Blatt 9

Diskrete Modellierung
Wintersemester 2015/2016
Dipl.-Inf. Bert Besser
Mario Holldack
Prof. Dr. Georg Schnitger
Hannes Seiwert, M.Sc.
Institut für Informatik
AG Theoretische Informatik
Ausgabe: 10.12.15
Abgabe: 17.12.15
Übung 9
Aufgabe 9.1. Buffet-Probleme im Restaurant Völlerei
(7+7+7 = 21 Punkte)
Die Leitung des Restaurants Völlerei möchte ein Buffet mit
• vegetarischen Speisen wie Linseneintopf, Salat und Pommes frites,
• Fleischgerichten wie Rindswurst und Jägerschnitzel und
• Desserts wie Vanille-Eis und Crêpes
anbieten. Die Speisen sind auf dem länglichen Buffet-Tisch nebeneinander
gemäß den folgenden Regeln zu platzieren:
Der Linseneintopf darf nur neben den Rindswürsten stehen. Damit die Jägerschnitzel nicht mit den
Crêpes verwechselt werden, dürfen sie nicht direkt nebeneinander platziert werden. Rindswürste
passen ebenfalls nicht zu den Crêpes und müssen daher separat stehen. Salat darf ausschließlich
neben den Jägerschnitzeln positioniert werden. Damit das Vanille-Eis nicht für Mayonnaise gehalten
wird, muss mindestens eine weitere Speise zwischen dem Vanille-Eis und den Pommes frites stehen.
a) Stellen Sie den Konfliktgraphen auf, in dem die Speisen durch Knoten repräsentiert werden
und eine Kante zwischen zwei Knoten anzeigt, dass die entsprechenden Speisen nicht direkt
nebeneinander platziert werden dürfen. Tragen Sie die Kanten in die Vorlage ein (siehe unten)
oder ordnen Sie die Knoten in Ihrer Lösung genauso an.
b) Um eine mögliche Platzierung der Speisen auf dem Buffet zu finden, gehen Sie wie folgt vor:
i) Bestimmen Sie das Komplement des Konfliktgraphen, den sogenannten Verdaulichkeitsgraphen.
ii) Welches graphentheoretische Problem im Verdaulichkeitsgraphen muss gelöst werden, um die
Speisen nach den obigen Regeln auf dem Buffet-Tisch anzuordnen? Geben Sie eine Lösung
dieses Problems an.
V
V
P
P
C
S
R
L
C
S
J
R
L
(a) Konfliktgraph (Vorlage)
J
(b) Verdaulichkeitsgraph (Vorlage)
c) Die Erfahrungen der letzten Jahre haben gezeigt, dass die Gäste des Restaurants bei Buffets dazu
neigen, jeden Teller mit riesigen Nahrungsbergen zu beladen, da sie pro Teller einen Pauschalpreis zahlen. Beim Beladen der Teller gelten die gleichen Regeln wie auf dem Buffet-Tisch: zwei
Speisen, die im Konfliktgraphen durch eine Kante verbunden sind, dürfen nicht vom selben
Teller gegessen werden.
Wie viele Teller benötigt eine sehr hungrige Person mindestens, wenn sie jede Speise des Buffets
einmal essen möchte? Welches graphentheoretische Problem im Konfliktgraphen muss gelöst
werden, um mit einer kleinstmöglichen Anzahl von Tellern auszukommen?
1
Aufgabe 9.2. Page-Rank
((4+4+6) + (5+6+8) = 33 Punkte)
a) i) Betrachten Sie den rechts dargestellten Webgraphen Web.
Bestimmen Sie die Übergangsmatrix Pd (Web) für den
Dämpfungsfaktor d = 34 .
1
11, 8, 14 , 11 die
ii) Zeigen Sie, dass die Verteilung PR := 44
Page-Rank-Eigenschaft (bzgl. d = 34 ) besitzt.
3
2
4
1
Web :
iii) Wie ändern sich die Page-Ranks PRi der Seiten i = 1, 2, 3, 4, wenn dem Webgraphen ein
Link von Webseite 2 auf sich selbst hinzugefügt wird? Welche steigen, welche sinken, welche
bleiben gleich?
Eine kurze, begründete Antwort genügt, eine Rechnung ist nicht erforderlich.
b) Wir betrachten nun einen anderen Webgraphen Web0 .
i) Gegeben sei die Übergangsmatrix einer Webkette W = (G, P ) auf einem Webgraphen Web0


2 5 5
1 
5 5 2
P := Pd (Web0 ) =
12
2 8 2
mit dem Dämpfungsfaktor d = 12 .
