Kondensator und Kapazität

Kondensator und Kapazität
Martin Schlup
4. März 2016
Inhaltsverzeichnis
1. Kapazität
2. Kondensatorschaltungen und
2.1. Parallelschaltung . . . .
2.2. Serieschaltung . . . . . .
2.3. Teilkapazitäten . . . . .
2
Ersatzkapazität
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5
3. Energiegehalt eines Kondensators
6
4. Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen
4.1. Verhalten bei harmonischer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Schaltvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
8
8
A. Exponentialfunktion
A.1. Exponentielles Abklingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Exponentielles Einschwingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3. Messtechnische Bestimmung der Parameter X∞ und τ . . . . . . . . . . . . . .
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10
11
11
1
1. Kapazität
Elektrische Ladung kann auf Elektroden gespeichert werden. Am einfachsten stellt man sich
das an Hand von zwei parallel ausgerichteten, voneinander isolierten, leitenden Platten, sogenannte Plattenelektroden vor. Durch Ladungstrennung nimmt eine der Platten positive und
die andere negative Ladung auf.
Abbildung 1: Kondensator mit parallelen Plattenelektroden
Im Allgemeinen befindet sich auf jeder Elektrode betragsmässig die selbe Ladung aber mit
umgekehrten Vorzeichen so, dass die Gesamtladung in der Anordnung Null beträgt. Da die Elektroden voneinander isoliert sind, bleiben die positive und die negative Ladung auch getrennt.
Dabei ist eine elektrische Spannung U zwischen den Elektroden vorhanden. Diese Spannung
nimmt mit zunehmender Ladung und mit zunehmendem Elektrodenabstand zu.
1. Kapazität
Untersucht man den Zusammenhang zwischen der Ladung Q und der Spannung U , so stellt
man fest, dass im Allgemeinen Proportionalität zwischen diesen beiden Grössen herrscht. Dieses
Verhältnis wird Kapazität des Elektrodenanordnung genannt:
Q
(1)
U
Die Kapazität (Englisch: capacitance) ist eine Eigenschaft von jeder Elektrodenanordnung
und des Isolationsmaterials dazwischen.
C=
Die Kapazität hat folgende Einheit: [C] = AsV−1 = F (Farad1 ).
1
nach Michael Faraday (1791-1867)
2
1. Kapazität
Übliche Grössenordnungen:
Pufferkondensatoren
Glättungskondensatoren
Filterkondensatoren
Leitungen, Eingang Messgeräte
mF bis F (und mehr bei „Supercaps“)
µF (micro ≡ 10−6 )
nF (nano ≡ 10−9 )
pF (pico ≡ 10−12 )
Anordnungen von zwei Elektroden welche eine bestimmte Kapazität aufweisen sollen, bezeichnet man als Kondensatoren (Englisch: capacitor ). Dabei spielt es keine Rolle ob die
Elektroden Platten sind oder nicht. Kondensatoren werden zum Beispiel auch mit aufgerollten
Leiterfolien realisiert.
Die Kapazität hängt nur von der Geometrie der Elektroden und vom dazwischen liegenden
Isolationsmaterial, dem sogenannten Dielektrikum, ab. Die Kapazität nimmt mit der Elektrodenfläche zu und mit dem Elektrodenabstand ab. Das Einfügen eines Dielektrikums in den
Elektrodenzwischenraum erhöht die Kapazität. Für den idealen Plattenkondensator kann die
Kapazität mit der Formel (2) bestimmt werden :
C = r 0
A
A
=
l
l
(2)
Legende:
A
l
0
r
= r 0
Elektrodenfläche in m2
Elektrodenabstand in m
elektrische Feldkonstante, 0 ≈ 8.854 · 10−12 F/m
(relative) Permeabilitätszahl, einheitslos
Dielektrizitätszahl
Bemerkung: Bei speziellen Dielektrika bei denen die Dielektrizitätszahl von der angelegten Spannung abhängt2 , ist auch die Kapazität von der Spannung abhängig. In diesem Fall ist die
gespeicherte Ladung nicht mehr proportional zur Spannung.
