5. April 2014

Musterlösung: Zweite Klausur in
Thermodynamik und statistischer Physik (T4)
5. April 2014
Bitte ausfüllen:
Vorname und Nachname:
Matrikelnummer:
Anzahl der Extrablätter:
Ergebnis veröffentlichen?
Ja
Nein
Nicht unterhalb dieser Linie schreiben.
Kommentare:
Aufgabe 1
/ 30 P
Aufgabe 2
/ 15 P
Gesamt
Aufgabe 3
/ 25 P
Note
Aufgabe 4
/ 20 P
/ 90 P
Name und Matrikelnummer:
1 Kurzfragen (30 P)
(i) Wie groß ist der maximale Wirkungsgrad eines Kreisprozesses zwischen Wärmereservoirs mit Temperaturen 0 ◦ C und 100 ◦ C?
Solution: The highest efficiency of a thermodynamical cycle is realized by the Carnot cycle. Its
efficiency η reads as
η =1−
100
Tl
=
≈ 0.27.
Th
373
(1)
(ii) Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme eines idealen, ultrarelativistischen (E = |~
p|c), klassischen
Gases. R
∞
Hinweis: 0 x2 e−x dx = 2
Solution: We assume that the N particles are indistinguishable. In this case we canonical partition
function takes the form Z = Z1N /N !, where Z1 is the partition function of a single particle system. Z1
is evaluated as follows:
Z ∞
Z 3 3
4πV
4πV
d pd q −βpc
dp p2 e−βpc =
e
=
×2
(2)
Z1 =
(2π~)3
(2π~)3 0
(2π~βc)3
(iii) Eine Mischung aus mehreren Gasen hat bei fester Temperatur und Druck das thermodynamische
Gleichgewicht erreicht. Welches thermodynamische Potential ist in diesem Zustand minimal? Geben
Sie das vollständige Differential für das Potential an.
Solution: If the total pressure and temperature are fixed, the Gibbs free energy G = F + pV is
minimized. Its total differential reads as
dG = µ dN + V dp − S dT.
(3)
(iv) Betrachten Sie ein mikrokanonisches Ensemble bestehend aus N unterscheidbaren, nicht wechselwirkenden Teilchen, die sich jeweils in einem von zwei Zuständen befinden können. Die Energien der beiden
Zustände seien 0 und E. Die Gesamtenergie des Systems sei U = nE mit n ∈ N0 . Berechnen Sie die
Entropie des Ensembles.
Solution: Since the total energy of the system is fixed, the most likely ensemble is the microcanonical
ensemble. In this ensemble all states are equally probable so that the entropy can be calculated using
the Boltzmann formula S = −k log Ω(U ), where Ω(U ) counts the number of microstates with total
energy U . Obviously, the only reasonable range for n is 0 ≤ n ≤ N . If the total energy is U = nE,
exactly n out of the N particles have
to be in the excited state. Since the particles are distinguishable,
this is tantamount to Ω(nE) = N
n .
(v) Vergleichen Sie qualitativ die Vorhersagen des Debye-Modells und des Einstein-Modells für die spezifische Wärmekapazität eines Festkörpers.
Solution: The Debye model predicts the correct behaviour of the specific heat at high temperatures
CV ∼ 3N kB and at low temperature CV ∼ const. × T 3 , while the Einstein model is only capable of
predicting the high temperature limit.
(vi) Welche Werte kann das chemische Potential eines idealen Fermigases annehmen?
Solution: For a Fermi gas there is no bound for the chemical potential: −∞ < µ ≤ µF < ∞. At
fixed particle number it is generically less than the Fermi energy. In the high temperature limit we
have µ → −∞.
(vii) Skizzieren Sie die Besetzungszahl n() als Funktion der Energie für ein ideales Fermigas für T = 0
und T > 0.
Solution: For T = 0 the Fermi distribution is a step function of height −1 at the Fermi energy. For
T > 0 the step is smeared. (Points only for the qualitatively correct graphs).
(viii) Geben Sie jeweils ein Beispiel für einen Phasenübergang erster und zweiter Ordnung an. Nennen Sie
die entsprechenden Ordnungsparameter.
