1 Einf¨uhrung in die Thematik

1
1 Einführung in die Thematik
Lorentzkräfte und Drehmomente sind physikalische Phänomene, die uns tagtäglich
begegnen, häufig ohne, dass uns das bewusst wird. Das Drehmoment ist Hauptbestandteil des Hebelprinzips, das bei sämtlichen Kaftverstärkungen“, die wir
”
kennen, Anwendung findet. Das beste Beispiel hierfür ist unser gesamter Skelettmuskelapparat, der Kräfte fast ausschließlich über Hebel erzeugt. Ohne Drehmoment gäbe es außerdem keine Schubkarre, keine Wippe und keine Schraubenschlüssel. Motoren würden sich nicht drehen und keine Waage, die mit Gegengewichten arbeitet, würde funktionieren.
Ganz ähnlich verhält es sich mit der Lorentzkraft. Lorentzkräfte spielen in der
Elektronik und Elektrik eine große Rolle. Die Umwandlung von mechanischer in
elektrische Energie und zurück erfolgt mithilfe der Lorentzkraft. Deshalb würde
ohne Lorentzkraft kein Elektromotor oder Generator funktionieren. Die Ablenkung
eines Elektronenstrahls in einem Fernseher oder Computerbildschirm wird mit
Spulen realisiert, die durch ihr Magnetfeld ebefalls Lorentzkräfte am Elektronenstrahl in der Bildröhre hervorrufen.
Man sieht also die Bedeutung dieser beiden Phänomene in der Technik und Physik. Deshalb ist deren Berechnung elementarer Bestandteil bei der Konstruktion
vieler Produkte. Das Vektorprodukt erlaubt uns eine komfortable Berechnung dieser beiden Größen auf vektorieller Basis.
Um das Vektorprodukt auf die genannten physikalischen Phänomene anwenden zu können, ist ein gutes Verständnis desselben erforderlich. Darum werde
ich diese Arbeit mit der Definition des Vektorproduktes und dessen Sätze sowie
den anwendbaren Rechengesetzen beginnen. Darauf folgt dann die Übertragung
des Vektorproduktes auf die Berechnung der Lorentzkraft und das aussführliche Lösen einer Beispielaufgabe, um die Zusammenhänge zu verdeutlichen. Anschließend werde ich analog dazu die Berechnung des Drehmoments mithilfe des
Vektorproduktes herleiten und wiederum eine Beispielaufgabe lösen.
Ich habe mich deshalb für die Bearbeitung der Lorentzkraft vor dem Drehmoment
entschieden, da ich mit dem Phänomen der Lorentzkraft durch den Physikunterricht relativ vertraut bin, während ich noch über keinerlei Kenntnisse zur Berechnung und Anwendung des Drehmoments verfüge. Deshalb hoffe ich, dass mir
die Übertragung des Vektorprodukts auf die Definition des Drehmoments leichter
fällt, nachdem ich den Prozess in ähnlicher Weise schon bei der Bearbeitung der
Lorentzkraft kennengelernt habe.
Danach erfolgt die Bearbeitung einer Beispielaufgabe mit der kombinierten Anwendung von Lorentzkraft und Drehmoment. Zu sämtlichen Beispielaufgaben
möchte ich anmerken, dass eine Längeneinheit eines Vektors stehts jeweils einem ganzen Teil einer entsprechenden SI-Einheit entspricht. Geschwindigkeitsvektoren des Betrages 2 LE entsprechen somit 2 m/s und ein Vektor, der ein
Magnetfeld repräsentiert und dieselbe Länge hat, entspricht einem Magnetfeld
der Stärke 2 T.
2
Abschließend werde ich mich zu den technischen Anwendungsmöglichkeiten der
beiden Berechnungsmethoden äußern und eventuell offen gebliebene Fragen
aufzeigen. Außerdem werde ich meine im Verlauf dieser Facharbeit gemachten
