TRIGONOMETRIE 1 GENERALITES: LE TRIANGLE
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TRIGONOMETRIE 1 GENERALITES: LE TRIANGLE
11PS - TRIGONOMETRIE GENERALITES: LE TRIANGLE P. Rendulić 2007 1 TRIGONOMETRIE 1 GENERALITES: LE TRIANGLE 1.1 Définition Trois points A, B et C non confondus du plan euclidien forment un triangle ABC. C • α, β et γ sont les angles internes du triangle γ • on a : α + β + γ = 180° • AB, BC et AC sont les côtés du triangle β B α A 1.2 Aire ou surface d’un triangle h h a a La surface S du triangle est donnée par: S= 1 ⋅a⋅h 2 où a est la base du triangle et h est la hauteur du triangle. Des triangles de même base et de même hauteur ont même surface. 1.3 Cas spéciaux 1.3.1 triangle isocèle B β propriétés : α β' C A • 2 côtés égaux : AC = BC • 2 angles égaux : β = β ' 11PS - TRIGONOMETRIE 1.3.2 P. Rendulić 2007 LE TRIANGLE RECTANGLE 2 triangle équilatéral C propriétés : α'' α A 1.3.3 • 3 côtés égaux : AB = BC = AC • 3 angles égaux : α = α' = α ' ' = 60° α' B triangle rectangle propriété : • 2 LE TRIANGLE RECTANGLE 2.1 Définition un angle est droit (90°) Un triangle est dit rectangle lorsqu’il contient un angle droit (90°). On appelle hypoténuse le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le côté le plus long du triangle rectangle. 2.1.1 Propriétés • α et β sont des angles aigus ( α < 90° et β < 90° ) • On a: α + β = 90° • Si on prend un côté adjacent à l’angle droit comme base du triangle rectangle alors l’autre côté adjacent à l’angle droit est la hauteur du triangle rectangle. 11PS - TRIGONOMETRIE 2.2 P. Rendulić 2007 LE TRIANGLE RECTANGLE 3 Le théorème de Pythagore (570 – 510 av. J.C.) Pour un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés adjacents à l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse. a2 + b2 = c 2 2.2.1 Démonstration b a a c c b c b L’aire du grand carré (de côté a + b) est égale à la somme des aires des 4 triangles de base b et de hauteur a et du petit carré de côté c. Alors : 1 (a + b )2 = 4 ⋅ ( ⋅ a ⋅ b ) + c 2 2 ⇔ a2 + b2 + 2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ a ⋅ b + c 2 ⇔ a2 + b2 = c 2 c a a 2.2.2 QED b Réciproque Si pour un triangle de côtés a, b et c, où c est le côté le plus grand, on a a 2 + b 2 = c 2 , alors le triangle est rectangle. 2.2.3 Exemple Le triangle de côtés 3, 4, 5 est rectangle. On a en effet : 3 cm 5 cm a2 + b2 = c 2 ⇔ (3 cm)2 + ( 4 cm)2 = (5 cm)2 ⇔ 9 cm 2 + 16 cm 2 = 25 cm 2 4 cm ⇔ 25 = 25 11PS - TRIGONOMETRIE 2.3 P. Rendulić 2007 LE TRIANGLE RECTANGLE 4 Exercices 2.3.1 Exercice Vérifier que les triangles suivants, définis par les longueurs de leurs côtés, sont tous rectangles: • 5, 6, 11 • 11, • 15, 8, 17 23 , 12 2.3.2 Le mur et l’échelle La hauteur du mur est 5 m et la longueur de l’échelle 5,20 m. De combien le pied de l’échelle s’écarte-t-il du mur? 2.3.3 Diagonale d’un carré Soit un carré de côté a. Trouver la valeur de sa diagonale. Application numérique : a = 10 cm. 2.3.4 Hauteur d’un triangle équilatéral Soit un triangle équilatéral de côté a. Trouver la valeur de son hauteur. Application numérique : a = 10 cm. 2.3.5 Corde Tu disposes d’une corde avec une longueur d’environ 7 m, d’une règle de 2 m et d’un morceau de craie. Comment peux-tu procéder pour tracer un carré avec des côtés de 1,8 m sur le sol ? Explique ! 