Einführung in die Quantenoptik II

Einführung in die Quantenoptik II
Sommersemester 2012
Carsten Henkel
Problem Set 1
Hand out: Wed 10 Apr 13
hand in: Wed 17 Apr 13
Problem 1.1 – Formatvorlagen von Zeitschriften der Physik und Optik (5
points)
Zeitschriften stellen ihren Autoren Formatvorlagen (“templates”) zur
Verfügung. Teilen Sie die unten angegebenen Zeitschriften unter sich auf
und finden Sie die entsprechenden Vorlagen im Netz. Jeder Studierende
sucht sich eine Zeitschrift und eine Vorlage aus und füllt diese mit folgenden
Elementen aus: Überschrift, Autoren, Anschriften, Zusammenfassung und das
Literaturverzeichnis mit den ersten drei Einträgen. Plagiieren Sie dazu die
Arbeit von Einstein, Podolski und Rosen (1935) über die Unvollständigkeit der
Quantenmechanik. Drucken Sie das Ergebnis aus und geben Sie es mit den
Übungsaufgaben ab. Eine der Aufgaben auf den nächsten Blättern werden Sie
in ähnlicher Form (unter Ihrem Namen!) elektronisch abgeben.
Nature Physics, Nature Photonics, Europhysics Letters, Optics Letters, Physical Review
A, Journal of Physics B, European Physical Journal D, Journal of Optics A, Journal of
modern Optics, Optics Communications, Journal of the Optical Society of America B,
Annalen der Physik (Berlin), Annals of Physics (N.Y.)
[Bonuspunkte:] ein ‘korrekt’ formatiertes Literaturverzeichnis.
Problem 1.2 – Harmonic Oscillator (10 points)
The harmonic oscillator is one of the “working horses” of quantum optics. Remember from the QM I lecture that its Hamilton operator can be written in the
form
P2
kQ2
H=
+
(1.1)
2m
2
where P and Q are canonically conjugate, Hermitean operators with commutation relation [P, Q] = −ih̄.
(i) Check that the Heisenberg equations of motion (A = P, Q is any operator)
dA
i
= [H, A]
(1.2)
dt
h̄
have the same form as the classical equations of motion for the Hamiltonian of
Eq.(1.1).
4
(ii) Consider the annihilation and creation operators
!
a=Q
k
P
+ i√
,
2h̄ω
2h̄ωm
a† = (a)†
(1.3)
and check that the Hamiltonian takes the form
H=
h̄ω †
(a a + aa† )
2
(1.4)
(iii) Describe why the names “annihilation” and “creation” operators correspond well to the commutation relations
[H, a† ] = +h̄ωa† .
[H, a] = −h̄ωa ,
(1.5)
Problem 1.3 – Quantum mechanics and particle loss (5 points)
Any cavity in the real world has some losses and to a good approximation, the
average photon number N obeys the rate equation
dN
= −κN
dt
(1.6)
where κ is the cavity loss rate. (Typical formulas are κ = ωc /Q with cavity
frequency ωc and quality factor Q, and κ = 2(1 − |r|2 )c/L with cavity length L
and reflection amplitude r of the two mirrors.)
(i) Eq.(1.6) is quite difficult to implement in quantum mechanics. Show that
the operator “photon number” N̂ = a† a is conserved under the time evolution
generated by the Hamiltonian H in Eq.(1.4).
(ii) In a similar way, let us introduce a state |ψ(t)# for the photons in the
cavity and interpret $ψ(t)|ψ(t)# as the “probability of finding a photon in the
cavity”. Show from the Schrödinger equation
d$ψ(t)|ψ(t)#
=0
dt
(1.7)
so that the photons “cannot get lost.”
Bemerkung. Ganz genau ist die oben formulierte Interpretation von $ψ(t)|ψ(t)# als
Wahrscheinlichkeit nicht, denn in der richtigen Quanten-Beschreibung von Photonen in
einem Resonator taucht auch die Wahrscheinlichkeits-Amplitude für den Vakuum-Zustand
(= null Photonen) auf.
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