Quanten- und Gravitationsfelder (Quantum and Gravitational Fields)

Transcription

Quanten- und Gravitationsfelder
(Quantum and Gravitational Fields)
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Sprecher:
Prof. Dr. Andreas Wipf
Stellvertreter:
Prof. Dr. Bernd Brügmann
Prof. Dr. Vladimir Matveev
Förderperiode: 01. April 2009 – 30. September 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Teilprojektleiter
1
2 Kooperationsparter
2
3 Zusammenfassung, Summary
3.1 In Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 In Englisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Profil des Graduiertenkollegs
3
5 Forschungsprogramm
5.1 Zentrale Forschungsideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Q: Quantenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Q1: Stark korrelierte Fermionsysteme . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Q2: Quantenfeldtheorie und Simulation von Nanostrukturen . . . .
5.2.3 Q3: Algorithmen für hochdimensionale Systeme . . . . . . . . . .
5.2.4 Q4: Supersymmetrische Feldtheorien . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Q5: Effektive Wirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 G: Gravitationsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 G1: Gravitierende Binärsysteme mit Spin . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 G2: Killing-Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 G3: Stationäre und axialsymmetrische Vakuum-Gravitationsfelder
5.3.4 G4: Numerische Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Qualifizierungskonzept
6.1 Studienprogramm . . . . . . . . .
6.1.1 Stufe 1: Grundausbildung .
6.1.2 Stufe 2: Vertiefungsphase .
6.1.3 Ergänzende Lehrangebote
6.2 Gastwissenschaftlerprogramm . .
6.3 Inhalte der Lehrveranstaltungen .
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1 TEILPROJEKTLEITER
1 Teilprojektleiter
Sprecher: Prof. Dr. Andreas Wipf
Theoretisch-Physikalisches-Institut, Max-Wien-Platz 1, 07743 Jena
Telefon/Fax: 03641/94-7130/7102, email: [email protected]
Internet: http://www.tpi.uni-jena.de/qfphysics/members.html
Fachgebiet: Quantenfeldtheorie
Prof. Dr. Friedhelm Bechstedt
Institut für Festkörpertheorie und -optik, Max-Wien-Platz 1, 07743 Jena
Internet: http://www.ifto.uni-jena.de/∼bechsted/
Fachgebiet: Theoretische Festkörperphysik
Prof. Dr. Bernd Brügmann
Theoretisch-Physikalisches Institut, Max-Wien-Platz 1, 07743 Jena
Internet: http://www.tpi.uni-jena.de/gravity/People/bruegmann/
Fachgebiet: Gravitationsphysik, numerische Relativitätstheorie
Prof. Dr. Holger Gies (Heisenbergprofessor)
Theoretisch-Physikalisches-Institut, Max-Wien-Platz 1, 07743 Jena
Internet: http://www.tpi.uni-jena.de/qfphysics/members.html
Fachgebiet: Quantenfeldtheorie, Teilchenphysik
Prof. Vladimir Matveev
Mathematisches Institut, Ernst-Abbe-Platz 2, 07743 Jena
Internet: http://www.minet.uni-jena.de/˜matveev
Fachgebiet: Differentialgeometrie
Prof. Dr. Reinhard Meinel
Internet: http://www.tpi.uni-jena.de/gravity/People/meinel/
Fachgebiet: Gravitationsphysik
Prof. Dr. Erich Novak
Internet: http://www.minet.uni-jena.de/˜novak
Fachgebiet: Theoretische Numerik
Prof. Dr. Gerhard Schäfer
Internet: http://www.tpi.uni-jena.de/gravity/People/schaefer/
Fachgebiet: Gravitationsphysik
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3 ZUSAMMENFASSUNG, SUMMARY
Prof. Dr. Burkhard Külshammer (assoziiertes Mitglied)
Internet: http://www.minet.uni-jena.de/algebra/
Fachgebiet: Algebra
2 Kooperationsparter
Internationale Kooperationspartner (in alphabetischer Ordnung)
Prof. M. Asorey, Zaragoza
Prof. U. von Barth, Lund
Prof. R. L. Bryant, Berkeley
Prof. A. Chatterjee, Hyderabad
Prof. T. Damour, Bures-sur-Yvette
Prof. C. Gattringer, Graz
Prof. G. Kresse, Wien
Prof. C. Schubert, Morelia
Prof. W. Tichy, Boca Raton
Prof. P. van Baal, Leiden
Prof. J. Bičák, Prag
Prof. S. Catterall, Syracuse
Prof. P. Chruściel, Oxford
Prof. G.V. Dunne, Connecticut
Prof. P. Jaranowski, Białystok
Prof. N. Ó Murchadha, Cork
Prof. L. Scolfaro, Sao Paulo
Prof. H. Woźniakowski, New York
3 Zusammenfassung, Summary
3.1 In Deutsch
Die Theorie der Quantenfelder ist sowohl aus erkenntnistheoretischer Sicht als auch im Hinblick
auf zukunftsorientierte Anwendungen von fundamentaler Bedeutung. Quantenfelder beschreiben
die fundamentalen Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik und sind wesentlich für die
Konstruktion von Theorien jenseits des Standardmodells. Sie spielen in Mikro- und Nanotechnologie eine zunehmend wichtige Rolle und sind unverzichtbar bei der Untersuchung von Phasenübergängen in Vielteilchensystemen. Die auf großen Skalen dominierende universelle Gravitationskraft wird dagegen sehr erfolgreich durch das Gravitationsfeld beschrieben. Wegen der
bevorstehenden Gravitationswellenastronomie mit ihren Implikationen für Astrophysik und Kosmologie, ist eine vertiefte Kenntnis anwendungsbezogener Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen dringend geboten.
Die physikalische Forschung auf den Gebieten der Feldtheorie profitiert von der methodischen
Nähe und gegenseitigen Befruchtung von Physik und Mathematik. Methoden der modernen Differentialgeometrie sind wichtig bei der Lösung und Untersuchung von nichtlinearen Feldgleichungen. Lösungsansätze mit Symmetrien und die dabei auftretenden integrablen Strukturen bilden
eine wichtige Schnittstelle zwischen Feldtheorie und Differentialgeometrie. Optimierte numerische
und stochastische Methoden gewinnen zunehmend an Bedeutung bei der Simulation von Quantenfeldtheorien in Teilchen- und Festkörperphysik.
Theoretische Physik und Angewandte Mathematik sind Forschungsschwerpunkte der FriedrichSchiller-Universität Jena. Durch eine aktive Berufungspolitik wurden Numerische Relativitätstheorie, Quantenfeldtheorie und Differentialgeometrie nachhaltig gestärkt. Durch die Bündelung der
Forschungskompetenzen auf diesen Gebieten, auch dokumentiert durch die Mitwirkung an drei
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4 PROFIL DES GRADUIERTENKOLLEGS
3.2 In Englisch
3
Sonderforschungsbereichen und einer Forschergruppe, soll ein attraktives und international sichtbares Graduiertenkolleg ins Leben gerufen werden. Dazu bietet das Kolleg ein klar gegliedertes, abgestimmtes und forschungsorientiertes Angebot an Vorlesungszyklen, Seminaren zu weiterführenden Themen, regelmäßigen Arbeitstreffen und Klausurtagungen sowie ein internationales Gäste- und Austauschprogramm. Darin eingebunden sind auswärtige Partner, die bereit sind,
die Ausbildung durch Aufnahme und Beratung der Kollegiaten1 und/oder Gastvorlesungen zu unterstützen.
3.2 In Englisch
The Theory of Quantum Fields is of great importance for gaining deeper insight into the fundamental laws of nature and has an increasing impact on novel applications. Quantum fields successfully
describe the fundamental interactions in elementary particle physics and are of utmost importance
for theories beyond the standard model. At the same time the theory of quantum fields plays an
increasingly important role in micro- and nano-technology and is an indispensable tool to study
phase transitions in many-body systems. On large scales the universal gravitational force described by the Gravitational Field dominates. Through the burgeoning field of gravitational wave
astronomy with its far reaching implications for astrophysics and cosmology, a deeper knowledge
of realistic solutions of the Einstein field equations is urgently needed.
Research in Field Theory profits considerably from mathematical methods and the interdependency of physics and mathematics. For example, the methods from modern Differential Geometry
are needed for solving and investigating nonlinear field equations. Ansaetze and thereby emerging integrable structures are at the interface between Field Theory and Differential Geometry. At
the same time numerical and stochastic methods become increasingly important, for example in
simulations of quantum field theories in elementary-particle and solid-state physics.
Theoretical Physics and Applied Mathematics are main areas of research at the Friedrich-SchillerUniversity Jena. Our hiring policy has strengthened the areas of Numerical Relativity, Quantum
Field Theory and Differential Geometry considerably. By combining the research competence of
the applicants, as for example documented by their active involvement in three DFG Collaborative
Research Centres and one DFG Priority Program an attractive and internationally visible graduate
center should emerge. For that purpose we offer a well-structured and research-oriented schedule
of lecture courses and seminars on specialized topics, regular workshops, internal meetings and
a program of international visitors and exchange opportunities. Partners from various Universities
have agreed to cooperate with the graduate centre and to help with the training of the students.
This will be achieved by hosting some of the graduate students, by advising them or by offering
special lectures.
4 Profil des Graduiertenkollegs
Allen mit den Prinzipien der Relativitätstheorie verträglichen Wechselwirkungen liegen nach unserem jetzigen Kenntnisstand kovariante Feldtheorien zugrunde.
Die universelle und langreichweitige Schwerkraft wird auf gegenwärtig zugänglichen Skalen sehr
erfolgreich durch die nichtlinearen Einsteinschen Feldgleichungen für das metrische Feld mit Ener1
Im Folgenden werden wir zur Vereinfachung durchweg die männliche Form gebrauchen, wo Wissenschaftlerinnen
und Wissenschaftler, Antragstellerinnen und Antragsteller, Doktorandinnen und Doktoranden, etc. gemeint sind.
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4
gie und Impuls der Materie als Quelle beschrieben. Mit Hinblick auf die bald erwartete Detektion
von Gravitationswellen steht hier eine möglichst genaue Berechnung von Systemen mit kompakten Objekten, zum Beispiel von zwei Schwarzen Löchern, im Vordergrund. Systeme mit starken Gravitationsfeldern werden im Graduiertenkolleg in mehreren konkreten Projekten bearbeitet.
Fortschritte sollen im Bereich exakter Lösungen, verbesserter und zum Teil auf effektiven Wirkungen beruhender Näherungen im post-Newtonschen Zugang und der numerischen Relativität mit
neuen analytischen und numerischen Methoden erzielt werden. In engem Zusammenhang zu den
gravitierenden Binärsystemen mit Spin stehen die differentialgeometrischen Untersuchungen von
Erhaltungsgrößen. Die dabei erzielten Resultate sind auch für supersymmetrische Feldtheorien
relevant.
Unser Verständnis der Wechselwirkungen in der Mikrophysik beruht dagegen auf der Theorie von
quantisierten Feldern. Diese ist unentbehrlich bei der Behandlung elementarer oder kollektiver
Anregungen in der Elementarteilchenphysik, der Laser-Quantenelektrodynamik oder der Vielteilchenphysik. Fortschritte sind hier von modernen funktionalen Methoden zur Beschreibung effektiver Freiheitsgrade oder verbesserten Algorithmen zur Simulation von Systemen mit sehr vielen
Freiheitsgraden zu erwarten. Die Themen im Graduiertenkolleg reichen von Untersuchungen relativistischer Effekte in Festkörpern, kollektiver Freiheitsgrade in stark korrelierten Fermionsystemen, Fluktuations-induzierten Effekten in der Quantenelektrodynamik bis hin zu Untersuchungen
supersymmetrischer Feldtheorien. Bei einer numerischen Behandlung von Quantenfeldtheorien
treten hochdimensionale Integrale auf, deren Berechnung mit stochastischen Methoden im Kolleg
untersucht werden sollen. Diese sind wichtig für Simulationen von Gitterfeldtheorien, Weltliniensimulationen für Quantenkorrelatoren und die Behandlung von Vielkörpersystemen.
Die im geplanten Kolleg vertretenen und im Abschnitt 5 im Einzelnen vorgestellten Arbeitsgebiete
der Gravitations- und Quantentheorie sind hochaktuell und werden weltweit verfolgt. Dies kommt
auch durch die Anbindung der Antragsteller an drei Sonderforschungsbereiche, eine Forschergruppe und ein Schwerpunktprogramm klar zum Ausdruck. Die Gravitationstheoretiker Bernd
Brügmann, Reinhard Meinel und Gerhard Schäfer sind Sprecher bzw. Antragsteller des SFB/Transregio-7 Gravitationswellenastronomie“, die Quantenfeldtheoretiker Holger Gies und Andreas Wipf
”
sind Projektleiter im SFB/Transregio-18 Relativistic Laser Plasma Dynamics“, Holger Gies wirkt
”
bei der Forschergruppe FOR 723 Functional Renormalization Group for Correlated Fermion Sy”
stems“ mit und Friedhelm Bechstedt im SFB F25 über Nanostrukturen und Infrarot-Photonik“.
”
Das Diagramm auf Seite 6 zeigt wichtige inhaltliche Verbindungen im geplanten Kolleg.
Die Antragsteller unterhalten vielfältige Beziehungen zu in- und ausländischen Partnern, wie es
auch in ihren Publikationslisten dokumentiert ist. Die Professoren Bechstedt, Matveev, Schäfer,
Gies und Wipf sind oder waren Mitglieder von europäischen Netzwerken oder Schwerpunktprogrammen der DFG, so dass die Aktivitäten des Kollegs mit nationalen und internationalen Forschungsprogrammen bestens verzahnt sind.
Folgende namhafte Wissenschaftler haben sich bereit erklärt, Doktoranden für einige Zeit an ihrer
Einrichtung aufzunehmen und/oder in Jena Vortragsreihen im Rahmen des Kollegs zu halten:
M. Asorey (Zaragoza), A. Ashtekar (Penn State), U. von Barth (Lund), T. Baumgarte
(Bowdoin), J. Bičák (Prag), R.L. Bryant (Berkeley), S. Catterall (Syracuse), P. Chruściel
(Oxford), T. Damour (Bures-sur-Yvette), G. Dunne (Connecticut), J. Fröhlich (Zürich),
C. Gattringer (Graz), E. Gourgoulhon (Paris), C. Gundlach (Southampton), S. Hands
(Swansea), J.W. van Holten (Amsterdam), G. Huisken (Potsdam), P. Jaranowski (Białystok),
P. Laguna (Penn State), C. Lubich (Tübingen), G. Kresse (Wien), G. Münster (Münster),
N. Ó Murchadha (Cork), H. Nicolai (Potsdam), L. Rezzolla (Potsdam), K. Ritter (Darm————————————
5
stadt), L. Scolfaro (Sao Paulo), C. Schubert (Morelia), W. Tichy (Boca Raton), C. Wetterich (Heidelberg), H. Woźniakowski (Columbia).
