alle 1. Schulaufgaben Klasse 8 I - Mathe

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Realschule
1. Schulaufgabe aus der Mathematik
Klasse 8 / I
1.
Gegeben sind die Punkte A ( −3 −2 ) ; B ( 3 −0,5 ) und C ( −0,5 3 ) .
1.1
Konstruiere den Umkreis k des Dreiecks mit Mittelpunkt M.
1.2
Kennzeichne die Lösungsmenge mit grüner Farbe:
P P ∈ k ∧ MP ≥ PB ∧ PB ≥ 2,5
2.
{
}
Gegeben sind die Punkte A ( −4 1) ; B (1 −1,5 ) und C ( 2 5 ) .
Konstruiere die Menge aller Punkte, die von AB und AC gleichen Abstand haben und
von denen aus die Strecke [BC] oder die Strecke [AC] unter einem rechten Winkel
erscheinen.
3.
Gib in Mengenschreibweise an:
3.1
Zur Menge M1 gehören alle Punkte, deren Abstand von 2 parallelen Geraden g und h
gleich ist, und die von einem Punkt B mehr als 3 cm entfernt sind.
3.2
Die schraffiert gekennzeichnete
Menge M2 einschließlich der
Randlinien (siehe Skizze).
4.
Untersuche mit Hilfe von Wertetabellen, ob folgende Terme über der Grundmenge G
äquivalent sind:
4.1
T1( x) = ( x − 2 )( x + 6 )
T2 ( x) = x 2 + 4x − 12
G = {−2; 1,5; 0,25; 9}
4.2
T3 ( x) = x + 1
T4 ( x) = x + 1
G = {3; 2; − 2; − 3}
5.
Welche Terme sind über der Grundmenge _ äquivalent?
T1 = 36x 2 y3
T2 = 18xy3
T4 = 2y3 ⋅ 9x
T5 = 18x ⋅ 2x 2 y 2
RM_A0108 **** Lösungen 2 Seiten
T3 = ( 6xy ) y
2
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 8 / I
1.1
Gib die Eigenschaft der Punkte P im
schraffierten Bereich in Symbolschreibweise an. Der Rand gehört dazu.
1.2
Zeichne farbig alle Punkte P im schraffierten
Bereich ein, für die d(P; AB) = 1,0 cm gilt.
2.1
Kennzeichne mit Farbstift die Punktmenge
2.2
{P
}
PA ≤ 2cm ∨ d (P; g) ≤ 1cm .
Kennzeiche in einer neuen Zeichnung farbig
{
}
die Punktmenge Q QA ≤ 2cm ∧ d ( Q; g) ≤ 1cm .
3.
 1 
Gegeben sind die Punkte Q  x x  mit x ∈ _ +0 .
 2 
JJJG  1 
Gesucht ist der Punkt P, für den QP =   gilt,
3
und der von O ( 0 0 ) und B ( 8 0 ) gleichweit entfernt ist.
3.1
Zeichne die Punkte Qn und Pn für x∈ {1; 2; 4; 5}.
3.2
Ermittle die Punkte P und Q zeichnerisch.
JJJG
Gib für den Pfeil OP eine Pfeilkette an, und
berechne die Koordinaten des Punktes P.
3.3
4.
Gib die Maße der folgenden Winkel an, und
begründe deine Antwort.
) ACB =
) BAC =
) BDA =
1(2)
5.
Im Inneren des Dreiecks ABC gibt es einen
Punkt K, für den ) AKB = 90° und
) CKA = 120° gilt.
Ermittle K durch Konstruktion.
6.
Zeige, das die Terme T1(x) = 3(2x - 1) und T2(x) = 6(x + 2) – 15
äquivalent sind.
6.1
Weise die Äquivalenz bezüglich G = [ −2; + 2]] mit Hilfe einer Wertetabelle nach.
x
3(2x - 1)
6(x + 2) - 15
6.2
-2
-1
0
+1
+2
Weise die Äquivalenz bezüglich G = Q mit Hilfe von Termumformungen nach.
3(2x - 1) =
6(x + 2) - 15 =
2(2)
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Klasse 8 / I
1.
2.
3.
