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Methoden zur Bewertung von Credit Default Swaps
Dr. Walter Gruber (1 PLUS i GmbH); Sylvia Lause (Sparkasse Hannover)
Inhalt
Einführung......................................................................................................... 1
Modell der Discounted Spreads........................................................................ 3
Modell der Adjusted Spreads............................................................................ 4
Modell von JPMorgan ....................................................................................... 5
Einführung1
In einem Credit Default Swap (CDS) zahlt ein Kontrahent A (Sicherungsnehmer (SN))
eine periodische Versicherungsprämie an den Kontrahenten B (Sicherungsgeber (SG)).
2
Tritt ein festgelegtes Kreditereignis (sog. Credit Event) wie z.B.:
bankruptcy
restructuring
failure to pay
ein, so liefert der Sicherungsnehmer das (ausgefallene) Referenzasset (oder eines aus
einem Basket von lieferbaren Referenzassets) an den Sicherungsgeber und bekommt im
Austausch den Nominalbetrag vergütet (sog. physical delivery). Alternativ kann auch
„Cash settlement“ vereinbart werden; hier wird der Nominalbetrag abzüglich des gehandelten Marktwertes des Referenzassets vom Sicherungsgeber an den Sicherungsnehmer gezahlt.
Periodische Prämie
A (SN)
B (SG)
Zahlung bei Credit Event
Die vorliegende Ausarbeitung behandelt nun verschiedene grundlegende Bewertungsverfahren für einfache Credit Default Swaps (CDS).
Um einen CDS bewerten zu können, muss zunächst folgende Notation eingeführt werden:
N: Nominalbetrag des CDS (z.B. 10 Mio. EUR)
1
2
Im Folgenden wird das Vorhandensein von Grundlagenwissen über den Aufbau von risikolosen
und risikoadäquaten Zins- und Diskontkurven, Zinsswaps, Day-Count-Conventions, etc. vorausgesetzt.
Vollständige Liste der Credit Events sowie die genauen Spezifikationen siehe Credit Event
Definitions der ISDA, 2003.
T: Restlaufzeit des CDS (z.B. 5 Jahre)
n: Anzahl der ausstehenden Payments bis zum Ende des CDS
s: Par-Credit-Spread p.a. des Referenzassets; dabei bezeichnet:
•
s0 = Par-Credit-Spread des Referenzassets bei Eintritt in den CDS = ausgemachte Versicherungsprämie
•
sT = aktuell gehandelter Par-Credit-Spread des Referenzassets zur Restlaufzeit
T des CDS
•
si = aktuell gehandelter Par-Credit-Spread des Referenzassets zur Restlaufzeit
ti, i = 1, …, n
R: unterstellte Recovery Rate
∆i: Länge der i-ten Periode des CDS, i = 1, …, n
ri: risikolose Par-Rate zur Zeit ti, i = 1, …, n
p i kum : kumulierte Ausfallwahrscheinlichkeit des Referenzassets zur Zeit ti, i =
1, …, n
psurv
: Überlebenswahrscheinlichkeit des Referenzassets zur Zeit ti, i = 1, …, n;
i
= 1−pkum
es gilt: psurv
i
i
Schaut man sich die Zahlungsströme in einem CDS während seiner Laufzeit an, so
werden entsprechend der ausgemachten Zahlungsfrequenz (annually, semi-annually,
quartely) die Prämienzahlungen vom SN an den SG geleistet. Zahlungen, die auf ein
Wochenende oder einen Feiertag fallen, werden angepasst (i.d.R. nach der Konvention
following). Der SG erhält somit zu den Zahlungsterminen ti die Beträge: N ×s0 ×∆ i , i = 1,
…, n.
Für den Fall, dass das Credit Event vor der Fälligkeit eintritt (entweder physical delivery
oder cash settlement) erhält der SN vom SG die Ausgleichszahlung N × (1 − R) ; gleichzeitig wird der CDS terminiert; d.h. die Zahlungen des SN an den SG terminieren.
Diejenige Prämie s, für die der Wert des CDS Null ist, bezeichnet den „fairen“ CDSSpread für die entsprechende Laufzeit.
Bei der Bewertung eines CDS müssten „genau genommen“, neben der Bonität des Referenzassets, auch die Bonitäten der beiden Kontrahenten (also SG und SN) berücksichtigt werden. Alle gängigen, so auch die folgenden, Pricingmethoden ignorieren jedoch
die Bonitäten der beiden Kontrahenten, wodurch implizit das Vorhandensein von geeigneten Collateral Agreements (= Hinterlegung von Sicherheiten in Höhe des aktuellen
Marktwertes des CDS beim jeweils „vorne liegenden“ Kontrahenten) vorausgesetzt wird.
Zum Zeitpunkt des Eintritts in einen CDS ist die CDS-Prämie durch den Markt gegeben;
der Fair Value ist Null. Für den Fall, dass das Credit Event eintritt, ist der Fair Value
entsprechend über den Wert der Ausgleichszahlung gegeben. Die Frage der Bewertung
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stellt sich also gerade dann, wenn ein bestehender CDS in Abhängigkeit des aktuell
gehandelten Spreads bewertet werden soll, z.B. da er vorzeitig aufgelöst werden soll,
ohne dass das Credit Event eingetreten ist. Dabei ist zu berücksichtigen, dass neben
dem Fair Value des CDS auch noch die seit der letzten Prämienzahlung aufgelaufene
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CDS-Prämie berücksichtigt werden muss, die der SN an den SG zu leisten hat.
Im Folgenden werden drei Pricingverfahren erläutert: Discounted Spreads, Adjusted
Spreads und JPMorgan, die jeweils auch in Bloomberg gewählt werden können. Die
Bewertungsmethoden werden dabei aus Sicht des SG illustriert. Der Fair Value des CDS
für den SN ist offensichtlich gerade der negative Wert hiervon.
Modell der Discounted Spreads
Der Vorgehensweise dieses Modells liegt folgende Überlegung zugrunde:
So wie ein Zinswap sich in zwei Legs (z.B. Receive Leg: fest erhalten; Pay Leg: variabel
zahlen) aufteilen lässt, kann auch ein CDS in zwei Legs zerlegt werden. Das Premium
Leg, in dem der SG die bei Abschluss festgelegte CDS-Prämie entsprechend der Zahlungsfrequenz erhält und das Protection Leg. Dabei ist die aktuelle Werthaltigkeit des
Protection Legs einfach durch den aktuell gehandelten Spread des Referenzassets zur
verbleibenden Restlaufzeit gegeben. Es ist zu beachten, dass zwar der Spread des
Premium Legs tatsächlich als Cash Flow fliesst; der Cash Flow des Protection Legs
jedoch „fiktiv“ ist, also nicht fliesst; er könnte jedoch – z.B. falls der SN die Protection
weiterverkauft – in einen tatsächlichen Cash-Flow umgewandelt werden.
Die aktuelle „Werthaltigkeit“ des CDS ist dann einfach durch den Barwert der Differenz
aus originärem und aktuellem Spread für die Restlaufzeit gegeben. Bei der Abzinsung
der Spreaddifferenzen ist zu beachten, dass diese Differenz terminiert, sobald das Credit
Event bzgl. des Referenzassets eingetreten ist und somit selbst auch einem Ausfallrisiko
unterliegt, weswegen der Barwert nicht auf der risikolosen,4 sondern auf der risikoadäquaten (bezogen auf die Bonität des Referenzassets) Zinskurve bewertet wird. Dabei
ergibt sich die risikoadäquate Renditekurve aus der (Par-)Swapkurve zzgl. der ParCredit-Spread-Struktur des Referenzassets ri + si, i = 1, …,n.5
3
4
5
Die Vorgehensweise ist hier völlig analog zur Vorgehensweise bei einem einfachen Zinsswap,
der vorzeitig terminiert werden soll.
Hierfür wird in der Praxis die Swapkurve verwendet.
Dabei wird in der Praxis oft eine flache Par-Credit-Spread-Struktur verwendet.
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Stop der Zahlung bei Credit Event
Premium Leg:
Originär ausgemachte CDS-Prämie
...
Heute
t2
ti
T
...
Protection Leg:
Aktuell gehandelte CDS-Prämie
...
Verbleibender NettoCash-Flow
Abzinsung ergibt Fair Value
...
Sei dRA
der aus der risikoadäquaten Zinskurve6 ermittelte Diskontfaktor zur Zeit ti; dann
i
ist der Fair Value des CDS gegeben durch:
n
RA 