Die Kollegiaten sollen frühzeitig mit den Partnern des Kollegs bekannt werden und kooperieren.
Das auf Seite 31 dargestellte Qualifizierungskonzept soll den Kollegiaten Grundkompetenzen in
den Forschungsgebieten vermitteln und sie mit deren wesentlichen Inhalten und Methoden vertraut machen. Es soll ihnen ermöglichen, in den gewählten Disziplinen aktiv an Forschungsprojekten mitzuarbeiten. Dazu wird in regelmäßigen Abständen ein Zyklus an Vorlesungen und Seminaren gehalten, der auf zwei Stufen den Kollegiaten zunächst eine Grundausbildung in Quantenfeldtheorie, Gravitationstheorie und Mathematischen Methoden vermittelt und sie anschließend an die
im Kolleg vertretenen Forschungsgebiete heranführt. Daneben haben die Kollegiaten die Möglichkeit, an den Blockveranstaltungen der etablierten Physik-Combo, einer gemeinsamen Veranstaltung der Theorie-Institute in Halle, Jena und Leipzig, teilzunehmen. Ergänzt wird das Vorlesungsund Seminarprogramm durch Arbeitstreffen und Klausurtagungen sowie ein attraktives Gästeprogramm. Jeder Doktorand hat einen hauptverantwortlichen Betreuer und einen Mentor aus den
Reihen der beteiligten Wissenschaftler, mit denen er den aktuellen Stand und Fortgang seiner
Arbeit bespricht.
Im deutschsprachigen Raum gibt es keine andere Universität an der ähnlich erfolgreich wie in
Jena auf dem Gebiet der analytischen und numerischen Gravitation mit Anwendungen in der relativistischen Astrophysik und gleichzeitig auf Gebieten der analytischen und numerischen Quantenfeldtheorie mit Anwendungen in Teilchen- und Vielkörperphysik geforscht und gelehrt wird. Die
Forschungsrichtungen haben während der letzten Jahre durch die Berufung von Bernd Brügmann,
Holger Gies und Vladimir Matveev eine beträchtliche Stärkung erfahren. Ein weiterer Ruf im Bereich Analysis mit Schwerpunkt Schrödingeroperatoren“ ist kürzlich ergangen. Während des er”
sten Jahres der Förderperiode wird sich der Neuberufene sehr wahrscheinlich über einen Nachantrag am Kolleg beteiligen. Er wird den vorliegenden Antrag im Bereich der Quantentheorie weiter
stärken. Der Ausbau der Kooperation zwischen Theoretischen Physikern und Mathematikern ist
erklärtes Ziel der Physikalisch-Astonomischen Fakultät und Fakultät für Mathematik und Informatik.
Bereits in den letzten Jahren ergaben sich zwischen den am Antrag beteiligten Wissenschaftlern
enge Beziehungen in Lehre und Forschung. Ihre Forschungsgebiete in einem Kolleg zu bündeln
ist daher eine wichtige Weiterentwicklung der Strukturen vor Ort, um in systematischer Synergie
Nachwuchswissenschaftler auszubilden und zu fördern. Wir möchten begabten jungen theoretischen und mathematischen Physikern die Chance bieten, an aktuellen Entwicklungen teilzuhaben
und diese aktiv mitzugestalten. Dabei wird gerade die Ausbildung in der Breite der modernen Forschungsfelder ein entscheidender Faktor für zukünftigen wissenschaftlichen Fortschritt sein. Ein
zweiter wichtiger Faktor ist die internationale Einbettung, die durch direkte Kontakte der Kollegiaten zu kompetenten Wissenschaftlern und den Mitarbeitern der drei Sonderforschungsbereiche
und internationalen Netzwerke möglich wird. Wegen der zunehmenden Verzahnung von Quantenfeldtheorie und Gravitationstheorie sowohl auf der Grundlage der mathematischen Methoden
als auch in den astrophysikalischen und kosmologischen Anwendungen brauchen wir zukünftig
erfolgreiche Quantentheoretiker mit fundierten Kenntnissen der Gravitation ebenso dringend wie
erfolgreiche Gravitationstheoretiker mit fundierten Kenntnissen über Quantentheorien.
————————————
6
5 FORSCHUNGSPROGRAMM
5 Forschungsprogramm
5.1 Zentrale Forschungsideen
Die Theorien der Quanten- und Gravitationsfelder mit wichtigen mathematischen Methoden
SFB/F25, SFB/TR-18, FOR 723
Quantenfelder
Spineffekte in Festkörpern
Stark korrelierte Fermionen
Supersymmetrische Theorien
Effektive Wirkungen
SFB/TR-7
effektive Dynamik
starke Felder
Gravitationsfelder
Schwarze Löcher mit Spin
Numerische Relativitätstheorie
Anfangs/Randwertprobleme
Strenge Lösungen
ien
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thm
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ie
isk
ret
isie
run
g
Mitteldeutsche
Physik-Combo
SPP 1154
Mathematische Methoden
Differentialgeometrie, Integrable Systeme, Symmetrien
Partielle Differentialgleichungen, Stochastische Algorithmen
stehen im Zentrum des beantragten Graduiertenkollegs. Die Forschungsgebiete mit ihren vielfältigen inhaltlichen und methodischen Gemeinsamkeiten sind im obigen Diagramm dargestellt.
Der erste Schwerpunkt des Kollegs ist der quantenfeldtheoretischen Beschreibung fermionischer
Vielteilchensysteme und deren Ankopplung an bosonische Felder gewidmet. Im Teilprojekt Q1
stehen Untersuchungen von stark korrelierten Fermionsystemen im Vordergrund. Hier geht es
um ein quantitatives Verständnis kollektiver Eigenschaften wie die Kondensation fermionischer
Bindungszustände. Mit Hilfe der funktionalen Renormierungsgruppe soll der kontinuierliche Übergang von mikroskopischen fermionischen zu makroskopisch zusammengesetzten bosonischen
Freiheitsgraden beschrieben werden. Verwandt damit ist die die analytische und numerische Beschreibung von Nanostrukturen unter Berücksichtigung der elektronischen Spinfreiheitsgrade, die
mit Hilfe von Dichtefunktionaltheorie, Molekulardynamiknäherung oder Greenfunktionsmethoden
im Teilprojekt Q2 geleistet werden soll. In mehreren Projekten kommen stochastische Methoden
zum Einsatz. Auch deshalb sollen im Teilprojekt Q3 randomisierte Algorithmen zur Approximation
hochdimensionaler Integrale untersucht, weiterentwickelt und optimiert werden. Hier soll die wichtige Leitfähigkeit von lokalen und globalen Algorithmen für Spinmodelle und nichtlineare Sigma-
————————————
5.1 Zentrale Forschungsideen
7
Modelle abgeschätzt und verglichen werden. Derartige Resultate sind bei der Simulation von Nanostrukturen und der Behandlung von Fermion-Boson-Systemen von Nutzen. Auch im Teilprojekt
Q4 kommen stochastische Algorithmen bei der Simulation von supersymmetrischen Gittertheorien
zum Einsatz. Die Supersymmetrie ist Bestandteil vieler Versuche eine einheitliche Theorie jenseits
des Standardmodells der Teilchenphysik zu finden. Im Projekt sollen nichtstörungstheoretische
Effekte wie Phasenübergänge oder die Brechung der Supersymmetrie untersucht werden. Dabei
kommen ausgefeilte analytische und numerische Methoden wie die funktionale Renormierungsgruppe oder neueste Simulationsalgorithmen für Gittertheorien mit dynamischen Fermionen zum
Einsatz. Bei vielen Untersuchungen von klassischen oder Quantensystemen steht die Berechnung
der effektiven Wirkung für relevante und meist makroskopische Freiheitsgrade im Vordergrund.
Deshalb ist im Graduiertenkolleg diesem in Quantenfeld- und Gravitationstheorie gleichermaßen
universell einsetzbaren Werkzeug ein eigenes Teilprojekt Q5 gewidmet. Es sollen neue Methoden zur Berechnung von effektiven Wirkungen weiterentwickelt und für konkrete physikalische
Systeme angewandt werden. Zu diesen Methoden gehören der Weltlinienzugang zur Quantenfeldtheorie, funktionale Methoden sowie inverse Monte-Carlo-Techniken. Von besonderem Interesse sind Anwendungen im Bereich der Quantenelektrodynamik in starken Feldern (wie derzeit
in einigen optischen Experimenten realisiert, ein entsprechendes Experiment wird am Institut für
Optik und Quantenelektronik in Jena vorbereitet), in Eichtheorien, der effektiven Beschreibung von
binären gravitierenden Systemen in der post-Newtonschen Näherung, dem Hawking-Effekt oder
der Quantengravitation.
Der zweite Schwerpunkt des Graduiertenkollegs handelt von Gravitationsfeldern in der Umgebung
von kompakten astrophysikalischen Objekten und der Bewegung derartiger Objekte in starken
Gravitationsfeldern. Eine analytische Behandlung der Bewegung von Körpern mit Eigenrotation
gehört zu den großen Herausforderungen der Einsteinschen Gravitationstheorie und ist Gegenstand des Teilprojekts G1. Die effektive Dynamik gravitierender Binärsysteme soll hier in der Hamiltonschen Formulierung und post-Newtonschen Näherung möglichst genau berechnet und für
konkrete Situationen gelöst werden. Auch die im Teilprojekt Q5 weiterentwickelte Methode der
effektiven Wirkungen ist hier anwendbar. Bei der Lösung der Bewegungsgleichungen für Spin
und Bahn von kompakten Objekten sind vorhandene Erhaltungsgrößen nützlich, die mit Hilfe von
Killing-Tensoren konstruiert werden können. Die Theorie der Killing- und Killing-Yano-Tensoren
und ihre Beziehung zu Krümmungsinvarianten werden im Teilprojekt G2 untersucht. Man kann
die Killing-Gleichungen als Feldgleichungen interpretieren und mit Methoden der Feldtheorie versuchen, Krümmungsinvarianten zu finden, die genau dann verschwinden, wenn die gegebene
Metrik Killing-Tensoren zulässt. Killing-Yano-Tensoren treten auch bei den im Teilprojekt Q4 untersuchten Feldtheorien mit mehreren Supersymmetrien auf. Im Teilprojekt G3 sollen physikalisch
relevante stationäre und axialsymmetrische Lösungen der Vakuum-Einstein-Gleichungen konstruiert werden. Die auftretende integrable Ernst-Gleichung wird mit Methoden der Solitonentheorie
behandelt. Dabei geht es um physikalische Anwendungen der in Jena mitentwickelten Lösungsmethoden aber auch um die Entwicklung eines allgemeinen Verfahrens zur Lösung von Randwertproblemen der Ernstgleichung. Die Lösungen sind in modifizierter Form auch einsetzbar als
axialsymmetrische Anfangsdaten bei der numerischen Lösung der Einsteinschen Vakuumfeldgleichungen im Bereich starker und dynamischer Gravitationsfelder im Teilprojekt G4. Hier soll mit
Hilfe von parallelisierten Algorithmen die Bahnbewegung zweier Schwarzer Löcher mit Spin kurz
vor ihrer Verschmelzung möglichst lange verfolgt werden, auch um Wellentemplates für die Detektion von Gravitationswellen zu erstellen. Bei der Behandlung des Zweikörperproblems in der
Numerischen Relativitätstheorie gab es in letzter Zeit vielbeachtete Beiträge der Jenaer Arbeits-
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5.2
Q: Quantenfelder
8
gruppe Numerische Relativitätstheorie.
Anknüpfend an bereits bestehende Forschungsprojekte oder gemeinsame Publikationen zwischen
den Antragstellern über konventionelle Fächergrenzen hinweg, z.B. zwischen Meinel und Wipf,
besteht der ausdrückliche Wunsch aller Antragsteller, in Zukunft auf den zentralen Forschungsfeldern der beteiligten Institute enger zusammenzuarbeiten und die vorhandenen Kompetenzen zu
bündeln, um auf den nun im Einzelnen beschriebenen Teilgebieten der Theorie von klassischen
und quantisierten Feldern Fortschritte zu erzielen.
5.2 Q: Quantenfelder
5.2.1 Q1: Stark korrelierte Fermionsysteme
Alle bislang bekannte Materie in der Natur ist fermionischen Ursprungs. Insbesondere stark korrelierte Fermionen sind Ursache für eine Vielzahl von physikalischen Phänomenen in Quantensystemen ebenso wie in statistischen Systemen.
Stand der Forschung
Systeme wechselwirkender Fermionen stellen eine besondere Herausforderung für alle feldtheoretischen Methoden dar. Während die fermionischen Freiheitsgrade auf mikrosopischer Ebene relevant bzw. fundamental sind, können zusammengesetzte, oft bosonische Freiheitsgrade auf makroskopischer Ebene wesentlich für die Physik sein. Besonders deutlich wird dies bei kollektiven
Phänomenen wie der Kondensation fermionischer Bindungszustände, z.B. in nicht-relativistischen
Theorien beim Übergang in eine BCS suprafluide Phase [1] oder in relativistischen Theorien
bei chiralen Phasenübergängen [2], welche kennzeichnend für starke fermionische Korrelation
sind. Die Kopplung zwischen fermionischen und bosonischen Freiheitsgraden in fermionischen
Systemen ist auch in Projekt Q2 von zentraler Bedeutung. Eine quantitative Beschreibung der
Übergänge von mikroskopischen zu makroskopischen Freiheitsgraden ist eine Herausforderung
für die Quantenfeldtheorie (QFT).
Ein vielfach verwendetes Verfahren beruht auf partieller Bosonisierung (Hubbard-StratonovichTransformation) [3], welche sowohl in Teilchenphysik (z.B. in Niederenergie-QCD-Modellen) als
auch in Festkörperphysik (z.B. im Hubbard-Modell oder Hertz-Millis-Theorie) Anwendung findet,
und mit weiteren analytischen und numerischen Methoden verknüpft werden kann. Diese analytischen Zugänge, wie z.B. mean-field -Theorie, Bogolyubov-Theorie, ǫ- oder 1/N -Entwicklungen,
oder Hartree-Fock-Methoden sind oft nur gültig in bestimmten parametrischen Limites oder berücksichtigen bisweilen vorhandene Symmetrien nur unzureichend. Numerische Simulationsmethoden
werden bei fermionischen Systemen oft wegen Vorzeichen-Problemen exponentiell ineffizient oder
sind für bestimmte Symmetrien und Zahl von Freiheitsgraden nur beschränkt einsetzbar.
Eigene Vorarbeiten
Mit Hilfe der funktionalen Renormierungsgruppe (RG) als ab-initio Methode ist es uns gelungen,
die Transformation von mikroskopischen fermionischen zu makroskopischen zusammengesetzten bosonischen Freiheitsgraden (z.B. Cooper-Paare, Mesonen) kontinuierlich zu beschreiben [4].