Vereinfache die folgenden Terme.
a)
3a ⋅ 8b + 5ab ⋅ 2a − 6b ⋅ 3a − 3b ⋅ 3a2 =
b)
2x ⋅ 2 y + 3x ⋅ 5 x − 2 x ⋅ 1 x + 6 yx =
5
4
5 2
5
Multipliziere aus und fasse soweit wie möglich zusammen:
a)
( − 4s ) ⋅ ( 5s4 t + 5t ) ⋅ ( − 5 ) =
b)
x2 ⋅ x2 − y − x ⋅ x y − x3 =
(
)
(
)
Sind die Terme T1( x ) = x 2 und T2 ( x ) = 2 x über der Grundmenge G = { 0; 2; 4 }
äquivalent ? Berechne dazu die Termwerte und vergleiche !
4.
Wende die binomischen Formeln an.
a)
b)
5.
( 4x
( 4a
3
2
) =
− 3b ) . ( 4a
− 3y
2
2
)
+ 3b =
Berechne den Extremwert des folgenden Terms.
T(x) = −0,75x 2 − 9x + 6
6.0
Ein Rechteck ABCD hat die Seitenlängen AB = 8 cm und AD = 4 cm .
Verkürzt man [AB] von B her um x cm und verlängert gleichzeitig [AD] über D hinaus um
x cm, so entstehen neue Rechtecke.
6.1
Zeichne das Rechteck ABCD und in diese Zeichnung hinein das Schar-Rechteck
AB1 C1 D1 für x = 2.
6.2
Gib das zulässige Intervall für x an !
6.3
Berechne den Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von x !
2
[Ergebnis: A ( x ) = − x + 4x + 32 FE ]
6.4
Eines der Schar-Rechtecke hat einen extremen Flächeninhalt. Berechne diesen
Extremwert und das dazu gehörige x !
(
RM_A0222 **** Lösungen 2 Seiten (RM_L0222)
)
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Klasse 8 / I
1.0
Vereinfache folgende Terme möglichst weit.
1.1
- 62 × x z - éë- 32 yz + ( - 19 x z + 49 yz )ùû =
1.2
æ 1 2 ö æ 3 1ö
4
5
ç x ÷ - ç x × ÷ × - 2x + 8x
è2 ø è 2 2ø
2.
Klammere alle gemeinsamen Faktoren aus.
3
(
)
=
- 56a5 b4 + 28a2 b5 + 21a4 b3c =
3.0
Vereinfache soweit wie möglich unter Anwendung von binomischen Formeln.
3.1
( 7a + 3b )
3.2
( - 3x ) - ( 7x - x5 y 3 ) × ( x 5 y3 + 7x )
4.0
Ergänze die Lücken mithilfe der binomischen Formeln.
4.1
(
4.2
1 4
x 9
2
- ( 2a - 4b ) =
2
2
- 3b
)
2
= 16a 2 -
=
(
=
+
)(
+ 7y ×
- 7y
)
1 (2)
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5.0
Gib jeweils einen quadratischen Term an, der die folgenden Eigenschaften hat.
5.1
Tmin = - 6 für x = - 12
5.2
Tmax = 0 für x = 2
6.0
Bestimme den Extremwert und gib die zugehörige Belegung für x an.
6.1
T(x) = - 3,5 - 7,5 × ( x + 5 )
6.2
T(x) = x 2
6.3
T(x) = - 2x 2 - 1
7.0
Ermittle den Extremwert folgender Terme durch quadratisches ergänzen und
gib die zugehörige Belegung für x an.
7.1
T(x) = 1,2x 2 - 6x + 10,8
7.2
T(a) = - 0,5a2 + 4a
2
2 (2)
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1.0
Fasse zusammen.
1.1
41x 2 + éë3x 2 - ( 4 + x ) ùû - éë7 x 2 + ( 5x - 4 ) ùû =
1.2
a3
3
- 0,4 a6 + 1 a2
2
5
2.0
Vereinfache die folgenden Terme.
2.1
( 612ab )
2.2
3 x 2 y - éë 3 x × 4x y - 3 x 2 × 4y + 2 x 2 ùû =
2.3
æ2 ö æ 1 2ö
ç m÷ × ç - n ÷ =
è3 ø è 2 ø
2.4
4 x2 y : 5 x y 2 =
3.0
Verwandle folgende Terme in eine Summe und vereinfache dann die Terme so weit
wie möglich.
