EINMALEINS BEZIEHUNGSREICH

EINMALEINS BEZIEHUNGSREICH
Thema:
Stufe:
Dauer:
Materialien:
Quelle:
Übung des kleinen Einmaleins; operative Beziehungen erkunden
ab 2. Schuljahr
2 bis 3 Lektionen
Kleine Einmaleinstafeln (ohne Farben), Punktefelder
Wittmann, E.Ch. und Müller, G.N.: „Muster und Strukturen“ als
fachliches Grundkonzept des Mathematikunterrichts der Grundschule.
In: Walther, G. u.a. (Hg.), Bildungsstandards für die Grundschule:
Mathematik konkret. Berlin: Cornelsen Scriptor 2007
Bearbeitung: Salome Tschopp und Elmar Hengartner
Aufgabe A: Folgen von Aufgabenpaaren (waagrecht in der Maltafel)
1 Starte mit den Malaufgaben 2x5 und 1x6. Sie liegen in der Maltafel untereinander.
Berechne die Ergebnisse. Gehe dann waagrecht nach rechts zu den nächsten
Aufgabenpaaren und berechne die Ergebnisse:
2x5=
1x6=
3x6=
2x7=
4x7=
3x8=
5x8=
4x9=
............
............
Beschreibe die Päckchen.
Vergleiche die Ergebnisse.
2 Wähle selber Paare von untereinander liegenden Einmaleinsaufgaben.
Setze in gleicher Weise wagrecht nach rechts fort und notiere die Rechnungen
wie oben.
1
Aufgabe B: Folgen von Aufgabenpaaren (senkrecht in der Maltafel)
3 Starte mit den beiden Malaufgaben 1 x 8 und 2 x 9. Sie liegen in der Maltafel
nebeneinander. Gehe senkrecht nach oben zu den nächsten Aufgabenpaaren und rechne die Ergebnisse:
1 x 8 = .....
2 x 7 = ...
3 x 6 = ...
4 x 5 = ...
................
2 x 9 = ....
3 x 8 = ...
4 x 7 = ...
5 x 6 = ..
...............
Beschreibe die Päckchen.
Vergleiche die Ergebnisse.
4 Wähle selber Paare von nebeneinander liegenden Einmaleinsaufgaben, rechne
sie aus und setze sie in gleicher Art senkrecht nach oben oder nach unten fort:
... x ... = ...
... x ... = ...
... x ... = ...
... x ... = ...
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Worum es geht?
Die Idee zu dieser Lernumgebung verdanken wir Erich Ch. Wittmann: Wir folgen
seiner Beschreibung im Aufsatz: Wittmann, E.Ch./ Müller, G.N.: „Muster und
Strukturen“ als fachliche Grundkonzepte des Mathematikunterrichts der Grundschule.
Aufgabe A: Folgen von Aufgabenpaaren (waagrecht in der Maltafel)
Die Übung des Einmaleins wird in dieser Lernumgebung mit der Maltafel so
strukturiert, dass operative Beziehungen zwischen den Einmaleinsaufgaben
unmittelbar sichtbar werden und der Kontrolle der Ergebnisse dienen können.
Man startet mit einer Malaufgabe, zum Beispiel 2 x 5 und entwickelt daraus ein
Päckchen nach folgender Regel:
2x5=
1x6=
3x6=
2x7=
4x7=
3x8=
5x8=
4x9=
.........
.........
„Jede Aufgabe in der zweiten Zeile entsteht aus der darüber stehenden dadurch,
dass der erste Faktor um 1 erniedrigt und der zweite um 1 erhöht wird. In jeder Zeile
nehmen die Faktoren von einem Feld zum nächsten um je 1 zu. Die Pünktchen am
Schluss deuten an, dass das Päckchen fortgesetzt werden kann, wenn und so weit
ein Kind das möchte.“ (ebd. S. XX). Dass die Kinder dies taten, zeigen ihre
Dokumente. In ihnen wird auch deutlich, dass sie ein Muster entdeckt haben, dass
nämlich die Ergebnisse der zweiten Zeile durchgehend um 4 kleiner sind als die
Ergebnisse der darüber stehenden Aufgaben. Und einzelne Kinder konnten dies
anhand von Punktfeldern (Kopiervorlage 2) auch begründen (siehe das Dokument
von Melanie im Abschnitt Kinderdokumente aus der Erprobung).
Aufgabe B: Folgen von Aufgabenpaaren (senkrecht in der Maltafel)
Die Regel für die Bildung der Päckchen wird abgewandelt: Man startet zum Beispiel
mit 1 x 8 und entwickelt folgendes Päckchen:
1 x 8 = ...
2 x 7 = ...
3 x 6 = ...
4 x 5 = ...
...............
2 x 9 = ...
3 x 8 = ...
4 x 7 = ...
5 x 6 = ...
...............
In beiden Päcken rechts wie links wird der erste Faktor um 1 erhöht, während der
zweite Faktor um 1 erniedrigt wird. Von links nach rechts werden beide Faktoren der
ersten Aufgabe um 1 erhöht. Wiederum bleiben die Ergebnisunterschiede konstant.
Und wiederum haben die Kinder die Päckchen teils fortgesetzt, und einzelne
versuchten die Konstanz der Ergebnisunterschiede an Punktefeldern zu begründen
(siehe das Dokument von Tim).