Es zeigt sich, dass diese skalenabhängige Rebosonisierung dem physikalisch kontinuierlichen
Aufbau von Bindungszuständen erheblich besser angepasst ist und eine Reihe von technischen
Problemen in Standardzugängen direkt löst, so dass die Vorhersagekraft von Approximationsverfahren deutlich verbessert wird.
Erfolgreiche Anwendungen dieses Verfahrens haben z.B. in der Ein-Flavor-QCD einen generellen
Mechanismus zugänglich gemacht, wie sich das System ausgehend von perturbativen Quarks
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5.2
Q: Quantenfelder
9
in die gebrochene Phase bei niedrigen Energien und einem bosonischen Meson als Freiheitsgrad entwickelt [5]. Desweiteren ließ sich das Jahrzehnte alte Landau-Pol-Problem der QED im
Einklang mit Gitterrechnungen klären [6, 7]. Für das derzeit hochaktuelle Problem des BEC-BCS
crossover in fermionischen ultrakalten Quantengasen ergibt sich in diesem Zugang ein einfaches
Bild für das gesamte Phasendiagramm mit kritischem Verhalten in den O(2) Ising Universalitätsklasse [8].
Das Auftreten von kritischem Verhalten oder kollektiven Phänomenen lässt sich mit der funktionalen RG auch direkt mit Hilfe von charakteristischen fermionischen Instabilitäten entdecken. Damit
ist eine genauere Bestimmung der kritischen Flavorzahl in der Viel-Flavor-QCD gelungen [9], jenseits der keine chirale Symmetriebrechung geschieht und quasi-konformes Verhalten einsetzt.
Neueste Gitterrechnungen bestätigen diese Vorhersage [10]. Ähnlich gute Übereinstimmung zeigt
sich auch bei der Bestimmung der kritischen Temperatur für den chiralen Phasenübergang bei
kleineren Flavorzahlen [11].
Ziele und Arbeitsprogramm
Das Projekt soll sich aktuellen Herausforderungen in unterschiedlichsten Gebieten mit vereinheitlichender Methodik widmen:
Ein erstes Gebiet von sowohl theoretisch als auch phänomenologisch hoher Relevanz ist das
quantenkritische Verhalten von 3-dimensionalen relativistisch fermionischen Modellen in Abhängigkeit der Fermionflavorzahl Nf . Insbesondere das Thirring-Modell und QED3 werden derzeit als effektive Theorien für unterschiedliche Bereiche im Phasendiagramm von Hochtemperatur-KupratSupraleitern diskutiert [12]; QED3 ist darüberhinaus eine effektive Theorie für Graphene. Für diese
Interpretation ist jedoch die kritische Flavorzahl, jenseits der chirale Symmetriebrechung verloren
geht, von fundamentaler Bedeutung und erstes Ziel dieses Projekts. Für das Thirring-Modell oder
QED3 liegen Abschätzungen z.B. aus Dyson-Schwinger-Gleichungen im Bereich Nfc ≃ 3/2 . . . ∞;
neueste Gitterrechnungen im Thirring-Modell deuten auf Nfc ≃ 6.6 hin [13], für QED3 reichen
heutige Rechnerkapazitäten noch nicht aus. Im Rahmen dieser Untersuchung soll zunächst die
vollständige Basis von fermionischen 4-Punkt Funktionen im punktförmigen Limes klassifiziert
werden, die mit den vorliegenden chiralen Symmetrien kompatibel sind. Im Rahmen einer systematischen Ableitungsentwicklung sollen dann die RG-Flüsse dieser Basisfunktionen bestimmt
und auf Instabilitäten hin untersucht werden, wobei die Variation von Nf als Kontrolparameter des
quantenkritischen Verhaltens eine Abschätzung der kritischen Flavorzahl Nfc erlaubt. Regulatorstudien können schließlich den systematischen Fehler abgeschätzen, so dass eine quantitative
Aussage darüber möglich wird, ob der für Kupratsupraleiter wichtige Wert von Nf = 2 wie erhofft
in der chiral gebrochenen Phase liegt.
In ultrakalten fermionischen Atomgasen ist insbesondere der BEC-BCS crossover und die Phasenstruktur dieser Quantengase bei ungleichen Spindichten von besonderem Interesse nicht nur
für die Atomphysik sondern auch für vergleichbare Systeme in Festkörper-, Kern- und Astroteilchenphysik. Aktuelle Experimente mit kalten Gasen zeigen z.T. widersprüchliche Ergebnisse zur
Existenz eines trikritischen Punktes in Abhängigkeit vom spin-imbalance-Parameter. Erste rein fermionische RG-Rechnungen liefern Hinweise auf einen trikritischen Punkt [14], um das volle Phasendiagramm aufzulösen muss aber der Fluss einschliesslich der Transformation zu bosonischen
Freiheitsgraden gelöst werden. Aufbauend auf Vorarbeiten [8] und Rebosonisierungstechniken
soll also speziell das effektive Potential für Cooper-Paar-Kondensation studiert werden. Daraus
sind nicht nur das Phasendiagramm sondern auch experimentell zugängliche Observable wie die
Blasenspannung des Kondensates in einer optischen Falle berechenbar.
In der QCD steht der fermionische Quarksektor unter starkem Einfluss des gluonischen Sektors.
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LITERATUR
Literatur
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Das Phasendiagramm entsteht aus einem komplexen Wechselspiel zwischen Quarkfreiheitsgraden, Bindungszuständen und starker gluonischer Kopplung. Aufbauend auf bisherigen Resultaten für die kritische Temperatur des chiralen Phasenübergangs [11] soll die Phasengrenze bei
endlichem chemischen Potential µ für die Quarks bestimmt werden. Da die Flussgleichungen in
Ableitungsentwicklung analytisch zugänglich sind, sollen insbesondere die Koeffizienten der Phasengrenze in einer Entwicklung nach µ2 /T 2 bestimmt werden, welche direkt mit Gitterrechnungen
verglichen werden können.
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Beispiele von Promotionsthemen:
1. Quantenphasenübergänge in 3d relativistischen Fermionsystemen
2. Phasenstruktur von ultrakalten Atomgasen mit ungleicher Spindichte
3. Chirale Dynamik und Phasenstruktur der QCD
Literatur
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5.2.2 Q2: Quantenfeldtheorie und Simulation von Nanostrukturen
Die quantenfeldtheoretische Beschreibung und Simulation elektrischer, magnetischer und optischer Eigenschaften von Nanostrukturen soll realisiert werden. Insbesondere werden der Quantentransport auf molekularen Längenskalen sowie molekulare Magneten modelliert. Die dabei
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LITERATUR
Literatur
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auftretende Beeinflussung der fermionischen Felder durch Anregungen und/oder Ankopplung bosonischer Felder soll unter besonderer Berücksichtigung der Randbedingungen und Spinfreiheitsgrade sowohl analytisch als auch numerisch untersucht werden.
Die verwendeten Konzepte reichen von typischen Festkörper-Methoden wie Dichtefunktionaltheorie, Molekulardynamik oder Dichtematrizen bis hin zu der in der Elementarteilchenphysik gebräuchlichen Technik der Greenschen Funktionen (Dyson-Gleichung, Bornsche Näherung, kanonische Transformation, Keldysh-Formalismus). Zur parameterfreien (ab initio) Beschreibung der
Effekte der Elektron-Elektron-Wechselwirkung (Exzitonen) und Elektron-Phonon-Wechselwirkung
(Polaronen) sowie von Systemen mit intrinsischer Spin-Polarisation (Spin-Bahn und Spin-SpinWechselwirkung, Wechselwirkung mit äußerem Magnetfeld) kommen hochparallelisierte und in
Jena entwickelte Finite-Differenzen-Verfahren auf Multigrids bzw. k-Raum-Methoden zum Einsatz.
Stand der Forschung
Trotz der Wichtigkeit des Spinfreiheitsgrades für die elektronischen Eigenschaften von Festkörpern
beschränkt sich seine praktische Behandlung immer noch auf die Annahme kollinearer Spins
[1]. Diese Beschränkung gilt für die langjährigen Untersuchungen der Grundzustände im Rahmen von ab initio Dichtefunktionaltheorien, aber auch für die ersten Versuche, die Einteilchenanregungszustände unter Berücksichtigung der Spinpolarisation zu bestimmen [2]. Seit kurzem
werden erste Versuche unternommen, zumindest in Bandstrukturberechnungen, den Effekt von
nicht-kollinearen Spins und damit der vollen Spin-Bahn-Wechselwirkung einzubeziehen [3]. Es
gibt aber noch keinen praktischen Ansatz, Vielteilcheneffekte auf diesem Niveau für Systeme mit
schweren Elementen zu beschreiben. Auch die Theorie für spindominierte Quantenfelder (z.B.
Spindichte-Wellen) bzw. ladungsstabilisierte bosonenartige Felder (z.B. Exzitonen) ist ziemlich
unterentwickelt. Die Nanostrukturierung, also die räumliche Quantisierung, führt zu zusätzlichen
Problemen und völlig ungeklärten Fragestellungen. Für eindimensionale Systeme zeigen Modellrechnungen einen Übergang von der Fermi-Flüssigkeit zur Luttinger-Flüssigkeit an [4], der durch
die Trennung von Ladung und Spin der wechselwirkenden Elektronen gekennzeichnet sein soll.
Die elektronischen Strukturen von Festkörpern mit starker Elektronenkorrelation können immer
noch nicht vollständig beschrieben werden [5].
Die stetig zunehmende Erforschung spinabhängiger Phänomene in Festkörpern wirft neue Fragen
auf. Es werden ständig neue Effekte wie Quanten-Spin-Ströme [6] und magnetische Eigenschaften von Grenzflächen nichtmagnetischer Materialien [7] entdeckt. Obwohl noch unverstanden,
zeichnet sich doch als wichtiger Mechanismus die Beeinflussung der Spin-Bahn-Wechselwirkung
durch künstliche räumliche Inhomogenitäten infolge von Nanostrukturierung und damit Grenzflächen ab. Generell ist die Frage der gegenseitigen Beeinflussung von Spinpolarisation und Nanostrukturen eine ungeklärte fundamentale Fragestellung mit möglichen praktischen Auswirkungen auf den Magnetismus von Nanokristallen [8] oder der Präparation von molekularen Magneten
[9]. Die Konsequenzen für meßbare spektrale Eigenschaften wie der Rashba-Effekt in niederdimensionalem System sowie die generellen Auswirkungen (Vergrößerung oder Verkleinerung) auf
Spin-Aufspaltungen werden kontrovers diskutiert.
Nanostrukturen mit ihren Grenzflächen beeinflussen nicht nur den Spinfreiheitsgrad der Elektronen sondern auch die Ladung. Die eigentlich triviale Frage nach dem elektronischen Strom durch
ein Molekül oder eine andere Nanostruktur und seine Beeinflussung (etwa durch Ankopplung von
Bosonenfeldern der vibronischen Freiheitsgrade) wird weder qualitativ noch quantitativ zufriedenstellend beantwortet [10, 11]. Die Anwendung der traditionellen Landauer-Büttiker-Theorie der
Elektronentransmission auf den molekularen Transport liefert nur begrenzt gültige Resultate.
Eigene Vorabeiten
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LITERATUR
Literatur
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Die Arbeitsgruppe Festkörpertheorie war in den letzten Jahren überaus aktiv an der Methodenentwicklung und Beschreibung von elektronischen Anregungen und optischen Eigenschaften kondensierter Materie mittels ab initio Methoden beteiligt. Unsere Untersuchungen zielen dabei sowohl
auf ein sehr breites Spektrum an Materialien (Festkörpern und ihre Legierungen, Eis, organische
Moleküle, DNA etc.) als auch auf eine Vielzahl experimentell und technologisch relevanter Geometrien (Bulksysteme, Oberflächen, Übergitter, Nanokristalle) [12, 13, 14]. Diese außerordentliche Vielfalt bzgl. Materialien und Geometrien liegt in der Flexibilität des verwendeten Programmpakets Vienna Ab-initio Simulation Package (VASP) begründet. Der Koautor dieses mittlerweile
weltweit als Quasi-Standard etablierten Codes ([15], wurde bisher bereits ca. 2000mal zitiert!) ist
Jürgen Furthmüller, ein Mitglied unserer Arbeitsgruppe. Damit ist die Gruppe in einer hervorragenden Ausgangsposition, in naher Zukunft auch parameterfreie Berechnungen für Systeme mit
intrinsischer Spin-Polarisation durchzuführen. Die dabei zu berücksichtigenden Extraterme infolge der relativistischen Spin-Bahn-Kopplung wurden bereits in die Grundzustandstheorie eingearbeitet. Entsprechende theoretische Vorarbeiten für elektronische Einteilchen- und Paaranregungen im Rahmen der GW-Approximation und erste numerische Tests für einen antiferromagnetischen Isolator (Manganoxid) verlaufen vielversprechend [16]. Weiterhin besitzt die Arbeitsgruppe
langjährige Erfahrungen in der theoretischen Beschreibung und Simulation der Anregung, Relaxation und Rekombination von Ladungsträgern in Halbleitern auf ultrakurzen Zeitskalen [17].
Inzwischen sind diese Aktivitäten weiterentwickelt worden zur Beschreibung des elektronischen
Transports im Rahmen des Kubo-Formalismus. Karsten Hannewald hat sich dabei besonders um
die Berücksichtigung der Ankopplung von bosonischen Feldern von intra- und intermolekularen
Gitterschwingungen bemüht [18]. Die Anwendungen erfolgten bisher auf organische Halbleiter.
Molekulare Strukturen sind angedacht. Wegen des Fehlens realistischer Parameter werden dabei
die elektronischen Zustände, die Schwingungsfrequenzen und die Deformationspotentiale aus begleitenden ab initio Rechnungen entnommen [19].
Die Theorie von Fermionenfeldern soll für den Fall von Vielelektronensystemen mit voller Kopplung
von Spin- und Bahnbewegung sowie der Coulomb-Wechselwirkung aller Teilchen formuliert werden. Einerseits soll der Effekt der nicht-kollinearen Spins auf die elektronischen Anregungen wie
Spindichtewellen und Paaranregungen ohne festen Gesamtspin untersucht werden. Als grundlegende Approximation wird die Behandlung der Vertexfunktion und der Selbstenergie linear im
abgeschirmten Potential angestrebt. Von besonderem Interesse sind Systeme mit einem starken
räumlichen Confinement durch Nanostrukturierung. In die Untersuchungen einbezogen werden
Materialien mit lokalisierten d- und f -Elektronen und damit erweitert auf stark korrelierte Elektronensysteme. Beide Stoßrichtungen erlauben gemeinsame Diskussion mit einer Reihe von Teilprojekten, wie G1, in denen die Kopplung von Spin- und Bahnbewegung eine Rolle spielen, oder mit
dem Teilprojekt Q1 im Hinblick auf die starke Korrelation der Elektronen.
