Venusphasen im Modellversuch Rheinland-Pfalz

Transcription

Venusphasen im Modellversuch
Rheinland-Pfalz
Martin Raquet
Schule:
Max-Slevogt-Gymnasium Landau
Hindenburgstraße 2
76829 Landau
© DGZfP e.V.
Rheinland-Pfalz
Inhalt
1
Wie alles begann ......................................................................................................................... 3
2
Versuchsaufbau ........................................................................................................................... 3
3
Die Gegebenheiten ..................................................................................................................... 4
4
Modellrechnungen...................................................................................................................... 7
5
Nachbildung im Modell .............................................................................................................. 9
6
Erklärung für die Verschiebung des Helligkeitsmaximums .......................................................... 12
7
Mängelbehebung...................................................................................................................... 13
8
Überblick .................................................................................................................................. 14
9
Verbesserung des Modells ......................................................................................................... 14
10 Literatur .................................................................................................................................... 17
11 Anhang ..................................................................................................................................... 18
2
© DGZfP e.V.
Rheinland-Pfalz
Vorbemerkung
Diese Arbeit entstand innerhalb einer Astronomie-Arbeitsgemeinschaft. An den Vorarbeiten beteiligten
sich andere AG-Mitglieder, doch als es ernst wurde, musste ich das Projekt alleine fortsetzen. Bei den
Messungen war ich allerdings oft auf die Hilfe meiner Mitschüler angewiesen. Diese werden am
Schluss der Arbeit noch namentlich erwähnt.
1
Wie alles begann
Während des Venus-Transits am 8. Juni 2004, den wir vom Pausenhof unserer Schule aus beobachteten, sahen wir den Planeten als Kreisscheibe, die sich zwischen Erde und Sonne schob. Doch wir erinnerten uns daran, dass man die Venus nicht immer als volle Kreisscheibe sehen kann und dass ihre
Helligkeit von der Phase sowie von der Entfernung abhängt. Wir fragten uns, ob man diese Abhängigkeit im Modellversuch nachbilden kann und stellten einen entsprechenden Versuchsaufbau her.
2
Versuchsaufbau
Zuerst diente eine Experimentierleuchte als Sonne, und eine Styroporkugel von ca. 8 cm Durchmesser
repräsentierte die Venus. Den Beobachter auf der Erde ersetzten wir durch eine 9 cm x 6 cm große
Solarzelle. Erde und Venus waren auf gegeneinander verdrehbaren Achsen montiert. In ihrem Schnittpunkt befand sich die Lampe, die gegen die Venus gerichtet war. Leider war es dabei unvermeidlich,
dass bei ungünstigen Positionen von Lampe und Solarzelle die „Erde“ direktes „Sonnenlicht“ erhielt
und viel Streulicht entstand. Deshalb erzielten wir auf diese Weise keine befriedigenden Ergebnisse.
Nach langen Überlegungen hielten wir folgende Variante für eine mögliche Alternative: Wir entfernten
die Sonne. Eine kugelförmige Glühbirne (8 cm Durchmesser, matt) stellte nun die Venus dar. Diese
Glühbirne klebten wir zur Hälfte ab, so dass nur die Halbkugel leuchtete, die zur gedachten Sonne hin
zeigte. (Somit hatten wir die Venus zu einem „Selbstleuchter“ gemacht, was mit der Wirklichkeit nicht
übereinstimmt, für unsere Zwecke aber sehr nützlich war). Dabei ließen sich von der Modellerde aus
die Phasen der Modellvenus gut wahrnehmen, messen und fotografieren.
Zwischen beiden Achsen lässt sich fast jeder Winkel einstellen (auf der Skizze sind es gerade 180°). Nur
relativ kleine Winkel machten Probleme, da manchmal eine vor der Solarzelle befindliche Blende mit
der Solarzelle zusammenstieß. Der Photostrom der Solarzelle wurde mit einem Messverstärker (Leybold Nr. 53200) verstärkt. Dabei wurde bei jeder Messung die Achse der Solarzelle so weit gedreht,
bis maximaler Photostrom angezeigt wurde.
© DGZfP e.V.
3
Rheinland-Pfalz
Die Venus ist für unser Experiment besonders gut geeignet, besser als der Merkur: Sie bewegt sich in
einer fast kreisförmigen Bahn um die Sonne (Bahnexzentrizität: 0,007 – eine mehr ellipsenförmige
Umlaufbahn hätten wir in unserem Modell nur sehr schwer darstellen können.) Außerdem ist die Rotation um die eigene Achse sehr langsam (ein Tag dauert länger als ein Jahr). Die dichte Atmosphäre
(92-mal so dicht wie auf der Erde) bewirkt dieselbe Rückstrahlung an allen Punkten des Planeten. Ein
weiterer Vorteil für die Herstellung eines Modells liegt darin, dass die Venus nahezu eine vollkommene
Kugel ist, und dass ihre Bahnebene nur wenig gegen die Ekliptik geneigt ist (ca. 3°).
