Algebraische Strukturen

Algebraische Strukturen - Aufgabe 4a
Behauptung M = {(a, b, c, d) ∈ Z 4 |ad − bc = 1} bildet mit * eine kommutative Gruppe
z.z.:
1. M ist unter der Verknüpfung * abgeschlossen, d.h. (a, b, c, d), (e, f, g, h) ∈ Z 4 ⇒ (a, b, c, d) ∗
(e, f, g, h) ∈ Z 4
2. (M,*) ist assoziativ
3. (M,*) besitzt ein neutrales Element, d.h. ∃e ∈ M (a, b, c, d) ∈ M : (a, b, c, d) ∗ e = e ∗
(a, b, c, d) = (a, b, c, d)
4. Für alle (a,b,c,d) ∈ M existiert ein Inverses Element (a, b, c, d)−1 ∈ M, sodass gilt (a, b, c, d) ∗
(a, b, c, d)−1 = (a, b, c, d)−1 ∗ (a, b, c, d) = e
Die Kommutativität wird separat bewiesen.
Beweis:
1)
Sei (a, b, c, d), (e, f, g, h) ∈ M daher gilt ad − bc = 1 und eh − f g = 1, sowie nach Definition von *:
(a,b,c,d)*(e,f,g,h) = (ae + bg, af+bh,ce+dg,cf+dh) ∈ Z 4 ,
Für das Ergebniss der Verknüpfung überprüfen wir die Bedingung von M:
(ae+bg)(cf+dh) - (af+bh)(ce+dg)
= aecf + bgcf + bgdh + aedh - afce - bhce - afdg bhdg
= bgcf - bhce + aedh - afdg
= eh( ad − bc) + fg(bc − ad) = eh - fg = 1
| {z }
| {z }
=1
=−1
⇒ die Bedingung ist erfüllt ⇒ (a, b, c, d) ∗ (e, f, g, h) ∈ M ⇒ (M,*) ist abgeschlossen.
Bevor wir nun weiter gehen, wollen wir (a,b,c,d)
etwasumschreiben. Dabei lernen wir die Matria b
zen kennen, die wie folgt aufgeschrieben werden:
Dies ist eine 2 x 2 Matrix mit Elementen
c d
aus Z. Die Menge aller solcher Matrizen nennen wir Mat(2x2, Z). Unsere Menge M ist somit eine
Teilmenge von Mat(2x2, Z). Im Studium werden euch Matrizen noch sehr oft begegnen,
darum
wer
a b
a b
den wir hier mit der Matrizenschreibweise weitermachen und zeigen das G = {
|
c d
c d
∈ Mat(2x2, Z) und
ad-bc
=
1
}
eine
kommutative
Gruppe
bildet.
Die
Bedingung
ad-bc=
1
werden
a b
wir noch als det (
) irgendwann wiedersehen und die Matrixmultiplikation auch auf andere
c d
Mengen wie Mat(3x3,Z), Mat(4x4,R) oder allgemein Mat(n x n, K) ausweiten (n ∈ N und K eine
Körper).
Jetzt zeigen wir die Assoziativität erstmal direkt:
Nur zur Verständlichkeit, die Verknüpfung ist die selbe geblieben, sieht jetzt nur so aus:
a b
e f
ae + bg af + bh
∗
:=
c d
g h
ce + dg cf + dh
1
2)
a11 a12
b
b
c
c
∗ 11 12
∗ 11 12
a21
b21 b22
c21 c
22
a22
a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22
c
c
=
∗ 11 12
c21 c22
a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22
(a11 b11 + a12 b21 )c11 + (a11 b12 + a12 b22 )c21 (a11 b11 + a12 b21 )c12 + (a11 b12 + a12 b22 )c22
=
(a21 b11 + a22 b21 )c11 + (a21 b12 + a22 b22 )c21 (a21 b11 + a22 b21 )c12 + (a21 b12 + a22 b22 )c22
a11 a12
b11 b12
c11 c12
∗
∗
a21 a22
b
b
c21 c22
21 22
a11 a12
b11 c11 + b12 c21 b11 c12 + b12 c22
=
∗
b21 c11 + b22 c21 b21 c12 + b22 c22
a21 a22
a11 (b11 c11 + b12 c21 ) + a12 (b21 c11 + b12 c22 ) a11 (b11 c12 + b12 c22 ) + a12 (b21 c12 + b22 c22 )
=
a21 (b11 c11 + b12 c21 ) + a22 (b21 c11 + b22 c21 ) a21 (b11 c12 + b12 c22 ) + a22 (b21 c12 + b22 c22 )
Ich will jetzt nur noch anhand des ersten Elements der Matrix (1. Spalte 1. Zeile) zeigen, dass
assoziativität gilt:
(a11 b11 + a12 b21 )c11 + (a11 b12 + a12 b22 )c21 = a11 b11 c11 + a12 b21 c11 + a11 b12 c21 + a12 b22 c21 =
a11 b11 c11 + a11 b12 c21 + a12 b21 c11 + a12 b22 c21 = a11 (b11 c11 + b12 c21 ) + a12 (b21 c11 + b12 c22 )
Analog kann man es für alle anderen Elemente zeigen.