Erfahrungen und neu gewonnenen Erkenntnisse schildern.
2 Mathematische Grundlagen des Vektorprodukts
2.1 Definition des Vektorprodukts
Das Vektor- oder Kreuzprodukt ist laut [7, s. 269] neben dem Skalarprodukt die
zweite Möglichkeit, das Produkt zweier Vektoren ~a und ~b zu bilden. Wie sich am
Namen schon ablesen lässt, liefert es wieder einen Vektor ~c. Wenn man sich
−→ −→
−→
diese Vektoren durch OA, OB und OC repräsentiert denkt, sollen für den Vektor
−→
OC folgende Bedingungen erfüllt sein:
−→
−
→
−→
• OC steht senkrecht auf der von OA und OB aufgespannten Ebene.
−→ −→ −→
• Das Vektorsystem {OA, OB, OC} bildet ein sogenanntes Rechtssystem. Das
−→
−→
heißt, dass wenn man den Vektor OA auf dem kürzesten Weg zu Vektor OB
dreht, eine in die selbe Richtung gedrehte Schraube mit Rechtsgewinde
−→
sich in Richtung OC schrauben“ muss. Dieses Prinzip lässt sich gut mit der
”
aus der Physik bekannten Drei-Finger-Regel(Abbildung 1 [2]) merken: Der
−
→
−→
Daumen stellt den Vektor OA dar, der Zeigefinger OB und der Mittelfinger
−→
gibt die Ausrichtung von OC an.
Abbildung 1: Drei-Finger-Regel der rechten Hand
• Das Vektorprodukt kann nur im IR3 definiert sein, da es im IR2 keinen senkrechten Vektor auf der einzigen vorhanden Ebene geben kann, wärend es
im IR4 , IR5 ... unmöglich ist, den Ergebnisvektor eindeutig zu definieren.
3
2.2 Gültige Rechengesetze
Nach [7, S. 270] soll für alle ~a,~b,~c ∈ IR3 und alle r ∈ IR gelten:
~a ×~b = −(~b ×~a)
~a × (~b +~c) = (~a ×~b) + (~a ×~c) = ~a ×~b +~a ×~c
Alternativgesetz
r(~a ×~b = (r~a) ×~b = ~a × (r~b)
Gemischtes Assoziativgesetz
Distributivgesetz
Dass das Kommutativgesetz nicht gelten kann, sondern nur das soeben genannte Alternativgesetz, lässt sich leicht mit der Drei-Finger-Regel veranschaulichen,
indem man das Handgelenk so dreht, dass der Daumen die Position des Zeigefingers einnimmt und umgekehrt. Der Mittelfinger zeigt dann in die entgegengesetzte Richtung.
2.3 Sätze
2.3.1 Satz 1
Der folgende Satz nach [10, S. 158] erlaubt uns, dem Betrag des Vektorproduktes eine geometrische Bedeutung zuzuweisen. Er wird bei den in dieser Arbeit
vorkommenen Herleitungen eine entscheidende Rolle spielen.
Ist α der Winkel der Vektoren ~a,~b ∈ IR3 , dann gilt
|~a ×~b| = |~a| · |~b| · sin α
(1)
Daraus folgt, dass der Betrag des Vektorproduktes |~c| der Maßzahl der Fläche
des durch ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Tatsache, dass
der Betrag des Vektors nur die Maßzahl der Fläche darstellen kann, ist sofort
ersichtlich, wenn man sich die Einheiten der Größen ins Gedächtnis ruft: Der
Betrag des Vektors wird in Längeneinheiten gemessen, wärend die Fläche des
Parallelogramms in Flächeneinheiten angegeben wird.
2.3.2 Satz 2
Genau dann ist ~a ×~b = 0, wenn ~a,~b linear abhängig sind.
Dieser Satz nach [10, S. 158] ist einfach zu verstehen, wenn man sich veranschaulicht, dass die Vektoren ~a und ~b ein Parallelogramm mit der Fläche A 6= 0
aufspannen müssen, damit der Betrag des Vektorproduktes und somit das Vektorprodukt selbst ungleich null ist.
4
2.4 Berechnung des Vektorproduktes im kartesischen
Koordinatensystem
Das Vektorprodukt kann in einem kartesischen Koordinatensystem laut [6, S. 338]
folgendermaßen
berechnet 
werden:



ax
bx
Wenn ~a =  ay  und ~b =  by  zwei Vektoren im Raum sind, lässt sich das
az
bz
Vektorprodukt ~a ×~b in der folgender Form ausdrücken:


ay bz − az by
~a ×~b =  az bx − ax bz 
ax by − ay bx
3 Berechnung von Lorentzkräften mithilfe des
Vektorprodukts
3.1 Allgemeine Informationen zur Lorentzkraft
Laut [1, S. 208] ist die Lorentzkraft eine Kraft, die dann auftritt, wenn sich geladene Teilchen nicht parallel zu den Feldlinien eines Magnetfeldes bewegen. Sie ist
nach dem niederländischen Physiker Hendrik Antoon L ORENTZ benannt, der diese Kraft laut [9] 1895 erstmals definierte. In [1] auf Seite 208 ist beschrieben, wie
sich die Richtung der Lorentzkraft über die Drei-Finger-Regel bestimmen lässt,
wenn die Bewegungsrichtung der geladenen Teilchen senkrecht zu den Feldlinien
des Magnetfeldes verläuft: Wenn der Daumen in die Bewegungsrichtung der geladenen Teilchen zeigt und der Zeigefinger den Feldlinien des Magnetfeldes folgt,
weist der Mittelfinger in die Richtung der Lorentzkraft. Dabei ist das Vorzeichen
der Ladung der Teilchen zu beachten, da die Ladung als Faktor in die Definition
der Lorentzkraft (siehe 3.3) einfließt und somit die Ausrichtung der Lorentzkraft
beeinflusst. Bei Ladungen mit positivem Vorzeichen wird die rechte Hand benutzt.
Zur Ermittlung der Ablenkungsrichtung von negativ geladenen Teilchen, zum Beispiel Elektronen, muss die linke Hand benutzt werden, da sich die Ablenkrichtung
bei negativem Vorzeichen der Ladung umkehrt. Man sieht bereits, dass die Lorentzkraft rechtwinklig zu der Bewegungsrichtung der geladenen Teilchen und den
Feldlinien des Magnetfeldes wirkt. Wichtig ist dabei laut [1, S. 209], dass das Magnetfeld keinerlei Energie auf die bewegten Teilchen überträgt. Die Lorentzkraft
ändert zwar die Bewegungsrichtung der Teilchen, der Betrag des Geschwindigkeitsvektors und somit die Energie der Teilchen bleibt jedoch konstant.
5
3.2 Probleme bei der Berechnung der Lorentzkraft
Die Berechnung der Lorentzkraft ist so lange weitgehend problemlos, wie die geladenen Teilchen sich im rechten Winkel zum Magnetfeld bewegen. Ist dies nicht
der Fall, muss der Geschwindigkeitsvektor der Teilchen so zerlegt werden, dass
eine seiner Komponenten wieder senkrecht zu den Feldlinien des Magnetfeldes
verläuft, da die Lorentzkraft nur auf diesen Teil der Bewegung Einfluss hat.
Um die Richtung der Lorentzkraft zu bestimmen, muss wiederum die 3-FingerRegel der zu der Ladung passenden Hand angewendet werden, wobei der Daumen in der Richtung der zum Magnetfeld senkrechten Komponente zeigen muss,
und nicht in die Bewegungsrichtung der Teilchen!
3.3 Definition der Lorentzkraft unter Zuhilfenahme des
Vektorprodukts
Die Lorentzkraft FL ist gemäß [3, S. 20] als Produkt der Ladung des bewegten
Teilchens q, der senkrecht zum Magnetfeld verlaufenden Komponente der Geschwindigkeit der Teilchen vs und der Stärke des Magnetfeldes B definiert.
FL = q vs B
(2)
Der Betrag der zum Magnetfeld senkrechten Komponente lässt sich laut [1, S.
217] mithilfe des Winkels zwischen den Feldlinien des Magnetfeldes und der Bewegungsrichtung der Teilchen berechnen:
vs = v sin(~v, ~B)
(3)
Durch Einsetzen von (3) in (2) erhält man:
FL = q v B sin(~v, ~B)
(4)
Mit dieser Gleichung kann die Lorentzkraft auch für Winkel zwischen Magnetfeld
und Bewegungsrichtung der Teilchen, die von 90◦ abweichen, berechnet werden. Dazu ist aber immer erst die Bestimmung der zum Magnetfeld senkrechten
Komponente nötig, was wiederum voraussetzt, dass der Winkel zwischen Bewegungsrichtung und Magnetfeld bekannt ist. Diese beiden Probleme können mithilfe des Vektorproduktes umschifft werden, da zu dessen Berechnung kein Winkel
notwendig ist und der Ergebnisvektor die Ausrichtung der Lorentzkraft präzise
angibt. Die Herleitung verläuft wie folgt:
Da bisher immer mit den Beträgen der vektoriellen Größen FL , v und B gerechnet
wurde, kann man (4) auch in folgender Form schreiben:
~L | = q · |~v| · |~B| · sin(~v, ~B)
|F
(5)
6
In diese Gleichung setzen wir nun die Gleichung (1) aus Satz 1 (2.3.1) ein:
Daraus folgt:
~L | = q(|~v × ~B|)
|F
(6)
~L = q(~v × ~B)
F
(7)
Durch die Gleichungen (7) und (6) sind wir nun in der Lage, die Ausrichtung und
den Betrag der Lorentzkraft vektoriell zu bestimmen.
Die Einheit der Lorentzkraft ist aus Gleichung (2) leicht herzuleiten:
·
¸
m
As m N
[FL ] = 1C · · T = 1
· ·
= 1N
s
1 s Am
3.4 Anwendungsbeispiel: Bildröhre
Das nachfolgende Beispiel zeigt die Anwendung des Vektorprodukts bei der Berechnung der Ablenkung eines Elektronenstrahls in der Bildröhre eines Fernsehers. In einem Fernseher wird der normalerweise geradlinig verlaufende Elektronenstrahl, der das Bild erzeugt, indem er eine Leuchtschicht auf der Vorderseite
der Bildröhre anregt, mithilfe von Spulen so abgelenkt, das er sich zeilenweise über den gesamten Bildschirm bewegt. Dieser Vorgang läuft so schnell ab,
das das menschliche Auge nur ein großes Bild sieht und keinen über den Bildschirm huschenden Punkt. Die Schwierigkeit bei der Berechnung der Ablenkung
auf herkömmlichen Wege liegt darin, dass die Ablenkspulen sich bereits in dem
konischen Bereich der Bildröhre befinden und somit deren Magnetfeld nicht mehr
senkrecht zu der Bewegungsrichtung der Elektronen verläuft. Dieses Problem
lässt sich durhc die Anwendung des Vektorprodukts vermeiden.
Folgende Größen sind uns gegeben:
1. Die Ladung eines Elektrons e ≈ −1, 6 · 10−19C
2. Die Geschwindigkeit der Elektronen, die sich aus der Ladung der Elektronen, deren Masseqund der anliegenden Beschleunigungsspannung nach
der Gleichung v =
2U q
m
ergibt. Zur Vereinfachung habe ich eine Beschleu