3
Die Gegebenheiten
System der Erd- und Venusbahn
Wenn die Venus weit weg von uns ist, erscheint sie uns fast kreisförmig, ist aber sehr klein; wenn sie
dagegen in unserer Nähe steht, zeigt sie deutliche Phasen und ist groß. Um dies darzustellen, montierte ich statt der Solarzelle eine Digitalkamera auf das Stativ und fotografierte den Blick, den man bei
verschiedenen Bahnpositionen der beiden Planeten von der Erde aus auf die Venus hat. Mit den Bildern habe ich auch eine PowerPoint-Schau zusammengestellt.
α = 130°
4
α = 90°
α = 50°
α = 30°
© DGZfP e.V.
Rheinland-Pfalz
Im folgenden Diagramm ist der reale Helligkeitsverlauf wiedergegeben. Dabei ist die scheinbare Helligkeit mv („visuelle Helligkeit“) in Abhängigkeit von der Entfernung Erde-Venus (d) wiedergegeben.
Die Daten entstammen einem astronomischen Jahrbuch [Lit. 1].
Jahrbuchdaten, graphisch dargestellt:
d
[AE]
d
[AE]
mV [mag]
d
[AE]
mV [mag]
mV [mag]
1,711
-3,87
1,497
-3,91
0,831
-4,20
1,71
-3,87
1,449
-3,92
0,751
-4,27
1,704
-3,88
1,396
-3,93
0,672
-4,34
1,694
-3,88
1,338
-3,95
0,593
-4,44
1,68
-3,88
1,275
-3,97
0,516
-4,54
1,662
-3,89
1,208
-4,00
0,443
-4,62
1,639
-3,89
1,138
-4,02
0,377
-4,60
1,611
-3,90
1,064
-4,06
0,321
-4,50
1,578
-3,90
0,988
-4,10
0,283
-4,30
1,54
-3,91
0,91
-4,14
0,271
-4,00
Helligkeit (Betrag der Magnitudo)
4,7
4,6
4,5
4,4
4,3
4,2
4,1
4
3,9
3,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
d in AE
© DGZfP e.V.
5
Rheinland-Pfalz
Das Helligkeitsmaximum liegt ungefähr bei d = 0,42 AE (AE=Astronomische Einheit). Der scheinbare
Helligkeitsverlauf gibt logarithmische Helligkeitsverhältnisse wieder. Um die linearen Helligkeitsverhältnisse zu bekommen, verwende ich die folgende Formel:
F1
2,512 m2
= 2,512 m2 −m1 =
F2
2,512 m1
Dabei ist
m1
F
das Verhältnis der Größenklassen und 1 das Verhältnis der zugehörigen „StrahlungsF2
m2
ströme“. [Lit. 3] Ich wähle die Vergleichshelligkeit m2 = 0 und erhalte bei einer beliebigen anderen
scheinbaren Helligkeit m für den Strahlungsstrom F ~ 2,512-m. In der Tabelle ordne ich jedem Abstand
d noch den Wert 2,512−mv zu und erstelle wieder einen Graphen. Dieser kann besser mit den nachfolgenden theoretischen Berechnungen und meinen Messungen verglichen werden.
d
[AE]
mV
[mag]
d
[AE]
2,512-mV
mV
[mag]
2,512-mV
d
[AE]
mV
[mag]
2,512-mV
1,711
-3,87
35,324
1,497
-3,91
36,650
0,831
-4,20
47,872
1,71
-3,87
35,324
1,449
-3,92
36,989
0,751
-4,27
51,060
1,704
-3,88
35,651
1,396
-3,93
37,332
0,672
-4,34
54,461
1,694
-3,88
35,488
1,338
-3,95
38,026
0,593
-4,44
59,716
1,68
-3,88
35,651
1,275
-3,97
38,733
0,516
-4,54
65,477
1,662
-3,89
35,981
1,208
-4,00
39,818
0,443
-4,62
70,484
1,639
-3,89
35,981
1,138
-4,02
40,558
0,377
-4,60
69,197
1,611
-3,90
36,314
1,064
-4,06
41,887
0,321
-4,50
63,109
1,578
-3,90
36,314
0,988
-4,10
43,459
0,283
-4,30
52,491
1,54
-3,91
36,650
0,91
-4,14
45,298
0,271
-4,00
39,818
Helligkeit (Betrag der Magnitudo)
4,7
4,6
4,5
4,4
4,3
4,2
4,1
4
3,9
3,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
d in AE
6
© DGZfP e.V.