Beispiel: Kapazität einer Zweidrahtleitung (ohne Herleitung)
Zwei parallele Drähte der Länge l mit Abstand a und Drahtdurchmesser d besitzen für
l a, d folgenden Kapazitätsbelag (Kapazität pro Längeneinheit in F/m):
C0 =
C
=
l
π
q
2
ln a/d + (a/d) − 1
ist zudem d a, so gilt
C0 ≈
π
ln (2 a/d)
Ende Beispiel Zweidrahtleitung
2
unter anderem bei Schichtkondensatoren vom Typ 2-Keramik HDK
3
(3)
2. Kondensatorschaltungen und Ersatzkapazität
2. Kondensatorschaltungen und Ersatzkapazität
Bei zusammengeschalteten Kondensatoren kann ganz analog zu den Widerständen eine Ersatzkapazität bestimmt werden. Damit lassen sich einige Probleme vereinfacht angehen.
2.1. Parallelschaltung
Über parallelgeschaltete Kondensatoren liegt die selbe Spannung U . Die insgesamt gespeicherte
Ladung ist die Summe der in den einzelnen Kondensatoren gespeicherten Ladungen:
Q = Q1 + Q2
Abbildung 2: Parallelschaltung zweier Kondensatoren und äquivalente Ersatzkapazität
mit
→
Q1 = C1 U und Q2 = C2 U
Q1 + Q2
(C1 + C2 ) U
Q
C=
=
=
U
U
U
C = C1 + C2
(4)
Die Gleichung (4) kann auf mehrere parallel geschaltete Kondensatoren erweitert werden.
2.2. Serieschaltung
Auf in Serie geschalteten Kondensatoren befindet sich die gleiche Ladung Q. Die Spannung
über der ganzen Schaltung ist die Summe der über den einzelnen Kondensatoren liegenden
Spannungen:
U = U1 + U2
Abbildung 3: Serieschaltung zweier Kondensatoren und äquivalente Ersatzkapazität
4
2. Kondensatorschaltungen und Ersatzkapazität
mit
→
Q
Q
und U2 =
C1
C2
1
U
U1 + U2
Q/C1 + Q/C2
=
=
=
C
Q
Q
Q
U1 =
1
1
1
+
=
C
C1 C2
(5)
Die Gleichung (5) kann auf mehrere in Serie geschaltete Kondensatoren erweitert werden.
Beispiel: Kapazitiver Spannungsteiler
Die Schaltung nach Abb. 3 ist ein kapazitiver Spannungsteiler. Um bei gegebenen Kapazitäten
und der Gesamtspannung U z. B. die Spannung U1 zu berechnen, kann mit der Bestimmung
der Ersatzkapazität die Ladung Q einfach bestimmt werden:
U1 =
Q
CU
1
U
C2
=
=
=
U
C1
C1
1/C1 + 1/C2 C1
C1 + C2
Ende Beispiel Spannungsteiler
2.3. Teilkapazitäten
Sind mehr als zwei Elektroden vorhanden, so können Kapazitäten, sogenannte Teilkapazitäten, zwischen sämtlichen Elektroden definiert werden (siehe Abb. 4):
Abbildung 4: Anordung mit drei Elektroden (z. B. Zweidrahtleitung gegenüber Grund)
Teilkapazitäten werden hier mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Für die Ladungen
gilt hier Q1 + Q2 + Q0 = 0.
c12 =
c10 =
c20 =
Q12
Q12
=
U12
ϕ1 − ϕ2
Q10
Q10
=
U10
ϕ1 − ϕ0
Q20
Q20
=
U20
ϕ2 − ϕ0
Die Teilkapazitäten (mit Kleinbuchstaben bezeichnet) können nicht direkt gemessen werden.
Misst man z. B. die (gesamte) Kapazität C12 zwischen den Elektroden (1) und (2), so erhält
5
3. Energiegehalt eines Kondensators
man nicht c12 , sondern die Parallelschaltung von c12 mit der Serieschaltung von c10 und c20 (in
diesem Fall ist Q2 = −Q1 und somit Q20 = −Q10 ):
C12 =
1
c10 c20
c12 c10 + c12 c20 + c10 c20
Q1
= c12 +
= c12 +
=
U12
1/c10 + 1/c20
c10 + c20
c10 + c20
Es gelten analoge Formeln für die Kapazitäten C10 und C20 .
3. Energiegehalt eines Kondensators
Die Zunahme der in einem Kondensator gespeicherten elektrischen Energie kann aus dem Energiefluss (Leistung) an den Klemmen (Pole) und dem Ladungserhaltungssatz berechnet werden:
dW = p(t) dt = u(t) i(t) dt = u(t) dq
Die infinitesimale Energiezunahme dW entspricht dem Produkt des momentanen Werts u(t)
der Spannung mit der infinitesimalen Veränderung dq der Ladung. Diese Beziehung ist allgemeingültig und gilt auch bei nicht-proportionalität zwischen u(t) und q(t).
