Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für

INSTITUT FÜR STOCHASTIK
UNIVERSITÄT KARLSRUHE
Dr. B. Klar
WS 2007/08
Blatt 6
Übungen zur Vorlesung
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
für Studierende der Informatik
Aufgabe 20:
Ist X eine Zufallsvariable mit X ∼ Γ(n, β), n ∈ N, β > 0, so nennt man die Verteilung von
Y := e−X die logarithmische Gamma-Verteilung LΓ(n, β).
a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion G(1, β) und eine Dichte g1,β von LΓ(1, β).
b) Welche spezielle Verteilung ergibt sich im Fall n = 1 und β = 1?
c) Man berechne die Verteilungsfunktion G(n, β) von LΓ(n, β) für n ∈ N.
Aufgabe 21:
a) In einem nichtlinearen Verstärker sei der Output Y die Funktion
X 1/2 für X ≥ 0
Y =
−|X|1/2 für X < 0
des Input X. Die Zufallsvariable X habe die Verteilung N (0, 1).
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FY und daraus die Dichte fY von Y .
b) Die Phase P einer Sinus-Welle habe die Gleichverteilung U(−π/2, π/2) auf dem Intervall
(−π/2, π/2). Es sei W := sin(P ). Bestimmen sie die Verteilungsfunktion FW und eine
Dichte fW von W .
Aufgabe 22:
In einem Computer seien vier unabhängig voneinander arbeitende Temperaturfühler eingebaut, die die tatsächlich vorhandene Temperatur τ (in o C) an einer bestimmten kritischen Stelle mit einem jeweils zufälligen Fehler messen. Der Messfehler Y (in o C) sei jeweils
N (0, 4)-verteilt. Während des Betriebs schaltet sich ein Ventilator zur Kühlung ein, sobald
mindestens zwei der Temperaturfühler Temperaturen anzeigen, die die festgelegte kritische
Temperatur 50oC übersteigen.
a)
Welche Verteilung hat die gemessene Temperatur X := τ + Y eines Temperaturfühlers,
wenn das Gerät die Temperatur τ hat?
b)
Bestimmen Sie für jeden Temperaturfühler die Wahrscheinlichkeit p0 , dass er mindestens die kritischen Temperatur anzeigt, wenn τ = 50o C und entsprechend die Wahrscheinlichkeit p1 , wenn τ = 52oC ist.
c)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Ventilator eingeschaltet wird, wenn die
kritische Stelle gerade die Temperatur 50o C hat?
d)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Ventilator nicht eingeschaltet wird,
obwohl die kritische Stelle die Temperatur 520 C hat.
Aufgabe 23:
Bei einer bestimmten Festplatte sei die zufällige Anzahl N der Spuren, die zwischen zwei
Zugriffen überquert werden müssen, annähernd N (µ, σ 2)-verteilt mit µ = n/3 und σ 2 =
n2 /3. Hierbei ist n die Gesamtzahl der Spuren auf der Festplatte. T := a + b · N sei die
zugehörige Suchzeit.
a) Welche Verteilung besitzt T ?
b) Bestimmen Sie P(T ≤ 0) in Abhängigkeit von n, a und b.
c) Sei a = 45, b = 0.43 und n = 200. Berechnen Sie P(T ≤ 0).
Aufgabe 24: Berechnen Sie P(1 ≤ X ≤ 4) für eine LN (1, 1)-verteilte Zufallsvariable X.