Die Untersuchungen zum Quantentransport durch molekulare Strukturen sollen auf drei verschiedenen Ebenen vorangetrieben werden. Erweiterungen der Landauer-Büttiker-Theorie sind erforderlich. Neben den Kontaktfragen soll der Einfluß von Spinpolarisation diskutiert werden. Eine zentrale Fragestellung gilt den Möglichkeiten der Transportsimulation bzw. der Quanten-Leitfähigkeit
im Rahmen der Superzellenmethode. Die Erhaltung der Translationssymmetrie würde den weiteren Einsatz der ebenen-Wellen-Codes [15] erlauben. Weiter soll der Einbau der Elektron-PhononWechselwirkung untersucht und die entsprechenden Programme um die Wechselwirkungseffekte
erweitert werden.
Ansprechpartner: B ECHSTEDT; G IES
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LITERATUR
Literatur
13
1. Simulation des Quantentransports auf molekularen Längenskalen
2. Konsequenzen von Spin-Bahn-Wechselwirkung und elektronischem Confinement auf Anregungseigenschaften
3. Quantentheorie und ab-initio-Modellierung molekularer Magneten
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LITERATUR
Literatur
14
5.2.3 Q3: Algorithmen für hochdimensionale Systeme
Funktionalintegrale von Gitterfeldtheorien sind hoch-dimensionale (∼ 106 ) Integrale, die möglichst
gut approximiert werden müssen. Die Wahl der Verfahren und deren Güte hängen stark vom Integranden ab. Es sollen für Quantenfeldtheorien mit Fermionen, die auf nicht-lokale und stark variierende Integranden führen, möglichst schnelle Algorithmen sowie effektive Inverter für auftretende
Matrizen entwickelt und angewandt werden. Es soll untersucht werden, welche hochdimensionalen Probleme in der Quantentheorie mit vertretbarem Aufwand numerisch lösbar sind.
Fragen der hochdimensionalen Integration werden seit etwa 15 Jahren systematisch untersucht,
der begriffliche Rahmen und die wichtigsten Ergebnisse stammen von Woźniakowski und seinen
Kollegen, auch aus Jena. Entscheidend für die Antwort ist neben dem Lösungsoperator die Funktionenklasse der Inputs, die problemabhängig betrachtet werden muß.
Viele der bekannten Ergebnisse beziehen sich auf deterministische Algorithmen. Nun sind aber
randomisierte Algorithmen (MC-Methoden) gerade im Fall hoher Dimension gebräuchlich und es
ist bekannt, daß viele Probleme durch den Übergang zu randomisierten Algorithmen tractable
werden. Über die Klassifikation derjenigen Probleme, die im randomisierten Fall tractable sind, ist
noch wenig bekannt, es gibt aber erste Ergebnisse.
Stand der Forschung
R
Es sei Fd eine Klasse von Integranden, die auf d oder auf [0, 1]d definiert und integrierbar sind.
Das Integrationsproblem heißt tractable für die Klassen Fd für deterministische Algorithmen, falls
die Rechenzeit t eines optimalen (deterministischen bzw. stochastischen) Algorithmus polynomial abhängt von d und ε−1 , wobei ε der erlaubte Fehler ist. Es gilt dann also die Abschätzung
t(d, ε) ≤ C · dα ε−β mit gewissen Konstanten C, α, β > 0. Für die klassischen Funktionenklassen
C k ([0, 1]) gilt t(d, ε) ≍ ε−d/k und das heißt, daß für diese Klassen das Integrationsproblem nicht
tractable ist. Seit etwa 15 Jahren wird untersucht, welche Integrationsprobleme tractable sind.
Durch die Einführung gewichteter Sobolevräume für die zu untersuchenden Funktionenklassen
konnten für deterministische Algorithmen bereits interessante Resultate gefunden werden [1, 19].
Neben den dort untersuchten deterministischen Algorithmen bieten randomisierte Algorithmen
(Monte-Carlo-Methoden) viel mehr Möglichkeiten [12] und die Frage, ob bestimmte Funktionenklassen tractable sind, stellt sich erneut. Jedoch ist die Zahl der hierzu bereits erschienen Arbeiten
noch überschaubar, genannt seien z.B. [20, 21].
Eine wichtige Klasse randomisierter Algorithmen bilden die Markov-Ketten-Monte-Carlo (MCMC)
Algorithmen. Von zentraler Bedeutung ist hierbei die Konstruktion einer geeigneten schnell-mischenden Markov-Kette. Es ist bekannt, daß sich die Eigenschaft der schnellen Mischung asymptotisch charakterisieren läßt durch den zweiten Eigenwert, die Autokorrelationszeit bzw. die Leitfähigkeit (conductance) der Kette, siehe [5, 9, 17].
Enthalten die Integranden Determinanten großer Matrizen, die von den Integrationsvariablen abhängen, dann existieren hierfür eine Reihe sogenannter hybrider Methoden [2, 4]. Diese Klasse von Integranden spielt bei der numerischen Behandlung von Quantenfeldtheorien mit dynamischen Fermionen eine tragende Rolle und so gibt es bis in die Gegenwart Anstrengungen,
die verwandten Methoden und Techniken zu verbessern, siehe z.B. [6]. Insbesondere MultigridMonte-Carlo oder Mehrgitterverfahren [3] haben dabei an Bedeutung stark zugenommen.
Eigene Vorabeiten
Wir haben uns schon lange mit Monte-Carlo-Methoden beschäftigt, die Ergebnisse bis 1988 sind
in [12] zusammengefaßt, spätere Ergebnisse findet man in [7, 13]. Seit Ende der neunziger Jahre beschäftigen wir uns intensiv mit hochdimensionalen Problemen, siehe die Übersicht [14]. Die
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LITERATUR
Literatur
15
erste Monographie [16] zu diesem Thema ist in Vorbereitung. Interessant ist wohl, daß einerseits
die Stern-Diskrepanz (bzw. das äquivalente Integrationsproblem) tractable ist, siehe [8], aber andererseits die L2 -Diskrepanz nicht tractable ist, siehe [15].
Asymptotische Fehlerabschätzungen für MCMC sind bekannt, siehe [10] und die dort zitierten Arbeiten. Grundlegend ist der Begriff der schnellen Mischung bzw. der conductance (Leitfähigkeit).
Die ersten expliziten, also nicht-asymptotischen, Fehlerabschätzungen für MCMC sind enthalten
in [18].
Eine wesentliche Frage ist schon ausgesprochen worden: Welche Integrationsprobleme sind tractable für randomisierte Algorithmen und was sind (in Abhängigkeit vom Integranden) optimale
Algorithmen? Diese Frage hat mehrere Aspekte, die teilweise getrennt behandelt werden können.
Die in [18] beschriebenen nicht-asymptotischen Fehlerabschätzungen sollen zunächst auf Spinsysteme übertragen werden. Von besonderem Interesse ist dabei die Bestimmung der Leitfähigkeit
für existierende und Verwendung findende lokale und globale Algorithmen, wie z.B den Metropolis, Heatbath oder Clusteralgorithmus.
Eine direkte feldtheoretische Verallgemeinerung von Spinsystemen stellen die nichtlinearen Sigmamodelle, insbesondere die O(N)-Modelle dar. Sie sollen im Anschluss unter denselben Gesichtspunkten untersucht werden. Im Hinblick auf ihre supersymmetrischen Erweiterungen sind
während dieser Phase ferner die sogenannten hybriden Algorithmen von besonderer Bedeutung.
Ausgehend von diesen Ergebnissen können die weiteren Untersuchungen zwei weiteren aber
verschiedenen Verallgemeinerungen zugeordnet werden. Sind die Integrationsgebiete von Spinsystemen und nicht-linearen Sigma-Modellen noch kompakt, soll nun einerseits der Frage nachgegangen werden, inwieweit sich die gefundenen Ergebnisse auf Probleme mit nicht-kompakten Integrationsgebieten erweitern lassen. In diese Klasse fallen insbesondere die linearen Sigma- und
Wess-Zumino-Modelle. Andererseits sind für die Behandlung von supersymmetrischen SigmaModellen effiziente Algorithmen zur Behandlung der notwendigerweise zu berücksichtigenden
Fermiondeterminante wichtig. Für die damit auf die Form µ[φ] = exp (−S[φ]) · det(M [φ])) verallgemeinerte Integrandenklasse sollen eingeschränkt auf nicht-lineare supersymmetrische SigmaModelle vergleichende Aussagen über die in der Literatur verwandten Algorithmen gewonnen
werden. Die beiden letztgenannten Schwerpunkte stehen gleichberechtigt nebeneinander und
können wertvolle Impulse für die Untersuchung von supersymmetrischen Eichtheorien geben.
Ansprechpartner: N OVAK ; W IPF
1. Welche Integrationsprobleme sind tractable für randomisierte Algorithmen?
2. Funktionenklassen, die durch Feldtheorien auf dem Gitter motiviert sind: optimale Berechnung der Integrale in Abhängigkeit der Klassenparameter
3. Schnell mischende Markovketten für Spin-Modelle, Hard-Core-Modelle, Gitterfeldtheorien
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5.2.4 Q4: Supersymmetrische Feldtheorien
Supersymmetrische Feldtheorien sind wesentlicher Bestandteil fast aller physikalischen Modelle
jenseits des Standardmodells und spielen eine entscheidende Rolle in der modernen Quantenfeldtheorie. Interessante und vielbeachtete Resultate über stark gekoppelte Eichtheorien mit erweiterter Supersymmetrie, zum Beispiel die Seiberg-Witten-Lösung für die N = 2-Eichtheorie [1]
oder die von Maldacena vorgeschlagenen Dualitäten zwischen superkonformen Eichtheorien und
Supergravitationstheorien im AdS-Raum [2], führten zu neuen und überraschenden Einsichten in
das ungelöste Confinement-Problem. Ähnlich beeindruckende Resultate über die Äquivalenz von
scheinbar verschiedenen supersymmetrischen Modellen beruhen auf der Mirrorsymmetrie (einer
Variante der T-Dualität von Stringtheorien) für Modelle mit N = 2-Supersymmetrie auf der Weltfläche [3].
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LITERATUR
Literatur
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In diesen prominenten Beispielen spielt Supersymmetrie eine doppelte Rolle: Sie ermöglicht es,
eine äquivalente Beschreibung der Theorien in dualen Variablen zu finden, und sie schützt bestimmte Größen (wie BPS-Zustände und Superpotentiale) vor Strahlungskorrekturen. Diese Nichtrenormierungstheoreme ermöglichen es auch in vielen anderen Fällen, starke Aussage über das
Verhalten der Theorien bei niedrigen Energien zu machen (im Falle der Seiberg-Witten-Theorie
beispielsweise läßt sich das effektive Potential exakt bestimmen).
Stand der Forschung
Kinetische D-Terme werden typischerweise nicht durch Supersymmetrie geschützt, ihre Renormierung läßt sich meist nur über störungstheoretische Rechnungen bestimmen. Diese sind in
niedrigen Loop-Ordnungen bei schwacher Kopplung möglich und werden in der Arbeitsgruppe
Quantenfeldtheorie in den unten beschriebenen Modellen auch durchgeführt.
Das Verhalten bei starker Kopplung läßt sich in physikalischen Modellen ohne S-duale Beschreibung nicht mehr störungstheoretisch analysieren. Einen systematischen Zugang bietet hier eine
Gitterformulierung von supersymmetrischen Feldtheorien. Allerdings bricht eine naive Gitterregularisierung die Supersymmetrie, und bereits für einfache Modelle mit Wilson-Fermionen sind die
Fermion- und Boson-Massen im Kontinuumslimes verschieden [4].
Es lassen sich aber Diskretisierungen mancher supersymmetrischer Kontinuumstheorien konstruieren, bei denen ein Teil der Supersymmetrie erhalten bleibt. Als einfache Modelle, die viele
Eigenschaften mit höherdimensionalen Theorien teilen, wurden beispielhaft N = (2, 2) -WessZumino-Modelle in zwei Dimensionen untersucht. Die Konstruktionen beruhen auf der Existenz
von Nicolai-Abbildungen [5] (bei Theorien mit erweiterter Supersymmetrie sind diese lokal) oder
der Beziehung zwischen supersymmetrischen Modellen und topologischen Feldtheorien [6, 7]. Exakte Gittertheorien in verschiedenen Dimensionen (im flachen Raum) und mit unterschiedlicher
Anzahl von Supersymmetrien lassen sich unter bestimmten Bedingungen klassifizieren [8]. Gitterformulierungen von Sigma-Modellen [9] sind sowohl für Untersuchungen zur Mirror-Symmetrie
als auch wegen ihrer Ähnlichkeit zur QCD [10] zur Untersuchung von Confinement interessant.
Neuere Resultate über Simulationen von supersymmetrischen Feldtheorien (inkl. Brechung der
Supersymmetrie) findet man zum Beispiel in [11]. Die Übertragung solcher Zugänge auf komplexere supersymmetrische Theorien und ein Vergleich der verschiedenen Gitterfermionen hinsichtlich ihrer Eignung für supersymmetrische Theorien sind noch weitgehend unerforscht.
Eigene Vorarbeiten
Supersymmetrische Systeme sind zentrales Forschungsthema der Arbeitsgruppe Quantenfeldtheorie. In [12] wurden die Grundzustände zweidimensionaler Wess-Zumino-Modelle auf Raumgittern im schwachen und starken Kopplungslimes berechnet und bewiesen, dass für einen beliebigen Wert der Kopplungskonstante ihre Anzahl gleich der Anzahl im starken Kopplungslimes
ist. Es wurden ausgedehnte analytische und numerische Studien über Wess-Zumino-Modelle mit
erweiterter Supersymmetrie auf Raumzeit-Gittern durchgeführt [14]. Ausgehend von einer NicolaiAbbildung wurden Gittermodelle mit exakter Supersymmetrie konstruiert und simuliert. Die Brechung von Symmetrien wurde über die Verletzung von Ward-Identitäten gemessen. Fermionund Bosonmassen wurden für verschiedene Arten von Gitterfermionen mit einer Genauigkeit
bestimmt, wie sie für 4-dimensionale Eichtheorien in absehbarer Zeit unerreichbar bleiben werden. Dabei wurde u. a. ein Dirac-Operator mit nicht-standard Wilsonterm und cutoff-Effekten der
Ordnung O(a2 ) konstruiert, der zu wesentlich genaueren Resultaten als der Standard-WilsonOperator führt. Die in der Literatur wegen ihrer Nichtlokalität kritisierte chirale und dopplerfreie
SLAC-Ableitung führt ebenfalls zu hervorragenden Resultaten.
Im vergangenen Jahr wurden in der Arbeitsgruppe Wess-Zumino-Modelle bei starker Kopplung
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LITERATUR
Literatur
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untersucht [15] und erste Studien zu CP 1 -Modellen in verschiedenen Formulierungen angestellt.