Rheinland-Pfalz
4
Modellrechnungen
Um den Helligkeitsverlauf der Venus in einem theoretischen Modell darzustellen, stelle ich eine Hypothese auf: Die von einer Solarzelle registrierte Helligkeit hängt von der Entfernung und der Form der
beleuchteten Fläche ab.
Wie man die beleuchtete Fläche berechnet und die Entfernung berücksichtigt, entnahm ich einem
Mathematikbuch [Lit. 2]. Demnach erscheint der von der Sonne beleuchtete Teil der Venusoberfläche
auf der Erde als Fläche mit dem Inhalt
A=
π 2 π 2
r + r ⋅ cos ϕ
2
2
=
π 2
r ⋅ (1+ cos ϕ)
2
dabei ist r der Venusradius und
π
π 2
r eine Halbkreisfläche. r 2 ⋅ cos ϕ stellt den Inhalt einer Halbellipse
2
2
mit der großen Halbachse r und der kleinen Halbachse r·cos φ dar. Je nachdem, ob cos φ positiv oder
negativ ist, wird die Halbellipsenfläche an den Halbkreis angesetzt oder vom Halbkreis ausgeschnitten.
Dabei ergeben sich die typischen Phasenformen. Die Entfernungsabhängigkeit wird durch eine Division durch das Quadrat des Abstandes d berücksichtigt. Wenn ich
Helligkeitsverlauf, der durch den Term
1 + cos ϕ
d2
π
r
2
2
gleich 1 setze, erhalte ich einen
gekennzeichnet ist.
Die Berechnungen werden in einer EXCEL-Tabelle durchgeführt. Dabei verwende ich die folgenden
Daten: Abstand zwischen S und V = [S,V] = 0,72 AE; Abstand zwischen E und S = [E,S] = 1,00 AE
Alpha
in Grad
© DGZfP e.V.
alpha im
Bogenmaß
d (in AE)
cos phi
Helligkeit
(willk. Einheiten)
0
0,000
0,280
-1,000
0,000
10
0,175
0,317
-0,836
1,633
20
0,349
0,407
-0,540
2,781
30
0,524
0,521
-0,280
2,652
40
0,698
0,644
-0,071
2,236
50
0,873
0,770
0,100
1,856
60
1,047
0,894
0,246
1,561
70
1,222
1,013
0,373
1,339
80
1,396
1,126
0,485
1,171
90
1,571
1,232
0,584
1,043
100
1,745
1,330
0,672
0,945
110
1,920
1,418
0,749
0,870
120
2,094
1,496
0,815
0,811
130
2,269
1,563
0,872
0,766
140
2,443
1,619
0,918
0,732
150
2,618
1,663
0,954
0,706
160
2,793
1,695
0,979
0,689
170
2,967
1,714
0,995
0,679
180
3,142
1,720
1,000
0,676
7
Rheinland-Pfalz
Für die dritte Spalte lässt sich mit Hilfe der folgenden Formel berechnen:
d = SV 2 + (1AE )2 − 2 ⋅ 1AE ⋅ SV ⋅ cos α
Die Formel folgt aus dem Kosinus-Satz im Dreieck SEV des Systems „Erd- und Venusbahn“ (siehe
Zeichnung S. 2).
Für die vierte Spalte verwende ich ebenfalls den Kosinus-Satz:
cos ϕ =
SV 2 + d 2 − (1AE) 2
.
2 ⋅ SV ⋅ d
Für die fünfte Spalte benutze ich die Formel:
" Helligkeit" =
1+ cos ϕ
d2
.
Für die Berechnungen in allen Tabellenspalten müssen die Winkel im Bogenmaß ausgedrückt werden,
da EXCEL mit Bogenmaß rechnet.
Diagramm:
3,0
2,5
Helligkeit
2,0
theor. Ber.
1,5
Ahnert
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
d in AE
Nach diesen Berechnungen liegt das Maximum der Helligkeit bei d=0,43 AE (±0,01 AE). Um den direkten Vergleich mit den Jahrbuchdaten zu ermöglichen, habe ich die Höhe der Maximal einander
angepasst. Beim Vergleich mit dem Graphen, der aus den Jahrbuchdaten entstand, sieht man, dass
das Maximum an der richtigen Stelle liegt. Allerdings ist die „Ahnertkurve“ breiter als meine theoretisch ermittelte Kurve. Ich vermute, dass dies an der Lichtstreuung in der Venusatmosphäre liegt, welche ich bei meinen Modellrechnungen nicht berücksichtigt habe.
