La mathématique des drapeaux

La mathématique des drapeaux
Van Geet Patricia
Congrès SBPMef
Mardi 25 Août 2015
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a
été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui
de la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien oui, car un carré est un
rectangle !
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a
été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui
de la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien oui, car un carré est un
rectangle !
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a
été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui
de la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien oui, car un carré est un
rectangle !
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Introduction
Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a
été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils
rectangles ?
Réponse donnée : oui
Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui
de la Suisse et celui du Vatican.
Réponse du mathématicien : oui, car un carré est un
rectangle !
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon
bureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . .
Le projet était né !
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La mathématique des drapeaux
Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon
bureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . .
Le projet était né !
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La mathématique des drapeaux
Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon
bureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . .
Le projet était né !
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Contexte
Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon
bureau : le dictionnaire . . .
L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .
Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . .
Le projet était né !
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes
Consigne donnée aux élèves :
« Dessine le drapeau d’un de ces pays : Espagne, Lettonie,
Estonie, Lituanie ». (Drapeaux à lignes horizontales)
Les élèves ont accès à Internet.
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes
Les élèves ont été attentifs aux dessins et aux couleurs . . .
Aucun d’entre eux ne s’est arrêté à l’information de type
« 3 : 5 », c’est-à-dire le rapport entre le guidant soit la largeur
du drapeau et le battant soit la longueur du drapeau.
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes
Nouvelle consigne :
Dessine le drapeau de l’Espagne, la Lettonie, l’Estonie ou la
Lituanie (sans les armoiries)
le plus grand possible, sur une feuille A4 (21 cm/29 cm)
en respectant les rapports de chaque drapeau
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes :Espagne
En 1981, le drapeau espagnol
reprend son ancien dessin, divisé en trois bandes horizontales rouge, jaune, rouge. La
bande jaune, aussi haute que
les deux rouges réunies, porte
les armoiries d’Espagne du
côté du hissant.
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes : Espagne
CADRE (2 : 3)
Proposition des élèves :
l = 20 cm et L = 30 cm OU l = 18 cm et L = 27 cm
☞ Et entre les deux ?
l = 19 cm et L = 19 + 9,5 = 28, 5 cm
☞ Et si l = 19,5 cm ?
L = 19,5 + 9,75 = 29,25 cm
Dimensions gardées : l = 19 cm et L = 28,5 cm
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes : Espagne
TRACÉS INTÉRIEURS
Comment placer 1/2 entre 1/4 et 1/4 ?
Solutions proposées :
par pliage
par division de 19 cm par 4 soit 4,75 cm
en dessinant les bandes extérieures de 1/4 soit 4,75 cm
☞ Comment mesurer 4,75 cm ?
☞ Constructions successives de deux médiatrices
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes :Lettonie
La couleur rouge du drapeau
de la Lettonie est d’un ton
sombre particulier, qui est
connu sous le nom de « rouge
letton » dans le monde entier. Les couleurs du drapeau
sont disposées dans les proportions suivantes : 2 : 1 : 2
(les bandes rouges supérieures et inférieures sont toujours deux
fois plus larges que la bande blanche du milieu), et la
corrélation entre la largeur et la longueur du drapeau est de
1 : 2.
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes : Lettonie
CADRE (1 : 2)
Proposition des élèves :
l = 14,5 cm et L = 29 cm
TRACÉS INTÉRIEURS
Comprendre que 2 : 1 : 2 signifie respectivement 2/5, 1/5 et
2/5 de la largeur.
Il reste à partager 14,5 cm en 5 parts égales. . .
☞ Diviser un segment par Thalès
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes : Estonie
Le drapeau national de l’Estonie est composé de trois
bandes horizontales égales :
de haut en bas, bleu, noir et
blanc. La taille normale du
drapeau est de 105 × 165 cm.
Quel est le rapport l/L ?
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes : Estonie
CADRE
Besoin de passer par la proportionnalité
l
L
105
165
7
11
21
33
?
29
La longueur de 33 cm n’est pas acceptable. La recherche de K,
coefficient de proportionnalité, permet de trouver la largeur
correspondant à une longueur de 29 cm, soit 18,4545. . .