( )
3 5
3
=
(
× 4,5m3 × 0 × 24 a 2
(
3
=
)
2
3
3.1
- 3x ( 6 - 4x ) =
3.2
2
15
x x 2 - 2x ×
=
3
4
3.3
æ1
ö
2
ç x y - 0,5x ÷ 6y - 2x =
è3
ø
(
)
)
(
)
1 (2)
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4.0
Ergänze die Lücken so, dass äquivalente Terme entstehen.
4.1
x × 2x +
4.2
( - 1) × ( a -
4.3
(
5.0
Wandle in Summen um. Wende dabei die binomischen Formeln an.
5.1
( 3a - 5b )
5.2
( - 0,4x
5.3
( - 5x + 7y )( 7y + 5x ) =
6.0
Forme in ein Produkt um. Klammere aus und wende die binom. Formeln an.
6.1
0,04x 2 + 1,2x y + 9y 2 =
6.2
- 25x 2 + 10x y - y 2 =
6.3
0,81a2 - 0,04b2 =
7.
Forme die Summe in ein Produkt aus zwei Binomen um.
(
)=
-
)
+ 17 =
)(
) = 14x
- 15 7
2
2
+ 3x 3 - x y
+ a2
- 105 - 120y
=
- 2y
)
2
=
24ax - 6ay + 4bx - by =
8.
Klammere alle gemeinsamen Faktoren aus.
72x y 2 z - 48x 3 y z + 66x y z =
9.
Klammere die angegebenen Faktoren aus.
9.1
6x 2 + 9x + 0,5 = - 0,5 (
9.2
6x 4 - 4x 2 + 15x12 =
3 3
x (
4
2 (2)
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Klasse 8 / I
1.
Vereinfache und fasse soweit wie möglich zusammen.
a)
- 4,3x 2 × x 2 + 6,8x 4 - 1,3x3 × x =
b) 5xy × 3x - 4y × 5x + 3y × 8x - 2y × 6x 2 =
2.
Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen.
a) 1,5y + ( - 3,5x - 8 ) - ( - 4,6x + 7,5y - 2,5 ) =
b) 12a2 + 4a - ( - 16a2 - 11a + 28 ) + ( -13,5a - 17 ) =
3.
4.
Löse die Klammern durch Ausmultiplizieren auf.
(
)
a)
4x 2 × 3x + 0,5x 2 - 6x 3
b)
- 4 x 9a - 27b + 9 c - d =
9
4
(
=
)
Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus.
a) 15x 4 y 2 - 10x 2 y =
b)
5.
- 24a4 b2c 2 + 16b3c 3 - 8b2c =
Klammere den größten gemeinsamen Term aus.
( 5x - y ) × 4a + 3b × ( 5x - y ) - (5x - y ) × 8c
=
1 (3)
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6.
2
Gegeben sind die beiden Terme T1(x) = 2x + 1 und T2 (x) = 2x + x , G = ¤
x
a) Berechne jeweils die Termwerte für x Î { - 2; - 1; 0; 1; 2 } und trage sie in
die Wertetabelle unten ein.
x
T1(x)
T2 (x)
b) Sind beide Terme äquivalent?
7.
Jeder Quader ABCDEFGH hat insgesamt 12 Kanten. Davon sind jeweils vier Kanten
gleich lang. Die Länge s ist die Summe aller 12 Kantenlängen.
Es gilt:
Länge [AB] = (3 x + 2)cm
Breite [BC] = 0,5 × (10 - 2 x)cm
Höhe [AE] = (4 x - 2)cm
a) Welche Werte für x sind sinnvoll? (keine negativen Maßzahlen!)
b) Stelle einen Term s(x) zur Berechnung der Gesamtlänge auf und vereinfache
den Term soweit wie möglich.
2 (3)
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Klasse 8 / I
c) Berechne für x = 2,5 die Gesamtlänge s aller 12 Kanten.
d) Stelle einen Term zur Berechnung der Quaderoberfläche auf und vereinfache
diesen so weit wie möglich.
3 (3)
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Klasse 8 / I
1.
2.
Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen.
(
) (
)
a)
- éë - -12a b2 + 17a2 b - - 8ab 2 + 5b a 2 ùû =
b)
- - 3x 2 + 3 + 4x - 4 - 8x 2 + 3 x =
10
5
2
(
)(
)
Forme durch Ausklammern in ein Produkt um.
a) 12,5xz - 5yz - 7,5x 2z 2 + 2,5xy 3 z =
b) 72a8 b5 c 4 - 42a5 b5 c 3 + 54a4 c 7 =
3.
