Analysis TM FSI Grundlagen Differentialrechnung, Inte

Hellweg Berufskolleg Unna Mathematik Technische-Mathematik
1
Mathematik Reinhart-Fröstl TM Hellweg-Berufskolleg
Analysis TM FSI Grundlagen Differentialrechnung, Integralrechnung
1
Funktionen
1.1
Lineare Funktionen
1. Einstieg mit CAS bzw. Textaufgabe lineare Funktionen, MuPAD Schulung Funktionen.mn
Aufgaben zu linearen Funktionen:
(a) Ein Fallschirmspringer misst seine Höhe in Abhängigkeit von der Zeitdauer des
Fluges.
Die Höhe wird in m und die Zeit in Sekunden gemessen. (10 s, 860 m), (12 s, 852
m), (30 s, 780 m), (100s, 500 m).
Zeigen Sie, dass diese Punkte auf einer linearen Funktion
f (x) = m ∗ x + n
liegen und berechnen Sie diese Funktion.
Nach wievielen Sekunden trifft der Springer auf der Erde ein?
Auf welcher Höhe ist er abgesprungen?
(b) Beim Auftauchen eines Ubootes werden Tiefe in m und Zeit in s gemessen:
(5 , - 1960 m), (15, -1880 m), (90, - 1280 m), (200, -400 m). Zeigen Sie, dass diese
Punkte auf einer linearen Funktion
f (x) = m ∗ x + n
liegen und berechnen Sie diese Funktion.
Wann ist das Uboot aufgetaucht ?
Bei welcher Tiefe begann der Auftauchvorgang ?
2. Wesentliche Eigenschaften linearer Funktionen:
Def 1.1 Ein Funktion
f (x) = mx + c, c ∈ IR
heißt lineare Funktion.
m: Steigung
c: Y-Achsenabschnitt
3. Bestimmung einer linearen Funktion durch zwei Punkte: P(1/3),Q(3/4)
m=
1
4−3
=
3−1
2
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f (1) =
2
1
·1+c=3
2
Auflösen nach c ergibt:
c=3−
Somit
1.2
1
1
=2
2
2
1
1
f (x) = x + 2
2
2
ganzrationale Funktionen
Def 1.2
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
nennt man ganzrationale Funktion oder Polynom.
n ist der Grad der ganzrationalen Funktion.
1. Aufgabe: Zeichnen Sie die Funktionen:
f1 (x) = x2 − 3x + 1
f2 (x) = 14 x3 − x2 − x + 4
1 4
1 3
f3 (x) = 16
x − 20
x − 2x2 − 3x + 2
2. Nullstellenberechnung durch Polynomdivision, wenn eine Nullstelle bekannt ist.
f (x) = x3 − 2x2 − 5x + 6
Nullstelle f (1) = 0:Berechnen Sie
(x3 − 2x2 − 5x + 6) : (x − 1)
und ermitteln Sie die fehlenden Nullstellen. Lösung: f (x) = (x − 1) · (x + 2) · (x − 3)
3. Beobachtung: f (x) läßt sich als Produkt der Faktoren (x − xi ), i = 1, 2, 3 schreiben, wobei
xi die Nullstellen der Funktion f (x) sind.
4. Aufgabe: Geben Sie eine ganzrationale Funktion 3-ten Grades an, die
(a) drei Nullstellen besitzt
(b) nur eine Nullstelle besitzt.
5. Übung zur Polynomdivision, p-q-Formel: Bestimme die Nullstellen von
f (x) = (x3 − 6x2 + 11x − 6)
Lösung:f (x) = (x − 1)(x2 − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
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2
3
Differentialrechnung
2.1
Änderungsrate
1. Berechnen der momentanen Geschwindigkeit über die Funktion s(t) mittels Näherung
s(t+h)−s(t)
.
h
2. v als Grenzwert ermitteln
3. Zeichnen von s(t), Veranschaulichung der Steigung
v=
δs
δt
4. Links http://www.mathe-online.at/mathint/diff1/i.html
5. Def 2.1 Sei g(x) eine Funktion in IR, dann heißt
g(x) − g(x0 )
x − x0
Änderungsrate.
Strebt die Änderungsrate für x 7→ x0 gegen einen Wert m(x0 ), so heißt m(x0 ) momentane Änderungsrate von g an der Stelle x0 .