Die insgesamt bei der Spannung U , bzw. bei der Ladung Q gespeicherte elektrische Energie
kann aus der Summe (Integral) der einzelnen Beiträge dW bestimmt werden. Dabei muss
natürlich berücksichtigt werden, dass der Spannungswert u(t) von der Ladung q(t) abhängt.
Bei Proportionalität ergibt sich:
Z
W =
Z
Q
dW =
u(t) dq =
0
1
C
Z
Q
q dq =
0
1 Q2
2 C
daraus ergibt sich
W =
1
1
Q U = C U2
2
2
(6)
Bemerkungen:
• Die gespeicherte elektrische Energie ist proportional zum Quadrat der herrschenden Spannung. Dieses Ergebnis gilt für beliebige Kondensatoren, die eine spannungsunabhängige
Kapazität aufweisen (lineare Bauelemente).
In Anwesenheit von dielektrischen Materialien mit grossen Permittivitätszahlen ist die
Kapazität meistens nicht unabhängig von der Spannung. In diesem Fall kann das Integral
nicht geschlossen gelöst werden und das obige Endergebnis gilt nicht mehr.
• Das Ergebnis ist unabhängig von der der Art und Weise wie die Ladung im Kondensator
aufgebaut wurde, d. h. unabhängig von ihrer Entstehungsgeschichte. Insbesondere ist es
unabhängig von der Zeit die benötigt wurde, um diese Ladung (bzw. das elektrische Feld)
aufzubauen.
6
4. Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen
4. Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen
Der ideale Kondensator besitzt ausschliesslich die Eigenschaft der Kapazität welche den Proportionalitätsfaktor zwischen der Ladung q(t) und der Spannung u(t) nach der Definitionsgleichung
(1) beschreibt. Das Verhältnis ist also zu jedem Zeitpunkt das selbe:
C=
q(t)
u(t)
Mit dem Gesetz der Ladungserhaltung 3 erhält man folgende grundlegende (differentielle) Beziehung zwischen Spannung und Stromstärke, sofern die Kapazität unabhängig von der Spannung ist:
dq(t)
d (C u(t))
du(t)
i(t) =
=
=C
dt
dt
dt
i(t) = C
du(t)
dt
(7)
Bemerkungen:
• Die obige Abbildung zwischen u(t) und i(t) ist linear, da die Bildung der Ableitung
eine lineare Operation ist. Diese Eigenschaft ist unabhängig vom zeitlichen Verlauf der
Spannung u(t)!
Die Stromstärke ist proportional zur (momentanen) Spannungsänderung.
• Kausaler Zusammenhang: Damit sich an den Klemmen eines idealen Kondensators die
Spannung ändert, muss ein Strom fliessen. Ein unstetiger Spannungsverlauf, bzw. ein
Sprung im zeitlichen Verlauf der Spannung u(t), würde eine unendlich grosse Stromstärke
voraussetzen, was physikalisch unmöglich ist.
Die Spannung über einem (idealen) Kondensator kann nicht springen.
• Hängt die Kapazität von der Spannung ab, so gilt (Kettenregel):
dq du
d (Cu) du
dC
du
dq
i=
=
=
=
u+C
dt
du dt
du dt
du
dt
3
Die Ladung auf dem Kondensator muss durch einen Strom zugeführt werden.
7
4. Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen
4.1. Verhalten bei harmonischer Anregung
Bei einer harmonischen Anregung z. B. mit der sinusförmigen Spannung u(t) = Û sin(ωt) fliesst
gemäss Gleichung (7) auch ein sinusförmiger Strom im idealen (linearen) Kondensator4 :
i(t) = C
du(t)
= ωC Û cos(ωt) = Iˆ cos(ωt)
dt
• Das Verhältnis der Amplitude des Stromstärke zur Amplitude der Spannung ist frequenzabhängig und beträgt
Iˆ
= ωC
Y =
(8)
Û
Û
1
Z=
(9)
=
ˆ
ωC
I
Das Verhältnis (8) wird Admittanz oder Scheinleitwert Y genannt.
Das reziproke Verhältnis (9) wird Impedanz oder Scheinwiderstand Z genannt.
• Zeitlich eilt der Strom der Spannung um π/2 voraus.