7 · 1015
 führt.
nigungsspannung gewählt, die zu der Geschwindigkeit v = 
0
0


0, 25
3. Die Ausrichtung des ablenkenden Magnetfeldes ~B =  0, 5 , die frei er0, 1
funden ist, da es sich nur um eine Beispielaufgabe handeln soll.
Die Stärke des Magnetfeldes ist gleich dem Betrag von ~B.
7
Nun können wir die Ausrichtung der Ablenkung über Gleichung 7 berechnen:
~L = q(~v × ~B)
F

 

0, 25
7 · 1015
 ×  0, 5 
~L = −1, 6 · 10−19 
F
0
0, 1
0


0
−19 
18
~
−7 · 10 
FL = −1, 6 · 10
·
3, 5 · 1019


0
~L =  −1, 12 
F
5, 6
Damit ist die Richtung der Ablenkung präzise gegeben. Ihre Stärke ist aus dem
Betrag des Ergebnisvektors abzulesen:
¯
¯
√
¯
¯
0
¯
¯ 28 · 26
¯
¯
Fl = ¯ −1, 12 ¯ =
≈ 5, 71
25
¯
¯
5, 6
Insgesamt wirkt auf jedes 
Elektron des
 Strahls also eine ablenkende Kraft von
0
ca. 5,71 N in die Richtung  −1, 12 .
5, 6
Ist die räumliche Ausdehnung des Magnetfeldes bekannt, Lässt sich die insgesamt resultierende Ablenkung und damit die Position des Elektronenstrahls auf
der Bildröhre berechnen.
4 Berechnung des Drehmoments mithilfe des
Vektorprodukts
4.1 Einführung in das Drehmoment
Wenn auf einen starren Körper eine Kraft wirkt, wird dieser gemäß dem 2. Newtonschen Gesetz beschleunigt [11, S. 34]. Seine Geschwindigkeit ändert sich und
er führt eine geradlinige oder gekrümmte Bewegung aus. Diese Arten der Bewegung sind unter dem Begriff Tanslationsbewegung zusammengefasst. Beispiele hierfür sind ein geschobenes Auto (geradlinige Bewegung) oder ein geworfener Stein, welcher aufgrund der Erdbeschleunigung eine gekrümmte Bewegung
ausführt.
Wenn dieser Körper nun an einem Punkt festgehalten wird, ist keine Translationsbewegung mehr möglich. Seine Bewegungsmöglichkeiten sind somit auf Drehbewegungen beschränkt. Die Größe, die diese Drehbewegung beeinflusst und
somit die Rotationsgeschwindigkeit ändert, nennt sich Drehmoment.
8
Wenn nur eine einzige Kraft F1 auf einen Körper wirkt, kann dieser keine reine
Drehbewegung bewirken, ohne eine Änderung der Translationsgewegung zu verursachen. Erst wenn dieser Kraft F1 eine zweite Kraft FR entgegenwirkt, die den
selben Betrag wie F1 hat, aber an einem anderen Punkt als F1 ansetzt, kann sich
eine Drehbewegung ausbilden. Diese Rückhaltekraft wird häufig durch die Verformung des Körpers erzeugt. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit soll aber dieses
Phänomen vernachlässigt werden, da es hier nur um die Berechnung des Drehmoments geht.
4.2 Definition des Drehmoments
Das Drehmoment ist gemäß [8, S. 142] folgendermaßen definiert: Greift an einem drehbar gelagertem Körper eine Kraft ~F an, so wird dieser zum Hebel. Das
nun anliegende Drehmoment, also die physikalische Drehkraft, ist von dem sogenannten Hebelarm“ h abhängig. Dieser Hebelarm stellt die kürzeste Entfernung
”
zwischen der Wirkungslinie des Kraftvektors ~F und dem Drehpunkt O dar und
steht somit senkrecht auf ~F. Im einfachsten Fall ist der Hebelarm gleich dem Abstand zwischen dem Drehpunkt und dem Angriffspunkt der Kraft. In diesem Fall
~
beträgt das Drehmoment |M|:
~ = h · |~F|
|M|
(8)
Wenn nun die Kraft an einem Punkt ansetzt, der nicht mit dem Lot vom Drehpunkt
auf die Wirkungslinie von ~F zusammenfällt, muss die Länge des Hebelarms erst
berechnet werden. Dies kann mithilfe des Abstandsvektors ~r von O zu dem Angriffspunkt von ~F und dem Winkel, der von den beiden Vektoren eingeschlossen
wird, geschehen.
h = |~r| · sin(~r, ~F)
(9)
Wenn man nun Gleichung (9) in (8) einsetzt, erhält man:
~ = |~r| · |~F| · sin(~r, ~F)
|M|
(10)
In diese Gleichung setzen wir wiederum die Gleichung (1) aus 2.3.1 ein:
Daraus folgt:
~ = |~r × ~F|
|M|
(11)
~ =~r × ~F
M
(12)
