COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

CHAPITRE
13
COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini.
1 Couple de variables aléatoires
Définition 13.1
On appelle couple de variables aléatoires une application
Z: Ω
ω
→ R2
7
→
(X(ω), Y(ω))
où X et Y sont des variables aléatoires sur (Ω, P). On note alors Z = (X, Y).
Remarque
On a Z(Ω) = (X, Y)(Ω) = {(X(ω), Y(ω)); ω ∈ Ω} et X(Ω) × Y(Ω) = {(X(ω), Y(ω0 )); (ω, ω0 ) ∈ Ω2 }. On a donc
Z(Ω) ⊂ X(Ω) × Y(Ω), sans l’égalité en règle générale.
Exemple 13.1
On lance deux dés à quatre faces équilibrés, l’un vert dont on note A le résultat, l’autre rouge dont on
note B le résultat. Déterminer X(Ω), Y(Ω) et (X, Y)(Ω) dans chacun des cas suivants :
1. X = A et Y = B ;
2. X = min(A, B) et Y = max(A, B)) ;
3. X = A et Y = A + B.
1.1 Loi d’un couple
Proposition 13.2
Soit (X, Y) un couple de variables
aléatoires sur (Ω, P). On note X(Ω) = {x1 , . . . , xn } et Y(Ω) = {y1 , . . . , y p }.
La famille [X = xi ] ∩ [Y = y j ]
est un système complet d’événements.
16i6n
16 j6p
En notant pi, j = P [X = xi ] ∩ [Y = y j ] , on a donc
• ∀(i, j) ∈ ~1, n × ~1, p, 0 6 pi, j 6 1
p
p P
n P
n
P
P
P
•
pi, j =
pi, j =
pi, j = 1
16i6n
i=1 j=1
j=1 i=1
16 j6p
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1
Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
1.1.a
Loi conjointe
Définition 13.3
Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P).
On appelle loi conjointe du couple (X, Y) l’application
P(X,Y) :
X(Ω) × Y(Ω) →
(x, y)
7→
[0, 1]
P([X = x] ∩ [Y = y])
Remarques
• Avec les notations utilisées plus haut, on a donc PX,Y : (xi , y j ) 7→ pi, j .
• Déterminer la loi (conjointe) d’un couple, c’est donc déterminer X(Ω), Y(Ω) puis les pi, j .
• Si l’on connaît les pi, j , on en déduit (X, Y)(Ω) : c’est l’ensemble des (xi , y j ) ∈ X(Ω) × Y(Ω) tels que pi, j , 0.
Exercice 13.2
On tire successivement et sans remise deux boules dans une urne contenant au départ 2 boules rouges et 3
boules noires. On note X (respectivement Y) la variable aléatoire qui vaut 1 si la première (respectivement
deuxième) boule tirée est rouge, 0 sinon. Déterminer la loi du couple Z = (X, Y).
1.1.b
Lois marginales
Définition 13.4
Soit Z = (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P).
On appelle première loi marginale de Z la loi de X, deuxième loi marginale de Z la loi de Y.
Proposition 13.5
Soit Z = (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P).
En notant X(Ω) = {x1 , . . . , xn } et Y(Ω) = {y1 , . . . , y p }, on a
p
p
P
P
• ∀i ∈ ~1, n, P([X = xi ]) =
P [X = xi ] ∩ [Y = y j ] =
pi, j
• ∀ j ∈ ~1, p, P([Y = y j ]) =
j=1
n
P
i=1
j=1
P
n
P [X = xi ] ∩ [Y = y j ] =
pi, j
i=1
Remarque
La connaissance de la loi d’un couple permet donc de retrouver les lois marginales. En revanche, il n’est pas
possible de déterminer la loi d’un couple s’il on ne connaît que les lois marginales : deux couples peuvent avoir
des lois différentes alors qu’ils ont les mêmes lois marginales.
Exercice 13.3
1. En reprenant la situation de l’exercice 13.2, déterminer les lois marginales de Z.
2. Déterminer de même les lois de X 0 , de Y 0 et de Z 0 = (X 0 , Y 0 ) si le tirage se fait avec remise.
Exercice 13.4
On considère α ∈ R, n ∈ N∗ et un couple Z = (X, Y) de variables aléatoires tel que Z(Ω) ⊂ N de loi :



P([X = i] ∩ [Y = j]) = αi j si 1 6 i 6 j 6 n


P([X = i] ∩ [Y = j]) = 0
sinon .
