Mathematik I Blatt 5 A.

Mathematik I
Blatt 5
A.-M. Sändig, J. Hörner
Die Aufgaben werden am 20./21. 11. 2006 in den Gruppenübungen besprochen.
Für Aufgabe 5.3 ist eine Ausarbeitung abzugeben.
Aufgabe 5.1
Zeigen Sie, dass R und C gleichmächtig sind.
Hinweis: Verwenden Sie die Darstellung der reellen Zahlen als nicht-abbrechende Dezimalzahlen.
Aufgabe 5.2 Bestimmen Sie die trigonometrische Darstellung des Produkts z1 z2 zweier
komplexer Zahlen z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 und vergleichen Sie Betrag und Winkel mit
denen der ursprünglichen Zahlen. Was fällt auf?
Hinweis:
cos(ϕ + ϑ) = cos ϕ cos ϑ − sin ϕ sin ϑ
sin(ϕ + ϑ) = sin ϕ cos ϑ + cos ϕ sin ϑ
Aufgabe 5.3 (schriftlich, 11 Punkte) Berechnen Sie Betrag und Argument der folgenden komplexen Zahlen
√
a) z = 2 + 2 3 i ,
c) z = (4 − 2i) (1 + 3i) ,
b) z = (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + (1 + i)4 ,
√
√
(−1 + i 3)13 ( 3 + i)2
√
.
d) z =
(1 + i 3)11
Aufgabe 5.4 Die Quersumme einer Zahl erhält man, wenn man die Ziffern der Zahl
addiert. Führt man dieses Verfahren wiederholt fort, bis eine Ziffer übrigbleibt, ergibt sich
die iterierte oder einstellige Quersumme. Die alternierende Quersumme (auch Wechselsumme
oder Querdifferenz) ergibt sich, in dem man von der Summe der Ziffern auf den ungeraden
Stellen die Summe der Ziffern auf den geraden Stellen subtrahiert.
Stellen Sie die Dezimalzahl 1785 in Zahlensystemen zu den Basen 2,4,6,8,10,12 und 16 dar
und bilden Sie jeweils die iterierte Quersumme und die iterierte Wechselsumme. Bestimmen
Sie auch die Primfaktoren der Zahl und vergleichen Sie diese mit den erhaltenen Quersummen. Was fällt dabei auf?
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Aufgabe 5.5 Duale Gleitpunktzahlen bestehen aus einem Vorzeichen (−1)σ ∈ {−1, 1},
einer Mantisse x ∈ [1, 2) mit m + 1 Ziffern xi ∈ {0, 1} und einem Exponenten n ∈ Z:
σ
n
σ
(−1) · x0 .x1 · · · xm · 2 = (−1)
m
X
xi 2n−i .
i=0
Duale Gleitpunktzahlen werden zur näherungsweisen Darstellung reeller Zahlen in Computern verwendet. Nach dem IEEE-Standard 754 werden in doppelter Genauigkeit (double
precision) 64 Bit verwendet, die wie folgt aufgeteilt sind:
V
EEEEEEEEEEE
MMMMMM. . . MMMMMM
′
σ
Exponent n = n + 1023
Mantisse x′ = x − 1
1 Bit
11 Bit
52 Bit
Bestimmen Sie die rechnerinterne Darstellung der reellen Zahlen
10.01 ,
−1/3 ,
16−8 .
Hinweis: Auf der Seite http://babbage.cs.qc.edu/IEEE-754/Decimal.html können Sie
Ihr Ergebnis überprüfen.
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