Somit ist das Drehmoment als Vektorprodukt aus dem Abstand zwischen Drehpunkt und Angriffspunkt der Kraft und der Kraft selbst definiert.
Wenn laut [8, S. 142] an einem Hebel mehr als eine Kraft angreifen, ergibt sich
das Gesamtdrehmoment aus der vektoriellen Addition der Einzeldrehmomente:
~ ges = M
~ 1 +M
~ 2 +M
~ 3 + ...
M
9
4.3 Drehmomentberechnung am Beispiel eines
Segelflugzeugs
Bei dem folgenden Beispiel soll eine mögliche Anwendung der Definition des
Drehmoments in vektorieller Form veranschaulichen. Es wird von folgender Situation ausgegangen: Ein Segelflugzeug befindet sich in einer stationären Steigfluglage an einem Windenseil. Das nun herrschende Kräftegleichgewicht, das ein
Steigen des Flugzeugs ermöglicht, soll im Verlauf dieser Aufgabe vernachlässigt
werden, da Drehmomentberechnungen Thema dieses Abschnitts sein sollen.
Wichtig ist, dass das Segelflugzeug an einer nahe an seinem Schwerpunkt befestigten Kupplung hängt. Dieser Aufhängepunkt dient uns als Drehpunkt bei der
folgenden Überlegung: Wie verhält sich das Flugzeug, wenn der Pilot nun diverse Ruder bewegt? Die Ruder eines Flugzeugs befinden sich stets weit vom
Schwerpunkt und somit auch von unserem Drehpunkt entfernt. Wenn an ihnen
bei Betätigung vom Piloten durch Auftrieb verursachte Kräfte wirken, üben sie alle Drehmomente aus, welche das Flugzeug um seine drei Achsen drehen (siehe
Abbildung 2 aus [5, S. 244]). Mithilfe des Vektorprodukts und der Tatsache, das
sich Einzeldrehmomente vektoriell addieren lassen, können wir das gesamte auf
das Flugzeug wirkende Drehmoment und dessen Drehachse berechnen. In dem
nun folgenden Beispiel soll angenommen werden, das der Pilot sämtliche Ruder
gleichzeitig bedient.
Abbildung 2: Achsen eines Flugzeugs
Um ungefähre Maße zur halbwegs realitätsnahen Berechnung des Hebelarms zu
erhalten, habe ich Abbildung 3 herangezogen, die dem Flug- und Betriebshandbuch des Segelflugzeugs Astir CS“ [4] entnommen ist. Leider konnte ich keinerlei
”
Angaben zu den normalerweise an Rudern auftretenden Kräften finden. Aus diesem Grund sind sämtliche Kraftangaben in dieser Aufgabe reine Annahmen, was
aber an dem Nutzen der Berechnungsmethode nichts ändert, da ja realistische
Werte problemlos eingesetzt werden können. Außerdem habe ich den Ansatzpunkt der Kraftvektoren immer in die Mitte der beeinflussten Profile gelegt, da mir
10
Abbildung 3: Maße des Segelflugzeugs Astir CS“
”
dieser Punkt ohne nähere Informationen am realistischsten erscheint.
Ruder erzeugen ihre Kräfte durch Veränderung des Profils, dessen Teil sie sind.
Deshalb stehen die resultierenden Kraftvektoren senkrecht auf den entsprechenden Flügelprofilen.
Um die Berechnung zu vereinfachen, habe ich das sich ja im Kräftegleichgewicht
befindliche Segelflugzeug so verschoben und gedreht, dass seine Kupplung und
damit der Drehpunkt mit dem Nullpunkt und jede der drei Drehachsen mit je einer
Achse unseres kartesischen Koordinatensystems
zusammenfällt. Die Schnauze


−1
des Flugzeugs zeigt in die Richtung  0 . Die Berechnung der Kräfte an ei0
nem Segelflugzeug, das sich an einer beliebigen Stelle im Raum befindet, verläuft
analog.
Die für diese Aufgabe relevanten Daten lauten wie folgt:
• Die Ansatzpunkte der Querruderkräfte befinden sich
und je 7 m seitlich des Schwerpunkts.
1
3
m über,
1
2
m hinter
• Das Höhenruder hat seinen Ansatzpunkt 1,4 m über und 4,5 m hinter dem
Schwerpunkt.
• Der Wirkpunkt des Seitenruders befindet sich 0,7 m unter dem des Höhenruders.
Die nun frei erfundenen Kraftvektoren verlaufen aufgrund der günstigen Lage des
Flugzeugs parallel zu den Achsen des Koordinatensystems. Sie lauten:
11




