3.1.3 Planeten- u. Satellitenbahnen

3.1.3 Planeten- u.
Satellitenbahnen
Keplersche Gesetze
Wie bewegt sich Körper (Planet, Mond, Satellit, …)
im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers?
r
r
DGl. F = m ⋅ a
r
r
r
r (t )
d 2 r (t )
r
F = m ⋅ a ⇒ − G ⋅ mM ⋅ r 3 = m ⋅ 2
dt
r (t )
M= Masse d. Zentralkörper (Sonne, Erde …)
Lsg. dieser DGl. … Keplersche Gesetze
Mathe.
1
Newton (ca.) 1684: 2 − Kraft ⇔ Kepler − Gesetze
r
Johannes Kepler (1572-1630) aus Weil der Stadt,
1609/1619: Schlussfolgerungen aus astronomischen
Beobachtungen (Tycho Brahe u.a.)
1. Keplersches Gesetz:
r
Bahnkurven r (t ) sind Kegelschnitte
(Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel).
Der Zentralkörper steht im Brennpunkt
2. Keplersches Gesetz:
„Flächensatz“ ( Drehimpulserhaltung )
Verb.-Linie „Sonne-Erde“ überstreicht
in gleichen Zeiten gleiche Fläche !
3. Keplersches Gesetz:
Kreis- u. Ellipsenbahnen
Umlaufszeit T hängt (nur!) von
großer Halbachse a ab: T 2 ~ a 3 !
Bahnen der Planeten/Satelliten
sind Kegelschnitte
(abhängig von den
Anfangsbedingungen)
Kreis
Ellipse
Parabel
Hyperbel
Flächensatz
Drehimpulserh.
gleiche Flächen,
gleiche Zeiten!
r
r (t )
α
Johannes Kepler
(1572-1630)
Walter Hohmann (1880-1945), Ing. aus Hardheim, 1925:
Berechnung der Flugbahnen mit min. Treibstoffverbrauch
(„Hohmann-Ellipsen“)
dA 1 r
r
r
r
= 2 r (t ) ⋅ v (t ) ⋅ sin α = r (t ) × v (t )
dt
r
r
r
d A r (t ) × mv (t ) L
=
=
= const .
dt
2m
2m
r
v (t ) ⋅ d t
r
r
d A = 12 r (t ) ⋅ v (t ) ⋅ d t ⋅ sin α
Überstrichene Fläche pro Zeit („Flächengeschw.“) ist wg.
Drehimpulserhaltung konstant!
Keplersche Gesetze
Umlaufszeit T bei Kreis-/Ellipsenbahnen
hängt (nur!) ab von
großer Halbachse a
(Kreis: Radius R = a !)
2a
Für alle auf geschlossenen Bahnen (Kreis-/Ellipsenbahnen)
um einen Zentralkörper umlaufenden Satelliten gilt :
T 2 ~ a3
a3
= const .
T2
bzw.
bzw.
3. Kepler-Gesetz für Kreisbahn:
Gravitationskraft = Zentipetalkraft !
FGrav. = Fz
G
mM
= mω2 R
R2
M  2π 
G 3 = 
R T 
M
R3
G
=
(2π)2 T 2
2
⇒
R3
= const .
T2
a13 a23
=
=K
T12 T22