Etude des systèmes dans l`espace d`état

Ecole Nationale Polytechnique
Département Automatique
Analyse et Commande dans l’Espace d’État
TP 1
ACEE
Etude des systèmes dans l’espace d’état
(Modélisation et propriétés des systèmes dynamiques)
Présentation du TP
•
•
•
Un système linéaire peut être décrit par la représentation d’état dans la forme suivante :
avec
X0 l’état initial. ;
X(t) : Vecteur d’état ;
U(t) : Vecteur d’entrée ;
Y(t) : Vecteur de Sortie
A : matrice d’état
B : matrice d’entrée
C : matrice de sortie
D : matrice de couplage entrée – sortie
Le vecteur d’état regroupe l’ensemble de l’information dont la connaissance à un instant suffit
pour déterminer — en association avec le signal d’entrée u — l’évolution future du système1.
Ce TP a pour objectif d'illustrer les principes du formalisme d'état et le lien entre les propriétés
des formes d'état et les propriétés du système à travers la mise en œuvre par Matlab/Simulink
sur des systèmes linéaires mono variables.
NB.
Fonctionnement des TPs
1. Pour tous les TPs, il y a systématiquement une étude théorique qui constitue le travail
préparatoire. Ce travail obligatoire qui sera noté, doit être effectué et soigneusement
rédigé avant la séance de TP. Il a pour but de vous inciter à réviser les notions théoriques
indispensables pour réaliser le TP et donc de terminer le travail demandé dans les temps
impartis.
2. Les séances de TP vont utiliser majoritairement les fonctions de la boîte à outils Control
System de l'environnement Matlab/Simulink2. Toutes les commandes Matlab doivent être
intégrées dans un fichier dédié (un "M-file").
3. Le compte-rendu (rapport de TP) n'est pas évalué au nombre de pages et de copies
d'écran, dont l'excès nuit à la lisibilité. Il sera évalué principalement sur les remarques
personnelles soulignant le lien entre les résultats obtenus et les principes théoriques.
4. Le compte-rendu doit être remis au plus tard une semaine après la séance du TP. Aucun
retard ne sera toléré (-4 points par jour ouvrable de retard).
1
Représentation d’état :
Pour un système SISO :
2
Pour avoir des informations sur une fonction, il suffit d'exécuter la commande: help nom2fonction dans la fenêtre de
command Matlab.
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1
Préparation : (à remettre au début du TP)
Questions :
Une représentation d’état n’est pas unique : plusieurs réalisations (A, B, C, D)
peuvent décrire le même système.
• Parmi les éléments A, B, C, D, X, Y et U, quels sont ceux qui varient en fonction de la
représentation d’état choisie? Pourquoi les autres éléments restent-il identiques
quel que soit la représentation d’état?
• Comment vérifier si deux modèles d’état (A1, B1, C1, D1) et (A2, B2, C2, D2) sont
équivalents du point de vue du comportement entrée sortie.
• Les variables d´état doivent apporter une description interne du système ; donner
quelques recommandations pour bien les choisir.
• Soit le système du 2nd ordre représenté par sa
fonction de transfert H(s) :
Montrer que le système peut être représenté dans l’espace d’état par les
paramètres suivants :
Exercice : Étude et modélisation du moteur à courant continu
Soit un moteur électrique à courant continu (MCC) alimenté par une tension U(t) et
délivrant une vitesse angulaire : H(I)
On adopte les notations et les
hypothèses suivantes :
• Force électromotrice : E = K M H
• Couple électromagnétique :ΓOP = K Q R
• Couple des frottements visqueux :
ΓS = BT H
• Moment d’inertie du rotor :
J.
1 Schéma fonctionnel détaillé
a) Établir le schéma équivalent du MCC
b) Élaborer les équations électriques et mécaniques du MCC
c) Réaliser le schéma fonctionnel reliant les différentes grandeurs sous la forme1
suivante :
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2
2 Représentation d’Etat
Pour la modélisation dans l’espace d’état, on considère :
WX (I) = R (I)
• l’entrée \(I)
le vecteur d’état : V
[
• la sortie ](I) = WY (I)
WY (I) = H(I) = Z(I)
a) Élaborer les équations d’état et préciser les matrices du système
b) Faire la représentation sous la forme2 suivante :
3 Représentation Externe
a) Écrire la fonction de transfert du système i.e. ^(_) =
b) Représenter le système sous la forme3 suivante :
`(a)
b(a)
4 Passage de l’Espace d’Etat à l’Espace Transfert
• Écrire les équations générales permettant, de passer de la forme2
(Représentation d’État) d’un système LTI à la forme3 (Représentation Externe),
et déduire la relation entre la matrice d’état et l’équation caractéristique du
système.
NB. MATLAB : Boîte à outils Control System
•
Les séances de TP vont utiliser majoritairement les fonctions de la boîte à outils Control
System et Simulink. Ci-après quelques fonctions qui vous seront utiles en TP :
SYS = TF(NUM,DEN)
Crée ou convertit un système sous une représentation fonction de transfert
SYS = TF(SYS1)
rationnelle ( num / den).
