V08

Ein-Faktor-Zinsmodelle
M. Gruber
SS 2016, KW20
Zusammenfassung
Beispiel mit Realdaten (Euro Libor overnight, Euribor 3 weeks), Vasicek-Modell mit Simulation,
Cox-Ingersoll-Ross-Modell mit Simulation, Hull-White-Modell.
M.Gruber, SS 2016
Stochastic Processes in Risk and Finance
Beispiel mit Realdaten
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
Jan
Apr
Jul
Oct
Abbildung 1: Euro Libor overnight (blau), Euribor 3 weeks (rot), 2001-10-15 bis 2002-10-15
1
M.Gruber, SS 2016
Stochastic Processes in Risk and Finance
• “The Euro LIBOR interest rate is the average interbank interest rate at which
a large number of banks on the London money market are prepared to lend
one another unsecured funds denominated in European euros. The Euro LIBOR
interest rate is available in 7 maturities, from overnight (on a daily basis) to 12
months. (. . . ) We update these interest rates daily.”1
• “Euribor is short for Euro Interbank Offered Rate. The Euribor rates are based
on the interest rates at which a panel of European banks borrow funds from one
another. In the calculation, the highest and lowest 15% of all the quotes collected
are eliminated. The remaining rates will be averaged and rounded to three decimal
places. Euribor is determined and published at about 11:00 am each day, Central
European Time.”2
1
2
http://global-rates.com/interest-rates/libor/european-euro/euro.aspx
http://www.euribor-rates.eu/euribor-rate-3-weeks.asp
2
M.Gruber, SS 2016
Stochastic Processes in Risk and Finance
Vasicek-Modell (1977)
Das Vasicek-Modell wird in [2], pp.150, beschrieben 3.
Die stochastische Differentialgleichung des Vasicek-Modells lautet
dR(t) = a(b − R(t)) dt + σ dB(t)
(1)
mit den Größen
• b > 0 für den langfristigen Mittelwert,
• a > 0 für die Steifigkeit (oder auch: Geschwindigkeit),
• σ > 0 für die Volatilität.
3
zur Geschichte und Bedeutung des Vasicek-Modells siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Vasicek_model.
3
M.Gruber, SS 2016
Stochastic Processes in Risk and Finance
Simulation eines Vasicek-Prozesses
0.04
0.03
0.02
0.01
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Abbildung 2: Drei Pfade eines Vasicek-Prozesses mit langfristigem Mittelwert 0.025,
Volatilität 0.03, Steifigkeit (Rückkehrgeschwindigkeit) 4.0 und Anfangswert 0.01.
4
M.Gruber, SS 2016
Stochastic Processes in Risk and Finance
Vor- und Nachteile des Vasicek-Modells
(
−at
R(t) ∼ N (R(0) − b)e
+ b,
σ2
2a (1
−2at
−e
)
) .
• Die Normalverteilungseigenschaft ist günstig für Simulation und andere Berechnungen (siehe [1]).
• Sie führt aber auch dazu, dass R(t) leicht negative Werte annehmen kann, eine
unerwünschte Eigenschaft für ein Zinsmodell.
• Es gibt eine Rückkehrtendenz zum langfristigen Mittelwert (mean reversion):
limt→∞ E R(t) = b, eine erwünschte Eigenschaft für ein Zinsmodell.
5
M.Gruber, SS 2016
Stochastic Processes in Risk and Finance
Cox-Ingersoll-Ross-Modell (1985)
Die übliche Abkürzung für “Cox-Ingersoll-Ross” ist CIR.
Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell wird in [2], pp.151, beschrieben.
4
Die stochastische Differentialgleichung des CIR-Modells lautet
dR(t) = a(b − R(t)) dt + σ
√
R(t) dB(t)
(2)
mit b, a und σ wie beim Vasicek-Modell. Die Bezeichnung “Wurzel-Diffusionsprozess”
(square-root diffusion process) für den CIR-Prozess erklärt sich selbst.
(2) ist lösbar, aber nicht in geschlossener Form. Wir lösen die Gleichung hier nicht.5
4
Informationen zur Geschichte und Bedeutung des CIR-Modells findet man auch unter http://
de.wikipedia.org/wiki/Wurzel-Diffusionsprozess#Cox-Ingersoll-Ross-Modell bzw.http://en.wikipedia.
org/wiki/Cox-Ingersoll-Ross_model.
5
Eine Beschreibung der Lösung findet man in http://www.riskmathics.com/archivos/wojciech02.pdf.
6
M.Gruber, SS 2016
Stochastic Processes in Risk and Finance
Simulation eines CIR-Prozesses
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Abbildung 3: Drei Pfade eines CIR-Prozesses mit langfristigem Mittelwert 0.025,
Volatilität 0.03, Steifigkeit (Rückkehrgeschwindigkeit) 4.0 und Anfangswert 0.01.
7
M.Gruber, SS 2016
Stochastic Processes in Risk and Finance
Eigenschaften des CIR-Modells
Man kann Eigenschaften der Lösung R(t) direkt von der Differentialgleichung (2) ableiten.
• Es ist, wie beim Vasicek-Modell, E R(t) = (R(0) − b)e−at + b.
• Der Prozess hat die mean-reversion-Eigenschaft limt→∞ E R(t) = b.
−at
• Es ist Var R(t) = R(0)(e
σ2b
2a .
−2at σ 2
−e
)a
σ2b
+ 2a (1 − e−at)2,
also limt→∞ Var R(t) =
• R(t) ist nicht normalverteilt. Mit der Kenntnis von asymptotischem Erwartungswert und asymptotischer Varianz kann man noch keine Aussage darüber machen,
ob negative Werte für R(t) möglich sind. Es ist aber bekannt, dass das CIR-Modell
die Positivität von R(t) garantiert6, eine erwünschte Eigenschaft des Modells.
6
http://www.riskmathics.com/archivos/wojciech05.pdf
8
M.Gruber, SS 2016
Stochastic Processes in Risk and Finance
Hull-White-Modell (1990)
Das Hull-White-Modell ist eines der heute gebräuchlichen short-rate-Modelle.
7
Die stochastische Differentialgleichung des Hull-White-Modells lautet
dR(t) = (θ(t) − α(t)R(t)) dt + σ(t) dB(t).
(3)
In der Praxis wird θ von Zinsstrukturkurven abgeleitet, α z.B. auf der Basis historischer
Daten geschätzt und σ an caplets und swaptions kalibriert. 8
(3) ist eine lineare stochastische Differentialgleichung im engeren Sinn. Das Lösen
linearer stochastischer Differentialgleichung ist Thema der nächsten Vorlesung.
7
http://en.wikipedia.org/wiki/Hull-White_model.
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.8.4779&rep=rep1&type=pdf und http://
pages.stern.nyu.edu/~dbackus/3176/hwnote.pdf
8
9
M.Gruber, SS 2016
Stochastic Processes in Risk and Finance
Literatur
[1] Steven Finch. Ornstein-Uhlenbeck Process, 2004. [May 15, 2004].
[2] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II. Springer, 2004. http://www.springer.
com/us/book/9780387401010.
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