Lösungen 7.Übungsblatt

Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Institut für Analysis
WS 2011/2012
Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog
Dipl.-Math.techn. Rainer Mandel
Lösungen 7.Übungsblatt
Aufgabe 25 (K)
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
a)
c)
∞
X
n=0
∞
X
n=3
Für welche
x∈R
√
1
(x − 2)n
n+5
b)
1
xn
(4 + (−1)n )2n
d)
∞
X
n n2
x
2n
n=0
∞
X
n
n 2 xn
n=0
konvergieren die Reihen?
Lösung:
a) Sei
√1
für
n+5
an :=
n ∈ N.
Es gilt
lim sup
n→∞
denn
1≤
√
n
p
1
n
= 1,
|an | = lim sup √
n
n+5
n→∞
n+5≤
√
n
6n = 61/n n1/n
(n ∈ N)
limn→∞ 61/n n1/n = 1. Also ist der Konvergenzradius ρ = 11 = 1 und die
Potenzreihe konvergiert für x ∈ (1, 3) und divergiert für x < 1 oder x > 3. Für x = 1
konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium, da (an ) monoton fallend ist, für
1
x = 3Pdivergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium, da an ≥ n+5
=: bn > 0
∞
b
divergiert.
und
n
n=0
und
b) Sei
(
m2−m
an :=
0
, falls n = m2
, sonst.
für ein
m∈N
Dann gilt
lim sup
n→∞
p
p
1
1
1
2
n
|an | = lim sup m |am2 | = lim sup(m2−m ) m2 = lim sup m m2 2− m = 1,
m→∞
1
m2
1
m→∞
m→∞
1 ≤ m
≤ m m und die rechte Seite konvergiert nach Vorlesung gegen 1
für m → ∞. Also lautet der Konvergenzradius ρ = 1 und die Reihe konvergiert
für |x| < 1 und divergiert für |x| > 1. Für |x| = 1 konvergiert
die Reihe nach
√
P∞
P∞
m
−m
−m
dem Wurzelkriterium, denn
und
m2
→ 12 < 1 für
n=0 |an | =
m=0 m2
m → ∞.
denn
c) Sei
an :=
1
. Es gilt
(4+(−1)n )2n
lim sup
n→∞
p
n
|an | = lim sup
n→∞
d.h. der Konvergenzradius ist
genz für
|x| > 9
vor. Im Falle
1
1
= ,
n
2
(4 + (−1) )
9
ρ = 9; daher liegt Konvergenz
für |x| < 9 und DiverP
n divergent, denn
|x| = 9 ist die Reihe ∞
a
x
n=3 n
lim sup |an xn | = lim sup |an |9n = lim sup
n→∞
n→∞
n→∞
p
√
n
an := n 2 . Dann ist die Folge ( n |an |) = ( n)
folgt ρ = 0. Daher liegt Konvergenz ausschlieÿlich
d) Sei
2n
3
= 1 6= 0.
n
4 + (−1)
nach oben unbeschränkt und es
im Punkt
x=0
vor.
Aufgabe 26 (K)
a) Bestimmen Sie das Cauchy-Produkt der Reihen
P∞
−n und
n=0 2
P∞
n=0 3
−n und be-
rechnen Sie dessen Wert.
b) Sei
und
a0 := 0
an := (−1)n+1 √1n
für
n ∈ N.
Zeigen Sie, dass die Reihe
P∞
n=0 an
konvergiert und das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst divergiert. Warum
ist der Satz aus der Vorlesung über die Konvergenz des Cauchy-Produkts nicht
anwendbar?
Lösung:
a) Sei
an := 2−n , bn := 3−n
cn :=
n
X
ak bn−k =
n
X
für
n ∈ N0 ,
−k k−n
2
3
sei
−n
=3
k=0
k=0
n
X
1 − 32
3 k
= 3−n ·
2
1−
k=0
n+1
3
2
=
3
2
− n.
n
2
3
Da die geometrischen Reihen absolut konvergieren, konvergiert auch ihr CauchyProdukt
P∞
n=0 cn und der Reihenwert ist
∞
X
n=0
b) Die Folge
( √1n )
cn =
∞
X
an ·
n=0
∞
X
bn =
n=0
1
1−
1
2
·
1
1−
ist monoton fallend gegen 0, sodass
1
3
=2·
3
= 3.
2
P∞
n=0 an nach dem Leibnizkri1
terium konvergiert. Die Reihe konvergiert nicht absolut, denn |an | ≥ n für n ≥ 1.
Das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst konvergiert nicht, denn
|cn | = |
n
X
k=0
ak an−k |
X
n−1
1 1
=
(−1)k+1 √ · (−1)n−k+1 √
n−k
k
k=1
=
≥
n−1
X
1
p
k(n − k)
k=1
n−1
X
k=1
=
2
n
2(n − 1)
n
und dies ist keine Nullfolge. Daher konvergiert das Cauchy-Produkt mit sich selbst
nicht.
Der Satz aus der Vorlsung ist nicht anwendbar, da
P∞
n=0 an nicht absolut konver-
giert.
Aufgabe 27
a) Beweisen Sie mit Hilfe des Cauchy-Produkts die Additionstheoreme:
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
(x, y ∈ R),
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
(x, y ∈ R).
b) Beweisen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die folgenden Formeln:
cos(2x) = 1 − 2 sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1
(x ∈ R),
x+y
x−y
cos(x) + cos(y) = 2 cos
cos
(x, y ∈ R).
2
2
Lösung:
a) Wir wenden den Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produkts auf
sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
∞
∞
X
2n+1 X
y 2n n x
=
(−1)
(−1)n
(2n + 1)!
(2n)!