SYS=ZPK(Z,P,K)
Crée ou convertit un système sous une représentation Zéros, Pôles, Gain.
Z = vecteur des zéros, P= vecteur des pôles et K le gain statique.
SYS = SS(A,B,C,D)
Crée ou convertit un système sous une représentation d’état.
SYS = SS(SYS1)
SYS=SS2SS(SYS1,T)
[A,B,C,D] =SSDATA(SYS)
[Num,Den]=TFDATA(SYS)
[Z,P,K]=ZPKDATA(SYS)
P=POLE(SYS)
Z=ZERO(SYS)
[P,Z]=PZMAP(SYS)
R=ROOTS(C)
Vp=EIG(A)
[V,D] =EIG(A)
Effectue la transformation Z =T.X sur le vecteur d’état X de SYS1
Renvoie la représentation d’état d’un système SYS.
Renvoie le numérateur et le dénominateur d’un système SYS.
Renvoie le zéros, les pôles et le gain statique d’un système SYS.
Renvoie les pôles d’un système SYS dans le vecteur P.
Renvoie les zéros d’un système SYS dans le vecteur Z
Renvoie / représente les pôles et les zéros d’un système SYS
[A,B,C,D]=RMODEL(N)
Renvoie les racines du polynôme C dans le vecteur R.
Renvoie les valeurs propres (eigenvalues) de la matrice carrée A.
[V,D] =EIG(A) renvoie la matrice diagonale D formée des valeurs propres
de A et une matrice V des vecteurs propres correspondant : A*V = V*D.
Renvoie une représentation d’état aléatoire d’un système d’ordre N.
Voir aussi : LTIVIEW(SYS)
POLY(Vec),POLY(Mat),RANK(A),EXPM(A),NORM(A),
K = DCGAIN(SYS)
[A,B,C,D] = ORD2(Wn, Z) ;
[NUM,DEN] = ORD2(Wn,Z); [Wn,Z]=DAMP(SYS).
[NUM,DEN]=RMODEL(N) ;
[A,B,C,D]=RMODEL(N)
[B,A]= RESIDUE(R,P,K);
[R,P,K]= RESIDUE(B,A), FEEDBACK,SERIES, PARALLEL
CANON(SYS,TYPE), CTRB(SYS), OBSV(SYS), ESTIM(SYS,K,L)
K = ACKER(A,B,P),
K = PLACE(A,B,P)
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Manipulations
Manip 1
•
MATLAB utilise plusieurs formes pour décrire les systèmes dynamiques. Il est possible de
représenter un système par : des équations différentielles, une fonction de transfert (TF), les zérospôles-gain (ZPK), une représentation "espace d'état" (SS) …etc.
Soit le système donné par sa fonction de transfer F2(s)
a) Déclarez l'objet système correspondant noté F2s
s = tf('s');
F2 = (2*s+1)/(s^3 + 3*s^2 + 5*s + 3);
F2s=F2
b) Déterminer
les
coefficients
du
numérateur
et du dénominateur de la fonction de transfert F(s).
[num2F,den2F]=tfdata(F2s,'v')
c) Déterminer et représenter dans le plan complexe les pôles et zéros de F(s) :
pole(F2s), zero(F2s), pzmap(F2s), ltiview(F2s)
d) Récrire la fonction de transfert F(s) sous la forme zéros-pôles-gain ;
[z2F,p2F,k2F] = tf2zpk(num2F,den2F)
[z2Fs,p2Fs,k2Fs] = zpkdata(F2s,'v')
sys1zpk=zpk(z2F,p2F,k2F)
e) Retrouver la representation dans l’espace d’etat du système défini par F(s).
[A,B,C,D]=tf2ss(num2F,den2F);
sys2ss=ss(A,B,C,D);
f) Verifier que le dénominateur de la fonction de transfert F(s) correspond au polynôme
caractéristique de la matrice d’état A.
pc2A=poly(A); p = sym('p'); poly2sym(pc2A,p), fprintf(), disp()
g) Verifier que les poles du systeme F(s) correspondent aux valeurs propres de la matrice d’état A
(solutions de l’équation caracteristique).
h) pole(F2s), eig(A).
i) Etudier les systèmes définis par lesfonctions de transfert suivantes
F1 = (2*s+1)/(s^3 + s^2 + s -3);
F2 = (2*s+1)/(s^3 + 3*s^2 + 5*s + 3);
F3 = (2*s^2-s -1)/(s^4+2*s^3 + 2*s^2 -2*s -3).
PS. Pour une utilisation plus avancée il peut être utile de connaître les propriétés les plus importantes
que les objets MATLAB représentant des modèles LTI possèdent :
On peut lire ou modifier ces propriétés très facilement : ….
Sys.InputName=’tension (V)’; Sys.OutputName=’vitesse (rad/s)’;
zeros= sys1zpk.z{1}; A= sys2ss.a ;
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Manip 2
Simulink permet de décrire les systèmes par une représentation graphique et d'en étudier le
comportement dynamique par simulation numérique du comportement de chacun des blocs ainsi reliés.