1. Déterminer Z(Ω) et α.
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2
Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
2. Retrouver les lois marginales de X et de Y.
1.1.c
Lois conditionnelles
Définition 13.6
Soit Z = (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P).
Pour y ∈ Y(Ω), on appelle loi conditionnelle de X sachant [Y = y] l’application qui à x ∈ X(Ω) associe
P ([X = x] ∩ [Y = y])
= P[Y=y] ([X = x])
P ([Y = y])
Avec les notations usuelles, on a alors P[Y=y j ] ([X = xi ]) =
pi, j
P([Y=yi ]) .
Remarques
pi, j
• On définit de même la loi conditionnelle de Y sachant [X = xi ] et l’on a P[X=xi ] ([Y = y j ]) = P([X=x
.
i ])
• La connaissance de la loi de Y et des lois conditionnelles de X sachant [Y = y j ] pour chacun des y j de Y(Ω)
est suffisante pour déterminer la loi conjointe du couple (X, Y) (et donc également la loi de X).
Exercice 13.5
En reprenant la situation et les notations de l’exercice 13.3, déterminer les lois conditionnelles de Y
sachant X = 1 et de Y 0 sachant X 0 = 1.
1.2 Indépendance de deux variables aléatoires
Définition 13.7
Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P).
X et Y sont dites indépendantes si, pour tout (x, y) ∈ X(Ω) × Y(Ω), les événements [X = x] et [Y = y] sont
indépendants. On note alors X ⊥ Y.
On a donc
X⊥Y
⇔
∀(x, y) ∈ X(Ω) × Y(Ω), P([X = x] ∩ [Y = y]) = P([X = x]) × P([Y = y])
Remarque
X et Y sont indépendantes ssi les lois conditionnelles de X sachant [Y = y] pour y ∈ Y(Ω) sont toutes égales à
la loi de X.
Exercice 13.6
On considère une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n. On tire successivement deux jetons et l’on
note X le numéro du premier jeton tiré, Y celui du deuxième. Donner les lois de X et de Y et indiquer si X
et Y sont indépendantes dans les deux cas suivants :
1. le tirage se fait avec remise ;
2. le tirage se fait sans remise.
Proposition 13.8
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors pour toutes parties A, B de R, on a
P([X ∈ A] ∩ [Y ∈ B]) = P([X ∈ A]) × P([Y ∈ B])
Remarque
C’est en fait une équivalence, mais la réciproque n’a pas d’intérêt (elle est évidente).
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3
Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
Proposition 13.9
Si X et Y sont deux variables de Bernoulli, alors
X ⊥ Y ⇔ P([X = 1] ∩ [Y = 1]) = P([X = 1])P([Y = 1])
Remarque
C’est assez logique : deux variables de Bernoulli sont indépendantes ssi le succès de l’une est indépendant du
succès de l’autre.
Exercice 13.7
Soient p un réel, X et Y deux variables de Bernoulli dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant :
0
1
X\Y
2
1
−
p
−
0
3
6 + p
1
1
p
2 − p
1. Quelles valeurs peut prendre p ?
2. Déterminer les lois marginales de X et Y, ainsi que leurs espérances et leurs variances.
3. Pour quelles valeurs de p les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
Proposition 13.10
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et f : R → R.
Si X ⊥ Y, alors f (X) ⊥ f (Y).
Proposition 13.11
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P).
Si X est certaine, alors X et Y sont indépendantes.
Exercice 13.8
Soient X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur ~−3, −1 ∪ ~1, 3. On définit la variable
aléatoire Y qui vaut 1 si X > 0, −1 si X < 0.
1. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
2. Les variables X et |Y| sont-elles indépendantes ?
3. Les variables X 2 et Y sont-elles indépendantes ?
1.3 Variables du type f (X, Y)
Proposition 13.12
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et f : X(Ω) × Y(Ω) → R. On définit f (X, Y) par
f (X, Y) : Ω
ω
→ R
7→ f (X(ω), Y(ω))
f (X, Y) est une variable aléatoire sur Ω. En la notant Z, sa loi est donnée par :



Y)(Ω)}

Z(Ω) = {g(x, y) ; (x, y) ∈ (X,
P


∀z
∈
Z(Ω),
P(Z
=
z)
=
P([X = x] ∩ [Y = y])


f (x,y)=z
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Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
Tout le problème est d’énumérer correctement les couples (x, y) tels que f (x, y) = z. Les exemples les plus
importants sont traités dans la section suivante, mais on peut s’entraîner sur l’exemple suivant :
Exercice 13.9
Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P), on pose Z = XY.
Déterminer la loi de Z (on distinguera les cas P([Z = 0]) et P([Z = x]), x ∈ R∗ ).
Dans les cas les plus simples, le bon sens peut suffire :
Exercice 13.10
Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires dont la loi est donnée par
X\Y
0
1
2
0
1/30
3/30
1/30
1
6/30
8/30
1/30
2
6/30
3/30
0
3
1/30
0
0
Déterminer la loi de X + Y et celle de XY.
1.3.a
Loi du minimum, du maximum, de la somme
Proposition 13.13
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) à valeurs dans N.
En posant Z = X + Y, on a Z(Ω) ⊂ N et
∀n ∈ N, P(X + Y = n) =
n
X
P([X = k] ∩ [Y = n − k]).
k=0
Si de plus X et Y sont indépendantes, on a en fait
∀n ∈ N, P(X + Y = n) =
n
X
P([X = k]) × P([Y = n − k]).
k=0
Exercice 13.11
Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) suivant une loi uniforme sur ~1, n.
On pose Z = X + Y.
1. On suppose que X ⊥ Y. Déterminer la loi de Z.
2. Donner un exemple (avec X et Y non indépendantes !) pour lequel Z est une variable certaine.
Proposition 13.14
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P).
En posant Z = max(X, Y) et T = min(X, Y), on a Z(Ω), T (Ω) ⊂ X(Ω) ∪ Y(Ω) et
∀x ∈ Z(Ω), P(max(X, Y) = x) = P([X = x] ∩ [Y < x]) + P([Y = x] ∩ [X 6 x])
∀x ∈ T (Ω), P(min(X, Y) = x) = P([X = x] ∩ [Y > x]) + P([Y = x] ∩ [X > x])
Remarque
Il est en fait souvent plus judicieux de passer par la fonction de répartition :
P([max(X, Y) 6 x]) = P([X 6 x] ∩ [Y 6 x]).
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Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
Exercice 13.12
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) indépendantes, à valeurs dans Z.
On pose T = min(X, Y) et Z = max(X, Y). Exprimer FT et FZ en fonction de F X et FY , en déduire une
expression simple des lois de T et de Z.
Exercice 13.13
Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) suivant une loi uniforme sur ~1, n.
On pose Z = min(X, Y).
1. On suppose que X ⊥ Y. Déterminer la loi de Z.
2. Donner un exemple (avec X et Y non indépendantes !) pour lequel Z ,→ U(~1, n).
3. En supposant que n est pair, donner un exemple pour lequel Z ,→ U 1, 2n .
1.3.b
Théorèmes majeurs
Théorème 13.15
Transfert
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et g : X(Ω) × Y(Ω) → R.
On a
X
g(x, y)P([X = x] ∩ [Y = y])
E(g(X, Y)) =
x∈X(Ω)
y∈Y(Ω)
Exercice 13.14
On dispose d’une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n. On tire sans remise deux jetons, et l’on note
X le plus grand des numéros obtenus. Déterminer E(X).
Théorème 13.16
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P), p ∈]0, 1[ et m, n ∈ N∗ .
Si
• X ,→ B(n, p) et Y ,→ B(m, p)
• X et Y sont indépendantes
alors
X + Y ,→ B(n + m, p)
Remarques
• Attention aux hypothèses : il faut que les deux binomiales aient le même paramètre p et qu’elles soient
indépendantes.
• C’est intuitivement assez naturel : si l’on compte le nombre de succès dans une série de n expériences de
Bernoulli indépendantes de paramètre p (c’est ce que fait X) et qu’on y ajoute le nombre de succès dans une
autre série de m expériences de paramètre p, indépendante de la première, cela revient au même que de faire
une seule série de m + n expériences.