CDS(N; s0 ; sT ; dRA
i ; n) = N × (s0 −sT ) × ∑  ∆ i ×di 
i =1
Modell der Adjusted Spreads
Die Vorgehensweise beim Adjusted-Spreads-Modell ist fast vollkommen analog zur
Vorgehensweise beim Discounted-Spreads-Modell. Bei der Konstruktion der risikoadäquaten Renditekurve wird jedoch folgender Sachverhalt berücksichtigt: Die gehandelte
Par-Credit-Spread-Struktur des Referenzassets impliziert neben einer gehandelten Ausfallwahrscheinlichkeit gleichzeitig eine gehandelte Recovery-Rate. Insbesondere ist der
Sachverhalt gegeben, dass bei Eintritt des Credit Events kein Komplettausfall des Referenzassets geschieht, sondern die Recovery-Rate auf den Nominalbetrag erhalten wird.
Im Gegensatz dazu terminieren die Zahlungen und die Protection auf den CDS komplett.
Aus diesem Grund wird im Adjusted-Spreads-Modell der gehandelte Spread (impliziert
die gehandelte Recovery Rate) angepasst auf einen synthetischen Spread mit Recovery-Rate Null; er sei bezeichnet mit sadj
und es gilt:
i
si
adj
si =sadj
i ×(1 − R ) ⇔ s i = 1 − R
Die im Adjusted-Spreads-Modell verwendete risikoadäquate Renditekurve aus der (Par-)
Swapkurve zzgl. der (adjusted) Par-Credit-Spread-Struktur des Referenzassets ist damit
gegeben durch: r i +s iadj , i = 1, …,n. Auf der Basis dieser risikoadäquaten Renditekurve
werden die risikoadäquaten Diskontfaktoren ermittelt.
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Die risikoadäquate Zins(= Zero)-Kurve wird mittels Bootstrapping aus der risikoadäquaten
Renditekurve gewonnen.
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Die weitere Vorgehensweise ist vollkommen analog wie beim Discounted-SpreadsModell.
Modell von JPMorgan
Beim JPMorgan-Modell erfolgt die Bewertung eines CDS auf der Basis von impliziten
Ausfallwahrscheinlichkeiten. Dabei werden diese impliziten Ausfallwahrscheinlichkeiten
auf der Basis der folgenden „Idee“ aus den quotierten Par-Credit-Spreads si, i = 1, …n,
abgeleitet.
Ein CDS setzt sich wertmäßig aus der Differenz des Wertes des Premium Legs sowie
des Protection Legs zusammen.
Für einen CDS der Restlaufzeit ti (i = 1, …, n) der heute abgeschlossen wird, muss der
Wert des Premium und des Protection Legs gerade übereinstimmen. Sei (k = 1, …, i)
der aus der risikolosen Zinskurve abgeleitete Diskontfaktor zur Zeit tk,
dRLk
dann gilt
für die beiden Legs des CDS:
Premium Leg:7
 i