Solution: A possible solution would be:
The ferromagnetic phase transition of the Ising model is second order. The order parameter is the
magnetization.
Evaporation of water is first order. The order parameter is the density of particles.
Klausur T4
Seite 1 von 8
5. April 2014
Name und Matrikelnummer:
(ix) Geben Sie die Zustandgleichung eines van-der-Waals Gases an und interpretieren Sie die auftretenden
Parameter.
Solution: The van-der-Waals equation of state is given by
aN 2
(4)
N kB T = p + 2 (V − N b) .
V
The parameter b > 0 is the proper volume of a particle obtained by approximating the repulsive
short-range forces with a hard sphere potential.
The parameter a > 0 describes long ranged attractive forces between the particles.
(x) Gegeben sei ein quantenmechanisches System mit einem zweidimensionalen Hilbertraum. Entscheiden
Sie jeweils ob die folgenden Operatoren, beschrieben durch ihre Matrixelemente in einer Orthonormalbasis, Dichtematrizen sind. Ferner unterscheiden Sie zwischen reinen und gemischten Zuständen.


0 i

a) 
keine Dichtematrix
reiner Zustand
gemischter Zustand
−i 0


9
12i
1 

keine Dichtematrix
reiner Zustand
gemischter Zustand
b) 25
−12i 16


9
5
−
8i
1 
 keine Dichtematrix
c) 30
reiner Zustand
gemischter Zustand
5 + 8i
21


1/2 −i/2

keine Dichtematrix
reiner Zustand
gemischter Zustand
d) 
−i/2 1/2
Solution:
No density matrix, pure state, mixed states, no density matrix.
(xi) Wie lauten die vier Hauptsätze der Thermodynamik?
Solution: The four laws of thermodynamics are
a) If subsystems A and B are in thermal equilibrium, as are B and C, so are A and C.
b) The total energy is conserved: dU = δQ + δW
c) Entropy of a closed system cannot decrease.
d) Entropy at T → 0 is zero.
Klausur T4
Seite 2 von 8
5. April 2014
Name und Matrikelnummer:
2 Entropie im mikrokanonischen Ensemble (15 P)
Betrachten Sie ein ideales, klassisches, nicht-relativistisches Gas bestehend aus N Teilchen in einem Volumen
V im mikrokanonischen Ensemble. Nehmen Sie weiterhin an, dass gelte N 1.
(i) Die Energie einer Konfiguration werde mit E bezeichnet. Berechnen Sie das Phasenraumvolumen von
Konfigurationen mit Energien E0 − ∆ < E ≤ E0 in führender Ordnung in N .
(ii) Berechnen Sie die Entropie des Ensembles.
(iii) Zeigen Sie, dass U = 23 N kB T . Drücken Sie die Entropie durch N , V und T aus.
Hinweise: Die Oberfläche SD der Einheitskugel in RD+1 ist gegeben durch
D+1
SD
2π 2
=
.
Γ( D+1
2 )
Benutzen Sie die Stirlingsche Näherung
log (Γ(n + 1)) = log(n!) = n · log n − n + O(log n).
Klausur T4
Seite 3 von 8
5. April 2014
Name und Matrikelnummer:
3 Molekularfeldnäherung im Ising-Modell (25 P)
Betrachten Sie ein ferromagnetisches Ising-Modell von N Spins si ∈ {±1}, i = 1, 2, . . . , N auf einem Gitter
in d Dimensionen, wobei jeder Gitterplatz z nächsten Nachbarn habe. Beispielsweise ist für ein quadratisches
Gitter in zwei Dimensionen z = 4. Die Energie einer Konfiguration des Systems sei gegeben durch
X
X
H = −g
si sj − h
si .
(5)
i
hi,ji
P
Hierbei ist g > 0 eine positiver Kopplungskonstante und h ein externes Magnetfeld. hi,ji bezeichne die
Summe über alle Paare nächster Nachbarn. Im folgenden soll über der Molekularfeldnäherung (mean field
approximation) die Landausche freie Energie des Systems abgeleitet werden.