⇒ (M, ∗) ist assoziativ.
3)
0
ist das neutrale Element.
1
1 0
Es gilt (1 ∗ 1 − 0 ∗ 0 = 1) ⇒
∈G
0 1
a b
Sei
∈ G dann gilt außerdem:
c d
1 0
a b
1∗a+0∗b 0∗a+1∗b
a b
∗
=
=
0 1 c d 1 ∗ c + 0 ∗ d 0 ∗ c + 1 ∗ d c d
a b
1 0
a∗1+b∗0 a∗0+b∗1
a b
∗
=
=
c d
0 1 c∗ 1 + d ∗ 0 c ∗ 0 + d ∗ 1
c d
1 0
⇒ (1,0,0,1) bzw.
ist das neutrale Element von M bzw. G
0 1
Behauptung: e=
1
0
4)
a
Sei
c
b
∈G
d
a
Behauptung:
c
−1 b
d −b
=
d
c a
a b
Beweis: Nach Vorraussetzung ist
∈G
c d
d −b
⇒ ad − cb = 1 ⇒ da − (−c)(−b) = 1 ⇒
∈G
−c a
Wir
prüfen:
a b
d −b
ad − bc
db − bd
1 0
∗
=
=
c d
−c a
−ca + ac −cb + ad
0 1
Ganz
analog:
d −b
a b
ad − bc
db − bd
1 0
∗
=
=
−c a
c d
−ca + ac −cb + ad
0 1
2
⇒ damit folgt die Behauptung
⇒ (G,*) und damit (M,*) ist eine Gruppe.
q.e.d.
Kommutativität
Widerlegung
einer
zeigt man am einfachsten mit einem Gegenbeispiel:
Behauptung
3 4
−2 −1
Für
,
∈ Mat(2x2, Z) gilt nämlich:
2 3
5
2
3 4
−2 −1
(3 ∗ 3 − 2 ∗ 4 = 1) und (−2 ∗ 2 − (−1) ∗ 5 = 1) ⇒
,
∈ G aber:
2 3
5
2
3 4
−2 −1
−6 + 20 −3 + 8
14 5
∗
=
=
2
3
5
2
−4
+
15
−2
+
6
11 4
−2 −1
3 4
−6 − 2 −8 − 3
−8 −11
∗
=
=
5
2
2 3
15 + 4 20 + 6
19
26
⇒ (G,*) und damit (M,*) ist nicht kommutativ
⇒ (G,*) und damit (M,*) ist eine nicht kommutative Gruppe.
Algebraische Strukturen - Aufgabe 4b
Nun betrachten wir auch Aufgabenteil b) mit der neuen
Schreibweise:
1 a
Ist U := (1, a, 0, 1)|a ∈ Z so sagen wir U := {
|a ∈ Z}(U ist kein Bezeichnung die
0 1
Standart für solche Mengen ist, also nicht wundern wenn Schweigert diese Gruppe anders bennent,
z.B. geht auch U’)
Aber weiter zur eigentlichen Aufgabe:
Behautpung: U ist eine Untergruppe von G
Dann ist zu zeigen:
1.1) U ⊆ G d.h. U ist eine TEILMENGE von G
1.2) U ⊂ G d.h. U ist eine NICHTLEERE TEILMENGE von G
Nichtleer wird meist dadurch bewiesen, dass man das Neutrale Element (hier von U) findet.
2) a,b ∈ U ⇒ a ∗ b ∈ U
3) a ∈ U ⇒ a−1 ∈ U
2 und 3 lassen sich auch zusammenfassen zu:
2/3) a,b ∈ U ⇒ a ∗ b−1 ∈ U
Ich empfehle jedoch, wenn es noch nicht so mit dem Beweisen klappt die Schritte 2 und 3 zu
trennen. Assoziativität ist nicht verlangt zu zeigen.
