Übungen zu Polynomfunktionen, Gleichungen, Ungleichungen

MK 28.1.2004 PolGleichUngl_Ueb.mcd
Übungen zu Polynomfunktionen, Gleichungen, Ungleichungen
(1) Gegeben ist die vom reellen Parameter c abhängige Funktion f1. Bestimmen Sie die Nullstellen
von f1. Für welche Werte von c hat die Funktion Berührpunkte?
3
2
2
f1 ( c , x) := x − x − 6 ⋅ x − c ⋅ x + c ⋅ x + 6 ⋅ c
(2) Schneide jeweils die beiden durch die folgenden Funktionsgleichungen gegebenen Parabeln und Geraden.
(2a)
g1 ( x) := 3x + 2
g2 ( x) := −2x + 1
(2b)
g3 ( x) := −4x + 3
p1 ( x) := x − 6x − 5
(2c)
g4 ( x) := 2x − 4
p2 ( x) := x − 4x + 5
(2d)
p3 ( x) := −x + x + 9
(2e)
p5 ( x) :=
2
2
2
2
p4 ( x) := x + 5x − 21
1 2
x +x+1
2
p6 ( x) :=
3 2
x + 3x + 2
2
(3) Gegeben ist die vom reellen Parameter c abhängige Funktion f2 und die Funktion f3. Bestimmen Sie die
Schnittpunkte der beiden Funktionen. Für welche Werte von c berühren sie sich?
3
2
f2 ( c , x) := 2 ⋅ x − 2 ⋅ c ⋅ x + c ⋅ x + 3 ⋅ c + 1
2
f3 ( x) := x + 3x + 1
3
2
(4) Gegeben ist die vom reellen Parameter c abhängige Funktion f4 ( c , x ) := x − 4 ⋅ x − c ⋅ x + 4 ⋅ c.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von c die Lösungsmenge der Ungleichung
3
2
x − 4⋅ x − c⋅ x + 4⋅ c ≥ 0
Lösungen:
(1) Gegeben ist die vom reellen Parameter c abhängige Funktion f1. Bestimmen Sie die Nullstellen
von f1. Für welche Werte von c hat die Funktion Berührpunkte?
3
2
 −2 
f1 ( c , x) auflösen , x →  3 
c 
 
2
f1 ( c , x) = x − x − 6 ⋅ x − c ⋅ x + c ⋅ x + 6 ⋅ c = 0
Finde x1 := −2
3
2
2
x − x − 6⋅ x − c⋅ x + c⋅ x + 6⋅ c
x+2
2
2
x − c⋅ x − 3⋅ x + 3⋅ c =0
x2 :=
c + 3 − ( c − 3)
2
2
vereinfachen → x − c ⋅ x − 3 ⋅ x + 3 ⋅ c
2
D ( c) := ( −c − 3) − 4 ⋅ 1 ⋅ 3c vereinfachen → c − 6 ⋅ c + 9 faktor → ( c − 3)
→3
x3 ( c) :=
=> Nullstellen bei -2 , 3 und c
( c + 3) + ( c − 3)
2
→c
c = −2
Es gibt Berührpunkte, falls
oder
c=3
10
f1 ( 1 , x )
4
2
0
2
4
PolGleichUngl_Ueb1.gxt
10
x
(2) Schneide jeweils die beiden durch die folgenden Funktionsgleichungen gegebenen Parabeln und Geraden.
(2a)
g1 ( x) := 3x + 2
g2 ( x) := −2x + 1
xs := 3x + 2 = −2x + 1 auflösen , x →
−1
5
ys := g1 ( xs) →
5
g1 ( x )
g2 ( x )
4
2
0
ys
5
x , x , xs
2
4
7
5
2
(2b)
2
g3 ( x) := −4x + 3
p1 ( x) := x − 6x − 5
2
xs := −4x + 3 = x − 6x − 5 auflösen , x →
2
 −2 
 
4 
ys := g3 ( xs) →
2
 11 


 −13 
2
x − 6x − 5 − ( −4x + 3) = 0 → x − 2 ⋅ x − 8 = 0
D := 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −8) → 36
10
g3 ( x )
p1 ( x )
4
2
0
2
4
6
ys
10
20
x , x , xs
(2c)
2
g4 ( x) := 2x − 4
p2 ( x) := x − 4x + 5
2
xs := 2x − 4 = x − 4x + 5 auflösen , x →
2
3 
 
3 
ys := g4 ( xs) →
2
2
x − 4x + 5 − ( 2x − 4) = 0 → x − 6 ⋅ x + 9 = 0
D := 6 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 → 0
10
g4 ( x )
p2 ( x )
ys
4
2
0
10
x , x , xs
2
2 
 
2 
4
6
(2d)
2
2
p3 ( x) := −x + x + 9
p4 ( x) := x + 5x − 21
i := 0 .. 1
2
2
xs := −x + x + 9 = x + 5x − 21 auflösen , x →
(
2
)
2
 −5 
 