Les mesures gardées sont : l = 18,5 cm et L = 29 cm
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes : Estonie
TRACÉS INTÉRIEURS : Trisection d’une diagonale (1)
☞ Pour partager un segment de 18,5 cm en 3 parts égales,
commençons par partager la diagonale d’un rectangle en 3
parts égales. |BN| vaut la moitié de |ND| donc le tiers de |BD|.
A
//
b
M
B
//
b
b
N
b
b
b
D
C
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à lignes : Estonie
☞ Reste à adapter cette technique au côté de 18,5 cm. . .
A
E
B
E
A
H
B
I
F
F
D
C
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G
C
D
La mathématique des drapeaux
Trisection d’un segment
Trisection d’un segment (2)
B
b
//
b
A
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La mathématique des drapeaux
Trisection d’un segment
B
b
//
D
//
b
//
//
//
C
//
b
A
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La mathématique des drapeaux
Trisection d’un segment
B
b
//
D
//
b
//
//
//
C
//
b
b
E
A
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Trisection d’un segment
B
b
//
D
//
b
//
//
//
O
C
b
//
b
b
E
A
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La mathématique des drapeaux
Trisection d’un segment
B
b
//
D
//
b
//
//
//
O
C
b
//
b
b
E
A
Dans cette figure se trouvent deux triangles semblables OCA
et OEB ainsi qu’une configuration de Thalès. On peut déduire
OA
que OB
= OC
= AC
= 12
OE
BE
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La mathématique des drapeaux
Trisection d’un segment
Trisection d’un segment (3)
Le centre de gravité d’un triangle (médianes) partage chaque
médiane en deux segments de rapport 12
Trace un segment [AB], segment que l’on va trisecter.
Place un point O n’appartenant pas à [AB].
Construis C , image de A par la symétrie de centre O.
Construis D, image de C par la symétrie de centre B.
Trace le triangle ACD.
[AB] est la médiane relative au segment [CD].
Trace [OD], médiane relative au segment [AC].L’intersection
de ces médianes est le centre de gravité du triangle ACD.
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La mathématique des drapeaux
A
b
b
B
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Trisection d’un segment
A
b
O
C
b
b
M
b
b
B
b
D
Van Geet Patricia
BM
MA
La mathématique des drapeaux
=
1
2
Si les drapeaux n’ont pas tous le même rapport l/L, comment
font-ils alors pour obtenir ceci . . . ?
Rapports rencontrés 1 : 1
1:2
2:3
3:5
7 : 11
8 : 11
28 : 37
5:8
11 : 18
13 : 15
(Belgique)
Soit 1 0,5 0,666 0,6 0,6363 0,7272 0,7567 0,625
0,6111 0,8666
Drapeau du Salvador 189 : 335 ! (0,51642. . .)
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Le Secrétariat Général du Conseil de l’Union Européenne
m’informe que les drapeaux extérieurs au Juptis Lipsus (siège
principal du Conseil de l’UE et du Secrétariat général du
Conseil, rue de la Loi, 175) mesurent tous 3 m/5 m, tandis que
les drapeaux au Lex (bâtiment abritant le service de traduction
du Secrétariat général du Conseil, rue de la loi 145) mesurent
2 m/3 m). Le drapeau suisse fait exception. . .Néanmoins,
lorsqu’il est aligné avec d’autres drapeaux, sa superficie ne
peut jamais dépasser celle des autres drapeaux.
Un fameux « problème » de non-proportionnalité !
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à croix
Dans un deuxième temps, j’invite les élèves à dessiner un
drapeau comportant une croix, à partir de documents que je
leur fournis.
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à croix : Danemark
Ayant la mesure du cadre, un seul calcul est suffisant pour
dessiner la croix de ce drapeau . . .
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à croix : Norvège
Le drapeau de la Norvège est rouge, avec une
croix bleue bordée de blanc s’étendant jusqu’aux limites du drapeau. Le centre de la croix
est décalé vers la hampe du drapeau, de telle
sorte que la branche flottante de la croix soit plus longue que
les trois autres. Cette particularité est destinée à corriger l’effet
d’optique qui aurait fait paraître plus courte la branche de la
croix la plus agitée par le vent.
Proportion 8 : 11
Les proportions des éléments figurant sur le drapeau sont :
En largeur et de gauche à droite, de 6 − 1 − 2 − 1 − 12
En hauteur et de haut en bas, de 6 − 1 − 2 − 1 − 6
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à croix : Suède
Les dimensions et la position de la croix sont
données par la loi suédoise. La barre verticale
doit être placée entre les 5/16e et les 7/16e
de la largeur du drapeau, tandis que la barre horizontale doit
être placée entre les 4/10e et les 6/10e de la hauteur du
drapeau.
