Lernübung zur Umrechnung einer Parallel

28. September 2015
Elektrizitätslehre 3
Martin Weisenhorn
Lernübung zur Umrechnung einer Parallel- in eine
Serienschaltung
Aufgabe 1. (Herleitung von Umrechnungsformeln) Die Abb. 1 zeigt eine Serienschaltung mit der Impedanz Z s und eine Parallelschaltung mit derselben Impedanz Z p . Beide
Schaltungen bestehen aus je einem Wirkwiderstand und einem Blindwiderstand. Der Wirkwiderstand der Parallelschaltung sei R2 der Blindwiderstand sei X2 . Wie gross sollen der
Wirkwiderstand R1 und der Blindwiderstand X1 der Reihenschaltung gewählt werden, damit
die Impedanz der Reihenschaltung tatsächlich gleich der Impedanz der Parallelschaltung ist,
oder einfacher ausgedrückt, damit Z s = Z p ?
Eine Antwort auf diese Frage setzt sich aus den Lösungen der folgenden Teilaufgaben zusammen.
Abbildung 1: Serien und Parallelschaltung.
a) Schreiben Sie eine Formel für die Berechnung von Z s aus R1 und X1 hin.
b) Schreiben Sie eine Formel für die Berechnung von Z p aus R2 und X2 hin.
c) Lösen Sie die komplexe Gleichung Z s = Z p nach R1 und nach X1 auf. Hinweis 1: Erweitern Sie den Ausdruck für Zp konjugiert komplex und bestimmen Sie dann den Realteil
und den Imaginärteil. Hinweis 2: Eine komplexe Gleichung besteht aus zwei reellen Gleichungen, aus einer Gleichung für den Realteil und einer für den Imaginärteil.
Lernübung zur Umrechnung einer Parallel- in eine Serienschaltung, Elektrizitätslehre 3
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d) Nun soll Z p durch die Parallelschaltung aus einer Induktivität L2 = 100.57 µH und einem
Widerstand R2 = 2633 Ω entstehen. Berechnen Sie R1 und X1 so, dass für eine Frequenz
f = 100 kHz gilt Z s = Z p .
e) Wird X1 durch eine Induktivität L1 oder durch eine Kapazität C2 realisiert? Begründen
Sie Ihre Antwort und geben Sie den entsprechenden Bauteilwert an.
f) Warum gilt bei festen Bauteilwerten L1 , L2 , R1 und R2 die Gleichung Z p = Z s nur für
eine Frequenz?
Lernübung zur Umrechnung einer Parallel- in eine Serienschaltung, Elektrizitätslehre 3
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Lösung 1. [Herleitung von Umrechnungsformeln]
a)
Z s = R1 + jX1
b)
Zp =
R2 · jX2
R2 + jX2
c)
Zs = Zp
R2 · jX2
R1 + jX1 =
R2 + jX2
R2 · jX2 R2 − jX2
=
R2 + jX2 R2 − jX2
R2 · jX2 · (R2 − jX2 )
=
R21 + X22
R2 jX2 + R2 X22
= 2 2
R2 + X22
R22 X2
R2 X22
+
j
= 2
R2 + X22
R22 + X22
Diese komplexe Gleichung besitzt genau dieselben Lösungen wie die beiden reellen Gleichungen
R2 X22
R1 = 2
R2 + X22
und
X1 =
R22 X2
.
R22 + X22
d)
jX2 = jωL2 = j2πf L2 = 2π · 100 kHz · 100, 51 µH = j 63.19 Ω
Der Blindwiderstand X2 ist gleich dem Imaginärteil der Impedanz der Induktivität:
X2 = 63.15 Ω
Der Wert für den Widerstand R2 ist aus der Angabe bekannt:
R2 = 2633 Ω
Anwendung der hergeleiteten Formeln liefert
R1 =
R2 X22
= 1.5 Ω,
R22 + X22
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X1 =
4
R22 X2
= 63.12 Ω.
R22 + X22
e) Um zu entscheiden ob die Impedanz X1 durch eine Kapazität oder eine Induktivität realisiert werden kann suchen wir den qualitativen Unterschied zwischen dem Blindwiderstand
XC einer Kapazität und dem Blindwiderstand XL einer Induktivität:
XC = Im
1
jω C
=−
1
ωC
XL = Im {jω L} = ω L
Es fällt auf, dass der Blindwiderstand einer Induktivität grundsätzlich positiv, der Blindwiderstand einer Kapazität aber grundsätzlich negativ ist. Aus dieser Beobachtung folgt,
dass der Blindwiderstand X2 nur von einer Induktivität, nicht aber von einer Kapazität
gebildet werden kann. Es gilt also
L1 = X1 /Ω = 63.12 Ω/(2πf ) = 100.45 µH.
f) Beachtet man zb. in der Gleichungen zur Berechnung von R1 , dass X2 von der Frequenz
abhängt, so wird klar, dass auch R1 von der Frequenz abhängt. Nun ändern sich Widerstände aber nicht von selbst mit der Frequenz, deshalb kann ein fester Wert für R1 die
obige Gleichung nur für eine bestimmte Frequenz erfüllen.