Bei den aufwändigen Simulationen mit dynamischen Fermionen, der dabei anfallenden Speicherverwaltung und Programmablaufsteuerung wurde die in Jena entwickelte objektorientierte Bibliothek jenLaTT erfolgreich eingesetzt.
Auf der analytischen Seite wurden diese Simulationen durch störungstheoretische Berechnungen
der effektiven Wirkung (u. a. bei nichtkonvexen Potentialen; vgl. auch Abschnitt 5.2.5) und der
Massenquadrate gestützt. Zusätzlich konnte die Renormierbarkeit von Theorien mit der SLACAbleitung auf niedrigen Loop-Ordnungen gezeigt werden.
Bei den bisherigen Untersuchungen deutet sich an, daß das Nicolai-Improvement-Programm zur
Konstruktion manifest supersymmetrischer Theorien auf dem Gitter für manche Fragestellungen
(wie die Untersuchung der Einpunkt-Funktion eines Bosons in nichtkonvexen Potentialen mit entarteten Minima) bei starken Kopplungen Schwächen aufweist; hier ist eine Untersuchung von
möglichen Alternativen geplant. Außerdem sollen Sigma-Modelle mit und ohne Supersymmetrie,
das vierdimensionale Wess-Zumino-Modell und supersymmetrische Eichtheorien analytisch untersucht und simuliert werden. Für CP n -Modelle mit minimal gekoppelten Fermionen ist die fermionische Determinante berechenbar. Dies soll auch für die supersymmetrischen Theorien geleistet werden. Anschließend sollen diese mit analytisch berechneter Determinante simuliert werden. Für Wilson-, Overlap- und SLAC-Fermionen sollen topologische Suszeptibilitäten, Kondensate, Massen und Ward-Identitäten, auch bei endlichen Temperaturen und Dichten, bestimmt werden. Die Quantenkorrektur der Targetraumgeometrien und insbesondere der analytisch schwer
zugänglichen D-Terme sind hier von Interesse. Erste Vorstudien für unterschiedliche Formulierungen dieser Modelle wurden in der Arbeitsgruppe angestellt.
Parallel zu den Simulationen soll mit Hilfe von exakten und supersymmetrischen Flußgleichungen, verbesserten Molekularfeldnäherungen und large-N -Entwicklungen die Phasen und Phasenübergän-ge von Thirring-, Gross-Neveu- und ausgewählten Sigma-Modellen untersucht werden. Für aussagekräftige Vergleiche mit den Kontinuumstheorien werden die Modelle unter Verwendung verschiedener Gitterfermionen auf bis zu 64 × 64 großen Gittern simuliert. Dem Problem
sehr kleiner und im Pseudofermionkern vereinzelt auftretender Eigenwerte soll mit einer angepassten Implementierung moderner Varianten des HMC-Algorithmus begegnet werden. Die zu
erwartende Laufzeitersparnis ist für Simulationen mit nicht ultralokalen Fermionen notwendig. Dazu wird die am Lehrstuhl verwendete jenLaTT-Programmbibliothek entsprechend erweitert.
Für die numerische Berechnung der Funktionalintegrale müssen Algorithmen zur Berechnung
hochdimensionaler Integrale mit nicht-lokalen Integranden angepasst und optimiert werden. Dies
soll auch in Zusammenarbeit mit den Kollegen des mathematischen Instituts geschehen.
Ansprechpartner: W IPF ; G IES, N OVAK
1. Supersymmetrische Eichtheorien bei starker Kopplung
2. Die Phasenstruktur von supersymmetrischen CP n -Modellen
3. Gittertheorien mit exakter getwisteter Supersymmetrie: Wardidentitäten und Spektrum
Literatur
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[15] T. Kaestner, G. Bergner, S. Uhlmann, A. Wipf, C. Wozar, 2d Wess-Zumino models at strong coupling:
analytical and numerical results, in preparation.
5.2.5 Q5: Effektive Wirkungen
Die effektive Wirkung ist ein universelles Werkzeug der Quantenfeldtheorie und Quantenstatistik.
Als erzeugendes Funktional für Vertexfunktionen bestimmt sie die Dynamik von Erwartungswerten der Felder. Sie kodiert die Effekte der Quantenfluktuationen in eine makroskopische Sprache,
welche direkt mit physikalischen Observablen verknüpft ist. In der Euklidischen Formulierung wird
sie zur freien Energie bei vorgegebenen makroskopischen Feld und bestimmt thermische Erwartungswerte. Die Berechnung von effektiven Wirkungen ist ein zentrales Problem in der Quantenfeldtheorie.
Stand der Forschung
Der Prototyp effektiver Wirkungen ist die Heisenberg-Euler-Wirkung [1, 2, 3], welche die von
Quantenfluktuationen induzierte nichtlineare Verallgemeinerung der Maxwellschen Elektrodynamik beschreibt: Makroskopische elektrodynamische Felder können nichtlinear und nichtlokal vermöge virtueller Elektron-Positron-Zwischenzustände miteinander wechselwirken. Allgemeiner beschreiben effektive Wirkungen die fluktuationsinduzierten Wechselwirkungen zwischen makrosko-
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LITERATUR
Literatur
20
pischen Größen wie Hintergrundfeldern, Ordnungsparametern oder Randbedingungen (CasimirEffekt).
In diesen verschiedenen physikalischen Situationen ist es oft notwendig, selbst bei schwacher
Kopplung den Hintergrund nichtperturbativ zu berücksichtigen. Analytische Lösungen existieren
jedoch nur für sehr spezielle Hintergründe mit hoher Symmetrie. Näherungsmethoden wie semiklassische Approximation [4], Ableitungsentwicklung [5], optische Approximation [6] haben in der
Regel nur einen eingeschränkten und schwer abschätzbaren Gültigkeitsbereich. Auch die Integration der chiralen oder konformen Anomalie zur vollständigen Berechnung effektiver Wirkungen ist
nur für einfache Feldtheorien oder spezielle Hintergrundfelder einsetzbar [7]. Für Quantensysteme bei starker Kopplung kann die inverse Monte-Carlo Methode eingesetzt werden um effektive
Wirkungen für makroskopische Freiheitsgrade (coarse grained models) aus ab-initio Simulationen
für die mikroskopischen Feiheitsgrade abzuleiten [8]. In vielen Fällen ist diese Rekonstruktion der
effektiven Dynamik eindeutig. Die Methode wurde z.B. erfolgreich bei der Modellierung von Atomstrukturen aus Streudaten, effektiver Teilchendynamik in weicher Materie oder der Datenanalyse
eingesetzt.
Eigene Vorarbeiten
Es wurden mehrere effiziente ab-initio Methoden zur Berechnung effektiver Wirkungen entwickelt
und erfolgreich bei der Untersuchung physikalisch interessanter Systeme eingesetzt. Für effektive Wirkungen mit Ein-Schleifen-Struktur ist die Weltliniennumerik numerisch exakt und kann
algorithmisch unabhängig vom Hintergrund formuliert werden [9, 10]. Sie beruht auf einer Kombination des “string-inspirierten” Weltlinienzugangs zur Quantenfeldtheorie [11] mit numerischen
Monte-Carlo-Techniken. Quantenfluktuationen werden auf Zufallspfade abgebildet, welche selbst
für komplizierteste Hintergründe numerisch leicht behandelt werden können. Damit konnten zum
ersten Mal systematisch Casimir-Effekte in experimentell relevanten Geometrien studiert [12, 13]
und Heisenberg-Euler-Wirkungen in der QED für beliebig inhomogene Hintergrundfelder berechnet werden [14]. Darüber hinaus konnten mit Hilfe der Weltliniennumerik erste neue Wege für
nichtperturbative effektive Wirkungen beschritten werden [15, 16]. Eine weitere Methode für effektive Wirkungen wurde anhand von effektiven Theorien für Polyakovschleifen entwicklelt. Polyakovschleifen dienen als Ordnungsparameter für das Confinement von Farbladungen in der Gluodynamik bei endlichen Temperaturen. Dazu wurde die in Feldtheorien bisher wenig eingesetzte inverse
Monte-Carlo Methode in Kombination mit neuen geometrischen Schwinger-Dyson Gleichungen
[19] entwickelt und eingesetzt [17]. Die berechneten effektiven Theorien sind interessante feldtheoretische Verallgemeinerungen der Pottsmodelle, und ihre Phasendiagramme wurden in [18]
bestimmt.
Ziel des Projekts ist die Fortentwicklung moderner Methoden zur Berechnung effektiver Wirkungen
und Potentiale anhand von konkreten physikalischen Systemen.
Mit der inversen MC Methode in Kombination mit Schwinger-Dyson Gleichungen oder alternativ
mit der Dämon-Methode [20] sollen effektive Wirkungen für ortsabhängige Ordnungsparameter
berechnet werden. Zuerst wird die effektive Dynamik der Polyakovloops in der QCD mit statischen
Quarks und chemischem Potential modelliert. In der Nähe des Phasenübergangs wird die effektive Wirkung durch verallgemeinerte feldtheoretische Pottsmodelle beschrieben. Mit der inversen
MC Methode sollen genaue Werte für die Parameter der effektiven Modelle bei endlicher Temperatur und imaginärem chemischen Potential bestimmt werden. Mit Konfigurationen aus dem
International Lattice Data Grid werden anschießend effektive Wirkungen für Polyakovschleifen in
der QCD mit dynamischen Quarks extrahiert. Diese sind nicht mehr zentrumsinvariant und enthal————————————
LITERATUR
Literatur
21
ten wesentlich mehr Terme als in der Gluodynamik. Für Systeme mit Phasenübergängen erster
Ordnung wird die inverse MC-Methode instabil und nach ersten Voruntersuchungen liefert die
wenig untersuchte Dämon-Methode hier stabilere Resultate für die effektive Wirkung. Parallel zu
den Simulationen soll die vielversprechende Dämon-Methode analytisch untersucht und für ihren
Einsatz in Eichtheorien und Supersymmetrischen Feldtheorien weiterentwickelt werden.
Auch eine Erweiterung der Weltliniennumerik auf nicht-abelsche Hintergründe öffnet das Tor zur
QCD; hier ist das Pendant zur Heisenberg-Euler-Wirkung durch die Quark-Determinante gegeben,
welche in Gittersimulationen von Bedeutung ist. Die Effizienz und Genauigkeit der Weltliniennumerik soll zunächst an analytisch bekannten Beispielen getestet werden. Der wesentliche Schritt
besteht in der numerischen Implementierung der Pfadordnung entlang der Weltlinien. Schließlich
sollen effektive Wirkungen für phänomenologisch relevante Feldformen studiert werden. Diese
Wirkungen können bislang beispielosen quantitativen Aufschluß über Quarkfluktuationsrückwirkungen auf nicht-abelschen Feldkonfigurationen geben.
Mit Blick auf Anwendungen in der frühen Kosmologie und der Physik Schwarzer Löcher ist die Ausdehung der Weltliniennumerik auf Gravitationshintergründe von Interesse. Analytische Methoden
wurden für diesen Fall kürzlich ausgearbeitet [21]. Während die analytischen Techniken im Allgemeinen eine Vielzahl von Weltlinien-Hilfsfeldern (ghosts) benötigen, bietet die Weltliniennumerik
die Möglichkeit, gravitative Hintergründe direkt durch eine geeignete Realisierung des Weltlinienpfadintegrals zu implementieren. Die zuvor entwickelten numerischen Techniken können dann sofort auf gravitative Hintergründe verallgemeinert werden. Die wesentliche Aufgabe besteht also in
der Entwicklung von geeigneten Algorithmen für die Weltlinienerzeugung. Da lokale update Algorithmen bei ein-dimensionalen Weltlinien zu langen Autokorrelationszeiten führen, sollen alternativ
Hybrid-Monte-Carlo Algorithmen entwickelt werden. Erste Tests sollen an effektiven Wirkungen für
skalare Fluktuationen auf (Anti-)de-Sitter-Räumen durchgeführt werden. Von besonderem Interesse sind effektive Wirkungen für Quantenprozesse auf Metriken Schwarzer Löcher [22].
Ansprechpartner: G IES, W IPF
1.
2.
3.
4.
Polyakovloop-Dynamik bei endlicher Dichte und Temperatur
Inverse Monte-Carlo und Dämon-Methoden für Eichfeldtheorien mit dynamischen Quarks
Weltlinienmethoden für effektive Wirkungen für nicht-abelschen Feldern
Fluktuationsinduzierte effektive Wirkungen für Quantenfeldtheorien mit Gravitation
Literatur
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5.3 G: Gravitationsfelder
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5.3.1 G1: Gravitierende Binärsysteme mit Spin
Für kompakte Binärsysteme mit nicht-rotierenden Komponenten haben sich post-Newtonsche
(pN) Näherungsverfahren als besonders erfolgreich erwiesen (in expliziten analytischen Rechnungen wurde hierin die 3,5pN-Ordnung erreicht, d.h. Ordnung (1/c2 )3,5 , wobei c die Lichtgeschwindigkeit bedeutet). Obgleich pN-Näherungsverfahren schwache Gravitationsfelder und kleine Geschwindigkeiten (v < c/3) voraussetzen, eignen diese sich zur Beschreibung der Niedergeschwindigkeitsbewegung von kompakten Objekten (Neutronensterne, Schwarze Löcher), da
dabei die starke Eigengravitation der Himmelskörper in hohem Maße eingefroren und somit von
der Bahnbewegung abgekoppelt ist.
Stand der Forschung
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LITERATUR
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Als isolierte Einzelobjekte sind rotierende Schwarze Löcher wohlbekannte strenge Lösungen der
Einsteinschen Feldgleichungen. Die Bewegung von Testteilchen ohne Spin (Monopol-Teilchen)
oder mit Spin (Pol-Dipol-Teilchen) wurde in der Kerr-Metrik oder ihrem spinlosen Grenzfall der
Schwarschild-Metrik vielfach untersucht und beschrieben, basierend auf den Bahn- und SpinBewegungsgleichungen von Papapetrou [1]. Als äußerst schwierig hat es sich jedoch erwiesen, die Bewegungsgleichungen von zwei (oder auch mehreren) rotierenden selbstgravitierenden Körpern in deren gemeinsamen Gravitationsfeld zu formulieren [2, 3, 4], und außer den
führenden post-Newtonschen Ordnungen der Spin-Bahn- (1,5pN-Ordnung) und Spin-Spin- (2pNOrdnung) Wechselwirkung, siehe z.B. [5, 6], sind nur Wechselwirkungsausdrücke auf der nächst
höheren post-Newtonschen Ebene bekannt; das ist für die Spin-Bahn-Kopplung, die 2,5pN-Ebene
[7, 8, 9, 10] und für die Spin-Spin-Kopplung, die 3pN-Ebene [11].