Schreibweise:
g(x) − g(x0 )
lim
= m(x0 )
x7→x0
x − x0
Aufgaben Klett Fachhochschulreife S90/3,4
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2.2
4
Die Ableitung an einer Stelle
1. Versuch die Änderungsrate durch Rechnung zu bestimmen.
1
s(t) = gt2
2
s(t + h) − s(t)
t+h−t
+ h)2 − 12 gt2
=
h
1 (t + h)2 − t2
= lim g
h→0 2
h
1 (t2 + 2ht + h2 ) − t2
= lim g
h→0 2
h
1 2ht + h2
= lim g
h→0 2
h
1 h(2t + h)
= lim g
h→0 2
h
1
= lim g(2t + h)
h→0 2
1
= g2t
2
= gt
v(t) = lim
h→0
1
g(t
lim 2
h→0
2. Hinweis: analoge Rechnung, Annäherung von links und rechts, (x+h),(x-h)
h 7→ 0
3. Def 2.2 Die Funktion f sei auf einem Intervall I definiert und x0 ∈ I.
Existiert der Grenzwert
limh→0
f (x0 +h)−f (x0 )
h
= m(x0 )
so heißt f an der Stelle x0 differenzierbar und m(x0 ) ist die Ableitung von f in x0 .
Schreibweise: f ′ (x0 )
4. Verallgemeinerung der punktuellen Ableitung
Def 2.3 Die Funktion f (x) sein auf ID definiert. Ist f für alle xinID differenzierbar, so
heißt die Funktion
f ′ : x 7→ f ′ (x)
die Ableitungsfunktion oder Ableitung von f .
5. Übung: Die Ableitung der Funktion f (x) = x formal als Grenzwert bestimmen. Erweiterung auf f (x) = a · x.
6. Die Ableitung der Funktion f (x) = xn läßt sich mit ähnlicher Rechnung wie bei x2
bestimmen.
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5
Satz 2.1 Die Ableitungsfunktion der Funktion f (x) = xn , n ∈ IN ist
f ′ (x) = n · xn−1
7. Aufgaben: Klett FH, S 94/6, 7,
2.3
Ableitungsfunktionen
1. Faktor und Summenregel:
f (x) = c · g(x), f ′ (x) = c · g ′ (x)
f (x) = g(x) + h(x), f ′ (x) = g ′ (x) + h′ (x)
2. Besipiele dazu: f (x) = 6x3 , f ′ (x) = 18x2
f (x) = x2 + 5x + 1, f ′ (x) = 2x + 5
3. Satz 2.2 Jede ganzrationale Funktion f vom Grad n ≥ 1 ist differenzierbar. Und hat als
Ableitung eine ganzrationale Funktionvom Grad n − 1.
4. Aufgaben Klett FH S 94
2.4
Tangente und Normale
Def 2.4 Die Gerade t im Punkt (x0 /f (x0 )) heißt Tangente an f in (x0 /f (x0 )), wenn t die
Steigung f ′ (x0 ) hat.
Die Gerade n in (x0 /f (x0 ) heißt Normale, wenn n senkrecht zur Tangente t in (x0 /f (x0 )) ist.
1. Formel der Tangente:
t(x) = f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 )
Formel der Normalen
n(x) =
−1
f ′ (x0 )
· (x − x0 ) + f (x0 )
2. Bsp. Tangente an die Funktion: f (x) = 3x2 − x + 1 im Punkt (1/f (1)):
f ′ (x) = 6x − 1, f ′ (1) = 5, f (1) = 3, t(x) = 5 · (x − 1) + 3 = 5x − 2
Normale:
n(x) =
3. Aufgaben Klett FH: S 98/3, 5, 8
−1
−1
1
· (x − 1) + 3 =
x+3
5
5
5
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2.5
6
Extremwerte
1. Schachtel: Aus den Ecken eines DinA4 (21cm x 29,7 cm) Blattes sollen an den Ecken
je Quadrate ausgeschnitten werden, so dass die dadurch entstehende Schachtel einen
möglichst großen Inhalt hat.
2. Tipps: Volumenfunktion:
f (x) = (29.7 − 2x)(21 − 2x)x
ID = IR+
0
3. Berechnen der Ableitung
f (x) = (29.7 − 2x)(21x − 2x2 )
f (x) = 623.7x − 59.4x2 − 42x2 + 4x3
f (x) = 4x3 − 101.4x2 + 623.7x
f ′ (x) = 12x2 − 202.8x + 623.7
(MUPAD f(x):= , dann plotfunc2d (f(x), x = 0 .. 10.5))
4. Im Extrempunkt ist die Ableitung gleich 0.
(An der Folie mit einer Geraden die Steigung der Tangente abfahren.)