i  ∆

surv  
−
N × si × ∑  ∆ k ×dkRL ×pksurv  + ∑  k ×d RL∆k × pksurv
p


k

 −1
 
2
k+
k =1
k =1
2



Hierbei beschreibt der erste Term in der Klammer, den Wert der Prämienzahlungen für
die einzelnen Zahlungsperioden. Da diese Prämienzahlungen ausfallen, sobald das
Credit Event eintritt, müssen sie mit den entsprechenden Überlebenswahrscheinlichkeiten gewichtet werden.
Der zweite Term in der Klammer beschreibt den Wert der bei Ausfall innerhalb einer
Periode aufgelaufenen Prämie. Hierbei wird vereinfachend angenommen, dass der Ausfall – falls er geschieht – jeweils in der Mitte des Zeitintervalls anfällt. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Credit Event innerhalb der Periode passiert, gerade durch
p ksurv
−p ksurv gegeben.
−1
Protection Leg:
Bei der Bestimmung der Werthaltigkeit des Protection Legs wird unterstellt, dass:
Der Wert des CDS im Falle des Eintritts des Credit Events gerade durch den unbesicherten Teil des Nominalbetrags gegeben ist.
Der Ausfall wiederum in der Mitte der Zahlungsperiode geschieht.
7
=1
Hierbei gilt: p surv
0
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Unter diesen Annahmen ist der Wert des Protection Legs gegeben durch:
N × (1 − R ) ×
i 


surv 

∑  d RL∆k × pksurv
−1 −pk

k =1 k +

2


Aus der Notwendigkeit der Gleichheit der beiden Legs für jede Laufzeit ti (i = 1, …, n)
können nun sukzessive die Überlebensquoten p surv
und damit auch die kumulierten
i
Ausfallquoten pkum
bestimmt werden.8
i
Nun kann (aus Sicht des SG) leicht der Wert des CDS – abgeschlossen zum Spread s0 als Differenz von Premium und Protection Leg bestimmt werden:
n

n 
∆i RL

surv 
 psurv −psurv  
N× s0 ×∑  ∆i ×dRL
p
d
×
+
×
×



∑
i
i
i
∆i  i−1

 
2
i+
i=1
i=1
2





ni 
 
− N× (1 − R ) × ∑  dRL ∆i × psurv
−psurv

i

 i−1
i
+

i=1
2


8
Beachte: Diese impliziten Ausfallwahrscheinlichkeiten sind i.d.R. inkonsistent mit historisch
erhobenen Ausfallquoten; sie geben gerade die Einschätzung des CDS-Marktes bzgl. des
Eintretens des Credit Events an.
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