3 
2
x + 5x − 21 − −x + x + 9 = 0 → 2 ⋅ x + 4 ⋅ x − 30 = 0
( )
ysi := p3 xsi
ys =
 −21 


 3 
2
D := 4 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −30) → 256
10
6
4
2
0
2
4
p3 ( x )
p4 ( x )
10
ys
20
30
x , x , xs
(2e)
xs :=
1 2
x +x+1
2
p5 ( x) :=
p6 ( x) :=
3 2
x + 3x + 2
2
i := 0 .. 1
ysi := p5 xsi
1 2
3 2
 −1 
x + x + 1 = x + 3x + 2 auflösen , x →  
2
2
 −1 
3 2
1 2
2

x + 3x + 2 −  x + x + 1 = 0 → x + 2 ⋅ x + 1 = 0
2
2

( )
2
D := 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 → 0
10
5
p5 ( x )
p6 ( x )
ys
6
4
2
0
5
x , x , xs
2
ys =
4
 0.5 
 
 0.5 
(3) Gegeben ist die vom reellen Parameter c abhängige Funktion f2 und die Funktion f3. Bestimmen Sie die
Schnittpunkte der beiden Funktionen. Für welche Werte von c berühren sie sich?
3
2
2
f2 ( c , x) := 2 ⋅ x − 2 ⋅ c ⋅ x + c ⋅ x + 3 ⋅ c + 1
f3 ( x) := x + 3x + 1
 −1 
 
3
3
2
2
2 ⋅ x − 2 ⋅ c ⋅ x + c ⋅ x + 3 ⋅ c + 1 = x + 3x + 1 auflösen , x →  
2 
 
c 
3
2
2
2⋅ x − x − 3⋅ x − 2⋅ c⋅ x + c⋅ x + 3⋅ c =0
Finde x1 := −1
3
2
2
2⋅ x − x − 3⋅ x − 2⋅ c⋅ x + c⋅ x + 3⋅ c
x+ 1
2
vereinfachen → 2 ⋅ x − 3 ⋅ x − 2 ⋅ c ⋅ x + 3 ⋅ c
2
2⋅ x − 2⋅ c⋅ x − 3⋅ x + 3⋅ c =0
2
2
D ( c) := ( −2c − 3) − 4 ⋅ 2 ⋅ 3c vereinfachen → 4 ⋅ c − 12 ⋅ c + 9 faktor → ( 2 ⋅ c − 3)
x2 :=
2c + 3 − ( 2c − 3)
→
2⋅ 2
3
x3 ( c) :=
2
=> Schnittstellen bei -1 , 3/2 und c
2c + 3 + ( 2c − 3)
2⋅2
2
→c
c = −1
Es gibt Berührpunkte, falls
oder
c=
10
5
f2 ( − 3 , x )
f3 ( x)
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
5
10
x
PolGleichUngl_Ueb2.gxt
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3
2
3
2
(4) Gegeben ist die vom reellen Parameter c abhängige Funktion f4 ( c , x) := x − 4 ⋅ x − c ⋅ x + 4 ⋅ c.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von c die Lösungsmenge der Ungleichung
3
2
x − 4⋅ x − c⋅ x + 4⋅ c ≥ 0
3
2
x − 4⋅ x − c⋅ x + 4⋅ c =0
Finde x1 := 2
3
2
x − 4⋅ x − c⋅ x + 4⋅ c
x−2
2
vereinfachen → x − c ⋅ x + 2 ⋅ x − 2 ⋅ c
2
x − c⋅ x + 2⋅ x − 2⋅ c =0
2
2
D ( c) := ( −c + 2) − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −2c) vereinfachen → c + 4 ⋅ c + 4 faktor → ( c + 2)
x2 :=
c − 2 − ( c + 2)
2
→ −2
x3 ( c) :=
=> Schnittstellen bei -2 , 2 und c
c − 2 + ( c + 2)
2
2
→c
Es gibt Berührpunkte, falls
c = −2
oder
c=2
Skizzen der einzelnen Fälle:
PolGleichUngl_Ueb3.gxt
10
f4 ( − 3 , x )
4
3
2
1
0
1
2
3
4
1
2
3
4
Fall 1 : c < -2 => L = [ c ; -2 ] ∪ [ 2 ; ∞ [
10
x
10
f4 ( − 2 , x )
4
3
2
1
0
10
x
Fall 2 : c = -2 => L = { -2 } ∪ [ 2 ; ∞ [
10
f4 ( 0 , x )
4
3
2
1
0
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Fall 3 : -2 < c < 2 => L = [ -2 ; c ] ∪ [ 2 ; ∞ [
10
x
10
f4 ( 2 , x )
4
3
2
1
0
Fall 4 : c = 2 => L = [ -2 ; ∞ [
10
x
10
f4 ( 3 , x )
4
3
2
1
0
10
x
Fall 5 : 2 < c => L = [ -2 ; 2 ] ∪ [ c ; ∞ [