5. Berechnen der Ableitung und Setzen auf 0
f ′ (x) = x2 − 16.9x + 51.975
6. Berechnen der Ableitung und Setzen auf 0
f ′ (x) = x2 − 16.9x + 51.975
√
x1/2
16.9
−16.9 2
=
± (
) − 51.975
2
2
√
x1/2 = 8.45 ± 71.4 − 51.975
√
x1/2 = 8.45 ± 19.425
x1 ≃ 4.0426
x2 ≃ 12.857
MUPAD: g(x):= diff(f(x),x), solve(g(x)=0,x), normal(f(x)), falls in Produktform nach
Polynomform
7. Prüfen der Nullstellen, feststellen , dass vor x1 die Funktion steigt und nach x2 die
Funktion fällt.
8. Übung: Bestimmen Sie die Kantenlänge x für die Maße 20 cm x 20 cm. Bestimmen Sie
x für ein Blatt der Dimension a x b.
f (x) = (a − 2x)(b − 2x)x
9. Lösungsweg
f (x) = (a − 2x)(bx − 2x2 )
f (x) = abx − 2ax2 − 2bx2 + 4x3
(2.1)
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7
f (x) = 4x3 − 2(a + b)x2 + abx
f ′ (x) = 12x2 − 4(a + b)x + ab
1
ab
f ′ (x) = x2 − (a + b)x +
12
√3
(a + b) 2 ab
(a + b)
x1/2 =
± (
) −
6
6
12
√
(a + b)
a2 − ab + b2
x1/2 =
±
6
6
a
=
b = 20
√
2
40
20 − 400 + 202
x1/2 =
±
6
6
40 20
x1/2 =
±
6
6
60
x1 =
= 10
6
20
10
x2 =
=
6
3
10. Welches ist das lokale Maximum? Erkennen des Maximums zunächst anhand der Zeichnung.
11. Der Bregriff des globales Extremums.
12. Wie kann man ohne die Funktion zu zeichen den maximalen Funktionswert von f (x)
bestimmen?
13. Anleitung:
(a) Bilde f ′ (x)
(b) Löse f ′ (x) = 0
(c) Stelle fest, ob bei der Lösung ein Minimum oder ein Maximum vorliegt
Def 2.5 Eine über dem Intervall I definierte Funktion f hat in x0 ∈ I ein absolutes
Maximum genau dann, wenn für alle x ∈ I gilt: f (x) < f (x0 ).
Eine über dem Intervall I definierte Funktion f hat in x0 ∈ I ein absolutes Minimum
genau dann, wenn für alle x ∈ I gilt: f (x) > f (x0 ).
Satz 2.3 Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum:
Ist f in x0 differenzierbar und hat dort ein lokales Extremum, so gilt: f ′ (x0 ) = 0.
14. Aufgaben: Zeichnen Sie die Funktion und ihre Ableitung.
√ √
(a) f (x) = 41 x4 − x2 (0, − 2, 2)
1
(b) f (x) = x2 + x1 (2 3 ) nur reel
(c) f (x) = 14 x4 + 32 x3 − 21 x2 − 2x(1, −1, −2)
(d) Bsp. mit Flachpunkt: f (x) = x4 − 2x3 − 1( 23 , 0 als Flachpunkt)
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2.6
Bedeutung der zweiten Ableitung, Wendepunkte
1.
f (x) =
1 3 3 2 3
x − x − x+4
16
8
2
2. Beobachtung: im lokalen Minimum der Funktion gilt: f ′′ (x) > 0
im lokalen Maximum der Funktion gilt: f ′′ (x) < 0
3. Zusammenfassung lokale Extrema:
lokales Minimum lokales Maximum
f ′ (x) = 0
f ′ (x) = 0
f ′′ (x) > 0
f ′′ (x) < 0
4. f ′′ (x) gilbt die Krümmung der Funktion an:
Rechtskurve
Linkskurve
Rechtskrümmung Linkskrümmung
f ′′ (x) < 0
f ′′ (x) > 0
5. In einem Wendepunkt (Übergang von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung) gilt:
f ′′ (x) = 0
8
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2.7
9
Extremwertaufgaben
1. 12 soll so in zwei Summanden zerlegt werden, dass ihr Produkt möglichst groß wird.