4.2. Schaltvorgänge
Das Schalten5 eines idealen Kondensators kann anhand folgender Schaltung untersucht werden:
Abbildung 5: Prinzipschaltung für das Auf- und Entladen eines Kondensators
Die konstante Quellenspannung wurde mit U∞ bezeichnet, um hervorzuheben,
dass sich dieser Wert nach „langer“ Zeit am Kondensator einstellen wird.
Zum Zeitpunkt t = 0 s wird der Schalter geschlossen. Unmittelbar vor dem Umschalten soll
die Spannung über dem Kondensator u(0) betragen (Anfangsbedingung6 ). Letztere kann
beliebige Werte annehmen. Da die Spannung über einem Kondensator nicht springen kann, hat
sie unmittelbar nach dem Umschalten denselben Wert wie davor.
Für das Entladen des Kondensators wird die Quellenspannung U∞ = 0 V gesetzt. Dabei
wird vorausgesetzt, dass beim Schliessen des Schalters der Kondensator die Anfangsspannung
u(0) = U0 6= 0 aufweist.
4
5
6
Bei Schaltungen mit linearen Bauelementen werden bei harmonischer Anregung nach einer transienten Phase
(Übergangs-, Einschwingphase) alle Spannungs- und Stromstärkeverläufe ebenfalls harmonisch sein.
Dabei wird ganz allgemein das Ein- und Ausschalten, bzw. Auf- oder Entladen des Kondensators gemeint.
Die Anfangsbedingung gibt (indirekt) an, welche Energie ursprünglich im Kondensator enthalten war:
W (0) = C u(0)2 /2.
8
4. Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen
Nach dem Schliessen des Schalters liefert der Maschensatz für die Schaltung aus Abb. 5
zusammen mit Gleichung (7):
R i(t) + u(t) = U∞
du(t)
RC
+ u(t) = U∞
dt
Mit der Zeitkonstante τ = R C kann diese Gleichung in normierter Form wie folgt geschrieben
werden:
du(t)
τ
+ u(t) = U∞
(10)
dt
Damit diese Gleichung7 eine eindeutige Lösung hat, muss noch die Anfangsbedingung u(0) = U0
gegeben sein. Die Kombination einer Differentialgleichung mit Anfangsbedingung wird Angfangswertproblem genannt. Dieses hat hier folgende allgemeine und eindeutige Lösung:
u(t) = U0 + (U∞ − U0 ) 1 − exp(−t/τ )
= U∞ 1 − exp(−t/τ ) + U0 exp(−t/τ )
für t ≥ 0
(11)
Daraus kann durch Ableitung nach der Zeit der Stromverlauf berechnet werden:
i(t) = C
du(t)
−1
U∞ − U0
=C
(−U∞ + U0 ) exp(−t/τ ) =
exp(−t/τ )
dt
τ
R
(12)
Bemerkungen:
• Beide Lösungen für u(t) und i(t) nach Gl. (11) und (12) bestehen aus zwei Teilen: die
erzwungene und die freie Antwort. Bei linearen Systemen gilt das Superpositionsprinzip: das Laden bei anfänglich ungeladenem Kondensator und das Entladen können
getrennt voneinander betrachtet werden (siehe die beiden nächsten Punkte):
• Für den Sonderfall eines anfänglich ungeladenen Kondensators ergibt sich mit U0 = 0:
u(t) = U∞ 1 − exp(−t/τ )
i(t) =
U∞
exp(−t/τ )
R
• Für den Sonderfall der Entladung ergibt sich mit U∞ = 0 und U0 6= 0:
u(t) = U0 exp(−t/τ )
U0
exp(−t/τ )
i(t) = −
R
Der Anfangswert der Stromstärke nach dem Schliessen des Schalters macht einen Sprung
nach i(0) = −U0 /R. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass der Strom entgegen der in
der Abb. 5 eingetragenen Bezugsrichtung fliesst.
• Die Lade- oder Entladezeit, bzw. die Geschwindigkeit mit welcher die Exponentialfunktion
asymptotisch zu ihrem Endwert strebt, hängt nur von der Zeitkonstante τ = R C ab.
Zum erreichen des Endzustands wird in der Praxis die Zeit 5 τ angegeben. Nach dieser
Zeitspanne ist der Endwert bis zu einem Rest von e−5 ≈ 0.007 = 0.7% der Differenz
Start- zu Endwert erreicht.
7
Es handelt sich hier um eine lineare, nicht-homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten
Koeffizienten. Die gesuchte Lösung dieser Differentialgleichung ist die Funktion u(t).
