Lineare Gleichungssysteme – Basis

Lineare Gleichungssysteme – Basis
Graphische Lösung von Gleichungen
Regel
Gegeben sind zwei Gleichungen von zwei Funktionen. Die Lösung dieses Systems
ist gleich dem Schnittpunkt beider Graphen.
Verlaufen die beiden Graphen parallel zueinander , hat das System keine Lösung.
Liegen die beiden Graphen „aufeinander“, so hat das System unendlich viele
Lösungen.
m=
f(x2) – f(x1)
x2 – x1
Beispiel
Gegeben: y = x + 2 und y = -x +3
Da beide Funktionen nicht die gleiche Steigung (m) haben und nicht “aufeinander”
liegen, gibt es einen Schnittpunkt.
Übungen
1. Zeichne zwei Funktionen, die keinen Schnittpunkt haben.
2. Haben die Funktionen y=x+2 und 2y-2x=4 eine Lösung, keine Lösung oder
unendlich viele Lösungen?
3. Löse zeichnerisch: y=x+3 und y=-x+5
Aufgaben:
1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft!
2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und
löst die Aufgaben.
Dr. Martens
Gleichsetzungssysteme – Basis
Graphische Lösung
Lösungen
1.
2. Zuerst muss die zweite Gleichung umgeformt werden, damit sie gezeichnet
werden kann:
2y – 2x = 4
/ +2x
<=> 2y
= 2x + 4 / :2
<=> y
=x+2
Diese Gleichung entspricht exakt der ersten Gleichung. Also gibt es unendlich viele
Lösungen.
3.
Hausaufgabe:
a) 4x + 6y = 18 und 0,5x – 0,5y = 1
b) 2x + 2y = 2 und y – x = 2
c) 8x + 6y = 2 und 2x + 1,5 y = 0,5
Dr. Martens
Gleichungssysteme – Station 1
Das Gleichsetzungsverfahren
Regel
Beide Gleichungen werden so umgewandelt, dass sie entweder die Form “x = ...”
oder “y = ...” haben.
Nun können die Gleichungen gleichgesetzt und nach der übrig bleibenden Variablen
ausgerechnet werden. Das Ergebnis wird dann in eine der Ursprungsgleichungen ein
gesetzt.
Schritte: Umformen, Gleichsetzen und Auflösen, Einsetzen.
Beispiel
Gegeben: y = 3x +1 und -2x +y = -3
1. Schritt: Umformen
-2x + y = -3
/ + 2x
<=>
y = 2x -3
Nun haben beide Gleichungen das gleiche “Aussehen” (y = ...).
2. Schritt: Gleichsetzen und Auflösen
3x + 1 = 2x -3
/-2x
<=> x + 1 = -3
/ -1
<=> x
= -4
3. Schritt: Einsetzen (Ermittlung von x oder y)
x wird nun in die erste oder zweite Gleichung eingesetzt. Diese wird dann nach y
aufgelöst.
y = 3x + 1 => y = 3(-4) +1 <=> y = -11
Lösung
L = {(-4/-11)}
Übungen
Löse:
a) y=3x-6 und y=4x+7
b) 2/3x – 3/2y = 1 und x + 3/2y = 6
Aufgaben:
1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft!
2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und
löst die Aufgaben.
Dr. Martens
Gleichungssysteme – Station 1
Das Gleichsetzungsverfahren
Lösungen
a)
1. Schritt: nicht nötig, da schon in der richtigen “Form”
2. Schritt:
3x – 6 = 4x + 7
<=> - 6 = x + 7
<=> -13 = x
/ -3x
/ -7
3. Schritt:
y = 3x – 6 => y = 3(-13) -6 <=> y = -45
L = {(-13 / -45)}
b)
1. Schritt: Form „x = ...“
1. Gleichung:
2/3x – 3/2y = 1
<=> 2/3 x
= 1 + 3/2y
<=>
x
= 1(3/2) + 3/2(3/2)y
<=>
x
= 3/2 + 9/4y
2. Gleichung:
x + 3/2y = 6
<=> x
= 6 – 3/2y
2. Schritt:
3/2 + 9/4y = 6 – 3/2y
<=> 3/2 + 9/4y + 3/2y = 6
<=> 9/4y + 3/2y = 9/2
<=> 9/4y + 6/4y = 9/2
<=> 15/4y
= 9/2
<=>
y
= 9/2 *(4/15)
<=>
y
= 36/30 = 6/5
/ + 3/2y
/ *(3/2)
/ - 3/2y
/ + 3/2y
/ - 3/2
/ gleichnamig machen!