Proportion 5 : 8
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à croix : Finlande
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à croix : Suisse
La forme du drapeau suisse, habituellement carrée, n’est pas prescrite par la loi mais fait partie
de la tradition. Par contre, sa couleur est définie précisément depuis le 1e janvier 2007 : rouge
Pantone 485, soit 100% de magenta et 100%
de jaune.
Les dimensions de la croix sont également définies : un décret
datant de 1889 stipule que les bras de la croix doivent être
d’égale longueur et un sixième plus longs que larges.
« Le modèle contenu dans l’annexe à la présente loi est
déterminant pour la forme, la couleur et les proportions ».
https ://www.ige.ch/fileadmin/user_upload/Juristische_Infos/f/j10805.pdf
Van Geet Patricia
La mathématique des drapeaux
Drapeaux à croix : Suisse
Le rapport entre la longueur « du bras horizontal de la croix »
et la largeur du drapeau est de 5 : 8, ce qui correspond
approximativement aux proportions du rectangle d’or. Le
drapeau comporte 4 axes de symétrie.
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à croix : Suisse
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à croix : La Grèce
Observe. . .puis dessine. . .
Proportion 2 : 3
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à 5 croix : Géorgie
Ce drapeau comporte cinq croix : une croix de Saint Georges
et quatre croix dites « croix de la Grappe » ou croix de la
Sainte Chrétienne de Géorgie (symbole de l’Église orthodoxe
de Géorgie).
Programme de construction
Trace un rectangle de 16 cm sur
24 cm
Construis une croix de 4 cm de
large, partageant le rectangle en
quatre petits rectangles égaux
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à 5 croix : Géorgie
Dans chaque petit rectangle
Construis, en son centre, un carré de 4 cm de côté, dont
les côtés sont parallèles à ceux du rectangle
Note A,B,C et D les sommets du plus petit carré sur
pointe comportant ce carré
À partir du sommet A, trace deux arcs de
√ cercle à
l’intérieur du
carré,
le
premier
de
rayon
13 cm et le
√
second de 5 cm. Fais de même à partir des sommets B,
C et D.
Efface les deux carrés
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à 5 croix : Géorgie
A
D
B
C
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La mathématique des drapeaux
Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix
Le drapeau du Royaume Uni combine la croix de saint Georges
du drapeau anglais et la croix de saint André du drapeau
écossais. Après l’Union de 1801, ce drapeau fut augmenté de
la croix de saint Patrick pour représenter l’Irlande.
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La mathématique des drapeaux
Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix
Proportion 1 : 2
Dimensions conseillées : 12 cm/24 cm
☞ Quelle fraction représente la mesure 6 par rapport à la
largeur du drapeau ?
☞ Quelle fraction représente la mesure 10 par rapport à la
largeur du drapeau ?
Utilise ces fractions pour dessiner la croix de saint Georges et
la croix de saint André.
Pour partager la croix de saint André en six fines bandes
obliques de même largeur, utilise le théorême de Thalès.
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à blason : Le Portugal
Rapport 2 : 3
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à blason : Le Portugal
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La mathématique des drapeaux
Drapeau à blason : Croatie
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La mathématique des drapeaux
Drapeau à blason : Croatie
Commencer par dessiner le blason.
Prends ta feuille A4 dans le sens « paysage »
Trace un rectangle ABCD de 5,5 cm sur 3,6 cm, sachant
que |AB|= 5,5 cm et |BC|= 3,6 cm. Le point A est placé
dans le coin supérieur gauche et les autres points notés
dans le sens horloger ; place-le au centre de ta feuille
Place le point O à même distance des points C et D, et à
3,3 cm de la droite AB, à l’intérieur du rectangle ABCD
Trace un arc de cercle de centre O, reliant les points C et
D ; cet arc se construit en dehors du rectangle ABCD
Construis la droite perpendiculaire à CD passant par O.
Elle coupe l’arc de cercle au point P.
