Le nombre d`or Le nombre d`or

Le nombre d’or
Description mathématique :
Le nombre d’or vaut
(
1,618… avec une partie décimale infinie).
Prouver qu’il correspond à la solution positive de l’équation x2 – x – 1 = 0, et a de nombreuses propriétés mathématiques,
voire mystiques et mythiques pour certains.
Les anciens ne possédaient pas la notion de la racine carrée, ou des nombres non-entiers, mais appliquaient le nombre d’or
sous une forme géométrique (grande utilisation de compas) reposant sur des proportions qu’ils jugeaient proche de la
perfection et donc en pleine harmonie : « la divine proportion ».
Construction du nombre d’or :
On part d’un carré de côté 1, et on trace le segment joignant le milieu d’un côté à un sommet
qui n’est pas sur ce côté.
Prouver que le nombre d’or est la longueur de ce segment prolongé du demi-côté du carré.
Un rectangle de longueur l et de largeur L est un rectangle d’or si le rapport
vaut le nombre d’or.
Si on y enlève un carré, on réobtient un rectangle d’or.
En construisant tout une suite de rectangles d’or imbriqués, on peut tracer une
spirale d’or (appelée de nos jours spirale logarithmique) qu’on rencontre
fréquemment dans la nature.
A
F
E
On trouve également le nombre d’or dans les proportions du pentagone régulier, ou de l’étoile
à 5 branches (signe de ralliement des Pythagoriciens)
G
C
Au début du XX° siècle, on désigne le nombre d’or par la lettre grecque φ (phi) en hommage au sculpteur Phidias, qui décora
le Parthénon à Athènes.
Φ se retrouve dans de nombreux domaines :
Architecture : le temple d’Andros (il y a 10000 ans)
• La pyramide de Khéops (2800 av J.C.) : le rapport de la hauteur par la demi-base est le nombre d’or
• Les temples grecs, et notamment le Parthénon (5° siècle av J.C.) voir à la fin de ce document
• Les églises romanes et cathédrales :
au Moyen Age, les batisseurs de cathédrale utilisaient une pige composée de cinq tiges articulées. Chaque tige avait une
longueur différente qui correspondait à celles de la paume, de l’empan, du pied et de la coudée. Les longueurs étaient données
en ligne, chaque ligne équivalant à 0,2247 cm.
Paume
Palme
Empan
Pied
coudée
•
34 lignes
55 lignes
89 lignes
144 lignes
233 lignes
7,64cm
12,36cm
20cm
32,36cm
52,36cm
Le Corbusier (architecte, peintre du 20°siècle)
Peinture : pour les proportions
certains tableaux de la Renaissance ; Dürer – Boticelli – Léonard de Vinci …
Géricault – Cézanne – Seurat – Sérusier – Matisse – Picasso – Dali …
Musique :Pour les rythmes musicaux, dans les intervalles ou dans les gammes :
Dufay (15°siècle) – Beethoven – Debussy – Duke Ellington …
Anatomie :
En divisant la hauteur totale du corps par la partie qui va du nombril aux pieds, ou bien en
divisant la partie sous le nombril par la partie au-dessus du nombril, on obtient un résultat
proche du nombre d’or.
Il en est de même en calculant le rapport de la première phalange à la deuxième, ou de la
deuxième à la troisième.
Le Corbusier a fait breveter son Modulor qui donne un système de proportions du corps
humain.
Dans la nature : sous forme de spirales d’or, d’étoiles à 5 branches ou de pentagones
Etoiles de mer – fleurs de tournesol – pommes de pin – feuilles sur les branches – ananas – choux-fleurs …
Mais le nombre d’or n’est il pas une supercherie ?
Certains se sont employés à chercher ce fameux nombre partout et l’ont donc trouvé. S’ils avaient cherché un autre nombre,
l’auraient ils également trouvé ?
De nombreux livres parlent du nombre d’or. Les références de certains sont :
 Les « Eléments » d’Euclide au 3° siècle av J.C.
 « Da divina proportione » du moine franciscain Luca Pacioli en 1509
 un ouvrage de l’ingenieur diplomate roumain Matila Ghyka en 1932
 Puis la mise en doute par Marguerite Neveux, docteur en histoire de l’art et maître de conférence à l’université, avec son
livre « le nombre d’or, radiographie d’un mythe » :
S’est on réellement inspiré dans les ouvrages énoncés de la construction du nombre d’or ou s’agit il d’une simple proportion
proche de
, jugée particulièrement esthétique et utilisée de façon banale par les architectes et les artistes ?
Quoiqu’il en soit, ce nombre d’or est une réalité mathématique et a de très spéciales caractéristiques :
Par exemple : à vous de le démontrer !
φ 2 = φ +1
φ 3 = 2φ + 1
φ 4 = 3φ + 2
φ 5 = 5φ + 3
φ 6 = 8φ + 5
…
φ = 1,61803399….
φ2 = 2,61803399….
Suites de Fibonacci
(niveau lycée)
Et bien d’autres encore ! !