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Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
1.4 Covariance et corrélation
1.4.a
Covariance
Définition 13.17
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P).
On appelle covariance de X et Y, et l’on note Cov(X, Y), le réel
Cov(X, Y) = E [X − E(X)][Y − E(Y)]
Proposition 13.18
Soient X, Y, Z des variables aléatoires sur (Ω, P) et a, b, c, d ∈ R.
• Cov(X, X) = V(X) > 0
• Cov(X, Y) = Cov(Y, X)
• Cov(aX + bY, Z) = a Cov(X, Z) + b Cov(Y, Z)
• Cov(X, aY + bZ) = a Cov(X, Y) + b Cov(X, Z)
• Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X, Y)
• Cov(X, a) = 0
• Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y)
positivité
symétrie
linéarité à gauche
linéarité à droite
formule de Huygens
Remarques
• Les quatre premiers points caractérisent une forme bilinéaire symétrique positive.
• L’avant-dernier point signifie que si Y est certaine, alors Cov(X, Y) = 0.
• Comme pour la variance, on utilisera très souvent la formule de Huygens pour les calculs effectifs de covariance.
Exercice 13.15
Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires dont la loi est donnée par
X\Y
0
1
2
0
1/30
3/30
1/30
1
6/30
8/30
1/30
2
6/30
3/30
0
3
1/30
0
0
Déterminer la covariance de X et Y.
Théorème 13.19
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). On a
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X, Y)
1.4.b
Cas des variables indépendantes
Théorème 13.20
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) indépendantes. On a alors
• E(XY) = E(X)E(Y)
• Cov(X, Y) = 0
• V(X + Y) = V(X) + V(Y)
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7
Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
Remarques
• Attention, il ne s’agit pas d’une équivalence : il existe des couples (X, Y) de variables aléatoires dont la
covariance est nulle mais qui ne sont pas indépendantes.
• On peut combiner ce théorème avec la propriété 13.10. Ainsi, si X et Y sont indépendantes et f : R → R,
alors E( f (X) f (Y)) = E( f (X))E( f (Y)).
Exemple 13.16
Soient X ,→ U(~−n, n et Y = X 2 .
On a Cov(X, Y) = 0 et pourtant X et Y ne sont pas indépendantes (Y est même entièrement déterminé par
X).
Exercice 13.17
On vous propose de jouer, au choix, à l’un des trois jeux suivants.
Dans tous les cas, on vous fait tirer dans un sac contenant des jetons numérotés de 1 à n. Les variantes
sont les suivantes :
• A : vous tirez deux fois de suite, sans remise, et vous gagnez le produit des numéros tirés, en euros.
• B : vous tirez deux fois de suite, avec remise, et vous gagnez le produit des numéros tirés, en euros.
• C : vous tirez une seule fois et vous gagnez le carré du numéro tiré, en euros.
Dans l’optique de maximiser vos gains, quelle variante faut-il choisir ?
Et si on vous propose de choisir entre les mêmes variantes, mais dans lesquelles on a remplacé produit et
carré par somme et double ?
1.4.c
Coefficient de corrélation linéaire
Théorème 13.21
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que σ(X)σ(Y) , 0.
On a
Cov(X, Y)2 6 V(X)V(Y) i.e. | Cov(X, Y)| 6 σ(X)σ(Y)
De plus, on a égalité ssi il existe a, b ∈ R tels que Y = aX + b.
Remarque
σ(X)σ(Y) , 0 signifie que ni X ni Y n’est certaine.
Définition 13.22
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que σ(X)σ(Y) , 0.
Le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y est le nombre réel, noté ρ(X, Y), défini par
ρ(X, Y) =
Cov(X, Y)
σ(X)σ(Y)
Proposition 13.23
Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que σ(X)σ(Y) , 0.
• On a −1 6 ρ(X, Y) 6 1.
• ρ(X, Y) = 1 ssi Y = aX + b avec a > 0 et b ∈ R.
• ρ(X, Y) = −1 ssi Y = aX + b avec a < 0 et b ∈ R.
• Si X et Y sont indépendantes, alors ρ(X, Y) = 0.