2. Extremwertaufgabe in Schritten:
(a) Term der maximiert/minimiert werden soll:
P =a·b
(b) Nebenbedingung:
a + b = 12
auflösen nach einer Variablen:
b = 12 − a
(c) Zielfunktion bestimmen:
P (a) = a · (12 − a)
P (a) = 12a − a2
(d) Extrema bestimmen:
f ′ (a) = 12 − 2a
f ′ (a) = 0
12 − 2a = 0
12 = 2a
6=a
Prüfen, ob lokales Maximum oder Minimum:
f ′′ (a) = −2, f ′′ (6) = −2 < 0
lokales Maximum bei (6/f(6))= (6/36) zugehöriger zweiter Wert: b= 12-6= 6
(e) Prüfen, ob am Rand des zulässigen Bereichs kein grösserer/kleinerer Wert angenommen wird. f(0)=0, f(12)=0 (Hinweis: Die Möglichkeit eine der beiden Zahlen negativ,
die andere positiv, ergibt ein negatives Produkt)
3. Weitere Aufgaben Klett FH S110/4, 5,
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2.8
10
Gleichungssysteme und Interpolation mit ganzrationalen Funktionen
LGS(Lineares Gleichungssystem) in Stufenform:
2x1 − 3x2 + x3 = −8
2x2 + 5x3 = −6
−2x3 = 4
x3 = −2
x2 = −(6 − 5x3 )/2 = 2
x1 = (−8 + 3x2 )/2 = 0
Erzeugen der Stufenform: Das Gauss-Verfahren
Gleichungen
3x1 + 6x2 − 2x3
3x1 + 2x2 + x3
3
x + 5x2 − 5x3
2 1
3x1 + 6x2 − 2x3
−4x2 + 3x3
3
x + 5x2 − 5x3
2 1
3x1 + 6x2 − 2x3
−4x2 + 3x3
2x2 − 4x3
3x1 + 6x2 − 2x3
−4x2 + 3x3
−5x3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−4
0
−9
−4
4
−9
−4
4
−7
−4
4
−10
Matrixschreibweise


3 6 −2 | −4


 3 2 1 | 0 
3
5 −5 | −9 
 2
3 6 −2 | −4


 0 −4 3 | 4  (2)-(1)
3
5 −5 | −9 
l—l
 2
3 6 −2 | −4


 0 −4 3 | 4  (3)-0.5(1)
0 2 −4 | −7 

3 6 −2 | −4

4 
 0 −4 3 |
 2(3)+(2)
0 0 −5 | −10
1. Durch die Punkte A(1/0),B(2/22),C(3/78),D(0/-6) soll eine ganzrationale Funktion möglichst
niedrigen Grades bestimmt werden.
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
Die Gleichungen, die zu lösen sind:
a+b+c = 6
8a + 4b + 2c = 28
27a + 9b + 3c = 84
(2.2)
(Lösung: f (x) = 3x3 − x2 + 4x − 6)
2. Durch die Punkte A(0/-1),B(-1/3),C(2/-3),D(4/-37) soll eine ganzrationale Funktion möglichst
niedrigen Grades bestimmt werden.
(Lösung: f (x) = −x3 + 2x2 − x − 1)
3. Die Punkte A(-1/5) und B(1/-11) liegen auf dem Graphen der ganzrationalen Funktion
f(x). f(x) hat im Punkt (3/-27) ein lokales Extremum.
(Lösung: f (x) = x3 − 3x2 − 9x)
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3
Integralrechnung
3.1
y
11
Das Integral als Grenzwert
RiemannLeft: 2.28
Integral: 2.67
4
3
2
1
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
x
1. Annäherung der Fläche unter der Funktion f (x) = x2 in [0; x]. Je feiner die Unterteilung
ist, desto genauer kann die Fläche bestimmt werden. Berechnung der Fläche als Untersumme mit der Teilung n.