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Kinderdokumente aus der Erprobung
Aufgabe A: Folgen von Aufgabenpaaren (waagrecht in der Maltafel)
Simone hat drei Päckchen von Aufgabenpaaren waagrecht in der Maltafel
fortgesetzt:
- die vorgegebene mit Start bei 2 x 5 und 1 x 6 (über die Maltafelgrenze hinaus!),
- die mittlere mit vertauschten Faktoren beginnend mit 2 x 1 und 1 x 2 und
- eine dritte beginnend mit 6 x 1 und 5 x 2.
Simone stellt fest, dass die Ergebnisunterschiede der Aufgabenpaare immer gleich
bleiben. Sie begründet zudem, weshalb die Ergebnisunterschiede in der ersten und
der dritten Folge gleich sind, nämlich 4, weil sie gleich weit von der Mitte, das heisst
gleich weit von den Aufgaben der Quadratzahlen entfernt sind.
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Melanie gibt anhand von Punktfeldern, in denen sie die Aufgaben anmalt, eine
Begründung, weshalb der Ergebnisunterschied übereinander liegender
Aufgabenpaare immer 4 bleibt:
Von 2 x 5 zu 1 x 6 fällt 1 x 5 weg, dafür kommt 1 hinzu, der Unterschied ist also 4.
Von 3 x 6 zu 2 x 7 fällt 1 x 6 weg, dafür kommen 2 dazu, der Unterschied bleibt 4.
Von 4 x 7 zu 3 x 8 fällt 1 x 7 weg, dafür kommen 3 hinzu, der Unterschied bleibt 4.
Und das gilt auch für die weiteren Beispiele.
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Aufgabe B: Folgen von Aufgabenpaaren (senkrecht in der Maltafel)
Daniela hat drei Folgen von Aufgabenpaaren senkrecht in der Maltafel fortgesetzt:
- die vorgegebene Folge, begonnen mit 1 x 8 und 2 x 9 (siehe die Pfeile),
- eine zweite begonnen von oben mit 6 x 1 und 7 x 3 und
- eine dritte Folge begonnen von oben mit 7 x 6 und 8 x 7. Sie stellt fest, dass die
Ergebnisunterschiede zwischen Aufgabenpaaren nebeneinander in allen drei Folgen
jeweils gleich bleiben. In der ersten Folge ist der Unterschied immer 10, in der
zweiten immer 8 und in der dritten immer 14.
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Simone gibt keinerlei Erläuterungen – weder Feststellungen zu gleichen Abständen
der Ergebnisse noch Begründungen. Aber sie hat entlang der strukturierten
Aufgabenpäckchen fast die gesamte Einmaleinstafel gerechnet, insgesamt 80
Aufgaben. Und sie hat alle richtig gerechnet und nur eine einzige nicht der Struktur
entsprechend bestimmt (2 x 4 = 8 statt 2 x 5 = 10). Es ist anzunehmen, dass auch sie
auf die gleichen Abstände zwischen den Ergebnissen aufmerksam wurde. Ohne
dieses Muster hätte sie kaum so viele Aufgaben gerechnet.
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David hat ähnlich viele Aufgaben wie Simone gerechnet.. Von Anfang an gilt seine
Aufmerksamkeit aber den gleich bleibenden Unterschieden zwischen den
Aufgabenpaaren, die er vertikal fortsetzt: „Von der 1. Reihe zur 2. Reihe ist immer
ein gewisser Unterschied, z.B. 10, 17, 14, 18, 13, 11 und 11“, schreibt er nach den
ersten Erkundungen, welche er dann weiter fortsetzt mit Aufgabenpaaren mit
Unterschied 4, 5 und 8. Er macht eine interessante Feststellung: :“Desto weiter ich
nach links gehe (gemeint: bei der Wahl der vertikal fortgesetzten Aufgabenpaare in der
Maltafel), desto kleiner werden die Ergebnisse“ (gemeint: Ergebnisunterschiede).
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Timo rechnet nach dem vorgegebenen Päckchen, von unten beginnend mit 1 x 8 und
2 x 9, zwei weitere Folgen (Päckchen) von Aufgabenpaaren, die er unmittelbar nach
rechts anschliesst. Wie andere Kinder auch geht er über die Grenze der Maltafel
hinaus und setzt die Struktur der Aufgabenfolge fort. Interessant ist Timos neue
Fragestellung, wie sich denn die Aufgaben waagrecht auf jeder Zeile entwickeln. Er
untersucht das an der obersten Zeile von 5 x 4, 6 x 5, 7 x 6, 8 x 7, 9 x 8 und 10 x 9 und
schreibt dazu, dass beide Faktoren jeweils um 1 grösser werden: „Von Rechnung zu
Rechnung wächst die vordere Zahl und die hintere Zahl um eins.“ Und zu den
Ergebnissen schreibt er: „Von Resultat zu Resultat wachsen die Abstände immer um
zwei in einer geraden Reihe.“ Gemeint ist: Sie wachsen immer um die nächste gerade
Zahl, was der Bildungsregel der „Fast-Quadratzahlen“ entspricht.
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Robin begründet anhand von Punktefeldern, in denen er die Aufgaben des ersten
vorgegebenen Päckchens anmalt, weshalb der Ergebnisunterschied nebeneinander
liegender Aufgabenpaare immer 10 bleibt :
Von 1 x 8 zu 2 x 9 kommen 8 hinzu plus 2 rechts vertikal.
Von 2 x 7 zu 3 x 8 kommen 7 hinzu plus 3 rechts vertikal.
Von 3 x 6 zu 4 x 7 kommen 6 hinzu plus 4 rechts vertikal.
Von 4 x 5 zu 5 x 6 kommen 5 hinzu plus 5 rechts vertikal usw.
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Kopiervorlage 2: Punktefelder zum Anmalen von Aufgabenpaaren
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