Cette approche permet de simplifier l'étude des systèmes ainsi que d'introduire des éléments
non-linéaires qui ne peuvent être étudiés par la transformée de Laplace.
• On désire étudier le système du 2nd ordre représenté par la
fonction de transfert H(s) suivante :
Equqtion de trqnsfert d’un Sys. 2 ordre
En utilisant la commande ORD2(wn,z) de matlab, generer les parametres d’un système du 2nd
ordre pour des valeurs données de l’amoritssement z et de la pulsation naturelle wn du système.
b) Déclarez l'objet système correspondant à la representation dans l’espace d’état donnée par les
parametres suivants
z = 0.75; wn = 200;
w2=wn^2 ; K=w2 ;
A2 =[-2*z*wn –w2 ; 1 0] ;
B2=[w2 0]’;
C2=[0 1] ; D2=0 ;
c) Construire un modèle Simulink du système en question :
• Prendre un générateur d'échelon sous la rubrique "Sources", une fonction de transfert/une
représentation d’état sous la rubrique "Continuous". Saisir les instruments de mesure [Scope]
et [ToWorkspace]3 dans la bibliothèque "Sinks".
• Placer les différents blocks dans l’ordre adéquat.
• Affecter les valeurs correctes dans chaque bloc fonction (en faisant un double clic dessus).
• Relier les différents éléments (cliquer et glisser à l’aide de la souris).
Le schéma, une fois terminé, doit correspondre à celui de la figure ci-dessous :
a)
d) Paramétrer correctement le modèle et ajuster les paramètres de la simulation pour
obtenir une réponse indicielle complète.
e) Vérifier les valeurs de la sortie (en boucle ouverte) en fonction des paramètres du modèle
(amortissement et pulsation naturelle du système) .
f) Faire varier les différents paramètres de simulation. Quels sont leurs effets sur le résultat ?
g) Construire le système en boucle fermée et simuler sa réponse pour différents signaux d'entrée.
3
L’objet [ToWorkspace] permet de récupérer des valeurs dans l’environnement Matlab. Paramétrer cette
fonction en précisant [Array/Matrix] au lieu de [Structure]
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Projet : Étude et modélisation du moteur à courant continu
On souhaite étudier le comportement d’un
Moteur à Courant Continu (MCC) ayant les
caractéristiques suivantes :
R=0.5 Ω ;
L= 10 mH ;
Ka= 0.1 ;
Kb=0.1
Bm=0.01 N.m.s ; J=0.02 Kg.m2 ;
a) REPRESENTATIONS INTERNE ET EXTERNE (SIMULINK)
1. Simuler la réponse indicielle des trois représentations et vérifier leur équivalence,
représenter les sorties des trois représentations sur un même scope (décaler les
échelons d’entrée de 0.01s pour mieux visualiser)
2. Vérifier que pour augmenter la vitesse angulaire, il suffit d’augmenter la tension d’entrée
3. Quel est l’avantage de la représentation d’état ?
4. Modifier la représentation d’état (forme2) de manière à simuler l’avantage de cette
représentation et donner les matrices résultantes.
5. Peut-on se fier au résultat de 2 sans réserve ? vérifier par simulation et expliquer le
risque.
6. Conclusion
b) STABILITE DU SYSTEME A PARTIR DE LA MATRICE D’ETAT
7. Déterminer les pôles du système à partir de l’équation caractéristique (forme3) et les
comparer aux valeurs propres de la matrice d’état - utiliser les deux fonctions « eig »
et « roots » de MATLAB
8. La relation reliant la matrice dynamique et l’équation caractéristiques est-elle vérifiée ?
9. Comment évaluer la stabilité du système à partir des équations d’état ?
c) MATRICE DYNAMIQUE
10.
11.
12.
13.
On suppose que les paramètres du système subissent des changements sous l’effet
l’environnement (chaleur, choc … etc ).
Exprimer la matrice d’état A1 lorsque la résistance prend une valeur double de sa
valeur initiale et calculer les pôles du système
Pour la même entrée, représenter sur un même graphe les courbes des états des deux
systèmes correspondant aux deux valeurs de R et comparer les allures.
Le résultat de (12) est-il prévisible à partir de 11? Expliquer et déduire la
signification de l’appellation de A : matrice dynamique.
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Annexe
Rappels :Système d’ordre 2
Équation différentielle :
Fonction de transfert :
• ωn est la pulsation naturelle (pulsation propre non amortie).
• ξ est le coefficient d’amortissement.
• K est le gain statique.
Réponse indicielle:
Le comportement dépend des racines de l’´équation caractéristique (pôles du système) :
• Réponse indicielle critique ξ = 1
• Réponse indicielle apériodique : ζ > 1
• Réponse indicielle oscillante amortie |ζ < 1|
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Système d’ordre 2 :
Indices de performances pour le régime transitoire :
• Tr ; Temps de réponse d’un système =Temps mis par la sortie du système pour entrer
dans la bande compris entre ±5% de sa valeur finale.
• D1=Valeur du dépassement maximal par rapport à la valeur finale de y(t).
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