Aufgabe 1 Jedes Jahr nach Weihnachten müssen in allen Städten

Aufgabe 1
Jedes Jahr nach Weihnachten müssen in allen Städten die Weihnachtsbäume entsorgt werden.
Dazu gibt es in Dortmund das Konzept Bäume machen warm“. Die Weihnachtsbäume wer”
den von fünf Sammelunternehmen eingesammelt und an drei so genannte Holz-Hack-BrennAnlagen (HHB) geschickt. In den Anlagen werden die Bäume zerkleinert und die durch
anschließende Verbrennung gewonnene Wärmeenergie weiterverkauft.
Die Transportzeit (in Minuten), die die Sammelunternehmen (SU ) für den Transport eines
Loses der gesammelten Bäume (Transport nur möglich in Losen à 500 Bäumen) zu den jeweiligen HHB-Anlagen benötigen, sowie die maximal lieferbaren Mengen (in Bäumen) der
einzelnen Sammelunternehmen sind in der nachstehenden Tabelle angegeben. Zudem können
die HHB-Anlagen auch nur eine bestimmte Menge an Bäumen verarbeiten, was ebenfalls in
der nachfolgenden Tabelle zu finden ist.
von
\
nach
SU1
SU2
SU3
SU4
SU5
max. Baum-Nachfrage
HHB1
40 min
50 min
60 min
60 min
60 min
5500
HHB2
60 min
90 min
70 min
70 min
70 min
6500
HHB3
70 min
40 min
80 min
80 min
80 min
4500
max. lieferbare Baum-Menge
3500
5000
4500
3000
2000
Die HHB-Anlagen sind sehr kostspielig, was zur Folge hat, dass es sich nur lohnt sie zu
betreiben, wenn die maximale Nachfrage der einzelnen Anlagen befriedigt wird. Die Stadt
Dortmund, welche für die Koordination der Transporte von den Sammelunternehmen zu den
HHB-Anlagen zuständig ist, versucht die Transportplanung so vorzunehmen, dass die insgesamt benötigte Gesamttransportzeit möglichst gering ist.
a) Stellen Sie bitte ein zugehöriges lineares Optimierungsmodell auf.
(2 Punkte)
b) Geben Sie das zugehörige Standard-Transportproblem an.
(2 Punkte)
c) Bestimmen Sie bitte mit einem Ihnen bekannten Verfahren eine zulässige Anfangsbasislösung für den Stepping-Stone-Algorithmus. Wie groß ist die Gesamttransportzeit für
diesen Transportplan?
(2 Punkte)
d) Für den Baum-Transport von dem Sammelunternehmen 4 steht der Stadt Dortmund ein
etwas älterer LKW-Fuhrpark zur Verfügung. Bei dem momentanen nasskalten Wetter
wird nun befürchtet, dass ein Großteil der LKWs nicht nutzbar ist, sodass das Sammelunternehmen 4 nur noch höchstens 1500 Bäume liefern kann. Welche Auswirkungen
hat diese Information auf das Modell unter a) und die Bestimmung eines optimalen
Transportplans?
(1 Punkt)
e) Die Stadt Dortmund stellt fest, dass es aus geographischer Sicht sinnvoll ist, dass das
Sammelunternehmen 3 mindestens 1500 Bäume an die HHB-Anlage 2 liefert.
(i) Wie berücksichtigt man diese Anforderung im Modell von Aufgabe a)? (1,5 Punkte)
Operations Research 2
(ii) Wie könnten Sie diese Anforderung bei der Ermittlung einer Anfangsbasislösung
berücksichtigen?
(1,5 Punkte)
f) Nun stellen Sie sich bitte vor, Sie haben irgendein Standard-Transportproblem mit
zugehörigem Transporttableau gegeben und fixieren darin zwei Zellen zi und zk .
Was versteht man dann unter einer zi und zk verbindenden elementaren Kette“?
”
(1 Punkt)
g) Welche Bedeutung haben Elementare Ketten“ und Elementare Kreise“ im Transport”
”
tableau im Hinblick auf die Verbesserung eines gegebenen Transportplans? (2 Punkte)
h) Welche Bedeutung hat die Größe c̄ij , die im Verlauf des Stepping-Stone-Verfahrens
auftaucht?