/ *(4/15)
3. Schritt:
x + 3/2y = 6 => x + 3/2(6/5) = 6 <=> x = 6 – 18/10 = 42/10 = 21/5
L = {(24/5 / 6/5)}
Hausaufgabe:
a) 4x – 6y = 4 und 4x – 3y = -4
b) 2/3x – 3/2y = 1 und 2x + 3y = 12
Dr. Martens
Gleichungssyteme – Station 2
Das Einsetzungsverfahren
Regel
Bei diesem Verfahren löst man eine der beiden Gleichungen nach x oder y auf und
setzt diesen Term dann in der anderen Gleichung ein.
Die Schritte sind: Auswahl der Gleichung, Auflösen nach x/y und erstes und zweites
Einsetzen.
Beispiel
Gegeben: 3x + y = 17 und -2x – 3y = -16
1. Schritt: Auswahl
Hier ist es gleichgültig, mit welcher Gleichung man beginnt, beide müssen umgeformt
werden. Gleichung 1 bietet aber einen kleinen Vorteil, da in ihr schon ein positives y
vorliegt. Also: 3x + y = 17
2. Schritt: Auflösen
3x + y = 17
/ -3x
<=>
y = 17 - 3x
3. Schritt: Erstes Einsetzen
Man nimmt: Gleichung 2: -2x – 3y = -16 Für y setzt man 17 – 3x ein (s. 2.).
-2x – 3(17 – 3x) = -16
<=> -2x – 51 + 9x = -16
<=> 7x – 51
= -16
/ + 51
<=> 7x
= -16 + 51
<=> 7x
= 35
/:7
<=> x
=5
4. Schritt: Zweites Einsetzen
Man nimmt: die nach y aufgelöste Gleichung 1: y = 17 – 3x. Für x setzt man 5 ein (s.
3.).
y = 17 – 3 (5)
<=> y = 17 – 15 = 2
L = {(5 / 2)}
Übungen
a) 2x – 2y = 7 und 2y + 3x = -3
b) x + 3y = 9 und 4x – 5y = 19
Aufgaben:
1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft!
2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und
löst die Aufgaben.
Dr. Martens
Gleichungssysteme – Station 2
Das Einsetzungsverfahren
Lösungen
a)
1. Schritt: Auswahl der Gleichung: Egal, z. B. Gleichung 1.
2. Schritt: Auflösen: 2x = 7 + 2y <=> x = 3,5 + y
3. Schritt: Erstes Einsetzen: 2y + 3 (3,5 + y) = -3 <=> 2y + 10,5 + 3y = -3 <=>
5 y = - 13,5 <=> y = -2,7
4. Schritt: Zweites Einsetzen in 2.: x = 3,5 + (-2,7) <=> x = 0,8
L = {(0,8 / -2,7)}
b)
1. Schritt: Auswahl der Gleichung: -> Gleichung 1
2. Schritt: Auflösen: x = 9 – 3y
3. Schritt: Erstes Einsetzen: 4 (9 – 3y) – 5y = 19 <=> -17y = -17 <=> y = 1
4. Schritt: Zweites Einsetzen: x = 9 – 3 (1) <=> x = 6
L = {(6 / 1)}
Hausaufgabe:
a) 2x – 2y = 7 und 2y + 3x = -3
b) x + 3y = 9 und 4x – 5y = 19
Dr. Martens
Gleichungssysteme – Station 3
Das Additionsverfahren
Regel
Eine oder beide Gleichungen müssen so umgeformt werden, dass bei ihrer Addition
eine Variable “wegfällt”.
Dann wird die übrig bleibende Gleichung nach der Variablen aufgelöst. Das Ergebnis
wird in die andere Gleichung eingesetzt.
Schritte: Umformen (evtl.), Addieren, Auflösen, Einsetzen.
Beispiel
Gegeben: 2x + 3y = 13 und 3x + 4y = 18
1. Schritt: Umformen: Ziel: x “beseitigen”
I 2x + 3y = 13
/*3
II 3x + 4y = 18
/ * (-2)
------------------------------------------2. und 3. Schritt: Addieren und Auflösen
Ia 6x + 9y = 39
IIa -6x - 8y = -36
------------------------------------------I 2x + 3y = 13
I+II(a) y = 3
------------------------------------------I 2x + 3y = 13
I+II(a)
y=3
3. Schritt: Einsetzen
I 2x + 3 (3) = 13 <=> 2x + 9 = 13 / -9 <=> 2x = 4 / : 2 <=> x = 2
L = {(2 / 3)}
Übungen
a) 9x – 6y = 3 und -2x + 3y = -4
b) 7 – 4y = 2x und 1 – 5x = 4,5y
Aufgaben:
1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft!