(
)
x
x
x
x
U (n) = (f (0) + f ( ) + f (2 ) + . . . f (n − 1) )
n
n
n
n
(
)
x 2
x 2
x 2
x 2
)
= (0 + ( ) + (2 ) + . . . (n − 1)
n
n(
n
n )
(
)
x
n−1 2
1
2
= x2 ( )2 + ( )2 + . . .
n
n
n
n
3
x
= 3 (12 + 22 + 32 + . . . + (n − 1)2 )
n
(3.3)
mit der Formel:
1
12 + 22 + 32 + . . . k 2 = k(k + 1)(2k + 1)
6
hier
1
1
12 + 22 + 32 + . . . (n − 1)2 = (n − 1)n(2(n − 1) + 1) = (n − 1)n(2n − 1)
6
6
x3 1
(n − 1)n(2n − 1)
n3 6
x3 (n − 1)(2n − 1)
=
6
n2
x3 2n2 − n − 2n + 1
=
6
n2
3
2
x 2n − 3n + 1
=
6
n2
U (n) =
(3.4)
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12
Lassen wir nun n immer größer werden:
x3 2n2 − 3n + 1
x3
3
1
x3
x3
·
=
lim
·
(2
−
+
)
=
·
2
=
n→∞ 6
n→∞ 6
n2
n n2
6
3
lim U (n) = lim
n→∞
(3.5)
Führt man die Rechnung mit der Obersumme, d.h. die Säulen werden so gewält, dass
der Säulenpunkt oben rechts auf der Funktion liegt, durch, so ergibt sich:
lim O(n) =
n→∞
x3
3
2. Die Definition des Riemann-Integrals:
Def 3.1 Die Funktion f(t) sei auf dem Intervall I stetig und a, b ∈ I.
O(n) = h(f (a + h) + f (a + 2h) + f (a + 3h) + . . . .. + f (a + nh))
und
U (n) = h(f (a) + f (a + h) + f (a + 3h) + . . . + f (a + (n − 1)h))
mit h = b−a
n
Der Grenzwert
∫
limn→∞ O
[a;b]
(n) = limn→∞ U
heißt Integral von f (x) in [a; b].
Die Funktion
∫
Ja (x) =
[a;b]
b
(n) =
f (t)dt
(3.6)
a
x
f (t)dt
(3.7)
a
heißt Integralfunkion von f mit der unteren Grenze a.
3. Führt man die Rechnung für die Funktion f (x) = xn , n ̸= −1 durch, dann erhält man in
[0; x]:
∫ x
1
xn+1
f (t)dt =
n+1
0
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13
4. Rechnen mit Integralfunktionen: Berechnen der Integrale:
(a)
(b)
(c)
(d)
∫x
3
0 t dt
∫x 5
0 t dt
∫x
0 tdt
∫x 1
0 t2 dt
5. Beobachtung:
∫
x
f (t)dt =
F (x) =
0
1
xn+1
n+1
1
· (n + 1)xn = xn
n+1
Wenn man die Integralfunktion F (x) ableitet erhält man die Funktion f (x).
F ′ (x) =
6. Berechnung der Fläche unter einer Funktion. Berechne die Fläche die die Funktion f (x) =
x2 in [−2; 2] mit der x-Achse einschließt.
7. Berechnung der Fläche unter einer Funktion. Berechne die Fläche die die Funktion f (x) =
1
in [1; 4] mit der x-Achse einschließt.
x2
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3.2
14
Stammfunktionen
1.
∫
x
f (t)dt =
0
1
xn+1
n+1
2. Leitet man die Funktionen F(x) je ab, ergibt sich die folgende Tabelle:
g(x)
Stammfunktion
F (x)
x3
1 4
x
4
1 2
x +x
2
4x5 − x2
g ′ (x)
Funktion
f (x)
3x2
x3
x+1
20x4 − 2x
3. Zwischenübung: Bestimme die Stammfunktionen zu einigen Funktionen. vgl. Buch Klett
FH S 144/3,4,5
4. Der Haupstatz der Differential- und Integralrechnung:
Satz 3.1 Die Funktion f sei auf dem Intervall I definiert. Ist F eine beliebige Stammfunktion von f in I, dann gilt für alle a ∈ I und b ∈ I:
∫
b
a
f (x)dx = F (b) − F (a)
5. übungsaufgaben dazu: Klett FH S 145
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3.3
1.
15
Fläche zwischen Graph und x-Achse
1
1
f (x) = x2 − x − 3
2
2
Berechnung der Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall I = [−4; 4]
y
7
6
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−1
−2
−3
Berechnung der Nullstellen von f (x):
x1/2
1 2 1
x − x−3=0
2
2
2
x −√
x−6=0
p
p
x1/2 = − ± ( )2 − q
2
√2
−1
−1
± ( )2 − (−6)
=−
2
2
x1/2
1
= ±
2
√
1
+6
4
1 + 24
4
1 5
x1/2 = ±
2 2
1 5
x1 = + = 3
2 2
1 5
x2 = − = −2
2 2
x1/2
2.
