratoire en
limite de zone morte (Wth qui ne dépend pas de ϕ) et des paramètres
géométriques du moteur.
Pour être complète, cette partie de validation doit également traiter le
cas de l’évolution de la vitesse à vide à amplitude d’onde constante.
39
40
Validation de Ω − ϕ
Nous fixons à présent l’amplitude de vibration W à 1,33µm, 1µm,
0,67µm, 0,33µm soit des valeurs supérieures à Wth et nous relevons figure 2.30 l’évolution de la vitesse du moteur en fonction de ϕ. Cette fois,
le modèle prévoit une évolution en sinϕ de la vitesse, conformément à
l’équation 2.42, ce que nous constatons une nouvelle fois expérimentalement. Ainsi, modèle et expérience concordent, quel que soit le niveau de
vibration statorique imposé.
Fig. 2.30 – Ω en fonction de ϕ avec W différents
Nous validons ainsi l’évolution de la valeur du couple de frottement
Cd que nous avions supposée a priori.
Ces essais à vide ont permis de valider le modèle du moteur lorsqu’il
n’est pas bloqué. Ils ont abouti à la détermination de l’évolution du couple
de frottement en mode glissant Cd .
En valeur numérique, nous obtenons :
kh
ω
b2
29mm−1
Cd
0.04Nm
Tab. 2.1 – Paramètres de frottement dynamique
Les essais en charge menés au paragraphe suivant ont pour but de
valider le modèle du moteur bloqué, avec la détermination du couple à
l’état bloqué Cs .
2.5.4 Validation expérimentale - Caractéristique en charge
Afin de démontrer la validité du modèle au passage du mode bloqué au
mode glissant, nous effectuons des essais au cours desquels W est maintenu constant et égal à 0,75µm, tout en faisant varier le couple résistant
Cr par l’intermédiaire du moteur à courant continu. Lorsque Cr est nul, Ω
vaut environ 100tr/min. Lorsque Cr augmente, le moteur freine : la vitesse
décroît jusqu’à l’arrêt et le moteur bloque. Lorsque Cr continue d’augmenter, la vitesse reste nulle puis, lorsque Cr dépasse le couple de frottement
statique, Cs , il se met à tourner dans le sens opposé.
En effet, si le moteur est bloqué, nous avons :
¯ ¯
¯C f ¯ = |Cm − Cr | < Cs
(2.43)
En cas de mode glissant, nous avons :
¯ ¯
¯C f ¯ = |Cm − Cr | > Cs
41
(2.44)
On a alors au moment exact de la transition bloqué-glissant, Ω = 0 et :
Cr > Cs + Cm = Cs + f 0 KWsinϕ
(2.45)
d’après 2.38 et A.14.
Durant cet essai donc, après glissement, le moteur tourne en sens inverse de sa vitesse à vide. Nous relevons alors le couple Cr nécessaire au
décollement du moteur. Nous avons réalisé cet essai pour plusieurs valeurs de ϕ ; Nous en déduisons alors la valeur de Cs , à partir de l’équation
2.36. Nous reportons alors figure 2.31 l’évolution de Cs en fonction de ϕ.
Nous avons reporté sur cette même figure le modèle décrit par l’équation
2.36.
Fig. 2.31 – Evolution du couple de frottement statique en fonction de l’angle de déphasage ϕ
Ainsi, modèle et expérience concordent à nouveau. Des différences notables apparaissent, mais nous supposons que ces différences sont en partie dues à la difficulté de mesurer avec précision le moment ou le moteur
passe de l’état bloqué à l’état passant et donc d’avoir une mesure précise
du Cr .
Néanmoins, cet essai permet d’identifier la valeur de C0 que l’on évalue à C0 = 0,06Nm.
Pour valider l’ensemble du modèle, nous avons réalisé un essai pendant lequel W est maintenu constant et égal à µm. Puis, nous avons imposé un couple résistant variable en fonction du temps. Nous avons alors
enregistré l’évolution de la vitesse de rotation Ω(t).
Puis, le couple Cr et la valeur de W ont été utilisés comme entrées du
modèle afin de comparer vitesse simulée et relevés expérimentaux.
Modèle et mesures expérimentales concordent même si à nouveau des
différences apparaissent. En particulier, dans la zone où le couple résistant
est positif, le modèle en bleu s’éloigne beaucoup des mesures en vert. Ici,
nous accusons la simplicité du modèle de génération du couple moteur représenté par l’équation 2.20. En effet, dans cette zone de la caractéristique,
la courbe relevée s’éloigne passablement du modèle linéarisé.
Ensuite, autour de t=10sec, l’écart est très important entre mesure et
modèle. Cette fois, il s’agit d’un autre phénomène, que nous n’avons pas
42
C =f(t), φ=90°
r
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Ω=f(t), φ=90°
400
200
0
Modèle
Mesure
−200
−400
0
2
4
6
8
10
t(s)
12
14
16
18
20
Fig. 2.32 – Comparaisons simulation-expérimentation au cours d’un essai à couple résistant variable et amplitude d’onde constante
modélisé. En effet, le moteur ayant décollé, le maintient de l’amplitude
de vibration se révèle délicat voire impossible à cause de la réaction, sur
l’onde, des efforts de contact stator/rotor. Ici, nous devons donc considérer
que le modèle est en limite de validité. Néanmoins, nous constatons que
le moment de décollement - en t=9sec - et de réadhésion - en t=11sec sont eux assez bien définis.
2.6
Conclusion
Nous avons proposé dans ce chapitre un modèle global du comportement
de l’interface stator/rotor ; ce modèle se base sur le concept du rotor idéal.
Dans une première approche, nous avons modélisé la zone morte par l’introduction d’un couple de frottement qui s’ajoute au couple de charge du
moteur. Puis, afin de modéliser correctement le comportement dynamique
au démarrage du moteur, nous faisons varier ce couple de frottement en
fonction de l’état - à l’arrêt ou en rotation - du moteur. Un réseau de pétri,
pour lequel les équation de comportement dans chaque état et les transitions d’un état à l’autre a été établi. Des résultats expérimentaux viennent
valider ce modèle.
Dans la suite de ces travaux de thèse, nous nous servirons de ce modèle
pour proposer et implanter des lois de commande : en inversant le modèle,
nous obtenons des lois de contrôle originales du couple moteur, basées sur
l’identification du couple de frottement. Ces lois de contrôle sont réalisées
dans le cadre des applications à retour d’effort.
Commande du moteur USR30
en retour d’effort
3.1
3
Introduction
Le chapitre précédent traitait du modèle des moteurs piézo-électriques à
onde progressive. Plus particulièrement, nous avons donné un modèle de
l’interface mécanique qui permet de prendre en compte l’effet de collage
du stator sur le rotor à basse vitesse. Nous cherchons à présent à inverser ce modèle afin d’en déduire des structures de commande originales.
D’abord validées par simulation, ces lois de commande seront appliquées
dans le cas d’une application exigeante : le retour d’effort. Nous verrons
en particulier comment tirer partie du comportement du moteur pour simuler des " murs virtuels "
Mais avant de montrer l’inversion du modèle, nous présentons dans
un premier paragraphe les règles de base pour la simulation d’un environnement virtuel.
3.2
Principe de la commande à retour d’effort
Un dispositif haptique à retour d’effort est assimilable à un système mécatronique conçu pour présenter à un utilisateur humain le sentiment qu’il
manipule des objets virtuels ou distants. Il constitue, en fait un dispositif
de restitution des sensations de force, de la même manière qu’une TV ou
un écran d’ordinateur restituent des images visuelles d’un monde virtuel
ou distante.
Ces dispositifs haptiques doivent être capables d’imiter les propriétés
de l’environnement virtuel que l’on simule ; ce peut être la transparence,
c’est à dire que le dispositif ne présente aucune résistance au mouvement,
ou un arrêt dur, comme lorsque l’on entre en contact avec un objet de
forte rigidité. En général, le dispositif devra avoir une masse faible et une
rigidité propre élevée pour obtenir ces performances. Par ailleurs, il doit
autoriser un travail dans une gamme de vitesses et une zone semblables à
ceux de l’utilisateur.
Le diagramme de la figure 3.1 montre les interactions entre l’utilisateur d’une part et le monde virtuel d’autre part. En effet, nous devons
considérer qu’à la fois le monde virtuel - par l’intermédiaire des moteurs
installés sur le dispositif - et l’utilisateur agissent au même moment sur
43
44
Chapitre 3. Commande du moteur USR30 en retour d’effort
Fig. 3.1 – Action et réaction entre l’utilisateur et l’environnement virtuel
un effecteur unique. Le principe fondamental de la dynamique s’appliquant sur cet effecteur, il se déplacera en conséquence. Si le monde virtuel
contient un objet rigide comme un mur, les forces de réaction de ce mur
devront s’opposer à celles de l’utilisateur et l’arrêter. Si le monde virtuel
n’exerce aucune force, l’effecteur devra suivre le mouvement de l’utilisateur de manière transparente. Hors, ce système utilisateur - effecteur - environnement virtuel est un système bouclé. Il manifeste dans certains cas
une instabilité, c’est-à-dire des oscillations incontrôlées. C’est pourquoi, au
principe de transparence, vient s’ajouter le principe de la passivité. Selon
ce principe en effet, on s’assure que l’interface ne fournit pas d’énergie à
l’utilisateur.
Ainsi contrôle, transparence, passivité de l’interface et environnement
virtuels sont intimement liés. Dans la suite de ce paragraphe, nous faisons
donc état des structures classiques de commande que sont les commandes
en impédance et en admittance, après avoir défini des exemples typiques
d’environnement virtuels.
3.2.1 Introduction aux environnements virtuels
L’environnement virtuel est présenté à la figure 3.1 comme une relation
liant l’effort appliqué par l’organe moteur sur l’effecteur et la vitesse de ce
dernier. A la place de la vitesse, on peut choisir éventuellement une primitive - la position - car c’est parfois elle qui est mesurée. On parlera alors de
relation Force-vitesse ou Force-position, et sa transposition dans le cas de
l’organe moteur tournant sera couple-vitesse ou couple-position. Nous décrivons ci-après quelques environnements simulables, pour terminer par
celui que nous chercherons à reproduire.
Principe du mode élastique
Dans ce mode, le couple est une fonction linéaire de la position. On
notera alors que :
C = kv θ
(3.1)
qui est l’équation de comportement d’un ressort de raideur k v 3.2.
Nous verrons plus loin dans ce chapitre que la gamme des raideurs des
ressort simulables n’est pas infini, et dépend énormément de la structure
de commande employée.
Principe du mode mur
Un autre élément clé de la simulation d’un environnement virtuel
concerne les surfaces dures, comme si l’effecteur était arrété par un mur.
Le principe est présenté dans la figure 3.3. Comme illustré, le mode de mur
fonctionne entre deux butées : si la position angulaire arrive à une certaine
3.2. Principe de la commande à retour d’effort
Fig. 3.2 – Mode élastique
valeur, le couple du moteur augmente brutalement vers une valeur la plus
grande possible pour empêcher l’utilisateur de déplacer davantage l’effecteur final. Divers travaux sont proposés pour simuler des murs, par
exemple, (37) (38) (8) ont simulé des murs virtuels pour limiter l’espace
de travail par des actionneurs à courant continu. Ce comportement peut
être décrit par les équations suivantes :
(
θmin < θ < θmax , → C = 0, ∀θ
(3.2)
θ < θmin ou θ > θmax , → |C | = Cmur , Ω = 0
En fait, puisqu’il est impossible de fournir un couple infini pour simuler une surface dure, en pratique, on utilise le couple maximal délivrable par l’actionneur Cmur pour le simuler. Si l’utilisateur est cependant
plus fort, le dispositif s’y oppose avec un effort constant égal à Cmur . Par
ailleurs, puisque la raideur du mur ne peut pas être infinie non plus, on
se limite à la valeur la plus grande possible. Bien sûr, la valeur de cette
raideur maximale ainsi que la valeur de Cmur sont des caractéristiques
essentielles de la simulation du comportement.
Fig. 3.3 – Mode mur
Exemple de combinaison des deux modes
Si l’on superpose les deux modes dans le même repère, on a alors
l’environnement virtuel complet, illustré dans la figure 3.4. C’est-à-dire
qu’au milieu de [-θmur , θmur ], le système se trouve dans le mode élastique,
et en dehors le système fournira un couple très important par rapport
45
46
au couple maximal du mode élastique, le tout se comportant comme un
ressort à butée.
Fig. 3.4 – Environnement virtuel complet
Ce comportement peut être décrit par les équations suivantes :
(
θmin < θ < θmax , → C = k v θ,
θ < θmin ou θ > θmax , → |C | = Cmur
(3.3)
Dans la suite des travaux, nous nous attacherons à reproduire cet environnement.
