Mise en équations

Les équations du problème
repère: terrestre (supposé non galiléen)
système: pendule (simple)
 , poids du pendule de masse
Bilan des forces: - P

- T , tension du fil
 v
 , la force de Coriolis, d'expression: 
- Fc
Fc=−2 m ∧
avec: - v : vitesse du pendule par rapport à un repère terrestre
 : le vecteur rotation de la Terre par rapport aux repères
- 
galiléens, .direction: l'axe des pôles
.sens: du sud vers le nord

−1
.module: 2
Rd.s
86164
D'après le principe d'inertie:
 v =m 
 −2 m ∧
T  P

Prenons un repère orthonormé terestre Oxyz, 
Oz étant la verticale ascendante

Ox et 
Oy quelconques dans le plan horizontal
O étant la position d'équilibre de la masse m
soit i , j et k les vecteurs unitaires des axes
On a d'après l'hypothèse du pendule simple à faible oscillation:
 , T ≪1
 Oz
M reste pratiquement dans le plan Oxy: 
OM = x i  y j
x
y
⇒ T =−T   i −T   jT k (par projection)
l
l
Aussi
 =−mg k
P
 n = k =sin  k
 a comme composante normale: 

 t ∈Oxy
et sa compasante tangentielle: 
 n∧v =−2 m n k ∧ ẋ i  ẏ j
⇒2m
 t ∧v =
Fc n , la composante normale de 
et 2 m 
Fc
d'où:
Fc n∥2 m ∥v∥
∥
or d'après l'hypothèse du pendule simple:
la solution peut s'écrire: x= x 0 cos  t
g
⇒ v=−x 0  sin  t avec =
l
d'où:
Fc n∥2 m  x 0
∥


g
l
or d'après l'hypothèse du pendule simple:
x 0 l  , avec  l'angle maximum autorisé
d'où
Fc n∥2 m    gl
∥
Fc n∥
∥
l
⇔
2  
mg

g
Prenons l=15m, longueur du pendule de Foucault de Lille
et =0.03 Rd , on a:
Fc n∥
∥
5.4×10−6
mg
Fc n devant mg
⇒ On peut négliger 
L'équation (1) donne alors par projection sur les axes:
T =mg
x
−mg 2 m n ẏ=m ẍ
l
y
−mg −2 m n ẋ=m ÿ
l
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Rappelons que ce système d'équations est toujours valable, quelle que soit l'orientation des
axes 
Ox et 
Oy dans le plan horizontal.