11PS - TRIGONOMETRIE LE TRIANGLE RECTANGLE P. Rendulić 2007 2.4 Trigonométrie dans le triangle rectangle 2.4.1 Cosinus, sinus et tangente d’un angle 5 Dans un triangle rectangle on définit les rapports de côtés suivants: 2.4.2 Remarques • On a : tan α = sin α = côté opposé à α hypoténuse SINUS de l’angle α cos α = côté adjacent à α hypoténuse COSINUS de l’angle α tan α = côté opposé à α côté adjacent à α TANGENTE de l’angle α sin α cos α démonstration : tan α = • 1 sin α c. opp. c. opp. c. hyp = ⋅ = sin α ⋅ = cos α cos α c. adj. c. hyp. c. adj. On a toujours : cos2 α + sin2 α = 1 démonstration : 2 2 ⎛a⎞ ⎛b⎞ cos2 α + sin2 α = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝c⎠ ⎝c⎠ 2 2 a b 1 1 2 2 = 2 + 2 = 2 ⋅ (1 a4 +4 b3 ) = 2 ⋅ c2 = 1 2 c c c c 2 =c QED 11PS - TRIGONOMETRIE LE TRIANGLE RECTANGLE P. Rendulić 2007 6 2.4.3 Valeurs remarquables de cos, sin et tan De telles valeurs sont à connaître par coeur. On les établit en considérant le carré et le triangle équilatéral. On a: 2 1 1 30° 3 2 60° 45° 1 2 1 (Rappel: diagonale du carré de côté (Rappel: hauteur du triangle a: d = 2 ⋅ a ) 3 équilatéral de côté a: h = ⋅a) 2 1 cos 45° = = 2 2 2 = 2 2⋅ 2 3 3 cos 30° = 2 = 1 2 1 sin 45° = = 2 2 2 = 2 2⋅ 2 1 1 sin 30° = 2 = 1 2 1 sin 30° 1 3 tan 30° = = 2 = = cos 30° 3 3 3 2 2 sin 45° tan 45° = = 2 =1 cos 45° 2 2 1 1 cos 60° = 2 = 1 2 3 3 sin 60° = 2 = 1 2 3 sin 60° tan 60° = = 2 = 3 1 cos 60° 2 11PS - TRIGONOMETRIE 2.4.4 2.5 LE TRIANGLE RECTANGLE P. Rendulić 2007 7 Tableau récapitulatif α 0° cos α 1 sin α 0 tan α 0 30° 45° 60° 90° 3 2 1 2 2 2 1 2 0 2 2 3 2 1 1 3 / 3 3 Exercices 2.5.1 Calculs dans le triangle rectangle Soit le triangle rectangle représenté sur la figure ci-dessous : c b a Dans chaque cas, calculer les côtés et angles manquants. a. a = 6 cm, α = 60° b. a = 8 cm, β = 30° c. a = 10 cm, b = 6cm d. c = 12 cm, α = 25° e. c = 12 cm, a = 10 cm f. α = 55°, β = 35°, c = 20 cm g. a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5cm 2.5.2 Perimètre d’un rectangle Calculer le périmètre d’un rectangle sachant que ses diagonales ont pour longueur 8 cm et qu’elles forment un angle aigu de 36°. 2.5.3 Exercice Quel est l’angle aigu formé par les diagonales d’un rectangle de longueur 12 cm et de largeur 8 cm? 11PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 2007 LE TRIANGLE RECTANGLE 8 2.5.4 La hauteur de la tour Calculer la hauteur h de la tour avec les données portées sur la figure. 2.5.5 Exercice Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied sur [BC] de la hauteur issue de A. a. Montrer que AH AC AH AB = = et que . BH AB CH AC b. En déduire que AH 2 = HB ⋅ HC . 2.5.6 Le puits Voici une technique utilisée dans l’Antiquité pour mesurer la profondeur d’un puits. En plaçant son oeil à 1,50 m de hauteur et à 1 m d’un puits de 1,20 m de diamètre, le bord du puits cache juste la ligne de fond. Quelle est la profondeur du puits? 2.5.7 Hauteur d’une montagne Les points A et B sont distants de 600 m (à vol de l’oiseau) et situés à une altitude de 1 250 m. a. Calculer BH en fonction de h. b. En déduire que h est solution de l’équation : h = 600 ⋅ tan 40° + c. Donner une valeur approchée de h. d. Quelle est l’altitude du sommet S ? h 3 tan 40° . 