3.2.2 Commande en impédance
Dans le cas d’une interface contrôlée en impédance, l’environnement virtuel élabore une référence de force en fonction de la position mesurée
de l’effecteur (60) (1) (16) (9) (47). On dira ainsi que le déplacement est
l’entrée du contrôle, la force en est la sortie. Cette boucle de contrôle est
détaillée à la figure 3.5, dans laquelle nous avons fait figurer entrée et
sortie de l’environnement virtuel, l’actionneur et le capteur. L’utilisateur
ressent donc une force en réaction aux déplacements qu’il tente d’imposer
sur l’effecteur. Dans ce schéma, nous supposons que le moteur est capable
d’imposer une force, ce qui nécessite un capteur de force ou un contrôle
de courant dans le cas des moteurs électromagnétiques classiques.
Fig. 3.5 – Principe de commande en impédance
En ce qui concerne notre application, rappelons que nous souhaitons
réaliser un retour d’effort sur un degrés de liberté à partir d’un moteur
accouplé à une mannette comme nous l’avons décrit au chapitre 1 ; nous
avons traduit dans le formalisme de représentation énergétique macroscopique (46) (45) le cas d’un USR30 et de sa commande en impédance 3.6.
L’utilisateur imposant son effort est considéré comme une source mécanique de force Fu . En réaction, il subit la vitesse de l’effecteur. La réaction
entre cette force d’utilisateur et la force du système actif F est intégrée
pour fournir cette vitesse. Un élément de couplage mécanique transforme
les données force/vitesse de translation en moment/vitesse de rotation.
Nous appelons Ω la vitesse de rotation de l’effecteur et C le moment du
couple du moteur sur l’effecteur. Alors, la mesure de Ω permet le calcul
d’un couple de référence Cre f par un bloc de stratégie qui est l’environnement virtuel. Nous détaillerons plus loins le contrôle du couple moteur.
A ce niveau, l’usr30 est considéré comme une source mécanique capable
d’imposer un couple C = Cre f .
Fig. 3.6 – Principe de commande en impédance traduit en REM
En termes de transparence, signalons qu’un mouvement libre est obtenu en imposant une force de référence nulle, ce qui sera obtenue en
débrayant le moteur. En général ceci ne pose pas de difficulté. Pour ce qui
concerne la passivité, les choses sont nettement moins évidentes. En effet,
les retards accumulés à la fois pour le calcul du monde virtuel, l’asservissement de la force ou encore la mesure et l’échantillonnage des grandeurs limitent les raideurs simulables. A la figure 3.7 nous montrons 3
cas de simulation d’une raideur variable. Pour chaque cas nous conservons un temps de réponse en couple constant et un frottement sur l’axe
mécanique également constant. Nous constatons que le cas d’une grande
raideur conduit à une instabilité du système. Nous illustrons ici que la
commande en impédance est une commande réservée à la simulation de
raideurs faibles [].
C’est pour pallier les problèmes de passivité lorsque la raideur de l’environnement simulé est grande qu’il est possible d’avoir recours à la structure en admittance que nous développons dans le paragraphe suivant.
3.2.3 Commande en admittance
La commande en admittance est duale de la commande en impédance : la
force est une entrée de l’environnement virtuel, la position une sortie (75)
(12) (90). D’un point de vue de la causalité, nous pouvons nous interroger :
47
48
Fig. 3.7 – Analysation de la stabilité pour la commande en impédance :(a)petite raideur ;
(b)moyenne raideur ; (c)grande raideur
comment peut-on appliquer une position à l’effecteur, quel organe réalise
cette fonction ? Aucun, comme le montre la figure 3.8, nous avons toujours
recours à la chaîne cinématique de la figure 3.1. Seulement une boucle
supplémentaire est ajoutée qui permet d’imposer les bons efforts pour
obtenir la bonne position : la position de l’effecteur est asservie à la valeur
de référence donnée par l’environnement virtuel. En fait, il existe déjà des
expériences sur le contrôle de position, par exemple, le contrôle adaptatif
(72), logique flow (49) et le réseau neural (73) (43) etc., la robustesse et la
précision sont ainsi obtenus, en revanche, la complexcité du système est
alors inévitable.
Fig. 3.8 – Principe de commande en admittance
Cette structure contrôle peut être représentée par REM par analogie
avec celle de la commande en impédance de la figure 3.6.
Du point de vue de la transparence, cette structure est problématique.
Fig. 3.9 – Principe de commande en admittance traduit en REM
En effet, si l’on souhaite évoluer dans un environnement virtuel neutre,
où les efforts sont quasiment nuls, alors il doit exister un gain infini entre
l’effort mesuré sur l’effecteur et la référence de position. Ce gain infini
déstabilisera la boucle haptique et parviendra dans la majorité des cas à
des oscillations. A titre d’illustration, nous montrons figure 3.10 3 cas de
raideurs simulées en conservant un temps de réponse en position et un
frottement constants. Cette fois, c’est le cas de la raideur plus faible qui
conduit à l’instabilité.
Fig. 3.10 – Analyse de la stabilité pour la commande en admittance :(a)faible raideur ; (b)moyenne
raideur ; (c)grande raideur
Dans cette analyse, l’asservissement en couple du moteur piézoélectrique n’est pas détaillé. Ceci fera l’objet du paragraphe suivant.
49
50
3.3
Commande à retour d’effort d’un USR30
Au cours du paragraphe 3.2 nous avons présenté les diverses stratégies de
contrôle de l’interface à retour d’effort : commande en admittance et en
impédance. Si chacune d’elle possède des avantages que l’autre n’a pas,
elles n’échappent pas à la nécessité d’un contrôle bas niveau de l’actionneur. Dans cette partie, nous montrons ces structures de contrôle du moteur. Elles sont obtenues par inversion des graphes causaux des modèles
que nous avons développés au cours du chapitre 3. Enfin, dans la troisième partie de ce chapitre, nous présenterons une méthode particulière
aux moteurs piézo-électriques à onde progressive qui permet la simulation
de murs raides, même dans le cadre d’une commande en admittance.
3.3.1 Structure de contrôle d’une commande en impédance
3.3.1.1 Structure de commande
Le modèle mécanique du moteur tel que décrit au chapitre 2, a été réalisé sur la base de relations respectant la causalité naturelle. En d’autres
termes, nous faisons apparaître les grandeurs d’action et de réaction, ainsi
que les entrées de réglage. L’intérêt de la méthode est d’avoir accès de
manière systématique et par inversion du modèle à une structure de commande faisant apparaître les grandeurs à asservir, ou bien les perturbations à compenser. Nous donnons à la figure 3.11 le modèle GIC du moteur et son inversion en vue d’obtenir la commande. Ce GIC permet de
détailler les relations globales apparaissant dans la REM de la figure 3.6.
L’environnement virtuel est ici représenté par la relation non linéaire entre
Cre f et θmes et Ω.
Fig. 3.11 – Structure de contrôle en impédance du couple du moteur USR30
Ainsi, dans le cadre d’un asservissement de couple, il apparaît qu’aucun asservissement ne soit pour l’instant requis : seules des inversions de
relations rigides sont à réaliser. Ceci étant, il faut noter que le contrôle de
l’amplitude de l’onde W n’est pas explicité, tout comme le contrôle du
déphasage ϕ. L’inversion de la relation R2 qui conduit à Rc2 traduit la façon dont on calcule la hauteur d’onde W et le déphasage ϕ en fonction
d’une référence de vitesse idéale de rotation Ωid . La relation Rc1 qui traduit l’inversion de la relation R1 calcule cette référence Ωid en fonction
3.3. Commande à retour d’effort d’un USR30
51
de la référence de couple moteur que l’on souhaite. Enfin, la relation Rc3
traduit la compensation du couple de frottement sur le moteur.
Cependant, face à cette structure, nous devons rester critiques. En effet, la compensation du couple de frottement statorique, qu’il soit statique
ou dynamique, est très difficile à réaliser dans la pratique, puisque ces
couples ne sont pas mesurables. Nous pouvons imaginer faire une estimation de ce couple, par exemple à partir du déphasage ϕ que l’on règle et
en déterminant l’état du moteur, bloqué ou glissant. Mais cette stratégie
s’avère périlleuse. Enfin, l’inversion de Rc1 , qui fait intervenir les caractéristiques couple-vitesse du moteur, se réalise de manière directe, mais à
condition que le paramètre f 0 soit constant. En définitive, cette structure
de commande peut être efficace dans le cadre d’une simulation où les paramètres sont fixes et que chaque variable interne peut ête mesurée. Mais
elle s’avère risquée en pratique puisque non robuste.
De cette structure de commande en naissent deux autres. La première,
telle que définit à la figure 3.12, réalise une estimation du couple de friction. Cette estimation est calculée à partir de l’erreur entre le couple de
référence et le couple mesuré en sortie du moteur.
Fig. 3.12 – Contrôle du couple par estimation de C f
La seconde décrite à la figure 3.13 agit par l’intermédiaire de Ωid pour
régler le couple directement. Les deux approches ne sont pas fondamentalement différentes, l’une proposant une correction par anticipation visà-vis de l’autre. C’est pourquoi, nous n’en étudierons qu’une seule, celle
par estimation de C f .
A partir de ces structures, nous décrivons à présent de quoi chaque
relation de commande et composée.
3.3.1.2 Relation Rc2
La relation Rc2 réalise l’inversion d’une relation rigide que nous rappelons
ci-après.
Ωid = k
h
ωWsinϕ
b2
(W, ϕ) = f (Ωid ) ( RC2 )
(3.4)
(3.5)
52
Fig. 3.13 – Contrôle du couple par asservissement
La difficulté présentée par l’inversion de cette relation est de fournir
deux sorties W et ϕ à partir d’une seule entrée de référence Ωid . Pour y
parvenir, nous devons utiliser un critère ou une stratégie. Une première
stratégie consiste à régler le point de fonctionnement du moteur en utilisant la plus petite amplitude de vibration. La raison est qu’alors les pertes
dans le stator dues à sa mise en vibration sont les plus faibles. On règlera
ϕ à ±90˚ selon le signe de Ωid , et W sera ajusté en conséquence.
Le souci de cette méthode est d’aboutir à la possibilité d’un fonctionnement du moteur dans sa zone morte, ce qui apparaît quand, à très basse vitesse, l’amplitude d’onde W est tellement petite qu’elle devient inférieure
à Wth . Ceci conduit à des effets de blocage du moteur, non acceptables
dans le rendu haptique.
Pour éviter ce problème, (71) conseille d’utiliser le déphasage des
ondes à faible vitesse plutôt que de diminuer W. Cette stratégie permet
de réduire l’influence de la zone morte, et de pouvoir fonctionner avec
beaucoup de couple même à des vitesses quasi-nulles.
La stratégie, détaillée dans (25) comporte de volets : elle consiste à
régler Ωid par action sur W en laissant ϕ à ±90˚ selon le signe de Ωid ,
tant que la valeur trouvée pour W est supérieure à une certaine valeur,
que l’on appelle Wmin ; pour des valeurs de W qui soient plus petites que
Wmin , on fixe W=Wmin et on règle alors Ωid par action sur ϕ. Cette stratégie
est décrite par la figure 3.14.
Fig. 3.14 – Calcul des références de W et ϕ selon Ωidre f
Finalement, nous pouvons écrire que :
Rc2 → W = sup(Wmin ,

ϕ =
Ωid
|Ωid |
1
|Ωid |)
ω kh
b2
· π/2, si Ωid > ω kh
W
b2 min
 ϕ = arcsin( ω khΩWid
b2
min
), sinon
53
(3.6)
(3.7)
L’inversion de la relation R1 traduit comment le couple moteur peut être
obtenu par action sur Ωid . L’inversion de R1 donne la valeur de référérence
de Ωid , calculée selon l’équation 3.8 :
Ωidre f =
Cm
+Ω
f0
(3.8)
Il ne nous est pas possible de créer cette commande en Ωid sans asservir le couple du moteur. C’est pour cette raison que nous allons implanter
de suite la commande en couple du moteur afin de pouvoir réaliser cet
asservissement.
Le couple moteur de référence Cmre f sera égal à ce couple de référence
provenant de l’environnement virtuel Cre f tout en compensant le couple
de friction C f .
Cmre f = Cre f + C̃ f
(3.9)
3.3.1.5 Estimateur de C f
Le couple de friction ne peut être mesuré dans la réalité, nous allons donc
en obtenir une estimation en comparant le couple mesuré sur le moteur
’C’ et le couple de référence ’Cre f ’ pour obtenir une structure identique au
GIC de la figure 3.12.
Ici, un correcteur Proportionnel Intégral suffit à faire une bonne estimation du couple de friction. Soit :
C̃ f = (k c +
kI
)(Cre f − C )
p
(3.10)
Afin de déterminer les paramètres de réglage k c et k I , nous interprétons sous forme de schéma bloc le GIC de la figure 3.15. Par ailleurs, nous
supposons que Ωid est parfaitement réglée.