9
A. Exponentialfunktion
A. Exponentialfunktion
Folgende Exponentialfunktionen sind charakteristisch für manche Modelle von einfachen Ausgleichsvorgängen. Der Funktionsverlauf ist von zwei Parametern abhängig: vom Anfangswert
x(0) = X und von der Zeitkonstante τ .
A.1. Exponentielles Abklingen
x(t) = X0 exp(−t/τ )
Abbildung 6: Abklingende Exponentialfunktion in normierter Darstellung
Eigenschaften
Anfangswert:
Endwert:
Wert bei t = τ :
Wert bei t = 5τ :
Ableitung nach t:
Anfangswertproblem:
x(0) = X0 6= 0
x(∞) = 0
x(τ ) = X0 e−1 ≈ 0.37 X0 (ca. 37% von X0 )
x(5τ ) = X0 e−5 < 0.007 X0 (< 1% von X0 )
dx(t)
x(t)
X0
dt = − τ exp(−t/τ ) = − τ
τ
dx(t)
dt + x(t) = 0
mit x(0) = X0
10
(13)
A. Exponentialfunktion
A.2. Exponentielles Einschwingen
x(t) = X∞ 1 − exp(−t/τ )
(14)
Abbildung 7: Exponentielles Einschwingen in normierter Darstellung
Eigenschaften
Anfangswert:
Endwert:
Wert bei t = τ :
Wert bei t = 5τ :
Ableitung nach t:
Anfangswertproblem:
x(0) = 0
x(∞) = X∞
x(τ ) = X∞ (1 − e−1 ) ≈ 0.63 X∞ (ca. 63% von X∞ )
x(5τ ) = X∞ (1 − e−5 ) > 0.993 X∞ (> 99% von X∞ )
dx(t) X∞
X∞ −x(t)
dt = τ exp(−t/τ ) =
τ
τ
dx(t)
dt + x(t) = X∞
mit x(0) = 0
A.3. Messtechnische Bestimmung der Parameter X∞ und τ
Ein Signal mit exponentiellem Verlauf erreicht seinen Endwert X∞ innerhalb einer Restabweichung von weniger als 1% der anfänglichen Abweichung nach einer Zeit von 5 mal die
Zeitkonstante τ . Bei einer Messdauer grösser als 5 τ kann also in der Praxis der Endwert direkt
gemessen werden. Meistens ist aber die Messdauer kürzer als 5 τ . In diesem Fall können Endwert und Zeitkonstante dennoch graphisch ermittelt werden. Dafür müssen n Messwerte xk in
gleichmässigen Zeitintervallen T vorliegen:
xk = x(t = kT ) mit k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
Bei einer Exponentialfunktion kann die Differenz von zwei aufeinander folgenden Messwerten
mit der Gleichung (11) bestimmt werden (xk+1 ≡ u(t), U0 ≡ xk , U∞ ≡ X∞ , t ≡ T ):
xk+1 = xk + (X∞ − xk ) 1 − exp(−T /τ )
xk+1 − xk = (X∞ − xk ) 1 − exp(−T /τ )
→
xk+1 − xk
X∞ − xk
= 1 − exp(−T /τ ) = konst.
11
A. Exponentialfunktion
Bedeutung: Das Verhältnis der Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden äquidistanten
Werten zur Restabweichung zum Endwert, ist konstant.
Dieser Sachverhalt erlaubt es, wie in der Abb. 8 graphisch dargestellt, eine Gerade („angelehnte Leiter“) zu konstrurieren mit welcher der Endwert X∞ ermittelt werden kann. Diese
Konstruktion ermöglicht es auch eventuelle Messunsicherheiten auszumitteln!
Abbildung 8: Graphische Ermittlung der Parameter einer Exponentialfunktion
rot: Konstruktion Endwert, grün: Konstruktion Zeitkonstante
Lässt sich aus den Messpunkten diese Gerade nicht konstruieren, so ist das ein Zeichen
dafür, dass die Funktion keine Exponentialfunktion ist, oder dass zuwenig Stützwerte mit zuviel
Messunsicherhheiten behaftet sind.
Die Zeitkonstante τ kann in einem zweiten Schritt mittels der „63% des Endwerts“-Regel
bestimmt werden. Das Bestimmen der Zeitkonstante durch Legen einer Tangente an die Exponentialfunktion beim Ursprung ist nicht zu empfehlen, da das Verfahren zu ungenau ist.
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