Klassenarbeit Lineare Gleichungssysteme - Mathe

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Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen
Aufgabe 1:
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens:
a)
3x +4y = 18
5x −3y = 1
b)
2
x −2y = 1
3
3
11
x −y =
4
4
Aufgabe 2:
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens:
a)
x +5y +13 = 0
2x −7y = 25
b)
13x +2y = 12
x −16y = 9
Aufgabe 3:
1
x + 2 und h: y = −2x + 4,5 in ein gemeinsames
2
Koordinatensystem ein. Lies die Koordinaten des Schnittpunktes ab und berechne diesen
auch durch Lösen eines Gleichungssystems.
Zeichne die Geraden g: y =
Aufgabe 4:
Zeige, dass das folgende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt und berechne
zwei Lösungspaare.
12x −8y = 28
15x −10y = 35
Aufgabe 5:
Vermehrt man die erste von zwei Zahlen um 7, so erhält man das Doppelte der zweiten Zahl.
Vermindert man die zweite Zahl um 5, so erhält man den dritten Teil der ersten Zahl.
Wie heißen die beiden Zahlen ?
Aufgabe 6:
Großvater und Enkel sind zusammen 78 Jahre alt. Vor 4 Jahren war der Opa sechsmal so
alt wie sein Enkel. Wie alt sind sie heute ?
1
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Lösung Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen
Aufgabe 1:
a) Damit das Additionsverfahren angewandt werden kann, müssen in beiden Gleichungen
entweder vor x oder vor y die gleiche Zahl mit unterschiedlichem Vorzeichen stehen.
3x +4y = 18
5x −3y = 1
Damit bei diesem Gleichungssystem vor y dieselbe Zahl steht, wird die 1.Gleichung mit 3
und die 2.Gleichung mit 4 durchmultipliziert.
3x +4y = 18
5x −3y = 1
Daraus folgt
| ⋅3
| ⋅4
9x +12y = 54
20x −12y = 4
Addition der beiden Gleichungen ergibt: 29x = 58 (y fällt wie gewünscht weg).
Daraus folgt x = 2 .
Einsetzen von x = 2 in die 1.Ausgangsgleichung liefert: 3 ⋅ 2 + 4y = 18 ⇒ y = 3
Die Lösungsmenge lautet L= {(2/3)}.
b)
2
x −2y = 1
3
3
11
x −y =
4
4
Bei diesem Gleichungssystem stören die Brüche. Im ersten Schritt werden daher beide
Gleichungen mit dem Hauptnenner der einzelnen Gleichungen so durchmultipliziert, dass
die Brüche wegfallen.
2
x −2y = 1
3
3
11
x −y =
4
4
Daraus folgt:
| ⋅3
| ⋅4
2x −6y = 3
3x −4y = 11
Damit beim Addieren die Variable x herausfällt, wird die 1.Gleichung mit (-3) und die
2.Gleichung mit 2 durchmultipliziert.
2x −6y = 3
3x −4y = 11
Daraus folgt:
| ⋅( −3)
| ⋅2
−6x +18y = −9
6x
−8y = 22
2
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Addition der beiden Gleichungen liefert: 10y = 13 ⇒ y = 1,3
Einsetzen von y = 1,3 in die 1.Gleichung liefert
−6x + 18 ⋅ 1,3 = −9 ⇒ x = 5,4
Die Lösungsmenge lautet L = {(1,3 / 5,4)}
Aufgabe 2:
a)
x +5y +13 = 0
2x −7y = 25
Die erste Gleichung wird nach x aufgelöst: x = −5y − 13
(*)
Einsetzen von (*) in die zweite Gleichung: 2 ⋅ ( −5y − 13 ) − 7y = 25 ⇔ −10y − 26 − 7y = 25
⇔ y = −3
Einsetzen von y = -3 in (*) liefert x = 15 − 13 = 2
Lösungsmenge L = {(2 / -3)}
b)
13x +2y = 12
x −16y = 9
Die zweite Gleichung wird nach x aufgelöst: x = 16y + 9 (*)
Einsetzen von (*) in die erste Gleichung: 13(16y + 9) + 2y = 12 ⇔ 208y + 117 + 2y = 12
⇔ y = −0,5
Einsetzen von y = -0,5 in (*) liefert x = −8 + 9 = 1
Lösungsmenge L = {(1 / -0,5)}
Aufgabe 3:
3
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Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten S(1/2,5).