En supposant que C f est une perturbation, et que le couple moteur
réagit avec un comportement de type premier ordre (gain unitaire et
constant de temps τc ) vis à vis de sa consigne, le schéma se simplifie en
celui de la figure 3.16.
54
Fig. 3.15 – Schéma bloc de la boucle de couple et de l’estimateur de C f
Fig. 3.16 – Schéma bloc simplifié de la boucle de couple et de l’estimateur de C f
Il vient de ce schéma, tous calculs faits que :
1+ k c
1 + kI p
C
=
Cre f
1 + kck+I 1 p + kτcI p2
(3.11)
On règle alors k c et k I pour que le polynôme caractéristique de la fonction de transfert CCre f soit un second ordre, c’est à dire :
1+
kc + 1
τc
2ξ
p2
p + p2 = 1 +
p+ 2
kI
kI
ω0
ω0
(3.12)
avec
ω02 =
kI
2ξ
1 + kc
et
=
τc
ω0
kI
(3.13)
On se fixe alors ω0 et ξ pour avoir :
– un bon compromis temps de réponse/dépassement (ξ = 0.7) ;
– une bande passante en boucle fermée plus lente que la bande passante de la boucle interne (réglage de Ωid ).
Il vaut ξ=0.7, et ω0 =100rad/sec.
55
3.3.1.6 Environnement virtuel
Dans cette partie, nous montrons comment obtenir la valeur de Cre f en
fonction de la position de l’effecteur. Dans un premier temps, nous montrons la simulation d’une raideur paramétrable. Il s’agit donc de réaliser :
Cre f = k v θmes
(3.14)
Où k v est la valeur de la raideur simulée. Nous donnons figure 3.17 le
GIC de cette relation :
Fig. 3.17 – Environnement virtuel
Cependant, défini ainsi, le fonctionnement en retour d’effort du moteur n’est pas stable. En effet, l’inertie réelle de l’effecteur résonne avec
la raideur virtuelle. En pratique, des oscillations à une fréquence proche
de la fréquence de résonnance de ce système masse-ressort apparaissent.
C’est pourquoi, outre cette raideur, un frottement visqueux est ajouté. Il
permet de stabiliser la position de l’effecteur. On écrira donc :
Cre f = k v θmes − f v Ω ( Re )
(3.15)
Fig. 3.18 – Environnement virtuel avec frottement visqueux en impédance
La valeur du paramètre f v à donner à ce frottement visqueux doit être
choisie en fonction de la boucle haptique. En effet, un effet destabilisant
lié au temps de réponse de la commande en couple s’ajoute à l’effet décrit
plus haut.
Pour déterminer la valeur de f v , nous supposons à nouveau que la
C
boucle de couple Cre f est équivalente à une premier ordre de constante
C
de temps τc si bien que l’on a Cre f = 1+1τc p . Nous prenons également en
compte le moment d’inertie de l’effecteur, noté J. Nous traçons alors figure
3.19 le schéma bloc relatif à la boucle haptique, du moins dans sa version
simplifiée.
Nous pouvons calculer la fonction de transfert en boucle fermée :
Cmes
H ( p) =
=
θmes
1+
1
J p2
kv + f p
(1+τc p) J p2
=
1 + τc p
k v + f p + J p2 + Jτc p3
(3.16)
56
Fig. 3.19 – Boucle haptique en impédance
Puis, on vérifie sa stabilité en utilisant le critère de Hurwitz (35). Le
polynome caractéristique s’écrit P( p) = a3 + a2 p + a1 p2 + a0 p3 , avec a0 =
Jτc , a1 = J, a2 = f , a3 = k v .
ai > 0
(3.17)
D1 = a1 = J > 0
(3.18)
¯
¯ ¯
¯
¯ a1 a3 ¯ ¯ J k v ¯
¯
¯
¯
¯ > 0 ⇒ f v > k v τc
D2 = ¯
=
a0 a2 ¯ ¯ Jτc f v ¯
(3.19)
avec ai (i=0,1, 2, 3) - les coefficients du polynôme caractéristique.
Ainsi, en supposant que les ai sont tous positifs, et puisque D1 est
inconditionnellement positif, la condition de stabilité impose que D2 et D3
soient supérieur à 0, la condition de stabilité est donc obtenue si :
f v > k v τc
(3.20)
Ainsi, la stabilité de la raideur impose-t-elle d’ajouter un frottement
visqueux à la simulation de l’environnement virtuel. Or, plus le temps
de réponse de la boucle de couple est important, et plus ce frottement
doit être important également, ce qui modifie davantage l’environnement
virtuel par rapport au cas idéal d’une raideur pure. Comparativement
aux moteurs électromagnétiques, pour lesquels le couple est une fonction
simple du courant d’alimentation conduisant à une valeur de τ égale à
la constante de temps de la boucle de courant, la boucle de couple des
moteurs piézo-électrique est lente. Ceci constitue un désavantage pour
l’utilisation de moteurs piézo-électriques dans des applications haptiques.
3.3.1.7 Résultats de simulation
Une étude par simulation a été entreprise. Le modèle du moteur prenant
en compte le phénomène de collage, nous testerons si les résultats obtenus
sont performants du point de vue du phénomène de stick/slip. Le modèle
est sa commande sont ceux décrits figure 3.12.
Dans le programme de simulation, l’utilisateur impose son effort sur
l’effecteur, le couple de charge Cr est donc une entrée imposée par l’utilisateur (figure 3.20). Pour bien vérifier le comportement de ressort souhaité
par l’environnement virtuel, on suppose que le couple donné par l’utilisateur évolue en triangle avec une valeur maximale de 0.05Nm.
57
C
u
Cu (Nm)
0.05
0
−0.05
0
1
2
temps (s)
3
4
Fig. 3.20 – Couple utilisateur utilisé en simulation
Fig. 3.21 – Caractéristiques du moteur USR30 lors d’une commande en impédance
58
Les résultats de la simulation du mode élastique sont présentés dans
la figure 3.21. Dans un premier temps, le couple de l’utilisateur pousse
l’effecteur dans un sens, si bien qu’il bouge. La vitesse lors de ce déplacement est constante et se maintient à 2.5tr/min. Pour que le couple C suive
sa référence, le contrôle impose de faibles valeurs de Ωid , puisque dans la
première partie de la simulation W est constant égal à Wmin . Puis, au retour, c’est-à-dire lorsque l’utilisateur relache son effort, l’effecteur tourne
dans l’autre sens pour revenir à sa position initiale. Nous avons représenté
sur cette figure le couple de frottement C f . Celui-ci possède une variation
discontinue correspondant aux passages par 0 de la vitesse, et donc à l’inversion du frottement selon que l’on tourne dans un sens ou dans l’autre.
Sur cette même figure, nous avons également représenté l’état du moteur. Ainsi, il apparaît qu’il n’est jamais bloqué, sauf aux passages par 0
de la vitesse. Le temps de blocage est cours, mais l’effet peut être gênant.
C’est un point essentiel du contrôle de limiter le blocage du moteur autant
que possible.
La figure 3.22 présente un zoom autour de la zone de blocage et nous
montre l’efficacité du contrôle en couple, ainsi que l’effet sur la vitesse de
ce collage.
Fig. 3.22 – Zoom des caractéristiques : (a) Vitesse ; (b) Couple de frottement ; (c) ’stick-slip’
Fig. 3.23 – (a)Couple de référence et couple mesuré du moteur ; (b)Couple de friction
estimé et couple de friction calculé
Dans la figure 3.23, à gauche, on a comparé le couple de référence (en
vert) au couple mesuré sur le moteur (en bleu), les deux sont parfaitement
superposés sauf au moment de l’échelon de couple qui intervient alors
que la vitesse change de signe.
A droite, le couple de friction du modèle (en vert) est confronté au
couple de friction calculé par notre estimateur (en bleu) ; encore une fois,
ils sont très proches sauf au pic de couple provoqué par le collage. Notre
estimateur ne peut prendre en compte ce phénomène, à cause de sa bande
passante, trop réduite, qui conduit à un temps de réponse trop lent.
59
Fig. 3.24 – Couple de friction estimé et calculé (a) Zoom sur le couple de référence et le
couple mesuré du moteur ; (b) Zoom sur le couple de friction estimé et couple de friction
calculé
Dans la figure 3.24, on peut voir que la boucle de couple réagit comme
un premier ordre, avec un temps de réponse de 50ms.
Respectant la stratégie de la commande de Ωid , à très basse vitesse, on
fixe l’amplitude d’onde W à une valeur constante, Ωid est alors réglé grâce
au déphasage des ondes stationnaires, ϕ. Ce résultat est mis en évidence
dans la figure 3.25. On constate bien que quand W est fixé (Wmin =0.65µm
), le déphasage ϕ varie tout le temps. En revanche, pendant le temps où
W varie, le déphasage se maintient à une valeur constante de ϕ = ±90˚.
Fig. 3.25 – Régulation de W et ϕ selon les deux stratégies
Enfin le comportement de ressort est bien simulé. La raideur du ressort
simulé est :
0.05Nm
0.05Nm
soit
= 0.19Nm/rad
15˚
0.26rad
(3.21)
Notons toutefois qu’à chaque changement de sens, le moteur colle. Ce
collage est repérable sur la caractéristique C(θ) par les pointes visibles aux
extrémités (figure 3.26). Ces pointes doivent être réduites pour avoir un
effet optimal de la simulation de la raideur virtuelle.
0.1
X: −14.98
Y: 0.04983
0.05
C (Nm)
60
0
−0.05
−0.1
−20
−10
0
θ(°)
10
20
Fig. 3.26 – Mode élastique simulé
3.3.2 Structure de contrôle d’une commande en admittance
Nous avons également testé en simulation une commande en admittance.
Nous suivons un plan identique à celui au paragraphe précédent. Nous
déterminerons donc la structure de commande par inversion du modèle.
Puis nous détaillerons l’ensemble des blocs intervenant dans la commande. Enfin, nous présenterons des résultats de simulation.
3.3.2.1 Structure de commande
L’inversion du graphe causal de la figure 3.12 se poursuit pour obtenir un
asservissement de l’angle de rotation du moteur, selon la structure REM
de la figure 3.9.
Fig. 3.27 – Structure de la commande en admittance
Nous obtenons deux boucles imbriquées. Il apparaît la nécessité de
contrôler Ωid , le couple, la vitesse et enfin la position. Au total, ce
sont donc deux asservissement requis si l’on exclut celui de l’amplitude
d’onde. Or, les méthodes de calculs d’asservissements comportant des
boucles imbriquées requièrent que les dynamiques de chaque boucle soit
bien distinctes, les boucles internes devant être 10 fois plus rapides que
les boucles externes. En définitive, une telle architecture de commande
conduit à un temps de réponse en boucle fermée trop important, ce qui
peut être gênant pour la simulation de l’environnement virtuel.
C’est pourquoi nous préférons utiliser l’approche décrite dans (25). Il
s’agit de mettre en oeuvre un contrôle par retour d’état du moteur. Les
dynamiques liées au contrôle en vitesse et en position ne sont plus séparées. En contrepartie, les variables internes ne sont pas toutes limitables,
comme la vitesse idéale, par exemple. Par ailleurs, pour que l’écriture des
matrices d’état soit possible, une linéarisation préalable des équations de
fonctionnement du moteur est réalisée. Cela conduit à considérer des paramètres constants dans ces matrices. L’écart entre le modèle d’état et le
modèle non linéarisé sera compensé par le correcteur. Un type de correcteur bien adapté et qui a fait ses preuves dans le cadre d’un asservissement
en position est la commande par modèle de comportement. Dans ce type
de contrôle, le modèle simplifié et linéarisé du moteur est simulé en temps
réel. Sa position est asservie, constituant un contrôle virtuel. Ensuite, les
sorties du moteur réel sont comparées aux sorties du modèle virtuel. La
différence sert d’entrée à un correcteur qui va tenter de l’annuler. Ainsi,
le comportement du moteur réel se rapprochera de celui du moteur linéarisé. Cette méthode avait permis d’obtenir de bonnes performances dans
le cadre d’un asservissement de vitesse de moteur à courant continu présentant un grand couple de frottement sec sur l’axe (84). La structure de
commande est donc donnée à la figure 3.28.
Fig. 3.28 – Commande en admittance utilisant la commande à modèle de comportement
3.3.2.2 Le contrôleur principal ou correcteur de modèle
Ce contrôleur, R p , fait la correction du modèle linéarisé du moteur. La
sortie de ce contrôleur est l’entrée du modèle. Il s’agit de Ωidp .
Les paramètres du contrôleur sont déduits en utilisant une modélisation dans l’espace d’état. Les variables d’état du modèle linéarisé portent
l’indice p, mais possèdent la même signification que celle du modèle non
61
62
linéaire décrit au chapitre 2. Donc, en considérant Cr =0, les équations pour
le modèle linéaire, sont :
C p = f 0 (Ωidp − Ω p ) ( R1p )
(3.22)
dΩ p
= C p ( R3p )
dt
(3.23)
dθ p
= Ω p ( R5p )
dt
(3.24)
J
qui se mettent sous la forme du GIC de la figure 3.29 :
Fig. 3.29 – GIC du modèle linéarisé du moteur
Une correction par retour d’état de ce modèle est donc entreprise.