∫
−2
∫
−2
1
= ±
2
√
11
1
1
1
1
8
19
( x2 − x − 3)dx = [ x3 − x2 − 3x]−2
− (− ) =
−4 =
2
6
4
3
3
3
−4
−4 2
∫ 3
∫ 3
1
1
1
27
11
125
1
A2 =
f (x)dx =
( x2 − x − 3)dx = [ x3 − x2 − 3x]3−2 = − − ( ) = −
2
6
4
4
3
12
−2
−2 2
∫ 4
∫ 4
16
1 2 1
1 3 1 2
27
17
A3 =
f (x)dx =
( x − x − 3)dx = [ x − x − 3x]43 = − − (− ) =
2
6
4
3
4
12
3
3 2
109
|A1 | + |A2 | + |A3 | =
6
A1 =
f (x)dx =
Hellweg Berufskolleg Unna Mathematik Technische-Mathematik
3.4
16
Flächen zwischen zwei Funktionen
y
8
6
4
2
−3
−2
−1
1
2
3
x
−2
x −> − x^2 + 8
x −> x^2 − 2
1. f (x) = −x + 8, g(x) = x − 2
2
2
2. Schnitt der beiden Funktionen
−x2 + 8 = x2 − 2
10 = 2x2
x2 = 5
√
x1/2 = ± 5
√
3. Ideen: Nullstellen der Funktion g(x) selbst: x2 = 2, x1/2 = ± 2
Integrieren und abziehen:
∫
√
5
√
− 5
f (x)dx −
∫
√
5
√
− 5
∫
√
− 2
√
− 5
f (x)dx −
g(x)dx −
∫
√
√
− 5
g(x)dx −
√
− 2
√
5
∫
2
∫
g(x)dx =
√
5
√ (f (x)
− 5
∫
√
√
5
g(x)dx =
2
− g(x))dx
4. Berechne f (x) − g(x) = −x2 + 8 − (x2 − 2) = −2x2 + 10
∫
√
5
2
√ (−2x
− 5
√
2
5
+ 10)dx = [− x3 + 10x]−√
5
3
√
√
√
2 √
2 √
4 √
= − ( 5)3 + 10( 5) + (− 5)3 − 10(− 5) = − ( 5)3 + 20( 5)
3
3
3
√
√
√
20
60
40
=−
5+
5=
5 ≈ 29.8142397
3
3
3
5. Übung Klett FH S 151
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4
17
Exponentialfunktionen
4.1
Exponentielles Wachstum
1. Falten eines DINA4-Blattes, Dicke 0.1mm:
Wie dick ist das Blatt nach der ersten Faltung?
Wie dick ist das Blatt nach der n-ten Faltung?:
1- Faltung: d(1) = 2 · 0.1mm
2- Faltung: d(2) = 2 · 2 · 0.1mm = 22 · 0.1mm
3- Faltung: d(3) = 2 · 22 · 0.1mm = 23 · 0.1mm
4- Faltung: d(4) = 24 · 0.1mm
...
n- te Faltung: d(n) = 2n · 0.1mm
Gelingt es theoretisch durch Faltung eines DINA4-Blattes eine Dicke zu erzeugen, die
der Strecke Erde-Mond entspricht?
d(n) = 2n · 0.1mm
mittlerer Abstand Erde-Mond: 380000km = 3.8 · 105 km = 3.8 · 108 m = 3.8 · 1011 mm
Gesucht ist ein n mit:
d(n) ≥ 3.8 · 1011
2n · 0.1 = 3.8 · 1011
ln (3.8 · 1012 )
n=
ln (2)
n = 41.789136557
(4.8)
Durch nur 42-maliges Falten erhält man diese Dicke.
Wie oft muss man falten, so dass die Dicke der eigenen Körpergröße entspricht?
2. Def 4.1 Die Funktion
f (x) = c · ax
, a > 0, a ̸= 1, c ∈ IR, c ̸= 0
heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Ein Vorgang, der durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden kann, heißt exponentielles Wachstum.
3. Eigenschaften der Exponentialfunktion:
(a)
c · ax−1
f (x + 1)
=
=a
f (x)
c · ax
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18
y
6
4
2
−2
−1
0
1
2
x
exp(x)
2^x
(b)
Alle Funktionen f (x) = ax gehen durch den Punkt (0/1). (Die Funktionen f (x) =
c · ax gehen durch den Punkt (0/c).)