Somit liegt gegenwärtig im Problem der Bewegung eines Systems zweier rotierender Schwarzer
Löcher nur ein sehr grobes Model von zwei Pol-Dipol-Teilchen mit in führenden Ordnungen gravitativ wechselwirkender Teilchen vor. Die durch die Rotation der Schwarzen Löcher bedingten
Deformationen und die daraus resultierenden höheren Multipole der Schwarzen Löcher sind in
einem Binärsystem auf der Quadrupolebene in führender Ordnung bekannt, siehe etwa [12], und
können bei Bedarf in die Binärdynamik mit einbezogen werden. Einige Wechselwirkungsterme der
nächst höheren pN-Ordnung wurden in [13] angegeben.
Eigene Vorbeiten:
Frühere eigene Vorarbeiten liegen auf dem Gebiet der Dynamik von binären Schwarzen Löchern
ohne Spin. Hierbei wurde erstmalig die Bahndynamik binärer Schwarzer Löcher voll-explizit bis
zur 3,5pN-Ordnung einschließlich berechnet [14, 15]. In neuester Zeit wurden richtungsweisende
Resultate auf dem Gebiet der Dynamik binärer Schwarzer Löcher mit Spin erzielt [10, 13, 11], insofern als kürzlich ein Durchbruch in Richtung Hamiltonscher Formulierung der gravitativen Wechselwirkung kompakter Objekte mit Spin gelungen ist. Des weiteren wurden analytische Lösungen der Bahnbewegungen spinfreier Binärsysteme auf der 3pN-Ebene konstruiert [16], und es
wurden explizite Lösungen der Bahn- und Spinbewegungen unter Einbeziehung der Spin-BahnWechselwirkung führender Ordnung gefunden [17, 18].
Ziele sind die Herleitung von post-Newtonschen Bahn- und Spin-Bewegungsgleichungen höherer
pN-Ordnung für zwei rotierende Schwarzer Löcher im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie
sowie die Konstruktion analytischer Lösungen dieser Bewegungsgleichungen für Spezialfälle bzw.
numerische Lösungen für allgemeinere Fälle.
Das Arbeitsprogramm sieht vor: (i) die explizite Berechnung der Spin- und Bahn-Bewegungsgleichungen für Schwarze Löcher in Hamiltonscher Form auf der 3,5pN-Spin-Bahn-Wechselwirkungsebene,
(ii) die Konstruktion analytischer und semi-analytischer Lösungen der Bewegungsgleichungen aus
(i), (iii) die explizite Berechnung der Spin- und Bahn-Bewegungsgleichungen Schwarzer Löcher in
Hamiltonscher Form auf der 4pN-Spin-Spin-Wechselwirkungsebene, (iv) die Konstruktion analytischer und semi-analytischer Lösungen der Spin- und Bahnbewegungsgleichungen aus (iii).
Das Forschungsprogramm ist von großer Bedeutung für die Numerische Relativitätstheorie (G4),
da im physikalischen Überlappungsbereich beider Vorgehensweisen Vergleiche angestellt und
wechselseitig Daten übernommen werden können. Im Schwerpunktsystem, d.h. beim effektiven
Einkörperproblem, wird es Verbindungen zu Killing(-Yano)-Tensoren und damit zu G2 geben insofern geeignet genäherte effektive Metriken Symmetrien aufweisen können. Des Weiteren gibt
es interessante methodische Beziehungen zu Teilprojekten im ersten Schwerpunkt, insbesondere
Q2, die auf der Behandlung von wechselwirkenden Objekten mit Spin sowie der Verwendung von
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LITERATUR
Literatur
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Energie-Impuls-Tensoren beruhen.
Ansprechpartner: S CH ÄFER , B R ÜGMANN
1. Die Energie-Impuls-Tensor-Stromalgebra gravitierender klassischer Teilchen mit Spin
2. Hamiltonsche 3,5pN-Spin-Bahn- und 4pN-Spin-Spin-Dynamik binärer Schwarzer Löcher
3. Bahn- und Spin-Bewegungen binärer Schwarzer Löcher in hohen pN-Ordnungen
Literatur
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5.3.2 G2: Killing-Tensoren
Killing- und Killing-Yano-Tensoren entsprechen Erhaltunsgrössen, die polynomial in der Geschwindigkeitsvariablen sind. Seit Jacobi ist bekannt, dass solche Erhaltungsgrössen für die qualitative
und quantitative Beschreibung von Geodäten nützlich sind. Zum Beispiel erlaubt uns die Existenz
von Killing-Tensoren der Stufe 2 ein Koordinatensystem zu finden, für das die Geodätengleichungen in der Kerr-Metrik ungekoppelte gewöhnliche Differentialgleichungen einer Variablen sind.
Killing-Tensoren kommen auch in apriori rein geometrischen Aufgaben natürlich vor. In vorliegenden Projekt werden sie in der Theorie von geodätisch äquivalenten Metriken angewendet. Zwei
Metriken g und ḡ heissen geodätisch äquivalent sind, falls jede (umparametrisierte) g−Geodäte
eine ḡ−Geodäte ist. Die Theorie ist sehr klassisch: die ersten Beispiele fand Lagrange 1789, die
ersten nichttrivialen Ergebnisse stammen von Beltrami 1865 und Levi-Civita 1896.
Im vorliegenden Teilprojekt sollen Krümmungsinvarianten konstruiert und untersucht werden, die
genau dann verschwinden, wenn die gegebene Metrik Killing-Tensoren bzw. eine geodätisch äquivalente Metrik zuläßt. Schwerpunktmässig werden Einstein Metriken untersucht. Hier ist Zusammenarbeit mit Teilprojekten G1 und G3 geplant: die Metriken (und auch die effektiven Metriken),
die in diesen Teilprojekten vorkommen, werden nach Killing- und nach Killing-Yano-Tensoren (weil
die letzte für Untersuchung von Systeme mit Spin besser geeignet sind) gründlich untersucht,
was eventuell auch eine quantative Beschreibung von Trajektorien in solchen Metriken erleichtern
kann.
Die Metriken, die mehrere (≥ dim(M )) unabhängige Killing-Tensoren gestatten (sogenannte superintegrable Metriken) kommen auch bei der Untersuchung von Supersymmetrien vor; hier besteht eine Verbindung zum Teilprojekt Q4.
Stand der Forschung
Die Untersuchung von Killing-Tensoren ist ein klassisches Gebiet der mathematischen Physik und
Differentialgeometrie. Hauptsächlich hat man Killing-Tensoren für spezielle Metriken untersucht
(etwa für die Räume von konstanter Krümmung, sieh z.B. [13]), und Beispiele von Metriken gesucht, die mehrere Killing-Tensoren gestatten, siehe z.B. [2]. Man hat bereits mehrere Beispiele
von Einstein-Metriken gefunden, die Killing-Tensoren gestatten, siehe z.B. [21, §35.3] oder [8].
Da die Killing-Gleichungen linear und von endlichen Typ sind, kann man mit Hilfe der prolongationprojection method algorithmisch die Krümmungsinvarianten konstruieren, die genau dann verschwinden, falls die Metrik Killing-Tensoren gestatten. In Wirklichkeit ist der Algorithmus rechnerisch zu kompliziert (sogar im 2-dim Fall, siehe z.B. [14, 7]), um ihn direkt anzuwenden. Die neuen
Methoden, Killing-Tensoren zu studieren kommen aus der Feldtheorie: die Killing-Gleichungen
kann man als Zusammenhang (dieser wird Killing-Zusammenhang heißen) auf dem projektiven
Traktor-Bündel betrachten, und die Krümmungsinvarianten, die für Existenz von Lösungen von
Killing-Gleichung verantwortlich sind, sind die Krümmungen des Zusammenhangs [10, 11]. Man
kann solche Krümmungsinvarinaten mit Hilfe von sogenannten Traktor-Kalkül gewinnen. Diese
Methode ist für Untersuchung von Einstein-Metriken ganz gut geeignet, weil in diesem Fall der
projektive Zusammenhang besonders einfach aussieht. Wir hoffen in diesem Fall alle solche
Krümmungsinvarianten explizit konstruieren.
Man kann geodätisch äquivalente Metriken als Spezialfall von Killing-Tensoren 2. Stufe betrachten, siehe [3, 22]. Diese Beobachtung hat uns erlaubt, die lokalen Ergebnisse der Theorie von
geodätisch äquivalenten Metriken global (d.h., wenn die Mannigfaltigkeit kompakt oder vollständig
ist) anzuwenden, und im Riemannschen Fall mehrere klassische Aufgaben zu lösen, siehe [15,
16, 18]. Die lokale Untersuchung von geodätisch äquivalenten Einstein-Metriken wurde für 4-dim
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LITERATUR
Literatur
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Ricci-flachen Metriken z.B. in [1, 20, 12] durchgeführt. Wir werden diese Ergebnisse für alle Dimensionen und für beliebige Einstein-Metriken verallgemeinern und für vollständige Mannigfaltigkeiten anzuwenden.
Eigene Vorarbeiten
Killing-Tensoren und geodätisch äquivalente Metriken sind das zentrale Forschungsthema der Arbeitsgruppe Geometrie. Haupsächtlich wurden die Riemannschen Metriken untersucht, unter der
Annahme, dass die Mannigfaltigkeit kompakt oder vollständig ist. In diesem Fall haben wir fast
alle natürlichen Probleme gelöst, wie z.B. das Problem von Beltrami [15, 17] und die Vermutung
von Lichnerowicz. Aus diesen Ergebnissen folgt insbesondere, dass die Riemannschen Einstein
Metriken auf kompakten oder vollständigen Mannigfaltigkeiten geodätisch starr sind, d.h., die unparametrisierte Geodäten bestimmen die Metrik bis auf Vielfachheit. Außerdem haben wir neue
Beispiele von Metriken auf kompakten Flächen konstruiert, die Killing-Tensoren 3. Stufe gestatten,
siehe [9].
Die Arbeitsgruppe versucht jetzt, ähnliche Methoden für pseudo-Riemannschen Metriken anzuwenden. Vor kurzen ist es uns gelungen, zwei klassische Probleme von S. Lie 1882 zu lösen
[6, 19] sowie alle pseudo-Riemannschen 2-dim Mannigfaltigkeiten, die Killing-Tensoren der 2. Stufe gestatten, vollständig zu beschreiben [4, 5].
Es sollen Krümmungsinvarianten für die Einstein-Metriken konstruiert werden, die verschwinden falls der Raum von Killing-Tensoren (geodätisch äquivalente Metriken, Killing-Yano-Tensoren)
genügend gross ist. Schwerpunktmässig werden auch die Metriken aus den Teilprojekten G1, G3
untersucht; für die im Teilprojekt G1 auftretenden Metriken wird auch der Raum der Killing-YanoTensoren grundsätzlich untersucht. Es sollen alle Metriken gefunden werden, deren Raum von
Killing-Tensoren genügend gross ist. Hier besteht eine Querverbindung zu den Untersuchung von
supersymmetrischen Modellen im Teilprojekt Q4.
Die folgende Starrheitsvermutung (die im Riemannschen Fall richtig ist, und lokal falsch ist) soll
bewiesen oder widerlegt werden: Die unparametrisierten Geodäten der vollständigen EinsteinMetriken bestimmen die bis auf Vielfchheit Metriken eindeutig.
Ansprechpartner: M ATVEEV; S CH ÄFER , W IPF
1. Killing-Tensoren zweiter Stufe und Erhaltungsgrößen für Systeme mit Spin auf kompakten
Mannigfaltigkeiten
2. Existenz einer Einstein-Metrik mit gegebenem projektiven Zusammenhang
3. Killing-Tensoren 2. Stufe für Einstein-Metriken und Quanten-Integrabilität
4. Projektive Transformationen von Einstein-Räumen
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91.
5.3.3 G3: Stationäre und axialsymmetrische Vakuum-Gravitationsfelder
Die stationären und axialsymmetrischen Vakuum-Einstein-Gleichungen, wie sie im Außenraum rotierender Gleichgewichtskonfigurationen gelten, sind äquivalent zur sogenannten Ernst-Gleichung,
die mit Methoden aus der Solitonentheorie (“Bäcklundtransformation”, “inverse Streumethode”)
behandelt werden kann. Mittels Bäcklundtransformation können spezielle exakte Lösungen gewonnen werden. Die inverse Streumethode gestattet im Prinzip die Lösung von Randwertproblemen. Im Rahmen dieses Teilprojektes sollen weitere Beiträge hierzu geleistet und physikalische
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LITERATUR
Literatur
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Anwendungensmöglichkeiten untersucht werden.
Stand der Forschung
Bisher gibt es zwei strenge Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen, die das globale Gravitationsfeld rotierender Objekte beschreiben: Die Kerr-Lösung für ein rotierendes Schwarzes Loch
[1] und die Neugebauer-Meinel-Lösung für eine mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierende Staubscheibe [2]. Beide Lösungen können mit Hilfe der inversen Streumethode systematisch
hergeleitet werden, da sich die entsprechenden physikalischen Probleme als Randwertprobleme
für die Ernstgleichung formulieren lassen [3]. Probleme differentiell rotierender Staubscheiben
(d.h. mit ortsabhängiger Winkelgeschwindigkeit) oder auch rotierender Staubringe mit zentralen
(ebenfalls rotierenden) Schwarzen Löchern lassen sich auch als Randwertprobleme der Ernstgleichung formulieren, bisher gibt es jedoch nur numerische Resultate [4, 5]. Die Anwendung der
inversen Streumethode ist hier wesentlich komplizierter, für das letztgenannte Problem insbesondere wegen der veränderten Topologie.
Eigene Vorbeiten
Neben den bereits genannten Arbeiten [2] und [3] ist eine Arbeit zu Dirichlet-Problemen der
Ernstgleichung zu nennen, in der Solitonenmethoden (hier: Bäcklundtransformationen) mit numerischen Verfahren verbunden werden [6]. Dabei konnte unter anderem gezeigt werden, daß
Dirichlet-Probleme der Ernstgleichung nicht immer eine Lösung haben.
In den letzten Jahren wurden außerdem Gleichgewichtskonfigurationen rotierender Flüssigkeitskörper im Rahmen des SFB/TR 7 “Gravitationswellenastronomie”, Teilprojekt B1 “Rotierende Neutronensterne und Schwarze Löcher”, systematisch untersucht, siehe zum Beispiel [7, 8, 9, 10, 11].
Es ist zu beachten, daß die Einsteinschen Feldgleichungen nur im Außenfeld äquivalent zur Ernstgleichung sind, die Solitonenmethoden für das Innere der Flüssigkeit also nicht anwendbar sind.
Deshalb sind numerische Verfahren hier unvermeidlich – spektrale Methoden haben sich bestens
bewährt.