Les grandeurs d’état du système sont :
(
(
R
θ˙p = Ω p
θ p = Ω p dt ( R5p )
(3.25)
⇒
f
f0 R
Ω̇ p = J0 (Ωidp − Ω p )
Ω p = J (Ωidp − Ω p )dt ( R3p )
Sous la forme matricielle l’équation d’état s’écrit :
X˙ p = A p · X p + B p · Ωidp
(3.26)
avec :
·
X˙ p =
θ˙p
Ω̇ p
"
¸
; Ap =
0
1
f
0 − J0
#
"
; Bp =
0
#
f0
J
(3.27)
On va élaborer une loi de commande en considérant l’entrée du moteur linéaire, Ωidp , dépendante du vecteur d’état, X p comme suit :
Ωidp = −KX p
(3.28)
K = [ K1 K2 ]
(3.29)
X˙ p = A p · X p − B p · KX p ⇒ X˙ p = ( A p − B p · K ) X p
(3.30)
avec
L’équation 3.26 devient :
En appliquant la transformation de Laplace pour l’équation 3.30 on
obtient :
pX p ( p) = ( A p − B p · K ) X p ( p) ⇒ [ pI − ( A p − B p · K )] X p ( p) = 0 (3.31)
63
En boucle fermée on va considérer comme référence la position θre f ce
qui signifie que le processus du contrôleur principal peut être écrit sous la
forme :
R p → Ωidp = K ( Xre f − X p )
(3.32)
avec
·
Xre f =
θre f
0
¸
; K = [ K1 K2 ]
(3.33)
Le polynôme caractéristique en boucle fermée, Pp , est le déterminant
de [ pI − ( A p − B p · K )] :
p p ( p ) = p2 + p (1 + k 2 )
f0
f0
+ K1
J
J
(3.34)
On va forcer le système à avoir la réponse d’un système du second
degré, qui a le polynôme caractéristique suivant :
p(s) = s2 + 2ζω0 s + ω02
(3.35)
avec : ζ - le facteur d’amortissement et ω0 -la pulsation naturelle. Ces
paramètres seront choisis, en fonction de la dynamique voulue pour la
position de l’effecteur.
Par identification, on obtient :
K1 =
ω02 J
2ζω0 J
, K2 =
−1
f0
f0
(3.36)
Des bons résultats ont été obtenus avec ζ = 0.7, ω0 = 100rad/s, ce qui
amène aux valeurs du tableau 3.1
K1
3.14s−1
K2
-0.88
Tab. 3.1 – Paramètres de commande en admittance : K1, K2
Cette commande par retour d’état est illustrée sur le GIC de la figure
3.30.
Fig. 3.30 – Structure du retour d’état "principal"
64
3.3.2.3 Le contrôleur de comportement
Ce deuxième contrôleur, Rc , fait une correction de la différence entre les
grandeurs du modèle et celles du moteur réel. Ainsi, le moteur a un comportement linéarisé, du moins dans la gamme de fréquences incluse dans
la bande passante en boucle fermée de comportement.
La synthèse de ce contrôleur est la même que celle du contrôleur principal, cependant, le contrôleur de comportement va englober aussi la valeur intégrative de la position, ceci afin d’en annuler l’erreur statique. La
sortie de ce contrôleur est Ωidc , qui sera ajoutée à la sortie du contrôleur
principal, Ω p , pour commander le bloc générateur de l’amplitude W et de
déphasage ϕ.
De la même façon que dans le paragraphe précédent l’équation d’état
s’écrit :
avec :
Ẋc = Ac · Xc + Bc · Ωidc
(3.37)





0 1
0
0
θc



1 
Xc =  θ c  ; A c =  0 0
 ; Bc =  0 
f
f0
Ω
0 0 − J0
J
(3.38)
 R
R
Dans cette équation, le vecteur xc prend en compte θc dt, afin d’annuler
l’erreur statique en position.
En boucle fermée nous considérerons comme référence les grandeurs
du modèle linéaire, ce qui signifie que le processus du contrôleur de comportement peut être écrit sous la forme :
Ωidc = G ( Xcre f − Xc )
avec
(3.39)
 R
Xcre f

θp
=  θ p  ; G = [ G1 G2 G3 ]
Ωp
(3.40)
Le polynôme caractéristique en boucle fermée, Pc, est le déterminant
de pI − ( Ac − Bc · G ) :
pc = G1
f0
f0
f0
+ ( G2 ) p + [(1 + G3 ) ] p2 + p3
J
J
J
(3.41)
Ce polynôme est un polynôme de troisième degré, nous utiliserons la
méthode de placement de pôles pour déterminer G1, G2, et G3.
En supposant que :
pc = a0 + a1 p + a2 p2 + ... + an pn ai > 0
(3.42)
Nous pouvons utiliser ici la procédure empirique de Naslin (41) pour
des polynômes avec des coefficients réels positifs.
On introduit ici les pulsations caractéristiques du système :
β0 =
G1
G2
f0
; β1 =
; β 2 = (1 + G3 )
G2
1 + G3
J
(3.43)
65
et les ratios (67) :
a21
a2
a2
, α2 = 2 , α3 = 3
a0 a1
a1 a3
a2 a4
α1 =
(3.44)
Si les rapports caractéristiques ont tous la même valeur, appelée rapport caractéristique principal α, et si α>2, la réponse transitoire du système
devient équivalente à la réponse d’un système de second degré avec un
bon amortissement.
Le temps de montée pour une réponse à un échelon est donné par :
tm ≈
2.2
β0
(3.45)
En considérant les équations 3.41, 3.43, 3.44, on peut calculer la valeur
de G1 , G2 et G3 .
On a alors :
f
G2 ( J0 )2
a2
G22
α= 1 =
=
f
f
a0 a2
G1 (1 + G3 )
G1 J0 (1 + G3 ) J0
En considérant β 0 =
G1
G2 ,
(3.46)
on a :
G22
G2
1 + G3
1
=
⇒
=
G1 (1 + G3 )
β 0 (1 + G3 )
G2
αβ 0
(3.47)
On a aussi que :
f
α=
[(1 + G3 ) J0 ]2
a22
J
1 f0
=
⇒ 1 + G3 = α2 β 0
(3.48)
= (1 + G3 )
f0
a1 a3
αβ
J
f
0
0
G2
J
⇒ G3 = α2 β 0
J
− 1 (3.49)
f0
De la même façon, on a alors :
G2 = αβ 0 (1 + G3 ) = α3 β20
G1 = β 0 G2 = α3 β30
J
f0
J
f0
(3.50)
(3.51)
Les expressions de G1 , G2 , G3 sont donc obtenues, de K1 et K2 sont déjà
déterminés, on a donc maintenant tout les paramètres de cette commande
en admittance.
Des bons résultats ont été obtenus avec α = 2 et tm = 10ms. Nous
aboutissons ainsi aux valeurs des paramètres du tableau 3.2.
Le correcteur de comportement peut être représenté par le GIC de la
figure 3.31.
A la fin, on superpose les sorties de chaque sous-contrôleur, avec :
R a → Ωidre f = Ωidc + Ωidp
(3.52)
66
G1
0.1s−2
G2
864.3s−1
G3
0.96
Tab. 3.2 – Paramètres de commande en admittance : avec modèle de comportement
Fig. 3.31 – Boucle de comportement
3.3.2.4 Environnement virtuel
Le contrôle en admittance perme également de réaliser la simulation d’un
environnement élastique. La référence de position de l’effecteur est maintenant une fonction du couple mesuré :
θre f =
Cmes
kv
(3.53)
avec k v la raideur de la caractéristique couple - position choisie.
De la même manière que précédemment, et pour stabiliser le système,
un frottement visqueux virtuel est aussi pris en compte, l’équation 3.53
devient alors 3.54 :
θre f =
Cmes
fv
+ Ω
kv
kv
(3.54)
Ce processus est indiqué dans la figure 3.32 :
Fig. 3.32 – Environnement virtuel avec frottement visqueux pour la commande en admittance
Comme dans l’analyse de la stabilité pour la commande en impédance,
la valeur du paramètre f v de ce frottement visqueux doit être choisie en
fonction de la boucle haptique. En effet, un effet déstabilisant lié au temps
de réponse de la commande en position angulaire s’ajoute à l’effet décrit
plus haut.
Pour déterminer la valeur de f v , nous supposons que la boucle de
position
θre f
θ
est équivalente à une premier ordre de constante de temps τθ
θ
si bien que l’on a reθ f = 1+1τθ p . Nous prenons également en compte l’inertie
de l’effecteur, noté J. Nous traçons alors figure 3.33 le schéma bloc relatif
à la boucle haptique, du moins dans sa version simplifiée.
Nous pouvons calculer la fonction de transfert en boucle fermée :
H ( p) =
1
k v + (k v τθ − f v ) p + J p2
(3.55)
67
Fig. 3.33 – Boucle haptique en admittance
Puis, on vérifie sa stabilité en utilisant le critère de Hurwitz (35).
ai > 0 ⇒ f v < k v τθ
(3.56)
D1 = a1 > 0 ⇒ k v τθ − f v > 0 ⇒ f v < k v τθ
(3.57)
¯
¯ ¯
¯ a1 a3 ¯ ¯ k v τθ − f v 0
¯
¯=¯
D2 = ¯
a0 a2 ¯ ¯
J
kv
¯
¯
¯ > 0 ⇒ f v < k v τθ
¯
(3.58)
avec ai (i=0,1, 2, 3) - les coefficients du polynôme caractéristique.
Les conditions de stabilité imposées par ai , D1 et D2 sont cohérentes,
la condition de stabilité est donc obtenue :
f v < k v τθ
(3.59)
Ainsi, plus la raideur k v à simuler est faible, plus les frottements f v à
imposer à l’environnement doivent être faible. Cependant, il existe une
valeur limite intrinsèque imposée par le mécanisme. C’est pourquoi, la
stabilité de la commande en admittance ne sera adaptéequ’à des raideurs
k v importantes.
3.3.2.5 Résultats de simulation
Le couple de charge Cr imposé par l’utilisateur est représenté à la figure
3.34.
C
u
Cu (Nm)
0.05
0
−0.05
0
1
2
temps (s)
3
4
Fig. 3.34 – Couple donné par l’utilisateur
Les résultats de la simulation en mode élastique commandé en admittance sont présentés figure 3.35. Comme pour les caractéristiques de la
68
Fig. 3.35 – Caractéristiques de moteur à base de la commande en admittance
Fig. 3.36 – Zoom des caractéristiques : (a) Vitesse passe à zéro ; (b) Couple de frottement ; (c)
’stick-slip’
69
commande en impédance, l’amplitude d’onde W est tout d’abord fixée à
0.65µm (figure(a)), le couple de référence donné par l’utilisateur est bien
suivi par le couple de moteur usr30 (figure(e)), la vitesse se maintient
constante à 2.5tr/min (figure(b)), jusqu’au point où le couple atteint sa
valeur maximale. A ce moment, le moteur tourne dans l’autre sens (figure(c)), le couple de frottement statique apparaît (figure(d)). En conséquence, le signal de ’stick-slip’ donne un échelon qui dure très peu de
temps (figure(f)) ; pendant ce temps là, le moteur est bloqué, la vitesse devient nulle. Dés que la différence entre le couple donné par l’utilisateur Cr
et le couple donné par le modèle de moteur C est supérieure à la valeur
du couple de frottement statique Cs , le système continuera de répondre
au couple donné par l’utilisateur. Le couple moteur continue de diminuer
et la vitesse se maintient constante, cependant avec un sens différent. Les
figures 3.36 présentent des détails en régime transitoire de la simulation.
La figure 3.37 montre un zoom de l’évolution de W et ϕ au cours
du fonctionnement. Nous retrouvons le comportement évoqué durant la
commande en admittance : à faible vitesse et faible couple, W est maintenu
à sa valeur minimale, et on ajuste Ωid en jouant sur le décalage des ondes.
Notons en t = 1sec, instant où la vitesse change de signe, la dynamique
nécessaire sur W pour compenser le couple de frottement statique.
Fig. 3.37 – Régulation alternative de W et ϕ en admittance
Le comportement élastique est bien simulé malgré l’influence du
couple de frottement statique au moment où la vitesse change de signe et
un hystérésis entre l’extension et la contraction du ressort. Comme montré la figure 3.38, l’écart entre l’aller et le retour est dû au frottement f v
nécessaire à la stabilisation. Nous obtenons une raideur de :
0.047Nm
0.047Nm
soit
= 0.188Nm/rad
14.5˚
0.25rad
(3.60)
qui est en bon accord avec la valeur programmée.