• Si λ, µ ∈ R∗+ , alors ρ(λX, µY) = ρ(X, Y).
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8
Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
Remarques
• Un coefficient de corrélation linéaire est une grandeur sans dimension et sans unité (dite aussi grandeur
scalaire). Le dernier point signifie qu’il est indépendant des unités choisies pour X et Y (ce qui est heureux
puisqu’il est censé avoir un «sens physique»).
• Si ρ(X, Y) > 0, on dit que X et Y sont corrélées positivement, si ρ(X, Y) < 0 qu’elles sont corrélées négativement, si ρ(X, Y) = 0 qu’elles ne sont pas corrélées.
• Une corrélation positive signifie que Y a «tendance à augmenter» quand X augmente (et, ce qui revient
au même, que Y a «tendance à augmenter» quand X augmente). Une corrélation négative signifie que Y
a tendance à diminuer quand X augmente, une absence de corrélation qu’une augmentation de X n’a pas
d’influence sur la «valeur moyenne» de Y.
• Un coefficient de corrélation linéaire «proche de 1» en valeur absolue signifie que Y peut être «bien approchée» par une fonction affine de X, croissante si le coefficient est positif, décroissante sinon. C’est une
question centrale en statistiques (moins en probabilités).
• Deux variables sont non corrélées (linéairement) ssi leur covariance est nulle. Comme vu plus haut, cela ne
signifie pas nécessairement qu’elles sont indépendantes (sauf dans le cas très particulier de la propriété qui
suit).
Proposition 13.24
Soient X et Y deux variables de Bernoulli su (Ω, P). On a
Cov(X, Y) = 0 ⇔ ρ(X, Y) = 0 ⇔ X ⊥ Y
Remarque
La première équivalence est évidente (et n’a rien à voir avec le fait que X et Y soient des variables de Bernoulli) ;
la deuxième, en revanche, n’est vraie que si X et Y sont de Bernoulli.
2 Extension à n variables
2.1 Famille de variables mutuellement indépendantes
Définition 13.25
Soit (X1 , . . . , Xn ) une famille de n variables aléatoires sur (Ω, P).
Les variables X1 , . . . , Xn sont dites
• deux à deux indépendantes si
∀i, j ∈ ~1, n, i , j ⇒ Xi ⊥ X j
• mutuellement indépendantes si
∀(x1 , . . . , xn ) ∈ X1 (Ω) × · · · × Xn (Ω),
P([X1 = x1 ] ∩ · · · ∩ [Xn = xn ]) = P([X1 = x1 ]) × · · · × P([Xn = xn ])
Remarques
• Les définitions coïncident dans le cas n = 2 : deux variables aléatoires sont indépendantes ssi elles sont
mutuellement indépendantes.
• Si l’on parle de n variables aléatoires indépendantes sans précision supplémentaire, il faut comprendre mutuellement indépendantes.
Proposition 13.26
Si (X1 , . . . , Xn ) est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, alors c’est également le
cas pour toute sous-famille de (X1 , . . . , Xn ).
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9
Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
Remarque
En particulier, on en déduit que si X1 , . . . , Xn sont mutuellement indépendantes alors elles sont deux à deux
indépendantes. Attention, la réciproque est fausse comme le montre l’exercice suivant.
Exercice 13.18
On lance deux fois de suite une pièce équilibrée et l’on définit les variables aléatoires
• X qui vaut 1 si le premier lancer donne «face», 0 sinon ;
• Y qui vaut 1 si le deuxième lancer donne «face», 0 sinon ;
• Z qui vaut 1 si les deux lancers donnent le même résultat, 0 sinon.
Montrer que X, Y et Z sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes.
Théorème 13.27
Lemme des coalitions
Soient
• (X1 , . . . , Xn ) une famille de variables aléatoires sur (Ω, P) ;
• p ∈ ~2, n − 1
• f : R p → R et g : Rn−p → R
• f1 , . . . , fn : R → R.
Si les variables X1 , . . . , Xn sont mutuellement indépendantes, alors :
• les variables aléatoires f (X1 , . . . , X p ) et g(X p+1 , . . . , Xn ) sont indépendantes ;
• les variables aléatoires f1 (X1 ), . . . , fn (Xn ) sont mutuellement indépendantes.