(2 Punkte)
Operations Research 3
Aufgabe 2
Das Unternehmen Pluzzle-Spass zieht für die Herstellung ihres neuen Puzzles Wilde Kerle
”
Teufelskopf“ in einen neuen Gebäudekomplex um. Dort soll dann der Produktionsprozess für
ein Produktionslos der Puzzles in zehn Schritten (in einer vorgegebenen festen Reihenfolge
von Schritt 1 bis Schritt 10) erfolgen.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Rohmaterial (große Pappe) lagern
Größe des Puzzles zurechtschneiden
Bedrucken der Pappe
Versiegeln der bedruckten Fläche
Stanzen der Puzzleteile
Zerlegen des Puzzles in seine einzelnen Teile
Qualitätskontrolle
Verpacken der Teile in einer Plastiktüte
Verpacken der Tüte in einem Karton
Einschweißen des Kartons
Der Gebäudekomplex besteht auf Grund seiner vorherigen Verwendung aus neun kleineren
Fertigungshallen F1 , F2 , . . . , F9 , welche für die 10 Produktionsschritte genutzt werden sollen.
Der Produktionsleiter entscheidet, dass die beiden Produktionsschritte 1 und 10 in derselben
Halle, die übrigen 8 Fertigungsschritte jeweils in einer eigenen (der verbliebenen 8) Hallen
durchgeführt werden sollen. Nachdem ein Fertigungsschritt beendet ist, müssen die Puzzles
von der entsprechenden Halle mit einem Gabelstabler zu derjenigen Halle gebracht werden,
in welcher der nächste Bearbeitungsschritt erfolgt. Die Distanz (im 100 m), die zwischen zwei
Fertigungshallen Fi und Fj vom Gabelstabler zurückzulegen wären, kann man der Tabelle
entnehmen.
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F1
0
3
2
1
7
3
4
4
5
F2
3
0
1
3
5
4
6
6
7
F3
2
1
0
2
5
3
5
5
4
F4
1
3
2
0
6
4
4
5
4
F5
7
5
5
6
0
1
3
3
3
F6
3
4
3
4
1
0
2
2
2
F7
4
6
5
4
3
2
0
1
2
F8
4
6
5
5
3
2
1
0
1
F9
5
7
4
4
3
2
2
1
0
Um eine zeitoptimale Puzzle-Herstellung zu gewährleisten, sucht der Produktionsleiter eine
Belegung der vorhandenen Fertigungshallen mit den Produktionsschritten derart, dass die
Gesamtwegelänge für den Gabelstabler minimal ist.
a) Um welchen Typ von Entscheidungsproblem, den Sie aus der Veranstaltung kennen,
handelt es sich hier? Begründen Sie Ihre Antwort bitte.
(4 Punkte)
Operations Research 4
b) Erstellen Sie bitte zu obigem Problem ein geeignetes Lineares Optimierungsmodell. Geben Sie dazu bitte die
• die Entscheidungsfragen und -variablen,
• die Entscheidungsschranken und Nebenbedingungen sowie
• das Ziel und die Zielfunktion an.
(4 Punkte)
c) Nach einjähriger Produktion wird festgestellt, dass die Kundenreklamationen erheblich
zugenommen haben. Daher soll in den Produktionsprozess zukünftig eine weitere Qualitätskontrolle integriert werden. Zwischen der ersten und der zweiten Qualitätskontrolle sollte natürlich mindestens ein anderer Produktionsschritt liegen. Außerdem soll die
zweite Qualitätskontrolle nicht erst nach dem Einschweißen stattfinden. Um die dadurch
notwendig werdende Neuzuordnung der Produktionsschritte zu den Fertigungshallen etwas zu vereinfachen wird zusätzlich festgelegt, dass eine Qualitätskontrolle generell in
der Halle F6 stattfinden soll.
(i) Wie wirkt sich das auf die gegebene Problemstellung aus?