2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und
löst die Aufgaben.
Dr. Martens
Gleichsetzungssysteme – Station 3
Das Additionsverfahren
Lösungen:
a)
1. Schritt: Umformen: Ziel: y “beseitigen”
I 9x – 6y = 3
II -2x + 3y = -4 / * (2)
-----------------------------------2. Schritt: Addieren und Auflösen
I
9x – 6y = 3
IIa -4x + 6y = -8
-----------------------------------I
9x – 6y = 3
I+II(a) 5x
= -5 / : 5
-----------------------------------I
9x – 6y = 3
I+II(b) x
= -1
-----------------------------------3. Schritt: Einsetzen
I 9 (-1) – 6y = 3 / + 6y <=> -9 = 3 + 6y / -3 <=> -12 = 6y / : 6 <=> -2 = y
L = {(-1 / -2)}
b)
1. Schritt: Umformen: Ziel: x “beseitigen”
I
7 – 4y = 2x
II 1 – 5x = 4,5y
-----------------------------------Ia -2x – 4y = -7
/ * (-5)
IIa -5x – 4,5y = -1 / * 2
-----------------------------------2. Schritt: Addieren und Auflösen
Ib 10x + 20y = 35
IIb -10x – 9 y = -2
-----------------------------------I
7 – 4y = 2x
I+II(a) 11y = 33
/ : 11
-----------------------------------I
7 – 4y = 2x
I+II(b)
y=3
3. Schritt: Einsetzen
I
7 – 4(3) = 2x <=> -5 = 2x / :2 <=> -2,5 = x
L = {(-2,5 / 3)}
Hausaufgabe:
a) 5x + 2y = 6 und 3y = 9 - 2x
b) 5x =-2y - 6 und 2x + 3y = 9
Dr. Martens
Gleichsetzungssysteme – Station 4
Mache die Probe
Regel
Setze die Werte für x und y in eine der beiden Gleichungen ein. Erhältst du als
Ergebnis eine wahre Aussage (z. B. 5=5), dann stellen x- und y-Wert die richtige
Lösung des Gleichungssystems dar.
Schritte: Auswahl der Gleichung, Einsetzen, Ergebnis bewerten
Beispiel
a)
Gegeben: L = {(2/3)}
I
II
b)
Gegeben: L = {(1 / 2)}
3x + 5y = 21
-2x + 4y = 8
1. Schritt: Auswahl der Gleichung
I
3x + 5y = 21
2. Schritt: Einsetzen
3(2) + 5(3) = 21
<=> 6 + 15 = 21
<=>
21 = 21
3(1) + 5(2) =21
<=> 3 + 10 = 21
<=>
13 = 21
3. Schritt: Bewertung
21=21 ist eine wahre Aussage
Lösungsmenge ist richtig!
13=21 ist eine falsche Aussage
Lösungsmenge ist falsch!
Übungen
a) 2,5x – 3 = 2y und 0,5x + 18y = 19 L = {(2/1)}
b) 8x + 6y = 5 und 12x – 8 = -10y
Welche Lösungsmenge ist richtig: L = {(0,25 / 0,25)} oder L = {(0,25 / 0,5)}?
Falls die Lösungsmenge falsch ist, ermittle die korrekte Lösung!
Aufgaben:
1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft!
2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und
löst die Aufgaben.
Dr. Martens
Gleichsetzungssysteme – Station 4
Mache die Probe
Lösungen
a) 2,5x – 3 = 2y und 0,5x + 18y = 19
L = {(2/1)}
1. Schritt: Auswahl der Gleichung
I
2,5x - 3 = 2y
2. Schritt: Einsetzen
2,5(2) - 3 = 2(1)
<=> 5 - 3 = 2
<=>
2=2
3. Schritt: Bewertung
2=2 ist eine wahre Aussage
Lösungsmenge ist richtig!
b) 8x + 6y = 5 und 12x – 8 = -10y
Welche Lösungsmenge ist richtig: L = {(0,25 / 0,25)} oder L = {(0,25 / 0,5)}?
Falls die Lösungsmenge falsch ist, ermittle die korrekte Lösung!
1. Schritt: Auswahl der Gleichung
I
8x + 6y = 5
2. Schritt: Einsetzen
8(0,25) + 6(0,25) = 5
<=> 2
+ 1,5
=5
<=>
3,5 = 5
8(0,25) + 6(0,5) = 5
<=> 2
+ 3
=5
<=>
5=5
3. Schritt: Bewertung
3,5 = 5 ist eine falsche Aussage
Lösungsmenge ist falsch!
