4.8. Die hypergeometrische Verteilung.

4.8. Die hypergeometrische Verteilung. Die hypergeometrische Verteilung
Hn,M (N, m1 , . . . , mP
n ) mit den Parametern n, M, N ∈ N, m1 , . . . , mn ∈ {1, . . . , M }
n
mit n, N ≤ M und k=1 mk = M ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf
(
)
n
X
Ω = ω = (ω1 , . . . , ωn ) : ωk ∈ {0, 1, . . . , mk }, k = 1, . . . , n;
ωk = N ,
k=1
wobei
P[{(ω1 , . . . , ωn )}] = Hn,M (N, m1 , . . . , mn )[{(ω1 , . . . , ωn )}]
mn
m2
m1
...
ωn
ω2
ω1
=
,
M
N
n
X
ωk ∈ {0, 1, . . . , mk }, k = 1, . . . , n,
ωk = N.
k=1
1
2
Beispiel . Beim Zahlenlotto 6 aus 49“ ist
”
6
43
r
6−r
= H2,49 (6, 6, 43)[{(r, 6 − r)}],
P[r Richtige] =
49
6
r = 0, 1, . . . , 6.
Bemerkungen.
(a) Wenn in Abschnitt 4.7.1 die gezogenen Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden, ergibt sich anstelle der Multinomialverteilung eine hypergeometrische Verteilung 3.
(b) Wenn von jeder Farbe verglichen mit der Anzahl der Ziehungen sehr viele“
”
Kugeln in der Urne sind, spielt es keine wesentliche Rolle, ob nach ihrem Ziehen
die Kugeln wieder zurückgelegt werden oder nicht. In diesem Grenzfall wird die
hypergeometrische Verteilung durch die Multinomialverteilung approximiert 4.
1Ein weiteres Beispiel wird in Aufgabe . . .
behandelt.
2Vgl. Abschnitt 4.4.3.
3Die Gesamtzahl der Kugeln sei M . Außerdem enthalte die Urne für k = 1, . . . , n jeweils m
k
Kugeln der Farbe k.
Wenn N Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden, ergibt sich
P[lk Kugeln der Farbe k, k = 1, . . . , n]
n
“
X
mn ”
m1
[{(l1 , . . . , ln )}], l1 , . . . , ln ∈ {0, 1, . . . , N },
lk = N,
,...,
= Mn N,
M
M
k=1
vgl. Abschnitt 4.7.1. Wenn andererseits die N Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, folgt
P[lk Kugeln der Farbe k, k = 1, . . . , n]
= Hn,M (N, m1 , . . . , mn )[{(l1 , . . . , ln )}], lk ∈ {0, 1, . . . , mk }, k = 1, . . . , n,
n
X
lk = N,
k=1
vgl. Aufgabe . . . .
4
α
α
N ∈ N. Für α ∈ N sei außerdem N ≤ M α ∈ N, mα
1 , . . . , mn ∈ {0, 1, . . . , M } mit
Pn Sei n,
α = M α.
m
k=1
k
α
α
Für α → ∞ gelte M α → ∞ und mα
l → ∞,
Pl = 1, . . . , n. Hierbei sei limα→∞ ml /M = ql ,
l = 1, . . . , n. Für l1 , . . . , ln ∈ {0, 1, . . . , N } mit n
l
=
N
folgt
dann:
k=1 k
α
lim Hn,M α (N, mα
1 , . . . , mn )[{(l1 , . . . , ln )}] = Mn (N, q1 , . . . , qn )[{(l1 , . . . , ln )}],
α→∞
vgl. Aufgabe . . . . Man bezeichnet dieses Resultat auch als Multinomialapproximation der hypergeometrischen Verteilung.
1