(2 Punkte)
(ii) Wie können Sie nun das so gegebene Entscheidungsproblem als lineares Modell
darstellen?
(5 Punkte)
Operations Research 5
Aufgabe 3
a) Wir betrachten eine kleine Dortmunder T-Shirt Druckerei, die für Vereine und größere
Gruppen T-Shirts mit Comics oder persönlichen Photographien bedruckt. Für jeden
der momentan vorliegenden, angenommenen Aufträge zeigt die folgende Tabelle die
Produktionszeiten, die Bereitstellungstermine der aufzudruckenden Photos (von heute
an gesehen) und die due-dates.
Auftrag Nr. i
Produktionszeit (in Tagen)
Bereitstellungstermin (in ... Tagen)
due date (in ... Tagen)
Auftrag 1
10
0
12
Auftrag 2
3
20
30
Auftrag 3
16
1
20
Auftrag 4
8
12
21
Die Druckerei möchte nun eine optimale Reihenfolge S ∗ für die Abarbeitung der Aufträge festlegen. Unglücklicherweise ist das Unternehmen so klein, dass nicht mehr als
ein Auftrag gleichzeitig bearbeitet werden kann und ein Auftrag fertig bearbeitet sein
muss, bevor ein anderer begonnen werden kann.
i. Die Zielsetzung bestehe darin, die Gesamtverweilzeiten der Jobs zu minimieren.
Bitte modellieren sie dieses Problem als Ein-Maschinen-Reihenfolgeproblem.
(3 Punkte)
ii. Berechnen Sie bitte die mittlere Verweilzeit der Jobs für den Schedule
S = (J2 , J3 , J1 , J4 ).
(1 Punkt)
iii. Wie groß ist die Gesamtverspätung der Jobs in diesem Schedule?
(1 Punkt)
iv. Nun wollen Sie anstelle der Zielfunktion in (i.) den makespan minimieren und
möchten dies mittels eines linearen Optimierungsmodells tun. Wie müssen Sie dazu
das Modell in (i.) abändern?
(3 Punkte)
v. Weisen Sie bitte allgemein für ein Ein-Maschinenproblem mit n Jobs (so, wie in der
Vorlesung behandelt) nach: Ist S ∗ ein optimaler Schedule für die durchschnittliche
Verweilzeit eines Jobs, so ist S ∗ auch ein optimaler Schedule, wenn die Zielsetzung
darin besteht, den durchschnittlichen Fertigstellungstermin eines Jobs zu minimieren.
(2 Punkte)
b) Als nächste betrachten wir ein Unternehmen, welches beabsichtigt, sein Datenverarbeitungssystem vollständig zu erneuern. Dazu wird ein Projekt Rechnererneuerung“ auf”
gelegt. Nach langer Diskussion haben sich die Projektbeteiligten auf die unten angegebenen Vorgänge, Vorgangsdauern (in Tagen) und die Vorgängerbeziehungen (bezüglich
der Präzedenzstruktur Ende-Start“) geeinigt (angegeben sind hier die unmittelbaren
”
Vorgänger)
Operations Research 6
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Vorgang
Einbau der neuen Arbeitsplatzrechner in den Abteilungen
Verlegung der neuen Netzwerkkabel
Installation des neuen Betriebssystems auf den Rechnern
Überprüfung der Funktionsfähigkeit der Netzwerkverbindungen
Installation der Anwendungssoftware auf den Rechnern
Anschluss der neuen Rechner an das Netzwerk
Installation der Netzwerksoftware und anschließende Netzwerkkonfiguration der neuen Rechner
Durchführung von Tests I
Durchführung von Testläufen II
Stilllegen der alten Rechnereinheiten
Probebetrieb des Gesamtsystems
i. Erstellen Sie bitte den zugehörigen Präzedenzgraphen.
Dauer
8
4
2
4
6
8
10
4
8
4
6
Vorgänger
1
1;2
3
3
4
5;6
5;6;7
8
9 ; 10
(2 Punkte)
ii. Entwickeln Sie bitte daraus einen CPM-Netzplan und ermitteln Sie einen zugehörigen kritischen Pfad.
(3 Punkte)
Operations Research 7