Geben Sie den zugrundeliegenden Webgraphen Web0 sowie den Graphen G der dazugehörigen Markov-Kette W an.
ii) Ein Zufallssurfer starte in Knoten 1, d.h. für die Anfangsverteilung gelte π (0) = (1, 0, 0).
Berechnen Sie, wo sich der Surfer mit welcher Wahrscheinlichkeit nach einem Schritt und
nach zwei Schritten aufhält, d.h. berechnen Sie π (1) und π (2) , wobei π (k+1) = π (k) · P für
k ∈ N gilt.
iii) Berechnen Sie den Page-Rank-Vektor von P , d.h. bestimmen Sie eine Verteilung PR mit
der Page-Rank-Eigenschaft. (Später werden wir sehen, dass PR = PR · P gilt.)
Hinweis: Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf und lösen Sie es.
Aufgabe 9.3. Roboter und Kisten
(8+4+4+8 = 24 Punkte)
Zwei Roboter R1 und R2 sollen eine schwere Kiste bewegen. Dies gelingt ihnen nur, wenn beide
gemeinsam ziehen oder gemeinsam drücken. Andernfalls bewegt sich die Kiste nicht. Wenn sich die
Kiste bewegt, bekommen beide Roboter positives Feedback (+1) und behalten jeweils ihre aktuelle
Aktion bei. Ansonsten erhalten sie negatives Feedback (−1) und wählen für den nächsten Zug zufällig
und unabhängig voneinander eine neue Aktion, d. h. beide Roboter werfen jeweils eine faire Münze
und entscheiden sich bei Kopf fürs Drücken und bei Zahl fürs Ziehen.
a) Modellieren Sie das Verhalten der Roboter als Markov-Kette.
b) Angenommen, anfangs drückt der Roboter R1 und der andere Roboter zieht. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich die Kiste nach k Schritten (k ∈ N) immer noch am selben Platz
wie zu Beginn befindet?
c) Angenommen, wir kennen die Anfangsverteilung der Markov-Kette nicht. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich die Kiste nach „unendlich vielen“ Schritten immer noch am selben
Platz wie zu Beginn befindet?
d) Sei m ∈ N mit m ≥ 2. Jetzt stehen die Roboter R1 , . . . , Rm zur Verfügung. Auch sie können
die Kiste nur bewegen, wenn alle Roboter dieselbe Aktion ausführen. Modellieren Sie auch
diese Situation als Markov-Kette.
Sie erhalten Teilpunkte, wenn Sie die Aufgabe für m = 3 lösen.
Bitte wenden!
2
Aufgabe 9.4. Gryffindor vs. Ravenclaw
(10+8+4 = 22 Punkte)
Das Quidditch-Spiel1 Gryffindor gegen Ravenclaw steht bevor. Der Mannschaftskapitän der Gryffindors hat beim Training der gegnerischen Mannschaft zugeschaut und vom Passspiel während eines
Angriffs der drei Ravenclaw-Jäger Roger Davies, Jeremy Stretton und Randolph Burrow folgende
Beobachtungen festgehalten.
• Davies spielt nur in der Hälfte aller Fälle den Quaffel2 ab, und zwar doppelt so oft zu Burrow
wie zu Stretton.
• Stretton behält den Quaffel mit Wahrscheinlichkeit 2/3, spielt mit Wahrscheinlichkeit 2/9 zu
Davies ab, und ansonsten zu Burrow.
• Burrow spielt den Quaffel immer sofort weiter, wobei er doppelt so oft zu Stretton wie zu
Davies abspielt.
a) Modellieren Sie das Passspiel der Ravenclaw-Jäger als Markov-Kette M = (G, P ), indem Sie
eine Irrfahrt des Quaffels auf den Zuständen 1 := Davies, 2 := Stretton, und 3 := Burrow gemäß
den oben beschriebenen Wahrscheinlichkeiten annehmen.
Geben Sie den Graphen G der Kette M an und tragen Sie für jede Kante die entsprechende
Übergangswahrscheinlichkeit ein. Geben Sie auch die Übergangsmatrix P an.
b) Am Anfang eines Angriffs sei Stretton im Quaffelbesitz, d.h. π (0) = (0, 1, 0) sei die Anfangsverteilung. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle k ∈ N gilt:
π (k) = 31 1 − 3−k , 12 1 + 3−k , 16 1 − 3−k
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich Davies, Stretton bzw. Burrow im Quaffelbesitz,
wenn der Angriff unendlich lange dauert?
1
Quidditch ist die Lieblingssportart Harry Potters.
Der Quaffel ist ein großer, roter Lederball, der von den Jägern in eines der drei gegnerischen Tore befördert werden
muss.
2
3