Mathematik

SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2006
Mathematik
(Leistungskursniveau)
Arbeitszeit: 300 Minuten
Es sind die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlpflichtaufgabe zu lösen.
Der Prüfling entscheidet sich für eine Wahlpflichtaufgabe.
Wahlpflichtaufgabe 4.1
Wahlpflichtaufgabe 4.2
(Unterschrift)
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SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2006
Pflichtaufgaben
MATHEMATIK (LEISTUNGSKURSNIVEAU)
Aufgabe 1
Analysis
Gegeben sind die Funktionen fa in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich durch
ln x + a
, a ∈R .
y = fa (x ) = 3 ⋅
x
Ihre Graphen seien Ga.
a)
Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen fa an und untersuchen Sie diese auf Nullstellen.
Ermitteln Sie die Art und Lage der lokalen Extrempunkte sowie eine Gleichung der
Ortskurve der lokalen Extrempunkte.
[Ergebnis zur Kontrolle : E a ( e 1−a f a ( e 1−a ))]
Zeichnen Sie den Graphen G1 und diese Ortskurve im Intervall 0 < x ≤ 8.
b)
Die Gerade durch den Punkt (1 | f1(1)) und den Schnittpunkt des Graphen G1 mit der
Abszissenachse sei g. Es gibt genau eine Stelle, an welcher der Graph G1 den gleichen Anstieg wie die Gerade g hat.
Berechnen Sie diese Stelle näherungsweise auf Hundertstel genau.
c)
Nennen Sie Schritte zum Ermitteln des Wertebereichs der Funktionen fa .
d)
Weisen Sie nach, dass y = Fa(x) = 1,5 ⋅ (ln x ) 2 + 3a ⋅ ln x eine Gleichung von Stammfunktionen der Funktionen fa ist.
Jeder der Graphen Ga, die x-Achse und die zur y-Achse parallele Gerade durch den
jeweiligen Extrempunkt begrenzen eine Fläche vollständig.
Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche unabhängig vom Wert des Parameters a ist.
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MATHEMATIK (LEISTUNGSKURSNIVEAU)
Pflichtaufgaben
Aufgabe 2
Analytische Geometrie
Ein Werkstück hat die Form eines schiefen Prismas ABCDEFGH, mit Parallelogrammen als
Begrenzungsflächen.
Dieses Prisma wird durch die Koordinaten der Eckpunkte
A(0 | 0 | 0), B(–2 | 8 | 0), C(–11 | 14 | 0) und E(3 | 3 | 15)
in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben; eine Einheit entspricht 10 mm.
a)
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D der Fläche ABCD sowie des Punktes H
der Fläche ADHE und stellen Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene auf, in
der die Fläche ADHE liegt.
b)
Berechnen Sie das Volumen des Werkstücks.
c)
In das Werkstück soll jeweils eine Bohrung senkrecht von der Fläche ABCD und senkrecht von der Fläche ADHE bis zum Punkt S(–3 | 8 | 4) erfolgen.
Berechnen Sie die Längen der einzelnen Bohrungen.
Begründen Sie, dass der Punkt S im Innern des Werkstücks liegt.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte, in denen jeweils der Bohrer anzusetzen ist.
(Ein Nachweis der Existenz der Punkte innerhalb der genannten Flächen ist nicht gefordert.)
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Pflichtaufgaben
MATHEMATIK (LEISTUNGSKURSNIVEAU)
Aufgabe 3
Stochastik
Ein Optik-Unternehmen fertigt optische Linsen verschiedener Art in sehr großer Anzahl.
Erfahrungsgemäß hat eine Linse mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 die geforderte Präzision.
a) Eine Serie umfasst 50 Linsen. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl derjenigen Linsen, die nicht die geforderte Präzision haben. Die Zufallsgröße X werde als binomialverteilt angenommen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Serie mehr als eine Linse enthält,
die nicht die geforderte Präzision hat.
Ermitteln Sie, welchen Umfang eine Stichprobe mindestens besitzen muss, damit sie mit
einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens eine Linse enthält, die nicht
die geforderte Präzision hat.
b) Für Linsensysteme werden jeweils drei Linsen zufällig ausgewählt.
Begründen Sie, warum dies als BERNOULLI-Kette angesehen werden kann und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens eine der ausgewählten Linsen die
geforderte Präzision hat.
Für verschiedene Linsensysteme werden insgesamt 500 Linsen der geforderten Präzision benötigt.
Berechnen Sie, wie viele Linsen mindestens verfügbar sein müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % nur Linsen der geforderten Präzision in diesen
Systemen zu verwenden.
Das Optik-Unternehmen hat die Qualität der Linsen verbessert. In einer Stichprobe von
50 Linsen haben mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 alle Linsen die geforderte
Präzision. Die Zufallsgröße Z beschreibe die Anzahl der Linsen, die die geforderte Präzision
haben. Diese Zufallsgröße werde als binomialverteilt angenommen.
c) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der nunmehr eine Linse die geforderte Präzision
hat.
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Wahlpflichtaufgaben
MATHEMATIK (LEISTUNGSKURSNIVEAU)
Aufgabe 4.1
Analysis
Eine Firma beauftragt vor Einführung eines neuen Produktes ein Marktforschungsinstitut mit
einer Marktanalyse. Es wird angenommen, dass die Anzahl n der pro Monat verkauften Stücke des Produktes nur vom Verkaufspreis x (in Euro) abhängt. Diese Abhängigkeit kann
durch die Gleichung
n(x) = 2,025 ⋅ 1012 ⋅ x −4
beschrieben werden.
Die Herstellungskosten seien k (in Euro je Stück).
Der Gewinn wird aus der Differenz der Einnahmen und der Herstellungskosten berechnet.
Er hängt von den Herstellungskosten k und vom Verkaufspreis x ab. Diese Abhängigkeit wird
durch Funktionen Gk mit Gk(x), x ∈ R und x > 0 sowie k ∈ R und k > 0, beschrieben.
Stellen Sie eine Gleichung für diese Funktionen Gk auf.
Ermitteln Sie denjenigen Verkaufspreis x (in Abhängigkeit von k), bei dem der monatliche
Gewinn maximal ist und geben Sie diesen Gewinn an.
Die Herstellungskosten k werden sich voraussichtlich um 10 % erhöhen.
Berechnen Sie die prozentuale Veränderung des maximalen Gewinns, wenn die Herstellungskosten k ursprünglich 150 Euro betragen haben.
Wahlpflichtaufgaben
Aufgabe 4.2
Analytische Geometrie
In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein regelmäßiges Sechseck ABCDEF durch die
Eckpunkte A(0 | –1 | 2), B(2 | 1 | 2) und D(4 | –1 | –2) gegeben.
Begründen Sie, dass ein regelmäßiges Sechseck in gleichseitige Dreiecke aufgeteilt wird,
wenn man den Mittelpunkt dieses Sechsecks jeweils mit den Eckpunkten verbindet.
Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes sowie die Maßzahl des Umkreisradius und
des Inkreisradius des Sechsecks ABCDEF.
Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte C und E des Sechsecks ABCDEF.
Das Sechseck ABCDEF werde durch senkrechte Parallelprojektion in die x-y-Ebene projiziert, dabei entsteht das Bild A’B’C’D’E’F’.
Schlussfolgern Sie aus den Koordinaten von Eckpunkten des Sechsecks ABCDEF, welche
Seiten des Sechsecks in wahrer Länge abgebildet werden und welche Seiten des Bildes die
x-Achse schneiden.
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