Geplant ist die Konstruktion von Lösungen für differentiell rotierende Staubscheiben und für rotierende Staubringe mit zentralem Schwarzen Loch. Dabei sollen Methoden der Solitonentheorie
(insbesondere die inverse Streumethode) zur Anwendung kommen. Die Untersuchung der Stabilität derartiger Konfigurationen kann dann mit Methoden der Numerischen Relativitätstheorie
(G4) in Angriff genommen werden. Daneben sollen die Lösungsmethoden selbst weiterentwickelt
und zur Beantwortung von Fragen nach der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von Randwertproblemen herangezogen werden. Ein großes Ziel ist dabei die Entwicklung eines allgemeinen Verfahrens zur Lösung von Randwertproblemen der Ernstgleichung, welches mit der Lösung
des Cauchy-Problems der Korteweg-de Vries-Gleichung über die Gelfand-Levitan-MarchenkoGleichung – eine lineare Integralgleichung, deren Kern durch die Anfangsdaten bestimmt wird,
vergleichbar ist, siehe zum Beispiel [12].
Ansprechpartner: M EINEL ; B R ÜGMANN
1. Differentiell rotierende Staubscheiben in der allgemeinen Relativitätstheorie
2. Rotierende Staubringe mit zentralem Schwarzen Loch
3. Behandlung von Randwertproblemen der Ernstgleichung mit der inversen Streumethode
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5.3.4 G4: Numerische Relativitätstheorie
Die Arbeitsgruppe Numerische Relativitätstheorie arbeitet daran, die Orbitalbewegung zweier Schwarzer Löcher zu berechnen. Das Zweikörperproblem der Allgemeinen Relativitätstheorie im Bereich
starker Felder blieb lange im Wesentlichen ungelöst, aber gerade in letzter Zeit wurden signifikante
Fortschritte erzielt. Die numerische Lösung der vollen Einsteingleichungen (in ihrer Standardform
zehn nichtlineare, gekoppelte Partielle Differentialgleichungen) ist ein sehr komplexes Problem,
wobei für Schwarze Löcher die Problematik der Raumzeitsingularität im Inneren der Schwarzen
Löcher hinzukommt. Hauptaugenmerk von Projekt G4 sind die letzten 10 Umläufe, bei denen
die Spirale immer steiler wird. Es soll aber auch die nachfolgende Kollision und Verschmelzung
berechnet werden, so dass Gravitationswellenformen für den gesamten starkrelativistischen Bereich der Bewegung zweier Schwarzer Löcher zur Verfügung stehen. Dieses Arbeitsgebiet der Numerischen Relativitätstheorie erfordert die Entwicklung neuartiger analytischer und numerischer
Methoden sowie deren Implementierung auf Höchstleistungsrechnern. Direkte Verbindungen bestehen auf physikalischer Seite zu den analytischen pN-Methoden von G1 und den axialsymmetrischen Anfangsdaten von G3.
Stand der Forschung
Numerische Simulationen von Schwarzen Löchern in der Allgemeinen Relativitätstheorie erforderten eine Vielzahl von analytischen und technischen Entwicklungen. Insbesondere bei zwei
Schwarzen Löchern ergaben sich numerische Stabilitätsprobleme, die lange Zeit die Evolution
von mehreren Orbits eines Binärsystems verhinderten. In 2004 wurde die erste Simulation eines
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LITERATUR
Literatur
30
kompletten Orbits zweier Schwarzer Löcher vorgestellt [1]. Die Jahre 2005 und 2006 brachten
den endgültigen Durchbruch für die weitgehend stabile Simulation von mehreren Orbits [2, 3, 4].
Mittlerweile gibt es Ergebnisse für bis zu fünfzehn Orbits, für die Kollision und Verschmelzung
der Schwarzen Löcher und für die dabei erzeugten Gravitationswellen. Der einfachste, häufig
studierte Testfall sind zwei Schwarze Löcher mit gleicher Masse und verschwindenem Spin auf
quasi-zirkulären Spiralbahnen. Neue Untersuchungen beschäftigen sich mit ungleichen Massen
(Massenverhältnissen 1:1 bis 1:4), Spin und exzentrischen Umlaufbahnen.
Eigene Vorabeiten
Als Vorarbeiten für Orbitrechnungen sind anzuführen: die erste 3D Kollision am Ende der Einspiralphase [5], streifenden Kollisionen mit Wellenextraktion [6], die Lazarusmethode für den Sturz
vom ISCO [7], und schließlich die erste Orbitsimulation für zwei Schwarze Löcher [1]. Für Stabilität
bei mehreren Orbits verwenden wir die “Moving Puncture Method” [3, 4, 8], die eine direkte Erweiterung von der von Brandt und Brügmann in [9] entwickelten Punkturmethode zur Behandlung von
Schwarzen Löchern darstellt. Wichtige Ergebnise wurden für den Gravitationswellenrückstoß bei
ungleichen Massen [10] und bei rotierenden Schwarzen Löchern erzielt [11]. Zudem konnte in [12]
eine erste, partielle Erklärung für den Erfolg der neuen Punkturmethoden gegeben werden. Für
die Simulationen in G4 existiert das Computerprogramm BAM, welches gezielt für die effiziente
Gruppenarbeit entwickelt wurde [1, 8].
Das Ziel ist, den Parameterraum von binären Schwarzen Löchern in Masse, Spin und Exzentrizität zu erkunden. Insbesondere für die Detektion und Analyse von Gravitationswellensignalen ist
es erforderlich, einen vollständigen Katalog von Wellentemplates zu erstellen. Dazu müssen die
zum Teil noch großen Einschränkungen in Genauigkeit, Umfang und Effizienz der existierenden
Simulationen überwunden werden.
Konkret soll die Punkturmethode weiterentwickelt werden, insbesondere um die Genauigkeit bei
größeren Massenverhältnissen (z.B. 1:10 oder 1:20) zu erhöhen. In diesem Bereich gibt es noch
keine Untersuchungen zu exzentrischen Orbits und Schwarzen Löchern mit Spin.
In Hinblick auf rotierende Schwarze Löcher ist festzuhalten, dass ein Kerr-Parameter a > 0.85
neue Untersuchungen nötig macht, da hier die numerische Konvergenz höhere Auflösungen erfordert, als zur Zeit mit vertretbaren Computerresourcen erreichbar ist. Zudem ist bekannt, dass
die für gewöhnlich verwendeten Anfangsdaten für rotierende Schwarze Löcher (mit Spin nach
Bowen-York) nicht bis zum Extremfall a = 1 existieren. Hier sollen neue Ansätze für Anfangsdaten
untersucht werden, die auf nicht-konform-flachen Metriken beruhen.
Da ein rotierendes Schwarzes Loch in Axialsymmetrie beschrieben werden kann, ergeben sich
Anknüpfungspunkte zu G3 für (nicht-stationäre) Vakuum-Gravitationsfelder. Sowohl im Bereich
großer Spins, als auch bei Massenverhältnissen um 1:10 ist der Übergang zwischen pN-Methoden
und numerischen Simulationen noch zu untersuchen, was in Zusammenarbeit mit G1 geschehen
soll.
Ansprechpartner: B R ÜGMANN ; S CH ÄFER
1. Orbitsimulationen von Schwarzen Löchern für großen Spin
2. Adaptive Eichbedingungen für ungleiche Massen in der Punkturmethode
3. Zeitentwicklung von post-Newtonschen Anfangsdaten mit den vollen Einsteingleichungen
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6 QUALIFIZIERUNGSKONZEPT
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6 Qualifizierungskonzept
Mit mathematisch-physikalischen Methoden lassen sich große Teile der Natur beschreiben und
viele Phänomene voraussagen. Physiker und Mathematiker arbeiten heute in vielen Bereichen
der Forschung, Industrie und Wirtschaft, die besondere Ansprüche an analytische, systematische
und methodische Fähigkeiten stellen. Aufgrund ihrer breiten und anspruchsvollen Ausbildung eignen sie sich als Generalisten“ in einem weiten Spektrum von Berufen. Die Berufsaussichten für
”
Theoretische Physiker und Mathematiker sind seit vielen Jahren glänzend.
Die Halbwertszeit von Spezialwissen wird immer kürzer. Im Graduiertenkolleg Quanten- und Gra”
vitationsfelder“ soll deshalb eine über die engeren Forschungsprogramme hinausgehende strukturierte Doktorandenausbildung in theoretischer und mathematischer Physik stattfinden. Die Forschungsprojekte werden durch ein optimiertes fortgeschrittenes Studienprogramm flankiert, dass
über die Dauer des Graduiertenkollegs hinaus die Qualifizierung des wissenschaftlichen Nachwuchses gewährleistet. Ziel der Maßnahmen ist eine forschungsnahe, nicht-verschulte Ausbildung
der Doktoranden, die die Projektarbeit auf breiterer Wissensbasis unterstützt.
6.1 Studienprogramm
Das Studienprogramm soll den Kollegiaten Grundkompetenzen in den Forschungsgebieten Quantenfeldtheorie und Gravitationstheorie vermitteln und sie mit deren wesentlichen Inhalten und
physikalischen sowie mathematischen Methoden vertraut machen. Des weiteren soll es ihnen
————————————
6.1
Studienprogramm
32
ermöglichen, in den gewählten Disziplinen aktiv an Forschungsprojekten mitzuarbeiten. Die Ausbildung gliedert sich in die erste Phase der Grundausbildung“, in der die Standardmethoden der
”
Bereiche des Kollegs gelehrt werden, und eine Vertiefungsphase“, in der spezielle Verfahren tief”
gründig behandelt werden und auf neue Entwicklungen eingegangen wird.
Mit der Grundausbildung wird eine gemeinsame Wissensbasis zur Verfügung gestellt, die auch
den Austausch der Kollegiaten untereinander erleichtert. Im Kolleg werden jedes Jahr vierstündige zentrale Vorlesungen über Quantenfeld- und Gravitationstheorie von den theoretischen Physikern angeboten. Differentialgeometrische Methoden und Symmetrieüberlegungen spielen in der
Feldtheorie eine wichtige Rolle und werden den Kollegiaten von den Mathematikern Matveev und
Külshammer in der Vorlesungen Differentialgeometrie und Liegruppen und -Algebren nahegebracht. Eine tabellarische Übersicht der Vorlesungen, Seminare und weiteren Veranstaltungen in
der Grundausbildung findet sich im nächsten Abschnitt Grundausbildung“. In den Spezialisie”
rungsrichtungen wird es weitere 2-stündige Vorlesungen sowie Tagungen zur Gravitations- und
Quantenfeldtheorie und wichtige mathematische Methoden geben. Eine Beschreibung findet sich
im Abschnitt Vertiefungsphase“ auf Seite 33.
”
6.1.1 Stufe 1: Grundausbildung
In den ersten drei Semestern werden folgende Vorlesungen angeboten2
Bereich
Q: Quantentheorie
G: Gravitation
M: Methoden
M: Methoden
Vorlesungstitel
Quantenfeldtheorie
Gravitationstheorie
Differentialgeometrie
Liegruppen und -Algebren
Typ/SWS
4V+2Ü
4V+2Ü
4V+2Ü
3V+1Ü
Leitung
Gi, Wi
Br, Me, Sch
Ma
Kü, Ma
Die aktive Teilnahme an drei Veranstaltungen, aus jedem Bereich mindestens eine, sind in der Regel verbindlich. Wir setzen aber Vorkenntnisse der Kollegiaten in einem der drei Bereiche voraus,
so dass der Besuch einer von drei Vorlesung erlassen werden kann. Die Vorlesungen werden,
soweit möglich, von den Dozenten des Kollegs durchgeführt und die zugehörigen Übungen von
den Postdoktoranden geleitet.
Die Vorlesungen und Übungen werden von Seminaren und wissenschaftlichen Treffen begleitet:
Veranstaltung
Kollegiaten-Seminar
Kollegskolloquium
Physik-Combo
Klausurtagung
Zielgruppe
alle
alle
alle
alle
Frequenz
wöchentlich
jede zweite Woche
sechs Wochenenden im Jahr
drei Tage pro Jahr
Das selbstorganisierte Kollegiatenseminar ist verpflichtend für alle Doktoranden und dient der
Gruppenbildung und dem wissenschaftlichen Austausch. Es wird von fortgeschrittenen Kollegiaten
geleitet. Hier wird jeder Doktorand in regelmäßigen Abständen über seine Fortschritte berichten.
Weiterhin werden wichtige aktuelle Literaturarbeiten vorgestellt und Vorträge von eingeladenen
Wissenschaftlern organisiert. Im ebenfalls verpflichtenden Kollegskolloquium, das ggf. mit den
Institutskolloquien verbunden werden kann, tragen in der Regel auswärtige Wissenschaftler vor,
die dafür einige Tage nach Jena kommen.
2
die Abkürzungen bedeuten: Be = Bechstedt, Br = Brügmann, Gi = Gies, Kü = Külshammer, Ma= Matveev, Me =
Meinel, No = Novak, Sch = Schäfer, Wi = Wipf
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6.1
Studienprogramm
33
Seit 12 Jahren organisiert der Antragsteller Andreas Wipf mit Kollegen aus Halle und Leipzig
die Mitteldeutsche Physik-Combo, bei der an drei Wochenenden im Semester Blockvorlesungen in mathematischer und statistischer Physik, Quantenfeld- und Gravitationstheorie, Teilchenund theoretischer Festkörperphysik angeboten und von den Studenten aller umliegenden Universitäten wahrgenommen werden. Dieses von mehreren Stiftungen geförderte Pilotprojekt wird den
Kollegiaten offen stehen und soll vom Kolleg unterstützt werden. Wir erwarten, dass die Kollegiaten an mindestens drei Wochenenden im Jahr diese Weiterbildungsveranstaltung für Doktoranden
besuchen. Ihr Kontakt mit den vortragenden Wissenschaftlern aus dem deutschsprachigen Raum
und den Doktoranden von etwa 5 − 8 Hochschulen ist ein erwünschter Nebeneffekt.
Einmal im Jahr zieht sich das Kolleg für drei Tage zu einer Klausurtagung außerhalb Jenas zurück.
Moderiert von einem etablierten Wissenschaftler werden dort wissenschaftliche Themen von allgemeinerem Interesse besprochen sowie Forschungsergebnisse des Kollegs vorgestellt und evaluiert. Die persönlichen Kontakte während der Tagung sind wichtig für den Zusammenhalt des
Kollegs.
