Calculer une aire dans l`espace

GEOMETRIE DANS L'ESPACE
Calculer une aire dans l'espace
Pour calculer une aire dans l’espace, il faut se placer dans un plan et utiliser les méthodes du
plan.
Exemple
E
Soit ABCDEFGH un cube de longueur 4.
Déterminer l’aire du triangle ACG.
Pour calculer ACG, on se place dans le plan du rectangle
ACGE. Le triangle ACG est rectangle en C son aire est
AC×CG
donc
.
2
Pour calculer AC on se place dans le plan du carré ABCD.
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ABC
rectangle en B et on trouve AC = 32 = 4 2
L’aire de ACG est donc
4×4 2
=8 2
2
A
H
D
F
B
G
C
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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GEOMETRIE DANS L'ESPACE
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Exercice 1
Soit ABCDEFGH un cube de longueur 2. I
est le milieu de [AE]
Déterminer l’aire du triangle BCI.
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Exercice 2
Soit un cylindre de rayon 2 et d’axe (AB),
avec AB = 4.
C et D sont deux points du cercle de centre B tels que
BCD est un triangle rectangle en B.
Déterminer l’aire de la section du cylindre et du plan
(CDH), plan parallèle à (AB)
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Corrigé 1
Soit ABCDEFGH un cube de longueur 2. I est le
milieu de [AE]
Déterminer l’aire du triangle BCI.
Dans le plan (ABF) le triangle ABI est rectangle
en A.
On a AI = 1 et AB = 2. Donc d’après le
théorème de Pythagore, BI = 5.
Dans le plan (BCI), le triangle BCI est rectangle
en B.
BC×BI
2 5
L’aire de BCI est donc ABCI
=
= 5
2
2
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Corrigé 2
Soit un cylindre de rayon 2 et d’axe (AB),
avec AB = 4.
C et D sont deux points du cercle de centre B tels que BCD
est un triangle rectangle en B.
Déterminer l’aire de la section du cylindre et du plan
(CDH), plan parallèle à (AB)
Le triangle BCD est rectangle mais aussi isocèle car BC et
BD sont des rayons. Donc d’après le théorème de
Pythagore, CD = 8 = 2 2
La section du cylindre et du plan (CDH), plan parallèle à
(AB) est le rectangle CDHF
L’aire de CDHF est donc
ACDHF = CD×DH = 4×2
2= 8 2
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