Exemple 13.19
Si X, Y, Z et T sont mutuellement indépendantes, alors :
• X + Y + Z et T sont indépendantes ;
• XY et Z + T 2 sont indépendantes ;
• X, Y 2 , T − sin(T ) et eZ sont (mutuellement) indépendantes.
2.2 Espérance et variance
Proposition 13.28
Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires sur (Ω, P).
On a
n
X
X
V(Xi ) + 2
Cov(Xi , X j )
V(X1 + · · · + Xn ) =
i=1
16i< j6n
Proposition 13.29
Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires mutuellement indépendantes sur (Ω, P).
On a
n
X
• V(X1 + · · · + Xn ) =
V(Xi )
i=1
 n

n
Y  Y
• E 
Xi  =
E(Xi )
i=1
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i=1
10
Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
Remarque
L’espérance étant linéaire, on a bien sûr E(X1 + · · · + Xn ) = E(X1 ) + · · · + E(Xn ) que les variables X1 , . . . , Xn
soient indépendantes ou non.
Exercice 13.20
Dans une urne contenant au départ N boules dont une proportion p est rouge, on tire successivement et
sans remise n boules. Pour 1 6 i 6 n, on note Xi la variable aléatoire qui vaut 1 si la i-ème boule tirée est
n
P
rouge, 0 sinon, et l’on pose X = Xi .
i=1
1. Justifier que chacune des Xi (1 6 i 6 n) suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres.
En déduire E(X).
2. Calculer Cov(Xi , X j ) pour 1 6 i < j 6 n et en déduire V(X).
3. Quel résultat de cours a-t-on ainsi retrouvé ?
2.3 Loi binomiale et loi de Bernoulli
Théorème 13.30
Soient X1 , . . . , Xn des variables de Bernoulli mutuellement indépendantes de même paramètre p ∈]0, 1[. On
a alors
X1 + · · · + Xn ,→ B(n, p)
Réciproquement, si X ,→ B(n, p), alors X peut s’écrire X = X1 + · · · + Xn avec les (Xi )16i6n mutuellement
indépendantes et qui suivent toutes une loi de Bernoulli de paramètre p.
Exercice 13.21
Retrouver à l’aide de ce théorème, sans calcul ou presque, les résultats du chapitre précédent sur l’espérance et la variance d’une variable suivant une loi binomiale.
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11
Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
Travaux dirigés
Exercice 13.22
Soit n ∈ N∗ . On dispose de n urnes numérotées de 1 à n. Pour tout k ∈ [[1, n]], l’urne k contient k boules
numérotées de 1 à k. On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne. On note X le
numéro de la boule tirée. Déterminer la loi de X.
Exercice 13.23
On considère n personnes qui se répartissent aléatoirement dans p hôtels H1 , . . . , H p . Pour i ∈ ~1, p, on
note Xi le nombre de personnes qui choisissent l’hôtel Hi .
1. Déterminer la loi de chacune des variables Xi . Ces variables sont-elles a priori mutuellement indépendantes ?
2. On suppose dans cette question que p = 3.
a. Déterminer la loi de X1 + X2 ainsi que sa variance.
b. Quel signe peut-on s’attendre à trouver pour ρ(X1 , X2 ) ? Calculer ce coefficient de corrélation
linéaire et confirmer ainsi l’intuition.
3. On s’intéresse maintenant au nombre Y d’hôtels qui reçoivent au moins un client. Pour 1 6 i 6 p,
on pose Yi la variable aléatoire qui vaut 0 si l’hôtel Hi est vide, 1 sinon.
a. Exprimer Y en fonction des (Yi )16i6p .
b. Déterminer la loi de Yi pour 1 6 i 6 p.
c. En déduire E(Y) en fonction de p et de n.
d. On étudie à présent ce qui se passe quand l’un, l’autre, ou les deux paramètres tendent vers
+∞.
i. Déterminer la limite de E(Y) quand p → +∞ (n fixé). Pouvait-on prévoir ce résultat ?
ii. Mêmes questions quand n → +∞, p fixé.
iii. On suppose à présent n = p, et l’on fait tendre n vers +∞. Déterminer la limite de E(Y)
puis de E(Y)
n et interpréter ces résultats.