Rechnerische Kontrolle:
Lösung des Gleichungssystems
y = 0,5x +2
y = −2x +4,5
Mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens folgt: 0,5x + 2 = −2x + 4,5 ⇔ 2,5x = 2,5 ⇔ x = 1
Einsetzen von x = 1 in eine der Gleichungen ergibt y = 0,5 + 2 = 2,5 .
Somit lautet die Lösungsmenge L = {(1/2,5)} und dies sind die Koordinaten des
Schnittpunktes.
Aufgabe 4:
Das Gleichungssystem wird mit Hilfe des Additionsverfahrens gelöst.
Zunächst können die Zahlen im Gleichungssystem dadurch vereinfacht werden, dass die
erste Gleichung durch 4 dividiert wird und die zweite Gleichung durch 5:
12x −8y = 28
15x −10y = 35
|: 4
|: 5
⇔
3x −2y = 7
3x −2y = 7
Man erkennt schon jetzt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt, da
beide Gleichungen identisch sind.
Man könnte noch die erste Gleichung mit (-1) durchmultiplizieren und anschließend die
Gleichungen addieren:
−3x +2y = −7
3x −2y = 7
Addition der Gleichungen ergibt 0 = 0, woraus sich ebenfalls ergibt dass es unendlich viele
Lösungen gibt.
Lösungspaar 1: Vorgabe von x = 1 liefert 3 − 2y = 7 ⇒ y = −2 also (1/-2)
Lösungspaar 2: Vorgabe von x = 0 liefert 0 − 2y = 7 ⇒ y = −3,5 also (0/-3,5)
Aufgabe 5:
Die erste Zahl sei x.
Die zweite Zahl sei y.
Vermehrung der ersten Zahl um 7: x + 7
Doppelte der zweiten Zahl:
2y
Also: x + 7 = 2y
Verminderung der zweiten Zahl um 5: y – 5
x
1
Dritter Teil der ersten Zahl:
oder besser x
3
3
1
Also: x = y − 5
3
4
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Aus den beiden Gleichungen ergibt sich durch Umsortierung folgendes Gleichungssystem:
−2y = −7
x
1
x
3
⇒
−y
= −5
| ⋅3
⇒
x −2y = −7 | ⋅( −1)
x −3y = −15
− x +2y = 7
x −3y = −15
Addition der Gleichungen ergibt –y = -8, also y = 8.
Einsetzen von y = 8 in eine der Gleichungen ergibt x − 24 = −15 ⇒ x = 9 .
Die erste Zahl heißt 9, die zweite Zahl heißt 8.
Aufgabe 6:
Das heutige Alter des Großvaters sei x.
Das heutige Alter des Enkels sei y.
Vor 4 Jahren war Großvater x – 4 Jahre alt.
Vor 4 Jahren war der Enkel y – 4 Jahre alt.
Es gilt: x + y = 78
Vor 4 Jahren galt: x − 4 = 6 ⋅ ( y − 4 )
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
x + y = 78
x −6y = −20
Aus der 1.Gleichung folgt x = 78 − y (*)
Einsetzen von (*) in die 2.Gleichung ergibt: (78 − y) − 6y = −20 ⇔ −7y = −98 ⇔ y = 14
Einsetzen von y =14 in (*) ergibt x = 78 – 14 = 64.
Der Enkel ist 14 Jahre alt, der Großvater 64 Jahre alt.
5