Ergebnis:
Die Simulation der beleuchteten Fläche in einer EXCEL-Tabelle mit Diagramm und der Vergleich mit
den Jahrbuchdaten bestätigt die genannte Hypothese.
8
© DGZfP e.V.
Rheinland-Pfalz
5
Nachbildung im Modell
Ich stellte mir folgende Fragen:

Wie genau kann man die Realität mit unserem selbst erstellten Modell abbilden?

Wo liegen die eventuellen Fehler oder Ungenauigkeiten und wie lassen sich diese erklären?
Zunächst wählte ich die Abstände Sonne-Erde [SE] und Sonne-Venus [SV] so, dass die tatsächlichen
Entfernungsverhältnisse vorlagen.
1. Messreihe am Modell:
Ich bezeichne die Modellsonne mit „s“, die Modellvenus mit „v“ und die Modellerde mit „e“.
[s,v] = Abstand zwischen s und v = 55cm; [s,e] = Abstand zwischen s und e = 75,5cm; Abstandsverhältnis [s,v]/[s,e] = 0,73
Winkel α
α im
Bogenmaß
d in cm
d/[s,e]
Photostrom in
willk. Einheiten
(Maß für die Helligkeit)
11,5
13,5
17
21
23
26
28
29
31
34
36
41
48
62
74
90
0,201
0,236
0,297
0,367
0,401
0,454
0,489
0,506
0,541
0,593
0,628
0,716
0,838
1,082
1,292
1,571
24,2
25,5
28,0
31,2
32,9
35,5
37,3
38,2
40,1
42,9
44,8
49,6
56,3
69,5
80,2
93,4
0,32
0,34
0,37
0,41
0,44
0,47
0,49
0,51
0,53
0,57
0,59
0,66
0,75
0,92
1,06
1,24
1
1,5
2,6
3,3
3,8
4,3
4,6
4,4
4,5
4,5
4,4
4,2
3,8
3,1
2,6
2,1
180
3,142
130,5
1,73
1,2
Diagramm der 1. Messung:
5,0
4,5
4,0
Helligkeit
3,5
3,0
theor. Ber.
2,5
1. Messung
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
d/[s,e]
© DGZfP e.V.
9
Rheinland-Pfalz
Ergebnis:
Die Kurvenform stimmt in etwa mit der theor. Kurve (S. 5) überein. Aber man erhält das Maximum an
der Stelle d/[s,e] = 0,55. Es liegt weiter rechts als es eigentlich sollte. Wodurch entsteht diese Verschiebung?
Zunächst eine rechnerische Untersuchung:
Ich überprüfte in der Berechnung, ob die Lage des Maximums durch das Abstandsverhältnis [s,v]/[s,e]
beeinflusst wird. In der EXCEL-Berechnung habe ich beim eingestellten Abstandsverhältnis [s,v]/[s,e] =
0,78 ein Helligkeitsmaximum bei einem Abstand erhalten, der im Original d = 0,37 AE entspricht. Für
[s,v]/[s,e] = 0,66 ergab sich ein Helligkeitsmaximum bei doriginal = 0,55 AE. (Siehe auch die grafische
Darstellung im „Überblick“ S. 10).
Somit war erwiesen, dass die Lage des Helligkeitsmaximums vom Abstandsverhältnis [s,v]/[s,e] abhängt: Verkleinert man [s,v]/[s,e], so verschiebt sich das Maximum nach rechts, vergrößert man das
Verhältnis, so verschiebt sich das Maximum nach links. Das bestätigt sich auch bei den folgenden
Messungen.
2. Messreihe:
[s,v] = 51,5 cm; [s,e] = 76,5 cm; [s,v]/[s,e] = 0,67
Winkel
α
α
(Bogenmaß)
180
160
145
135
130
121
114
106
98
94
88
81
76
3,142
2,793
2,531
2,356
2,269
2,112
1,990
1,850
1,710
1,641
1,536
1,414
1,326
d/
[e,s]
Helligkeit
1,67
1,65
1,60
1,55
1,52
1,47
1,41
1,35
1,28
1,24
1,19
1,11
1,06
1,0
1,2
1,2
1,3
1,4
1,5
1,5
1,7
1,8
1,9
2,1
2,3
2,4
Winkel
α
α
(Bogenmaß)
72
66
60
55
55
51
46
43,5
40
36
31
27
1,257
1,152
1,047
0,960
0,960
0,890
0,803
0,759
0,698
0,628
0,541
0,471
d/
[e,s]
1,02
0,95
0,88
0,83
0,83
0,78
0,72
0,69
0,65
0,60
0,55
0,50
Helligkeit
2,5
2,8
3,0
3,1
3,0
3,0
3,2
3,3
3,3
3,3
3,2
2,7
4
3,5
Helligkeit
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
d/[s,e]
10
© DGZfP e.V.