Partage le côté AB en 5 parts égales et note les points
respectivement E, F, G et H
Partage le côté BC en 3 parts égales et note les points I
et J
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à blason : Croatie
À partir des points E, F, G et H , trace les droites
parallèles à AD
À partir des points I et J, trace les droites parallèles à AB
À partir du point P, trace six segments de 8,4 cm, le
premier passant par A, le deuxième par E, le troisième par
F, le quatrième par G, le cinquième par U et le sixième
par B. Note les extrémités de ces segments
respectivement A’, E’, F’, G’, H’ et B’.
Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l’un de centre A’ et
l’autre de centre E’ : note S le point d’intersection le plus
éloigné du rectangle ABCD, S. Trace [A’S] et [E’S]
Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l’un de centre E’ et
l’autre de centre F’ : note T le point d’intersection le plus
éloigné du rectangle ABCD, T. Trace [E’T] et [F’T]
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à blason : Croatie
Fais de même entre les paires de points F’et G’, G’ et H’,
H’ et B’
Trace un arc de cercle de centre P, reliant les points A à B
Prolonge [AB] de 12 cm de chaque côté et note X et Y
les extrémités de ce nouveau segment
Trace les parallèles à [XY], distantes de 4,9 cm ; le blason
est centré dans le drapeau
Construis le drapeau comportant ce blason sachant qu’il
est constitué de trois bandes horizontales d’égale distance
et que son rapport l/L est 1 : 2
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La mathématique des drapeaux
Drapeau « soleil » : République de Macédoine
Rapport 1 : 2
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La mathématique des drapeaux
Drapeau à une étoile : la Turquie
Ce drapeau est consisté d’une lune décroissante et d’une étoile
à cinq branches, les deux de couleur blanche, sur un fond
rouge.
Proportion 2 : 3 Dimensions proposées : 16 cm/24 cm
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La mathématique des drapeaux
Drapeau à une étoile : la Turquie
Le calcul des mesures s’effectue par groupe, en fonction des
dimensions choisies pour le drapeau.
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La mathématique des drapeaux
Drapeaux à triangle : la Tchèquie
Dessiner l’intérieur du drapeau en utilisant uniquement le
compas et la règle non graduée.
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Drapeaux non-européens
Un seul drapeau a, pour proportion, le nombre d’Or . . .
Le drapeau du Togo (proportion 1 : 1, 618)
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Drapeaux non-européens
Drapeau comportant trois losanges, en forme de V
Saint-Vincent-et-les-Grenadines (Etat des petites Antilles, dans
les Caraïbes)
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Drapeaux non-européens
Drapeau en éventail, non symétrique
Drapeau des Seychelles
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Drapeaux non-européens
Comparaison des angles
//
//
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Drapeaux non-européens
Le seul drapeau national non-rectangulaire, qui est plus haut
que large.
Drapeau du Népal
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Mon drapeau
Merci pour votre écoute et votre
participation !
Et un remerciement particulier à Cédric de Fougerolle,
secrétaire général de la Société française de vexillologie.
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La mathématique des drapeaux
Bibliographie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau _ de _ l’estonie
http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux _ Espagne.htm
www.bibliomonde.com/donnee/lettonie-drapeau-442.htm
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau _ de _ la _ lituanie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_ scandinave
http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ suede.htm
http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ danemark.htm
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Finlande
http ://tavmjong.free.fr/INKSCAPE/MANUAL/html_
fr/AShortExample.html
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La mathématique des drapeaux
Bibliographie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Norvege
http ://www.vtg.admin.ch/internet/vtg/fr/home/themen/internation
kooperation/MP/organisation_
von_besuchen.parsysrelated1.7593.downloadList.80882.DownloadFile
(annexe page 49)
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Grece
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Georgie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_ de_ la_Grappe
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ du_ Royaume-Uni
http ://www.jdawiseman.com/papers/union-jack/unionjack.html
http ://www.collegeleseyquems.fr/IMG/jpg/consignes_
drapeau.jpg (à modifier, mais une bonne base pour démarrer)
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Macedonie
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Bibliographie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Turquie
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_
Republique_ Tcheque
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ du_ Togo
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_
Saint-Vincent-et-les-Grenadines
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ des_ Seychelles
http ://statistique.blogs.sciencesetavenir.fr/archive/2015/05/06/ledrapeau-du-nepal-23256.html (version officielle :
http ://www.servat.unibe.ch/icl/np01000_.html)
https ://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Flag_of_P
http ://www.portugalmania.com/savoir/drapeau.htm
Le Secrétariat Général du Conseil de l’Union Européenne
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