EN CE QUI CONCERNE QUELQUES MONUMENTS GRECS :
1) le Parthénon
Outre les corrections optiques déjà apportées (voir autre document), le Parthénon fait apparaître un peu partout le nombre d’or,
sous la forme de rectangles d’or : à vous d’en trouver le maximum !
Dans sa façade
et sur la toiture :
Au sol :
2) le theâtre d’Epidaure :
il y a 55 gradins, répartis en 34 et 21. Ce sont trois nombres successifs
de la suite de Fibonacci, et les rapports
proches du nombre d’or
et
sont très
l’ellipse est une des trois coniques (avec la parabole et l’hyperbole) découvertes
par les grecs comme l’intersection d’un cône par un plan.
définition : étant donnés deux points F1 et F2, l’ensemble des points M tels que
MF1 + MF2 soit une valeur constante est une ellipse.
cette valeur constante représente la longueur du grand axe de l’ellipse
on nomme O l’intersetion des 2 axes
Tracé d’une ellipse :
A l’aide des dessins fournis, comprendre
comment s’y prendre pour tracer une ellipse
avec une ficelle et un baton
(ou deux punaises).
FAIRE UNE ELLIPSE AU VERSO
vocabulaire et propriétés sur le dessin de l’ellipse ci-contre :
•
A, S, B et D sont les sommets •
F1 et F2 sont les foyers •
O est le centre (de symétrie, donc milieux de [SD], [AB] et [F1F2]) •
AB est la longueur du grand axe, SD celle du petit axe •
les droites (SD) et (AB) sont perpendiculaires Alors, par définition, pour tout point M de l’ellipse, on a : MF1 + MF2
Propriété : avec ces notations, prouver que l’on a OF12 + SO2 = OA2
= AB
Exercices :
a) le Colisée est un immense amphithéâtre situé au centre-ville de Rome. Il est de forme elliptique de grand axe 188m et de
petit axe 156m. Prouver que la distance de son centre à l’un de ses foyers est
2752 ≈ 52m.
b) C 1 est un cercle de centre K et de rayon a. C2 est un cercle passant par K, de diamètre a et de centre E.
R est le symétrique par rapport à E du milieu de [EK]. Si l’on fait tourner le cercle C2 autour du point K (C 2 « roule » alors sur €
C 1), l’ensemble des points R forme alors une ellipse. Faire un dessin.
LES AMPHITHEATRES ROMAINS : un amphithéâtre est un édifice public de forme le plus souvent elliptique, à
gradins étagés organisés autour d’une arène et de coulisses. Ce furent les premiers lieux permanents de représentations de
spectacles nombreux et variés (batailles de gladiateurs, fauves dressés, chasses, batailles navales, ...), endroits de
communication privilégié entre l’empereur (ou magistrats) et le peuple.
les premières réalisations se firent en Campanie, et l’amphithéâtre de Pompéi (70avJC) est le plus ancien conservé. Également
ceux de Capoue et de Pouzzoles (2avJC), ainsi que le colisée à Rome, et Arles, Nîmes, ...
le Colisée
POMPEI
NUMERATION
ROMAINE
Les Romains de l’Antiquité n’utilisaient que sept lettres pour écrire les nombres entiers (zéro non compris – voir
liste en colonne ci-dessous), selon les principes suivants :




toute lettre placée à la droite d’une autre figurant une valeur supérieure ou égale à la sienne s’additionne à celle-­‐ci. toute lettre d’unité placée immédiatement à la gauche d’une lettre plus élevée qu’elle, voit sa valeur retranchée au nombre qui suit (I est une unité pour V et X, X est une unité pour L et C, C est une unité pour D et M : voir rmq). Les lettres sont rangées en ordre décroissant de leurs valeurs, sauf pour celles à soustraire selon la règle ci-­‐dessus. la même lettre ne peut pas être employée quatre fois consécutivement, sauf le M Remarques :
• soustraire I de V ou de X pour 4 et 9, mais ôter I de L ou D n’est pas pratiqué : 49 s’écrit XLIX et non IL • au-­‐delà de 4999, une barre horizontale supérieure indique un facteur 1000, deux barres un facteur 1000 000, etc. Exemples :
66 = LXVI ; 44 = XLIV ; 1453 = MCDLIII ; MDCLXVI = 1666 ; MCDXLIV = 1444 ;
I un
V cinq
X dix
L cinquante
C cent
D cinq cents
M mille
CLI = 5 015 151
statue de la liberté
a) Donner la date du livre ci-contre sur
Herculanum :
........................................
cinq mille
dix mille
b) Donner la date précise (j/mois/année)
de la statue de la liberté, don de la
France aux États-nis :
..........................................................
cinquante mille
cent mille
c) Compléter les correspondances entre les nombres romains et les usuels :
830 5900 3999 2014 43 79 67 99 1286 92862 10091 15 251 049 CCLIX MDCCVI MMMDCCCLXI DIX CLIV MCDLXVII CDLXIV XL DCCCLXXXVI MCMLXXV MCDXLIV d) Que penser du tableau suivant trouvé sur internet ? Justifier la réponse.