Rheinland-Pfalz
Ergebnis:
Verkleinert man [s,v]/[s,e], so verschiebt sich das Maximum nach rechts.
3. Messreihe:
[s,v]/[s,e] wird so verändert, dass der Quotient größer als 0,72 ist.
[s,v] = 65cm; [s,e] = 74cm; [s,v]/[s,e] = 0,88
Winkel α
α
(Bogenmaß)
d in cm
d/[e,s]
Helligkeit
90
80
70
60
50
40
35
30
1,6
1,4
1,2
1,0
0,9
0,7
0,6
0,5
98,5
89,6
80,1
69,9
59,3
48,3
42,7
37,0
1,3
1,2
1,1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
2,8
3,3
4,0
4,8
6,2
8,3
10,6
11,8
20
0,3
25,7
0,3
16,7
18
16
Helligkeit
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
d / [s,e]
Den Abfall zu kleineren Abständen ve konnte ich nicht mehr realisieren, da die vor der Solarzelle installierte Blende ein Ausrichten der Solarzelle verhinderte.
Ergebnis:
Vergrößert man [s,v]/[s,e], so verschiebt sich das Maximum nach links.
Anschließend versuchte ich im Modellversuch dasjenige Abstandsverhältnis zu ermitteln, bei dem das
Helligkeitsmaximum an der richtigen Stelle erscheint.
Ergebnis:
Wenn für [s,v]/[s,e] ein Wert zwischen 0,75 und 0,80 gewählt wird, bekommt man ein Helligkeitsmaximum an einer Stelle, die dem originalen Wert doriginal = 0,43 AE entspricht.
© DGZfP e.V.
11
Rheinland-Pfalz
6
Erklärung für die Verschiebung des Helligkeitsmaximums
Ich versuchte eine Erklärung dafür zu finden, dass im Modellversuch bei wahrem Abstandsverhältnis
das Helligkeitsmaximum bei zu großem d erscheint.
Unser Versuchsaufbau hat einen grundsätzlichen Mangel: Im Vergleich zu den realen Verhältnissen ist
der Durchmesser der Venuskugel viel zu groß. (In der Wirklichkeit ist das Verhältnis Venusdurchmesser
zu Abstand Erde-Venus in der hellsten Phase ungefähr gleich 0,0002.)
Anhand einer Zeichnung untersuchte ich, welchen Einfluss die Größe der Venus-Modellkugel auf die
von der Erde sichtbare Phase haben könnte.
Auf der Abbildung kann man erkennen, dass man bei der kleineren Venus (V1) einen viel größeren
beleuchteten Flächenanteil von der Erde aus sehen kann als bei der größeren Venus (V2). Die größere
Venus erscheint bei [s,v]/[s,e] = 0,72 schlanker als die kleinere, und das Helligkeitsmaximum kann
nicht an derselben Stelle liegen wie bei der kleinen Kugel.* Dies kann man folgendermaßen korrigieren: Man kann die Venus von der Erde weiter weg rücken (in der Tat hat sich in meinem Versuch gezeigt, dass das Helligkeitsmaximum bei größerem d erscheint), oder man kann die leuchtende Fläche
vergrößern, indem man weniger abklebt.
*Andererseits sind die leuchtenden Flächenteile überwiegend näher an der Erde als bei einer kleinen Kugel, was meiner Erklärung entgegenwirken müsste. Das Versuchsergebnis lässt aber darauf schließen, dass der erste Effekt überwiegt.
12
© DGZfP e.V.
Rheinland-Pfalz
7
Mängelbehebung
Um die in Kapitel V. genannten Mängel auszugleichen, benutzte ich eine weniger angeklebte Glühbirne, so dass mehr Licht als bisher auf die Solarzelle traf und die leuchtende Fläche größer wurde.
4. Messreihe:
[s,v] = 55,3cm; [s,e] = 75,5cm; [s,v]/[s,e] = 0,73
Winkel α
α im
Bogenmaß
d in cm
d/[s,e]
Helligkeit
100
90
79
71,5
61
50,5
43,5
35,5
31
27
25
20
18
15
11
1,75
1,57
1,38
1,25
1,06
0,88
0,76
0,62
0,54
0,47
0,44
0,35
0,31
0,26
0,19
101,04
93,59
84,65
78,16
68,63
58,71
51,97
44,27
40,01
36,31
34,50
30,19
28,58
26,31
23,70
1,34
1,24
1,12
1,04
0,91
0,78
0,69
0,59
0,53
0,48
0,46
0,40
0,38
0,35
0,31
1,9
2,3
2,6
3,1
4
5,1
5,9
7,2
8,3
8,9
9,2
9,2
8,5
8,3
6,9
10
0,17
23,13
0,31
5,3
10
9
8
Helligkeit
7
6
5
4
3
2
1
0
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
d/[s,e]
© DGZfP e.V.