Exercice 13.24
Un chat se fait chaque jour les griffes, soit sur le canapé soit sur les rideaux. Il ne se fait jamais les griffes
deux jours de suite sur le canapé ; s’il se fait les griffes sur les rideaux un jour donné, alors il choisira le
lendemain le canapé avec une probabilité 1/3. Le premier jour, il attaque les rideaux.
On définit la variable aléatoire Xn égale au nombre de jours où le chat a fait ses griffes sur les rideaux
parmi les n premiers jours.
Calculer E(Xn ).
On pourra décomposer Xn en une somme de variables de Bernoulli bien choisies.
Exercice 13.25
Une urne, de grande contenance, contient 3 boules vertes et 7 boules bleues. On effectue des tirages avec
remise : à chaque tirage on remet la boule et on en rajoute deux de la couleur tirée. Soient S n la variable
aléatoire donnant le nombre de boules bleues tirées au cours des n premiers tirages et Xn la variable de
Bernoulli valant 1 si une boule bleue est tirée au n-ème tirage, et 0 sinon.
1. Déterminer la loi de X1 , son espérance et sa variance.
2. Trouver la loi conditionnelle de X2 sachant [X1 = 0], puis la loi conditionnelle de X2 sachant
[X1 = 1]. En déduire la loi du couple (X1 , X2 ), puis celle de X2 . Les variables X1 et X2 sont-elles
indépendantes ?
3. Calculer P(Xn+1 = 1 | S n = k) en fonction de k et n.
En déduire P(Xn+1 = 1) en fonction de n et E(S n ).
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Chapitre 13 – Couples de variables aléatoires
4. Montrer, par récurrence sur n ∈ N∗ , que :
P(Xn = 1) =
7
10
E(S n ) =
et
7
n.
10
Exercice 13.26
Une puce se déplace par sauts unitaires indépendants sur un axe gradué. Au temps t = 0 elle est en 0.
Elle saute vers la droite avec la probabilité p ∈]0, 1[ et vers la gauche avec la probabilité 1 − p. Soient
Xi la variable aléatoire valant 1 si elle saute à droite et −1 si elle saute à gauche au i-ème saut, et X la
position de la puce après n sauts.
1. Donner la loi de Xi , son espérance et sa variance.
2. Exprimer X en fonction des Xi pour 1 6 i 6 n. En déduire E(X) et V(X).
3. Soit z ∈ R∗ . Donner la loi de zXi , et son espérance.
En déduire g(z) = E(zX ).
4. Comparer g0 (1) et E(X).
Exercice 13.27
On effectue une série de tirages dans une urne de la manière suivante :
• au départ, l’urne contient une boule blanche et une boule noire ;
• après chaque tirage, on remet dans l’urne la boule que l’on vient de tirer ainsi qu’une autre boule
de la même couleur.
On note Xn le nombre de boules blanches obtenues lors des n premiers tirages (n ∈ N∗ .). Montrer que
Xn ,→ U(~0, n).
Exercice 13.28
On effectue p tirages avec remise dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. On note
X1 , . . . , X p les résultats des tirages successifs et Y = max(X1 , . . . , X p ).
1. Déterminer la fonction de répartition de Y puis sa loi.
n−1
P k p
2. En déduire que E(Y) = n −
n .
k=1
3. Que peut-on prévoir comme comportement pour E(Y) quand p tend vers +∞ et n est fixé ? Vérifier
par le calcul.
4. On admet (on y reviendra au chapitre prochain) que
n−1
1X k
n k=0 n
En déduire la limite de
E(Y)
n
!p
Z
1
x p dx.
−→
n→+∞
0
quand n → +∞, p fixé.
Exercice 13.29
On considère une suite (Xn )n>1 de variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli
P
de même paramètre p ∈]0, 1[. Pour n ∈ N∗ , on pose Yn = max(Xn , Xn+1 ) et S n = ni=1 Yi .
1. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de Yn pour n ∈ N.
2. Déterminer l’espérance et la variance de S n pour n ∈ N.
3. En déduire à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev que
S
n
∀ε > 0, P − (2p − p2 ) > ε −→ 0
n→+∞
n
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