Dans ce paragraphe, nous avons simulé le comportement élastique de
notre interface haptique en ayant recours à une structure de type com-
70
Fig. 3.38 – Mode élastique simulé en admittance
mande en admittance. Dans la suite de ce chapitre, nous traitons de la
simulation d’un mur par blocage du moteur.
3.4
Simulation du mur
3.4.1 Principe
Dans le cadre du retour d’effort, les surfaces générées par l’ordinateur
peuvent définir les frontières des objets simulés et ainsi délimiter l’endroit où l’interaction de l’opérateur avec l’environnement virtuel change
de manière abrupte (69), c’est ce qu’on appelle - ’le mode mur’.
Dans notre environnement virtuel, nous définissons deux positions autour d’une position initiale afin de générer un espace avec une certaine
raideur entre ces deux butées virtuelles comme présenté à la figure 3.39.
Nous définissons θm1 et θm2 les deux positions angulaires des murs virtuels, k v est la raideur du ressort virtuel entre les deux butées. Le principe
est donc de générer à chaque fois que l’effecteur entre en butée avec ces
murs virtuels, un couple important pour stopper net l’utilisateur.
De nombreuses études (69)(15) ont montré que lors d’un contact avec
une surface rigide, le ressenti peut être décrit en trois étapes fondamentales : le contact dynamique initial avec la surface, l’interaction quasistatique avec la surface dure, et le relâchement dynamique final de la
surface. Ces trois étapes ont des caractéristiques perceptuels très différentes, qui sont simplement décrites comme la nécessité du contact initial,
la dureté de la surface rigide, et la pureté du relâchement final (37) (38).
Par exemple, le modèle virtuel d’un ressort rigide linéaire fournit une
représentation adéquate en terme de retour d’effort, d’un mur rigide dur,
lors d’un contact statique avec la surface. Cependant, pour une interaction dynamique avec ce modèle, le contact initial présente un ressenti dérangeant de ’rebond’, qui déforme l’illusion générale de rigidité. D’un
autre côté, un modèle virtuel d’un amortisseur linéaire pur produit une
force nette et abrupte lors du contact initial, qui pourrait être décrit plus
comme un ’rejet’ que comme un ’rebond’. L’interaction avec ce modèle
produit une sensation très réaliste d’une surface rigide au premier instant
3.4. Simulation du mur
de contact. Après ce premier instant, l’amortisseur pur ne peut maintenir l’illusion étant donné qu’il ne possède pas de rigidité statique et permet donc ensuite une lente progression à l’intérieur du modèle du mur.
Lors de la sortie du mur virtuel modélisé comme un amortisseur pur, la
perception a un effet ’gluant’, comme si l’opérateur retirait sa main d’un
liquide visqueux. Ce ressenti peut être éliminé par une modélisation directionnelle de l’amortisseur qui ne réagit que lorsque l’opérateur cherche
à franchir le mur virtuel, et non pas lorsqu’il en ressort.
Les caractéristiques d’un bon mur virtuel sont sa raideur importante
et sa transparence. La raideur du mur se mesure par la pente d’évolution
du couple en fonction de l’angle de rotation θ. Elle est limitée par la résolution du capteur de position dans le cas général, ainsi que par la raideur
intrinsèque de la chaîne cinématique entre l’effecteur et le moteur. La tranparence elle, est liée comme nous l’avons vu à la façon de simuler ce mur :
si nous choisisssons d’associer une raideur importante et une commande
en impédance, la stabilité du mur ne sera pas assurée sans un frottement
fluide important. Or, ce frottement peut modifier le rendu.
Dans ce chapitre, nous présentons une méthode de réalisation de mur
qui utilise les propriétes des moteurs piézo-électriques à onde progressive.
Fig. 3.39 – Illustration de l’environnement virtuel à simuler
Dans ce contexte, les moteurs piézo-électriques à onde progressive
possèdent l’avantage de présenter un couple important à l’arrêt ou par
manque d’alimentation, couple plus grand que le couple nominal. Ainsi,
pour réaliser un mur, il suffit d’arrêter le moteur au niveau des butées,
en limitant l’amplitude d’onde progressive, W, à un très bas niveau. L’intêret est d’obtenir un mur inconditionnellement passif, puisque le couple
généré est un couple de frottement. La raideur obtenue est également élevée, et ne dépend que du temps que l’on met pour couper l’alimentation
du moteur : elle ne dépend pas du capteur de position.
La stratégie de ce mode mur est donc définie par l’équation 3.61 et
représenté figure 3.40. Cela provoque alors un couple de blocage mesuré
de 0,4Nm, Cmur , grâce au frottement sec entre le rotor et le stator. On a
71
72
enfin l’environnement virtuel défini par :
(
θm1 < θ < θm2 → C = k v θ − f v Ω
θ < θm1 ou θ > θm2 → |C | = Cmur , Ω = 0
avec Cmur =0.4Nm en faisant :
(
W=0
(θ < θm1 ) ou θ > θm2
ϕ = π2
(3.61)
(3.62)
Fig. 3.40 – L’environnement virtuel idéal
Nous nous attachons dans la suite de cette partie à simuler le mode
mur, et à régler la commutation du mode mur au mode élastique.
3.4.2 Implémentation dans une commande en impédance
L’implémentation de cette stratégie dans une commande en impédance se
fait au niveau du processus Rc1 et Rc2 de la figure 3.12. Dès qu’une butée
est détectée dans le monde virtuel, alors les relations Rc2 et Rc1 sont courtcircuitées pour imposer W=0 et ϕ = π2 . Le GIC de la figure 3.41 montre
les deux conditions de l’environnement virtuel. Le vecteur (Were f , ϕere f )
représente la consigne donnée par le mode élastique, le vecteur (Wmref,
ϕmref) représente la consigne donnée par le mode mur.
Fig. 3.41 – Commutation de consigne dans le cas idéal en GIC
Nous montrons figures 3.42 et 3.43 le résultat de cette stratégie ; nous
voyons bien un comportement élastique de l’effecteur, avec deux murs
73
situés à ±30˚. Les figures 3.44 à 3.48 montrent le passage à l’état bloqué,
la valeur stick valant 1 une fois que l’on pénètre dans le mur. Cependant,
l’analyse des chronogrammes de la figure 3.43 nous montre également des
phases de décollement du mur qui sont problématiques, avec notamment
un surcouple que l’on peut observer en t=3,1sec. Ceci explique un effet "
collant " perceptible au moment où l’on retire la manette, comme si elle
était collée au mur.
Fig. 3.42 – Résultat simulé de la commutation des deux modes
C’est afin d’améliorer ce comportement au moment du relâchement
qu’une stratégie améliorée a été proposée, que nous développons dans la
suite de ce chapitre.
3.4.3 Amélioration de la phase de relâchement.
L’environnement virtuel que nous avons décrit au préalable est modifié.
Supposons un utilisateur qui cherche à pousser un objet sur une table
horizontale avec un doigt. Il entre d’abord en buté c’est-à-dire qu’il est
bloqué par l’objet. S’il poursuit son effort dans le même sens, et puisque
la force de frottement de l’objet sur la table est limitée, il va pousser l’objet,
et ce dernier se mettra en mouvement. Lorsqu’il relâche son effort, c’està-dire lorsque celui-ci s’annule, il met fin au contact entre son doigt et
l’objet, mais l’objet a changé de place.
Nous allons simuler ce comportement sur l’exemple précédent. Nous
supposons donc que les murs peuvent changer de position si l’utilisateur
dépasse la force résistante maximale de l’actionneur comme décrit à la
figure 3.49. Afin d’assurer la raideur du ressort virtuel, il faut limiter le
largeur de la zone du mode élastique. on fixe donc la distance entre les
deux murs. Quand l’utilisateur bouge l’effecteur contre un mur, et s’il
applique une force supérieure à la force du mur, le mur se déplace depuis
0
0 ; par conséquent, l’autre mur en θ
θm1 vers θm1
m2 se déplace en θm2 , en
gardant :
0
0
θm1 − θm1
= θm2 − θm2
(3.63)
74
Fig. 3.43 – Caractéristiques du moteur commandé en impédance pour la simulation des deux
modes
Fig. 3.44 – Amplitude d’onde progressive
Fig. 3.45 – Vitesse de rotation du moteur
Fig. 3.46 – ’Stick-slip’
Fig. 3.47 – Couple fourni par moteur
Fig. 3.48 – Position angulaire
75
76
Fig. 3.49 – Murs virtuels et leur évolution
ceci nous permettra de garder la raideur de notre mode élastique k v :
kv =
2C1
2C1
= 0
0
θm1 − θm2
θm1 − θm2
(3.64)
avec C1 défini à la figure 3.50.
Fig. 3.50 – Illustration du nouvel environnement virtuel
Grâce à cette stratégie, il est possible de simuler correctement l’effet
de la pénétration dans le mur virtuel, et dés que l’utilisateur amorce un
retour en arrière une fois arrivé dans le mur, il subit un effort élastique.
Cependant, utiliser la variable θ seule pour décider de la commutation
d’un mode à l’autre produit un résultat insatisfaisant : à la limite, l’algorithme commute du mode mur au mode élastique, ce qui ralentit d’une
part la simulation et nuit au ressenti de l’utilisateur.
C’est pourquoi, la condition de décollement de l’effecteur sur l’objet
virtuel est donnée par la force de contact qui s’annule lorsque le contact
disparaît. Or, à cause de la présence du ressort virtuel, cette force de
3.5. Conclusion
contact est égale à la force de poussée du moteur sur l’effecteur, moins
la part nécessaire à la compression de ce ressort. La condition de décollage s’écrit donc : C − C1 = 0 pour que la mannette puisse rentrer dans
mode élastique. La commutation est résumée dans le schéma de Pétri à la
figure 3.51 :
Fig. 3.51 – Réseau de Pétri de la commutation des deux modes
Bien sur, l’équation de la référence du couple doit être modifiée en
fonction du changement de la position angulaire afin de maintenir la raideur de mode élastique.
On dessine un diagramme de la stratégie de commande en organisant
les deux modes et la commutation (14).
Les résultats expérimentaux à base de ce diagramme sur le déplacement du mur seront présentés dans le chapitre suivant.
3.5
Conclusion
Au cours de ce chapitre, nous avons établi les principes de contrôle d’un
moteur piézoélectrique à onde progressive dans le cadre d’une application
à retour d’effort. Nous avons tout d’abord montré les structures de commande en impédance et en admittance, qui sont normalement réservées
respectivement pour la simulation de raideur faible et pour la simulation
de raideur forte.
Puis nous avons prototypé une commande en impédance. Nous nous
sommes attachés à décrire précisément l’inversion de chaque bloc, et le
choix des correcteurs. Cette inversion a donné lieu à une commande originale dans laquelle le couple de frottement à l’interface stator/rotor est
identifié. Des résultats de simulation sont montrés. Ils montrent que l’environnement virtuel est obtenu et que l’utilisateur ressent peu l’effet de
stick-slip au changement de signe de la vitesse.
Nous avons ensuit répété l’opération dans le cadre d’une commande
en admittance. Cette fois, nous avons montré comment utiliser une commande en position par boucle à modèle de comportement pour obtenir
l’environnement virtuel souhaité.
Enfin, nous avons décrit la réalisation d’un mur virtuel par manque
d’alimentation du moteur. Cette technique produit des murs raides et
stables même avec une commande en impédance. Nous avons également
77
78
Fig. 3.52 – Diagramme de la commutation des deux modes
présenté une stratégie concernant ce mur pour laquelle la position du mur
bouge, ceci pour permette un décollement plus réaliste.
Dans ce chapitre donc, nous avons mis au point les divers correcteurs
et stratégies pour obtenir un bon comportement de l’interface. Ces correcteurs et ces stratégies sont alors repris dans le chapitre 4, cette fois de
manière expérimentale.
Résultats expérimentaux
4
Nous présentons dans ce chapitre les résultats expérimentaux de la
commande en retour d’effort d’un moteur piézo-électrique à onde progressive. Dans un premier temps, nous présentons l’interface à un degré
de liberté qui a permis l’implantation des lois de commande. Puis nous
présentons respectivement les résultats de la commande en impédance et
en admittance. L’environnement virtuel simulé pour ces commandes est
un mode élastique. Le mode mur tel qu’il a été défini au chapitre précédent est également traité lors de l’étude de la commande en admittance.
4.1
Présentation de la plate-forme expérimentale
4.1.1 Présentation du dispositif à 1ddl
Le travail présenté dans ce mémoire a vocation à être dupliqué trois
fois pour servir à la motorisation du digitracker, périphérique hommemachine à trois degrés de liberté, développé au LIFL (voir chapitre 1).
Cependant, les commandes développées l’ont été sur un prototype à un
seul degré de liberté.