(c) Grenzwerte und Monotonie in Abhängigkeit von a:
a > 1:
limx7→+∞ ax = +∞
limx7→−∞ ax = 0,
f (x) = ax ist streng monoton steigend
0 < a < 1:
limx7→+∞ ax = 0
limx7→−∞ ax = +∞
f (x) = ax ist streng monoton fallend
4. Situationen, die zu Exponentialfunktionen führen:
(a) Geschichte von Kung Fu: Kung Fu hatte in seinen Teich mitten in der Nacht ( 0
Uhr) zum 1. April eine wundersame Lotuspflanze gesetzt, die jeweils während 24
Stunden auf die doppelte Fläche anwuchs. Genau 30 Tage nach dem Setzen bedeckt
sie um Mitternacht den Teich vollständig. Wann bedeckte sie den halben Teich ?
Wieviel der Teichfläche war am 29 April um 12 Uhr Mittag bedeckt ?
(b) Ein Heuschreckenschwarm vermehrt sich in einer Woche um 40%. Wieviele Heuschrecken
sind nach 3 Wochen vorhanden, wenn der Anfangsbestand 10 000 umfasst?. Wie
viele Tiere sind nach n Wochen vorhanden ? Wann erreicht die Population eine
Stärke von einer Million?
(c) Hätte Joseph seinem Sohn Jesus bei dessen Geburt einen Pfennig auf ein Sparkonto
gelegt und wäre dieses Geld immer mit 5% verzinst worden, welche Summe wäre
heute auf dem Konto?
(d) Kann die Wirtschaft unbegrenzt wachsen? Das BIP (Bruttoinlandprodukt) beschreibt
die Wertschöpfung der nationalen Wirtschaft. Politiker von links bis rechts verlangen ein jährliches Wachstum von mindestens 3%.
Wann hat sich das BIP verdoppelt?
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Lösungen zu den Exponentialaufgaben:
(a) Kung Fu:
halber Teich : am 29. April um Mitternacht (oder 30. April 0 Uhr)
Start: A0 : Fläche die am 1. April um 0 Uhr bedeckt ist
2. April, 0 Uhr(nach einem Tag!): A1 = 2A0
3. April, 0 Uhr, (nach 2 Tagen): A2 = 2A1 = 22 A0
4. April, 0 Uhr, nach 3 Tagen: A3 = 23 A0 . . . . . .
x+1. April, 0 Uhr, nach x Tagen: Ax = 2x A0
Funktion: f (x) = 2x A0
Frage: Wie groß ist A0 ?
1. Mai 0 Uhr: Teich ist bedeckt: f (30) = 230 A0 = 1, A0 = 2130
Am 29 April 0 Uhr hätte man: f (28) = 228 A0
Gesucht f (28.5) = 2(28.5) A0 = 2(28.5) 213 0 = 2−1.5 = √123 ≈ 0.353553391
also ca. 35 Prozent waren bedeckt.
(b) Heuschrecken:
f (0) = 10000
nach 1 Woche :f (1) = (1 + 0.4) · 10000 = 1.4 · 10000
nach 2 Wochen :f (2) = 1.4 · 1.4 · 10000
nach 3 Wochen :f (3) = 1.43 · 10000
nach n Wochen : f (n) = 1.4n · 10000
106 Tiere:
f (n) = 106
1.4n · 104 = 106
ln(102 )
n=
ln(1.4)
n = 13.686627557
Nach 13 Wochen und 5 Tagen hat die Population über eine Million erreicht.
(c) Josephspfennigi bei einer Verzinsung von 0.05:
nach 1 Jahr: f (1) = (1 + 0.05) · 1 = 1.05
nach 2 Jahren: f (2) = 1.052
nach n Jahren: f (n) = 1.05n
heute: f (2009) = 1.052009 ≈ 3.709384317 · 1042
Wge man dieses mit Gold auf, so würde dieses mehr wiegen als die Erdkugel
(d) BIP: Wachstum von 0.03
Nach einem Jahr: b(1) = 1.03 · b(0)
nach n Jahren: b(n) = 1.03n · b(0)
Gesucht ist n mit b(n) = 2b(0)
1.03n b(0) = 2b(0)
ln(2)
n=
ln(1.03)
n = 23.44977225
19
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20
Tatsache ist, dass das BIP in EURO gemessen wird und parallel zum Wirtschaftswachstum die Löhne und die Preise steigen. Zwar haben wir ein gemessenes Wachstum
aber gleichzeitig auch eine Preissteigerung. Wächst die Wirtschaft also tatsächlich?