1.1) - U ist Teilmenge von G
Es gilt: (1 ∗ 1 − a ∗ 0 = 1) ⇒
1
0
a
∈ G für beliebiges a ∈ Z ⇒ U ⊆ G
1
2) - Abgeschlossenheit
1 a
1 b
Sei
,
∈ U, so gilt:
1 0 1 0 1 a
1 b
1∗1+a∗0
∗
=
0 1
0 1
0∗1+1∗0
1∗b+a∗1
1
=
0∗b+1∗1
0
3
b+a
∈U
1
1.2) - Neutrales Element bzw. U ist nichtleer
Behautpung:
1
0
0
ist das Neutrale Element in U
1
Beweis:
1 0
Es gilt 0 ∈ Z ⇒
∈U
0 1
1 a
Sei
∈ U so gilt:
0
1
1 a
1 0
1 0+a
∗
=
1 0 1 0 1 0
1 0
1 a
1 a+0
∗
=
0 1
0 1
0
1
⇒ Die Behauptung bezüglich des Neutralen Elements gilt
1 0
und da
∈U ⇒U =
6 ∅
0 1
3) - Inverse Elemente
a
Sei au =
∈U
1
1 −a
Behauptung:
ist das Inverse Element zu au
0 1
1
0
Beweis:
1
Es gilt a ∈ Z ⇒ −a ∈ Z (da (Z,+) eine Gruppe ist) ⇒
0
1 −a
1 a
1 a+b
∗
=
0
1
0
1
0
1 1 a
1 −a
1 b+a
∗
=
0 1
0 1
0
1
−a
∈U
1
Da
Gruppe ist, gilt a+b = b+a gilt:
(Z,+) sogar
eine kommutative
1 a+b
1 b+a
=
0
1
0
1
⇒ Die Behauptung bezüglich des Inversen Elementes gilt.
Aus 1.1, 1.2, 2, 3 folgt U ist eine Untergruppe von G.
q.e.d
Manchmal wir noch verlangt zu zeigen, ob eine Gruppe (auch Untergruppen sind wieder Gruppen) kommutativ ist. Dies wollen wir jetzt zum Spaß einmal für U zeigen. (ihr braucht es nur
zeigen, wenn danach verlangt wir)
1 a
1 b
Sei
,
∈ U so gilt (und wir erinnern uns nochmal, dass (Z,+) eine kommutative
0 1
0 1
Gruppe bildet):
a+b=b+a z}|{
1 a
1 b
1 b+a
1 a+b
1 b
1 a
∗
=
=
=
∗
0 1
0 1
0
1
0
1
0 1
0 1
4
Algebraische Strukturen - Aufgabe 4c
Zu zeigen ist, dass (Z,+) und (U, *) isomorph sind. Das heißt, wir definieren eine Funktion
ϕ : Z → U und zeigen, dass diese Funktion ein bijektiver Homomorphismus ist. Diese Funktion wählen wir wie folgt:
1 x
Behauptung: ϕ : Z → U mit ϕ(x) =
ist ein Isomorphismus.
0 1
zu zeigen:
1. ϕ ist ein Homomorphismus, d.h. ϕ(x + y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y) (Beachtet dabei, dass einmal die
Verknüpfung von Z und einmal von U gilt)
2. ϕ ist surjektiv
3. ϕ ist injektiv
Beweis:
1)
Sei a,b ∈ Z, so gilt:
1 a+b
1 b
1 a
ϕ(a + b) =
=
∗
gilt nach 4b - 2) Abgeschlossenheit und da wir
0
1
0 1
0 1
praktischerweise Kommutativität gezeigt haben ;) folgt auch:
1 b
1 a
1 a
1 b
∗
=
∗
= ϕ(a) ∗ ϕ(b)
0 1
0 1
0 1
0 1
⇒ ϕ ist surjektiv.
2)
Folgt direkt aus der Definition, hier aber einmal genauer gezeigt:
1 a
1 a
zu zeigen ∀
∈ U ∃b ∈ Z : ϕ(b) =
0 1
0 1
Wir wählen b = a und es gilt nach Definition von ϕ:
1 a
ϕ(b) = ϕ(a) =
0 1
⇒ für alle Matrizen aus U findet man ein b ∈ Z, das die Bedingung erfüllt.
3)
Injektivität zeigen wir auch recht einfach:
Sei a,b∈ Z mit ϕ(a) = ϕ(b) so gilt
1 a
1 b
ϕ(a) = ϕ(b) ⇒
=
0 1
0 1
⇒a=b
⇒ ϕ ist injektiv (und nach Teil 2 surjektiv).
⇒ ϕ ist bijetiv (und nach Teil 1 homomorph.
⇒ ϕ ist ein Isomorphismus, der von Z auf U abbildet.
⇒ (Z, +) und (U,*) sind isomorph.
q.e.d.
5