13
Rheinland-Pfalz
Ergebnis:
Zu meiner Überraschung war bei dem realitätsgetreuen Abstandsverhältnis [s,v]/[s,e] = 0,72 das Maximum an der richtigen Stelle.
8
Überblick
Um die Resultate statistisch besser abzusichern, habe ich weitere Messungen durchgeführt und die
Abhängigkeit der Lage dmax des Helligkeitsmaximums vom Abstandsverhältnis [s,v]/[s,e] in einem Diagramm deutlich gemacht:
1
0,9
0,8
d max
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
[s,v]/[s,e]
Die untere Strecke stellt die theoretisch ermittelte Abhängigkeit dar, die obere Strecke gibt Messpunkte bei zur Hälfte angeklebter Venuskugel wieder.
Die gelben Punkte gehören zu Messungen mit der weniger abgeklebten Glühlampe. Sie liegen mit
den theoretisch berechneten Punkten auf einer Geraden, was meine Erklärung erneut bestätigt. Beim
Vergleich mit den Modellrechnungen ist im Großen und Ganzen auch die Hypothese von S. 4 bestätigt.
9
Verbesserung des Modells
In meinem Modellaufbau ist es nicht möglich, die Venusgröße realistisch darzustellen. Demnach kann
ich unter Verwendung des realen Abstandsverhältnisses von 0,72 niemals das Maximum exakt bei
d/[s,e] = 0,43 erhalten. Ich hoffte, korrektere Werte durch die Verwendung einer kleineren Glühlampe
(4,5 cm statt 8 cm Durchmesser) zu erzielen. Den Graphen der Messreihe verglich ich anschließend
mit dem Graphen der größeren, ursprünglich verwendeten Glühlampe bei gleichen Abständen [s,v]
und [s,e].
14
© DGZfP e.V.
Rheinland-Pfalz
5. Messreihe:
[s,v] = 53,5cm; [s,e] = 74cm; [s,v]/[s,e] = 0,72
Winkel
Bogenmaß
1,152
0,873
0,663
0,541
0,506
0,463
0,436
0,367
0,401
0,349
66
50
38
31
29
26,5
25
21
23
20
d in cm
71,5
57,0
45,8
39,4
37,6
35,4
34,1
30,8
32,4
23,0
d/[s,e]
Helligkeit
0,97
0,77
0,62
0,53
0,51
0,48
0,46
0,42
0,44
0,40
1,7
2,2
2,7
2,8
2,8
2,75
2,7
2,45
2,6
2,1
5
4,5
4
Helligkeit
3,5
3
große Lampe
2,5
kleine Lampe
2
1,5
1
0,5
0
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
d/[e,s]
Ergebnis:
Man kann erkennen, dass sich das Maximum des Graphen der kleinen Lampe bei d/[s,e]=0,5 befindet.
Vergleicht man dies mit dem Maximum der großen Lampe (d/[s,e] = 0,55), so stellt man eine Verschiebung nach links, also eine Nährung an die Realität fest.
Ich habe bei unterschiedlichen Winkeln mit einer Digitalkamera (Kodak EasyShare DX4530) Fotos der
Modellvenus im verdunkelten Raum aufgenommen. Da die Digitalkamera automatisch die Belichtungszeit und die Öffnung der Blende bestimmt und ich darauf keinen Einfluss nehmen kann, kann ich
nicht die Helligkeit der Pixel als Maß für die Venushelligkeit nehmen. Statt der Helligkeit kann man
aber die Größe des Venusbildes in der Kameraebene registrieren. Mit Hilfe eines einfachen selbst geschriebenen Programms habe ich die hellen Pixel der Bilder zählen lassen und die Anzahl gegenüber d
aufgetragen. Da es mir nur auf die Helligkeit und nicht auf die Farbe der Pixel ankommt, genügt es,
die schwarz-weißen Versionen der Bilder zu analysieren. Selbstverständlich benutzte ich als Bildformat
meiner Bilder kein Format mit Komprimierungen wie *.jpg oder *.gif, sondern ein „reines“ Pixelformat
vom Typ *.bmp. Das Programm ordnet jeden Pixel einer bestimmten Helligkeitsklasse zu. Ich konnte
feststellen, dass bei Verwendung der gesamten Summe heller Pixel, kein vernünftiger Graph entsteht.