6.1.2 Stufe 2: Vertiefungsphase
Während dieser dreisemestrigen Phase werden folgende Vorlesungen und Seminare angeboten:
Titel
Typ/SWS
Vorlesungsprogramm
Quantenfeldtheorie II
2V+1Ü
Quantenfeldtheorie des Festkörpers
2V+1Ü
Funktionale Renormierungsgruppe
2V+1Ü
Supersymmetrie
2V+1Ü
Gravitationswellen
2V+1Ü
Relativistische Astrophysik
2V+1Ü
Numerische Relativität
2V+1Ü
Monte-Carlo Methoden
3V+1Ü
Symplektische Geometrie und Integrable Systeme
3V+1Ü
Titel
Typ/SWS Bereich
Seminarprogramm
Aspekte der Feldtheorie
2S
Q+G
Green-Funktions-Methoden
2S
Q
Weltlinienformalismus
2S
Q
Gravitationstheorie
2S
G
Bereich
Q
Q
Q
Q
G
G
G
M
M
Leiter
Wi, Gi
Be
Gi
Wi
Sch, Me
Me, Sch
Br
No
Ma
Leiter
Wi, Gi, No
Be, Wi
Gi, Wi
Br, Me, Sch
Jedes Semester wird mindestens eine Vorlesung aus jedem der Bereiche Q und G gehalten und
jedes Jahr mindestens eine Vorlesung aus dem Bereich Methoden (M). In der Vertiefungsphase
soll jeder Doktorand mindestens zwei Spezialvorlesungen hören und mindestens zwei Seminare
besuchen. Die Spezialvorlesungen werden von Jenaer Dozenten oder Gastdozenten gelesen.
Die Themen und Inhalte, die auf Seite 35 näher spezifiziert werden, sind aus heutiger Sicht sehr
wahrscheinlich, werden aber an die Weiterentwicklung des Profils der beteiligten Institute und die
aktuelle Forschung angepasst.
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6.2
Gastwissenschaftlerprogramm
34
Als regelmäßige und übergreifende Veranstaltungen des Kollegs finden ähnlich wie in der Grundausbildung Kollegiaten-Seminar, Kollegskolloquium und Klausurtagung statt. Der Besuch von Seminar und Kolloquium ist verpflichtend. Seminar, Kolloquium und Klausurtagung werden durch die
Physik-Combo und jährlich stattfindende Arbeitstreffen ergänzt:
Titel
Physik-Combo
Arbeitstreffen
Zielgruppe
alle
nach Bedarf
Frequenz
6 Wochenenden im Jahr
5 Tage im Jahr
Diese sind nicht ausbildungsspezifisch angelegt und können von verschiedenen Doktorandengenerationen gleichzeitig besucht werden. Die Arbeitstreffen mit internationaler Beteiligung führen
die Teilnehmer in einem Schul- und einem Konferenzteil noch weiter an die Spitzenforschung heran. Hier soll sich das Kolleg und seine Mitglieder nach außen präsentieren. Diese Treffen werden
die Attraktivität des Kollegs für Interessenten erhöhen und sollen jährlich stattfinden.
6.1.3 Ergänzende Lehrangebote
Die Lehrveranstaltungen beider Fakultäten der beteiligten Antragsteller sind offen für alle Kollegiaten. Die Fakultäten modularisieren zur Zeit ihre Studiengänge. In der Physik gibt es im MasterStudiengang die Module 1. Optik, 2. Festkörperphysik und Materialwissenschaft, 3. Astrophysik
und 4. Gravitations- und Quantentheorie. Insbesondere die Vorlesungen Solitonen oder Standardmodell der Teilchenphysik aus dem Schwerpunkt Gravitations- und Quantentheorie, Kosmologie aus dem Schwerpunkt Astrophysik, Supraleitung aus dem Schwerpunkt Festkörperphysik/Materialwissenschaft und Nichtlineare Dynamik, Physik bei hohen Laserintensitäten und Relativistische Laser-Plasma-Physik aus dem Schwerpunkt Optik sind sinnvolle Ergänzungen der
Grundausbildung der jeweils fachnahen Doktoranden. In der Mathematik sind dies zum Beispiel
die Vorlesungen Analysis auf Mannigfaltigkeiten, Darstellungstheorie und Spektraltheorie aus dem
Modul Reine Mathematik oder die Vorlesungen Partielle Differentialgleichungen und Wissenschaftliches Rechnen aus dem Modul angewandte Mathematik.
Weiterhin besteht in der Jenaer theoretischen und mathematischen Physik eine langjährige Erfahrung in der Doktorandenweiterbildung durch Sommerschulen: Seit 1995 organisiert Andreas Wipf (mit Kollegen aus Berlin, Hannover, München und Potsdam) jedes Jahr in Thüringen
die zweiwöchige Doktorandenschule Grundlagen und neue Methoden der theoretischen Physik“.
”
Das Ziel der Schule, Doktoranden mit neuen Forschungsgebieten und Methoden direkt vertraut
zu machen, wird durch Vorlesungsreihen von fünf international ausgewiesenen Wissenschaftler
und durch ausführliche Übungen konsequent umgesetzt. Da sich gerade dieses freiwillige Qualifizierungsangebot in der forschungsnahen Graduiertenausbildung hervorragend bewährt, sollen
die Teilnahmekosten der Kollegiaten an dieser oder ähnlichen Schulen aus den Mitteln des Graduiertenkollegs finanziert werden können.
6.2 Gastwissenschaftlerprogramm
Gastwissenschaftler spielen für das Gelingen des geplanten Kollegs eine entscheidende Rolle.
Erfahrungsgemäß sind Diskussionen von Doktoranden mit Gästen oft fruchtbar für den weiteren Fortschritt ihrer Arbeit. Bei kürzeren Besuchen in Jena werden die Gastwissenschaftler ihre
neuesten Forschungsergebnisse im Kollegiaten Seminar oder dem Kollegskolloquium vorstellen.
————————————
6.3
Inhalte der Lehrveranstaltungen
35
In der Regel werden Gäste, die sich länger in Jena aufhalten, auch Spezialvorlesungen im Rahmen des Studienprogramm oder der Physik-Combo anbieten. Folgende international bekannten
Theoretischen Physiker und Mathematiker sind bereit, in einem Graduiertenkolleg Quanten- und
”
Gravitationsfelder“ Vorlesungen über ihr Spezialgebiet anzubieten:
A. Ashtekar (Penn State): Quantum Gravity; Quasi-local Description of Black Holes
P. van Baal (Leiden): Non-Perturbative Quantum Field Theory
U. von Barth (Lund): Free Energy Functionals of Green Functions
T. Baumgarte (Bowdoin): Topics in Numerical Relativity for Neutron Stars
J. Bičák (Prag): Gravitomagnetism
R. Boltje (Santa Cruz): Representation theory
H. Carmichael (Auckland): Quantum Fluctuations of the Electromagnetic Field
S. Catterall (Syracuse): New Approaches to Lattice Supersymmetry
A. Chatterjee (Hyderabad): Large N expansions in quantum mechancs, Polarons
G.V. Dunne (Connecticut): Effective actions in quantum field theory
P. Forgacs (Tours): Solitons in Field Theories
J. Fröhlich (Zürich): Ausgewählte Kapitel der Quantenfeldtheorie
C. Gundlach (Southampton): Hyperbolicity of Various Formulations of the Einstein Eqs.
S. Hands (Swansea:) Strongly-Correlated Fermionic Systems on the Lattice
M. Henneaux (Brüssel): Asymptotic Structure of Gravity at (Spatial) Infinity
J.W. van Holten (Amsterdam): Susy Quantum Mechanics and Supersymmetry
G. Huisken (Potsdam): Energy Inequalities and Hypersurfaces of Prescribed Mean
Curvature in Asymptotically Flat Spacetimes
P. Jaranowski (Białystok): Regularization of Point Masses in General Relativity
P. Laguna (Penn State): Gravitational Waves from Binary Black Hole Spacetimes
C. Lubich (Tübingen): Geometric Numerical Integration
G. Münster (Münster): Introduction to Lattice Gauge Theory
H. Nicolai (Potsdam): Introduction to Supersymmetry and Supergravity
L. Rezzolla (Potsdam): Lectures on Hydrodynamics in Strong Gravitational Fields
K. Ritter (Darmstadt): Stochastische Algorithmen
A. Smilga (Nantes): Higher-Derivative Gauge Theories
N. Straumann (Zürich): The Four Laws of Black Hole Physics
W. Tichy (Florida Atlantic): Initial Data for Black Hole Spacetimes
S. Vandoren (Utrecht): Solitons and Instantons
H. Woźniakowski (Columbia): Computation of High Dimensional Integrals
6.3 Inhalte der Lehrveranstaltungen
Die genaue Zusammenstellung der Themen liegt in der Verantwortung des jeweiligen Dozenten.
Mögliche Inhalte sind etwa folgende:
Vorlesungen Grundausbildung
Q UANTENFELDTHEORIE
Einführung: Nichtrelativistische QED ⋆ Klassische Felder ⋆ Prinzipien für relativistische Quantenfeldtheorien
⋆ Funktionalintegrale ⋆ Erzeugende Funktionale und effektive Wirkungen ⋆ Spontane Symmetriebrechung
⋆ Störungstheorie ⋆ Regularisierung und Renormierung ⋆ Einführung in Eichtheorien
G RAVITATIONSTHEORIE
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6.3
36
Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie ⋆ Einsteinsche Feldgleichungen ⋆ Grenzfall Newtonscher
Gravitation ⋆ Gravitationswellen ⋆ Schwarze Löcher ⋆ Friedmann-Kosmologie und Urknall
D IFFERENTIALGEOMETRIE
Mannigfaltigkeiten und Tangentialräume ⋆ Tensoren ⋆ Riemansche Metriken ⋆ Zusammenhang und kovariante Ableitung ⋆ Geodäten und Bewegungsgleichungen ⋆ Liegruppen und Faserbündel ⋆ Krümmung und
Feldgleichungen ⋆ Differentialformen und Integration
L IEGRUPPEN UND -A LGEBREN
Lineare Lie-Gruppen ⋆ Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen ⋆ Lie-Gruppen und Lie-Algebren ⋆ Halbeinfache
und kompakte Lie-Gruppen ⋆ Homogene und symmetrische Räume ⋆ Anwendungen
Vorlesungen Vertiefungsphase
Q UANTENFELDTHEORIE II
Quantenfeldtheorien bei endlichen Temperaturen ⋆ Spinmodelle und Transfermatrix ⋆ MC-Simulationen ⋆
Molekularfeldnäherung ⋆ Dualitäten ⋆ Energie-Entropie Argumente und Korrelationsungleichungen ⋆ Renormierungsgruppe ⋆ Fermionen auf dem Gitter ⋆ Gittereichtheorien
Q UANTENFELDTHEORIE DES F ESTK ÖRPERS
Adiabatische Näherung ⋆ Fermionen-Felder und Spin ⋆ Longitudinale und transversale Elektron-ElektronWechselwirkungen ⋆ Austausch und Korrelation ⋆ Hartree-Fock-Näherung ⋆ Spindichtefunktionaltheorie ⋆
Elementare Anregungen (Elektronen, Löcher, Exzitonen, Plasmonen, Spindichtewellen)
F UNKTIONALE R ENORMIERUNGSGRUPPE
Perturbative Renormierung ⋆ Ising-Modelle und Blockspin-Transformationen ⋆ Phasenübergänge, kritische
Phänomene und Fixpunkte ⋆ Flussgleichungen der funktionalen Renormierungsgruppe ⋆ Renormierungsflüsse skalarer Theorien ⋆ fermionische Systeme ⋆ Flussgleichungen für Eichtheorien
S UPERSYMMETRIE
Supersymmetrische Quantenmechanik ⋆ Supersymmetrie und integrable Systeme ⋆ Symmetrien und Spinoren ⋆ Wess-Zumino-Modelle ⋆ Supersymmetrie-Algebren und Darstellungen ⋆ Superraum und Superfelder ⋆ Supersymmetrische Yang-Mills-Theorien ⋆ Spezielle Lösungen
G RAVITATIONSWELLEN
Gravitationswellen im Minkowskiraum ⋆ Strahlungsfelder selbstgravitierender Systeme ⋆ Rückwirkung abgestrahlter Gravitationswellen ⋆ Astrophysikalische Quellen von Gravitationswellen ⋆ Gravitationswellendetektoren ⋆ Messung und Analyse von Gravitationswellensignalen
R ELATIVISTISCHE A STROPHYSIK
Einfache nichtrelativistische Sternmodelle ⋆ Weiße Zwerge ⋆ Relativistische Sternmodelle ⋆ Neutronensterne ⋆ Schwarze Löcher ⋆ Rotierende Sterne
N UMERISCHE R ELATIVIT ÄT
Numerische Relativitätstheorie für Schwarze Löcher und Gravitationswellen ⋆ 3+1 Zerlegung der 4-dimensionalen Einsteingleichungen ⋆ Numerik des elliptischen Anfangswertproblems ⋆ Numerik der Zeitentwicklungsgleichungen
S TOCHASTISCHE A LGORITHMEN IN DER Q UANTENPHYSIK
Zufallszahlen ⋆ hochdimensionale Integrale ⋆ (schnell mischende) Markov-Ketten ⋆ Metropolis-Algorithmus
⋆ Wärmebad ⋆ Fehlerabschätzungen ⋆ Spinmodelle
S YMPLEKTISCHE G EOMETRIE UND I NTEGRABLE S YSTEME
⋆ Grundlagen der klassischen Hamiltonschen Mechanik ⋆ Differentialformen ⋆ Symplektische Geometrie
und integrable Systeme ⋆ Anwendungen
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6.3
37
Seminare Vertiefungsphase
A SPEKTE DER F ELDTHEORIE
Hier sollen neue Entwicklungen und Methoden der Quanten- und Gravitationstheory besprochen werden.
Mögliche Themen wären Physikalische Effekte in starken Gravitationsfeldern“, Effektive Wirkungen in
”
”
Quanten- und Gravitationstheorie“, Differentialgeometrische Methoden“ oder Numerische Algorithmen“.
”
”
G REEN -F UNKTIONS M ETHODEN
Definitionen ⋆ Beispiele aus Elektrodynamik und Quantenmechanik ⋆ Spektraldarstellungen und -theoreme
⋆ Retardierte, avancierte und zeitgeordnete Funktionen ⋆ Wechselwirkung und Selbstenergie ⋆ DysonGleichung ⋆ Anwendungen auf Systeme mit Paarwechselwirkungen
W ELTLINIENFORMALISMUS
Pfadintegral in der Quantenmechanik ⋆ Effektive Wirkungen in der Feldtheorie ⋆ Weltlinienformulierung
von Korrelationsfunktionen ⋆ Vakuumpolarisation auf der Weltlinie ⋆ Weltlinienformalismus für fermionische
Fluktuationen ⋆ Weltlinieninstantonen ⋆ Weltliniennumerik ⋆ Nichtperturbative Weltliniendynamik
G RAVITATIONSTHEORIE
Spezielle elliptische Probleme: Anfangswertproblem, Erhaltung der Zwangsbedingungen während der Zeitentwicklung, Scheinbare Horizonte ⋆ Formulierung des Zeitentwicklungsproblems, Hyperbolische Systeme
erster und gemischter Ordnung für die Einsteingleichungen ⋆ Astrophysikalische Schwarze Löcher und
Neutronensterne ⋆ Kosmologische Modelle
————————————

Quanten- und Gravitationsfelder (Quantum and Gravitational Fields)

Transcription

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