Der Gaußsche Algorithmus Aufgabe 1: Jedes der folgenden

Klasse
10 BSplus
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
Der Gaußsche Algorithmus
1 (7)
Aufgabe 1: Jedes der folgenden linearen Gleichungssysteme hat genau eine Lösung. Berechne sie. Warum ist die Berechnung hier besonders einfach? Welche der drei Formen ist am übersichtlichsten?
a)
b)
c)
x1 
x2
x2


x3
x3
x3
 7
 3
 1
2x 1 
x1
3x1
4x 2
 3x 3
 x3
 0
 2
 6
x1
2x 1

2x 2
3x 2
 x2
 3x 3
 5
 9
 7
Der bedeutendste deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) hat 1810 ein Verfahren angegeben, mit dem sich lineare Gleichungssysteme auf Stufenform bringen und dann
bequem lösen lassen. Es war ein Nebenprodukt seiner mathematischen Untersuchungen des
Planetoiden Pallas. Das Verfahren verallgemeinert das von den 2,2-Systemen her bekannte
Additionsverfahren. Gauß zu Ehren bezeichnet man es als Gauß-Verfahren oder GaußAlgorithmus.
Der Gauß-Algorithmus beruht auf zwei elementaren Umformungen, die die Lösungsmenge des
Gleichungssystems nicht verändern (Äquivalenzumformungen):

Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl (0)

Ersetzen einer Gleichung durch die Summe aus ihr und dem Vielfachen einer anderen
Klasse
10 BSplus
Der Gaußsche Algorithmus
Lösungen
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
1 (7)
a) x1 = 4; x2 = 2; x3 = 1
b) x1 = 2; x2 = -1; x3 = 0
c) x1 = 5; x2 = 3; x3 = -2
22.04.14
Erstellt von Eva-Maria Helle
Klasse
10 BSplus
Der Gaußsche Algorithmus
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
2 (7)
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
2 (7)
Arbeiten Sie das
nebenstehende Beispiel
durch:
Klasse
10 BSplus
Der Gaußsche Algorithmus
Lösungen
Bei
der
praktischen
Durchführung lässt man der
Einfachheit
halber
die
Variablen weg und schreibt
nur die Koeffizienten und die
rechten Seiten hin. Zur
besseren Übersicht trennt ein
senkrechter Strich rechte und
linke Seiten:
22.04.14
Erstellt von Eva-Maria Helle
Klasse
10 BSplus
Der Gaußsche Algorithmus
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
3 (7)
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
3 (7)
Aufgabe 2: Löse das Gleichungssystem:
10x1  x 2
x1
 2x 2
4x1  4x 2
Klasse
10 BSplus
 2x 3
 2x 3
 3x 3
 2
 3
 5
Der Gaußsche Algorithmus
Lösungen
10 1  2 2
1 2 2 3
4 4 3 5
10
1
2
2
0  19  22  28
0 18
19
21
10
1
2
2
0  19  22  28
0
0
 35  105
 1  


L    2  
 3  
22.04.14
Erstellt von Eva-Maria Helle
Klasse
10 BSplus
Der Gaußsche Algorithmus
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
4 (7)
Aufgabe 3: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren:
2x 1  3 x 2
x 1  2x 2
3x1  8x 2
Klasse
10 BSplus
 x3
 3x 3
 5x 3
 4
 1
 5
Der Gaußsche Algorithmus
Lösungen
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
4 (7)
1 2
3 1
2  3 1 4
3 8 5 5
1
2
3
1
0 7 7 2
0  14  14 2
1 2
3
1
0 7 7 2
0 0
0 2
22.04.14

0 = - 2  keine Lösung
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Klasse
10 BSplus
Der Gaußsche Algorithmus
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
5 (7)
Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren:
x 1  2x 2
2x 1  x 2
4x1  3x 2
Klasse
12 DBF
 3x 3
 4x 3
 2x 3
 6
 2
 14
Der Gaußsche Algorithmus
Lösungen
1 2 3 6
2 1 4
2
4 3  2 14
Station 2
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
x1
2. x 2
x2
3. x 3 6
2. x 3 2
x1
5 (7)
2. x 2
x 2 2. x 3
1 2 3
6
0  5 10  10
0  5 10  10
x3 k
1 2 3
6
0  5 10  10
0 0
0
0
Nullzeile lässtman weg
x1
1 2 3
6
0  5 10  10
22.04.14
x 2 2. k
k
3. x 3
6
2
2
2
 2  k  


L   2k  2  
 k  


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Klasse
10 BSplus
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
Der Gaußsche Algorithmus
6 (7)
Aufgabe 5:
Die Königskrone hat eine Masse von 60 Mina und besteht aus Gold, Blei, Kupfer und Eisen. Dabei ergeben Gold
und Kupfer 32 der Masse, Gold und Blei 34 der Masse sowie Gold und Eisen 35 der Masse.
Wieviel von jedem Metall ist in der Krone enthalten?
Schreiben Sie diese Aufgabe des griechischen Mathematikers Metrodor
a)
als lineares Gleichungssystem
b)
in vereinfachter Schreibweise.
Lösen Sie das LGS mit dem Gaußschen Algorithmus.
Der Gaußsche Algorithmus
Lösungen
Klasse
10 BSplus
Lösung:
a)
g b k e
g b
g
k
g
e
 60
 45
 40
 36
mathematisches Thema
Lineare Gleichungssysteme
b)
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
6 (7)
60
45
45
36
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
60
15
40
36
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
60
15
20
24
1
0
0
0
1
1
0
0
1 1 60
0 1 20
1 1 15
1 1 4
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
60
15
20
36
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
60
20
15
24
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
22.04.14
1
1
1
2
60
20
15
11
Erstellt von Eva-Maria Helle
x1
x2
x3
x2
x3
x 4 60
x 4 15
2. x 4 11
22.04.14
c) Die Krone enthielt 30,5 Mina Gold, 14,5 Mina Blei,
9,5 Mina Kupfer und 5,5 Mina Eisen.
x 4 20
x4
11
2
x3
x4
15
x 3 = 9.5
x2
x4
20
x 2 = 14.5
x1
x2
x3
x4
60
x 1 = 30.5
Erstellt von Eva-Maria Helle