Lasse ich die hellsten Pixel der obersten Klasse jedoch weg, so ergibt sich fast derselbe Graph wie bei
den Messungen mit der Solarzelle. Da ich dafür keinerlei Erklärung hatte, setzte ich mich mit Experten
des Fraunhofer Instituts in Karlsruhe (IITB) in Verbindung. Durch sie erfuhr ich, dass bei der Umwandlung von *.jpg in das unkomprimierte Format *.bmp Fehler auftreten. Diese Fehler können die große
© DGZfP e.V.
15
Rheinland-Pfalz
Helligkeit
Anzahl an sehr hellen Pixeln verursachen; wie sich diese Umwandlung aber genau auswirkt, konnten
mir aber auch die Experten nicht sagen, da man an Instituten nur mit Profikameras arbeitet, welche so
genannte „Rohformate“ wie z.B. *.bmp oder *.tif unterstützen. Eine weitere Fehlerquelle ist die Umwandlung der ursprünglichen Farbbilder in schwarz-weiß Bilder, welche ich mit dem Bildbearbeitungsprogramm „Adobe Photoshop“ tätigte. Wie dieses Programm konkret funktioniert, wussten die
Experten nicht, doch man muss damit rechnen, dass dabei weitere Fehler entstehen können.
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0,00
1. Messung
Kamera
0,50
1,00
1,50
2,00
d/[s,e]
Helligkeitsmessung mit der Digitalkamera, [s,v]/[s,e] = 0,72; Venuskugel zur Hälfte abgeklebt
Ergebnis:
Man kann erkennen, dass bei einem Abstandsverhältnis [s,v]/[s,e] = 0,72 das Maximum bei d/[s,e] =
0,47 liegt. Ich hätte allerdings ein Ergebnis erwartet, das näher am Wert 0,55 liegt, weil ja auch bei
der Digitalaufnahme die große Venuskugel verwendet wurde. Hier müssten mehr und genauere Messungen durchgeführt werden, um verlässliche Aussagen machen zu können. Die Kurvenform ist bei
der Messung mit der Digitalkamera dieselbe wie bei der Solarzellenmessung und bei der theoretischen
Berechnung.
Ich führte eine weitere Messreihe mit einer Digitalkamera durch, welche Aufnahmen im Rohformat
(*.tif) unterstützt und wertete diese mit einem professionellen Bildbearbeitungsprogramm des Fraunhofer Instituts namens Oktave aus.
70000
60000
Hellig keit
50000
theoretische Berechnung
40000
Pixelzählen
30000
Solarzelle
20000
10000
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
d in AE
16
© DGZfP e.V.
Rheinland-Pfalz
Ergebnis:
Bei der Aufnahme mit einer geeigneten Kamera und der Auswertung durch ein professionelles Programm stimmt der Graph erstaunlich gut mit dem der Messreihe unter Verwendung der Solarzelle
überein. Natürlich liegt sein Maximum weiter rechts als das der theoretischen Berechnung, da nach
wie vor die zu große Venus verwendet wurde.
Was man verbessern könnte:

Man könnte pro Messreihe mehr Messpunkte aufnehmen, um die Genauigkeit zu erhöhen.

Man könnte genauere Winkel- und Entfernungsmessungen durchführen.

Man könnte das Modell professioneller aufbauen (ich habe nur Stativmaterial der Physiksammlung
in der Schule benutzt).
Ich danke dem Betreuungslehrer für nützliche Tipps und Verbesserungsvorschläge. Ebenso danke ich
meinen Mitschülern Manuel Sawary und Peter Sinn, welche geholfen haben, die Messungen durchzuführen.
10
Literatur
[1]
Ahnerts Kalender für Sternfreunde 2000. Verlag Johann Ambrosius
Barth, Leipzig 1999.
[2]
H. Dörrie: Triumph der Mathematik. Physica-Verlag, Würzburg 1958
[3]
Meyers Handbuch Weltall. Bibliographisches Institut, Mannheim 1994
© DGZfP e.V.