Ce prototype, photographié à la figure 4.1, est composé d’un axe tournant guidé en rotation par deux paliers lisses. La position angulaire de
l’axe est repérée par un capteur de position, réalisé à partir d’un potentiomètre Vishay Spectrol 157-21202 de 10kΩ qui délivre donc une tension
proportionnelle à la position. Le retour d’effort est réalisé par un moteur
USR30 accouplé à l’axe sur lequel l’effecteur est attaché.
Fig. 4.1 – Plateforme d’expérimentation à 1ddl (a) vue de dessus
La mesure du couple moteur est réalisée par l’ajout de jauges de
contraintes (CEA ] 13015 UW, 120Ω de Vishay) qui mesurent la déformation de la manette (79). Celle-ci est proportionnelle à l’effort de l’utilisateur sur l’effecteur. Par ailleurs, puisque ce capteur de couple est placé
79
80
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
Fig. 4.2 – Plateforme d’expérimentation à 1ddl (b) vue de coté
au plus près de l’axe de rotation du moteur, nous incluons dons les effets
inertiels liés à la rotation de la manette : c’est bien le couple C que nous
mesurons. Des conditionneurs E101 permettent l’extraction du signal issu
des jauges en une grandeur utilisable. Ainsi, le capteur fournit 1V pour
0.1Nm appliqué en bout d’effecteur.
4.1.2 Electronique d’interfaçage
D’un point de vue électrique, le moteur est alimenté par un amplificateur linéaire. Ce choix conduit à un encombrement prohibitif du système
comme le montre la figure 4.3, mais permet de contrôler avec la meilleure
dynamique les tensions d’alimentation du moteur. En particulier, le déphasage des tensions d’alimentation est obtenu simplement en décalant
les références. A l’avenir, et afin de miniaturiser l’alimentation du moteur,
il est envisageable d’utiliser les amplificateurs à découpage du fabricant
des moteurs.
Fig. 4.3 – Equipement de banc à retour d’effort
Les références des tensions d’alimentation sont issues d’une carte électronique qui possède en entrée la fréquence de travail souhaitée ainsi que
le déphasage des deux tensions d’alimentation (figure 4.4). Ce dernier est
fourni sous la forme d’un mot de 5 bits (32 positions possibles) pour un
déphasage réglé entre − π2 et π2 . Deux potentiomètres permettent de régler l’amplitude crête de chaque tension indépendamment, que l’on fixe à
200V.
4.1. Présentation de la plate-forme expérimentale
Fig. 4.4 – Régulateur de tension et estimateur d’amplitude d’onde progressive
L’amplitude de vibration W est obtenue en redressant puis en filtrant
la tension captée sur l’électrode auxiliaire que comporte le moteur. Le gain
de ce capteur de vibration a été évalué à 24V/µm.
4.1.3 Implantation des lois de commande
Un kit DSP SBC6711 qui communique avec un ordinateur PC réalise le
contrôle de l’interface. Ce DSP comporte 4 voies de sortie numériqueanalogique ainsi que de 8 voies d’entrée analogique-numérique. Il comporte également un bus d’Entrée/Sortie numérique.
L’implémentation de la commande suit globalement l’architecture de
la figure 4.5.
Fig. 4.5 – Principe de plateau d’expérimentation
Le processus d’exécution de ce système se présente ici : dans un premier temps, l’alimentation offre deux tensions Vα , Vβ de 200v crête avec
un certain de déphasage au moteur USR30 via un amplificateur, ce qui
entraînera en rotation le moteur. Le DSP fera l’acquisition du couple, de
l’angle de rotation et de l’amplitude de vibration W. De la position du
rotor, il en déduit la vitesse de rotation et peut donc calculer la référence
de couple donnée par l’environnement virtuel. Ensuite, il peut en déduire
l’amplitude vibratoire de référence nécessaire, qu’il asservit en jouant sur
la fréquence et le déphasage des tensions.
81
82
4.1.4 Asservissement de l’amplitude d’onde W
L’asservissement en amplitude d’onde du moteur fait ici l’objet d’un
paragraphe particulier. En effet, les conclusions du chapitre précédent
montrent bien que le réglage du couple ou de la position passe in fine
par le contrôle de l’amplitude vibratoire du moteur.
Ce contrôle doit être stable et rapide. Pour y parvenir, (24) suggère
de contrôler W en jouant sur le déphasage relatif entre la tension issue
de l’électrode auxiliaire et une tension d’alimentation. Ce faisant, il est
possible de maintenir le fonctionnement du moteur dans la zone stable.
Cependant, cette méthode s’est avérée délicate à mettre en oeuvre sur le
moteur USR30 ; de plus, il se révèle peu sujet au phénomène de calage sous
forte charge. C’est pourquoi nous avons mis en oeuvre une commande par
action sur la fréquence.
Le principal problème de cette méthode est que la fonction de transfert
qui relie W à f - la fréquence des tensions d’alimentation - dépend fortement du point de fonctionnement. Une modélisation qui amènerait à une
commande est difficile à entreprendre. C’est pourquoi l’asservissement en
W a été réglé par la méthode de Zigler-Nichols (67).
Pour cela, on fixe ϕ à π/2 et on boucle le système en corrigeant par
un correcteur proportionnel. On élève alors le gain de la boucle ouverte
afin de mettre en oscillation le système, tandis qu’en entrée, on impose
une consigne en échelon entre Wmin et Wmax (Wmax est la valeur limite
d’amplitude d’onde que l’on se fixe pour ne pas détériorer le moteur).
On relève Kosc, la valeur du gain de la boucle qui met le système en
oscillation, ainsi que Tosc, la période des oscillations obtenues (4.6).
Fig. 4.6 – Principe de méthode de Zigler-Nichols
Nous avons mesuré Kosc = 1 et Tosc = 2ms.
Dans un deuxième temps, nous choisissons un correcteur PI pour l’asservissement de W, c’est-à-dire que l’on pose :
C ( p) = Kp +
Ki
p
(4.1)
On règle alors Kp = 0.45Kosc et Ki = 1/(0.83Tosc), conformèment à la
méthode de Zigler-Nichols.
Ceci nous mène à Kp=0.45 et Ti=1.66ms soit Ki=1/Ti = 600s−1 .
Une fois ces coefficients entrés, le système fonctionne plutôt bien mais
manque un peu de rapidité ; on affine alors le réglage des coefficients
pour obtenir le meilleur temps de réponse possible. La figure 4.7 montre
le résultat en boucle fermée de la commande en W. Le temps de réponse
mesuré se situe aux alentours de 3ms.
4.1. Présentation de la plate-forme expérimentale
83
Fig. 4.7 – Hauteur d’onde de référence et mesurée après réglage
On peut alors identifier le système selon une fonction de transfert du
2nd ordre. On utilise alors MATLAB pour filtrer la réponse du système et
pour identifier les paramètres de cette fonction de transfert.
Fig. 4.8 – Hauteur d’onde mesurée et filtrée
Sur la figure 4.8, en rouge, on trouve le signal original et en bleu, ce
même signal après un filtrage à moyenne flottante.
La fonction de transfert en boucle fermée du système est donc identifiée à :
W
1
= H ( p) =
p
Wre f
1 + 2 × 6.1e − 4p + ( 697 )2
(4.2)
Pour une meilleure précision, cette identification a été répétée pour 4
points de fonctionnement différents et une moyenne des coefficients a été
faite pour en tirer la fonction de transfert suivante :
W
1
= H ( p) =
p
Wre f
1 + 2 × 7.2e − 4p + ( 720 )2
(4.3)
La commande en hauteur d’onde étant réalisée, la réponse en hauteur
d’onde identifiée, il est maintenant possible de synthétiser le reste de la
commande. Pour commencer, le paragraphe suivant présente les résultats
obtenus avec la synthèse de la commande en impédance.
84
4.2
Résultats de la commande en impédance
Dans cette partie, nous traitons des résultats expérimentaux du moteur
contrôlé en couple dans le cas d’un mode libre, du mode élastique et du
mode mur. Pour le mode libre, à tout instant le couple de sortie du moteur
est nul, il n’y aura donc aucun retour d’effort ; on souhaite dans ce cas là
étudier la transparence du dispositif. Dans le mode élastique, on simulera
trois ressorts avec chacun une raideur différente. Enfin, nous présentons
le mode mur comme nous l’avons exploicité au cours du chapitre 3.
4.2.1 Simulation d’un environnement libre
Au cours de cet essai, l’environnement simulé est défini comme suit :
Cre f = 0
(4.4)
L’utilisateur manipule l’effecteur en avant ou en arrière, mais il ne ressent aucun effort. Ces résultats sont présentés temporellement à la figure
4.9, et nous donnons à la figure 4.10 la représentation dans le plan C (θ ).
Fig. 4.9 – (a) Position angulaire ; (b) Couple en sortie du moteur
Fig. 4.10 – Couple en fonction de position angulaire dans le mode libre
Nous montrons ainsi qu’il est possible de simuler un environnement
libre, transparent pour l’utilisateur. En particulier, aux passages par 0
de la vitesse, nous n’observons pas d’effet de collage sur la réponse en
couple : référence et mesure se confondent. Ce résultat est encourageant,
car les moteurs piézo-électriques à onde progressive sont bloqués horsalimentation. La simulation d’un environnement libre est donc contrai-
4.2. Résultats de la commande en impédance
gnante pour la commande, à l’opposé de ce que nous avons avec les moteurs électromagnétiques qui sont naturellement transparents hors alimentation. Cependant, le moteur ne présentent aucun couple, les phénomènes
de ’stick-slip’ sont peu visibles. Dans le paragraphe suivant, nous mettons
en oeuvre un environnement virtuel mettant en jeu un ressort de raideur
paramétrable. Les niveaux de couple seront alors plus importants.
4.2.2 Simulation d’une raideur paramétrable
Dans cette partie, nous allons simuler trois raideurs différentes pour le
mode élastique. Pour étudier des caractéristiques de retour d’effort, on
fera une série d’expérimentations : on s’intéresse au couple moteur en
fonction de la position angulaire pour tracer la caractéristique C(θ), on
va constater en même temps la variation de l’amplitude d’onde progressive W et du déphasage d’onde stationnaire ; nous relevons aussi la vitesse idéale du rotor et le couple de frottement estimé dans le moteur. Les
courbes sont montrées figure 4.11.
Dans cette série d’expérimentations, on a fait trois essais. ’k v petit’, ’k v
moyen’, et ’k v grand’, avec ’k v ’ qui correspond à la raideur simulée du
chapitre 3.
En regardant les graphes de la figure 4.11, nous observons que le
couple est réglé à W constant et ϕ variable dans le cas où k v est petit
ou moyen. C’est à dire que l’on agit exclusivement sur ϕ pour régler le
couple dans ce cas. Lorsque la demande en couple est plus grande, on travaille dans les 2 modes : W variable et ϕ variable. Notons que le passage
d’un mode à l’autre se fait de manière continue.
Signalons enfin qu’aux changements de sens de la vitesse et par conséquence au passage par 0 de celle-ci, le couple reste plus ou moins (à
0.001Nm près) calé sur la caractéristique idéale. C’est un bon point puisqu’à ce moment, le moteur passe à l’état bloqué, il faut donc un couple
en transitoire égale au couple statique pour de décoller. Une partie de ce
couple est fourni par le moteur, l’autre par l’utilisateur.
Ainsi, nous montrons que la raideur perçue par l’utilisateur est paramétrable, comme le montre les pentes des caractéristiques des figures 4.12
à 4.14. Par ailleurs, ces caractéristiques, qui sont des droites présentent
peu d’hystérésis. Sur la figure 4.14, nous observons que la caractéristique
s’écarte de la caractéristique idéale lorsque C>0,05Nm. La raison est que
le couple fourni par le moteur sature dans un sens de rotation : dans ce
cas le fonctionnement de la commande en impédance fait au mieux.
Nous avons montré dans cette partie que nous pouvons parvenir à
simuler un comportement élastique paramétrable. Nous avons montré
qu’en fonctionnement, l’algorithme de commande commute d’un réglage
à W constant et ϕ variable à un réglage ϕ constant et W variable, et que le
passage d’un mode à l’autre s’effectue sans difficultés. Dans la prochaine
partie, nous proposons la simulation d’un mur virtuel.
85
86
Fig. 4.11 – Résultats expérimentaux de la commande en impédance pour le mode "ressort"
Fig. 4.12 – Mode élastique avec une petite raideur
Fig. 4.13 – Mode élastique avec une moyenne raideur
Fig. 4.14 – Mode élastique avec une grande raideur
87
88
Fig. 4.15 – 3 ressorts simulés dans le mode élastique par commande en impédance
4.2.3 Réalisation du mur
Dans cette partie, on va simuler la commutation entre le mode élastique et
le mode mur de deux manières. D’abord, nous nous intéressons à la simulation d’un mur virtuel classique, par exemple, quand l’utilisateur pousse
la manette jusqu’à la position du mur, il sera comme arrêté par une surface dure. Cependant, dans l’expérimentation, il est impossible de simuler
une raideur avec une valeur infinie ni avec un seuil élevé, si bien qu’à un
moment ou un autre, l’utilisateur est plus fort que le moteur, il pénètre
à l’intérieur du mur. Pour éviter cela, nous proposerons une deuxième
stratégie qui, au lieu de permettre l’enforcement du mur, provoquera son
déplacement cirtuel. Car le couple du moteur est limité, et en revanche,
on ne peut pas limiter la force de l’utilisateur, il y a donc un risque de pénétration dans le mur. Il nous faut donc déplacer la position du mur pour
assurer le relâchement. La statégie de la commande a déjà été présentée
dans la chapitre précédent. Des résultats en correspondants sont présentés
dans la suite.