(i) Bestimmen Sie den Hamiltonian in der Molekularfeldnäherung HM F indem Sie den Wert jeden Spins
in einen mittleren, vom Gitterplatz unabhängigen Wert m und einen gitterplatzabhängigen, fluktuierenden Teil δsi aufgespalten: si ≡ m + δsi . Vernachlässigen Sie Terme zweiter Ordnung in δsi und
drücken Sie das Ergebnis δsi wieder durch
P si aus.
Ergebnis: HM F = C(m, N ) − hef f (m) i si . C and hef f sind hier von Ihnen zu bestimmende Funktionen.
Solution: Plug-in the spin expansion in the first part of the Hamiltonian.
X
X
H = −g
(m + δsi )(m + δsj ) − h
si
i
hi,ji
Expand the product ignoring O(δs2i ) terms.
Go back then from δsi to si and obtain
HMF = −g
X
(−m2 + 2msi ) − h
X
si
i
hi,ji
Transform the sum variables and notice that only the nearest neighbor interaction is relevant. Doing
this we count every pair twice so we compensate this with a 1/2 factor and a summation over the
interaction pairs:
X
1X X
(−m2 + 2msi ) − h
si
HMF = −g
2 i
i
inter.: i,j
Calculate the trivial sums to find the final result
HMF =
X
1
gm2 zN − (h + gmz)
si
2
i
(ii) Berechnen Sie die Zustandssumme und die freie Energie FM F des Systems in der Näherung gegeben
durch HM F .
2
N
Zwischenergebnis: ZM F = e−βgm N z/2 [2 cosh (β(h + mgz))]
Solution: Argue that you can consider the system as N one-body systems → No interaction term.
Write the one-body partition function
Zone-body = e−βgm
2
z/2
2 cosh (β(h + mgz))
Find the final expression for ZMF using
N
ZMF = Zone-body
In order to find the free energy of the system we recall the relation between the energy and the partition
function:
1
F = − log Z
β
Use this formula to derive the expression for FMF
FMF =
Klausur T4
1
N
gm2 zN −
log[2 cosh(βheff )]
2
β
Seite 4 von 8
5. April 2014
Name und Matrikelnummer:
(iii) FM F (T, h; m) hat die Form eines Landaufunktionals. Der bisher unbekannte Ordnungsparameter m
wird nun durch die Bedingung bestimmt, dass der physikalisch realisierte Wert m0 durch das Minimum
von FM F gegeben ist:
∂FM F (T, h; m)
|m0 = 0.
(6)
∂m
Zeigen Sie, dass sich daraus für m0 folgende Gleichung ergibt:
m0 = tanh [β(h + zgm0 )] .
Solution:
(7)
The minimizing condition is
∂FMF (T, h; m) ∂m
=0
m0
Compute the derivation and solve for m0 to get
m0 = tanh [β(h + zgm0 )]
(iv) Betrachten Sie in dieser Teilaufgabe den Fall h = 0.
Bestimmen Sie die Lösungen dieser Gleichung graphisch für grosse und kleine Temperatur T.
Berechnen Sie die kritische Temperatur Tc , unterhalb welcher sich eine ferromagnetische Phase mit
m0 6= 0 einstellt. Ist der Phasenübergang an Tc erster oder zweiter Ordnung (mit Begründung)?
Solution: Setting h = 0 we get m0 = tanh(βzgm0 ). Draw the condition on a 2-dimensional graph
using a x- and y-axes m0 and tanh(βgzm0 ) respectively.
Clearly the solution m0 = 0 (paramagnetism) exits for all temperatures (6= 0), but the solution m0 6= 0
(ferromagnitism) exists only for T small enough, such that the initial slope of tanh(βgzm0 ) is larger
than 1 near zero.
The critical temperature for which this happens arises after setting the derivate equal to one, always
near zero. Therefore we approximate
tanh x ∼ x
∂ tanh(βc gzm0 )
= βc gz = 1
∂m0
and we read the critical temperature from βc
Tc =
gz
kB
In the case of a ferromagnet the transition is said to be a continuous or second-order phase transition,
because the order parameter field changes continuously from one phase to another.
