Gebrochenrationale Funktionen
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Gebrochenrationale Funktionen
Gebrochenrationale Funktionen GS - 05.11.05 - gebro_05_Symmetrie.mcd Gebrochenrationale Funktionen - Symmetrische Funktionsgraphen 1. Achsensymmetrie zur y-Achse u ( x) ∧ v ( x) ≠ 0. v ( x) Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse, wenn gilt: f ( −x) = f ( x) Gegeben ist die Funktion f ( x) = oder: Zähler und Nenner enthalten nur gerade Hochzahlen oder: Zähler und Nenner enthalten nur ungerade Hochzahlen Beispiel 1: 2 f1 ( x) := x +4 ID = IR \ { −1 ; 1 } 2 x −1 Graph mit Asymptoten 8 Vertikale Asymptoten: 6 2 x − 1 = 0 auflösen , x → 4 1 −1 2 y0 = 1 Horizontale Asymptote: 8 6 4 2 0 2 4 6 8 2 lim 2 2 lim 8 f ( −x) = f ( x) x +4 x → ∞ x2 − 1 6 Zu zeigen: →1 x → − ∞ x2 − 1 4 x ≠ −1 x +4 →1 x≠1 ⇔ f ( −x) − f ( x) = 0 2 Beweis: f1 ( −x) → ⇒ gebro_05.mcd x +4 2 x −1 f1 ( −x) − f1 ( x) → 0 Der Graph Gf ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse. 1/6 01.03.2006 Gebrochenrationale Funktionen Beispiel 2: 5 f2 ( x) := Funktionsterm: x + 9⋅x ID = IR \ { 0 } 3 x +x 4 f2_ ( x) := f2 ( x) vereinfachen → Faktorisiert und gekürzt: ( ) Stetig behebbare Def.lücke: xD := 0 yD := f2_ xD → 9 x +9 2 x +1 D ( 0 / 9) 4 x +9 Polynomdivision: in Partialbrüche zerlegt, ergibt 2 2 x −1+ x +1 10 2 x +1 2 K ( x) := x − 1 Asymptotische Kurve: Graph mit asymptotischer Kurve 14 12 10 D Gf 8 6 4 GK 2 4 3 2 1 0 2 Zu zeigen: f ( −x) = f ( x) 1 2 3 4 x≠0 ⇔ f ( −x) − f ( x) = 0 5 Beweis: f2 ( −x) → ⇒ gebro_05.mcd −x − 9 ⋅ x 3 −x − x f2 ( −x) − f2 ( x) vereinfachen → 0 Der Graph Gf ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse. 2/6 01.03.2006 Gebrochenrationale Funktionen 2. Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung u ( x) ∧ v ( x) ≠ 0. v ( x) Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs, wenn gilt: f ( −x) = −f ( x) Gegeben ist die Funktion f ( x) = oder: Zähler enthält nur gerade Hochzahlen und Nenner enthält nur ungerade Hochzahlen oder: Zähler enthält nur ungerade Hochzahlen und Nenner enthält nur gerade Hochzahlen Beispiel 3: 2 f3 ( x) := Funktionsterm: x ID = IR \ { −1 ; 0 ; 1 } 3 x −x f3_ ( x) := f3 ( x) vereinfachen → Faktorisiert und gekürzt: yD := f3_ xD → 0 2 Horizontale Asymptote: 2 x −1 ( ) xD := 0 Stetig behebbare Def.lücke: x 2 x lim D ( 0 / 0) →0 x → − ∞ x3 − x lim x x → ∞ x3 − x →0 x-Achse Punktsymmetrie 8 6 4 D 2 Gf 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2 4 6 8 x ≠ −1 x ≠ 0 Zu zeigen: f ( −x) = −f ( x) Beweis: f3 ( −x) → ⇔ x≠1 f ( −x) + f ( x) = 0 2 ⇒ gebro_05.mcd x 3 −x + x f3 ( −x) + f3 ( x) vereinfachen → 0 Der Graph Gf ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs. 3/6 01.03.2006 Gebrochenrationale Funktionen Beispiel 4: 3 f4 ( x) := Funktionsterm: x ID = IR \ { −2 ; 2 } 2 x −4 3 x Polynomdivision mit Rest: in Partialbrüche zerlegt, ergibt 2 x −4 x+ 2 x−2 + 2 x+2 g ( x) := x Schiefe Asymptote: Graph mit schiefer Asymptote 8 Gf 6 4 Gg 2 8 6 4 2 0 2 4 6 8 2 4 6 8 x ≠ −2 Zu zeigen: f ( −x) = −f ( x) Beweis: f4 ( −x) → x≠2 ⇔ f ( −x) + f ( x) = 0 3 ⇒ gebro_05.mcd −x 2 x −4 f4 ( −x) + f4 ( x) vereinfachen → 0 Der Graph Gf ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs. 4/6 01.03.2006 Gebrochenrationale Funktionen 3. Allgemeine Symmetrie (nicht im Lehrplan) u ( x) ∧ v ( x) ≠ 0. v ( x) Der Graph der Funktion f ist entweder punktsymmetrisch bzgl. eines beliebigen Punktes oder achsensymmetrisch bzgl. einer beliebigen zur y-Achse parallelen Achse. Gegeben ist die Funktion f ( x) = Der Nachweis der Symmetrie erfolgt über eine Koordinatentransformation vom Koordinatensystem (X ; Y) in ein neues Koordinatensystem ( U , V). Speziell bei gebrochenrationalen Funktionen: Eine unecht-gebrochenrationale Funktion soll nur eine vertikale Asymptote und eine horizontale bzw. schiefe Asymptote besitzen. Dann gilt: Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der beiden Aymptoten Beispiel 5: 2 x f5 ( x) := 4 ⋅ ( x − 2) Funktionsterm: ID = IR \ { 2 } 2 x Polynomdivision mit Rest: 4 ⋅ ( x − 2) Vertikale Asymptote: x1 := 2 1 g ( x) := Schiefe Asymptote: 4 in Partialbrüche zerlegt, ergibt 1 4 ⋅x + ⋅x + 1 2 + 1 x−2 1 2 ( ) Asymptotenschnittpunkt: g x1 = 1 S ( 2 / 1) Koordinatentransformation: x=u+ 2 y=v+ 1 Transformationsgleichungen in die Funktionsterme eingesetzt: v+1= ( u + 2) 2 4 ⋅ ( u + 2 − 2) 2 auflösen , v → v+1= Asymptote: 1 4 ⋅ ( u + 2) + 1 2 1 u +4 ⋅ 4 u auflösen , v → 1 4 ⋅u Funktionsterme im neuen Koordinatensystem (U ; V) 2 f_ ( u) := 1 u +4 ⋅ 4 u g_ ( u) := Nachweis der Punktymmetrie: 1 4 ⋅u Zu zeigen: f_ ( −u) + f_ ( u) = 0 2 Beweis: gebro_05.mcd −1 u + 4 f_ ( −u) → ⋅ 4 u f_ ( −u) + f_ ( u) → 0 5/6 01.03.2006 Gebrochenrationale Funktionen Graph mit Symmetriepunkt S Graph im System (U;V) 8 8 6 6 Gf 4 2 6 4 2 S 0 4 6 8 6 4 2 2 4 4 6 x≠2 8 Gg_ 0 2 6 gebro_05.mcd 2 Gg 2 Gf_ 4 S_ 2 4 6 8 u≠0 8 6/6 01.03.2006