Nous nous intéressons dans un premier temps, au cas de figure dans
lequel l’utilisateur ne cherche pas à pénétrer dans le mur. La figure 4.16
présente des caractéristiques du moteur USR30 dans un système à retour
d’effort qui comprend le mode élastique et le mode mur. Comme dans
le troisième chapitre, l’utilisateur tient la manette et fait quelques allersretours, comme présenté dans figure (a). On constate d’abord les caractéristiques mécaniques, par exemple, le couple de mesuré Cmes comparé
au couple de référence Cre f (b). On voit que quand θ arrive à sa valeur
maximale, il apparaît un pic dans la courbe de Cmes inexistant dans celle
de Cre f . Ceci s’explique parce qu’on a donné une consigne extérieur à W
( Wre f =0 ) pour bloquer le moteur dés qu’on arrive à la position du mur,
indépendamment du couple de référence.
La figure 4.16(d) montre la comparaison entre la mesure et la référence
de l’amplitude d’onde progressive W. En fait, il y a une petite différence
entre Wre f et Wmes ; c’est parce que W est contrôlé par la fréquence (f),
toutefois la fréquence varie dans un cadre (47kHz-58kHz) pour respecter
la caractéristique W = f ( f rquence). Il sature alors la consigne de Wre f , on
Fig. 4.16 – Caractéristiques de la commutation des modes ressort et mur, cas sans pénétration
dans le mur
89
90
a donc un Wmes qui n’est pas exectement comme Wre f quand Wre f égale à
0.
Après avoir présenté les caractéristiques en fonction du temps, on s’intéresse maintenant à la caractéristique globale, montrée figure 4.17.
Fig. 4.17 – caractéristique globale de la reproduction des deux modes (ressort et mur)
Fig. 4.18 – Zoom de caractéristique globale de la commutation des deux modes
Cette courbe met en évidence deux parties : l’une avec une certaine valeur de raideur (0.013Nm), l’autre avec une valeur très grande. Un zoom
(4.18) autour de θ=-0.75rad permet d’évaluer la raideur à 1.8Nm/rad. Cependant, notons qu’au retour, c’est à dire lorsque l’on souhaite revenir du
mur, le couple perçu par l’utilisateur tombe à 0 (repère A sur la figure
4.17). L’origine du phénomène tient dans le temps de réponse de l’asservissement de W, qui doit passer rapidement de la valeur 0 à une valeur
définie par la référence de couple. A la sortie du mur, et pendant quelques
millisecondes, on perd le contrôle en couple. Mais pratiquement, ce phénomène a très peu d’influence sur la sensation perçue par l’utilisateur.
Nous nous intéressons dans un deuxième temps au cas où l’utilisateur
continue de pousser malgré le contact avec le mur. Nous montrons donc
les caractéristiques dans le cas d’un mur bougeable (figure 4.19). Si l’on
rapporche ces caractéristiques de celles de la figure 4.16, on note que la diffirence majeure se situe au niveau du couple (figure 4.16(b)). On voit que
pendant l’intervalle de temps de 1 à 3 secondes, ou de 5 à 7 secondes, le
couple mesuré augemente brutalement, et se maintient constant avec une
valeur de 0.1Nm. Ensuite, le couple revient à sa valeur normale. Pendant
ces intervalles de temps, la manette pénètre dans le mur.
Fig. 4.19 – Caractéristiques de la commutation des deux modes avec pénétration
Nous montrons dans le plan c(θ) la caractéristique obtenue dans ce
mode de fonctionnement. Nous y relevons le déplacement de la frontière
entre le mode mur et le mode élastique. (figure 4.20)
On constate bien la présence d’un hytérésis entre l’aller et le retour à
cause de la pénétration dans le mur virtuel ; en revanche, la raideur du
mode élastique est bien gardée grâce à la stratégie de décalage de mur.
La figure 4.21 est une agrandit une phase de la figure 4.20. La raideur
mesurée du mur est de 0.105Nm
0.005rad = 21Nm/rad, qui est très importante par
rapport à la raideur du mode élastique.
En fait, d’un point de vue perceptuel, cet effet de pénétration peut
être interprèté comme lorsque l’on pousse un objet sur une surface en
provoquant un certain de frottement.
91
92
Fig. 4.20 – Commutation des deux modes avec une pénétration dans le ’mur’
Fig. 4.21 – Zoom de la commutation des deux modes avec une pénétration dans le ’mur’
4.3. Réalisation de la commande en admittance
4.3
Réalisation de la commande en admittance
Dans cette partie, on se concentrera sur la commande en admittance, qui
est souvant utilisée pour simuler une grande raideur. Nous donnerons
donc les résultats expérimentaux pour la simulation du mode élastique
dans le cas de 3 raideurs importantes. La stratégie de commande en admittance implantée est celle explicitée au chapitre 3, avec un contrôle par
retour d’état et une commande à modèle.
On test tout d’abord le correcteur de modèle. On compare les variables
de sortie du correcteur de modèle, par exemple, θ P et Ω P , avec les variables
mesurées θ et Ω, en imposant des échelons sur la consigne de position. On
obtient alors les résultats de la figure 4.22. Ils montrent que le correcteur
fonctionne parfaitement.
Fig. 4.22 – Comparaison entre θ P , Ω P et θmes , Ωmes
Les caractéristiques du système à retour d’effort avec la commande
en admittance sont montrées figure 4.23. Comme pour la commande en
impédance, on a simulé 3 raideurs : le ’k petit’ (0.051Nm/rad), le ’k moyen’
(0.255Nm/rad), et le ’k grand’(0.407Nm/rad). Mais à la différente de la
commande en impédance, qui asservit le couple de référence en mesurant
la position de la manette, ici, on mesure d’abord le couple du moteur (a1,
a2, a3), et, en prenant compte la stratégie de l’environnement virtuel, on
calcule la position angulaire de référence (b1, b2, b3). On voit alors que la
mesure et la référence de θ sont bien cohérentes. De plus au moment où
l’amplitude d’onde progressive W (d1, d2, d3) et la fréquence (e1, e2, e3)
restent constantes, le déphasage ϕ varie tout le temps (f1, f2, f3).
Les figures 4.24, 4.25, 4.26, 4.27 montrent les 3 raideurs étudiées. Ces
caractéristiques sont bien linéaires et le couple est proportionnel à la position angulaire, qui montre bien le mode élastique. Par rapport à la commande en impédance, le frottement introduit dans l’environnement virtuel
(parapètre f v ) est limité dans ce cas.
Nous venons donc de présenter les résultats d’une commande en admittance du moteur USR30. Cette commande montre des performances
acceptables dans le cadre d’un environnement virtuel élastique. Elle a
montré qu’elle pouvait effectivement simuler des raideurs plus importantes que celles obtenues avec une commande en impédance. Elle est
complémentaire de la commande en impédance.
93
94
Fig. 4.23 – Résultats expérimentaux : simulation du mode élastique pour la commande en admittance
4.3. Réalisation de la commande en admittance
Fig. 4.24 – Mode élastique avec une petite raideur
Fig. 4.25 – Mode élastique avec une moyenne raideur
Fig. 4.26 – Mode élastique avec une grande raideur
95
96
Fig. 4.27 – 3 ressorts simulés dans mode élastique par commande en admittance
4.4
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté la plateforme expérimentale qui
a permis d’implanter les commandes en impédance et en admittance du
dispositif à retour d’effort à 1 degrés de liberté. Dans un premier temps,
pour valider la stratégie de la commande du motor USR30, nous avons
effectué des essais d’asservissement sur l’amplitude d’onde progressive,
afin d’identifier cette boucle interne. Puis, on a donné des résultats expérimentaux sur la commande en impédance pour la simulation de comportements élastiques correspondants à trois raideurs différentes. Nous avons
ensuite reproduit le mode mur en traitant tout d’abord le cas où l’utilisateur rentre en contact avec le mur mais ne cherche pas à le pousser. Puis,
nous avons traité le cas où la manette pénètre dans le mur simulé suite à
un couple appliqué trop important. Une stratégie de déplacement du mur
est alors proposée afin de permettre un retour aisé au mode élastique.
Enfin, nous avons testé la commande en admittance, en particulier
dans le mode élastique pour la simulation de fortes raideurs.
Conclusion générale
Ce travail de recherche est une contribition à la modélisation et la commande du moteur piézoélectrique à onde progressive, et plus particulièrement du moteur Shinsei USR30.
Le premier chapitre rappelle la structure des différents systèmes à retour d’effort, leurs applications dans le domaine de l’interface homme
machine, et montre les différentes technologies d’actionnement retenues :
les actionneurs électromagnétiques, actionneurs pneumatiques ou hydrauliques, actionneurs électro- ou magneto-rhélologiques et actionneurs
piézo-électriques. Les actionneurs électromagnétiques sont très souvent
utilisés grâce à leurs caractéristiques facilites à contrôler ; par exemple, le
Phantom de Sensable, un périphérique utilisé largement dans le domaine
de recherche et développement, est motorisé par actionneurs électromagnétiques. Cependant, l’utilisation de ce type d’actionneurs a aussi des
inconvénients : pour des restitution des forces importantes, des réducteurs de vitesse sont souvent nécessaires, ce qui accroit les difficultés de
commande d’une part, l’encombrement du dispositif d’autre part. Les actionneurs piézoélectriques peuvent alors s’avérer intéressants.
Par rapport à un moteur classique de même taille (DC, quelques watts),
le moteur piézo-électrique à onde progressive a une puissance massique
potentiellement élevée ; il a une caractéristique basse vitesse et fort couple,
en conséquence, il n’a plus besoin de réducteur, c’est-à-dire il est plus petit et plus léger ; son niveau de bruit est très faible grâce à sa vibration
ultrasonore, et avec un temps de réponse de l’ordre de la milliseconde ;
à l’arrêt, le moteur est naturellement bloqué sans consommer d’énergie
grâce à la pression du rotor sur le stator. C’est un avantage pour la simulation du mode mur comme on l’a vu dans la chapitre 4. En outre, il
n’y a aucun risque de perturbation électromagnétique dans le cas d’environnement médical sensible au champ électromagnétique. En revanche,
le contrôle du moteur devient plus difficile à cause des phénomènes non
linéaires intrinsèques.
Dans le deuxième chapitre, on se concentre sur la modélisation des
effets non linéaires du moteur USR30. On présente d’abord les caractéristiques cinématiques du stator, et on analyse le mouvement elliptique des
particules à la surface du stator. Puis, selon la caractéristique mesurée de
couple-vitesse, on introduit l’hypothèse du rotor idéal. Grâce à la différence entre la vitesse du rotor idéal et du rotor réel, le couple moteur est
alors modélisé. Ensuite, on modélise deux phénomènes non linéaires dans
la caractéristique de couple-vitesse : la zone morte en prenant compte le
couple de frottement supplémentaire, et l’effet de stick-slip en prenant
compte le modèle de Stribeck. En fait, on modélise ces phénomènes en
identifiant le couple de frottement dynamique Cd et le couple de frottement statique Cs . Pour cette modélisation, on a utilisé le schéma de pétri
97
98
pour décrire la commutation entre les deux couples de frottement. Enfin, le modèle GIC du comportement mécanique de l’USR30 est donné.
Pour l’identification et la validation du modèle dynamique de l’interface
mécanique stator/rotor, on a effectué des essais sur une plateforme expérimentale, et des résultats simulés par Simulink et Stateflow sont proposés.
Dans la troisième partie, on s’intéresse à la commande en retour d’effort. Dans cette partie, on souhaite simuler un environnement virtuel avec
le mode élastique (ressort virtuel) et le mode mur (mur virtuel) ainsi que
la commutation entre les deux modes, ceci dans l’objectif d’ajouter la fonction retour d’effort au Digitracker, une interface du bureau avec 3 degrées
de liberté conçue par F. Martinot du Lifl pour le pointage et la manipulation d’objets virtuels dans un environnement 3D.
La commande à retour d’effort peut être de deux types : la commande
en impédance et la commande en admittance. Dans le cas d’une interface
contrôlée en impédance, l’environnement virtuel élabore une référence de
force en fonction de la position mesurée à l’effecteur. On dira ainsi que le
déplacement est l’entrée du contrôle, la force en est la sortie. Dans le cas
d’une commande en admittance, c’est le contraire, l’environnement virtuel
élabore une référence de position en fonction de la force mesurée. On a
utilisé les deux types de commande pour commander le moteur USR30 en
mode élastique, et analysé aussi la stabilité du système.