Verwandle die Summe schrittweise in ein Produkt
x 2 - 6x + xy - 6y = x ( x - 6 ) + y ( x - 6 ) =
4.
5.
Multipliziere aus.
(
a)
- 6,5x 2 × 2a + 3a5 - x 2
b)
2 y × y - 5 y 2 + 2,5y 3
5
4
(
)
=
)=
Löse die Klammern mithilfe der Binomischen Formeln auf.
a)
(
b)
( 9x
1 3 + 4 a2
5
2
-7
)
2
)
2
=
=
1 (3)
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6.
Berechne mithilfe der Binomischen Formeln.
a) 1202 =
b) 792 =
c)
7.
208 × 192 =
Liegt eine Binomische Formel vor?
Wenn ja, dann forme den Term in die Grundform um.
a) 16x 2 - 56x + 49
o keine Binomische Formel
o Binomische Formel, Grundform:
b)
9x 2 + 15xy + 25y 2
c)
36 + 64x 2 + 96x
8.
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig
rechtwinklig mit der Basis AB = 18 cm .
Es werden Rechtecke PQRS einbeschrieben mit PQ Î AB (siehe Abb.)
Die Strecke AP ist x cm lang.
a) Gib einen Term an, der die Fläche
der Rechtecke in Abhängigkeit von x
beschreibt.
b) Ermittle für das größte Rechteck den Wert für x.
2 (3)
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9.
Gegeben ist die nebenstehend abgebildete Fläche.
Alle Werte in cm; x Î ¤+ .
a) Welche Werte für x sind sinnvoll;
gib den Definitionsbereich für x an.
b) Stelle den Inhalt der Fläche in Abhängigkeit von x dar.
c) Berechne den Umfang der Fläche in Abhängigkeit von x.
3 (3)
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Klasse 8 / I
1.
Vereinfache folgende Terme und fasse soweit wie möglich zusammen.
a)
(
)
- - 3 + 3x + x 3 - 6x 2 - 2x 3 + 3 ( 4x - 1) =
b) 7bx - 2x × éë6a - (17b + 13a ) : 5 ùû =
2.
Fasse soweit wie möglich zusammen:
a) (3x + 5y) × x 2 + x 2 × (6x - 5y) =
b) (x + 4)2 + (x - 4)2 - 2x 2 - 32 =
3.
Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus.
a) 12a2 b - 9a 4 b2 + 6ab3c =
b)
4.
5.
- 51a2 x 2 z5 + 17a x 3 z3 - 34a4 x 6z 2 =
Forme um in ein Produkt durch Ausklammern und anwenden einer Binomischen
Formel.
a)
250 - 5 a2 =
2
b)
1 x 2 - 2x + 4 =
4
Multipliziere aus:
( - 2x ) × ( - 8 + 5x 4 - a2 )
2
=
1 (3)
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Klasse 8 / I
6.
Gegeben ist das Dreieck ABC mit A ( 2 / 0 ) , B ( 4 / 5 ) und C ( 0 / 3 ) .
a) Zeichne das Dreieck ABC in das gegebene Koordinatensystem ein.
r
- 4,5 ö
b) Das Dreieck ABC wird mit dem Vektor v = æç
÷ auf das Bilddreieck A’B’C‘
è 1 ø
verschoben. Berechne die Koordinaten der Punkte A‘, B‘ und C‘ und zeichne
dieses Dreieck in das Koordinatensystem zu a) ein.
7.
Die abgebildete quaderförmige Kiste soll mit
Würfeln der Kantenlänge a = 3x cm vollständig gefüllt werden (siehe Abb.).
Gib einen Term V(x) an, der das Volumen
(den Rauminhalt) der Kiste an Abhängigkeit
von x beschreibt.
2 (3)
Realschule
Klasse 8 / I
8.
Mit einem kleinen Federkatapult
wird eine Kugel abgeschossen.
Der Graph stellt die Flugbahn der
Kugel dar (siehe Abb.).
Die jeweilige Kugelhöhe h in
Abhängigkeit von x wird durch
folgenden Term beschrieben:
(
)
h(x) = - 0,1x 2 + 1,6 x cm
a) Bestimme durch Rechnung die maximale Wurfhöhe hmax und gib die zugehörige
Wurfweite an.
b) Welche Wurfhöhe hat die Kugel erreicht, wenn ihre Wurfweite 12 cm beträgt?
3 (3)

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