17
Rheinland-Pfalz
11
Anhang
Quelltext des Bildverarbeitungsprogramms:
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,
ExtCtrls, jpeg, StdCtrls, Grids;
type
TForm1 = class(TForm)
Image1: TImage;
Button1: TButton;
Tabelle: TStringGrid;
procedure FormCreate(Sender: TObject);
procedure Button1Click(Sender: TObject);
private
{ Private-Deklarationen }
public
{ Public-Deklarationen }
end;
var
Form1: TForm1;
Feld: array[0..15] of integer;
implementation
{$R *.DFM}
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
{Diese Prozedur wird automatisch beim Programmstart ausgeführt.}
Var I: Integer;
begin
{In Tabelle wird die erste/nullte Zeile geschrieben}
For I:=0 to 9 do Tabelle.cells[I,0]:= IntToStr(I);
Tabelle.cells[10,0]:='A';
Tabelle.cells[11,0]:='B';
Tabelle.cells[12,0]:='C';
Tabelle.cells[13,0]:='D';
Tabelle.cells[14,0]:='E';
Tabelle.cells[15,0]:='F';
{Anfangs werden alle Werte genullt, da noch keine Pixel gezählt wurden.}
For I:=0 to 15 do
begin
Feld[I]:=0;
end;
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var s: string;
b: char;
Spalte, Z{ahl}, zeile: integer;
begin
{Für die erste bis zur letzten Pixelzeile des Bildes tue; }
For Zeile:=0 to Image1.Height-1 do
begin
{Vom ersten (0.) bis zum letzten (vorletzten) Pixel der betrachteten Zeile tue}
For Spalte:=0 to Image1.width-1 do
begin
{s = Farbe des betrachteten Pixels, angegeben im Format $00RRGGBB}
{Dabei ist RR der Rotwert, GG der Grünwert, BB der Blauwert}
{jeder als zweistellige Hexadezimalzahl angegeben von 00 bis FF angegeben}
s:=ColorToString(image1.Canvas.Pixels[Spalte,Zeile]);
if s[1]='c' then
begin
18
© DGZfP e.V.
Rheinland-Pfalz
{In seltenen Fällen wird die Pixelfarbe in “clBlack”, “clWhite” oder “clSilver” angegeben. Diese
werden in das „normale“ $RRGGBB Format umgewandelt}
if s = ’clBlack’ then s:=’$000000’;
if s = ’clWhite’ then s:=’$FFFFFF’;
if s = ’clSilver’ then s:=’$C0C0C0’;
end;
begin
b:=s[4]; {b ist der vierte Buchstabe der Pixelfarbe}
{Der 4. Buchstabe der Pixelfarbe wird in eine Zahl z umgewandelt}
{bei schwarz-weiß-Bildern ist bei jedem Pixel der Rotwert gleich dem}
{Grünwert gleich dem Blauwert. Ein Test des Rotwertes genügt für die Helligkeitsbestimmung}
case b of
'0': z:=0; {Helligkeitswert z soll null sein}
'1': z:=1; {Helligkeitswert z soll eins sein}
'2': z:=2;
'3': z:=3;
'4': z:=4;
'5': z:=5;
'6': z:=6;
'7': z:=7;
'8': z:=8;
'9': z:=9;
'A': z:=10;
'B': z:=11;
'C': z:=12;
'D': z:=13;
'E': z:=14;
'F': z:=15; {Helligkeitswert z soll fünfzehn sein}
end;
Feld[z]:=Feld[z]+1; {Tabellenwert der entsprechenden Helligkeit wird um 1 erhöht.}
end;
end;
end;
{Ausgabe der Helligkeitswerte in der Tabelle am Programmende}
For Spalte:=0 to 15 do
Tabelle.cells[Spalte,1]:=IntToStr(Feld[Spalte]);
end;
end.
© DGZfP e.V.
19
Rheinland-Pfalz
Resultate der Auswertung mit Hilfe des Bildbearbeitungsprogramms:
Bild
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1
223365
22995
5039
3546
3178
3292
3754
4015
4090
5004
5984
9664
20599
8905
0
0
2
394779
70178
15733
4764
3463
3299
3454
3702
3796
4566
5439
8004
22681
63398
1101
0
3
428364
95090
25053
5617
2875
2397
2507
2637
2784
3379
3972
6055
13234
55947
47771
209440
4
443609
87888
22597
5155
2154
1620
1621
1689
1776
2084
2472
3424
8759
42049
73939
330400
5
393445
89547
28987
7326
2392
1265
1155
1172
1129
1265
1619
2849
7369
33241
75805
447440
6
324293
78565
25630
7465
2113
522
424
469
412
457
395
1199
4290
15946
76526
839567
7
293573
66135
21192
6136
983
241
197
280
277
215
198
477
3410
14626
62132
916728
8
226036
56446
17483
4314
366
153
172
227
196
157
145
314
2892
13467
50338
1125374
9
252004
46746
12842
2341
191
154
152
197
186
145
127
291
2316
10848
44310
1076154
10
203738
46805
13427
2924
228
135
144
174
191
128
112
260
1857
8626
39412
1193125
11
208955
40369
11827
2576
195
141
110
171
176
129
95
213
1746
9298
32700
1180781
Bei jedem Bild kann man die deutliche Grenze zwischen dunklen und hellen Pixeln erkennen.
20
© DGZfP e.V.