Dans le cadre d’un environnement virtuel à retour d’effort, les surfaces
haptiques générées par l’ordinateur peuvent définir les frontières des objets simulés et ainsi délimiter l’endroit où l’interaction de l’opérateur avec
l’environnement virtuel change de manière abrupte, c’est ce qu’on appelle
- ’le mode mur’. Les caractéristiques d’un bon mur virtuel sont sa raideur
importante et sa stabilité. La raideur du mur se mesure par la pente d’évolution du couple en fonction de l’angle de rotation. Dans ce chapitre, nous
avons présenté une méthode de réalisation de mur qui utilise les propriétés des moteurs piézo-électriques à onde progressive. Dans ce contexte,
les moteurs piézo-électriques à onde progressive possèdent l’avantage de
présenter un couple important à l’arrêt, couple largement plus grand que
leur couple nominal. Ainsi, pour réaliser un mur, il suffit d’arrêter le moteur au niveau des butées, en limitant l’amplitude d’onde progressive, à
un très bas niveau. L’intérêt est d’obtenir un mur inconditionnellement
passif, puisque le couple généré est un couple de frottement. La raideur
obtenue est également élevée, et ne dépend que du temps que l’on met
pour couper l’alimentation du moteur : elle ne dépend pas du capteur de
position. En outre, pour résoudre le problème de pénétration dans le mur,
on a défini le mur ’bougeable’ pour garder la zone de mode élastique et
garder alors la raideur du ressort.
Dans la dernière partie, on a fait des essais expérimentaux à partir
d’une plateforme à 1ddl pour vérifier nos stratégies de commande. On
fait d’abord l’asservissement de l’amplitude d’onde progressive par la
méthode de Zigler-Nichols pour identifier la boucle intérieure. Ensuite,
en présentant des résultats sur les caractéristiques mécaniques de l’USR30
en mode libre et en mode élastique, les stratégies de commande en impédance et admittance sont alors établies. Enfin, on simule l’environnement
virtuel complet en ajoutant le mode mur.
Ainsi, nous avons établi un système complet à retour d’effort qui com-
prend le modèle et la commande sur le moteur piézoélectrique à onde
progressive, USR30, à partir d’une plateforme à 1ddl. Comme perspectives à ces travaux, il y a bien sûr la motorisation et le contrôle en retour d’effort des 3 degrés de liberté du Digitracker. Cela nécessitera une
boucle de commande supérieure propre à gérer le déplacement et l’effort
en 3D et à restituer les consignes sur chaque effecteur. Au niveau de la
commande d’un axe, on peut également penser à utiliser une commande
hybride combinant, selon les raideurs voulues pour le mode élastique les
avantages des commandes en impédance et en admittance.
99
Annexes
A
101
A.1. Calcul sur Ωid en moyenne et approximativement
A.1
103
Calcul sur Ωid en moyenne et approximativement
Dans le chapitre 2, nous avons présenté le calcul de la vitesse du rotor
idéal, Ωid lorsque le déphasage des ondes stationnaires fixé à π2 . Dans
cette annexe, nous traitons le cas de déphasage des ondes stationnaires
différents pour établir la relation complète entre la vitesse Ωid et le déphasage ϕ.
Supposons que les deux ondes staionnaires peuvent être écris sous la
forme des équations 2.18, 2.19 :
wα (t) = Wcos(ωt −
π
ϕ
π
ϕ
+ ); w β (t) = Wsin(ωt + − )
4
2
4
2
(A.1)
Sous l’hypothèse du comportement linéaire du résonateur mécanique,
la déformation totale observée en chaque point du stator s’écrit :
w(θ, t) = wα (t)cos(kθ ) + w β (t)sin(kθ )
(A.2)
Puisque nous nous intéressons à la vitesse du rotor qui est dû à l’effet
d’entraînnement de l’onde progressive, elle est également la vitesse tangentielle au point où le rotor et le stator sont en contact. Si l’on appelle θc ,
la position angulaire du point de contact, l’équation précédente devient
au point de contact :
w(θc , t) = wα (t)cos(kθc ) + w β (t)sin(kθc )
(A.3)
L’hypothèse des plaques minces peut être appliquée au cas du stator.
→
Il s’en déduit une relation qui permet de calculer la déformation selon −
uθ ,
notée v :
v = −k
h ∂w
h
= −k (−wα sin(kθc ) + w β cos(kθc ))
b ∂θ
b
(A.4)
Nous pouvons à présent calculer v T la vitesse tangentielle du point de
contact. Elle est donnée par :
vT =
dv
dt
= −k hb [−w˙α sin(kθc ) + w˙ β cos(kθc )]
= −k hb [ωWsin(ωt −
π
4
+ ϕ2 )sin(kθc ) + ωWcos(ωt +
= −k hb ωW [sin(ωt −
π
4
+ ϕ2 )sin(kθc ) + cos(ωt +
π
4
π
4
− ϕ2 )cos(kθc )] (A.5)
− ϕ2 )cos(kθc )]
Nous avons montré dans le chapitre 2 que si les deux ondes sont en
quadrature, la valeur de v T sera constante(Equation 2.13 et 2.14). Cependant, dans le cas normal avec un déphasage qui n’est pas de ± π2 , kθc
n’égale plus à ωt mais devient fonction de ωt et de ϕ, la valeur de sa
vitesse n’est alors plus constante. Par exemple, à la figure A1, nous montrons l’évolution temporelle de v T pour des ϕ différents.
En réalité, nous nous intéressons à la valeur moyenne de v T . En effet,
les ondulations de v T vont avoir comme conséquence des ondulations de
couple à la pulsation ω. Comme ω est très élevée, ces ondulations seront
filtrées par la mécanique. C’est la raison pour laquelle on fait le calcul sur
104
A. Annexes
Fig. A.1 – Vitesse tangentielle en cas de ϕ différent
Ωid en moyenne et approximativement. L’équation sur La valeur moyenne
de v T est donné :
RT
R 2π
ϕ
1
h
π
v T = T1 0 v T dt = 2π
0 − k b ωW [ sin ( θ − 4 + 2 ) sin ( kθc )
(A.6)
ϕ
π
+cos(θ + 4 − 2 )cos(kθc )]d(θ )
en posant θ = ωt.
Pour intégrer cette équation, on rappelle d’abord que :
kθc = atan
w β (t)
wα ( t )
(A.7)
On a alors :
w β (t)
sin(θ +
sinkθc
tankθc =
=
=
coskθc
wα ( t )
cos(θ −
π
4
π
4
− ϕ2 )
+ ϕ2 )
sin2 (θ +
cos2 kθc + sin2 kθc
1 + tan kθc =
=
1
+
cos2 kθc
cos2 (θ −
2
ϕ
cos2 (θ − π4 + 2 ) + sin2 (θ +
1
=
ϕ
cos2 kθc
cos2 (θ − π4 + 2 )
coskθc = q
sinkθc =
p
1−
cos(θ −
cos2 (θ −
cos2 kθ
c
π
4
π
4
sin(θ +
cos2 (θ −
π
4
− ϕ2 )
+ ϕ2 )
π
4
− ϕ2 )
π
4
− ϕ2 )
π
4
(A.11)
− ϕ2 )
+ ϕ2 ) + sin2 (θ +
(A.9)
(A.10)
+ ϕ2 )
+ ϕ2 ) + sin2 (θ +
=q
π
4
π
4
(A.8)
π
4
− ϕ2 )
(A.12)
A.1. Calcul sur Ωid en moyenne et approximativement
105
On reprend v T et remplace sinkθc et coskθc :
vT =
1
t
Rt
0
+cos(θ +
v T dt =
π
4
1
2π
R 2π
0
−k hb ωW [sin(θ −
π
4
+ ϕ2 )sin(kθc )
− ϕ2 )cos(kθc )]d(θ )
R 2π
=
1
2π
· (−k hb ωW )
=
1
2π
· (−k hb ωW )sinϕ
=
1
2π
· (−k hb ωW )sinϕ
0
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin(θ − π4 + 2 )sin(θ + π4 − 2 )+cos(θ − π4 + 2 )cos(θ + π4 − 2 )
√
R 2π
0
R 2π
0
√
√
ϕ
ϕ
cos2 (θ − π4 + 2 )+sin2 (θ + π4 − 2 )
ϕ
ϕ
cos(kθ − π4 + 2 −kθ − π4 + 2 )
ϕ
ϕ
cos2 (θ − π4 + 2 )+sin2 (θ + π4 − 2 )
d(θ )
(A.13)
d(θ )
1
ϕ
ϕ d(θ )
cos2 (θ − π4 + 2 )+sin2 (θ + π4 − 2 )
L’équation A.13 donne ainsi l’évolution de v T en fonction de ϕ, nous
trçons alors l’évolutin de v T en fonction de ϕ pour nous rendre compte
que le modèle simplifié de l’équation 2.19 s’écart un peu de modèle non
simplifié de l’équation A.13.
Toutefois, on peut constater aussi que dans l’intervalle ouvert de − π2
à π2 , la relation entre la vitesse v T et le déphasage ϕ n’est pas comlètement sinusoidale. On fait alors calcul le v T point à point en correspondant
chaque point de ϕ dans cette intervalle, et le compare avec une courbe
sinusoidale, cela nous donne la figure A.2.
Fig. A.2 – Vitesse tangentielle en moyenne en fonction de ϕ
L’écart nous paraît cependant acceptable, et nous noterons donc :
Ωid = k
h
ωWsin( ϕ)
b2
(A.14)
106
A. Annexes
A.2
GIC(Graphe informationnel causal)
Le GIC organise les variables énergétiques d’un assemblage d’objets dont
on possède la connaissance fonctionnelle. Les entrées et sorties de chaque
objet sont définies selon leur propre causalité d’une part, selon le contexte
de leur association d’autre part. Cet outil graphique permet ainsi de s’affranchir des relations entre les variables afin d’avoir une vision d’ensemble
plus synthétique, ce qui justifie le terme « informationnel » dans sa désignation. A partir du graphe obtenu, une méthodologie d’inversion permet
de déduire facilement une structure de commande en fonction du cahier
des charges.
Le GIC est basé sur la causalité naturelle pour les systèmes physiques,
qui est la causalité intégrale induite par l’accumulation d’énergie. Grâce au
respect imposé de cette causalité, le GIC est également un outil conceptuel
pour la définition des associations d’objets.
Lors de cette présentation des nombreux exemples élémentaires permettront d’appréhender les divers concepts. Un exemple plus complexe
sera traité pour percevoir l’intérêt et les extensions possibles de cet outil
graphique.
A.2. GIC(Graphe informationnel causal)
Fig. A.3 – Eliments de GIC
107
Bibliographie
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2002 IEEE International conference on robotics and automation, 2002. (Cité
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logiciel de composition typographique LATEX 2ε .
Titre Actionneurs piézo-électriques dans des interfaces homme - machine à retour d’effort
Résumé Ce travail de recherche s’intéresse à l’utilisation d’actionneur
piézoélectrique à onde progressive dans le cadre d’un contexte de retour
d’effort comme un choix alternatif par rapport à l’actionneur électromagnétique utilisé très souvent dans le domaine haptique. Ainsi, à partir
d’une étude sur les caractéristiques dynamiques et mécaniques du moteur USR30, on a proposé un modèle global en GIC qui prend en compte
les phénomènes non linéaires intrinsèques dans le moteur. En inversant
ce modèle de GIC, on arrive de valider deux types de commande à retour
d’effort, enfin, en présentant les résultats expérimentaux à base de la plateforme de 1ddl de digitracker, la réalisation d’un environnement virtuel
qui comprend un ressort et un mur virtuels devient possible.
Mots-clés Moteur piézoélectrique, onde progressive, USR30, digitracker, retour d’effort, commande en impédance, commande en admittance,
mode élastique, mode mur
Title Piezoelectric actuators in interfaces human - machine in force feedback
Abstract This research work is interested in the use of travelling wave
ultrasonic motor within the framework of a context of force feedback as
an alternative choice with regard to the electromagntic motor which is
often used in the hapic domain. So, from a study on the dynamic and mechanical characteristics of the motor USR30, we proposed a global model
in GIC who takes into account the intrinsic not linear phenomenas in the
motor. By inverting this model of GIC, we manage to validate two types
of control in force feedback, finally, by presenting the experimental results
based of the platform of 1ddl of digitracker, the realization of a virtual
environment which includes a virtual spring and a virtual wall becomes
possible.
Keywords piezoelectric actuator, travelling wave, USR30, digitracker,
force feedback, impedance control, admittance control, elastique mode,
wall mode

Actionneurs piézo-électriques dans des interfaces homme

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