0
0
0 
Querruder: ~FQl =  0  und ~FQr = 
3, 2
−3, 2
Die zwei Vektoren müssen unterschiedliche Vorzeichen haben, weil bei der
Betätigung der beiden Querruders sich der Auftrieb einer Tragfläche erhöht,
während der der anderen sich verringert. Dies wird erreicht, indem ein Querruder die Wölbung der Tragfläche vergrößert und das andere die Tragfläche
abflacht“.
”


0
Höhenruder: ~FH =  0 
1, 3


0
Seitenruder: ~FS =  2, 5 
0
Die Einzeldrehmomente an jedem Ruder können nun mithilfe des Kreuzprodukts
berechnet werden:

 112 
 1  
0
− 5
2
 −7  ×  0 
~ Ql =
=  − 85 
M
1
3, 2
0
 1 3 

 112 
0
− 5
2
8 





~
7 ×
0
MQr =
=
5
1
−3, 2
0
3


 


0
4, 5
0

 0 × 0 
~H =
M
=  − 117
20
1, 4
1, 3
0

 

 7 
−4
4, 5
0





~
0 
0 × 2, 5
MS =
=
45
1, 4 − 0, 7
0
4
Man kann erkennen, das die Drehachsen des von den beiden Querrudern verursachten Drehmoments eine gemeinsame und eine entgegengesetzte Komponente haben. Die entgegengesetzte Komponente ergibt sich aus der Tatsache,
dass der Angriffspunkt der Kraft etwas hinter dem Drehpunkt liegt. Diese Komponente wird sich bei der Addition der Drehmomente zu null ergänzen, wärend
ähnliche Abweichkomponenten“ beim Höhen- und Seitenruder nicht ausgegli”
chen werden.
Die resultierende Drehachse, um die sich das Flugzeug letztlich drehen wird,
12
ergibt sich aus der Summe der Vektoren der einzelnen Drehmomente:
~ ges = M
~ Ql + M
~ Qr + M
~ H +M
~S
M
 112   112  
  7 
0
−4
− 5
− 5
117  
8
8





0 
=
+
+ − 20
+
−5
5
45
0
0
0
4


−46, 55
=  −5, 85 
11, 25
Das anliegende Drehmoment ist aus dem Betrag des Drehachsenvektors ersichtlich:
~ ges = |M
~ ges |
M
¯
¯
¯ −46, 55 ¯
¯
¯
= ¯¯ −5, 85 ¯¯
¯
11, 25 ¯
√
37243
=
≈ 48, 25
4


−46, 55
−−→
Somit wissen wir, dass sich das Flugzeug um die Achse OM ges =  −5, 85 
11, 25
drehen wird und an ihm ein Drehmoment von ungefähr 48,25 Nm anliegt. Wenn
wir nun die Masse des Flugzeugs wissen, können wir die resultierende Drehbewegung ermitteln.
5 Kombiniertes Anwendungsbeispiel
Abschließend möchte ich den Einsatz des Vektorprodukts an einem Beispiel demonstrieren, welches die Berechnung von Lorentzkraft und Drehmoment miteinander kombiniert. Ich hoffe dadurch die Bedeutung dieser beiden Phänomene
und ihre häufig enge Verknüpfung miteinander verdeutlichen zu können. Objekt
der Berechnungen soll ein Windkraftwerk sein, welches in unserem Landschaftsbild ein häufig gesehener Gegenstand ist und bei der zunehmenden Bedeutung
alternativer Energien eine wichtige Rolle spielt. Eine Windkraftanlage besteht aus
einem Rotor und einem Generator. Der Rotor setzt sich aus mehreren identischen Flügeln“ zusammen, die Kreisförmig angeordnet sind. Jeder dieser Flügel
”
erzeugt Auftrieb, wenn er senkrecht zu der von den Rotorblättern aufgespannten
Ebene angeblasen wird. Da sich die einzelnen Flügel oder Rotorblätter nur um
den Mittelpunkt des Rotors drehen können, stellen sie einen Hebel dar. Ein Drehmoment liegt an. Dadurch wird die Drehachse des Rotors zum drehen gebracht.
Diese Drehung wird auf die Spule eines Generators übertragen. In einem Generator rotiert diese Spule in einem Magnetfeld. Immer wenn sich Leiterstücke der
Spule mit einer senkrechten Komponente zu dem Magnetfeld bewegen, erfahren
die in dem Leiter vorhanden Elektronen Lorentzkräfte, die sie entlang des Leiters
bewegen. Ein Strom beginnt zu fließen.
13
Bis auf die Elemtarladung der Elektronen werden sämtliche Grösen wieder frei
erfunden sein, da ich leider über keinerlei präzise Informationen zum Aufbau
derartiger Windkraftwerke verfüge. Das virtuelle“ Windkraftwerk soll drei Rotor”
blätter besitzen, die jeweils in einem Winkel von 120◦ zueinander angeordnet
sind. Die Betrachtung von einem Rotorblatt reicht im Folgenden aus, da der Betrag des Hebels und seine relative Ausrichtung zum Auftriebsvektor ebenfalls bei
allen drei Blättern gleich ist. Der Mittelpunkt des Rotorblattes liegt auf dem Punkt
M(34|64|−26) und die Spitze eines Rotorblattes soll dem Punkt T(50|84|−14) entsprechen. Wenn wir davon ausgehen, dass die Summe der Auftriebskräfte auf
halber Strecke zwischen Rotormittelpunkt und Rotorblattspitze angreifen, lässt
sich der Hebelarm als die halbe Differenz von Drehpunkt- und Rotorspitzenvektor
berechnen:

 

50
34
1
~r = ·  84  −  64 
2
−14
−26


16
1 
= · 20 
2
12


8
=  10 
6
Die Auftriebskraft greift meist nicht genau senkrecht zu dem Hebelarm an, da
die Rotorblätter aus aerodynamischen
G
ünden häufig leicht gekrümmt sind. Ein

−6
möglicher Kraftvektor währe ~FA =  5 . Das an diesem Rotorblatt anliegende
1
Drehmoment errechnet sich mit Hilfe des Vektorproduktes:
Mr =|~r × ~FA |
¯
 
¯
¯
8
−6 ¯¯
¯
= ¯¯ 10  ×  5 ¯¯
¯
6
1 ¯
¯
¯
¯ −40 ¯
¯
¯
= ¯¯ 28 ¯¯
¯
100 ¯
√
=12 · 86 ≈ 111, 28
Dieses Drehmoment liegt an√jedem der drei Rotorblätter an, darum ist das Gesamtdrehmoment Mges = 36· 86 ≈ 333, 85 Nm. Wir nehmen an, dass dieses Drehmoment durch ein Getriebe die Spule unseres Generators mit 574,23 Umdrehungen pro Minute rotieren lässt. Dies entspricht ungefähr 9,57 Umdrehungen pro
Sekunde.
Wenn die Spule nun einen Durchmesser von D = 0, 5m hat, bedeutet das eine
Umfangsgeschwindigkeit von ca. 9, 57 · 12 π ms ≈ 15, 03 ms . 

−9
Ein Vektor, der diese Geschwindigkeit ausdrückt, ist ~v =  12 . Wenn wir nun
1
14


5
annehmen, dass die gesamte Spule von einem Magnetfeld ~B =  2  durchsetzt
9
ist, können wir die Kraft berechnen, die auf jedes Elektron, dass sich in einem
Drahtstück der Spule befindet, was sich gerade in die Richtung ~v bewegt, wirkt:
q = e ≈ −1, 6 · 10−19 C
~FL = e(~v × ~B)