3 11PS - TRIGONOMETRIE CERCLE TRIGONOMETRIQUE P. Rendulić 2007 3 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 3.1 Le radian 3.1.1 Définition L’angle plat mesure π radians (notation: rad). La mesure d’un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés. 3.1.2 Tableau de conversion Pour convertir 130° en radians, on procède de la manière suivante. π ce qui donne 3.1.3 180 = radians π x degrés 180° 130° x 130 et x = π = 2,27rad 130 180 Formules de conversion α rad = α deg ⋅ 3.1.4 π α deg = α rad ⋅ 180 180 π Angles remarquables angle plat plein droit fig. a fig. b fig. b mesure en degrés 180 360 90 45 60 30 mesure en radians π 2π π/2 π/4 π/3 π/6 π 4 π 2 π 6 π 4 a. triangle rectangle isocèle π 3 π 2 b. triangle équilatéral 9 11PS - TRIGONOMETRIE 3.1.5 Exercice Convertir en radians : Convertir en degrés : 3.1.6 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 10 P. Rendulić 2007 36° ; 345° ; 15° ;135° ; 210° ; 150° ; 72° ; 22,5° ; 54 2π 3π 5π 5π 5π π 13π ; ; ;1; ; ; ;2;3; ; 1,56 3 4 6 12 18 16 120 Longueur d’un arc Un arc de cercle de rayon R et d’angle au centre α (en radians) a pour longueur L = α R L=αR R 3.1.7 Exercice Calculer la longueur d’un arc de cercle de rayon 4 cm et d’angle 3.2 • π / 3 rad • 50° Le cercle trigonométrique Fixons un repère (O, I, J) du plan. Le cercle C de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (de I vers J par le plus court chemin), est appelé cercle trigonométrique. J 1 1 I se n C sd ire ct O Remarque : le sens direct (ou positif) correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre. 11PS - TRIGONOMETRIE 3.2.1 P. Rendulić 2007 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 11 Mesure d’un arc orienté B Considérons, sur le cercle trigonométrique, un arc d’extrémités A et B et de longueur α ; l’angle au centre AOB qui l’intercepte a donc pour mesure α en radians. A L’intérêt se porte sur les longueurs des trajets reliant A à B le long du cercle trigonométrique. On convient de noter ces longueurs : 1 dir ec t O se ns C • positivement si les trajets sont effectués dans le sens direct • négativement si les trajets sont effectués dans le sens indirect Ces trajets ont pour longueurs possibles, en effectuant éventuellement une ou plusieurs fois le tour du cercle • α, α + 2 π, α + 4 π, α + 6 π, … (sens direct) • α, α - 2 π, α - 4 π, α - 6 π, … (sens indirect) Remarque : 2 π est la longueur d’un tour supplémentaire Soient A et B deux points du cercle trigonométrique. Si α est une mesure de l’arc orienté AB, toutes les autres mesures sont de la forme α + 2 k π ( k ∈ Z ). Une seule de ces mesures appartient à l’intervalle ] – π, π]. Elle est appelée mesure principale de l’arc orienté AB. 3.2.2 Exercice 2π 3 B π 3 C O A Trouver les mesures principales pour les arcs suivants : • AB • BC • CB • AC • CA 11PS - TRIGONOMETRIE 3.3 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 12 P. Rendulić 2007 Cosinus, sinus et tangente J Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x (x est une mesure de l’arc de cercle IM). M S 1 sin x x C O cos x I’ On appelle cosinus de x et sinus de x les coordonnées de M dans le repère (O, I, J). On les note cos x et sin x. Ainsi M (cos x, sin x). I Si cos x ≠ 0, on appelle tangente de x le réel défini par : tan x = sin x / cos x. J’ En effet, on a (dans le triangle rectangle CMO): OC OC = 1 OM ⇔ OC = cos x CM OS OS = = 1 OM OM ⇔ OS = sin x • cos x = • sin x = 3.3.1 Valeurs de cos x, sin x, tan x x =0 x= π 2 x =π x= 3π 2 L’examen du cercle trigonométrique permet d’étendre les notions de cosinus, sinus et tangente à des angles supérieurs à 90° : x 0 π/2 π 3π/2 cos x 1 0 -1 0 sin x 0 1 0 -1 tan x 0 non déf. 0 non déf. 11PS - TRIGONOMETRIE 3.3.2 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 