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4.2
21
Die Eulersche Zahl e
1. Einstieg: Treffen sich zwei Funktionen im Unendlichen. Sagt die eine: Mach Platz, sonst
leite ich dich ab. Sagt die andere: Ätsch, ätsch, ich bin eine e-Funktion. Wanted: Eine
Funktion, für die gilt: f ′ (x) = f (x)
2. Ansatz über den Differenzenquotienten mit der Exponentialfunktion f (x) = ax :
f (x0 + h) − f (x0 )
ax0 +h − ax0
= lim
=
h→0
h→0
h
h
f ′ (x0 ) = lim
ah − 1
h→0
h
ax0 lim
3. Wir suchen also Werte für die limh→0
4. Wenn gilt:
ah −1
h
≈ 1 gilt.
ah − 1
=1
h
dann ist
ah − 1 = h, ah = h + 1
und mit
r=
1
1
⇒h=
h
r
gilt
1
ah = a r =
und somit
1
+1
r
1
a = ( + 1)r
r
Wegen h → 0 muss nun r → ∞
5. Wir berechnen also
1
lim ( + 1)r
r→∞ r
Eine erste Näherung kann man mit einem CAS-System oder mit dem Taschenrechner
bestimmen.
1
lim ( + 1)r = e ≈ 2.718281828
r
e = Eulersche Zahl: EULER(1707-1783)
r→∞
6. Satz 4.1 Die natürliche Exponentialfunktion
f (x) = ex hat die Ableitung f ′ (x) = ex und die Stammfunktion F (x) = ex .
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22
y
7
6
5
4
3
2
1
−2
−1
0
1
2
x
7. Der Graph der e-Funtion:
Eigenschaften:
limx7→+∞ ex = +∞
limx7→−∞ ex = 0,
8. Bestimmung der Tangente an f (x) = ex in einem Punkt x0
t(x) = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
t(x) = ex0 (x − x0 ) + ex0
Z.Bsp. x0 = 1:
t(x) = e1 (x − 1) + e1 = e · x
9. Berechnung des Integrals
∫
0
1
ex dx = [ex ]10 = e1 − e0 = e − 1
10. Regeln zur Ableitung und zur Stammfunktion der Exponentialfunktion:
f (x)
ex
c · ex
emx
ex+n
emx+n
Ableitung: f ′ (x)
ex
c · ex
m · emx
ex+n
m · emx+n
wobei je c, m, n ∈ IR, ̸= 0
Stammfunktion:F (x)
ex
c · ex
1 mx
e
m
ex+n
1 mx+n
e
m
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4.3
Logarithmen
1. Gleichungen der Form
ax = b
kann man lösen
x = loga b
Allgemein: Die Gleichung ax = b; a > 0; a ̸= 1; b > 0 hat die Lösung
x = loga b
den Logarithmus von b zur Basis a.
Die Umkehrung von f (x) = ex ist f −1 (x) = ln(x)
2. f −1 = ln(x) für f (x) = ex .
y
12
10
8
6
4
2
−1
−2
2
x
−4
exp(x)
ln(x)
y
1
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
3. f −1 = log0.5 (x) für f (x) = 0.5x .
y
7
6
5
4
3
2
1
−1
−1
1
2
3
4
5
x
−2
0.5^x
−1.442695041*ln(x)
23
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4. Eigenschaften der Logarithmusfunktion: loga x:
a > 1:
limx7→∞ loga (x) = ∞
limx7→0 loga (x) = −∞
0 < a < 1:
limx7→∞ loga (x) = −∞
limx7→0 loga (x) = ∞
5. Rechengesetzte für Logarithmen
loga (u · v) = loga (u) + loga (v)
loga (ur ) = rloga (u)
loga u =
logb (u)
ln(u)
=
logb (a)
ln(a)
6. Jede Funktion f (x) = ax lässt sich darstellen als g(x) = ebx
x
2x = eln(2 ) = exln(2)
x
ax = eln(a ) = exln(a)
7. Zur Erinnerung: f (x) = ebx , f ′ (x) = b · ebx , F (x) = 1b ebx
Gesucht ist nun die Stammfunktion zu f (x) = ax
f (x) = ax = eln(a)·x
Ableitung:
f ′ (x) = ln(a) · eln(a)·x = ln(a) · ax
Stammfunktion:
F (x) =
1
1
· eln(a)·x =
· ax
ln(a)
ln(a)
24