  
−9
5
= −1, 6 · 10−19  12  ×  2 
1
9


106
−19 
86 
= −1, 6 · 10
−78


−0, 0140

−0.0114 
≈
0, 0103
Auf das Elektron wirkt also eine Kraft von ungefähr FL = 0, 0208 N. Daraus läßt
sich wiederum die Bewegungsgeschwindigkeit der Elektronen entlang des Leiters
und damit der fließende Strom berechnen.
6 Anwendungsmöglichkeiten in der Physik und
Technik
Wenn es um die Vermessung realer Aufbauten und deren Berechnung geht,
wird es in dem meisten Fällen schneller und einfacher sein, Lorentzkräfte und
Drehmomente über Strecken und Winkel zu definieren, als diese Messwerte erst
in Vektoren umzurechnen um dann das Vektorprodukt anzuwenden. Eine sehr
praktikable Anwendungsmöglichkeit sehe ich in der Konstruktion von elektrischen
Geräten oder Maschinen. Dies geschieht heutzutage fast ausschließlich Computergestützt, meist sogar in virtuellen dreidimensionalen Umgebungen. Hier ist es
meiner Meinung nach von Vorteil, möglichst viel mit Vektoren zu arbeiten, da
diese sich dreidimensional leicht darstellen lassen und beliebig verschieb- und
skalierbar sind. Wenn nun bereits alle Daten in vektorieller Form vorliegen uns
sämtliche Berechnungen sowieso Computergestützt sind, ist das Vektorprodukt
mit Abstand der bequemste Weg, resultierende Lorentzkräfte oder Drehmomente
in solch virtuellen Umgebungen bei der Konstruktion von Produkten zu berechnen.
15
7 Zusammenfassung
Wie man bestimmt feststellen konnte, ist die Berechnung von Lorentzkräften und
Drehmomenten auf vektorieller Basis mithilfe des Vektorprodukts relativ simpel,
wenn man mit Vektorrechnungen allgemein und dem Vektorprodukt im Speziellen halbwegs vertraut ist. Die große Stärke dieser Rechenmethode ist die Unabhängigkeit von jeglichen Winkeln, da sich diese aus den Vektoren automatisch
ergeben. Der große Nachteil der vektoriellen Berechnung aller dieser Größen
ist die Tatsache, das die Ausgangsdaten zuerst in vektorieller Form vorliegen
müssen. Ich habe bei der Durchsicht meiner Arbeit keinerlei offene Fragen finden
können, obwohl bei den einzelnen Anwendungsbeispielen eine weiterführende
Bearbeitung sicherlich sinnvoll währe.
8 Abschließende Überlegungen zur Facharbeit
Ich persönlich war angenehm überrascht, wie interessant ein mathematisch trockenes Thema wie das Vektorprodukt durch die Übertragung auf physikalische
Phänomene werden kann. Nach einer kurzen Einarbeitungsphase ging das Herleiten der Gleichungen und das Formulieren von Beispielen leicht von der Hand,
wobei besonders der Abschnitt, der sich mit Drehmomentberechnungen befasst,
besonderen Spaß gemacht hat. Dieses vor Beginn der Facharbeit mi noch völlig
fremde physikalische Prinzip ist mir nun gut vertraut geworden. Außerdem hat
sich mein Wissen über die Lorentzkraft vertieft und ich bin in der Vektorrechnung deutlich sicherer geworden. Ich bedauere ein wenig, dass ich mich nicht
weiter mit den in meinen Beispielen angeschnittenen Themen auseinandersetzen konnte. Noch fehlt mir dazu leider das nötige Verständnis und es würde den
Rahmen dieser Facharbeit sprengen. Obwohl diese Facharbeit deutlich kürzer
als vergleichbare Arbeiten an Hochschulen ausfällt, bin ich der Meinung, dass
sie mir einen kleinen Vorgeschmack von dem geben konnte, was mich während
des Studiums erwartet. Diese Facharbeit hat zweifellos meine Fähigkeit, mich
selbstständig mit einem Problem auseinanderzusetzen und mein angeeignetes
Wissen wiederzugeben, verbessert. Deshalb bin ich der Meinung, dass die Facharbeit einen sinnvollen Bestandteil des Unterrichts darstellt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung in die Thematik
1
2 Mathematische Grundlagen des Vektorprodukts
2.1 Definition des Vektorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Gültige Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Satz 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Satz 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Berechnung des Vektorproduktes im kartesischen Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
3
3
3
Berechnung von Lorentzkräften mithilfe des Vektorprodukts
3.1 Allgemeine Informationen zur Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Probleme bei der Berechnung der Lorentzkraft . . . . . . . . . . .
3.3 Definition der Lorentzkraft unter Zuhilfenahme des Vektorprodukts
3.4 Anwendungsbeispiel: Bildröhre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
6
4 Berechnung des Drehmoments mithilfe des Vektorprodukts
4.1 Einführung in das Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Definition des Drehmoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Drehmomentberechnung am Beispiel eines Segelflugzeugs . . . .
7
7
8
9
4
5 Kombiniertes Anwendungsbeispiel
12
6 Anwendungsmöglichkeiten in der Physik und Technik
14
7 Zusammenfassung
15
8 Abschließende Überlegungen zur Facharbeit
15
Literatur
[1] B ADER, Professor Dr. F. (Hrsg.): Physik Gymnasium Gesamtband Sek II.
Hannover: Schroedel Verlag, 2000.
[2] F INGER, Michael: Achs-Bewegung.
http://www.holzwurm-page.de/cncedv/cnc/bewegungen.htm, 07.03.2005
[3] F ISCHER, Tilo ; D ORN, Hans-Jerg: Physikalische Formeln und Daten. Ausgabe 1. Stuttgart: Ernst Klett Verlag, 2005
[4] GROB: Flug- und Betriebshandbuch für das Segelflugzeug Astir CS. Mattsies: GROB Flugzeugbau, August 1975
[5] H ESSE, Dipl.-Ing F. ; H ESSE, W.: Hesse 4 - Der Segelflugzeugführer. Ausgabe 4. Breidenbach: Verlag Hesse, 1982
[6] W EBER, Prof. D. Karlheinz (Hrsg.) ; Z ILLMER, PD D. Wolfgang (Hrsg.):
TCP 2001 – Mathematik Gymnasiale Oberstufe – Leistungskurs.
Berlin: PAETEC Verlag für Bildungsmedien, 2001.
[7] K R ÄMER, Hardt ; H ÖWELMANN, Rolf ; K LEMISCH, Ingo: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Frankfuhrt am Main: Verlag Moritz Diesterweg,
1989.
[8] K UYPERS, Oberstudiendirektor W. (Hrsg.): Mathematik für Gymnasien Oberstufe - Analytische Geometrie. Ausgabe 5. Düsseldorf: Pädagogischer
Verlag Schwann, 1973
[9] LEIFI, Physik-Web Rupprecht-Gymnasium (Hrsg.): Hendrik Antoon Lorentz.
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web ph10/geschichte/10lorentz/lorentz.htm,
01.03.2005
[10] S CHMIDT, August (Hrsg.) ; S CHWEIZER, Wilhelm (Hrsg.):
LS Mathematik - Analytische Geometrie mit Linearer Algebra - Leistungskurs.
Ausgabe 1. Stuttgart: Ernst Klett Verlag, 1988
[11] WIKIPEDIA, die freie Enzyklopädie. (Hrsg.): Drehmoment.
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmoment, 07.03.2005