13 P. Rendulić 2007 Relations élémentaires cos( x + 2kπ ) = cos x et sin( x + 2kπ ) = sin x − 1 ≤ cos x ≤ 1 et − 1 ≤ sin x ≤ 1 cos 2 x + sin 2 x = 1 3.3.3 Signes de cos x, sin x et tan x Les signes sont aisément déterminés par lecture directe sur le cercle trigonométrique: tan x ≤ 0 J cos x ≤ 0 sin x ≥ 0 tan x ≥ 0 I I’ tan x ≥ 0 cos x ≥ 0 sin x ≥ 0 cos x ≤ 0 sin x ≤ 0 cos x ≥ 0 sin x ≤ 0 tan x ≤ 0 J’ 3.4 Cosinus et sinus des angles associés Les angles, ou nombres associés à x, sont – x, π – x et π +x. Leur cosinus et leur sinus se retrouvent par une lecture efficace des configurations du rectangle et des angles complémentaires. • Configuration du rectangle J M' (cos( π − x ), sin( π − x )) M’ M (cos x , sin x ) M π−x π+x x I’ I −x N’ N N' (cos( π + x ), sin( π + x )) N (cos( − x ), sin( − x )) J’ 11PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 2007 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 14 On a: cos( π − x ) = − cos x sin( π − x ) = sin x • cos( π + x ) = − cos x sin( π + x ) = − sin x cos( − x ) = cos x sin( − x ) = − sin x Configuration des angles complémentaires J π −x 2 π π ⎛ ⎞ M' ⎜ cos( − x ), sin( − x ) ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ M’ y=x M (cos x , sin x ) M x I O Deux points de C associés à des angles complémentaires sont symétriques par rapport à la droite y =x. De ce fait leurs coordonnées sont échangées : si l’un a pour coordonnée (a, b), l’autre a pour coordonnées (b, a). Voilà qui explique les relations suivantes : ⎛π ⎞ cos ⎜ − x ⎟ = sin x ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ sin⎜ − x ⎟ = cos x ⎝2 ⎠ 11PS - TRIGONOMETRIE 3.5 P. Rendulić 2007 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 15 Exercices a. Un arc AB d’un cercle de centre O a une longueur égale au rayon du cercle. Evaluer l’angle AOB en radians, puis en degrés. b. Calculer le périmètre et la surface de la partie coloriée dans la figure ci-dessous : B 1m 1m O A c. Le mille marin, unité utilisée en navigation, correspond à la distance de deux points de la surface terrestre situés sur le même méridien et dont les latitudes diffèrent d’une minute d’angle. En estimant que la sphère terrestre a un rayon moyen de 6 367 km, déterminer la valeur (en mètres) d’un mille marin. d. Donner la mesure principale des angles dont une mesure est : e. 4π 3π 13π 32π 3π , − , −π , , , 2π , 2 3 4 6 5 f. Déterminer la valeur exacte du cosinus, du sinus et de la tangente des réels suivants : g. 2π 4π 8π 11π 13π π π 5π 3π 5π π 7π , , − , − , , , , − , , − , , − 3 3 3 4 4 4 6 6 6 3 6 4 11PS - TRIGONOMETRIE FONCTIONS SINUS ET COSINUS 16 P. Rendulić 2007 4 FONCTIONS SINUS ET COSINUS 4.1 Rappels Une fonction f définie sur un intervalle I associe à chaque nombre x de cet intervalle un nombre réel et un seul, noté f(x). Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, x, y). Soit f une fonction définie sur I. Lorsque x décrit I, l’ensemble de tous les points M du plan, de coordonnées (x, f(x)), est la courbe représentative de f sur I. Exemple Soit f définie sur I = [-1, 2 ] par f (x) = x –x2 Tracer la courbe représentative. x -1 -0,5 0 0,5 1 1 2 1,5 2 f (x) 1 -1 O y x -1 -2 4.2 Courbes représentatives de sin x et cos x Tracer les courbes en question sur l’intervalle I = [ -2 π, 4 π ]. (Utiliser les valeurs remarquables connues.) O y 1 cos x O 1 y sin x FONCTIONS SINUS ET COSINUS 17 x P. Rendulić 2007 x 11PS - TRIGONOMETRIE