5 = 5 ist eine wahre Aussage
Lösungsmenge ist richtig!
Hausaufgabe:
Mache die Probe!
a) 2x + 3y = 10,25 und 10x – 4y = 8,5; L = {(1,75 / 2,25)}
b) x – 7y + 7x -43 = 6 – x + 2y; L = {(-4 1/7 / -3 1/7)}
Dr. Martens
Gleichsetzungssysteme – Station 5
Sonderfälle
Zu den „Sonderfällen“ zählen alle Gleichungssysteme, die entweder keine oder
unendlich viele Lösungen haben (s. Basis).
Regel
Bei der Lösung kann es zwei Varianten geben: Es gibt einmal eine falsche Aussage
wie z. B. 3x = 3x+1 oder es gibt Aussagen, die für alle x- und y-Werte gelten wie z. B.
3x = 3x (egal, was man für x einsetzt, es entsteht immer eine wahre Aussage!).
Beispiel
a) Es gibt keine Lösung!
Gegeben:
I 2x + 5y = 8
II -2x – 5y = -5
Gleichsetzungsverfahren
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Ia
2x = 8 – 5y
IIa 5 – 5y = 2x
Ia
2x = 8 – 5y
<=> x = 4 – 5/2y
I
II
8 – 5y = 5 – 5y /+5y
<=>
8=5
II
5 – 5y = 2(4 – 5/2 y)
<=> 5 – 5y = 8 – 5y /+5y
<=>
5=8
I
2x + 5y = 8
I+II
0=3
falsche Aussage
falsche Aussage
L={ }
2x + 5y = 8
-2x – 5y = -5
falsche Aussage
b) Es gibt unendlich viele Lösungen!
Gegeben:
I 2x – 5y = 8
II -4x + 10y = -16
Gleichsetzungsverfahren
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Ia
IIa
2x = 8 + 5y
10y + 16 = 4x
<=> 5y + 8 = 2x
Ia
I
II
8 + 5y = 5y + 8 /-5y
8=8
II
<=>
allgemeingültig
2x = 8 + 5y
<=> x = 4 + 5/2y
2x - 5y = 8
-4x + 10y = -16
-4(4+5/2y)+10y = -16 Ia
4x - 10y = 16
<=> -16 -10y+10y = -16
II -4x + 10y = -16
<=> -16 = -16
I
2x – 5y = 8
I+II(a)
0=0
allgemeingültig
L = {(x/y)/y=2/5x – 8/5}
Dr. Martens
allgemeingültig
Gleichsetzungssysteme – Station 5
Sonderfälle
Übungen
Prüfe, ob es keine oder unendlich viele Lösungen gibt. Wende nur eines der drei
Verfahren an (Nimm das, welches du schon kennst -> Stationen 1-3!.
a)
I 2x – 354 = 2y
II 2y + 64 = 2x
b)
I 4x– 3y = 12
II 8x – 6y = 24
c)
I (x+y)(x-y) = 24
II x2 – y2 = 0
Aufgaben:
1. Schreibt die Überschrift, die Regel und das Beispiel in euer Regelheft!
2. Übertragt die Überschrift und die Übungsaufgaben in euer Übungsheft und
löst die Aufgaben.
Dr. Martens
Gleichsetzungssysteme – Station 5
Sonderfälle
Lösungen
a)
I 2x – 354 = 2y
II 2y + 64 = 2x / -2x – 2y
I
2x – 354 = 2y
IIa -2x + 64 = -2y
I
2x – 354 = 2y
I + II(a)
- 290 = 0
(Additionsverfahren)
=> keine Lösung: L = { }
b)
I 4x– 3y = 12
II 8x – 6y = 24
/ + 3y
I
4x = 12 + 3y / :4
<=> x = 3 + ¾ y
(Einsetzungsverfahren)
II
8 (3 + ¾ y) – 6y = 24
<=> 24 + 6y – 6y = 24
<=> 0 = 0
unendlich viele Lösungen: L = {(x/y)/y = 4/3 x -4}
c)
I (x+y)(x-y) = 24
II x2 – y2 = 0
Ia
II
(Gleichsetzungsverfahren)
x2 – y2 = 24
x2 – y2 = 0
24 = 0
keine Lösung: L = { }
Hausaufgabe:
Suche das am besten geeignete Lösungsverfahren!
a) 4x – 256 = 4y und 4x = 4y + 123
b) 2x – 3y = 14 und 4x – 6y = 28
c) 5x – 6y = 8 und -5x = - 6y + 10
Dr. Martens