+
=
n=0
∞
X
n=0
(−1)n
n=0
∞ X
n
X
(−1)k
n=0 k=0
x2n
∞
X
(2n)!
(−1)n
n=0
x2k+1
(2k + 1)!
y 2n+1 (2n + 1)!
· (−1)n−k
y 2n−2k
(2n − 2k)!
sin, cos
an:
+
=
=
∞ X
n
X
(−1)k
n=0 k=0
∞
n
X
X
n
(−1)
∞
n
n=0
k=0
X
X
x2k+1 y 2n−2k
x2k y 2n+1−2k
+
(−1)n
(2k + 1)!(2n − 2k)!
(2k)!(2n + 1 − 2k)!
n=0
∞
X
k=0
n X
n=0
∞
X
k=0
2n+1
X
(−1)n
y 2n+1−2k
x2k
· (−1)n−k
(2k)!
(2n + 1 − 2k)!
x2k+1 y 2n+1−(2k+1)
(2k + 1)!(2n + 1 − (2k + 1))!
+
x2k y 2n+1−2k
(2k)!(2n + 1 − 2k)!
xk y 2n+1−k
k!(2n + 1 − k)!
n=0
k=0
2n+1
∞
X 2n + 1
X
1
n
xk y 2n+1−k
=
(−1)
(2n + 1)!
k
=
=
(−1)n
n=0
∞
X
(−1)n
n=0
k=0
2n+1
y)
(x +
(2n + 1)!
= sin(x + y).
Analog zeigt man die andere Gleichung.
Wir haben verwendet, dass aus der Konvergenz von
chung
P∞
n=0 (an + bn ) =
b) Aus a) folgt mit
P∞
n=0 an +
P∞
cos(x)2 + sin(x)2 = 1
n=0 bn
für
P∞
n=0 an ,
P∞
n=0 bn die Glei-
folgt (siehe Vorlesung).
x∈R
cos(2x) = cos(x)2 − sin(x)2 = 1 − 2 sin(x)2 = 2 cos(x)2 − 1.
Hieraus folgt wiederum
2 cos
x + y
x − y
x
y
x
y x
y
x
y cos
= 2 cos( ) cos( ) − sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) + sin( ) sin( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x 2
y 2
x 2
y 2
= 2 cos( ) cos( ) − sin( ) sin( )
2
2
2
2
x 2
y 2
x 2
y = 2 (1 − sin( ) ) cos( ) − sin( ) sin( )2
2
2
2
2
y 2
x 2
= 2 cos( ) − 2 sin( )
2
2
= (cos(y) + 1) − (1 − cos(x))
= cos(y) + cos(x)
Aufgabe 28
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
a)
∞ X
n n2 −3n
(x + 3)n
n+3
n=0
b)
∞
X
n=2
2
2n xn
∞
X
(n!)2
(x + 1)n
(2n)!
c)
d)
n=10
Für welche
a) Sei
x∈R
an :=
n→∞
1+
n=0
1
1
+ . . . + xn
2
n
konvergieren die Reihen?
2
n n −3n
. Dann
n+3
p
n
|an | = lim sup
lim sup
∞
X
n→∞
n n−3
3 n+3
3 −6
= lim sup 1−
· 1−
= e−3 ·1 = e−3 .
n+3
n+3
n+3
n→∞
ρ = e3 . Daher liegt Konvergenz für x ∈ (−3 −
e3 , −3 + e3 ) vor und Divergenz für x < −3 − e3 oder x > −3 + e3 . Im Falle
|x + 3| = e3 divergiert die Reihe, denn für n ∈ N gilt
Der Konvergenzradius ist daher
WAHR
⇐⇒
=⇒
⇐⇒
⇐⇒
Also ist
(an (x + 3)n )
keine Nullfolge,
3 n
≤ e3
n
n 3
3 n
·
≤ e3
1+
n
n+3
n n−3 3
e ≥1
n+3
|an (x + 3)n | ≥ 1.
P∞
n
sodass die Reihe
n=0 an (x + 3)
1+
divergiert.
b) Sei
(
2m
an :=
0
Dann
lim sup
n→∞
, falls n = m2
, sonst.
für ein
m∈N
√
√
n
an = lim sup m2 am2 = lim sup 21/m = 1
m→∞
m→∞
und der Konvergenzradius ist 1. Da (an ) keine Nullfolge ist, erhalten wir Konvergenz
der Reihe für
|x| < 1
und Divergenz für
|x| ≥ 1.
c) Es gilt (siehe Groÿe Übung Nr. 7)
s
n
(n!)2
=
(2n)!
√
n
n! 2
p
=
2n
(2n)!
√
n
n!
√n
2n
(2n)!
2n
·
1 2
e−1 1 2 1
→ −1 ·
= .
2
e
2
4
ρ = 4 und die Reihe konvergiert für |x +
1| < 4 und divergiert für |x + 1| > 4. Im Fall |x + 1| = 4 divergiert die Reihe
P∞
(n!)2
(n!)2
n
n
n=10 (2n)! (x + 1) , denn für bn := (2n)! (x + 1) > 0 gilt
Der Konvergenzradius ist demnach
bn+1 2(n + 1)
=
≥ 1,
bn
2n + 1
sodass
(bn )
keine Nullfolge sein kann.
d) Es gilt
1 ≤ 1 + ... +
1
n
≤n
und darum
r
lim sup
n→∞
1 + ... +
1
= 1.
n
ρ = 1. Da (1 + . . . + n1 ) keine Nullfolge ist, erhalten
|x| < 1 und Divergenz für |x| ≥ 1.
Der Konvergenzradius ist daher
wir Konvergenz der Reihe für
n