Multi-Level Monte-Carlo Methoden zur Beschleunigung von Particle

Universität Stuttgart - Institut für Wasser- und Umweltsystemmodellierung
Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierung
Jungwissenschaftlergruppe Stochastic Modelling of Hydrosystems
Jun.-Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Nowak, M.Sc.
Projektarbeit/Bachelor/Masterarbeit SimTech
Masterarbeit umw/bau
Multi-Level Monte-Carlo Methoden zur Beschleunigung von
Particle-Tracking Random-Walk Simulationen für AdvektivDispersiven Transport in porösen Medien
Die Simulation von Transportprozessen in Strömungen ist ein sehr komplexes
Problem. Dies gilt insbesondere, wenn das Material, durch das die Strömung fließt,
inhomogen ist und somit komplexe Strömungsfelder entstehen. Analytische
Lösungen der Transportgleichungen scheiden aus, und Euler‘sche Diskretisierungsverfahren leiden zu sehr an numerischer Dispersion beziehungsweise Instabilitäten.
Die beste Alternative bildet Particle-Tracking Random-Walk (PTRW). PTRW ist eine
Lagrange’sche Diskretisierungsmethode, bei der die Masse des transportierten
Stoffes als diskrete Partikel approximiert wird. Diese Partikel werden durch die
Strömung verfolgt (Particle Tracking) und zur Simulation von Diffusion/Dispersion
zufällig versetzt (Random Walk).
Allerdings ist die Simulation mit PTRW aufwendig und äußerst komplex. Mit einer
"Multilevel-Monte-Carlo-Approximation" kann man den Arbeitsaufwand zur
Berechnung minimieren, ohne die Konvergenzrate zu beeinflussen. Hierzu wird nicht
nur auf einer bestimmten zeitlichen Auflösung simuliert, sondern auf einer ganzen
Hierarchie von zeitlichen Diskretisierungen. Die geschickte Kopplung von gröberen
Auflösungen mit mehr Partikeln und feineren Auflösungen mit weniger Partikeln
sollte die gewünschte Genauigkeit der Berechnung in einem Bruchteil der
Berechnungszeit liefern. Die Aufgabe ist, eine Multilevel Monte Carlo Methode für
den PTRW herzuleiten, ihre Konvergenz zu untersuchen, zu implementieren und zu
testen.
Folgendes Vorwissen ist nützlich, kann aber auch teilweise angelesen werden:
• Affinität zu Mathematik und Statistik
• Strömungsmechanik, Transport in porösen Medien
• Programmiersprache (MATLAB, C oder ähnliches)
Diese Arbeit wird von Juniorprofessorin Andrea Barth (Mathematik) und
Juniorprofessor Wolfgang Nowak (Bau- /Umwelt) gemeinsam betreut. Sie kann, je
nach Neigung des Studierenden, ehr mathematisch/theoretisch oder praktisch
angegangen werden.
Kontakt:
[email protected]
[email protected]
Universität Stuttgart - Institut für Wasser- und Umweltsystemmodellierung
Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierung
Jungwissenschaftlergruppe Stochastic Modelling of Hydrosystems
Jun.-Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Nowak, M.Sc.
Project/Bachelor/Master‘s thesis (SimTech)
Master’s Thesis (umw/bau/SimTech)
Multi-Level Monte-Carlo Methods to speed up Particle-Tracking
Random-Walk simulations for advective-dispersive transport
through porous media
The simulation of transport processes in fluids is a complex and challenging
problem. This is true, especially if the media through which the fluid flows are
inhomogeneous, leading to complex flow patterns. Analytical solutions and Eulerian
discretization schemes fail or are inaccurate in such cases.
The best alternative is Particle Tracking Random Walk (PTRW). PTRW is a
Lagrangian method, where the mass of the transported substance is approximated
as discrete particles. These particles are tracked through the flow field (particle
tracking), and diffusion/dispersion is simulated by random particle motion (random
walk).
However, PTRW simulations are computationally quite demanding. With a so-called
"Multilevel-Monte-Carlo-Approximation", one could possibly reduce the computer
work without reducing the numerical convergence rate. The idea of multilevel MonteCarlo ist o not simulate the entire problem on a given time discretization level.
Instead, the simulation runs on an entire hierarchy of discretization levels. A smart
coupling between many particles on coarse discretization levels with fewer particles
on the finer levels can achieve the same accuracy of simulation in a drastically
reduced computer time. The topic of the current thesis is to derive, analyse,
implement and test such a method.
This type of knowledge will be useful for the thesis:
• A large affinity to mathematics and statistics
• Fluid mechanics and/or transport in porous media
• Programming (e.g., MATLAB, C,…)
This work is jointly supervised by Juniorprofessor Andrea Barth (Mathematik) and
Juniorprofessor Wolfgang Nowak (Civil/Environmental). Depending on the student,
the thesis can be performed more on the mathematical/theoretical side or on the
practical/implementation/testing side.
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