2
4
(v) Verwenden Sie die Entwicklung ln [2 cosh(x)] = ln 2 + x2 − x4 + O(x6 ), um die freie Energie in der
Nähe von Tc , |T − Tc | Tc bis zur vierten Ordnung in m und zur ersten Ordnung in h zu entwicklen.
Zeigen Sie damit, dass für die kritischen Exponenten gilt: β = 1/2, γ = 1.
(Hinweis: Die kritischen Exponenten sind definiert durch m0 ∼ (Tc − T )β für T ≤ Tc und χ ∼
|T − Tc |−γ .)
Solution: Insert the log approximation into the free energy function found in the previous part of
this exercise. Obtain using some constants
FMF = const + const
m20
2
a0
+
(T − Tc ) − const(T − Tc )2
2b0
Where we considered the physics around Tc , therefore we can wrote Tc =
gz
kB .
Using the given approximations the Landau free energy is given by the above equation. In equilibrium
the Landau free energy is minimal (variational method), hence, we need
a0
2
m0 +
(T − Tc ) m0 = 0
2b0
Klausur T4
Seite 5 von 8
5. April 2014
Name und Matrikelnummer:
In order to find the critical exponent β we are using the solution m0 6= 0 for T ≤ Tc and we read
1
m0 ∼ (Tc − T ) 2 .
In order to find the critical exponent of the susceptibility χ = ∂m/∂h at h = 0 we differentiate the
self-consistency equation:
χ=
∂m
1
(β + βgzχ) = (β + βgzχ)(1 − m2 )
|h=0 =
∂h
cosh(βmgz)2
(8)
Solving this equation for χ,
χ=
β(1 − m2 )
1 − m2
=
1 − βgz(1 − m2 )
gz
T
Tc
1
,
− 1 + m2
(9)
and using the fact that m = 0 at T = Tc , we observe that χ ∼ |T − Tc |−1 , so that γ = 1.
Klausur T4
Seite 6 von 8
5. April 2014
Name und Matrikelnummer:
4 Bose-Einstein-Kondensation (20 P)
Betrachten Sie ein System nicht wechselwirkender Bosonen mit Zustandsdichte g() = Kα , wobei K eine
Konstante ist und α > −1 ist. Das großkanonische Potential Ω des Systems bei inverser Temperatur β und
chemischen Potential µ ist gegeben durch
Z ∞
(10)
d g() log 1 − e−β(−µ) .
βΩ =
0
(i) Welche Werte haben K und α für freie, nicht relativistische, skalare Bosonen in d Raumdimensionen
p2
mit Dispersionsrelation = 2m
? Hinweis: Benutzen Sie den Hinweis aus Aufgabe 2.
Solution: The density of states g() for this system is given by
Z
dd p
,
(11)
g()d =
V
(2π~)d
S d−1
where the integral is over the angular part of the measure. Performing the integration and expression
p in terms of using the dispersion relation, yields:
g()d = 2V
π d/2
(2mπ)d/2 d/2−1
d−1
p
dp
=
V
d.
(2π~)d Γ(d/2)
(2π~)d Γ(d/2)
(12)
From this formula one can read off the values of K and α to be:
K=V
α=
(2mπ)d/2
(2π~)d Γ(d/2)
d
− 1.
2
(13)
(14)
(ii) Leiten Sie eine hinreichende Bedingung an α und K ab, sodass Bose-Einstein-Kondensation stattfinden
kann. Bestimmen Sie die kritische Temperatur Tc . Folgern Sie, dass das System aus Teilaufgabe (i) nur
für d > 2 Bose-Einstein-Kondensation zeigen kann.
Solution: A criterion for BE-condensation can be derived from the boundedness of N . For a noninteracting Bose-system, the expectation value of the particle number is given as
Z ∞
Z ∞
1
xα
−α−1
N=
d g() β(−µ)
= Kβ
dx −βµ x
= Kβ −α−1 Γ(α + 1)Liα+1 (eβµ ).
(15)
e
e −1
e
−1
0
0
For a Bose system we have µ ≤ 0, so that 0 < eβµ ≤ 1. On that region the polylogarithm is strongly
increasing so that we derive the bound
N
β α+1
≤ Kζ(α + 1).
Γ(α + 1)
(16)
Now, we see that for α > 0 that the LHS at fixed volume (enters through K) is bounded from above,
but as β α+1 can be made arbitrarily large, we conclude that particle number conservation implies that
at some critical temperature βc the ground state = 0 has to acquire a non-zero occupation number.
Hence, BE condensation is possible for α > 0.
The critical temperature is deduced to be
Kζ(α + 1)Γ(α + 1)
= βcα+1 .
N
(17)
If −1 < α < 0, the expression for the particle number N converges only, if µ < 0. In particular the
bound given by the ζ-function is not valid any more, as ζ(s) for s < 1 is obtained by an analytic
continuation that is not compatible with the limit z → 1. Let zn be a monotonic series converging to
1, then the integrands for fixed zn are integrable functions that are non-negative and increasing. Using
monotone convergence, we find that we are allowed to switch the order of limit and integration. But
then the integral is divergent, so that N cannot have an upper bound. In this case no BE-condensation
can take place, so that α > 0 is also necessary.
Applying these results to part (i), we find that free bosons only exhibit BE-condensation, if d > 2.
Klausur T4
Seite 7 von 8
5. April 2014
Name und Matrikelnummer:
(iii) Bestimmen Sie für das System auf Teilaufgabe (i) pV als Funktion von T für T ≤ Tc .
Solution: In the thermodynamic limit we have the relation Ω = −pV . Using the given formula for
the grand potential, we arrive at
Z ∞
βpV = −
d G0 () log(1 − e−β(−µ) ) =
Z ∞0
β
− G() log(1 − e−β(−µ) )|∞
(18)
d G() β(−µ)
=
=0 ,
e
−1
0
where G0 () = g() with G(0) = 0. Using L’Hopital’s rule we find that the boundary terms vanish.
For the given density of states one finds then
Z ∞
α+1
Kβ −α−2
K
=
pV =
d β(−µ)
Γ(α + 2)Liα+2 (eβµ ).
α+1 0
α+1
e
−1
(19)
If T ≤ Tc , we have µ = 0 and therefore we find
pV β α+2 = Kζ(α + 2)Γ(α + 1)
pV β
d/2+1
= Kζ(d/2 + 1)Γ(d/2).
(20)
(21)
(iv) Skizzieren Sie die Isothermen in einem p − V -Diagramm für T ≤ Tc . Bestimmen Sie für festes T ≤ Tc
das kritische Volumen in Abhängigkeit vom Druck und skizzieren Sie diese kritische Linie im p − V Diagramm.
Solution: For the given system we have K ∝ V , so that for T ≤ Tc we find that for fixed T p does
not depend on V , hence the isothermal lines are horizontal lines.
From the definition of the critical temperature it follows that βc depends on the volume V . As V is
increased, βc increases as well, i.e. the critical temperature decreases. So we are in the condensate
phase as long as
β d/2 ≥ βcd/2 =
K
Γ(d/2)ζ(d/2).
N
(22)
Since we have K = αV , where α is independent of V , it follows that the upper bound on the volume
is given as
Vc =
d
β d/2 N
∝ N p− d+2 ,
αζ(d/2)Γ(d/2)
(23)
up to some irrelevant constant depending on the dimension d and masses m. The critical line looks
like a hyperbola.
Hinweis: Sie können ohne Beweis folgende Formeln benutzen:
ζ(s) =
1
Γ(s)
∞
X
xs−1
1
=
x−1
s
e
n
0
n=1
Z ∞
Γ(s) =
dt ts−1 e−t
Z
∞
dx
0
Γ(n + 1) = n! ∀n ∈ N
zΓ(z) = Γ(z + 1)
√
1
Γ
= π
2
Klausur T4
Seite 8 von 8
5. April 2014